Sur les courbes de Hill par Henri Poincaré11endnote: 1 La précision de cette transcription n’a pas été validée.

1. Le mémoire le plus original qui ai paru depuis 40 ans sur la Mécanique Céleste, est sans contredit celui que M. Hill a consacré à l’étude des terme degré zéro dans le mouvement de la Lune et en particulier à la variation qui est le plus important d’entre eux. Ce mémoire a paru dans le tome 1 de l’American Journal of Mathematics et a été reproduit dans les œuvres complètes de Hill, tome 1, page 284 (Carnegie Institution of Washington, 1905).22endnote: 2 Hill (1878a, b, c); Hill (1905).

Supposant nulles l’excentricité de l’orbite terrestre, l’inclinaison de l’orbite lunaire, et la parallaxe du Soleil, l’auteur rapporte la Lune à des axes ayant leur origine au centre dela terre et tournant avec une vitesse angulaire uniforme de façon que l’axe des x passe constemment par le Soleil; dans cette hypothèse en effet, l’excentricité de l’orbite terrestre étant nulle, la vitesse angulaire du Soleil est uniforme. Il arrive ainsi aux équations suivantes :

x′′-2my-3m2x+ℎ𝑥r3\displaystyle x^{\prime\prime}-\mathrm{2my}^{\prime}-{\mathrm{3m}}^{2}x+\frac{% \mathit{hx}}{{r}^{3}} =0\displaystyle=0
y′′+2mx+ℎ𝑦r3\displaystyle y^{\prime\prime}+\mathrm{2mx}^{\prime}+\frac{\mathit{hy}}{{r}^{3}} =0\displaystyle=0

dont voici la signification : x et y sont les coordonnées de la Lune par rapport aux axes tourants, τ\tau est la différence de longitude des moyennes de la Lune et du Soleil, de telle sorte que :

τ=(n1-n2)t\tau=({n}_{1}-{n}_{2})t

n1{n}_{1} étant le moyen mouvement de la Lune et n2{n}_{2} celui du Soleil, m est le rapport :

m=n2n1+n2;m=\frac{{n}_{2}}{{n}_{1}+{n}_{2}};

x’ est la dérivée de 𝑑𝑥dτ\frac{\mathit{dx}}{d\tau}, et les autres dérivées y’, x”, y” se définissent de la même manière, r est la distance x2+y2\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}; h est une constante proportionnelle à la somme des masses de la Terre et de la Lune.

Si nous introduisons les imaginaires en posant :

u=x+𝑖𝑦,s=x-𝑖𝑦,r2=𝑢𝑠u=x+\mathit{iy},s=x-\mathit{iy},{r}^{2}=\mathit{us}

Ces équations deviendront :

u′′+2miu-32m2(u+s)+ℎ𝑢r3=0u^{\prime\prime}+\mathrm{2miu}^{\prime}-\frac{3}{2}{m}^{2}(u+s)+\frac{\mathit{% hu}}{{r}^{3}}=0

s′′-2mis-32m2(u+s)+ℎ𝑠r3=0s^{\prime\prime}-\mathrm{2mis}^{\prime}-\frac{3}{2}{m}^{2}(u+s)+\frac{\mathit{% hs}}{{r}^{3}}=0

De ces deux équations on déduit l’intégrale de Jacobi :

us2-34m2𝑢𝑠-38m2(u2+s2)-hr=C\frac{u^{\prime}s^{\prime}}{2}-\frac{3}{4}{m}^{2}\mathit{us}-\frac{3}{8}{m}^{2% }({u}^{2}+{s}^{2})-\frac{h}{r}=C

Hill, élimine h entre ces trois équations et trouve ainsi :

u′′s+2mius+us2-94m2𝑢𝑠-3m28(u2+5s2)=Cu^{\prime\prime}s+\mathrm{2miu}^{\prime}s+\frac{u^{\prime}s^{\prime}}{2}-\frac% {9}{4}{m}^{2}\mathit{us}-\frac{3{m}^{2}}{8}({u}^{2}+{\mathrm{5s}}^{2})=C

(4) s′′u-2misu+us2-94m2𝑢𝑠-3m28(s2-5u2)=Cs^{\prime\prime}u-\mathrm{2mis}^{\prime}u+\frac{u^{\prime}s^{\prime}}{2}-\frac% {9}{4}{m}^{2}\mathit{us}-\frac{{\mathrm{3m}}^{2}}{8}({s}^{2}-{\mathrm{5u}}^{2}% )=C

dont les premiers nombres sont des polynômes homogènes du second degré.

Le problème consiste à trouver une solution périodique de ces équations. Cette solution périodique doit être de la forme suivante; si l’on pose :

ζ=eiτ,\zeta={e}^{i\tau},

On aura :

u=akζ2k+1,s=akζ-2k+1;u=\sum{a}_{k}{\zeta}^{\mathrm{2k}+1},\quad s=\sum{a}_{k}{\zeta}^{-\mathrm{2k}+% 1};

Les coefficients ak{a}_{k}sont réels; les exposants 2k+1 [illisible] toutes les valeurs entières impaires positives ou négatives.

Il est à remarquer que les équations (4) sont plus générales que les équations (2); si l’on satisfait d’une certaine manière aux équations (2) et par conséquent aux équations (4), on satisfera encore aux équations (4) sans satisfaire aux équations (2) en changeant u, s, et c en λu,λs,λ2c\lambda u,\lambda s,{\lambda}^{2}c.

Nous profiterons généralement de cette indétermination pour supposer

a0=1{a}_{0}=1

2.La méthode employée par M.Hill pour intégrer les équations (4) est fort ingénieuse; je vais l’expliquer ici, sans y rien changer d’essentiel, mais en modifiant notablement le mode d’exposition, ce qui est nécéssaire pour mon objet ultérieur.

Au lieu des équations(1), considérons les équations plus générales

x′′-2py-32p2x-32m2x+ℎ𝑥r3=0x^{\prime\prime}-\mathrm{2py}^{\prime}-\frac{3}{2}{p}^{2}x-\frac{3}{2}{m}^{2}x% +\frac{\mathit{hx}}{{r}^{3}}=0

(1bis) y′′+2px+32p2y+32m2y+ℎ𝑦r3=0y^{\prime\prime}+\mathrm{2px}^{\prime}+\frac{3}{2}{p}^{2}y+\frac{3}{2}{m}^{2}y% +\frac{\mathit{hy}}{{r}^{3}}=0

qui se réduisent à (1) quand on fait p=m. Voici quelle en est la signification physique; le Soleil est supposé très éloigné, il décrit autour du centre de gravité du système Terre-Lune un cercle de rayon très grand, et il le décrit d’un mouvement uniforme; seulement il est soumis outre l’attractionde la Terre et de la Lune à une autre force centrale de telle façon que l’on ait pas entre sa masse, le rayon de son orbite circulaire, et sa vitesse angulaire la relation définie par la troisième loi de Kepler. Les axes tournent avec une vitesse angulaire uniforme de sorte que l’axe des x passe toujours par le Soleil. Enfin la Lune, outre les forces de gravitation est repoussée par la Terre proportionnellement à la distance.

Si p=m, la force centrale complémentaire qui agit sur le Solei s’annule, de sorte que la masse du Solei, sa distance et vitesse angulaire sont liées par la troisième loi de Kepler; de plus la répulsion complémentaire de la Terre sur la Lune est nulle; on retombe sur le problème ordinaire de la théorie de la Lune et sur les équation (1).

Si m=0, l’action du Soleil sur la Lune devient nulle, la Lune n’est plus soumise qu’à l’attraction newtonienne de la Terre et à la répulsion complémentaire de la Terre; elle obéit donc à deux forces centrales, l’une proportionnelle au carré de la distance, l’autre proportionnelle à la distance. Elle est d’ailleurs rapportée à des axes tournants.

