Mémoire sur les courbes définies par une équation différentielle

Henri Poincaré
(1882)

Transcription et annotation par Thomas Marcou du manuscrit de l’article de Poincaré publié dans le Journal des mathématiques pures et appliquées (Poincaré, 1882), réalisée dans le cadre du Master Épistémologie et histoire des sciences, UFR Sciences et techniques, Université de Nantes, en août 2021. Revue et étendue légèrement pour publication éléctronique sur Henri Poincaré Papers par S.A. Walter. Pour une synthèse des travaux d’historiens à ce propos, voir le mémoire de Master 1 de Thomas Marcou.

Chapitre V
Théorie des conséquents

Convention fondamentale :

11endnote: 1 Le manuscrit porte une note marginale de main inconnue: “16 Belouze”.

Considérons une demi-caractéristique quelconque; nous la prolongerons indéfiniment si on peut le faire sans rencontrer un point singulier; si au contraire, en suivant la demi-caractéristique nous arrivons à un noeud, nous l’arrêterons à un noeud; si nous arrivons à un col, trois chemins s’ouvriront devant nous quand nous voudrons continuer à suivre la caractéristique, premier dans le prolongement du chemin suivi jusqu’alors, les deux autres à droite et à gauche; nous conviendrons de suivre l’un des chemins de droite ou de gauche22endnote: 2 Variante : “nous conviendrons, pour finir les idées, de suivre…”., sans jamais prendre celui qui est directement devant nous. Par exemple, nous considérerons33endnote: 3 Variante : “Par exemple, un point nous considérerons…” OBOB ou44endnote: 4 Variante : “OBOB et ou ODOD”. ODOD (figure 6)55endnote: 5 Variante : “(figure 2 6)”., et non pas OC66endnote: 6 Variante : “comme et non pas …”. comme le prolongement de AOAO. De cette façon on peut dire que dans le voisinage d’un col, il y a quatre caractéristiques collées l’une contre l’autre, et ayant deux à deux une branche commune, ce sont les caractéristiques AOB,BOC,COD,DOAAOB,\leavevmode\nobreak\ BOC,\leavevmode\nobreak\ COD,\leavevmode\nobreak\ DOA.

Figure 6.

Définition des conséquents :

Soit :

x=φ(t),y=ψ(t)x=\varphi(t),\leavevmode\nobreak\ y=\psi(t)

un arc algébrique sans contact; φ\varphi et ψ\psi sont des fonctions algébriques continues77endnote: 7 “continues” a été enlevé dans la version imprimée. de tt et n’ont qu’une seule valeur pour chaque valeur de tt. Les extrémités de l’arc correspondront aux valeurs de tt :

t=α,t=β.t=\alpha,\leavevmode\nobreak\ t=\beta.

Un pareil arc sans contact aura deux côtés que nous appellerons sa droite et sa gauche; un point infiniment voisin de l’arc ABAB pourra en effet être à droite ou à gauche de cet arc. Par exemple, le point mm sera à gauche de l’arc ABAB (figure 7)88endnote: 8 Variante : “(figure 3 7)”., le point mm^{\prime} à droite de l’arc ABAB, parce qu’on ne peut passer de l’un à l’autre sans traverser l’arc ABAB, ou sans s’éloigner99endnote: 9 Variante : “…sans s’en éloigner …”. de cet arc à distance finie, ou sans passer dans un cercle de rayon infiniment petit tracé avec AA ou BB comme centre.

Figure 7.

Ceci posé, considérons un point quelconque M0M_{0} de l’arc ABAB (figure 8)1010endnote: 10 Variante : “(figure 4 8)”.; de ce point partent deux demi caractéristiques, l’une vers la gauche, l’autre vers la droite de l’arc ABAB; considérons celle de gauche.
Il pourra se présenter plusieurs cas :
1°) Cette demi1111endnote: 11 “demi” a été rajouté entre “Cette” et “caractéristique”. caractéristique peut se prolonger indéfiniment sans qu’on rencontre de nouveau l’arc ABAB.
2°) Cette demi-caractéristique finit en tournant autour d’un foyer, avant d’avoir rencontré de nouveau l’arc ABAB.
3°) Elle aboutit à un noeud où nous devons l’arrêter d’après la convention fondamentale, et cela avant d’avoir rencontré de nouveau l’arc ABAB.
Dans ces trois cas, nous dirons que le point M0M_{0} n’a pas de conséquent.
4°) La demi caractéristique vient rencontrer l’arc ABAB en M1M_{1} avant d’avoir passé par un point singulier. Nous dirons alors que le point M1M_{1} est le conséquent du point M0M_{0}.
5°) La demi caractéristique aboutit à un col avant d’être arrivée à rencontrer de nouveau l’arc ABAB. Dans ce cas, et d’après la convention fondamentale, il faut tourner soit à droite, soit à gauche, et chacun de ces deux chemins peut nous conduire ou ne pas nous conduire à rencontrer de nouveau l’arc ABAB. Le point M0M_{0} peut alors avoir 0, 10,\leavevmode\nobreak\ 1 ou 22 conséquents.
Il peut enfin arriver que la demi caractéristique rencontre deux cols ou plus encore et dans ce cas, le point M0M_{0} pourrait avoir plus de 2 conséquents. Si en partant du point M0M_{0}1212endnote: 12 “en partant du point M0M_{0}” a été rajouté entre “Si” et "au lieu de considérer”. au lieu de considérer la demi caractéristique de gauche, on avait envisagé celle de droite, on aurait pu arriver1313endnote: 13 Variante : “…celle de droite, et qu’on fût arrivé on aurait …”. à un point MM^{\prime} situé sur l’arc ABAB.
Ce point MM^{\prime} s’appellera l’antécédent du point M0M_{0}. Dans ces conditions le point M0M_{0} sera lui-même l’antécédent de son conséquent M1M_{1}.
Si t0t_{0} et t1t_{1} sont les valeurs de tt qui correspondent à M0M_{0} et à M1M_{1}, la loi de conséquence sera la relation qui lie t0t_{0} à t1t_{1}

Figure 8.

Théorème XI :

Si t0=t1t_{0}=t_{1}, la caractéristique est un cycle.
                          Si t0t1t_{0}\lessgtr t_{1}, la caractéristique est une spirale.

En effet la première partie de l’énoncé est une véritable tautologie. La seconde se démontre aisément de la manière suivante :
Remarquons d’abord que l’arc M0DM1M_{0}DM_{1} (figure 9)1414endnote: 14 Variante : “(figure 5 9)”. sur-tend l’arc M0CM1M_{0}CM_{1} de la caractéristique; car il est sans sans contact.
De plus cet arc M0DM1M_{0}DM_{1} ne peut rencontrer la caractéristique en aucun autre point que M0M_{0} et M1M_{1}. Car des arcs tels que M1FM2M_{1}FM_{2}, M0HM3M_{0}HM_{3} seraient sous-tendus1515endnote: 15 Note présente dans la marge : “Note pour l’imprimeur : Sur l’arc N0DM1N_{0}DM_{1} les points se succèdent dans l’ordre suivant : N0M0M3DM2N1M1N_{0}M_{0}M_{3}DM_{2}N_{1}M_{1}”. par les arcs M1M2M_{1}M_{2}, M0M3M_{0}M_{3} ce qui est impossible puisque ces arcs sont supposés sans contact.
Ceci posé, par le point N0N_{0} infiniment voisin de M0M_{0} et à gauche de ce dernier, on pourra mener un arc de caractéristique N0EN1N_{0}EN_{1} qui viendra rencontrer l’arc M0M1M_{0}M_{1} en un point N1N_{1} infiniment voisin de M1M_{1} et à gauche de ce dernier; car il ne pourrait passer à droite sans couper la caractéristique M0CM1M_{0}CM_{1}, ce qui est impossible.
Le cycle1616endnote: 16 Variante : “L’arc Le cycle …”. N1M0N0EN1N_{1}M_{0}N_{0}EN_{1} ne rencontre donc la caractéristique M0CM1M_{0}CM_{1} qu’en un seul point qui est M0M_{0}. Donc cette caractéristique est une spirale.

C.Q.F.D.

Figure 9.

Théorème XII :

Toute caractéristique, qui n’aboutit pas à un noeud, est un cycle ou une spirale.

En effet si cette caractéristique ne rencontre aucun cycle algébrique en une infinité de points, elle est un cycle, en vertu du théorème I.
Si au contraire elle rencontre un cycle algébrique en une infinité de points, comme ce cycle se compose d’un nombre fini d’arcs sans contact, elle rencontrera l’un de ces arcs sans contact en plus d’un point, c’est à dire que l’un des points d’intersections aura un conséquent.
S’il se confond1717endnote: 17 Variante : “…S’il rencontre se confond …”. avec son conséquent, la caractéristique est un cycle, s’il ne se confond pas avec son conséquent, la caractéristique est une spirale, en vertu du théorème XI.
Le théorème est donc démontré.

Théorème XIII :

Si M0M_{0} ne correspond pas à une caractéristique passant par un col, et s’il a un conséquent M1M_{1},1818endnote: 18 La virgule a été remplacé par un point virgule. si t1=φ1(t0)t_{1}=\varphi_{1}(t_{0})1919endnote: 19 Variante : “…s’il a un conséquent M1M_{1}, si t0t_{0} et t1t_{1} sont les valeurs de tt qui correspondent à M1M_{1} et à M0M_{0} si t1=φ1(t0)t_{1}=\varphi_{1}(t_{0}) …”. est la loi de conséquence, la fonction φ\varphi2020endnote: 20 φ\varphi a été corrigé par φ1\varphi_{1} dans la version imprimée. est holomorphe pour les valeurs de t0t_{0} voisines de celle qui correspond à M0M_{0}.

En effet2121endnote: 21 Variante : “Soit En effet …”. nous avons supposé au début2222endnote: 22 Variante : “En effet nous supposons avons supposé que …”. que si :

x=φ(t),y=ψ(t)\displaystyle x=\varphi(t),\leavevmode\nobreak\ y=\psi(t)

sont les équations de l’arc sans contact, φ\varphi et ψ\psi sont des fonctions holomorphes de tt dans le voisinage de la valeurs de tt qui correspond à M0M_{0} et aussi de celle qui correspond à M1M_{1}.
Supposons que l’on cherche une intégrale de l’équation aux différences partielles

Xdzdx+Ydzdy=0.X\frac{dz}{dx}+Y\frac{dz}{dy}=0.

qui soit assujettie à se réduire identiquement à t0t_{0} quand on y fait

x=φ(t0),y=ψ(t0)x=\varphi(t_{0}),\leavevmode\nobreak\ y=\psi(t_{0})

Cette intégrale représente une surface qui passe2323endnote: 23 Variante : “…une surface qui coupe le cylindre qui a pour base le passe par …”. par la courbe gauche :

x=φ(z),y=ψ(z)x=\varphi(z),\leavevmode\nobreak\ y=\psi(z)

Dans le voisinage du point M0M_{0}, cette intégrale est holomorphe en xx et en yy; car l’arc

x=φ(t0),y=ψ(t0)x=\varphi(t_{0}),\leavevmode\nobreak\ y=\psi(t_{0})

ne touche pas une caractéristique.
Elle sera de même holomorphe en xx et en yy tout le long de la caractéristique qui passe par le point M0M_{0} à moins que cette caractéristique ne passe par un point singulier. Or, nous avons supposé que cette caractéristique allait passer par le point M1M_{1} sans avoir rencontré auncun point singulier. Dans le voisinage du point M1M_{1}, zz est donc fonction holomorphe de xx et de yy; et si on y fait :

x=φ(t1),y=ψ(t1)x=\varphi(t_{1}),\leavevmode\nobreak\ y=\psi(t_{1})

zz devient fonction holomorphe de t1t_{1} dans le voisinage de la valeur de t1t_{1} qui correspond à M1M_{1}.
Or zz n’est autre chose que t0t_{0}. Donc t0t_{0} est fonction holomorphe de t1t_{1}. On démontrerait identiquement de la même manière que t1t_{1} est fonction holomorphe de t0t_{0} dans le voisinage de t0t_{0} qui correspond à M0M_{0}.

Corollaire I :

La fonction t1=φ1(t0)t_{1}=\varphi_{1}(t_{0}) qui exprime la loi de conséquence ne peut offrir de discontinuité que pour les valeurs de t0t_{0} qui correspondent à des caractéristiques2424endnote: 24 Variante : “…correspondent à des cols caractéristiques …”. passant par des cols.

Corollaire II :

Si l’on divise l’arc sans contact ABAB en arcs partiels, tels que tous les points de chacun de ces arcs aient un conséquent, ou qu’aucun n’en ait, les extrémités de ces arcs partiels seront des points ayant pour conséquent une extrémité de l’arc sans contact ABAB, ou correspondant à des caractéristiques passant par des cols.

