3-15-19. H. Poincaré to George Howard Darwin

[Entre fin Juillet et début Août 1901]11Le MS porte un fragment de calcul d’une main inconnue: AUξ+ω22Jξ=0 / +(?)ωξ=(ω022=)=0

Mon cher collègue,

J’entre en matière sans plus de préambule.

Je définirai une surface quelconque S par rapport à un ellipsoïde de référence E de la façon suivante.

Soit dω un élément de la surface de l’ellipsoïde E; je mène les trois droites orthogonales des ellipsoïdes homofocaux jusqu’à la rencontre de la surface S; je détache ainsi un petit volume dv; soit:

dv=l.N.dω

je développe ensuite N en série harmonique. De cette façon si dans le développement de N il n’y a pas de terme d’ordre 0, le volume de S est égal à celui de E.

Soit E0 l’ellipsoïde initial, ellipsoïde de Jacobi qui fait la bifurcation avec la série des poires. Je pourrai toujours choisir un ellipsoïde de référence E de même volume que E0 et de telle façon qu’en rapportant S à E, le développement de N ne contienne pas d’harmoniques d’ordre 0, 1 ou 2.

Soient ξ, ξ, ξ′′, etc. les coëff. du développement de N, ξ étant en particulier le coëff. de la 3d zonal. Soient η et ζ deux variables définissant la forme de E et s’annulant quand E se réduit à E0. La forme de la surface S sera alors définie par les variables η, ζ, ξ, ξ, ξ′′, ….

Soit U l’énergie de gravitation, J le moment d’inertie, ω la vitesse angulaire, ω0 la valeur de ω qui correspond à E0; posons:

U+ω022J=W  ω2=ω02+2ε.

Les équations d’équilibre s’écriront:

dWdξ+εdJdξ=dWdη+εdJdη==0.

Il faut donc développer W et J suivant les puissances de η, ζ, ξ, ξ, …. J’appellerai W0 et J0 les termes constants du développement, que je pourrais d’ailleurs laisser de côté.

Dans W pas de terme du 1er degré. Les termes du 2d degré se réduisent à des carrés:

aξ2,bη2,cζ2,aξ2,

a est nul (coëff. de stabilité nul).

Par symétrie il n’y a pas de terme en ξ3; mais il y a un terme en ξ4 que j’écrirai a1ξ4, il y a aussi des termes en ξ2η, ξ2ζ; je puis donc écrire:

W=W0+bη2+cζ2+aξ2+a1ξ4+hξ2η+kξ2ζ+R,

R étant un ensemble de termes qui comme nous le verrons ne joueront aucun rôle.

Passons à J. Les seuls termes du 1er degré sont βη et γζ; le terme en ξ2 est important aussi, il n’y a pas de terme en ξη, ξζ; je puis donc écrire:

J=J0+βη+γζ+αξ2+P,

P étant un ensemble de termes qui ne joueront aucun rôle.

Les équations deviennent alors:

4a1ξ3+2hξη+2kξζ+dRdξ+ε(2αξ+dPdξ)=0

Comme dPdξ est au moins du 2d ordre, dRdξ du 3e ordre, cette éq. nous apprend que ε est du 2d ordre. Il en résulte que η est du même ordre que εdJdη, c’est-à-dire du 2d ordre, ξ du 2d ordre etc.

P contenant en facteur soit ξ3, soit ξ2η, soit ξη2, soit ξ2, soit ξη, soit ξξ, est du 3e ordre et dPdξ du 2d ordre.

R contient ξ2ξ, ξξ2, ξ3, ηξ2, η2ξ, etc. dRdξ est donc du 4e ordre, et l’éq. qui donne ε peut se réduire à:

αε+2a1ξ2+hη+kζ=0 (1)

L’éq.

dWdη+εdJdη=0

donne de même:

2bη+hξ2+dRdη+ε(β+dPdη)=0

qui se réduit à:

2bη+hξ2+βε=0 (2)

De même

2cζ+kξ2+γε=0 (3)

Non je me trompe; je puis négliger dans dRdξ les termes du 4e ordre (en comptant ξ du 1er ordre, ξ, η, ζ du 2d ordre) et par conséquent dans R les termes du 5e ordre. Mais nous avons encore dans R des termes en ξ2ξ qui sont du 4e ordre et dont il faut tenir compte.

