2-17-19. H. Poincaré to Victor Crémieu

[Ca. 03–04.1904]

Cher Monsieur,

J’ai commencé l’étude de votre balance quadrifilaire, et voici les réflexions qu’elle m’inspire et qui me paraissent pouvoir servir de base à la théorie que vous désirez.11Poincaré communique son étude (Poincaré 1904) de la balance à l’Académie des sciences le 11 avril, en même temps qu’une note descriptive de Crémieu (1904a). A ce propos, voir aussi Crémieu (1904b, 1905).

Si vous le voulez bien, nous examinerons d’abord un cas un peu différent de celui que vous avez en vue, mais qui nous y mènera facilement. Je suppose que le fléau, au lieu d’osciller sur un couteau porté par le flotteur, ne fait qu’un avec le flotteur qui s’incline avec lui. Je viendrai plus tard au cas du couteau et à celui où le fléau oscille non sur un couteau, mais sur le sommet d’un cône porté par le flotteur.

Il faut d’abord que j’introduise deux notions fondamentales.

1° La première est celle des droites D et Δ. J’appelle ainsi les deux droites qui rencontrent les 4 fils. Les 4 fils sont à peu près verticaux mais ils ne le sont pas tout à fait, puisqu’on leur a donné une torsion préalable. Dans ces conditions, il y a 2 droites et 2 seulement qui rencontrent les prolongements des 4 fils. Tout mouvement infiniment petit du fléau peut se ramener à une rotation autour de D accompagnée d’une rotation autour de Δ. Si j’envisage un point quelconque du fléau, ce point peut décrire une infinité de trajectoires, toutes normales à une droite qui rencontre D et Δ.

Dans la position d’équilibre initial, le système admet un plan de symétrie et les 4 fils sont symétriques 2 à 2. La droite D est perpend. au plan de symétrie ; la droite Δ est dans le plan de symétrie.

2° La 2de notion est celle du centre de gravité effectif. Nous avons les poids suivants

1° le poids du fléau ; 2° la poussée du mercure ; 3° le poids du flotteur lui-même, y compris le lest qu’il faut lui mettre pour qu’il ne culbute pas (en quoi sera ce lest ?); 4° les poids des plateaux avec ce qu’ils portent. Toutes ces forces sont verticales ; elles ont des valeurs parfaitement déterminées, parce que je suppose que le flotteur sort de la surface du mercure par une tige très mince T comme ceci de sorte qu’il peut s’enfoncer un peu sans que la poussée varie notablement.

Les 3 premières forces ont des points d’application parfaitement déterminés dans le corps solide fléau + flotteur ; il en est de même de la 4e il faut supposer les poids des plateaux appliqués à leur point de suspension sur le fléau.

Toutes ces forces auront donc une résultante unique verticale, appliquée en un point G parfaitement déterminé dans le solide fléau et que j’appelle le centre de gravité effectif. Dans la position d’équilibre la verticale du centre de gravité G doit rencontrer les droites D et Δ.

3° Introduisons maintenant la notion de la surface S ; c’est le lieu du point G ; au point G0, (position initiale d’équilibre du point G) le plan tangent à la surface S est horizontale. Cette surface S est symétrique par rapport au plan de symétrie. Considérons deux sections normales de la surface, l’une sera le plan de symétrie, l’autre sera perpend.; la 1re aura pour centre de courbure C2, la 2de aura pour centre de courbure C1. Je représente en G0 la normale à la surface S ; cette normale est verticale ; elle rencontre la droite Δ en A ; elle rencontre en D la droite D qui se projette en un point unique parce q. je prends le plan de symét. pour plan du tableau, elle passe par les deux centres de courbure C1 et C2.


Quelles sont alors les conditions d’équilibre quand on ajoute un poids additionnel dP ; ce poids dP est bien entendu supposé appliqué au point de suspension du plateau. Soit 1 et 2 les moments du poids dP par rapport aux droites Δ et D.

Le système va tourner d’un angle dω1 autour de Δ et d’un angle dω2 autour de D. Nous aurons pour l’équilibre :

1=pG0A¯2G0C1sin2φdω1 p représente la résultante des 4 forces verticales dont il a été question plus haut, c’est-à-dire la portion du poids supportée par le quadrifilaire.
2=pG0D¯2G0C2dω2.