Corollaire III :

Si les extrémités de l’arc sans contact2525endnote: 25 Variante : “Si l’on divise l’arc sans contact en a Si les extrémités de l’arc sans contact …”. correspondent aux valeurs :

t=α,t=βt=\alpha,\leavevmode\nobreak\ t=\beta

Si pour aucune valeur de tt telle que

α<t<β,\alpha<t<\beta,

la caractéristique correspondante ne passe pas par un col.
Si pour toutes les valeurs de tt telles que (α1\alpha_{1} et β1\beta_{1} étant des constantes données) on ait :

α<α1<t<β1<β\alpha<\alpha_{1}<t<\beta_{1}<\beta

la caractéristique correspondante est un cycle.
Les caractéristiques qui correspondent à une valeur quelconque2626endnote: 26 Variante : “…à une valeur donnée quelconque de tt …”. de tt comprise entre α\alpha et β\beta sont toutes des cycles.

Théorème XIV :

La valeur de dt1dt0\frac{dt_{1}}{dt_{0}} est toujours positive.

En effet soit ABAB l’arc sans contact (figure 10),2727endnote: 27 Variante : “(figure 6 10)”. soit M0M1M_{0}M_{1}, une caractéristique, soit N0N_{0} un point infiniment voisin de M0M_{0} et situé à droite de ce point. Soit N0N1N_{0}N_{1} la caractéristique qui passe par ce point. Le point N1N_{1} est infiniment voisin de M1M_{1}; je dis qu’il est à droite de ce point. Car2828endnote: 28 Une virgule a été ajouté ici dans la version imprimée. pour qu’il fût à gauche, il faudrait que la caractéristique N0N1N_{0}N_{1} sortît du cycle M0HM1N0M0M_{0}HM_{1}N_{0}M_{0} quand on la prolonge au delà de N1N_{1}, c’est à dire que l’arc de caractéristique N0N1N_{0}N_{1} fût sous-tendu par l’arc N0N1N_{0}N_{1} ce qui est impossible puisque cet arc est sans contact

Figure 10.

Etude de la courbe de conséquence :

Si l’on considère les quantités t0t_{0} et t1t_{1} comme les coordonnées d’un point, la loi de conséquence

t1=φ(t0)t_{1}=\varphi(t_{0})

représente une courbe. Cette courbe est comprise tout entière dans le carré :

t0=α,\displaystyle t_{0}=\alpha, t1=α\displaystyle t_{1}=\alpha
t0=β,\displaystyle t_{0}=\beta, t1=β\displaystyle t_{1}=\beta

1er cas :

A aucune valeur de tt comprise comprise entre α\alpha et β\beta ne correspond de caractéristique allant passer par un col.
Dans ce cas la courbe de conséquence est continue; elle ne rencontre qu’en un point les parallèles aux axes; en suivant2929endnote: 29 Variante : “…aux axes; les points en suivant …”. la courbe dans un sens3030endnote: 30 Variante : “…la courbe dans un certain sens …”. convenable, on va constamment en s’éloignant des deux axes.
C’est dire que si KLCDKLCD est le carré (figure 11)3131endnote: 31 Variante : “(figure 7 11)”. :

t0=α,\displaystyle t_{0}=\alpha, t1=α\displaystyle t_{1}=\alpha
t0=β,\displaystyle t_{0}=\beta, t1=β\displaystyle t_{1}=\beta

la courbe présente des formes telles que :

AB,CD,EF,GHAB,\leavevmode\nobreak\ CD,\leavevmode\nobreak\ EF,\leavevmode\nobreak\ GH

Elle présentera3232endnote: 32 "présentera" devient "représentera" dans la version imprimée. la forme CDCD quand les valeurs α\alpha et β\beta de t0t_{0} correspondront à des cycles, pendant qu’aucune valeur de t0t_{0} comprise entre α\alpha et β\beta ne correspondront à un cycle.

Figure 11.

2eme cas :

A certaines valeurs y0y_{0}, y0y_{0}^{\prime}, etc de t0t_{0} comprise entre α\alpha et β\beta correspondent des caractéristiques allant passer par un col.3333endnote: 33 La version imprimée commence par une suppostion : “Supposons qu’à certaines valeurs …”.

Aux valeurs α\alpha et β\beta correspondent des cycles; à aucune valeur intermédiaire ne correspond un cycle.3434endnote: 34 “Aux valeurs” devient “Que de plus aux valeurs” dans la version imprimée.

De tous les cols3535endnote: 35 Variante : “Nous supposerons d’abord que les branches de courbe De tous les cols…”. partent quatre branches de...3636endnote: 36 Il manque ici quatre pages (de la page 74 à la page 77 du manuscrit); ces pages correspondent à la fin du Chapitre V de la version imprimée, pages 259 à 261, comprenant quatre figures numérotées 12 à 15.

Chapitre VI : Théorie des cycles limites

D’après ce que nous avons vu plus haut, les caractéristiques peuvent se diviser en 4 catégories :
1° les cycles.
2° les spirales que l’on peut suivre indéfiniment dans les deux sens sans aboutir à un noeud, ou sans tourner autour d’un foyer, et sans revenir au point de départ.
3° les caractéristiques que l’on peut suivre indéfiniment dans un sens sans rencontrer un noeud ou se rapprocher d’un foyer; mais qui dans l’autre sens aboutissent à un noeud ou se rapprochent indéfiniment d’un foyer.
4° Celles qui aboutissent de part et d’autres à un noeud ou à un foyer.
D’après les3737endnote: 37 Variante : “De mem D’après”. mêmes principes, les demi caractéristiques se divisent en 4 catégories.
1° les cycles.
2° les demi-spirales, que l’on suit sur un arc infini sans arriver à un noeud ou à un foyer et sans revenir au point de départ.
3° Les demi caractéristiques qui aboutissent à un noeud.
4° Celles qui tournent indéfiniment autour d’un foyer.
D’après le théorème I, les demi caractéristiques de la 2de2^{de} catégories rencontrent certains cycles algébriques, et par conséquent certains arcs algébriques sans contact en une infinité de points.
Soit ABAB un de ces arcs algébriques sans contact. Soit M0M_{0} (figure 16)3838endnote: 38 Variante : “(figure 12 6)”. le point d’où est issue la demi caractéristique considérée. Soit M1M_{1} le conséquent de M0M_{0} et supposons que M1M_{1} soit à droite de M0M_{0}.
Soit M2M_{2} le conséquent de M1M_{1}, M3M_{3} celui de M2M_{2}, etc.
M2M_{2} sera à droite de M1M_{1}, M3M_{3} à droite de M2M_{2}, etc.
En général Mn+1M_{n+1} sera à droite de MnM_{n}3939endnote: 39 une virgule a été ajouté dans la version imprimée. et comme4040endnote: 40 une virgule a été ajouté dans la version imprimée. quelque grand que soit nn, MnM_{n} est toujours sur l’axe ABAB; MnM_{n} tendra vers une limite quand nn augmentera indéfiniment. Soit HH cette limite.
Le conséquent de MnM_{n} quand nn est indéfiniment grand et infiniment rapproché de MnM_{n}. Donc HH est son propre conséquent; donc la caractéristique qui passe par HH est un cycle; nous l’appellerons cycle limite de la demi caractéristique donnée. On peut suivre sur la caractéristique qui passe par M0M_{0} un arc assez grand pour se rapprocher autant l’on veut du point HH.
Soit HKHK un arc de la caractéristique qui passe par le point HH. Soit4141endnote: 41 Variante : ”On pourra prendre nn assez grand po Soit CDCD\mathellipsis”. CDCD un arc algébrique passant par KK.
On pourra prendre nn assez grand pour que l’arc de caractéristique issu de MnM_{n} aille rencontrer CDCD.
Supposons par exemple que l’arc issu de M2M_{2} aille rencontrer CDCD en N2N_{2}. L’arc issu de M3M_{3} ira rencontrer CDCD en N3N_{3},…, l’arc issu de MnM_{n} en un point NnN_{n}.
N3N_{3} sera à droite de N2N_{2},…, Nn+1N_{n+1} sera à droite de NnN_{n}. De sorte que la demi caractéristique donnée rencontrera CDCD en une infinité de points N2,N3N_{2},\leavevmode\nobreak\ N_{3},…, NnN_{n} et que4242endnote: 42 Variante : “…N2,N3N_{2},\leavevmode\nobreak\ N_{3},…, NnN_{n} de telle et que …”. NnN_{n} tendra vers KK quand nn augmentera indéfiniment.

Figure 16.

En résumé : toute demi caractéristique de la 2de2^{de} catégorie a un cycle limite.
Tout arc algébrique, si petit qu’il soit qui coupe ce cycle coupe la caractéristique en une infinité de points.
On peut trouver un point de la demi caractéristique qui soit aussi rapproché qu’on voudra d’un point quelconque de son cycle limite.
Soit ABAB (figure 17)4343endnote: 43 Variante : “(figure 13 7)”. un algébrique algébrique sans contact. Supposons qu’à aucun point MM situé entre AA et BB ne corresponde une caractéristique allant passe par un col; qu’au point M0M_{0} corresponde un cycle limite et qu’à aucun point MM différent de M0M_{0} et situé entre AA et BB ne corresponde un cycle limite. Toute caractéristique qui rencontre ABAB aura pour cycle limite le cycle qui passe par M0M_{0}.

Figure 17.

Si l’on considère un cycle limite CC (figure 18)4444endnote: 44 Variante : “(figure 14 8)”. qui ne passe par aucun col et qui passe par un point M0M_{0}, on pourra mener par M0M_{0} un arc algébrique ABAB assez petit pour qu’il soit sans contact; pour qu’entre AA et M0M_{0} ou entre M0M_{0} et BB,4545endnote: 45 La virgule n’apparaît pas dans la version imprimée. il n’y ait aucun point auquel corresponde une caractéristique passant par un col ou un cycle limite. Toutes les caractéristiques qui rencontrent ABAB ont alors CC pour cycle limite, de sorte que CC est le cycle limite de deux séries de caractéristiques situées l’une à l’intérieur du cycle, l’autre à l’extérieur.
Voyons ce qui se passe quand CC va passer par un col.

Figure 18.

Soit HH le col, HA,HB,HC,HDHA,\leavevmode\nobreak\ HB,\leavevmode\nobreak\ HC,\leavevmode\nobreak\ HD les quatres branches de caractéristiques issues de ce col. Supposons que deux de ces branches, HAHA et HBHB par exemple aillent aboutir à un même point MM, de façon à former un cycle HAMBHHAMBH; ce cycle sera toujours cycle limite de courbes telles que αα\alpha\alpha; l’inspection de la figure le démontre (figure 19).4646endnote: 46 Variante : “(figure 15 9)”.
Considérons au contraire la courbe ββ\beta\beta, il est aisé de voir que, si les branches de courbe HC,HDHC,\leavevmode\nobreak\ HD ne vont pas aboutir en un même point NN; le cycle HAMBHHAMBH n’est pas cycle limite de ββ\beta\beta.
Si, au contraire, HCHC et HDHD vont se réunir en NN, ββ\beta\beta a pour cycle limite le polycycle

HAMBHDNCHHAMBHDNCH
Figure 19.

Théorème XV :

A l’intérieur et à l’extérieur d’un cycle limite quelconque, il y a toujours au moins un foyer ou un noeud.

Pour démontrer ce théorème, nous allons appeler tangences d’un cycle les points où il touche un des grands cercles x=constantex=\text{constante}4747endnote: 47 Variante : “yy x=constantex=\text{constante}”..
Les tangences seront directes, si dans le voisinage du point de contact, le grand cercle tangent reste à l’extérieur du cycle. Elles seront inverses dans le cas contraire.
Nous démontrerons ensuite les deux lemmes suivants.

Lemme I :

Si les points d’intersections de l’équateur avec le grand cercle x=0x=0, points que nous appellerons m,mm,\leavevmode\nobreak\ m^{\prime} sont tous deux à l’extérieur d’un cycle, l’excès du nombre des tangences directes de ce cycle sur le nombre de ses tangences inverses est de 2;
Si les points m,mm,\leavevmode\nobreak\ m^{\prime} sont tous deux à l’intérieur du cycle cet excès est de -2.
Si les points m,mm,\leavevmode\nobreak\ m^{\prime} sont l’un à l’extérieur, l’autre à l’intérieur, cet excès est de 0.