Des équations (1bis), on peut déduire :

u′′+2piu-32p2u-32m2s+ℎ𝑢r2=0u^{\prime\prime}+\mathrm{2piu}^{\prime}-\frac{3}{2}{p}^{2}u-\frac{3}{2}{m}^{2}% s+\frac{\mathit{hu}}{{r}^{2}}=0

(2bis) s′′+2pis-32p2s-32m2u+ℎ𝑠r2=0s^{\prime\prime}+\mathrm{2pis}^{\prime}-\frac{3}{2}{p}^{2}s-\frac{3}{2}{m}^{2}% u+\frac{\mathit{hs}}{{r}^{2}}=0

puis l’intégrale de Jacobi

(3bis) us2-34p2𝑢𝑠-38m2(u2+s2)-hr=C\frac{u^{\prime}s^{\prime}}{2}-\frac{3}{4}{p}^{2}\mathit{us}-\frac{3}{8}{m}^{2% }({u}^{2}+{s}^{2})-\frac{h}{r}=C

puis enfin

u′′s+2pius+us2-94p2𝑢𝑠-3m28(u2+5s2)=Cu^{\prime\prime}s+\mathrm{2piu}^{\prime}s+\frac{u^{\prime}s^{\prime}}{2}-\frac% {9}{4}{p}^{2}\mathit{us}-\frac{{\mathrm{3m}}^{2}}{8}({u}^{2}+{\mathrm{5s}}^{2}% )=C
s′′u+2pisu+us2-94p2𝑢𝑠-3m28(5u2+s2)=Cs^{\prime\prime}u+\mathrm{2pis}^{\prime}u+\frac{u^{\prime}s^{\prime}}{2}-\frac% {9}{4}{p}^{2}\mathit{us}-\frac{{\mathrm{3m}}^{2}}{8}({\mathrm{5u}}^{2}+{s}^{2}% )=C (4 bis)

Il est facile d’intégrer ces équations pour m=0; partant de cette première approximation, on cherchera à développer suivant les puissances de m. Il arrive que les coefficients ak{a}_{k}sont développables non seulement suivant les puissances de m, mais suivant celles de m4{m}^{4}, de sorte que la convergence est extrêmement rapide et que chaque approximation nouvelle donne cinq décimales exactes de plus. Il ne reste plus à la fin du calcul qu’à faire p=m.

3. Pour mettre cette méthode en pratique, posons :

u\displaystyle u =ζ(u0+m2u1+m4u2+.)\displaystyle=\zeta({u}_{0}+{m}^{2}{u}_{1}+{m}^{4}{u}_{2}+\mathrm{............% ..........})
s\displaystyle s =ζ-1(s0+m2s1+m4s2+..)\displaystyle={\zeta}^{-1}({s}_{0}+{m}^{2}{s}_{1}+{m}^{4}{s}_{2}+\mathrm{.....% ...............})
C\displaystyle C =C0+m2C1+m4C2+.\displaystyle={C}_{0}+{m}^{2}{C}_{1}+{m}^{4}{C}_{2}+\mathrm{..................% ....} (5)

On commence par prendre

u0=s0=1,C0=-94p2-2p-12{u}_{0}={s}_{0}=1,{C}_{0}=-\frac{9}{4}{p}^{2}-\mathrm{2p}-\frac{1}{2}

Supposons ensuite que l’on ai déterminé :

u0,u1,uq-1{u}_{0},{u}_{1},\mathrm{...}{u}_{q-1}
s0,s1,sq-1{s}_{0},{s}_{1},\mathrm{...}{s}_{q-1}
C0,C1,Cq-1{C}_{0},{C}_{1},\mathrm{...}{C}_{q-1}

et que l’on se propose de déterminer uq,sq,Cq{u}_{q},{s}_{q},{C}_{q}. Pour cela dans les équations (4bis) substituons à la place de u, s, et C leur développement (5). Egalons ensuite les coefficients des termes en m2q{m}^{\mathrm{2q}}, nous obtiendront des équations de la forme :

Δ=ϕ+Cq\Delta=\phi+{C}_{q}

Δ=ϕ+Cq\Delta^{\prime}=\phi^{\prime}+{C}_{q}

dont voici la signification :

Δ\Delta et Δ\Delta^{\prime} sont des combinaisons linéaires à coefficients constants des fonctions connues uq{u}_{q}, sq{s}_{q} et de leur dérivées premières et secondes; ϕ\phi est une combinaison des fonctions déja connues uαu_{\alpha}, sαs_{\alpha} où (α<q\alpha<q); nous pouvons écrire :

ϕ=bkζ2k\phi=\sum{b}_{k}{\zeta}^{\mathrm{2k}}

Les coefficients bk{b}_{k}étants connus, ϕ\phi^{\prime}est l’imaginaire conjugué de ϕ\phi:

ϕ=bkζ2k\phi^{\prime}=\sum{b}_{k}{\zeta}^{\mathrm{2k}}

*En d’autres termes les équations (6) sont des équations linéaires à coefficient constant et à second membre. Posons

ak=m2q;ak,q{a}_{k}=\sum{m}^{\mathrm{2q}};{a}_{k,q}

de telle sorte que ak,q{a}_{k,q}soit le coefficient de ζ2k{\zeta}^{\mathrm{2k}}dans uq{u}_{q}; égalons ensuite les coefficients de ζ2k{\zeta}^{\mathrm{2k}}dans les deux nombres des équations (6), il viendra :

ak,qA+a-k,qB=bk{a}_{k,q}A+{a}_{-k,q}B={b}_{k}

(7) ak,qC+a-k,qD=b-k{a}_{k,q}C+{a}_{-k,q}D={b}_{-k}

A, B, C, D sont des polynômes en p à coefficients numériques, bk{b}_{k}et b-k{b}_{-k}étants connus, ces équations nous donneront ak,q,a-k,q{a}_{k,q},{a}_{-k,q}ce qui déterminera les fonctions inconnues uq,sq{u}_{q},{s}_{q}.

Pour k=0, il faut ajouter aux seconds membres de (7) l’indéterminée Cq{C}_{q}.

Comme nous voulons que

a0=m2qa0,q=1{a}_{0}=\sum{m}^{\mathrm{2q}}{a}_{\mathrm{0,}q}=1

Nous devrions avoir

a0,0=1,a0,q=0{a}_{\mathrm{0,0}}=1,{a}_{\mathrm{0,}q}=0

De sorte que dans le cas k=0k=0, les équations (7) se réduiront à

b0+Cq=0{b}_{0}+{C}_{q}=0

ce qui détermine Cq{C}_{q}.

On voit par là que les ak,q{a}_{k,q}sont des fonctions rationelles de p, les facteurs du dénominateur de ces fonctions ne peuvent être que le déterminant ont AD-BC des équations (7) ou d’autres équations analogues; ces facteurs n pourront donc être que l’un des polynômes

p2-4p+6,p2-4p+30,p2-4p+70{p}^{2}-\mathrm{4p}+6,{p}^{2}-\mathrm{4p}+30,{p}^{2}-\mathrm{4p}+\mathrm{70...}

Reprenons le développement

ak=m2qak,q{a}_{k}=\sum{m}^{\mathrm{2q}}{a}_{k,q}

et arrêtons-le à un certain terme; faisons-y ensuite p=m; nous trouverons comme valeur approchée de ak{a}_{k}une fonction rationnelle des m ayant comme facteurs du dénominateur :

m2-4m+6,m2-4m+30,m2-4m+70{m}^{2}-\mathrm{4m}+6,{m}^{2}-\mathrm{4m}+30,{m}^{2}-\mathrm{4m}+\mathrm{70...}

On aurait tort d’en conclure, comme nous le verront plus loin, que ak{a}_{k}considéré comme fonction de m est une fonction mésomorphe dans une certaine étendue présentant comme singularités de simples pôles.