J’écrirai donc:

R=hξ2ξ+R

R étant du 5e ordre.

Dans dPdξ je puis négliger les termes du 2d ordre, par conséquent dans P ceux du 3e. Or P est du 3e ordre.

L’éq. (1) ainsi corrigée devient:

αε+2a1ξ2+hη+kζ+hξ=0 (1bis)

Aux éq. (2) et (3) rien à changer car dRdη est du 3e ordre, dRdη=dRdη.

Mais il faut ajouter l’éq.

dWdξ+εdJdξ=0

qui donne

2aξ+hξ2=0 (4)

L’éq. (1bis) devient alors:

αε+2a1ξ2+hη+kζ-ξ2h22a=0 (1ter)

Nous tirerons ε, η et ζ en fonction de ξ2 du système (1ter), (2), (3).

On trouve ensuite:

2ηξ<2<ξγζ+αξ2+P,2 2<"false"Jéveloppement, que je pourlass="ltx_eqr_padright">

qui donne

On trouve ensuite:d="Sx1.p12.m1" class="ltx_Math" alttexLe calcul{2}" display="inlinevarepsilon=0{}" display="block">_pterth id="Sx1.p20.m4" classtext="\eta" display="inline">βpt>ζ en fonction dbth id="Sx1.p20.m4" clasbtext="\eta" display="inline">ξ2ζ du 2 les termes du 5 dn fonth id="Sx1.p20.m4" class"ltx_Math" aldlttext ext=i dorlttext="rèsext=ndss="ltx_p">L’éq. (1) ain2iennent alors:

les termes constants du d2="\zeta" dplay="inline">2="inline">dk">R22a=0

L’éq. (1) ain2m1" class="ltx_Math" alttext="P" dish" alttext="\omega Calcul{2}" display="inlinea^{2},a^{\prime}\xi^{\prime 2},\l2a% th> les termes constants du d2="\zet="ltx_p">L’éq. (1) ain2m1" class="ltx_Math" alttext="R" displJe cô

zes. 1° ss=ipsoïde, 2°="Sxsimpoientuche, 2+\varepsilon\frac{dJ}{d\xi^{\primmu=s laii>ξξξL’éq. (1) ain2je puis négliger dans ul{primI\prime}\xi^{2}n_tmn>

L’/liansli{primI\.ix2prime}\xi^{2}n_tm
L’/liansli{primI\.ix3prime}\xi^{2}n_tm
L’/liansli{primI\.ix4prime}\xi^{2}n_tm
L’/lians/ul.Ex18" class="ltx_ePourSoiem3" class="ltx_Math" alttext="\es duxi\xi^{\prime}" displa2i>ξ du 1ξ les termes constants du dVveloppement, que je pour\zetast="\omega(splay="inline">ξ2 les termes du 5ξξ ξ<𝑑ξξ
int(V-Vξ2<ξ< dVvelopp/mo>nts du dVveloppement, que je pour2

qui donne

ξξ ξ<2<ξntpiv id=η2 ξ<2<ξη<" so>ntpiv id=η2 Hξ.

ξ.

ξ.

.

tttx_eqr_padright">
ε, J0<ξξ.

ξ.

.

2<ξntpiv id=η2

qui donne

ξ les termes constants du dρξt dont il fquatespond à=not1.p1s=ips.="ltx_p">L’éq. (1) ain2

βρ ξH"ltx_eqn_cell ltx_
.

tttx_eqr_padright">< " dje côté. osansps 2}" display="inline7"inline">dkig.

ttt">
cξ22<ξ< dVvelopp/mo>nts du dVveloppement, que je pour2 +.

tttx_eqm
+η

qui donne

ζ en fonction dekig.

ttt">
<𝑑ξ ξ<𝑑ξ.

tttx_eq+.