En effet on peut passer d’un cycle quelconque AA à un autre cycle également quelconque BB par voie de déformation continue, c’est à dire en passant du cycle AA à un cycle qui en diffère infiniment peu AA^{\prime}, et ensuite par une série de cycle4848endnote: 48 Variante : “…et de celui ci ensuite par une cycle série infiniment …”. CC infiniment peu différents les uns des autres, on arrivera à un cycle BB^{\prime} infiniment peu différent de BB.
Dans ces déformations successives, une tangence directe ne se transformera jamais en une tangence inverse ni une tangence inverse en une tangence directe, car cela ne pourrait avoir lieu que si l’un des grands cercles x=constantex=\text{constante}4949endnote: 49 Variante : “y x=constantex=\text{constante}”. devenait osculateur à l’un des cycles CC; dans ce cas, ce serait que deux tangences, l’une directe, et l’autre inverse seraient venues à se confondre; et dans ce cas elles disparaîtraient en général pour un des cycles infiniment voisins de CC.
L’excès qu’il s’agit d’évaluer dans ce lemme ne peut se modifier dans ces déformations continues du cycle que si deux des tangences viennent5050endnote: 50 Variante : “…si deux des tangencs venant viennent à se …”. à se confondre, puis à disparaître. Or cela peut arriver dans deux cas :
1° Quand l’un des cycles CC vient à passer par l’un des points m,mm,\leavevmode\nobreak\ m^{\prime}; mais nous supposerons5151endnote: 51 Variante : “…des points m,mm,\leavevmode\nobreak\ m^{\prime}; mais si l’on suppose nous supposerons : 1° que les points …”. : 1° que les points m,mm,\leavevmode\nobreak\ m^{\prime} sont tous deux à l’intérieur de AA et tous deux à l’intérieur de BB, 2° ou que les points m,mm,m^{\prime} sont tous deux à l’extérieur de AA et à l’extérieur de BB. 3° ou que mm soit à l’extérieur de AA et de BB pendant que mm^{\prime} est à l’intérieur de ces deux cycles; et par conséquent on aura pu toujours choisir la série des cycles CC qui permettent de passer du cycle AA au cycle BB, de telle sorte qu’aucun des cycles CC ne passe ni par mm, ni par mm^{\prime}.
2° Cela peut arriver encore si l’un des cycles CC devient osculateur à l’un des cercles x=const.x=\text{const.} Mais dans ce cas, c’est une tangence directe et une tangence inverse qui se confondent et disparaissent. L’excès à évaluer n’est donc pas modifié.
Donc cet excès est le même pour AA et pour BB.
Mais supposons que AA soit un cycle convexe quelconque et BB le cycle donné.
L’excès en question sera de 2 pour AA si mm et mm^{\prime} sont à l’extérieur de AA; il sera de -2-2 s’ils sont tous deux à l’intérieur et de 0 s’ils sont l’un à l’intérieur et l’autre à l’extérieur.
L’excès en question sera donc pour BB, de 2, de -2 et de 0 dabs les mêmes conditions.
Le lemme est donc démontré.

Lemme II :

Si l’on parcourt un cycle de manière à avoir toujours l’intérieur à sa gauche et que l’on observe les variations du cœfficient angulaire dydx\frac{dy}{dx}, on observera qu’à chaque tangence directe, dydx\frac{dy}{dx}5252endnote: 52dydx\frac{dy}{dx}” devient “λdydx\lambda\frac{dy}{dx}” dans la version imprimée. sautera de ++\infty à --\infty5353endnote: 53 Variante : “…sautera de ++\infty à + --\infty …”. si l’on est dans le premier hémisphère, de --\infty à ++\infty5454endnote: 54 Variante : “…le premier hémisphère, et de + --\infty\mathellipsis”. si l’on est dans le second hémisphère et que c’est le contraire pour les tangences inverses.

Démonstration du théorème :

Supposons d’abord que le cycle limite considéré soit tel que les deux points mm et mm^{\prime} soient d’un même côté que nous appellerons l’extérieur du cycle.
Soit ν\nu le nombre des noeuds et des foyers contenus à l’intérieur du cycle, ν\nu^{\prime} le nombre des noeuds et des foyers situés à l’extérieur du cycle, γ\gamma et γ\gamma^{\prime} le nombre

des cols situés à l’intérieur et à l’extérieur du cycle. On a

ν+ν-γ-γ=2\nu+\nu^{\prime}-\gamma-\gamma^{\prime}=2

Le cycle coupe l’équateur en un certain nombre de points, de telle façon qu’on peut le partager en un certain nombre de cycles secondaires, situés les uns tout entiers dans le premier hémisphère, les autres tout entiers dans le second hémisphère, et formés à l’aide d’arcs du cycle primitif et d’arcs de l’équateur.
Supposons pour fixer les idées que le cycle donné soit le cycle AHBGCKDLAAHBGCKDLA qui coupe l’équateur aux points A,B,C,DA,\leavevmode\nobreak\ B,\leavevmode\nobreak\ C,\leavevmode\nobreak\ D (figure 20)5555endnote: 55 Variante : “(figure 16 20)”.. Le cycle se décompose en trois cycle secondaires

AEBHA,CFDKC,CGBEALDFCAEBHA,\leavevmode\nobreak\ CFDKC,\leavevmode\nobreak\ CGBEALDFC
Figure 20.

Or d’après le théorème IV, on a

-(ν-γ)=ind.AEBHA+ind. CFDKC+ind. CGBEALDFC.-(\nu-\gamma)=\text{ind.}\leavevmode\nobreak\ AEBHA+\text{ind. }CFDKC+\text{% ind. }CGBEALDFC.

Soit maintenant α,α,α′′,α′′′\alpha,\leavevmode\nobreak\ \alpha^{\prime},\leavevmode\nobreak\ \alpha^{% \prime\prime},\leavevmode\nobreak\ \alpha^{\prime\prime\prime} le nombre des tangences directes des arcs AHB,CKDAHB,\leavevmode\nobreak\ CKD, CGB,ALDCGB,\leavevmode\nobreak\ ALD5757endnote: 57 "AHB,CKD,CGB,ALDAHB,\leavevmode\nobreak\ CKD,\leavevmode\nobreak\ CGB,\leavevmode\nobreak\ ALD" devient "AHB,CKB,CKB,CGH,ALDAHB,\leavevmode\nobreak\ CKB,\leavevmode\nobreak\ CKB,\leavevmode\nobreak\ CGH% ,\leavevmode\nobreak\ ALD" dans la version imprimée., β,β,β′′,β′′′\beta,\leavevmode\nobreak\ \beta^{\prime},\leavevmode\nobreak\ \beta^{\prime% \prime},\leavevmode\nobreak\ \beta^{\prime\prime\prime} le nombre de leurs tangences inverses, soit λ\lambda et λ\lambda^{\prime}5858endnote: 58 Variante : “…soit yy et yy^{\prime} λ\lambda et λ\lambda^{\prime} ….”. le nombre des fois que YX\frac{Y}{X} saute de --\infty à ++\infty quand on parcourt les arcs AEBAEB et CFDCFD, μ\mu et μ\mu^{\prime} le nombre de fois que YX\frac{Y}{X} saute de ++\infty à --\infty quand on parcourt les arcs AEBAEB et CFDCFD, on a, en vertu du lemme II et en remarquant que tout le long du cycle donné on a

dydx=YX\frac{dy}{dx}=\frac{Y}{X}
2 ind. AEBHA=-α+λ-μ+β\displaystyle 2\text{ ind. }AEBHA=-\alpha+\lambda-\mu+\beta
2 ind. CFDKC=-α+λ-μ+β\displaystyle 2\text{ ind. }CFDKC=-\alpha^{\prime}+\lambda^{\prime}-\mu^{% \prime}+\beta^{\prime}
2 ind. CGBEAL=-α′′-α′′′+β′′+β′′′-λ-λ+μ+μ\displaystyle 2\text{ ind. }CGBEAL=-\alpha^{\prime\prime}-\alpha^{\prime\prime% \prime}+\beta^{\prime\prime}+\beta^{\prime\prime\prime}-\lambda-\lambda^{% \prime}+\mu+\mu^{\prime}

d’où

-(2ν-2γ)=β+β+β′′+β′′′-α-α-α′′-α′′′-(2\nu-2\gamma)=\beta+\beta^{\prime}+\beta^{\prime\prime}+\beta^{\prime\prime% \prime}-\alpha-\alpha^{\prime}-\alpha^{\prime\prime}-\alpha^{\prime\prime\prime}

or d’après le lemme I

-(2ν-2γ)=-2,ν-γ=1-(2\nu-2\gamma)=-2,\leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \leavevmode% \nobreak\ \nu-\gamma=1

On a donc aussi :

ν-γ=1\nu^{\prime}-\gamma^{\prime}=1

d’où

ν>0,ν>0\nu>0,\leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \nu^{% \prime}>0

C.Q.F.D.

Dans le cas où les points m,mm,\leavevmode\nobreak\ m^{\prime} sont de part et d’autre du cycle, la difficulté est facile à tourner. En effet, on trouvera toujours sur la sphère5959endnote: 59 Variante : “…on trouvera toujours sur l’équateur la sphère …”. deux points diamétralement opposés qui soient d’un même côté du cycle, et il suffira d’un changement de variables6060endnote: 60 Variante : “…d’un changement linéaire de variable …”. pour retomber sur le cas précédent. Si l’on ne trouve pas sur la sphère6161endnote: 61 Variante : “…Si l’on ne trouve pas sur l’équateur la sphère …”. deux points diamétralement opposés qui soient d’un même côté du cycle, c’est que les points du cycle sont deux à deux6262endnote: 62 Variante : “…c’est que le cycle passe par deux points les points du cycle sont deux à deux …”. diamétralement opposés, c’est à dire que le cycle6363endnote: 63 Variante : “…c’est à dire qu’il que le cycle est …”. est symétrique à lui-même par rapport au centre de la sphère, et alors le théorème est évident par lui-même.

Théorème XVI :

Un cycle algébrique qui passe par tous les noeuds et par tous les foyers rencontre tous les cycles limites.

En effet, soit un cycle limite CC quelconque, il contient certains noeuds et certains foyers à son intérieur, certains noeuds et certains foyers à l’extérieur.
Il y a donc des points du cycle algébrique donné qui sont à l’extérieur de CC, et d’autre qui sont à l’intérieur, c’est à dire que le cycle algébrique donné rencontre CC.

C.Q.F.D.

Corollaire :

Tout cycle algébrique qui passe par tous les noeuds et par tous les foyers, rencontre toutes les caractéristiques.

Théorème XVII :

Les cycles limites sont en nombre fini, pourvu qu’aucun d’eux ne passe par un col.

En effet faisons passer un cycle algébrique CC par tous les noeuds et par tous les foyers. Soient6464endnote: 64 Variante : “En effet Soient :…”. :

x=φ(t),y=ψ(t)\displaystyle x=\varphi(t),\leavevmode\nobreak\ y=\psi(t)

les équations de ce cycle CC.
Ce cycle rencontrant tous les cycles limites, aurait une infinité de points d’intersection avec ces cycles limites, si ceux-ci étaient en nombre infini. Il y aurait donc un point de ce cycle CC autour duquel ces points d’intersections seraient infiniment rapprochés, c’est à dire que si

t1=φ(t0)\displaystyle t_{1}=\varphi(t_{0})

est la loi de conséquence d’un certain arc sans contact du cycle CC, il y aura une certaine valeur τ\tau de t0t_{0}, telle que t0t_{0}6565endnote: 65 Une note est présente dans la marge : “1b (ou 16) Brabant”. variant de τ-ε\tau-\varepsilon à τ+ε\tau+\varepsilon, t1t_{1} devienne un nombre infini de fois égal à t0t_{0}.
Mais si τ\tau ne correspond pas à une caractéristique passant par un col, φ(t0)\varphi(t_{0}) est holomorphe pour t0=τt_{0}=\tau, et on ne peut donc avoir une infinité de fois (t0t_{0} variant de τ-ε\tau-\varepsilon à τ+ε\tau+\varepsilon) :

t0=φ(t0)\displaystyle t_{0}=\varphi(t_{0})

Cela ne peut arriver non plus si τ\tau ne correspond pas à un cycle limite.
Donc on ne peut avoir une infinité de cycles limites que si l’un d’eux vas passer par un col.

Théorie des anneaux limites :

Soit encore un cycle algébrique CC passant par tous les noeuds et par tous les foyers. On peut y découper6666endnote: 66 Variante : “On peut le diviser en y découper un certain …”. un certain nombre d’arcs sans contact contenant tous les points qui correspondent à des cycles limites et ne contenant aucun des points qui correspondent à des caractéristiques passant par des cols.
Soit t1=φ(t0)t_{1}=\varphi(t_{0}) la loi de conséquence de l’un ces arcs6767endnote: 67 Variante : “…la loi de conséquence de cet arc l’un de ces arcs, …”., et supposons que l’on fasse varier t0t_{0} depuis α\alpha jusqu’à β\beta; que les points t0=α,t0=βt_{0}=\alpha,\leavevmode\nobreak\ t_{0}=\beta aient deux conséquents t1=α,t1=βt_{1}=\alpha^{\prime},\leavevmode\nobreak\ t_{1}=\beta^{\prime}. Soit A1A_{1} le point de l’arc sans contact qui correspond à t0=τt_{0}=\tau. Supposons que l’on considère6868endnote: 68 Variante : “…Supposons que l’on représente par considère le point …”. le point de la sphère qui se trouve sur la caractéristique qui passe par A1A_{1}6969endnote: 69A1A_{1}” devient “AA” dans la version imprimée. et qui est séparé de A1A_{1} par un arc ss de caractéristique, et qu’on fasse correspondre à ce point un point du plan qui ait pour coordonnées ss et τ\tau (figure 21)7070endnote: 70 Variante : “(figure 17 21)”.

Figure 21.