4.Nous venons de trouver une solution particulière des équations (4) ou (4bis) que nous écrirons

u=ψ(ζ)=akζ2k+1,s=ψ(ζ-1)=akζ-2k-1u=\psi(\zeta)=\sum{a}_{k}{\zeta}^{\mathrm{2k}}+\mathrm{1,}s=\psi({\zeta}^{-1})% =\sum{a}_{k}{\zeta}^{-\mathrm{2k}-1}

et qui est caractérisée par ce fait que a0=1{a}_{0}=1.Cette solution ne convient pas en général aux équations (2) et (2bis). Les équations (4) et (4bis) seront satisfaites également par

u=λψ(ζ),s=λψ(ζ-1)u=\lambda\psi(\zeta),s=\lambda\psi({\zeta}^{-1})

à la condition de changer CCen λ2C{\lambda}^{2}C. Il s’agit de déterminer λ\lambdade façon à satisfaire (2) ou (2bis). Pour cela, faisons τ=0\tau=0; d’où ζ=1\zeta=1.

u=s=r=λψ(1),u=λψ(1),u′′=λψ′′(1)u=s=r=\lambda\psi(1),u^{\prime}=\lambda\psi^{\prime}(1),u^{\prime\prime}=% \lambda\psi^{\prime\prime}(1)

Et substituons dans (2) il viendra :

λ3ψ2(1)[ψ′′(1)+2miψ(1)-3m2ψ(1)]+h=0{\lambda}^{3}{\psi}^{2}(1)[\psi^{\prime\prime}(1)+\mathrm{2mi}\psi^{\prime}(1)% -{\mathrm{3m}}^{2}\psi(1)]+h=0

ce qui détermine λ\lambda, puisque h est une donnée de la question, que

ψ(1)=ak,ψ(1)=i(2k+1)ak,ψ′′(1)=-(2k+1)2ak\psi(1)=\sum{a}_{k},\psi^{\prime}(1)=i\sum(\mathrm{2k}+1){a}_{k},\psi^{\prime% \prime}(1)=-\sum{(\mathrm{2k}+1)}^{2}{a}_{k}

sont des fonctions connues de m. On remarquera que le calcul de λ\lambdaexige l’etraction d’une racine cubique.

5.L’étude des singularités que peuvent présenter les ak{a}_{k}ou λ\lambdaconsidérés comme fonction de m, peut présenter évidemment un grand intérêt, puisque les coefficients des termes d’ordre plus élevé, s’obtenant en combinant de diverses manières ceux des termes d’ordre zéro, les mêmes singularités, observées dans les termes d’ordre zéro devront se retrouver dans ceux d’ordre plus élevé.

Nous allons amorcer cette étude et nous commencerons par signaler certaines solutions particulières des équations (4) et (4bis).

Considérons les équations (2) et faisons-y h=0h=0, elles s’écriront

u′′+2miu-32m2(u+s)=0u^{\prime\prime}+\mathrm{2miu}^{\prime}-\frac{3}{2}{m}^{2}(u+s)=0
s′′-2mis-32m2(u+s)=0s^{\prime\prime}-\mathrm{2mis}^{\prime}-\frac{3}{2}{m}^{2}(u+s)=0

Ce sont des équations linéaires à coefficient constant. Cherchons à les intégrer en faisant

u=αζk,s=βζku=\alpha{\zeta}^{k},s=\beta{\zeta}^{k}

Il viendra :

α(-k2-2mk-32m2)-32βm2=0\alpha(-{k}^{2}-\mathrm{2mk}-\frac{3}{2}{m}^{2})-\frac{3}{2}\beta{m}^{2}=0
β(-k2-2mk-32m2)-32αm2=0\beta(-{k}^{2}-\mathrm{2mk}-\frac{3}{2}{m}^{2})-\frac{3}{2}\alpha{m}^{2}=0

d’où :

k4-7m2k2=0,m=k7,βα=-17+473{k}^{4}-{\mathrm{7m}}^{2}{k}^{2}=0,m=\frac{k}{\sqrt{7}},\frac{\beta}{\alpha}=% \frac{-17+4\sqrt{7}}{3}

Cette solution ne convient pas, mais on peut en déduire la suivante

u=αζk+βζ-k,s=βζk+αζ-ku=\alpha{\zeta}^{k}+\beta{\zeta}^{-k},s=\beta{\zeta}^{k}+\alpha{\zeta}^{-k}

qui convient pourvu que k soit entier impair. On voit que cette solution particulière se présentera pour les valeurs de m suivantes :

m=17,37,57m=\frac{1}{\sqrt{7}},\frac{3}{\sqrt{7}},\frac{5}{\sqrt{7}}\mathrm{...}

Supposons que l’on fasse varier τ\taudepuis 0 jusqu’à 2π2\pi, comme u et s, et par conséquent x et y sont des fonctions périodiques de τ\tau, le point x, y décrira une courbe fermée; ce sont ces courbes fermées que M.Hill a construites pour les petites valeurs de m; dans le cas qui nous accupe, cette courbe fermée est une ellipse.

Si on avait opéré de la même manière sur les équations (2bis), les valeurs de m qui nous auraient donné ainsi des trajectoires elliptiques auraient été données par l’équation :

k4-7p2k2+94p2-94m2=0{k}^{4}-{\mathrm{7p}}^{2}{k}^{2}+\frac{9}{4}{p}^{2}-\frac{9}{4}{m}^{2}=0

6.La solution précedente satisfait aux équations (2) et (2bis) quand h=0; elle satisfait donc dans tous les cas aux équations (4) et (4bis); mais comment se comportent-t-elles vis à vis des équations (2) et (2bis) lorce que h a une valeur donnée différente de zéro. Pour nous en rendre compte, il faut revenir à l’équation (8) qui détermine λ\lambda.

Supposons d’abord k=1; alors notre solution particulière n’est autre chose que la solution ψ(2)\psi(2), à la condition que l’on suppose α=1\alpha=1, puisque dans ψ(ζ)\psi(\zeta)le coefficient de ζ\zetadoit être égal à 1.

Supposons d’abord h=0, on doit pouvoir satisfaire à l’équation (8) en faisant λ=1\lambda=1, ce qui exige que l’on ai :

(10) ψ′′(1)+2miψ(1)-3m2ψ(1)=0\psi^{\prime\prime}(1)+\mathrm{2mi}\psi^{\prime}(1)-{\mathrm{3m}}^{2}\psi(1)=0 (pour m=17m=\frac{1}{\sqrt{7}})

équations qu’il est d’ailleurs aisé de vérifier directement. Si maintenant nous supposons que h ait une valeur donnée différente e zéro, l’équation (8) va se présenter sous la forme :

λ3f(m)=h{\lambda}^{3}f(m)=h

Pour m=17m=\frac{1}{\sqrt{7}}, le coefficient f(m)f(m) s’annule en vertu de l’équation (10), nous pourrons donc l’écrire :

f(m)=(m-17)H(m)f(m)=(m-\frac{1}{\sqrt{7}})H(m)

H(m)H(m) ne s’annulant pas pour m=17m=\frac{1}{\sqrt{7}}, le coefficient f(m)f(m) s’annule en vertu de l’équation (10), nous pourrons donc l’écrire :

f(m)=(m-17)-13H-13(m)f(m)={(m-\frac{1}{\sqrt{7}})}^{\frac{-1}{3}}{H}^{\frac{-1}{3}}(m)

H(-13)(m){H}^{(\frac{-1}{3})}(m) se comporte régulièrement pour m=17m=\frac{1}{\sqrt{7}}, ce qui montre que λ\lambda devient infini d’ordre 13\frac{1}{3} pour m=17m=\frac{1}{\sqrt{7}}.

Supposons maintenant d’autres valeurs de kk, par exemple k=3k=3, d’où m=37m=\frac{3}{\sqrt{7}}. Nous avons alors :

u=θ(ζ)=ζ3+βαζ-3,s=θ(ζ-1)=βαζ3+ζ-3u=\theta(\zeta)={\zeta}^{3}+\frac{\beta}{\alpha}{\zeta}^{-3},s=\theta({\zeta}^% {-1})=\frac{\beta}{\alpha}{\zeta}^{3}+{\zeta}^{-3}

On voit que le coefficient de ζ\zetan’est pas égal à 1, mais à zéro, mais que c’est le coefficient de ζ3{\zeta}^{3},(qui correspond à ce que nous appelions plus haut a1{a}_{1}) qui est égal à 1. Ainsi θ(ζ)\theta(\zeta)n’est pas la limite vers laquelle tend ψ(ζ)\psi(\zeta)pour m=37m=\frac{3}{\sqrt{7}}, mais on a :

θ(ζ)=lim1a1ψ(ζ)\theta(\zeta)=\lim\frac{1}{{a}_{1}}\psi(\zeta)

quand m tend vers 37\frac{3}{\sqrt{7}}; ψ(ζ)\psi(\zeta)et a1{a}_{1}croissent indéfiniment et leur rapport tend vers une limite finie θ(ζ)\theta(\zeta).

