3-1-1. Oskar Backlund to H. Poincaré

Poulkovo le 5 Févr. 190111Lettre publiée avec modifications légères dans les Comptes rendus de l’Académie des sciences (Backlund 1901).

Très honoré Collègue,

Je Vous suis très reconnaissant pour avoir appelé l’attention à l’erreur fâcheuse dans ma note sur la précession.22O. Backlund 1900; Poincaré 1901. La note de Poincaré compare les résultats de Stockwell (1872) et ceux d’O. Backlund (1900) concernant “les variations séculaires de l’équateur terrestre qui sont la conséquence des variations séculaires de l’écliptique” (Poincaré 1901, 50). Backlund avait repris les calculs de Stockwell en utilisant les méthodes proposées par Gyldén (1891, 1893b) dans ses Nouvelles recherche sur les séries employées dans les théories des planètes. Comme les résultats de Stockwell et Backlund sont divergents, Poincaré en fait un test pour juger de la validité des travaux de Gyldén. Le point essentiel de la méthode de Gyldén en cause est la prise en compte dans les premières étapes du processus d’approximations successives de certains termes : Le principe de la méthode employée par M. Backlund consiste à ne pas supprimer tout de suite dans ses équations les termes à courtes périodes qui produisent la nutation ; dans les équations qu’on obtient après quelques transformations figurent certains coefficients périodiques qui dépendent de ces termes ; et pour l’intégration, au lieu de supprimer purement et simplement ces coefficients périodiques comme on le fait d’ordinaire, M. Backlund en conserve la partie constante [… ]. (Poincaré 1901) En effet il m’avait échappé que par des approximations successives le second terme du membre droit dans

d2ν1dt2=asin(at+ε)+a(ν1+ν2)cos(at+ε)-aν1ν2sin(at+ε)

donne naissance à un terme

+aν1ν2sin(at+ε),

ce qui réduit ν02 à zéro (au moins aux quantités d’ordre supérieur).

Cette erreur élémentaire appartient exclusivement à moi.

Dans Votre Note Vous considérez l’équation

d2εdt2=aεcos(nt+ν0)+bsinpt.

Gyldén considère au début des approximations l’équation33Gyldén 1891; 1893a. Poincaré reprend en le simplifiant l’exemple de Backlund (1900, 397) et se propose de traiter en suivant les méthodes de Stockwell et de Backlund l’équation différentielle d2νdt2=asin(nt+ν)+bsinpt, “de telle façon que bp2 soit notoirement plus grand que an2 et que p2 soit du même ordre de grandeur que a2n2.” En posant ν=ν0+εν0 vérifie d2ν0dt2=asin(nt+ν0), (1) ε vérifie au premier ordre l’équation différentielle d2εdt2=aεcos(nt+ν0)+bsinpt. (2) En négligeant comme Stockwell les termes à courte période, on trouve d2εdt2=bsinpt  ε=-bp2sinpt. Backlund introduit une approximation de ν0=-an2sinnt et tient compte des termes à courte période ; il obtient comme équation d2εdt2=ε(acosnt+a2n2sin2nt)+bsinpt. En première approximation, on obtient alors : ε=-bsinpta22n2+p2. Poincaré poursuit son raisonnement en résolvant directement les équations (1) et (2) en utilisant des techniques de fonctions elliptiques et obtient pour ε une approximation au premier ordre de la forme ε=-eiptα2+p2. Comparons maintenant cette formule avec celles de Stockwell et de Backlund. Nous voyons que, pour obtenir celle de Stockwell, il faut faire α=0, et pour obtenir celle de Backlund, α=an2. (Poincaré 1901, 54) Un argument analytique montre que nécessairement α est nul et donc que “c’est Stockwell qui a raison”. Poincaré conclut en faisant la responsabilité de l’erreur sur la méthode proposée par Gyldén : La critique qui précède ne saurait, en aucune façon, s’adresser à notre savant correspondant, puisqu’il n’a fait qu’appliquer une méthode classique que tout le monde croyait correcte.
Mais c’est là une raison de plus pour que j’aie cru devoir mettre en évidence le vice fondamental de la méthode de Gyldén, dont on pourrait être tenté de faire d’autres applications. (Poincaré 1901, 54–55)
Backlund répond en expliquant qu’il n’a pas bien utilisé la méthode de Gyldén en négligeant les termes d’ordre supérieur. Dans sa défense plus générale de la méthode horistique de Gyldén, Backlund (1904) reprend le même argument pour montrer que l’objection de Poincaré n’est pas valable : Il faut regretter que M. Poincaré, dans sa critique de la méthode de Gyldén, ne tienne compte que des termes du premier ordre. Gyldén lui-même a démontré que dans ce cas il n’existe pas de coefficient horistique et que c’est seulement en considérant au début des approximations les termes du troisième ordre qu’on peut établir une équation horistique pour la détermination de la longitude. La critique de M. Poincaré […] ne se rapporte pas alors à la théorie de Gyldén, mais seulement au coefficent erroné, déterminé par moi. (Backlund 1904, 292) Dans ses observations à propos de l’article de Backlund sur la méthode horistique, Poincaré (1904) répond en maintenant ses objections et en annonçant son article (Poincaré 1905) : En ce qui concerne l’application de la méthode horistique à la longitude, j’ai reconnu qu’il n’y avait pas de coefficient horistique, même quand on tient compte des termes du troisième ordre. C’est ce que j’exposerai dans un Mémoire plus étendu. L’erreur, dont M. Backlund veut généreusement s’attribuer toute la responsabilité, ne lui appartient donc pas. Il s’est conformé aux principes généraux de la méthode et s’est servi du mode de raisonnement préconisé par Gyldén, et dont ce savant avait fait d’autres applications. Ce mode de raisonnemment consiste à remplacer certains coefficients périodiques par leur valeur moyenne : c’est ce qu’a fait M. Backlund, c’est ce qu’avait fait Gyldén ; si l’astronome russe s’est trompé, ce n’est pas qu’il en a mal appliqué les règles, c’est que ces règles ne valaient rien. (Poincaré 1904, 294–295)

