3-15-34. H. Poincaré à George Howard Darwin

[Avant le 12.10.1901]

Mon cher Collègue,

Soient $P$ et $P^{\prime}$ deux des fonctions $\mathsf{P}_{i}^{s}$ ou $\mathfrak{P}_{i}^{s}$ soient $Q$ et $Q^{\prime}$ les fonctions $Q$ correspondantes, $K$ et $K^{\prime}$ les coëff. de stabilité correspondants (j’emploie ces notations par ce que je ne sais pas faire les lettres gothiques). Soit $R$ le radical

$$\sqrt{(\nu^{2}-1)\left(\nu^{2}-\frac{1+\beta}{1-\beta}\right)}.$$

Vous trouvez :

$$K-K^{\prime}=\int_{\nu_{0}}^{\infty}\frac{d\nu\left[P^{2}(\nu)P^{\prime 2}(\nu_{0})-P^{2}(\nu_{0})P^{\prime 2}(\nu)\right]}{P^{2}(\nu)P^{\prime 2}(\nu)R}$$

et vous ajoutez que tous les éléments de l’intégrale doivent être de même signe ou en d’autres termes que le rapport $P/P^{\prime}$ doit toujours être croissant ou toujours décroissant. Pourquoi? Je ne vois aucune raison pour cela.

S’il en était toujours ainsi cela serait encore vrai pour $P=\mathsf{P}_{1}^{1}$, mais alors notre intégrale se réduit à $-K^{\prime}$, de sorte que le coefficient de stabilité $K^{\prime}$ ne pourrait jamais s’annuler.

C’est en effet ce qui arrive pour quelques unes des fonctions $P^{\prime}$ à savoir pour toutes celles qui contiennent $\mathsf{P}_{1}^{1}$ en facteur, parce que justement le rapport $\frac{P^{\prime}}{\mathsf{P}_{1}^{1}}$ est alors toujours croissant, et justement les coëff. de stabilité correspondants ne peuvent s’annuler.

Votre erreur est donc manifeste. Maintenant il doit y avoir aussi une erreur dans les calculs numériques. Celle-là je ne puis la retrouver, n’ayant pas les détails du calcul. Mais j’ai commencé à vérifier si l’ellipsoïde dont vous donnez les axes est bien le Jacobien critique.

Seulement le calcul et surtout la vérification me prendront un certain temps parce que je [fin du fragment]

AL fragment, 2p. CUL-DAR251.4992, Cambridge University Library.

Time-stamp: " 4.05.2019 00:12"

Notes

• 1 Darwin 1902, 322.