On aura encore l’équation

θ′′(1)+2miθ(1)-3m2θ(1)=0(pour m=37)\theta^{\prime\prime}(1)+\mathrm{2mi}\theta^{\prime}(1)-{\mathrm{3m}}^{2}% \theta(1)=0\quad(\text{pour }m=\frac{3}{\sqrt{7}})

L’équation (8) prend alors la forme :

λ3a13f(m)=h{\lambda}^{3}{a}_{1}^{3}f(m)=h

où:

f(m)=θ2(1)[θ′′+2miθ-3m2θ]=(m-37)H(m)f(m)={\theta}^{2}(1)[\theta^{\prime\prime}+\mathrm{2mi}\theta^{\prime}-{% \mathrm{3m}}^{2}\theta]=(m-\frac{3}{\sqrt{7}})H(m)

d’autre part

a1=ψ(m)m-37{a}_{1}=\frac{\psi(m)}{m-\frac{3}{\sqrt{7}}}

ψ(m)\psi(m)étant régulier et ne s’annulant pas pour m=37m=\frac{3}{\sqrt{7}}; d’où enfin

λ=(m-37)23ψ1(m)\lambda={(m-\frac{3}{\sqrt{7}})}^{\frac{2}{3}}{\psi}_{1}(m)

ψ1(m){\psi}_{1}(m)étant régulier et ne s’annulant pas pour m=37m=\frac{3}{\sqrt{7}}.

7.Lorce qu’on fait varier τ\taudepuis 0 jusqu’à 2π2\pi , x et y sont des fonctions périodiques de τ\tau, le point x, y décrit une courbe fermée.

M.Hill a contruit ces courbes pour les valeurs comprises entre 0 et 1,78; pour les petites valeurs de m, il s’est servi de ses développements en série; pour les valeurs plus grandes il a employé des quadratures mécaniques.

Il s’arrête pour m=11,78m=\frac{1}{\mathrm{1,78}}, au moment où les trajectoires présentent deux points de rebroussements, ce qu’il appelle the moon of the maximum lunation. Il détermine par quadrature mécanique les courbes correspondants à m=12m=\frac{1}{2}et à m=13m=\frac{1}{3}; c’est entre ces deux que se trouverait la courbe singulière correspondant à m=17m=\frac{1}{\sqrt{7}}.

D’après ce que nous venons de voir, cette courbe est une ellipse, et si on veut déterminer ses dimensions absolues par le moyen de l’équation (8), on voit que ces dimensions sont infinies. Donc quand m sera très voisin de 17\frac{1}{\sqrt{7}}, la forme de la courbe différera très peu de celle d’une ellipse et cette courbe sera très grande. M.Hill ne pouvait s’aperçevoir de cette circontance, parce que ses intervalles n’étaient pas assez serrés, ils s’expliquent en ces termes :

We notice that the radium vector in syzygies of this class of satellite arrives at a maximum before we reach the moon of maximum lunation. This maximum value is a little less than double the radius vector of the earth’s moon. It occurs in the case of the moon has about 2,8 lunations in the period of it’s primary.

Ce dernier résultat est assez exact, puisque 2,8 n’est pas éloigné de 7\sqrt{7}, mais le maximum en question comme nous n’avons vu, est infini.

Qu’aurait trouvé M.Hill s’il avait poursuivi plus loin ses calculs. La connaissance de la forme de la courbe pour m=37m=\frac{3}{\sqrt{7}}nous permet de le conjecturer. Ne nous occupons que de la forme de cette courbe en laissant de côté ses dimensions absolues.

M.Hill s’arrête à une courbe présentant deux points de rebroussement sur l’axe des y (fig. 1); après il aurait trouvé une courbe avec deux points doubles (fig. 2); puis la courbe aurait acquis deux points de rebroussement sur l’axe des xx (fig. 3); nous aurions eu ensuite une courbe avec quatre points doubles (fig. 4); puis les branches AB et CD de la figure 4 auraient passé l’une par dessus l’autre, de même que les branches BC et AD ce qui nous aurait donné la courbe de la fig.5. Pour m=37m=\frac{3}{\sqrt{7}}, la courbe se serait réduite à une ellipse parcourue trois fois dans le même sens; pour Fm>37Fm>\frac{3}{\sqrt{7}}, nous aurions retrouvé la courbe de la fig. 5, etc.

Dans le cas où m=0m=0, les équations (2bis) et (4bis) sont susceptibles d’être intégrées complètement. Si l’on se reporte en effet à ce que nous avons dit au N° de la signification physique de ces équations, on voit qu’elles représentent le mouvement d’un astre soumis à deux forces centrales variants l’une suivant la loi de Newton, l’autre dire cte de la distance.

Dans ce cas l’intégrale de Jacobi s’écrit :

(3ter) us2-34p2𝑢𝑠-hr=C\frac{u^{\prime}s^{\prime}}{2}-\frac{3}{4}{p}^{2}\mathit{us}-\frac{h}{r}=C

d’autre part des équations (2bis) on tire :

u′′s-𝑢𝑠′′+2pi(𝑠𝑢-𝑢𝑠)=0u^{\prime\prime}s-\mathit{us}^{\prime\prime}+\mathrm{2pi}(\mathit{su}^{\prime}% -\mathit{us}^{\prime})=0

d’où en intégrant :

us-𝑢𝑠+2pius=λ2Aiu^{\prime}s-\mathit{us}^{\prime}+\mathrm{2pius}=\lambda\mathrm{2Ai}

Ce qui correspond à l’intégrale des aires. Si nous passons aux coordonnées polaires en posant :

u=reiω,s=re-iωu=r{e}^{i\omega},s=r{e}^{-i\omega}

ces deux intégrales deviendront :

r+2r2ω22-34p2r2-hr=C\frac{r{{}^{\prime}}^{2}+{r}^{2}\omega{{}^{\prime}}^{2}}{2}-\frac{3}{4}{p}^{2}% {r}^{2}-\frac{h}{r}=C
r2ω+𝑝𝑟2=A{r}^{2}\omega^{\prime}+{\mathit{pr}}^{2}=A

d’où :

ω(𝑑𝑟dω)2+r222-34p2r2-hr=C;ω=A-𝑝𝑟2r2\omega{{}^{\prime}}^{2}\frac{{(\frac{\mathit{dr}}{d\omega})}^{2}+{r}^{2}}{2}-% \frac{3}{4}{p}^{2}{r}^{2}-\frac{h}{r}=C;\omega^{\prime}=\frac{A-{\mathit{pr}}^% {2}}{{r}^{2}}

et enfin :

[(drdω)2+r2](A-pr2)2=Cr4+34p2r6+hr3\left[\left(\frac{dr}{d\omega}\right)^{2}+r^{2}\right](A-pr^{2})^{2}=Cr^{4}+% \frac{3}{4}p^{2}r^{6}+hr^{3} (11)

d’où l’on tirerait

ω=(A-𝑝𝑟2)𝑑𝑟P(r)\omega=\int\frac{(A-{\mathit{pr}}^{2})\mathit{dr}}{\sqrt{P(r)}}

PP étant un polynôme du 6ème degré en rr. Soient r0r_{0} et r1r_{1} deux racines de P(r)P(r) et envisageons l’intégrale :

Ω=r0r1A=pr2dr2\Omega=\int_{r_{0}}^{r_{1}}\frac{A=pr^{2}dr}{\sqrt{2}}

Les distances r0r_{0} et r1r_{1} correspondront aux distances périhélie ou aphélie; de sorte que l’intégrale Ω\Omega représente l’angle des deux directions périhélie et aphélie. Quelle est la condition pour que, comme nous le supposons, la trajectoire soit une courbe fermée admettant les deux axes comme axes de symétrie.

Celà arrivera :

1° Si r0=r1{r}_{0}={r}_{1}, c’est à dire si le polynôme P admet deux racines égales, de telle sorte que la trajectoire soit circulaire; ce sont ces trajectoires circulaires qui nous ont servi de point de départ au N°; c’est à ces trajectoires circulaires que se réduisent pour m=0, les trajectoires déterminées au N°.

2° Si Ω=π2\Omega=\frac{\pi}{2}; 3° Si Ω=π2n\Omega=\frac{\pi}{\mathrm{2n}}, n étant entier ; 4° Si Ω\Omegaest commensurable avec 2π2\pi.