d2εdt2=aεcos(nt+ν0)-12aε2sin(nt+ν0)-16aε3cos(nt+ν0)+bsinpt,

et parvient à déterminer ν02 dans

-bν02+p2sinpt.

La valeur de ν0244Dans la note aux Comptes rendus, il y a une faute de frappe: ρ02. ainsi déterminée est évidemment beaucoup plus petite que a22n2.

Gyldén dit expressément qu’il est même inutile, pour la détermination de ν02,55La phrase “pour la détermination de ν02” paraît en marge. Dans la publication on trouve la même faute de frappe que précédemment. de partir de l’équation où l’on a négligé la deuxième et la troisième puissance de ε. C’est justement ce que Vous avez démontré.66Une des ambitions de Gyldén dans ses Nouvelles recherches sur les séries employées dans les théories des planètes est de montrer que la résolution des équations différentielles du second ordre nécessite de prendre en compte les termes d’ordre supérieur ou égal à deux. Après avoir expliqué que l’on linéarise l’équation en ne tenant pas compte des termes perturbatifs d’ordre supérieur ou égal à deux, il poursuit : Cette équation n’étant pas linéaire au début, le devient toutes les fois qu’on néglige les termes dépendant de la troisième puissance de la force perturbatrice, ainsi que les termes d’un ordre plus élevé. Mais il paraît indispensable d’éviter cette forme dès le commencement du calcul, car bien que l’on n’ait pas démontré directement l’impossibilité de parvenir à la solution absolue en négligeant les termes du troisième ordre dans la première approximation, des tentatives stériles et réitérées, même dans les derniers temps, ont rendu cependant extrêmement probable que la solution absolue ne s’obtiendra pas en utilisant exclusivement des équations linéaires. (Gyldén 1891, 65–66)

Je serais très redevable si Vous vouliez insérer ces lignes dans les Comptes Rendus. Je le dois à la mémoire de Gyldén.77Gyldén est mort le 9 novembre 1896 à Stockholm.

Votre très reconnaissant

O. Backlund

ALS 3p. Pochette de séance, 11.02.1901, Archives de l’Académie des sciences de Paris. Publiée dans O. Backlund (1901).

Time-stamp: "30.12.2016 20:39"

Références