Comment ces résultats sont-ils modifiés :

1° Si le fléau au lieu d’être solidaire du flotteur pivote sur une pointe conique portée par le flotteur. Dans ce cas le fléau supporte une force verticale, égale à la poussée du mercure moins le poids du flotteur ; cette force est appliquée à la pointe conique. On calculera donc la position du centre de gravité effectif G comme si la 2de et la 3e des 4 forces dont il a été question plus haut, étaient appliquées, non pas l’une au centre de poussée, l’autre au centre de gravité du flotteur, mais toutes deux à la pointe conique. Par là le point G se trouve relevé ainsi que les centres C1 et C2.

2° Si le fléau repose sur l’arête d’un couteau cela est plus compliqué. Soit B le milieu de l’arête ; soit Π la poussée moins le poids du flotteur, H le point d’application de la résultante Π de la poussée et du poids du flotteur. Soit P le poids du fléau et des plateaux, de telle façon que P-Π soit le poids supporté par les 4 fils. Soit K le point d’application de P.

Dans le 1er cas (fléau solidaire du flotteur) le point G s’obtient en composant la force P appliquée en K et la force -Π appliquée en H ; dans le 2d cas (fléau pivotant sur une pointe) en composant P appliqué en K et -Π appliqué en B.

Qu’arrive-t-il dans le 3e cas ?

Le fléau s’incline ; la droite KB cesse d’être verticale ; et la droite BH dans le 1er cas (fléau solidaire) elle reste dans le prolongement de KB ; dans le 2d cas elle reste verticale, et dans le 3e cas, elle se déplace de telle façon qu’elle reste perpendiculaire à l’arête du couteau et que le plan de la droite BH et de l’arête du couteau soit vertical. Si le déplacement est tel que l’arête du couteau reste horizontale, la droite BH restera verticale (comme dans le 2d cas). Si le déplacement est tel que l’arête du couteau et KB restent dans un même plan vertical la droite BH restera dans le prolongement de KB (comme dans le 1er cas).

Considérons une rotation autour de la droite D ; le plan de symétrie restera un plan de symétrie. L’arête du couteau et la droite KB resteront dans ce plan de symétrie, qui restera vertical. Donc la droite BH restera dans le prol. de KB ; il faut donc dans l’application de la formule :

M2=pG0D¯2G0C2dω2

calculer les positions de G0 et de C2 comme dans le 1er cas, c’est-à-dire en appliquant la poussée -Pi en H.

Considérons au contraire une rotation autour de la droite Δ ; l’arête restera horizontale sensiblement. Donc la droite BH restera verticale ; il faut donc dans l’application de la formule :

M1=pG0A¯2G0C1sin2φdω1

calculer les positions de G0 et de C1 comme dans le 2d cas, c’est-à-dire en appliquant la poussée -Π en B.

Ainsi nos formules restent applicables au 3e cas, mais à la condition de définir autrement le centre de gravité selon qu’on applique la formule de dω1 ou celle de dω2.

La formule qui donne dω2 (rotation autour de D) ne vous intéresse pas au point de vue de la sensibilité ; mais vous devez vous en préoccuper au point de vue de la stabilité. Il faut que le point G0 (défini comme dans le 1er cas, -Π appliqué en H) soit au dessous de C2. Vous êtes vous suffisamment préoccupé de cette stabilité ; à ce point de vue la disposition du 2d cas (pivot conique) serait préférable.

La formule qui donne dω1 (rotation autour de Δ) est celle qui donne la sensibilité.22Variante : “donne la stabilité”. Évaluons d’abord M1. Soit la longueur du fléau ; ce sera notre bras de levier (si Δ passe très près de l’origine, ce qui arrivera d’ordinaire) ce sera en tout cas un minimum de notre bras de levier. Seulement la composante efficace ne sera pas dp, mais seulement dpsinφ ;

donc M1=dpsinφ
d’où : dp=pG0A¯2G0C1sinφdω1.

C’est surtout sur la petitesse de sinφ que vous comptez pour avoir une extrême sensibilité.

Le problème est ainsi ramené à la construction de la droite Δ et du centre de courbure C1. Le 1er fil prolongé vient couper le plan de symétrie en un point M; le fil symétrique passe également en M.