Je sépare avec attention ces trois derniers cas; car le premier est b plus simple et doit attirer d’abord norte attention, et dans le dernier cas, la courbe est fermée mais à la condition de faire plusieurs fois le tour de l’origine.

Equations de Hill généralisées

y′′-2mx+𝑎𝑦+𝑏𝑦+ℎ𝑦r3=0y^{\prime\prime}-\mathrm{2mx}^{\prime}+\mathit{ay}+\mathit{by}+\frac{\mathit{% hy}}{{r}^{3}}=0

Multipliant par x’ et y’ il vient :

(xx′′+yy′′)+a(𝑥𝑥+𝑦𝑦)+b(𝑥𝑥+𝑦𝑦)+h(𝑥𝑥+𝑦𝑦)r3=0(x^{\prime}x^{\prime\prime}+y^{\prime}y^{\prime\prime})+a(\mathit{xx}^{\prime}% +\mathit{yy}^{\prime})+b(\mathit{xx}^{\prime}+\mathit{yy}^{\prime})+h\frac{(% \mathit{xx}^{\prime}+\mathit{yy}^{\prime})}{{r}^{3}}=0

d’où en intégrant l’intégrale de Jacobi :

x+2y22+a2(x2+y2)+b2(x2-y2)-hr=C\frac{x{{}^{\prime}}^{2}+y{{}^{\prime}}^{2}}{2}+\frac{a}{2}({x}^{2}+{y}^{2})+% \frac{b}{2}({x}^{2}-{y}^{2})-\frac{h}{r}=C

Multipliant les 3 éq par x, y et 1 il vient :

(𝑥𝑥′′+𝑦𝑦′′)+2m(xy-𝑥𝑦)+3a2(x2+y2)+3b2(x2-y2)+x+2y22=C(\mathit{xx}^{\prime\prime}+\mathit{yy}^{\prime\prime})+\mathrm{2m}(x^{\prime}% y-\mathit{xy}^{\prime})+\frac{\mathrm{3a}}{2}({x}^{2}+{y}^{2})+\frac{\mathrm{3% b}}{2}({x}^{2}-{y}^{2})+\frac{x{{}^{\prime}}^{2}+y{{}^{\prime}}^{2}}{2}=C

Multipliant par y, -x et 0 :

(𝑦𝑥′′-𝑥𝑦′′)-2m(𝑥𝑥+𝑦𝑦)+2bxy=0(\mathit{yx}^{\prime\prime}-\mathit{xy}^{\prime\prime})-\mathrm{2m}(\mathit{xx% }^{\prime}+\mathit{yy}^{\prime})+\mathrm{2bxy}=0

Posant

u=x+𝑖𝑦,s=x-𝑖𝑦u=x+\mathit{iy},s=x-\mathit{iy}

Les deux équations primitives deviennent :

s′′+2mis+𝑎𝑠+𝑏𝑢+ℎ𝑠r3=0s^{\prime\prime}+\mathrm{2mis}^{\prime}+\mathit{as}+\mathit{bu}+\frac{\mathit{% hs}}{{r}^{3}}=0

Multipliant par ss^{\prime} et uu^{\prime}

(su′′+us′′)+a(𝑢𝑠+𝑠𝑢)+b(𝑠𝑠+𝑢𝑢)+h(𝑢𝑠+𝑠𝑢)r3=0(s^{\prime}u^{\prime\prime}+u^{\prime}s^{\prime\prime})+a(\mathit{us}^{\prime}% +\mathit{su}^{\prime})+b(\mathit{ss}^{\prime}+\mathit{uu}^{\prime})+\frac{h(% \mathit{us}^{\prime}+\mathit{su}^{\prime})}{{r}^{3}}=0

En intégrant :

us+𝑎𝑢𝑠+b2(u2+s2)-2hr=2Cu^{\prime}s^{\prime}+\mathit{aus}+\frac{b}{2}({u}^{2}+{s}^{2})-\frac{\mathrm{2% h}}{r}=\mathrm{2C}

Mais

ur3=1r1s\frac{u}{{r}^{3}}=\frac{1}{r}\frac{1}{s}

Il faut donc multiplier la première éq par 2s et ajouter d’où :

2u′′s+4mius+us+3aus+b2(u2+5s2)=2C\mathrm{2u}^{\prime\prime}s+\mathrm{4miu}^{\prime}s+u^{\prime}s^{\prime}+% \mathrm{3aus}+\frac{b}{2}({u}^{2}+{\mathrm{5s}}^{2})=\mathrm{2C}

Pour identifier, il faut faire

a+b=3m2;a-b=0;a=b=-32m2a+b={\mathrm{3m}}^{2};a-b=0;a=b=\frac{-3}{2}{m}^{2}

d’où en divisant par 2,

u′′s+2mius+us2-94m2𝑢𝑠-3m28(u2+5s2)=Cu^{\prime\prime}s+\mathrm{2miu}^{\prime}s+\frac{u^{\prime}s^{\prime}}{2}-\frac% {9}{4}{m}^{2}\mathit{us}-\frac{3{m}^{2}}{8}({u}^{2}+{\mathrm{5s}}^{2})=C

Pour une masse attirante tournant avec la même vitesse , mais << ou >> on aurait :

a+b\displaystyle a+b =-m2-2ϵm2;a-b=-m2+ϵm2(ϵ proport. à la masse)\displaystyle=-{m}^{2}-2\epsilon{m}^{2};a-b=-{m}^{2}+\epsilon{m}^{2}\quad(% \epsilon\text{ proport. à la masse})
a\displaystyle a =-m2-12ϵm2;b=-32ϵm2\displaystyle=-{m}^{2}-\frac{1}{2}\epsilon{m}^{2};b=\frac{-3}{2}\epsilon{m}^{2}

Supposons que h étant donné, nous ayons pour u et s des valeurs très grandes, soit :

s′′+2mis-32m2(u+s)+ℎ𝑠r3=0s^{\prime\prime}+\mathrm{2mis}^{\prime}-\frac{3}{2}{m}^{2}(u+s)+\frac{\mathit{% hs}}{{r}^{3}}=0

On devra avoir à peu près, α,β\alpha,\betaétants très grands :

u=αζk+βζ-k,s=βζk+αζ-ku=\alpha{\zeta}^{k}+\beta{\zeta}^{-k},s=\beta{\zeta}^{k}+\alpha{\zeta}^{-k}

Avec à peu près :

(1) β(-k2-2mk-32m2)-32αm2=0\beta(-{k}^{2}-\mathrm{2mk}-\frac{3}{2}{m}^{2})-\frac{3}{2}\alpha{m}^{2}=0

ou bien :

(k2-32m2)2-4m2k2-94m4=0{({k}^{2}-\frac{3}{2}{m}^{2})}^{2}-{\mathrm{4m}}^{2}{k}^{2}-\frac{9}{4}{m}^{4}=0

d’où le rapport mk\frac{m}{k}, remarquons que k est impair. Soit m0{m}_{0}la valeur de mmcorrespondante, alors m-m0m-{m}_{0}est très petit; on a; en développant :

k4-7m02k2=0;m0=k7{k}^{4}-{\mathrm{7m}}_{0}^{2}{k}^{2}=0;{m}_{0}=\frac{k}{\sqrt{7}}

Si mm est très voisin de m0{m}_{0}on a sensiblement :

α(1714+27)=-3β14;αβ=1λ\alpha(\frac{17}{14}+\frac{2}{\sqrt{7}})=\frac{-3\beta}{14};\frac{\alpha}{% \beta}=\frac{1}{\lambda}

On a sensiblement :

ℎ𝑢r3=h(αζk+βζ-k)-12(βζk+αζ-k)-32\frac{\mathit{hu}}{{r}^{3}}=h{(\alpha{\zeta}^{k}+\beta{\zeta}^{-k})}^{\frac{-1% }{2}}{(\beta{\zeta}^{k}+\alpha{\zeta}^{-k})}^{\frac{-3}{2}}

et il nous faut chercher le coefficient de ζk{\zeta}^{k} et ζ-k{\zeta}^{-k}, ils seront de la forme :

𝑎ℎα-2,𝑏ℎα-2\mathit{ah}{\alpha}^{-\mathrm{2,}}\mathit{bh}{\alpha}^{-2}; a et bétants des coefficients connus puis qu’on connaît βα\frac{\beta^{\prime}}{\alpha}. dans ℎ𝑠r3\frac{\mathit{hs}}{{r}^{3}}ces coeff sont inversés, ce qui permet d’écrire :

β(-k2-2mk-32m2)-32αm2+𝑏ℎα-2=0\beta(-{k}^{2}-\mathrm{2mk}-\frac{3}{2}{m}^{2})-\frac{3}{2}\alpha{m}^{2}+% \mathit{bh}{\alpha}^{-2}=0

Il faut profiter de ce que βα\frac{\beta}{\alpha}n’a pas sa valeur exacte, et que mm n’est pas exactement m0{m}_{0}. Ecrivons les premiers membres des deux éq (1).

