Henri Poincaré: calculs

V=S0RMNintér  V=R0SMNextér.
V1=S10R1M1N1;VdV1dn𝑑ω=0;RMNR1M1N1dρdn𝑑ω=0
dρdn=1α=OPρ=μ2-ν2AQ;OP=μ2-ν2ρAQ=(ρ2-a2)(ρ2-b2)(ρ2-c2)(ρ2-μ2)(ρ2-ν2)
=1(ρ2-μ2)(ρ2-ν2)=OP(ρ2-a2)(ρ2-b2)(ρ2-c2);dρdn=iA
MNM1N1𝑑ω=0;F=KiMiNi;MjNjF𝑑ω
=KiMiNiMjNj𝑑ω=KjMj2Nj2𝑑ω

Problème de Dirichlet.11endnote: 1 Ces calculs sont datés par leur support : une lettre de G. Cres à Poincaré, 25.01.1912.

F=KMN;int.V=KRMNR0;ext.V=KSMNS0

Simple couche.

ζ=CMN;int.V=KRMNR0;ext.V=KSMNS0
dVdn=iAKRMNRint.  ext.iAKSMNS
iAK(RR-SS)=4πC
A(RS-SR)=-i(2n+1);+K(2n+1)RS=4πC
K=+4πCRS2n+1;V=+4πCS0RMN2n+1

Couche ellipsoïdale;

rapportε;ζ=PP1=εOP=
ε(ρ2-a2)(ρ2-b2)(ρ2-c2)=43πεT;Tvol. ellips.
V=(4π)23εTSouR=1.

Ellipsoïde plein.

εdVdx
MM1=ε
MP=ζ  anglePMM1=θ.
ζ=εcosθ.
M(ρ,μ,ν,)Qρ+dρ,μ,ν
x,y,z  x+dxetc.R=ρ2-a2
cosθ=dxdρdρdn=xρρ2-a2dρdn;RMN=x(a2-b2)(a2-c2)
cosθ=xρρ2-a2dρdn=iAxρρ2-a2=x(ρ2-b2)(ρ2-c2)
ζ=εRMN(ρ2-b2)(ρ2-c2)(a2-b2)(a2-c2)=εT(43π)MN(a2-b2)(a2-c2)
dVdx=(ρ2-b2)(ρ2-c2)43πRMNS0(a2-b2)(a2-c2)
u=0,S:u=Q;M-Q=ϖ;S:ϖ=0,ϖ=-Q=f
[(dϖdx)2+2ϖf]𝑑τ=J;[dϖdxdδϖdx+fδϖ]𝑑τ=0
δϖdϖdn𝑑ω-δϖ(ϖ-f)𝑑τ=0;ϖ=Aiψi

ψ continue sur R et sur son bord ainsi que ses dérivées principales. m,n,p=0,1,2
2° Sur le bord ψ=0; ζ
ζ représ. par séries, toutes les fois que ζ continue ainsi que ses dérivées princip.
ζm=0 entraîne A1=A2==Am=0 si ζm=Aiψi

On fera ψi=Fsincosmxsincosnysincospz; F=0.

(ϖmζm-fζm)𝑑τ=0;[dϖmdxdζmdx+fζm]𝑑τ=0
ϖmdζmdn𝑑ω-(ϖmζm-fζm)𝑑τ=0
Jp =[(dϖpdx)2+2fϖp]𝑑τ  (1)  pq
Jq =[(dϖqdx)2+2fϖq]𝑑τ  (-1)
Q =[dϖqdxd(ϖq-ϖpdx+f(ϖq-ϖp)]𝑑τ  (2)
Jp-Jq=[d(ϖq-ϖpdx]2dτ

AD 3p. Collection particulière, Paris 75017.

Time-stamp: " 5.05.2019 01:04"

Notes

  • 1 Ces calculs sont datés par leur support : une lettre de G. Cres à Poincaré, 25.01.1912.