A l’arc sans contact correspondront :
1° le segment de la droite s=0s=0 comprit entre les points

τ=α  τ=β. soit AB (fig )\displaystyle\tau=\alpha\leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \leavevmode% \nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \tau=\beta\text{. soit }AB\text{ (fig )}

2° un certain arc de courbe CDCD, défini par l’équation

s=λ(τ)\displaystyle s=\lambda(\tau)

λ(τ)\lambda(\tau) étant la longueur de la caractéristique passant par A1A_{1} qu’il faut parcourir avant de rencontrer de nouveau l’arc sans contact.
Un point quelconque de l’arc sans contact sera représenté par un point BiB_{i} du segment7171endnote: 71 Variante : “…par un point BiB_{i} deu l’ar segment ABAB …”. ABAB et par un point DiD_{i} de l’arc CDCD. Tout arc de courbe allant de DiD_{i} à BiB_{i} représente un cycle; ce cycle sera sans contact, si l’arc de courbe DiBiD_{i}B_{i} n’est tangent à aucune des droites τ=const.\tau=\text{const.}
Or il est clair qu’on peut joindre par des droites, AA et CC, BB7272endnote: 72BB” devient “EE” dans la version imprimée. et DD7373endnote: 73 Variante : “…joindre par des droites, ACAC AA et CC, BDBD BB et DD, puis …”., puis sillonner le quadrilatère mixtiline ABCDABCD par des arcs de courbes qui ne sont tangents à aucune des droites τ=const.\tau=\text{const.} et qui ne se coupent en aucun point.

Conséquence :

Autour d’un cycle limite quelconque se trouve une région annulaire qui est limitée par deux cycles sans contact que nous appellerons cycles frontières et qui est sillonnée de cycles sans contact qui ne se coupent en aucun point.
Ces régions annulaires s’appelleront anneaux limites et seront en nombres fini.
Autour des noeuds et des foyers, on peut également tracer une série de cycles sans contact s’enveloppant mutuellement, de sorte que les noeuds et les foyers ont aussi leurs anneaux limites.
Nous avons implicitement supposé qu’aucun cycle limite ne passait par un col,7474endnote: 74 Variante : “…cycle limite ne passait par un noeud col, car nous …”. car nous avons envisagé sur le cycle algébrique CC des arcs sur lesquels se trouvaient tous les points auxquels correspondent des cycles limites, et ne se trouvait aucun des points auxquels correspondent des caractéristiques passant par des cols.
Supposons maintenant qu’un cycle limite aille passer par un col, nous savons que deux cas peuvent se présenter :
1° Une pareil caractéristique n’est cycle limite7575endnote: 75 Variante : “…Une pareil cycle caractéristique n’est limite cycle limite …”. que des caractéristiques qui lui sont suffisamment voisines et qui sont situées à l’intérieur du cycle (voir figure 19). Dans ce cas, on découpera sur le cycle CC un arc sans contact limité au point qui correspond au cycle limite qui passe par un col, et ne contenant aucun autre point correspondant à une caractéristique passant par un col, et, raisonnant comme dans le cas général, on fera voir que le cycle qui passe par un col, a également un anneau limite, mais dont il est lui-même le cycle frontière.
2° Les cycles HAMBH,HCNDHHAMBH,\leavevmode\nobreak\ HCNDH (figure 19) sont cycles limites des caractéristiques situées à l’intérieur de ces cycles, pendant que le polycycle HAMBHDNCHHAMBHDNCH est cycle limite des caractéristique extérieures.
Raisonnant comme dans le premier cas particulier, on verrait que chacun de ces trois cycles a un anneau limite, dont il est lui-même le cycle frontière, de sorte que ces trois anneaux limites forment par leur juxtaposition une seule région annulaire.

Régions interannulaires :

Les cycles frontières divisent la sphère eu deux catégories de régions : 1° les anneaux limites que nous venons d’étudier. 2° les régions interannulaires.
Un mobile parcourant une caractéristique d’une vitesse uniforme et partant d’un point situé dans une région interannulaire, ira après un temps fini traverser un cycle frontière pour passer dans un anneau limite.
Car les régions interannulaires ne contiennent ni noeud, ni foyer, ni aucun point des cycles limites.
Je dis que les régions interannulaires sont commes les anneaux limites sillonnées par des cycles sans contact. En effet supposons pour fixer les idées qu’une région interannulaire soit limitée par trois cycles frontières A,B,CA,\leavevmode\nobreak\ B,\leavevmode\nobreak\ C et divisée en deux parties, sillonnées la première par des caractéristiques allant de AA en BB, la seconde par des caractéristique allant de AA en CC. Les deux parties de la région devront être séparées par une caractéristique allant passer par un col DD (figure 22).7676endnote: 76 Variante : “(figure 18 22)”. Soient αD,αD,βD,βD\alpha D,\leavevmode\nobreak\ \alpha^{\prime}D,\leavevmode\nobreak\ \beta D,% \leavevmode\nobreak\ \beta^{\prime}D les quatre branches de caractéristiques issues de DD.7777endnote: 77 La forme de la figure est différente dans la version imprimée, cette dernière ayant une forme arrondie à la place d’une forme en huit.

Figure 22.

Soit τ\tau un paramètre quelconque définissant un point λ1\lambda_{1} du cycle AA. Soit x,yx,\leavevmode\nobreak\ y un point d’une caractéristique issue de λ1\lambda_{1}, et ss l’arc de caractéristique qui sépare x,yx,\leavevmode\nobreak\ y de λ1\lambda_{1}. Représentons le point de la sphère x,yx,\leavevmode\nobreak\ y par le point du plan dont les coordonnées sont ss et τ\tau. La droite A1C1B1A_{1}C_{1}B_{1} (s=0s=0) (figure 23)7878endnote: 78 Variante : “(figure 19 23)”. représentera le cycle AA; A1A_{1} et B1B_{1} représenteront le point α\alpha, C1C_{1} représentera le point α\alpha^{\prime}; les arcs E4E3,E2E1E_{4}E_{3},\leavevmode\nobreak\ E_{2}E_{1} représenteront respectivement les cycles BB et CC; D1,D2,D3D_{1},\leavevmode\nobreak\ D_{2},\leavevmode\nobreak\ D_{3} représenteront le point DD; E4E_{4} et E3E_{3} représenteront β\beta; E2E_{2} et E1E_{1} représenteront β\beta^{\prime}. D’ailleurs on aura

E4D3=E3D1,E2D1=E1D2,A1D3=B1D2\displaystyle E_{4}D_{3}=E_{3}D_{1},\leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ % \leavevmode\nobreak\ E_{2}D_{1}=E_{1}D_{2},\leavevmode\nobreak\ \leavevmode% \nobreak\ \leavevmode\nobreak\ A_{1}D_{3}=B_{1}D_{2}

Les arcs de la courbe αβγ,δε,ζθ\alpha\beta\gamma,\leavevmode\nobreak\ \delta\varepsilon,\leavevmode\nobreak\ \zeta\theta où l’on a :

A1α<A1D3\displaystyle A_{1}\alpha<A_{1}D_{3} C1β<D1C1\displaystyle C_{1}\beta<D_{1}C_{1} A1α=B1γ\displaystyle A_{1}\alpha=B_{1}\gamma
εC1>D1C1\displaystyle\varepsilon C_{1}>D_{1}C_{1} εD1=δD3\displaystyle\varepsilon D_{1}=\delta D_{3}
ζC1>D1C1\displaystyle\zeta C_{1}>D_{1}C_{1} θD2=ζD1\displaystyle\theta D_{2}=\zeta D_{1}

représentent des cycles et ces cycles seront sans contact si les arcs αβy,δε,ζθ\alpha\beta y,\leavevmode\nobreak\ \delta\varepsilon,\leavevmode\nobreak\ \zeta\theta n’ont pas de tangente parallèle à l’axe des ss. Or il est clair qu’on peut sillonner le polygone mixtiligne A1B1E1E2E3E4A_{1}B_{1}E_{1}E_{2}E_{3}E_{4} d’arcs satisfaisant à cette condition. Donc on peut sillonner la région interannulaire de cycles sans contact ce qui permet d’énoncer le théorème suivant.

Figure 23.

Théorème XVIII :

7979endnote: 79 Le manuscrit comporte une note marginale en crayon de couleur bleue de main inconnue, sans doute du compositeur: “ital”, accompagnée d’une accolade sur le côté du théorème.

Il existe toujours un système topographique formé de cycles sans contact, de polycycles sans contact et de cycles limites. Ce système topographique sillonne tout la surface de la sphère. Les fonds et ses sommets sont les noeuds et les foyers de l’équation donnée. Les cols sont les cols de l’équation donnée.

La connaissance de ce système topographique permet de discuter complètement les formes affectées par les courbes que définit l’équation différentielle donnée. On le comprendra mieux d’ailleurs par les exemples qui vont suivre.

Chapitre VII : Exemples de discussions complètes

1er exemple :

Soit (figure 24) l’équation :

dyxy-1=dx1-x2-y2\displaystyle\frac{dy}{xy-1}=\frac{dx}{1-x^{2}-y^{2}}

On peut remarquer d’abord que les courbes X=0,Y=0X=0,\leavevmode\nobreak\ Y=0, qui sont l’une xy=1xy=1, l’autre x2+y2=1x^{2}+y^{2}=1 ne se coupent en aucun point ni en dehors de l’équateur ni sur l’équateur.

Si de plus X2X_{2} et Y2Y_{2} sont les termes du second degré de XX et de YY on a :

X2=-(x2+y2),Y2=xy\displaystyle X_{2}=-(x^{2}+y^{2}),\leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ Y% _{2}=xy
xY2-yX2=y(2x2+y2)\displaystyle xY_{2}-yX_{2}=y(2x^{2}+y^{2})

L’expression xY2-yX2xY_{2}-yX_{2} ne s’annule que pour y=0y=0. Donc l’équation ne présente aucun point singulier en dehors de l’équateur, et sur l’équateur même elle en a deux qui sont à l’intersection de l’équateur avec le grand cercle y=0y=0, et qui sont évidemment des noeuds.
L’équateur passant par tous les points singuliers rencontre tous les cycles limites, mais comme c’est une caractéristique, et qu’elle ne passe par aucun col, elle ne peut rencontrer aucune autre caractéristique en aucun autre point qu’aux deux noeuds, NN et NN^{\prime}; elle ne rencontre donc aucun cycle limite, donc il n’y a pas de cycle limite. Donc toutes les caractéristiques partent de NN pour aller aboutir en NN^{\prime}.
La figure 24 se présente la projection stéréographique du premier hémisphère. NBNBNBN^{\prime}B^{\prime} est l’équateur, NNNN^{\prime} sont les noeuds; NAN,NANNAN^{\prime},\leavevmode\nobreak\ NA^{\prime}N^{\prime} sont des caractéristiques.

Figure 24.

2ème exemple :

Soit (figure 25) l’équation :

dy5xy-5=dxx2+y2-1\displaystyle\frac{dy}{5xy-5}=\frac{dx}{x^{2}+y^{2}-1}

Ici encore les courbes X=0,Y=0X=0,\leavevmode\nobreak\ Y=0 ne se coupent pas mais l’expression xY2-yX2xY_{2}-yX_{2} se réduit à :

y(4x2-y2),\displaystyle y(4x^{2}-y^{2}),

de sorte qu’elle s’annule pour :

y=0,y=2x,y=-2x\displaystyle y=0,\leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ y=2x,\leavevmode% \nobreak\ \leavevmode\nobreak\ y=-2x

C’est dire :
1° qu’en dehors de l’équateur, il n’y a pas de point singulier.
2° que sur l’équateur, il y a 6 points singuliers dont 4 noeuds et deux cols.
En posant :

x=1z,y=tzx=\frac{1}{z},\leavevmode\nobreak\ y=\frac{t}{z}

l’équation devient :

dzz(-1-t2+z2)=dtt(4-t2)-z2(5-t)\displaystyle\frac{dz}{z(-1-t^{2}+z^{2})}=\frac{dt}{t(4-t^{2})-z^{2}(5-t)}

Faisons successivement t=0,t=2,t=-2t=0,\leavevmode\nobreak\ t=2,\leavevmode\nobreak\ t=-2, le coefficient de zz dans le dénominateur de dzdz sera toujours négatif. Considérons la différentielle du dénominateur de dtdt, par rapport à tt; elle sera :

Négative pour t=-2t=-2

Positive pour t=0t=0

Négative pour t=2t=2

Donc les points z=0,t=±2z=0,\leavevmode\nobreak\ t=\pm 2 sont des noeuds, le point z=t=0z=t=0 est un col.
La figure représente encore la projection stéréographique du premier hémisphère; AA et BB sont les deux cols, C,D,E,FC,\leavevmode\nobreak\ D,\leavevmode\nobreak\ E,\leavevmode\nobreak\ F les quatre noeuds.
Le système topographique des cycles sans contact a pour fonds et pour sommets C,D,E,FC,\leavevmode\nobreak\ D,\leavevmode\nobreak\ E,\leavevmode\nobreak\ F, pour col AA et BB.
Considérons maintenant le grand cercle :

x=2x=2

En aucun point de ce grand cercle qui se projette en GHGH on n’a :

x2+y2=1x^{2}+y^{2}=1

ni par conséquent dx=0dx=0. C’est donc un cycle sans contact. Donc si CC est un fond du système topographique des cycles sans contact, EE est également un fond pendant que DD et FF sont des sommets.
Les lignes tracées en traits ponctués sur la figure représentent alors le système topographique des cycles sans contact. D’ailleurs on ferait voir comme dans le 1er exemple, qu’il n’y a pas de cycle limite. Les caractéristiques issues de CC iront donc aboutir soit en FF, soit en DD, et la région occupée par les caractéristiques allant de CC en FF sera séparée de celle qui est occupée par les caractéristiques allant de CC en DD, par une caractéristique allant de CC en AA. Il y a donc une caractéristique allant de CC en AA s’il y en a allant de CC en DD. Dans ce cas il y en a également une allant de DD en BB
Nous nous trouvons donc en présence de deux hypothèses :

1er hypothèse 2ème hypothèse
Une infinité de caractéristiques allant : de CC en FF de CC en FF
de CC en DD de EE en FF
de EE en DD de EE en DD
Une caractéristique allant : de CC en AA de EE en AA
de DD en BB de FF en BB

Pour décider entre ces deux hypothèses, remarquons que l’arc de grand cercle y=0y=0 qui va de AA en BB est un arc sans contact. La caractéristique issue du point AA ne peut donc le couper. Elle est donc tout entière dans l’un des deux quarts de sphère AOBCGF,AOBDHEAOBCGF,\leavevmode\nobreak\ AOBDHE.8080endnote: 80 Une note marginale de la main de Poincaré accompagne la figure: “Voir les figures 21, 22, 23, 24 à plus grande échelle aux pages 103, 104 et 105”. Il s’agit, après une opération de rénumeration réalisée sans doute par Poincaré des figures 25 à 28.