Le 2d fil prolongé vient couper le plan de symétrie en un point N ; le fil symétrique passe également en N.

C’est la droite MN qui est la droite Δ.

Vous voyez que vous pouvez disposer le quadrifilaire pour avoir une droite Δ à peu près quelconque ; il suffit de disposer convenablement des longueurs des côtés des deux quadrilatères formés par les 4 points d’attache supérieurs et par les 4 points d’attache inférieurs des 4 fils.

Au sujet du point G0 ; je remarque qu’on l’obtient en composant deux forces appliquées en K et en B. Les deux points K et B sont très voisins l’un de l’autre ; mais comme les deux forces sont presque égales et de signe contraire, il ne s’ensuit pas que G0 soit très voisin de B. Mais dans la pratique on aura intérêt à l’en rapprocher ; seulement cela exige un réglage.

Construction du point C1

Je considérerai maintenant une seule espèce de mouvement du fléau, c’est celui où la rotation se fait constamment autour de la droite Δ.

La droite Δ décrira dans l’espace une certaine surface réglée R ; pour un observateur invariablement lié au fléau, elle paraîtrait décrire une surface réglée R ; vous savez que le mouvement du fléau est le même que si la surface R invariablement liée au fléau, roulait sur la surface R. Dans la position initiale, la droite Δ est dans le plan de symétrie, et par symétrie le plan tg commun à R et à R doit être perpend. au plan de symétrie ; il est donc le même tout le long le la génératrice. D’où cette conséquence que les éléments des surfaces R et R que nous avons à considérer sont des éléments de surface développable.


inutile à lire en 1re lecture33Le manuscrit comporte un cadre d’encre rouge autour du texte de ce point jusqu’au mot souligné : “inutile”.

 

Pour aller plus loin, commençons par définir la vitesse du point M.

Dans sa position initiale la droite Δ rencontre en M les deux 1ers fils symétriques. Soit Δ une position infiniment voisine de la droite Δ, cette droite Δ rencontrera en M le prolong. de la nouvelle position du 1er fil, et en M′′ celle du 2d fil.

Je représente en α et β les points d’attache inférieurs des deux fils ; en α et β les points d’attache supérieurs qui sont fixes.

Si je connaissais la vitesse du point α en grandeur et direction, je connaîtrais MM ; car MM doit être vu du point fixe α sous le même angle que le chemin parcouru par le point α dans le temps dt.

La vitesse de α est perp. au plan de α et de la droite Δ=MN. Le plan de α et de cette vitesse passe donc par la droite ααM et est perp. au plan de cette droite et de Δ. Or MM est dans ce plan, et en outre dans un plan passant par Δ et perp. au plan de symétrie (plan tg à R). Cela détermine sa direction.

Considérons donc le trièdre formé par les deux fils et la droite Δ ; ce trièdre a un plan de symétrie qui est son plan bissecteur intérieur. Le plan tg à R est le plan bissecteur extérieur du dièdre Δ. C’est l’intersection de ce plan bissecteur etc.

Je représente le trièdre par un triangle sphérique :

je mène par M les droites Δ, Mα, Mβ, MM et MM′′ qui viennent percer la sphère de centre M aux points Δ, α, β, M et M′′. Le triangle sphér. Δαβ est isocèle, le grand cercle MΔM′′ est la bissectrice extérieure de l’angle Δ. Les angles MαΔ, M′′βΔ sont droits.

Quant à la grandeur de la vitesse du point M pour aller de M en M elle inutile

 

Pour construire le point C1, cela revient à construire la composante verticale de l’accélér. du point G0, laquelle est en raison inverse du rayon de courbure G0C1.

Les accélérations peuvent se calculer comme si le système était mobile autour d’un point fixe, parce que l’élément de la surface R est un élément de surface développable et par conséquent un élément de cône. Le point fixe se trouve sur la droite Δ, mais je ne sais pas où.

L’accélération sera donc la résultante de deux autres : 1° de l’accél. centripète, due à la rotation autour de Δ, qui se calcule d’après la formule ordinaire de la force centrifuge. 2° de l’accél. due à l’accélér. angulaire et qui se calcule comme il suit. Soit une droite Θ qui représente en grandeur et direction l’accél. angulaire (et qui coupe Δ au point fixe). L’accél. (due à Θ) d’un point Q quelconque sera représentée par le même vecteur que la vitesse qu’aurait ce même point Q dans une rotation représentée par cette même droite Θ.