αϕ1(m,βα),αϕ2(m,βα)\alpha{\phi}_{1}(m,\frac{\beta}{\alpha}),\alpha{\phi}_{2}(m,\frac{\beta}{% \alpha})

On a

ϕ1(m0,λ)=ϕ2(m0,λ)=0Soit βα=λ+ϵ{\phi}_{1}({m}_{0},\lambda)={\phi}_{2}({m}_{\mathrm{0,}}\lambda)=0\quad\text{% Soit }\frac{\beta}{\alpha}=\lambda+\epsilon

d’où, les deux éq :

α3[dϕ1𝑑𝑚0(m-m0)+ϵdψ1dλ]+a=0{\alpha}^{3}[\frac{d{\phi}_{1}}{{\mathit{dm}}_{0}}(m-{m}_{0})+\epsilon\frac{d{% \psi}_{1}}{d\lambda}]+a=0
α3[dϕ2𝑑𝑚0(m-m0)+ϵdψ2dλ]+b=0{\alpha}^{3}[\frac{d{\phi}_{2}}{{\mathit{dm}}_{0}}(m-{m}_{0})+\epsilon\frac{d{% \psi}_{2}}{d\lambda}]+b=0

on tire de là :

α3(m-m0);α3ϵ{\alpha}^{3}(m-{m}_{0});{\alpha}^{3}\epsilon

α\alphaest donc de l’ordre de (1m-m0)13{(\frac{1}{m-{m}_{0}})}^{\frac{1}{3}}et ϵ\epsilonde l’ordre m-m0m-{m}_{0}.

Cela posé, faisons m=m0,u=αζk+βζ-km={m}_{0},u=\alpha{\zeta}^{k}+\beta{\zeta}^{-k}et cherchons l’exposant caractéristique.

Nous aurons h=0h=0 en première approx et en seconde :

δs′′+2miδs-32m2(δu+δs)+sr3δh=0\delta s^{\prime\prime}+\mathrm{2mi}\delta s^{\prime}-\frac{3}{2}{m}^{2}(% \delta u+\delta s)+\frac{s}{{r}^{3}}\delta h=0

Venons à l’eq en p et m

s′′+2pis-32p2s-32m2u+ℎ𝑠r3=0s^{\prime\prime}+\mathrm{2pis}^{\prime}-\frac{3}{2}{p}^{2}s-\frac{3}{2}{m}^{2}% u+\frac{\mathit{hs}}{{r}^{3}}=0

d’où les équations

β(-k2-2pk-32p2)-32αm2=0\beta(-{k}^{2}-\mathrm{2pk}-\frac{3}{2}{p}^{2})-\frac{3}{2}\alpha{m}^{2}=0 (1 bis)

ou

(k2-32p2)2-4p2k2-94m4=0{({k}^{2}-\frac{3}{2}{p}^{2})}^{2}-{\mathrm{4p}}^{2}{k}^{2}-\frac{9}{4}{m}^{4}=0

Si m=0m=0, il reste β=0\beta=0k2+2pk+32p2=0{k}^{2}+\mathrm{2pk}+\frac{3}{2}{p}^{2}=0, ou α=0,k2-2pk+32p2=0\alpha=0,{k}^{2}-\mathrm{2pk}+\frac{3}{2}{p}^{2}=0

pk\frac{p}{k}=imag.

Pour m=0m=0, l’intégration est possible, car celà revient aux forces centrales avec des axes tournants.

Intégrale de Jacobi :

x+2y22-3p24(x2+y2)-hr=C=r+2r2ω22-3p2r24-hr\frac{x{{}^{\prime}}^{2}+y{{}^{\prime}}^{2}}{2}-\frac{{\mathrm{3p}}^{2}}{4}({x% }^{2}+{y}^{2})-\frac{h}{r}=C=\frac{r{{}^{\prime}}^{2}+{r}^{2}\omega{{}^{\prime% }}^{2}}{2}-\frac{{\mathrm{3p}}^{2}{r}^{2}}{4}-\frac{h}{r}
𝑦𝑥′′-𝑥𝑦′′-2p(𝑥𝑥+𝑦𝑦)=0;𝑦𝑥-𝑥𝑦-p(x2+y2)=-k\mathit{yx}^{\prime\prime}-\mathit{xy}^{\prime\prime}-\mathrm{2p}(\mathit{xx}^% {\prime}+\mathit{yy}^{\prime})=0;\mathit{yx}^{\prime}-\mathit{xy}^{\prime}-p({% x}^{2}+{y}^{2})=-k
r2(ω+p)=k;ω=-p+k2{r}^{2}(\omega^{\prime}+p)=k;\omega^{\prime}=-p+\frac{k}{2}
C=r22+p2r22-𝑘𝑝+k22r2-3p2r24-hrC=\frac{r{{}^{\prime}}^{2}}{2}+\frac{{p}^{2}{r}^{2}}{2}-\mathit{kp}+\frac{{k}^% {2}}{{\mathrm{2r}}^{2}}-\frac{{\mathrm{3p}}^{2}{r}^{2}}{4}-\frac{h}{r}

Reprenons l’équation

u′′s+2pius+us2-94p2𝑢𝑠=C+3m28(u2+s2)u^{\prime\prime}s+\mathrm{2piu}^{\prime}s+\frac{u^{\prime}s^{\prime}}{2}-\frac% {9}{4}{p}^{2}\mathit{us}=C+\frac{{\mathrm{3m}}^{2}}{8}({u}^{2}+{s}^{2})

Soit :

p2-4p+2h2-2=0(h entier pair){p}^{2}-\mathrm{4p}+{\mathrm{2h}}^{2}-2=0(h\text{ entier pair})

puis changeons ppet p+μp+\muet développons suivant les puissances de ϵ\epsilonet de m2{m}^{2}.

Posons comme plus haut; (en supposant m=λϵm=\lambda\epsilon)

u=ζϵαuα,s=ζ-1ϵαsαu=\zeta\sum{\epsilon}^{\alpha}{u}_{\alpha},s={\zeta}^{-1}\sum{\epsilon}^{% \alpha}{s}_{\alpha}

1° On a u0=s0=1{u}_{0}={s}_{0}=1(on passe de u à s en changeant ζ\zetaen ζ-1{\zeta}^{-1}.

2° Il vient ensuite

u1=ξζh+ηζ-h,s1=ηζh+ξζ-h{u}_{1}=\xi{\zeta}^{h}+\eta{\zeta}^{-h},{s}_{1}=\eta{\zeta}^{h}+\xi{\zeta}^{-h}

η[-h2-(2p+32)h-P]+ξ(h2-P)=0\eta[-{h}^{2}-(\mathrm{2p}+\frac{3}{2})h-P]+\xi(\frac{h}{2}-P)=0 P=9p24+2p+12P=\frac{{\mathrm{9p}}^{2}}{4}+\mathrm{2p}+\frac{1}{2}

ξ[-h2+(2p+32)h-P]+η(-h2-P)=0\xi[-{h}^{2}+(\mathrm{2p}+\frac{3}{2})h-P]+\eta(\frac{-h}{2}-P)=0

3° Pour les termes en ϵ2{\epsilon}^{2}, nous poseront μ=μ2ϵ2+μ3ϵ3\mu={\mu}_{2}{\epsilon}^{2}+{\mu}_{3}{\epsilon}^{3}\mathrm{...}et nous allons déterminer d’abord μ2{\mu}_{2}.