Caractéristiques en noir, cycles sans contact en rouge
Figure 25. Caractéristiques en noir, cycles sans contact en rouge

Dans le voisinage du point AA, l’équation différentielle s’écrit :

zdtdz=4t-t3-5z2-tz2-1-t2+z2=-4t+5z2-3tz2+5t3+φ4,z\frac{dt}{dz}=\frac{4t-t^{3}-5z^{2}-tz^{2}}{-1-t^{2}+z^{2}}=-4t+5z^{2}-3tz^{2% }+5t^{3}+\varphi_{4},

φ4\varphi_{4} représentant une série commençant par les termes du quatrième degré en zz et en tt; d’où nous tirons :

t=-52z2+z3θt=-\frac{5}{2}z^{2}+z^{3}\theta\mathellipsis

θ\theta étant une fonction holomorphe en zz.
Donc dans le voisinage du point AA, la caractéristique qui passe par ce point, passe par des points correspondant à t<0t<0, c’est à dire que la caractéristique est dans le quart de sphère AFGCBOAFGCBO. Elle est donc tout entière dans ce quart de sphère; elle ne peut donc aboutir au noeuds EE; elle aboutit donc au noeuds CC. C’est la première hypothèse qui doit être adoptée et les caractéristiques présentent les formes représentées en trait plein sur la figure

3ème exemple :

Soit (figure 26) l’équation :8181endnote: 81 Variante barrée: “ dxx(x2+y2-1)-y(x2+y2+1)=dyy(x2+y2-1)+x(x2+1)\frac{dx}{x(x^{2}+y^{2}-1)-y(x^{2}+y^{2}+1)}=\frac{dy}{y(x^{2}+y^{2}-1)+x(x^{2% }+1)}”.

dxx(x2+y2-1)-y(x2+y2+1)=dyy(x2+y2-1)+x(x2+y2+1)\frac{dx}{x(x^{2}+y^{2}-1)-y(x^{2}+y^{2}+1)}=\frac{dy}{y(x^{2}+y^{2}-1)+x(x^{2% }+y^{2}+1)}

Il n’y a qu’un point singulier dans chaque hémisphère. C’est le point x=y=0x=y=0 qui est un foyer.
Il y a aucun point singulier sur l’équateur qui est une caractéristique et qui est par conséquent un cycle limite.
Considérons le système topographique des cercles qui ont leur centre à l’origine, c’est à dire des cycles :

x2+y2=const.x^{2}+y^{2}=\text{const.}

La courbe des contacts de ce système topographique est :

(x2+y2)(x2+y2-1)(x^{2}+y^{2})(x^{2}+y^{2}-1)

c’est à dire que tous ces cercles sont des cycles sans contact, excepté le cercle de rayon 11 qui est un cycle limite. Il n’y a pas d’autre cycle limite. Le système des caractéristiques présente donc l’aspect de la figure 26 où les traits tels que (-\relbar) représentent les cycles limites, et les traits tels que () les caractéristiques.8282endnote: 82 La légende est adaptée à la figure de la transcription (les figures à grandes échelles sont légèrement différentes de celles illustrant les exemples). Dans le manuscrit, les deux cycles limites sont indiqués dans la figure 26 par deux cercles dont la circonférence est hachée. La figure du manuscrit n’est pas colorée.

Figure 26.

4ème exemple :

Soit (figure 27) l’équation :

dxx(x2+y2-1)(x2+y2-9)-y(x2+y2-2x-8)=dyy(x2+y2-1)(x2+y2-9)+x(x2+y2-2x-8)\frac{dx}{x(x^{2}+y^{2}-1)(x^{2}+y^{2}-9)-y(x^{2}+y^{2}-2x-8)}=\frac{dy}{y(x^{% 2}+y^{2}-1)(x^{2}+y^{2}-9)+x(x^{2}+y^{2}-2x-8)}

On voit qu’il y a trois points singuliers :
1° Le point OO, x=y=0x=y=0
2° Les points AA et BB d’intersection des cercles :

x2+y2-9=0,x2+y2-2x-8=0.x^{2}+y^{2}-9=0,\leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak% \ x^{2}+y^{2}-2x-8=0.

Le point OO est un foyer, le point AA est un noeud, le point BB est un col. On verrait comme dans l’exemple précédent que l’équateur est un cycle limite; que les cercles qui ont l’origine pour centre sont des cycles sans contact, excepté les cercles :

x2+y2-1\displaystyle x^{2}+y^{2}-1 =0\displaystyle=0
x2+y2-9\displaystyle x^{2}+y^{2}-9 =0\displaystyle=0

qui sont des caractéristiques.
Le premier qui ne passe par aucun point singulier est un cycle limite, le second passe par un noeud et par un col.
Il y a donc trois catégories de caractéristiques : les premières tournent autour du foyer OO (figure 27) et ont pour cycle limite

x2+y2-1=0x^{2}+y^{2}-1=0

les secondes aboutissent au noeud AA et ont pour cycle limite

x2+y2-1=0x^{2}+y^{2}-1=0

les troisièmes aboutissent au noeud AA et ont pour cycle limite l’équateur.
Comme caractéristiques exceptionnelles on a :
1° l’équateur
2° le cercle x2+y2=1x^{2}+y^{2}=1
3° le cercle x2+y2=9x^{2}+y^{2}=9
4° une caractéristique partant du col BB et ayant pour cycle limite l’équateur.
5° une caractéristique partant du col BB et ayant pour cycle limite x2+y2=1x^{2}+y^{2}=1.
Un point mobile qui si tt représente le temps se meut d’après la loi :

dxdt=x(x2+y2-1)(x2+y2-9)-y(x2+y2-2x-8)\displaystyle\frac{dx}{dt}=x(x^{2}+y^{2}-1)(x^{2}+y^{2}-9)-y(x^{2}+y^{2}-2x-8)
dydt=y(x2+y2-1)(x2+y2-9)+x(x2+y2-2x-8)\displaystyle\frac{dy}{dt}=y(x^{2}+y^{2}-1)(x^{2}+y^{2}-9)+x(x^{2}+y^{2}-2x-8)

ne pourra sortir du cercle

x2+y2=1x^{2}+y^{2}=1

s’il se trouve à l’intérieur de ce cercle.

Cycles limites en noir, caractéristiques ordinaires en rouge et pointillé rouge, caractéristiques exceptionnelles en bleu.
Figure 27. Cycles limites en noir, caractéristiques ordinaires en rouge et pointillé rouge, caractéristiques exceptionnelles en bleu.

5ème exemple :

Soit (figure 28) l’équation :

dxAC-B=dyBC+A\frac{dx}{AC-B}=\frac{dy}{BC+A}

où :

A=x(2x2+2y2+1)\displaystyle A=x(2x^{2}+2y^{2}+1)
B=y(2x2+2y2-1)\displaystyle B=y(2x^{2}+2y^{2}-1)
C=(x2+y2)2+x2-y2+0,1\displaystyle C=(x^{2}+y^{2})^{2}+x^{2}-y^{2}+0,1

Les points singuliers nous sont donnés par les équations :

AC-B=0\displaystyle AC-B=0
BC+A=0\displaystyle BC+A=0

d’où

A=B=0A=B=0

.
Ils sont donc au nombre de trois, dans chaque hémisphère, à savoir :
1° deux foyers : x=0,y=±12x=0,\leavevmode\nobreak\ y=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}
2° un col : x=y=0x=y=0
Si nous considérons les courbes

F=(x2+y2)2+x2-y2=const.F=(x^{2}+y^{2})^{2}+x^{2}-y^{2}=\text{const.}

leurs contacts nous seront donnés par l’équation :

dFdx(AC-B)+dFdy(BC+A)=0\frac{dF}{dx}(AC-B)+\frac{dF}{dy}(BC+A)=0

Or

A=dFdx,B=dFdyA=\frac{dF}{dx},\quad B=\frac{dF}{dy}

l’équation précédente devient donc :

(A2+B2)C=0(A^{2}+B^{2})C=0

C=0.C=0.

Ma la courbe C=0C=0 est elle-même une des courbes F=const.F=\text{const.} Toutes les courbes F=const.F=\text{const.} sont donc formées de cycles sans contact excepté la courbe C=0C=0 qui est formée de cycles limites.
L’équateur est aussi un cycle limite.
Il reste à construire les courbes algébriques

(x2+y2)2+x2-y2=K.(x^{2}+y^{2})^{2}+x^{2}-y^{2}=K.

Pour K<-14K<-\frac{1}{4}, la courbes est entièrement imaginaire.
Pour K=-14K=-\frac{1}{4}, elle se réduit aux deux points singuliers x=0,y=±12x=0,\leavevmode\nobreak\ y=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}.
Pour 0>K>-140>K>-\frac{1}{4} elle se compose de deux cycles. Il en est ainsi en particulier de la courbe C=0C=0, qui se compose de deux cycles limites.
Pour K=0K=0, elle se réduit à un polycyle ayant un point double à l’origine.
Pour K>0K>0 elle se compose d’un seul cycle.
Le système des caractéristiques présente donc la forme qui est indiquée par la figure .8484endnote: 84 Les pages suivantes du manuscrit (page 103 à 105) sont consacrées aux représentations à plus grandes échelles des figures 25 à 28. Une note est écrite à côté de la figure 28 : “Manque la fig 28 (petite échelle)”.

Cycles limites et polycycle sans contact en noir, cycles sans contact en pointillé noir, caractéristiques ordinaires en rouge et pointillé rouge, caractéristiques exceptionnelles en bleu et pointillé bleu.
Figure 28. Cycles limites et polycycle sans contact en noir, cycles sans contact en pointillé noir, caractéristiques ordinaires en rouge et pointillé rouge, caractéristiques exceptionnelles en bleu et pointillé bleu.

Chapitre VIII : Recherche des cycles sans contact

La facilité avec laquelle se discutent complètement les exemples précédents est due à deux causes. En premier lieu, les cycles limites étant algébriques, le système topographique des cycles sans contact et des cycles limites est lui-même algébrique, en second lieu la forme même de l’équation différentielle permet de trouver immédiatement ce système topographique; mais il est évident que cela n’aura pas lieu en général.
Quand les cycles limites ne sont pas algébriques, une discussion complète est évidemment impossible; car on ne pourra jamais trouver en termes finis l’équation des cycles limites. Mais on peut arriver à diviser la sphère : 1° en régions acycliques où l’on est certain de n’avoir aucun point d’aucun cycle limite; 2° en régions monocycliques, où se trouvent tous les points d’un des cycles limites et où l’on a aucun des points d’aucun autre cycle limite.
Une pareille séparation des cycles limites sera toujours possible quand les cycles limites seront en nombre fini.
Dans ce qui va suivre, nous supposerons : 1° qu’il n’y a que deux points singuliers situés en dehors de l’équateur et que par conséquent, ces deux points sont des foyers ou des noeuds. 2° que ces deux points ont pour coordonées :

x=y=0x=y=0

Dans les cas où il y aurait plus de deu points singuliers, la discussion serait plus longue et plus compliqué.
Dans le cas auquel nous nous restreignons, il n’y a qu’un nombre fini de cycles limites de sorte que la séparation de ces cycles est toujours possible.
Nous ne considérerons que ce qui se passe dans le 1er hémisphère. En effet, tout se passe de même de l’autre côté de l’équateur qui est un général un cycle limite.
Nous diviserons cet hémisphère :
1° en régions acycliques qui ne peuvent être traversées par aucun cycle limite.
2° en régions monocycliques qui contiennent un cycle limite tout entier et ne sont traversées par aucun autre.
3° en région cycliques qui contiennent certainement un cycle limite tout entier et sont peut-être traversées par un ou plusieurs autres cycles limites.
4° en régions douteuses, qui contiennent peut-être un cycle limite tout entier, peut-être plusieurs, et qui peut-être ne sont traversées par aucun cycle limite.
On poussera la discussion en cherchant à étendre les région acycliques de façon à resserrer les cycles limites dans des régions monocycliques de moins en moins étendues, et à faire disparaître les régions cycliques et les régions douteuses. On pourra, si l’on veut, terminer la discussion, quand il n’y aura plus que des régions acycliques et monocycliques; on pourra aussi la pousser plus loin, de façon à étendre encore les régions acycliques et à y tracer un plus grand nombre de cycles sans contact.