Cette droite Θ est dans le plan tg à R, plan perp. au plan de sym. Je puis supposer qu’elle est elle-même perp. au plan de sym. Cela revient à supposer que la vitesse angulaire autour des droites Δ successives est constante.

J’appellerai J la 1re partie de l’acc. (centripète), J la 2de (due à Θ).

J’ai besoin d’envisager la composante de l’accél. du point d’attache inférieur de chaque fil, dans la direction du fil, et la composante verticale de l’accél. de G0.

Soit α et α les deux points d’attache du fil, MN la droite Δ, αP la perp. abaissée de α sur MN, v la vitesse de α. On aura pour les comp. de l’acc. de α suivant le fil αα :

J+J=v2αα;
J=v2αpcosψ=v2αM

Or le fil étant sensiblement vertical, αM est très grand par rapport à αα, J très petit par rapport à J+J de sorte qu’on a sensiblement

J=v2αα.

Pour le point G0 cherchons44Variante : “Pour le point G0 on a J = 0;”. J (composante verticale) ; car le point G0 étant dans le plan de symétrie ; le plan G0Δ est vertical et on a si ω est la vitesse angulaire autour de Δ ; vitesse de G0=ωG0P.

G0P =G0Asinφ;
J =ω2G0Psinφt;
J+J =ω2G0P2G0C1;

si donc on avait J=0 on aurait55Variante: “J+J=ω2G0A2sin2φG0C1.”

G0C1=G0Psinφ=G0A.

Il faut maintenant calculer J. Je représente en αβγδ le trapèze formé par les quatre points d’attache des fils. Je suppose le point G0 dans le plan de ce trapèze et je place en E le point d’intersection de ce plan avec Δ ; on a G0E=G0Atgφ.

Soit λ la longueur des fils αα. Les composantes verticales de J sont sensiblement pour les points α, β et pour tous les points de la droite αβ, en particulier pour le point a

ω2αE2λ  λ=αα longueur du fil

pour les points γ, δ et pour tous les points de la droite γδ, en particulier pour le point b

ω2γE2λ

Pour les autres points du plan on n’a qu’à interpoler linéairement, puisque la droite Θ est horizontale.

Supposons en particulier que le trapèze αβγδ diffère peu d’un rectangle et que le point E soit très voisin du centre de ce rectangle, G0 très voisin de E. Alors

αE=γE  J=ω2αE2λ

pour les points G0, α, β, γ, δ.

J+J=ω2G0A2sin2φG0C1=ω2G0Psinφ+ω2αE2λ
d’où : G0A2sin2φG0C1=G0Psinφ+αE2λ

et pour l’équation de stabilité : 1=pG0A2G0C1sin2φdω1

elle devient :    dpsinφ=(G0Psinφ+αE2λ)pdω1

Selon qu’on place G0 d’un côté ou de l’autre de la droite Δ, les deux termes

G0Psinφ  αE2λ

sont de même signe ou de signe contraire ; on peut régler de façon à rendre le coëff. de sensibilité

G0Psinφ+αE2λ

très petit.

Quelques remarques sur le calcul de J :

1° Nous avons supposé G0 dans le plan αβγδ cela n’est pas nécessaire ; l’axe Θ étant horizontal la composante verticale de J sera la même pour tous les points d’une même verticale.

2° Nous avons fait le calcul comme si les fils étaient verticaux, cela n’est qu’à peu près vrai.

Je projette sur le plan de sym. Un des fils (et le fil symét.) se projette en Da l’autre en Db.

La composante de J suivant le fil est

ω2αE2αα;

la composante suivant Da sera

ω2αE¯2ααcosθ,

θ étant l’angle du fil αα avec sa projection Da, angle négligeable d’ailleurs. En tous les points de la droite Da, la composante de J suivant Da sera la même soit

ω2(αE)2ααcosθ

Je projette sur le plan de sym. Un des fils (et le fil symét.) se projette en Da l’autre en Db.