L’équation devient : Δ(u2,s2)\Delta({u}_{\mathrm{2,}}{s}_{2})fonction linéaire de u2,s2{u}_{2},{s}_{2}et dérivées :

On aurait pris C1-92𝑝𝑢1=0{C}_{1}-\frac{9}{2}{\mathit{pu}}_{1}=0.

Revenons à l’équation en u2,s2{u}_{2},{s}_{2}; on aurait déja, si ξ1,η1{\xi}_{1},{\eta}_{1}sont des coeff de ζk{\zeta}^{k}; ξ2,η2{\xi}_{2},{\eta}_{2}ceux de ζ-k{\zeta}^{-k}, si a1,b1;c1,d1{a}_{1},{b}_{1};{c}_{1},{d}_{1}les mêmes coeff dans ϕ\phiet son conjugué dans

2ius01-92𝑝𝑢1s0-92pu1s1\mathrm{2iu}{{}^{\prime}}_{1}{s}_{0}-\frac{9}{2}{\mathit{pu}}_{1}{s}_{0}-\frac% {9}{2}p{u}_{1}{s}_{1}. Soit A, B, C, D les coeff de (1) on a :

Aη1+Bξ1=a1+μ1c1,Cη2+Dξ2=a2+μ1c2A{\eta}_{1}+B{\xi}_{1}={a}_{1}+{\mu}_{1}{c}_{1},C{\eta}_{2}+D{\xi}_{2}={a}_{2}% +{\mu}_{1}{c}_{2}
Cξ1+Dη1=b1+μ1d1,Aξ2+Bη2=b2+μ1d2C{\xi}_{1}+D{\eta}_{1}={b}_{1}+{\mu}_{1}{d}_{1},A{\xi}_{2}+B{\eta}_{2}={b}_{2}% +{\mu}_{1}{d}_{2}

or a2=b1,a1=b2,c2=d1,c1=d2,ξ1=η2,η1=ξ2{a}_{2}={b}_{1},{a}_{1}={b}_{2},{c}_{2}={d}_{1},{c}_{1}={d}_{2},{\xi}_{1}={% \eta}_{2},{\eta}_{1}={\xi}_{2}; de sorte que les deux premières suffisent. Comme le déterminant 𝐵𝐷-𝐴𝐶=0\mathit{BD}-\mathit{AC}=0, On a D=λA,C=λDD=\lambda A,C=\lambda D, il reste :

b1-λa1+μ1(d1-λc1)=0{b}_{1}-\lambda{a}_{1}+{\mu}_{1}({d}_{1}-\lambda{c}_{1})=0

Ce qui détermine μ1{\mu}_{1}(si d1-λc1{d}_{1}-\lambda{c}_{1}n’est pas seul). Calcul de c1,d1{c}_{1},{d}_{1}:

c1=-2hξ-92p(ξ+η),d1=-2hη-92p(ξ+η){c}_{1}=-\mathrm{2h}\xi-\frac{9}{2}p(\xi+\eta),{d}_{1}=-\mathrm{2h}\eta-\frac{% 9}{2}p(\xi+\eta)

Equations (2bis) pour m=0m=0, orbites circulaires u=reinτu=r{e}^{in\tau}, s=re-inτs=r{e}^{-in\tau}

-n2-2pn-32p2+hr3=0-{n}^{2}-\mathrm{2pn}-\frac{3}{2}{p}^{2}+\frac{h}{{r}^{3}}=0

Equations aux vari.

δu′′+2piδu-32p2δu-h2δur3-3h2δsr3e2inτ=0\delta u^{\prime\prime}+\mathrm{2pi}\delta u^{\prime}-\frac{3}{2}{p}^{2}\delta u% -\frac{h}{2}\frac{\delta u}{{r}^{3}}-\frac{\mathrm{3h}}{2}\frac{\delta s}{{r}^% {3}}{e}^{\mathrm{2in}\tau}=0

δs′′+2piδs-32p2δs-h2δsr3-3h2δur3e2inτ=0\delta s^{\prime\prime}+\mathrm{2pi}\delta s^{\prime}-\frac{3}{2}{p}^{2}\delta s% -\frac{h}{2}\frac{\delta s}{{r}^{3}}-\frac{\mathrm{3h}}{2}\frac{\delta u}{{r}^% {3}}{e}^{\mathrm{2in}\tau}=0 (λ\lambda)

Nous y satisferont en faisant δu=αei(δ+n)τ,δs=βei(δ-n)τ\delta u=\alpha{e}^{i(\delta+n)\tau},\delta s=\beta{e}^{i(\delta-n)\tau}, d’où :

-α(λ+n)2-2pα(λ+n)-32p2β-h2r3α-3h2r3β=0-\alpha{(\lambda+n)}^{2}-\mathrm{2p}\alpha(\lambda+n)-\frac{3}{2}{p}^{2}\beta-% \frac{h}{{\mathrm{2r}}^{3}}\alpha-\frac{\mathrm{3h}}{{\mathrm{2r}}^{3}}\beta=0

-β(λ-n)2+2pβ(λ-n)-32p2β-h2r3β-3h2r3α=0-\beta{(\lambda-n)}^{2}+\mathrm{2p}\beta(\lambda-n)-\frac{3}{2}{p}^{2}\beta-% \frac{h}{{\mathrm{2r}}^{3}}\beta-\frac{\mathrm{3h}}{{\mathrm{2r}}^{3}}\alpha=0 (μ\mu)

Ou bien en faisant n=1n=1:

α[-(λ-1)2-2p(λ+1)-32p2-34p2-p-12]-32β(32p2+2p+1)=0\alpha[-{(\lambda-1)}^{2}-\mathrm{2p}(\lambda+1)-\frac{3}{2}{p}^{2}-\frac{3}{4% }{p}^{2}-p-\frac{1}{2}]-\frac{3}{2}\beta(\frac{3}{2}{p}^{2}+\mathrm{2p}+1)=0
β[-(λ-1)2+2p(λ-1)-32p2-34p2-p-12]-32α(32p2+2p+1)=0\beta[-{(\lambda-1)}^{2}+\mathrm{2p}(\lambda-1)-\frac{3}{2}{p}^{2}-\frac{3}{4}% {p}^{2}-p-\frac{1}{2}]-\frac{3}{2}\alpha(\frac{3}{2}{p}^{2}+\mathrm{2p}+1)=0

Eq

β[-λ2-(2p+32)λ-(94p2+2p+12)]+α[λ2-(94p2+2p+12)]=0\beta[-{\lambda}^{2}-(\mathrm{2p}+\frac{3}{2})\lambda-(\frac{9}{4}{p}^{2}+% \mathrm{2p}+\frac{1}{2})]+\alpha[\frac{\lambda}{2}-(\frac{9}{4}{p}^{2}+\mathrm% {2p}+\frac{1}{2})]=0
α[-λ2+(2p+32)λ-(94p2+2p+12)]+β[-λ2-(94p2+2p+12)]=0\alpha[-{\lambda}^{2}+(\mathrm{2p}+\frac{3}{2})\lambda-(\frac{9}{4}{p}^{2}+% \mathrm{2p}+\frac{1}{2})]+\beta[\frac{-\lambda}{2}-(\frac{9}{4}{p}^{2}+\mathrm% {2p}+\frac{1}{2})]=0

Donc on a :

2λ2+p2-4p-2=02{\lambda}^{2}+{p}^{2}-\mathrm{4p}-2=0

où pour λ=±2,p2-4p+6=0\lambda=\pm 2,{p}^{2}-\mathrm{4p}+6=0, pour λ=±4,p2-4p+30=0\lambda=\pm 4,{p}^{2}-\mathrm{4p}+30=0etc. etc.