Méthode générale :

Considérons une fonction algébrique :

F1(x,y)F_{1}(x,y)

1° qui reste toujours finie et déterminée ainsi que ses dérivées quand xx et yy prennent des valeurs réelles et finies et devient infinie quand xx ou yy sont infinis.
2° qui soit nulle pour x=y=0x=y=0 et positive toutes les fois que xx ou yy sont différents de 0.
3° dont les dérivées du premier ordre ne s’annulent à la fois que si x=y=0x=y=0.
4° telle que pour x=y=0x=y=0 on ait l’inégalité

(d2F1dxdy)2(dXdy-dYdx)2-4dXdxdYdyd2F1dx2d2F1dy2<0\Big{(}\frac{d^{2}F_{1}}{dxdy}\Big{)}^{2}\Big{(}\frac{dX}{dy}-\frac{dY}{dx}% \Big{)}^{2}-4\leavevmode\nobreak\ \frac{dX}{dx}\leavevmode\nobreak\ \frac{dY}{% dy}\leavevmode\nobreak\ \frac{d^{2}F_{1}}{dx^{2}}\leavevmode\nobreak\ \frac{d^% {2}F_{1}}{dy^{2}}<0

5° telle que la courbe :

XdF1dx+YdF1dy=0X\frac{dF_{1}}{dx}+Y\frac{dF_{1}}{dy}=0

ne coupe pas l’équateur.
L’équation :

F1=K1F_{1}=K_{1}

K1K_{1} est une constante quelconque, représente un système topographique ayant pour sommet l’origine et dont l’équateur est un cycle.
La courbe des contacts dont l’équation est :

XdF1dx+YdF1dy=0X\frac{dF_{1}}{dx}+Y\frac{dF_{1}}{dy}=0

ne coupe pas l’équateur, en vertu de la 5e condition et a à l’origine un point isolé, en vertu de la 4e condition.
Les cycles F1=K1F_{1}=K_{1} sont donc sans contact si K1K_{1} est très petit et s’il est très grand. Faisons varier K1K_{1} depuis 0 jusqu’à ++\infty et supposons par exemple que pour
0<K1<α0<K_{1}<\alpha le cycle F1=K1F_{1}=K_{1} soit sans contact
α<K1<β\alpha<K_{1}<\beta le cycle F1=K1F_{1}=K_{1} ne soit pas sans contact
β<K1<γ\beta<K_{1}<\gamma le cycle F1=K1F_{1}=K_{1} soit sans contact
γ<K1<δ\gamma<K_{1}<\delta le cycle F1=K1F_{1}=K_{1} ne soit pas sans contact
δ<K1<+\delta<K_{1}<+\infty le cycle F1=K1F_{1}=K_{1} soit sans contact
Alors les régions de la sphère définies par les inégalités :

0<F1<α\displaystyle 0<F_{1}<\alpha β<F1<γ\displaystyle\beta<F_{1}<\gamma δ<F1<+\displaystyle\delta<F_{1}<+\infty

seront acycliques; les régions définies par les inégalités :

α<F1<β\displaystyle\alpha<F_{1}<\beta γ<F1<δ\displaystyle\gamma<F_{1}<\delta

seront douteuses.

1er Problème :

Reconnaître si une région douteuse est cyclique.8585endnote: 85 Ce 1er problème était présenté d’abord comme le 2e problème (cette mention étant barrée). Aux pages 109–110 du manuscrit se trouve ce que Poincaré presentait d’abord comme le 1er problème; nous le transcrivons ainsi : “1er Problème : Reconnaître si une région douteuse est cyclique. Supposons que l’un des cycles qui forment la courbe des contacts XdF1dx+YdF1dy=0X\frac{dF_{1}}{dx}+Y\frac{dF_{1}}{dy}=0 entoure l’origine et soit situé tout entier dans une région douteuse, je dis que cette région est cyclique.En effet envisageons le système topographique des cycles sans contact et des cycles limites, système topographique dont le théorème XVIII a démontré l’existence, et envisageons le lieu des points de contact des cycles HH de ce système avec les cycles F1=K1F_{1}=K_{1}; ce lieu est une courbe LL continue qui passe par l’origine et va couper l’équateur. Aux points où elle coupe la courbe MM XdF1dx+YdF1dy=0X\frac{dF_{1}}{dx}+Y\frac{dF_{1}}{dy}=0 il y a contact entre une caractéristique et l’un des cycles HH; ce cycle HH n’est donc pas sans contact, c’est donc un cycle limite. Mais si un des cycles M1{}_{1} qui forment cycle M1M_{1} faisant partie de la courbe MM entoure l’origine, il sera forcément coupé par la courbe LL qui va de l’origine à l’équateur; et par conséquent par un cycle limite; si donc il est tout entier dans une région douteuse cette région sera cyclique. C.Q.F.D. 2e Problème. Reconnaître si une région cyclique est monocyclique.”

Pour cela, nous allons donner un moyen de reconnaître si dans une région douteuse passe un nombre pair ou impair de cycles limites. Il est clair que si l’on trouve que le nombre des cycles limites qui traversent une région douteuse est impair, c’est que cette région est cyclique. Pour résoudre le problème que nous nous sommes proposé, il est nécessaire d’introduire une notion nouvelle :
Soit ABCABC un arc d’un cycle sans contact; soit EBDEBD un arc du grand cercle y=0y=0 (fig 29). Soit EBEB la portion de cet arc qui est situé à l’extérieur du cycle ABCABC, BDBD la portion qui est située à l’intérieur; BCBC la portion de l’arc ABCABC qui serait à la droite d’un observateur ayant les pieds sur la sphère en BB et regardant du côté de EE; BABA la portion qui serait à la gauche de cet observateur. Nous dirons que le cycle ABCABC est positif par rapport à l’arc de grand cercle y=0y=0 quand la caractéristique qui passe en BB est située dans l’angle EBCEBC, en FBFB par exemple, et qu’il est négatif, quand cette caractéristique est située dans l’angle EBAEBA, en FBF^{\prime}B par exemple.

Ceci posé, remarquons que si l’on fait varier le cycle ABCABC, ce cycle change de signe : 1° toutes les fois qu’il devient un cycle limite. 2° toutes les fois que EBEB est tangent à FBFB.

Figure 29.

Maintenant nous sommes en état de résoudre le problème proposé. A cet effet, considérons la région douteuse comprise entre les cycles

F1=α\displaystyle F_{1}=\alpha F1=β\displaystyle F_{1}=\beta

Soient AA et BB les points où l’arc de grand cercle y=0y=0 rencontre ces cycles. Soit λ\lambda le nombre des cycles limites compris dans la région douteuse, soit μ\mu le nombre des contacts du grand cercle y=0y=0 compris entre AA et BB; soit ν\nu un nombre qui est pair si les cycles F1=α,F1=βF_{1}=\alpha,\leavevmode\nobreak\ F_{1}=\beta sont de même signe, impair dans le cas contraire; soit θ\theta le nombre de fois que les cycles sans contact du système topographique défini au théorème XVIII changent de signe quand on passe du cycle F1=αF_{1}=\alpha au cycle F1=βF_{1}=\beta; on aura :

θ=λ+μ\displaystyle\theta=\lambda+\mu θν mod 2\displaystyle\theta\equiv\nu\text{ mod 2}

d’où

λμ+ν mod 2,\lambda\equiv\mu+\nu\text{ mod 2},

ce qui permet de voir si le nombre des cycles limites est pair ou impair.

2e problème

Reconnaître si une région est monocyclique.
Pour résoudre ce problème, appuyons-nous sur le théorème suivant.

Théorème XIX :

Si l’on pose8686endnote: 86 Une note est présente dans la marge :“Rochereau”.

x=ρcos(ω)\displaystyle x=\rho\cos(\omega) y=ρsin(ω)\displaystyle y=\rho\sin(\omega)

et que l’équation différentielle devienne

dρdω=φ(ρ,ω)\frac{d\rho}{d\omega}=\varphi(\rho,\omega)

si ψ(ρ)\psi(\rho) est une fonction quelconque de ρ\rho n’ayant qu’une valeur finie pour chaque valeur finie de ρ\rho; entre deux cycles limites quelconques il y a toujours des points où :

dψdρ= ou φ(ρ)=\frac{d\psi}{d\rho}=\infty\text{ ou }\varphi(\rho)=\infty

ou bien où :8787endnote: 87ddρ(φdψdρ)=0\frac{d}{d\rho}\Big{(}\varphi\frac{d\psi}{d\rho}\Big{)}=0” devient “ddρ(ψ,dψdρ)=0\frac{d}{d\rho}\Big{(}\psi,\frac{d\psi}{d\rho}\Big{)}=0” dans la version imprimée.

ddρ(φdψdρ)=0\frac{d}{d\rho}\Big{(}\varphi\frac{d\psi}{d\rho}\Big{)}=0

Soit en effet ω0\omega_{0} une certaine valeur de ω\omega, ρ0\rho_{0} et ρ0\rho_{0}^{\prime} les valeurs de ρ\rho qui correspondent aux points d’intersection des deux cycles limites considérés et de l’arc de grand cercle ω=ω0\omega=\omega_{0}
Considérons la fonction :

ψ(ρ0)-ψ(ρ0)=θ(ω0)\psi(\rho_{0}^{\prime})-\psi(\rho_{0})=\theta(\omega_{0})

et voyons comment elle varie quand ω0\omega_{0} varie de 0 à 2π2\pi. Il est clair qu’elle varie d’une façon continue, qu’elle reste finie et qu’elle revient à la même valeur. Elle passe donc par un maximum et pour une certaine valeur ω1\omega_{1} de ω0\omega_{0} correspondant à des valeurs ρ1\rho_{1} et ρ1\rho_{1}^{\prime} de ρ0\rho_{0} et ρ0\rho_{0}^{\prime}, on aura :

dθdω0=0\frac{d\theta}{d\omega_{0}}=0

ou

dψdρ0φ(ρ1,ω1)=dψdρ0φ(ρ1,ω1)\frac{d\psi}{d\rho_{0}^{\prime}}\varphi(\rho_{1}^{\prime},\omega_{1})=\frac{d% \psi}{d\rho_{0}}\varphi(\rho_{1},\omega_{1})

Donc si l’on considère ω\omega comme une constante égale à ω1\omega_{1}, et qu’on fass varier ρ\rho depuis ρ1\rho_{1} jusqu’à ρ1\rho_{1}^{\prime} la fonction

dψdρφ(ρ,ω)\frac{d\psi}{d\rho}\varphi(\rho,\omega)

deviendra infinie ou passera par un maximum, c’est à dire que l’on aura :8888endnote: 88 Le manuscrit porte un note marginale de main inconnue : “Brabant”.
ou bien dψdρ=\frac{d\psi}{d\rho}=\infty
ou bien φ=\varphi=\infty
ou bien ddρ(dψdρφ(ρ,ω))=0.\frac{d}{d\rho}\Big{(}\frac{d\psi}{d\rho}\varphi(\rho,\omega)\Big{)}=0.

C.Q.F.D.

Théorème XIX généralisé :

Si φ(x,y)\varphi(x,y) et ψ(x,y)\psi(x,y) sont deux fonctions continues de xx et de yy telles qu’à chaque système de valeurs de xx et de yy corresponde un système de valeurs de φ\varphi et de ψ\psi et un seul et qu’à chaque système de valeurs de φ\varphi et ψ\psi corresponde un système de valeurs de xx et de yy et un seul.
Si l’on pose φ(x,y)=ξ,ψ(x,y)=η\varphi(x,y)=\xi,\leavevmode\nobreak\ \psi(x,y)=\eta
Si après cette transformation l’équation devient :

dξdη=θ(ξ,η)\frac{d\xi}{d\eta}=\theta(\xi,\eta)

dans la région comprise entre deux cycles limites, il y aura toujours des points, tel que :

θ=\theta=\infty

ou bien :

dθdξ=0\frac{d\theta}{d\xi}=0

En effet, soient CC et CC^{\prime} les deux cycles limites donnés. Supposons qu’en aucun point de la région comprise entre ces deux cycles limites on n’ait θ=\theta=\infty; je dis qu’il y aura dans cette région des points où l’on aura :

dθdξ=0.\frac{d\theta}{d\xi}=0.