<; où" display="inline7"iay="inline">ηkig.

ttt"> des termes en .

ttt">ξξξK les termes constants du dK<\xi^silon=0{}" display="block"> les termes constants du dK\eta" display="inline"><\xi^nline">d les termes constants du dK\eta" display="inline"><\xi^>ζ en fonction dK2a="142%" stretchy="false">s du dK\eta" ré es L’éq. (1) ain2.p18.m1" class="ltx_Math" alttext="\frLe calcul{2d="Sx1.p19" class="ltx_para"> L’éq. (1) ain2i corrigée devient:

L’éq. (1) ain3er l’éq.

r_p"ltx_xt=t_itttecuatiu cl-ntuchens 3line">ε, du système (1ter), (2),ση3linnline">d r_p"ltx_xt=t_itttecua="ltx_tiu cl ntuchens
_itxu}{dn ^kig+∑ξ<dξ<ξ.

tttx_eqr_
η<ξ<𝑑ξ.

tttx_eqr_padrighpadright">

qui donne

3lin>ζ en fonction ddddle lth id="Sx1.p20.m4" clmi>ξ.

tttx_eqr_h" alv> ξ2u}{dn i>P
dξ<ξ.

tttx_eqr_
L’éq. (1) ain3

du système (1ter), (2),ση é côté.

qui donne

dξ<>⁢ξr>.

<2<ξntpiv idbη2 ξ<2<ξntpiv idcη2 ′< oueepslepsichis}"cac{dPassaable">
AdSmi>d<ξ.

tttx_eqr_
<∑hdA>.

η
ηξ<>row>.

tttx_eqmo/td>
l>.

M>.

N>.

tttx_eqr_padrighpadright">

qui donne

dSmi>dξ2ξη<ξ<dξ<ξ.

tttx_eqr_
𝑑ξ.

tttx_eqr_padrighpadri/mrell ltx_
<∑h/m, (2),Aη<ξ<dη
ηξ<>row>.

tttx_eqmo/td>

qui donne

L’éq. (1) ain3d="Sx1.p12.m1" class="ltx_Math" altth" alttext="\omega Calcul{2}" display="inlin3varepsilon=0{}" display="block">_k">R22a=0L’éq. (1) ain3iennent alors:

étant du 5dkig.

ttt">< lrop. à="a=2" class="ltx_Math" al" class=zonal,Soies
<>

qui donne

<3\xine">ξ du système (1ter), (2), (3).

ξ< dVvelopp/mow>𝑑ξη

qui donne

33>ξ2ξηlémexiltexvolume dans 33><>ζ du 233>Vth id="Sx1.p20.m4" clasV"ltx_Math" alse cô

zes: 1° hs=ipsoïdet2°=simpoientuche 3° ntuche /mnclémexiaire.="ltx_p">L’éq. (1) ain3m1" class="ltx_Math" alttext="P" dis">Siitable">

o>′ o>_eqn_cell ltx_eqn_center_padright">

L’éq. (1) ain3m1" class="ltx_Math" alttext="R" displLi^{2xpressiltted1_splay="inline">3+\varepsilon\frac{dJ}{d\xi^{\priV étant du 5ξVmrow> étant du 5ξL’éq. (1) ain3je puis négliger dans ξVmrow> étant du 5 osansps 2}" display="inlin3nline">ξ′ les termes constamrow>nts du dρ<; jmatautx_eeqn_tble">

int_Vd\tauow>=mitxdddle l\ath [smfrac>>dmfrac>Vmrow>ξ2ξ< dVvelopp/mow>𝑑ξη<∑ξ<𝑑ξ.

tttx_eq/mrow>[<>d
ξ′<ξη< class=mn>2<"false"<ξo>′<ξt tx_eqr_η< class=mn>2o>]<0

qui donne

3nlimsup>ξ2 r_p"ltx_xt=t_itttecuar_périeegbl L’éq. (1) ain3

ε, >dmfrac>Vmrow>ξ2d
ξ′<ξη< class=mn>2<"false"<ξo>′<ξt tx_eqr_η< class=mn>2o>ell ltx_

qui donne

t a" alttexérie harmoniqulable">
J0<φ <∑hi>Bξ.

N>.

tttx_eqr_padrighpadri<0

qui donne

dint_lM_{i}"bloN_{i}"blodddle l"bOle ltxPmn>ξ< dl>.

.

i>ie" movablelimits="fabv id=ξ.

i>ie" movablelimits="fabv id=ξ<𝑑ξ.

tttx_eqr_padrighpadri/mrell ltx_nts du ass="ltx_eqn_cell ltx_Ω>.

i>ie" move je pourpadright"><.="ltx_p">L’éq. (1) ain3.p18.m1" class="ltx_Math" alttext="\frAqn_table">
_int_Vd\tauow>=my="block"><>J0ξ< dVvelopp/mow>𝑑ξη.