Pour λ=0,p2-4p-2=0,p=2±6,P=32p2+2p+1\lambda=0,{p}^{2}-\mathrm{4p}-2=0,p=2\pm\sqrt{6},P=\frac{3}{2}{p}^{2}+\mathrm{% 2p}+1:

(32p2+2p+1)(α+β)=0(\frac{3}{2}{p}^{2}+\mathrm{2p}+1)(\alpha+\beta)=0

Equation aux variations en tenant compte de m2{m}^{2}(n=1n=1) :

δu′′+2piδu-32p2δu-h2r2δu-3h2r2δse2iτ=32m2s\delta u^{\prime\prime}+\mathrm{2pi}\delta u^{\prime}-\frac{3}{2}{p}^{2}\delta u% -\frac{h}{{\mathrm{2r}}^{2}}\delta u-\frac{\mathrm{3h}}{{\mathrm{2r}}^{2}}% \delta s{e}^{\mathrm{2i}\tau}=\frac{3}{2}{m}^{2}s

d’où puisque s=re-iτ,u=reiτs=r{e}^{-i\tau},u=r{e}^{i\tau}; substituons à la place des premiers nombresδu=αei(δ+1)τ,δs=βei(δ-1)τ\delta u=\alpha{e}^{i(\delta+1)\tau},\delta s=\beta{e}^{i(\delta-1)\tau}; il viendra :

[α[-δ2-2δ(p+1)-32P]-32βP]ei(δ+1)τ[\alpha[-{\delta}^{2}-2\delta(p+1)-\frac{3}{2}P]-\frac{3}{2}\beta P]{e}^{i(% \delta+1)\tau}
[β[-δ2+2δ(p+1)-32P]-32αP]ei(δ-1)τ[\beta[-{\delta}^{2}+2\delta(p+1)-\frac{3}{2}P]-\frac{3}{2}\alpha P]{e}^{i(% \delta-1)\tau}

Appelons A(λ),B(λ)A(\lambda),B(\lambda)les coeff cela fera :

A(λ)ei(λ+1)τ,B(λ)ei(λ-1)τA(\lambda){e}^{i(\lambda+1)\tau},B(\lambda){e}^{i(\lambda-1)\tau}; soit λ=-2\lambda=-2, il viendra :

A(2)=0A(2)=0, B(2)=32m2rB(2)=\frac{3}{2}{m}^{2}r

Quid si p2-4p+6=0{p}^{2}-\mathrm{4p}+6=0? Il convient de faire :

δu=ατeiτ+αeiτ,δs=βτeiτ+βeiτ\delta u=\alpha\tau{e}^{i\tau}+\alpha^{\prime}{e}^{i\tau},\delta s=\beta\tau{e% }^{i\tau}+\beta^{\prime}{e}^{i\tau}
A(-2,α,β)=B(-2,α,β)=0A(-\mathrm{2,}\alpha,\beta)=B(-\mathrm{2,}\alpha,\beta)=0
𝑑𝐴(α,β)dλ+A(-2,α,β)=0,𝑑𝐵(α,β)dλ+B(-2,α,β)=0\frac{\mathit{dA}(\alpha,\beta)}{d\lambda}+A(-\mathrm{2,}\alpha^{\prime},\beta% ^{\prime})=0,\frac{\mathit{dB}(\alpha,\beta)}{d\lambda}+B(-\mathrm{2,}\alpha^{% \prime},\beta^{\prime})=0

Les deux premières eq se réduisent à une, d’où trois eq pour α,β,α,β\alpha,\beta,\alpha^{\prime},\beta^{\prime}, une indéterm [illisible] .

Soit à satisf aux éq (λ\lambda) en faisant n=1,δu=τeiτ+αeiτ,δs=-τe-iτ+βe-iτn=1,\delta u=\tau{e}^{i\tau}+\alpha{e}^{i\tau},\delta s=-\tau{e}^{-i\tau}+% \beta{e}^{-i\tau}, il vient :

2i+2pi+A(0,α,β)=0\mathrm{2i}+\mathrm{2pi}+A(\mathrm{0,}\alpha,\beta)=0
2i+2pi+B(0,α,β)=0\mathrm{2i}+\mathrm{2pi}+B(\mathrm{0,}\alpha,\beta)=0

Or :

2(p+1)i+32P(α+β)=02(p+1)i+\frac{3}{2}P(\alpha+\beta)=0

δu=iτeiτ+𝑘𝑒iτ\delta u=i\tau{e}^{i\tau}+{\mathit{ke}}^{i\tau} k facile à [illisible] en fonc de p et réel.

δs=-iτe-iτ+𝑘𝑒-iτ\delta s=-i\tau{e}^{-i\tau}+{\mathit{ke}}^{-i\tau}

Pour τ=0\tau=0, on a δu=δsϕ\delta u=\delta s\neq\phi, δu+δs=0\delta u^{\prime}+\delta s^{\prime}=0, d’où l’expression suivante pour δu\delta u et δs\delta s:

δu\displaystyle\delta u =α(ζλ+1+aζ1-λ)+β(itζ+kζ)+m2(bζ+cζ-1)\displaystyle=\alpha(\zeta^{\lambda+1}+a\zeta^{1-\lambda})+\beta(it\zeta+k% \zeta)+m^{2}(b\zeta+c\zeta^{-1})
δs\displaystyle\delta s =α(ζ-λ-1+aζ-1+λ)+β(-iτζ-1+kζ-1)+m2(cζ+bζ-1)\displaystyle=\alpha(\zeta^{-\lambda-1}+a\zeta^{-1+\lambda})+\beta(-i\tau\zeta% ^{-1}+k\zeta^{-1})+m^{2}(c\zeta+b\zeta^{-1})

α\alpha, β\beta constantes d’intégration, aa, bb, cc, kk fonctions connues de pp. Valeur pour τ=π2\tau=\frac{\pi}{2}, ζ=i\zeta=i

δu\displaystyle\delta u =α(iλ+1+aii-λ)+β(-π2+ki)+m2(bi-ci)\displaystyle=\alpha(i^{\lambda+1}+ai^{i-\lambda})+\beta(-\frac{\pi}{2}+ki)+m^% {2}(bi-ci)
δs\displaystyle\delta s =α(i-λ-1+ai-1+λ)+β(-π2-ki)+m2(ci-bi)\displaystyle=\alpha(i^{-\lambda-1}+ai^{-1+\lambda})+\beta(-\frac{\pi}{2}-ki)+% m^{2}(ci-bi)
δu\displaystyle\delta u^{\prime} =α[(λ+1)iλ+1+a(1-λ)i1-λ]+β(-iπ2-1-k)+m2(-b-c)\displaystyle=\alpha[(\lambda+1)i^{\lambda+1}+a(1-\lambda)i^{1-\lambda}]+\beta% (-i\frac{\pi}{2}-1-k)+m^{2}(-b-c)
δs\displaystyle\delta s^{\prime} =        m2(-b-c)\displaystyle=\qquad\cdots\qquad\cdots\qquad\cdots\qquad m^{2}(-b-c)

Considérons les valeurs de δu+δs\delta u+\delta s, et de δu-δs\delta u^{\prime}-\delta s^{\prime}, pour τ=0\tau=0, et pour τ=π2\tau=\frac{\pi}{2}; soient A0,A0,A1,A1{A}_{\mathrm{0,}}{A}_{0}^{\prime},{A}_{\mathrm{1,}}{A}_{1}^{\prime} ces valeurs.

Développons-les suivant les puissances de α\alpha, β\beta, δp\delta p, et m2m^{2}.

Ecrivons ensuite les équations A1=A1=0A_{1}=A_{1}^{\prime}=0.

Corriger 7\sqrt{7} par 1 et conséquences multiples. Corriger aussi le chapitre XXV.

Rechercher quel est le cas où l’exposant caractéristique = par ex 13\frac{1}{3}, voir si en multipliant mm par 3 on ne va pas avoir une solution de période 2π3\frac{2\pi}{3}, appartenant à une série de solutions de période 2π2\pi, et si cette dernière série est la continuation analytique de celle de Hill.

AD 17p. Collection particulière, 75017 Paris.

Notes

  • 1 La précision de cette transcription n’a pas été validée.
  • 2 Hill (1878a, b, c); Hill (1905).

Références

  • G. W. Hill (1878a) Researches in the lunar theory (I). American Journal of Mathematics 1 (1), pp. 5–26. Cited by: endnote 2.
  • G. W. Hill (1878b) Researches in the lunar theory (II). American Journal of Mathematics 1 (2), pp. 129–147. Cited by: endnote 2.
  • G. W. Hill (1878c) Researches in the lunar theory (III). American Journal of Mathematics 1 (3), pp. 245–260. Cited by: endnote 2.
  • G. W. Hill (1905) The Collected Mathematical Works of George William Hill, Volume 1. Carnegie Institution of Washington, Washington. Link Cited by: endnote 2.