En effet soit mm un point du cycle CC, et soit η0\eta_{0} la valeur correspondante de la fonction ψ(x,y)\psi(x,y); l’arc de courbe

ψ(x,y)=η0\psi(x,y)=\eta_{0}

qui passe en mm, va couper le cycle CC^{\prime} en un point mm^{\prime}, car s’il ne coupait pas le cycle CC^{\prime}, il ne pourrait sortir de la région RR qu’en coupant qu’en recoupant le cycle CC; il devrait donc, dans cette région RR être tangent à une caractéristique (en vertu dh théorème X). Or cela est impossible puisqu’on a supposé que dans la région RR on n’a pas :

θ=\theta=\infty

Soient donc ξ0\xi_{0} et ξ0\xi_{0}^{\prime} les valeurs de ξ\xi qui correspondent aux points mm et mm^{\prime}.
Quand le point mm fera le tour du cycle CC; la fonction

ξ0-ξ0\xi_{0}^{\prime}-\xi_{0}

passera par un maximum, c’est-à-dire que pour une certaine valeur η1\eta_{1} de η0\eta_{0} à laquelle correspondent les valeurs ξ1\xi_{1} et ξ1\xi_{1}^{\prime} de ξ0\xi_{0} et ξ0\xi_{0}^{\prime}, on aura :

θ(ξ1,η1)=θ(ξ1,η1)\theta(\xi_{1}^{\prime},\eta_{1})=\theta(\xi_{1},\eta_{1})

c’est à dire que quand η\eta est égal à η1\eta_{1} et que l’on fait varier ξ\xi depuis ξ1\xi_{1} jusqu’à ξ1\xi_{1}^{\prime}, la fonction θ\theta passe par un maximum ou un minimum, ou que :

dθdξ=0.\frac{d\theta}{d\xi}=0.

C.Q.F.D.

Résolution du 2e problème

Pour démontrer qu’une région douteuse est monocyclique ou acyclique, il suffit donc de faire voir que l’on peut trouver deux fonctions ξ\xi et η\eta satisfaisant aux conditions de l’énoncé du théorème précédent et telles que l’on n’ait en aucun point de la région

θ= ou dθdξ=0\theta=\infty\leavevmode\nobreak\ \text{ ou }\leavevmode\nobreak\ \frac{d% \theta}{d\xi}=0

Suite de la discussion

Si le système topographique :

F1=K1F_{1}=K_{1}

ne suffit pas pour obtenir une séparation complète des cycles limites, on considérera un nombre aussi grand qu’on voudra de systèmes satisfaisant aux mêmes conditions :

F2=K2,F3=K3,F_{2}=K_{2},\leavevmode\nobreak\ F_{3}=K_{3},\leavevmode\nobreak\ \mathellipsis

1° Il est clair que chacun de ces systèmes fournis sont de nouveaux cycles sans contact, certaines portions des régions douteuses laissées par le système F1=K1F_{1}=K_{1} seront sillonnées par ces cycles et deviendront acycliques.
2° Parmi les régions douteuses laissées par l’ensemble de tous ces systèmes il y en aura dans l’intérieur desquelles il sera impossible de faire passer un cycle entourant l’origine; ces régions seront donc aussi acycliques (voir l’exemple II au chapitre suivant).
3° Les régions douteuses devenant de plus en plus restreintes, finiront en général par devenir toutes acycliques ou monocyclique, de manière à achever la séparation des cycles limites; cette séparation sera même toujours possible; et quand on n’aura pas deux cycles limites confondus, on pourra toujours s’apercevoir qu’elle est terminée.
4° Les régions cycliques devenant de plus en plus restreintes, on connaîtra le cycle limite avec une approximation aussi grande que l’on voudra.

Remarque

La théorie de la séparation des cycles limites présente quelque analogie avec les procédés qui servent à séparer les racines d’une équation algébrique.
A ce point de vue, la manière dont se résout le premier problème rappelle la méthode des substitutions qui permet de reconnaître, si, dans un intervalle donné, une équation algébrique admet un nombre pair ou impair de racines.
Le théorème XIX est l’équivalent du théorème de Rolle.
Quant au cas des cycles limites confondus, qui correspond à celui des racines multiples, il présente certaine difficultés spéciales que je n’ai pas encore résolues.

Chapitre IX : Exemples de discussions incomplètes

Exemple I

Soit l’équation différentielle :

dxx(x2+y2-2x-3)-y=dyy(x2+y2-2x-3)+x\frac{dx}{x(x^{2}+y^{2}-2x-3)-y}=\frac{dy}{y(x^{2}+y^{2}-2x-3)+x}

qui en posant

x=ρcosω,y=ρsinωx=\rho\cos\omega,\leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ y=\rho\sin\omega

devient

dρ=ρ(ρ2-2ρcosω-3)dωd\rho=\rho(\rho^{2}-2\rho\cos\omega-3)d\omega

Prenons pour le système topographique F1=K1F_{1}=K_{1}, le système des cercles

ρ=K1.\rho=K_{1}.

La courbe des contacts de ces cercles se réduit à l’ellipse sphérique :

ρ2-2ρcosω-3=0\rho^{2}-2\rho\cos\omega-3=0

qui enveloppe l’origine. Par conséquent, les régions :

ρ<1\displaystyle\rho<1 ρ>3\displaystyle\rho>3

sont acycliques; pendant que la région :

1<ρ<31<\rho<3

est douteuse; mais si l’on observe que les cycles ρ=1,ρ=3\rho=1,\leavevmode\nobreak\ \rho=3; sont de signe contraire; on verra qu’elle est cyclique.
Appuyons-nous maintenant sur le théorème XIX en faisant

ψ(ρ)=Lρ,φ(ρ,ω)=ρ(ρ2-2ρcosω-3)\psi(\rho)=\mathrm{L}\rho,\leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ % \leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \varphi(\rho,% \omega)=\rho(\rho^{2}-2\rho\cos\omega-3)

d’où :

ddρ(dψdρφ)=2ρ-2cosω.\frac{d}{d\rho}\Big{(}\frac{d\psi}{d\rho}\varphi\Big{)}=2\rho-2\cos\omega.

La courbe 2ρ-2cosω=02\rho-2\cos\omega=0 est une ellipse sphérique passant par l’origine et tangente au cercle ρ=1\rho=1. Donc en aucun point de la région 1<ρ<31<\rho<3; on a :9090endnote: 90ddρ(φdψdρ)\frac{d}{d\rho}\Big{(}\varphi\frac{d\psi}{d\rho}\Big{)}” devient “ddρ(φ,dψdρ)\frac{d}{d\rho}\Big{(}\varphi,\frac{d\psi}{d\rho}\Big{)}” dans la version imprimée.

ni dψdρ=,\displaystyle\text{ni }\leavevmode\nobreak\ \frac{d\psi}{d\rho}=\infty, ni φ=,\displaystyle\text{ni }\leavevmode\nobreak\ \varphi=\infty, ni ddρ(φdψdρ)=0\displaystyle\text{ni }\leavevmode\nobreak\ \frac{d}{d\rho}\Big{(}\varphi\frac% {d\psi}{d\rho}\Big{)}=0

Donc cette région est monocyclique.

Conséquences

Outre l’équateur, il y a un cycle limite dans chaque hémisphère et un seul; ce cycle est tout entier dans la région 1<ρ<31<\rho<3.
Si un point mobile se meut suivant la loi suivante (tt étant le temps),

dx=[x(x2+y2-2x-3)-y]dt\displaystyle dx=[x(x^{2}+y^{2}-2x-3)-y]dt
dy=[y(x2+y2-2x-3)+x]dt\displaystyle dy=[y(x^{2}+y^{2}-2x-3)+x]dt

Si pour t=0t=0; on a ρ<1\rho<1; le mobile sortira certainement du cercle ρ=1\rho=1 et il ne sortira certainement pas du cercle ρ=3\rho=3.

Exemple II

Soit l’équation :

dx-y+2x(x2+y2-4x+3)=dyx+2y(x2+y2-4x+3)\frac{dx}{-y+2x(x^{2}+y^{2}-4x+3)}=\frac{dy}{x+2y(x^{2}+y^{2}-4x+3)}

d’où

dρdω=2ρ(ρ2-4ρcosω+3)\frac{d\rho}{d\omega}=2\rho(\rho^{2}-4\rho\cos\omega+3)

Considérons encore les cercles ρ=K1\rho=K_{1}; nous verrons que les régions ρ<1,ρ>3\rho<1,\leavevmode\nobreak\ \rho>3 sont acycliques pendant que la région 1<ρ<31<\rho<3 est douteuse.
Seulement ici les cycles ρ=1,ρ=3\rho=1,\leavevmode\nobreak\ \rho=3 sont de même signe, de sorte que l’on ne peut affirmer que cette région soit cyclique.
Considérons le cycle :

φ(ρ,ω)=ρ2-3,5ρcosω-2=0\varphi(\rho,\omega)=\rho^{2}-3,5\rho\cos\omega-2=0

Pour qu’il eût un contact, il faudrai que l’on eût :

1ρdφdω=2dφdρ(ρ2-4ρcosω+3)\frac{1}{\rho}\frac{d\varphi}{d\omega}=2\frac{d\varphi}{d\rho}(\rho^{2}-4\rho% \cos\omega+3) (λ\lambda)

Mais tout le long du cycle φ=0\varphi=0, on a :

1dφdρ1ρdφdω<1,5\frac{1}{\frac{d\varphi}{d\rho}}\frac{1}{\rho}\frac{d\varphi}{d\omega}<1,5

et

ρ2-4ρcosω+3>1,25\rho^{2}-4\rho\cos\omega+3>1,25

La relation (λ)(\lambda) ne peut donc être satisfaite, c’est à dire que le cycle φ=0\varphi=0 est sans contact. Il en sera de même des cycles φ=K2\varphi=K_{2} pourvu que ε<K2<+ε\varepsilon<K_{2}<+\varepsilon, et que ε\varepsilon est suffisamment petit.
La région -ε<φ<+ε-\varepsilon<\varphi<+\varepsilon est donc acyclique. Il resterait donc deux régions douteuses :
1° La région 1<ρ<3,φ>+ε1<\rho<3,\leavevmode\nobreak\ \varphi>+\varepsilon
2° La région 1<ρ<3,φ<-ε1<\rho<3,\leavevmode\nobreak\ \varphi<-\varepsilon
Mais dans aucune de ces régions on ne peut faire passer de cycle enveloppant l’origine. Elles sont donc aussi acycliques.

Conséquences

Il n’y a pas d’autre cycle limite que l’équateur.
Un point mobile se mouvant suivant la loi :

dx=[-y+2x(x2+y2-4x+3)]dt\displaystyle dx=[-y+2x(x^{2}+y^{2}-4x+3)]dt
dy=[x+2y(x2+y2-4x+3)]dt\displaystyle dy=[x+2y(x^{2}+y^{2}-4x+3)]dt

peut se rapprocher indéfiniment de l’équateur.

Exemple III

Soit l’équation :

dρdω=ρ(ρ2-2ρcosω-3)(ρ2-2ρcosω-8)\frac{d\rho}{d\omega}=\rho(\rho^{2}-2\rho\cos\omega-3)(\rho^{2}-2\rho\cos% \omega-8)

La considération des cycles ρ=const.\rho=\text{const.} nous montre :
1° que les régions ρ<1\rho<1 et ρ>4\rho>4 sont acycliques.
2° que la région 1<ρ<41<\rho<4 est douteuse.
De plus les cycles ρ=1\rho=1 et ρ=4\rho=4 étant de même signe, il doit y avoir dans cette région un nombre pair de cycles limites :
Considérons le cycle :

θ(ρ,ω)=ρ2-2ρcosω-5,5=0.\theta(\rho,\omega)=\rho^{2}-2\rho\cos\omega-5,5=0.

Ce cycle est tout entier dans la région douteuse; il est sans contact; ainsi que les cycles :

ρ2-2ρcosω-5,5=K2    où K2<+ε,K2>-ε\rho^{2}-2\rho\cos\omega-5,5=K_{2}\leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ % \leavevmode\nobreak\ \text{ où }K_{2}<+\varepsilon,\leavevmode\nobreak\ % \leavevmode\nobreak\ K_{2}>-\varepsilon

et où ε\varepsilon est très petit. De plus ces cycles ne sont pas de même signe que les cycles ρ=1\rho=1 et ρ=4\rho=4.
Nous avons donc les régions suivantes :

1ère région ρ<1\rho<1 Acyclique.
2e région 1<ρ<4,θ<-ε1<\rho<4,\leavevmode\nobreak\ \theta<-\varepsilon Cyclique.
3e région 1<ρ<4,-ε<θ<+ε1<\rho<4,\leavevmode\nobreak\ -\varepsilon<\theta<+\varepsilon Acyclique.
4e région 1<ρ<4,θ>+ε1<\rho<4,\leavevmode\nobreak\ \theta>+\varepsilon Cyclique.
5e région ρ>4\rho>4 Acyclique.

