3-33-10. H. Poincaré à Anders Lindstedt

Paris, le 20 Avril 1884

Monsieur,

Le terme en

$$\cos(w+b-a)+\cos(w-b+a)$$

que vous rencontrez dans l’intégration de :

$$\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+n^{2}x=\lambda x\cos(t+a)+\mu x^{3}\cos(t+b)$$

peut s’écrire :

$$2\cos w\cos(b-a).$$

C’est donc un terme en $\cos w$ que l’on peut faire disparaître par un choix convenable de $t$.

Quant à l’équation,

$$\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+(a\cos t+b\sin t+c\cos 2t)x=0$$

et en général à toutes les équations linéaires la théorie peut s’en faire très simplement et on ne trouve de termes séculaires que dans des cas très exceptionnels. Je me bornerai à vous renvoyer aux Astronomische Nachrichten N° 2547. Il est donc probable que les termes en $\sin w$ disparaissent toujours et que par conséquent votre méthode n’est pas soumise à la restriction que vous énoncez dans votre lettre et qui en amoindrirait considérablement la portée. Mais cela mériterait démonstration ou tout au moins vérification.

Quant aux équations

$$\frac{d^{2}x_{i}}{dt^{2}}=\;\text{fonction rationnelle des}\;x_{i}$$

elles n’ont été intégrées, à ma connaissance, que dans quelques cas très simples et pour ainsi dire classiques que vous devez connaître.

J’ai l’intention de me restreindre pour le moment à l’étude de l’équation :

$$\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=\psi_{1}x+\psi_{2}x^{2}+\ldots$$

Il me paraît en effet que cette équation présente toutes les difficultés essentielles du problème des trois corps, tout en étant exempte de certaines complications de ce problème, qui ne touchent pas au fond des choses et qui embrouillent inutilement la pensée.

Veuillez agréer, Monsieur, l’assurance de ma considération la plus distinguée,

Poincaré

ALSX 3p. Observatoire de Paris.

Time-stamp: " 8.06.2019 16:56"