La composante de J suivant le fil est

ω2αE2αα;

la composante suivant Da sera

ω2αE¯2ααcosθ,

θ étant l’angle du fil αα avec sa projection Da, angle négligeable d’ailleurs. En tous les points de la droite Da, la composante de J suivant Da sera la même soit

ω2(αE)2ααcosθ

De même en tous les points de Db elle sera la même soit θ angle du fil γγ avec sa projection Db.

ω2(γE)2γγcosθ.

Le point D est l’intersection des deux projections Da et Db, c’est la trace de la droite D que nous avons définie plus haut et qui est perpend. au plan de sym. Les points D et G0 sont sur une même verticale et la projection verticale de J sur tous les points de cette verticale est la même, elle est donc la même pour G0 et pour D.

Nous avons donc l’accélération J du point D dont nous connaissons les projections sur Da et sur Db et dont nous devons chercher la projection verticale.

Cela est facile d’autant plus que les droites Db, DG0 se coupent sous un angle très aigu. De plus on peut prendre66Nous complétons la formule, qui est illisible après γγ.

ααcosθ=γγcosθ.

Si αE=γE, les 3 projections peuvent être regardées comme égales ; et l’on a comme nous l’avons montré plus haut

J=ω2αE¯2λ.

Nous retombons sur notre formule de tout à l’heure.

Ou bien ; Soit DK1=ω2αE2λ, DK3=ω2γE2λ, DK2= compos. verticale cherchée de J ; les 4 points DK1K2K3 sont sur un même cercle. Si αE=γE, les longueurs DK1, DK2, DK3 sont sensiblement égales.

Si αE n’est pas égal à γE c’est-à-dire si le point E n’est pas près du centre du trapèze αβγδ, il n’en est plus ainsi.

Les arcs de cercle DK1 sont très petits (par rapport au rayon du cercle). Ils peuvent être assimilés à leurs cordes. C’est-à-dire que les 3 composantes DK1, DK2, DK3 sont e[ntre] elles comme les 3 angles K1DT, K2DT, K3DT. Soit alors ε1 et ε2 de[s angles des droites]77Les crochets enferment des rajouts de main inconnue. Da et de Db avec la verticale ; on aura :

DK1-DK2ε1=DK2-DK3ε2

ou composante verticale de

J=ω2λ(αE¯2ε1+γE¯2ε2ε1+ε2)

et pour la formule finale de sensibilité :

dpsinφ=(G0Psinφ+αE¯2ε1+γE¯2ε2λε1+λε2)pdω1.

Vous remarquerez combien la modification des points d’attache des 4 fils en faisant varier la position de droites D et Δ influent sur la sensibilité.

bas de levier du fléau.
dp poids à mesurer.
p poids supporté par le quadrifilaire.
dω1 angle de rotation de la balance de torsion.
G0P distance du centre de gravité effectif à la droite Δ.
ϕ angle de la droite Δ avec la verticale.
αE distance à la droite Δ du point d’attache inférieur de l’un des 2 fils de 1re paire. Par paire de fils, j’entends 2 fils sym. par rapport au plan de sym.
γE même distance pour la 2de paire.
ε1 angle du plan des 2 fils de 1re paire avec la verticale.
ε2 même angle pour la 2de paire.
λ longueur des fils.

Tout à vous,

Poincaré

ALS 20p. Archives de l’Académie des sciences de Paris.

Time-stamp: "31.07.2014 23:33"

Références

  • V. Crémieu (1904a) Balance azimutale quadrifilaire. Comptes rendus hebdomadaires de l’Académie des sciences de Paris 138, pp. 893–895. External Links: Link Cited by: 2-17-19. H. Poincaré to Victor Crémieu.
  • V. Crémieu (1904b) Sensibilité de la balance azimutale. Comptes rendus hebdomadaires de l’Académie des sciences de Paris 138, pp. 1090–1093. External Links: Link Cited by: 2-17-19. H. Poincaré to Victor Crémieu.
  • V. Crémieu (1905) Recherches expérimentales sur la gravitation. Bulletin des séances de la Société française de physique, pp. 485–499. Cited by: 2-17-19. H. Poincaré to Victor Crémieu.
  • H. Poincaré (1904) Théorie de la balance azimutale quadrifilaire. Comptes rendus hebdomadaires de l’Académie des sciences de Paris 138, pp. 869–874. External Links: Link Cited by: 2-17-19. H. Poincaré to Victor Crémieu.