Appliquons maintenant le théorème XIX, en faisant :

ψ(ρ)=Lρ,φ(ρ,ω)=ρ(ρ2-2ρcosω-3)(ρ2-2ρcosω-8)\psi(\rho)=\mathrm{L}\rho,\leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ % \leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \varphi(\rho,% \omega)=\rho(\rho^{2}-2\rho\cos\omega-3)(\rho^{2}-2\rho\cos\omega-8)

9191endnote: 91ddρ(φdψdρ)\frac{d}{d\rho}\Big{(}\varphi\frac{d\psi}{d\rho}\Big{)}” devient “ddρ(φ,dψdρ)\frac{d}{d\rho}\Big{(}\varphi,\frac{d\psi}{d\rho}\Big{)}” dans la version imprimée.

ddρ(φdψdρ)=2(ρ-cosω)(ρ2-2ρcosω-5,5)\frac{d}{d\rho}\Big{(}\varphi\frac{d\psi}{d\rho}\Big{)}=2(\rho-\cos\omega)(% \rho^{2}-2\rho\cos\omega-5,5)

La courbe ddρ(φdψdρ)=0\frac{d}{d\rho}\Big{(}\varphi\frac{d\psi}{d\rho}\Big{)}=09292endnote: 92 Voir note précédente. se réduit donc aux deux cycles

ρ=cosω,ρ2=2ρcosω+5,5\rho=\cos\omega,\leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak% \ \leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \rho^{2}=2\rho\cos\omega+5,5

qui sont tout entiers l’un dans la 1ère, l’autre dans la 3e région. Comme d’ailleurs ni φ\varphi, ni dψdρ\frac{d\psi}{d\rho} ne deviennent infini, la 2e et la 4e régions sont monocycliques.

Conclusion

En dehors de l’équateur, il y a dans chaque hémisphère deux cycles limites et il n’y en a que deux.

AD 53p. Private collection, Paris 75017.

Notes

  • 1 Le manuscrit porte une note marginale de main inconnue: “16 Belouze”.
  • 2 Variante : “nous conviendrons, pour finir les idées, de suivre…”.
  • 3 Variante : “Par exemple, un point nous considérerons…”
  • 4 Variante : “OBOB et ou ODOD”.
  • 5 Variante : “(figure 2 6)”.
  • 6 Variante : “comme et non pas …”.
  • 7 “continues” a été enlevé dans la version imprimée.
  • 8 Variante : “(figure 3 7)”.
  • 9 Variante : “…sans s’en éloigner …”.
  • 10 Variante : “(figure 4 8)”.
  • 11 “demi” a été rajouté entre “Cette” et “caractéristique”.
  • 12 “en partant du point M0M_{0}” a été rajouté entre “Si” et "au lieu de considérer”.
  • 13 Variante : “…celle de droite, et qu’on fût arrivé on aurait …”.
  • 14 Variante : “(figure 5 9)”.
  • 15 Note présente dans la marge : “Note pour l’imprimeur : Sur l’arc N0DM1N_{0}DM_{1} les points se succèdent dans l’ordre suivant : N0M0M3DM2N1M1N_{0}M_{0}M_{3}DM_{2}N_{1}M_{1}”.
  • 16 Variante : “L’arc Le cycle …”.
  • 17 Variante : “…S’il rencontre se confond …”.
  • 18 La virgule a été remplacé par un point virgule.
  • 19 Variante : “…s’il a un conséquent M1M_{1}, si t0t_{0} et t1t_{1} sont les valeurs de tt qui correspondent à M1M_{1} et à M0M_{0} si t1=φ1(t0)t_{1}=\varphi_{1}(t_{0}) …”.
  • 20 φ\varphi a été corrigé par φ1\varphi_{1} dans la version imprimée.
  • 21 Variante : “Soit En effet …”.
  • 22 Variante : “En effet nous supposons avons supposé que …”.
  • 23 Variante : “…une surface qui coupe le cylindre qui a pour base le passe par …”.
  • 24 Variante : “…correspondent à des cols caractéristiques …”.
  • 25 Variante : “Si l’on divise l’arc sans contact en a Si les extrémités de l’arc sans contact …”.
  • 26 Variante : “…à une valeur donnée quelconque de tt …”.
  • 27 Variante : “(figure 6 10)”.
  • 28 Une virgule a été ajouté ici dans la version imprimée.
  • 29 Variante : “…aux axes; les points en suivant …”.
  • 30 Variante : “…la courbe dans un certain sens …”.
  • 31 Variante : “(figure 7 11)”.
  • 32 "présentera" devient "représentera" dans la version imprimée.
  • 33 La version imprimée commence par une suppostion : “Supposons qu’à certaines valeurs …”.
  • 34 “Aux valeurs” devient “Que de plus aux valeurs” dans la version imprimée.
  • 35 Variante : “Nous supposerons d’abord que les branches de courbe De tous les cols…”.
  • 36 Il manque ici quatre pages (de la page 74 à la page 77 du manuscrit); ces pages correspondent à la fin du Chapitre V de la version imprimée, pages 259 à 261, comprenant quatre figures numérotées 12 à 15.
  • 37 Variante : “De mem D’après”.
  • 38 Variante : “(figure 12 6)”.
  • 39 une virgule a été ajouté dans la version imprimée.
  • 40 une virgule a été ajouté dans la version imprimée.
  • 41 Variante : ”On pourra prendre nn assez grand po Soit CDCD\mathellipsis”.
  • 42 Variante : “…N2,N3N_{2},\leavevmode\nobreak\ N_{3},…, NnN_{n} de telle et que …”.
  • 43 Variante : “(figure 13 7)”.
  • 44 Variante : “(figure 14 8)”.
  • 45 La virgule n’apparaît pas dans la version imprimée.
  • 46 Variante : “(figure 15 9)”.
  • 47 Variante : “yy x=constantex=\text{constante}”.
  • 48 Variante : “…et de celui ci ensuite par une cycle série infiniment …”.
  • 49 Variante : “y x=constantex=\text{constante}”.
  • 50 Variante : “…si deux des tangencs venant viennent à se …”.
  • 51 Variante : “…des points m,mm,\leavevmode\nobreak\ m^{\prime}; mais si l’on suppose nous supposerons : 1° que les points …”.
  • 52 dydx\frac{dy}{dx}” devient “λdydx\lambda\frac{dy}{dx}” dans la version imprimée.
  • 53 Variante : “…sautera de ++\infty à + --\infty …”.
  • 54 Variante : “…le premier hémisphère, et de + --\infty\mathellipsis”.
  • 55 Variante : “(figure 16 20)”.
  • 56 Variante : “-2(ν-2γ)=-\text{\xout{2}}(\nu-\text{\xout{2}}\gamma)=…”.
  • 57 "AHB,CKD,CGB,ALDAHB,\leavevmode\nobreak\ CKD,\leavevmode\nobreak\ CGB,\leavevmode\nobreak\ ALD" devient "AHB,CKB,CKB,CGH,ALDAHB,\leavevmode\nobreak\ CKB,\leavevmode\nobreak\ CKB,\leavevmode\nobreak\ CGH% ,\leavevmode\nobreak\ ALD" dans la version imprimée.
  • 58 Variante : “…soit yy et yy^{\prime} λ\lambda et λ\lambda^{\prime} ….”.
  • 59 Variante : “…on trouvera toujours sur l’équateur la sphère …”.
  • 60 Variante : “…d’un changement linéaire de variable …”.
  • 61 Variante : “…Si l’on ne trouve pas sur l’équateur la sphère …”.
  • 62 Variante : “…c’est que le cycle passe par deux points les points du cycle sont deux à deux …”.
  • 63 Variante : “…c’est à dire qu’il que le cycle est …”.
  • 64 Variante : “En effet Soient :…”.
  • 65 Une note est présente dans la marge : “1b (ou 16) Brabant”.
  • 66 Variante : “On peut le diviser en y découper un certain …”.
  • 67 Variante : “…la loi de conséquence de cet arc l’un de ces arcs, …”.
  • 68 Variante : “…Supposons que l’on représente par considère le point …”.
  • 69 A1A_{1}” devient “AA” dans la version imprimée.
  • 70 Variante : “(figure 17 21)”.
  • 71 Variante : “…par un point BiB_{i} deu l’ar segment ABAB …”.
  • 72 BB” devient “EE” dans la version imprimée.
  • 73 Variante : “…joindre par des droites, ACAC AA et CC, BDBD BB et DD, puis …”.
  • 74 Variante : “…cycle limite ne passait par un noeud col, car nous …”.
  • 75 Variante : “…Une pareil cycle caractéristique n’est limite cycle limite …”.
  • 76 Variante : “(figure 18 22)”.
  • 77 La forme de la figure est différente dans la version imprimée, cette dernière ayant une forme arrondie à la place d’une forme en huit.
  • 78 Variante : “(figure 19 23)”.
  • 79 Le manuscrit comporte une note marginale en crayon de couleur bleue de main inconnue, sans doute du compositeur: “ital”, accompagnée d’une accolade sur le côté du théorème.
  • 80 Une note marginale de la main de Poincaré accompagne la figure: “Voir les figures 21, 22, 23, 24 à plus grande échelle aux pages 103, 104 et 105”. Il s’agit, après une opération de rénumeration réalisée sans doute par Poincaré des figures 25 à 28.
  • 81 Variante barrée: “ dxx(x2+y2-1)-y(x2+y2+1)=dyy(x2+y2-1)+x(x2+1)\frac{dx}{x(x^{2}+y^{2}-1)-y(x^{2}+y^{2}+1)}=\frac{dy}{y(x^{2}+y^{2}-1)+x(x^{2% }+1)}”.
  • 82 La légende est adaptée à la figure de la transcription (les figures à grandes échelles sont légèrement différentes de celles illustrant les exemples). Dans le manuscrit, les deux cycles limites sont indiqués dans la figure 26 par deux cercles dont la circonférence est hachée. La figure du manuscrit n’est pas colorée.
  • 83 Une erreur est présente dans la version imprimée, il est écrit “dyEC+A\frac{dy}{EC+A}” au lieu de “dyBC+A\frac{dy}{BC+A}”.
  • 84 Les pages suivantes du manuscrit (page 103 à 105) sont consacrées aux représentations à plus grandes échelles des figures 25 à 28. Une note est écrite à côté de la figure 28 : “Manque la fig 28 (petite échelle)”.
  • 85 Ce 1er problème était présenté d’abord comme le 2e problème (cette mention étant barrée). Aux pages 109–110 du manuscrit se trouve ce que Poincaré presentait d’abord comme le 1er problème; nous le transcrivons ainsi : “1er Problème : Reconnaître si une région douteuse est cyclique. Supposons que l’un des cycles qui forment la courbe des contacts XdF1dx+YdF1dy=0X\frac{dF_{1}}{dx}+Y\frac{dF_{1}}{dy}=0 entoure l’origine et soit situé tout entier dans une région douteuse, je dis que cette région est cyclique.En effet envisageons le système topographique des cycles sans contact et des cycles limites, système topographique dont le théorème XVIII a démontré l’existence, et envisageons le lieu des points de contact des cycles HH de ce système avec les cycles F1=K1F_{1}=K_{1}; ce lieu est une courbe LL continue qui passe par l’origine et va couper l’équateur. Aux points où elle coupe la courbe MM XdF1dx+YdF1dy=0X\frac{dF_{1}}{dx}+Y\frac{dF_{1}}{dy}=0 il y a contact entre une caractéristique et l’un des cycles HH; ce cycle HH n’est donc pas sans contact, c’est donc un cycle limite. Mais si un des cycles M1{}_{1} qui forment cycle M1M_{1} faisant partie de la courbe MM entoure l’origine, il sera forcément coupé par la courbe LL qui va de l’origine à l’équateur; et par conséquent par un cycle limite; si donc il est tout entier dans une région douteuse cette région sera cyclique. C.Q.F.D. 2e Problème. Reconnaître si une région cyclique est monocyclique.”
  • 86 Une note est présente dans la marge :“Rochereau”.
  • 87 ddρ(φdψdρ)=0\frac{d}{d\rho}\Big{(}\varphi\frac{d\psi}{d\rho}\Big{)}=0” devient “ddρ(ψ,dψdρ)=0\frac{d}{d\rho}\Big{(}\psi,\frac{d\psi}{d\rho}\Big{)}=0” dans la version imprimée.
  • 88 Le manuscrit porte un note marginale de main inconnue : “Brabant”.
  • 89 ddρ(dψdρφ)\frac{d}{d\rho}\Big{(}\frac{d\psi}{d\rho}\varphi\Big{)}” devient “ddρ(dψdρ,φ)\frac{d}{d\rho}\Big{(}\frac{d\psi}{d\rho},\varphi\Big{)}” dans la version imprimée.
  • 90 ddρ(φdψdρ)\frac{d}{d\rho}\Big{(}\varphi\frac{d\psi}{d\rho}\Big{)}” devient “ddρ(φ,dψdρ)\frac{d}{d\rho}\Big{(}\varphi,\frac{d\psi}{d\rho}\Big{)}” dans la version imprimée.
  • 91 ddρ(φdψdρ)\frac{d}{d\rho}\Big{(}\varphi\frac{d\psi}{d\rho}\Big{)}” devient “ddρ(φ,dψdρ)\frac{d}{d\rho}\Big{(}\varphi,\frac{d\psi}{d\rho}\Big{)}” dans la version imprimée.
  • 92 Voir note précédente.

Références

Time-stamp: "19.08.2021 21:27"