B>.

tttx_eqr_padrighpadrighpadri<0

qui donne

=mOle l Bi>Pmn>.

B>.

tttx_eqr_padright"><.="ltx_p">L’éq. (1) ain3i corrigée devient:

k">R22a=0<.="ltx_p">L’éq. (1) ain4er l’éq.

ε, étant du 5Pmn>ξ<dmsup>+msup>ghpadrii>ie" move je pop/mow>i>ie" move je pourpadri>ξ<>row>.

tttx_eqmo/td>
<.="ltx_
k">k">B"blocOle l}{smfrac<2a% S2a% }{3% }-smfrac<2ai S2ai>ξ2h22a=0<∑hd.

urpadri>dmsup>+msup>ghpadrii>ie" move je pop/mow>i>ie" move je pourpadri>ξ<>row>.

tttx_eqmo/td>

qui donne

BMN}{smfrac<2a% S2a% }{3}-smfrac<2ai S2ai>k"> CMNth id="Sx1.mi>+),ψrow>=ell ltx_l>.

<∑hdBξ.

N>.

tttx_eq>dmsup>+msup>ghpadrii>ie" move je pop/mow>i>ie" move je pourpadri>ξ<>row>.

tttx_eqmo/td>
=ell ltx_l>.

<∑hCξ.

N>.

tttx_eqr_padrighpadrighpadright">

qui donne

i>ie" move jepeq>dmsup>+msup>ghpadrii>ie" move je pop/mow>i>ie" move je pourpadri>ξ<>row>.

tttx_eqmo/td>

L’éq. (1) ain4

ξ.

tth" alastrv=uttext="\xis laisset exsable">
i>ie" move je pop/mow>i>ie" move je pourpadri>ξ<>row>.

tttx_eqmo/td>

qui donne

qttextx_align_baseline">
⁢ubdmsup>+msup>ghpadriq
et glth> les termes constamrow>=ell ltx_g>.

l>.

tttx_eqr_padright">

qui donne

et \varphip>ξ=ell ltx_),φt tx_eqr_t">

qui donne

L’éq. (1) ain4d="Sx1.p12.m1" class="ltx_Math" altt.pJe cioisrepsiasltx_ssq. peut aiderrv=dées d.m4dR^{\prime}}{d\et4varepsilon=0{}" display="block">_psip>ξ.

tth" alth" approxims successives. SisMath" altte^{\prime}}{d\et4varη
et .

tth" aleqn_tble">
k">J0h22a=0<∑ξ< dψrow>=ymmetric="),φp/mow>𝑑ξ.

tttx_eqr_padrighpadrighpadri<0

qui donne

L’éq. (1) ain4iennent alors:

du résultai 2}"mete ltflexiltt. Jmatai peut vt1.pfaitr2}s x_eqps 2}"calcul surtoui displl}s " class Vath"l}s vérifierez aisémexi.="ltx_p">L’éq. (1) ain4m1" class="ltx_Math" alttext="P" dis">Pardellpl=vath" alirrvcritrutarsi altguellsltrele" cioyez à=mellsincère côtoummexi. ="ltx_p">L’éq. (1) ain4m1" class="ltx_Math" alttext="R" displPoinca lt="ltx_p">L’éq. (1) ain4je puis négliger dans <:90%;">ALS 11p. CUL-DAR251.4915, Cambridge University Library.bl L’éq. (1) ain4

TL’/sex_cel>éq./span>rdfmfrboui="" lropertrowdces ds:>L’éq./span>rdfmfrboui="" tesourcL /p> zcclassp">L’fooes p>
Scott A. Wracer/pala\eal., eds., Henri Poinca lt Papers, Doc. 3-15-19, http://henripoinca epapers.univ-naltes.fr/chp/ r_p/darwin19010804p1.html.x13" class="ltx_esa href/m../../quatesphp/_esimg src/m../../im"ges/hpp-is l.jpgmfrac="HPP" width="2qua/>/pa  /pa sa href/m../../quntact.php">Cuntact/pa="ltx_éq./span>="ge_logo">Generated i^{Mi^{Oct 2 10:51:45 2017 by <64,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mfrac="[LOGO]">/passp">LL’/body’/html>