Notes

• 1 Callandreau (1883) applique les résultats de la théorie des équations différentielles à coefficients périodiques ou doublement périodiques développée par Picard (1880c, 1880b) et Floquet (1883) à l’équation différentielle linéaire du second ordre $$\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+(a_{0}+a_{1}\cos t+a_{2}\cos 2t+\ldots)x=0.$$ (1) Le point essentiel est la démonstration que l’équation (1) admet des solutions périodiques de seconde espèce, c’est-à-dire, vérifiant $$F(t+2\pi)=\mu F(t).$$ Callandreau termine sa note en montrant que les coefficients de Fourier sont des fonctions holomorphes des coefficients $a$ et d’un terme $m$ obtenu par l’équation $f(2\pi)=\cos 2\pi m$, où $f$ est une solution paire de l’équation (1). L’analyse proposée par Callandreau est analogue à celle exposée par Poincaré dans sa lettre à Lindstedt du 25 août 1883 (§ 3-33-4) et par Tisserand dans son Traité de mécanique céleste (Tisserand 1894, chap. 1).
• 2 Poincaré proposera deux preuves que l’algorithme de Lindstedt peut être indéfiniment poursuivi (1893, 16): “On constate aisément que la méthode est applicable dans les premières approximations, mais on peut se demander si l’on ne sera pas arrêté dans les approximations suivantes ; M. Lindstedt n’avait pu l’établir rigoureusement et conservait même à ce sujet quelques doutes. Ces doutes n’étaient pas fondés et sa belle méthode est toujours légitime ; je l’ai démontré d’abord par l’emploi des invariants intégraux […], puis sans me servir de ces invariants […].” Dans son article “Sur une méthode de M. Lindstedt,” Poincaré décrit la méthode de Lindstedt comme la résolution d’une succession d’équations de la forme $$\Delta x_{k}=F_{k-1}+\nu_{k}\cos w-B_{k}$$ où $F_{k-1}$ et $B_{k}$ sont des séries trigonométriques, et il faut déterminer $\nu_{k}$ de telle manière que l’équation puisse être satisfaite par une série trigonométrique (1886, 59): “Il est aisé de voir comment il faut déterminer $\nu_{k}$ ; en effet, pour que l’équation $$\Delta u=W,$$ où le second membre est une série trigonométrique en $t$ et $w$ puisse être satisfaite par une série trigonométrique $u$, il faut et il suffit que $W$ ne contienne ni terme en $\cos w$, ni terme en $\sin w$. or nous pouvons disposer de $\nu_{k}$, de façon à détruire les termes en $\cos w$; mais nous ne pourrions pas de même détruire les termes en $\sin w$, s’il y en avait dans $F_{k-1}-B_{k}$.” Pour montrer qu’il n’apparaît pas de terme en sinus, Poincaré utilise une preuve par l’absurde fondée sur le théorème de Green-Ostrogradski. Cette preuve est typique du style géométrico-physique de Poincaré en analyse. Il suppose qu’à la $(k+1)$^e approximation un terme en sinus apparaisse dans $F_{k-1}-B_{k}$ et qu’il faille donc résoudre une équation du type : $$\Delta x^{\prime}_{k}=F_{k-1}+\nu_{k}\cos w-B_{k}-S\sin w$$ “en choisissant $\nu_{k}$ de façon à détruire les termes en $\cos w$ dans le second membre”. La solution $x^{\prime}_{k}$ sera encore une série trigonométrique en $t$ et $w$ (mais ne permet plus de poursuivre l’algorithme). Poincaré pose : $$\begin{array}[]{r@{\quad= \quad}l}x&f(t,w)=x_{0}+\alpha x_{1}+\ldots+\alpha^{k-1}x_{k-1}+\alpha^{k}x^{\prime}_{k},\\ y&\psi(t,w)=\frac{df}{dt}+\mu\frac{df}{dw},\\ z&t.\end{array}$$ Il note $\Sigma$ la surface décrite par le point $x,y,z$ quand $t$ et $w$ parcourt l’intervalle $[0,2\pi]$. À l’aide de la forme de Green-Ostrogradski, il montre que l’intégrale $$\int_{\Sigma}(Xa+Yb+Zc)dw=0$$ où $X=\frac{dx}{dt},\quad Y=\frac{d^{2}x}{dt^{2}},\quad Z=t$ et $(a,b,c)$ est le champs normal à $\Sigma$. Poincaré en conclut que les coefficients du développement par rapport à $\alpha$ de l’intégrale sont nécessairement nuls (1886, 61): “Notre intégrale devant être nulle, quel que soit $\alpha$, les coefficients des diverses puissances de $\alpha$ dans le développement de cette intégrale devront être nuls, et ce sera vrai, en particulier, du coefficient de $\alpha^{k}$ : on devra donc avoir $$\int M_{0}S\sin^{2}wdw=0,$$ et, comme $M_{0}\sin^{2}w$ est essentiellement positif, cela ne peut avoir lieu que si $S$ est nul. Donc, dans la méthode de M. Lindstedt, aucune des approximations n’introduira de terme en $\sin w$ ; donc la méthode n’est jamais en défaut. […] La même analyse pourrait s’étendre aux équations plus générales considérées par M. Lindstedt, mais j’ai à peine besoin de dire que la question de la convergence est toujours réservée.” Quelques années plus tard, dans le cadre de ses travaux préparatoires pour son mémoire présenté pour le concours du roi de Suède, Poincaré aborde l’étude des équations différentielles $$\frac{d^{2}\rho}{dx^{2}}+n^{2}\rho=\mu\varphi(\rho,x)$$ (2) où $n$ n’est pas rationnel, $\mu$ est un paramètre petit et $\phi$ s’écrit sous la forme d’une série trigonométrique $$\phi(\rho,x)=\sum A\rho^{m}\cos(\lambda x+\alpha)=\frac{d\psi}{d\rho}$$ en rattachant la méthode de Lindstedt aux principes des Vorlesungen über Dynamik de Jacobi. Dans un premier temps, Poincaré transforme l’équation (2) en un système d’équations d’Hamilton (1889, 21–22): “Nous pouvons remplacer l’équation (2) par les suivantes : $$\frac{d\rho}{dt}=\sigma,\quad\frac{d\sigma}{dt}=-n^{2}\rho+\mu\frac{d\psi}{d\rho},\quad\frac{dx}{dt}=1.$$ En posant $$H=\frac{\sigma^{2}}{2}+n^{2}\frac{\rho^{2}}{2}-\mu\psi+p,$$ il vient $\frac{d\rho}{dt}=\frac{dH}{d\sigma}$, $\frac{d\sigma}{dt}=-\frac{dH}{d\rho}$, $\frac{dx}{dt}=\frac{dH}{dp}$, auxquelles on peut joindre (puisque $p$ est une variable auxiliaire complètement arbitraire) $\frac{dp}{dt}=-\frac{dH}{dx}$.” En utilisant un changement de variables, l’hamiltonien s’écrit : $$H=p+n^{2}q-\mu\psi(q,y,x)$$ et les équations s’écrivent sous forme canonique. Suivant la théorie de Jacobi, le problème revient alors à intégrer l’équation aux dérivées partielles $H=C$ où “l’on regarde $p$ et $q$ comme les dérivées d’une même fonction $z$ et où $C$ est une constante arbitraire”. Poincaré obtient un développement de $z$ par rapport à $\mu$ (1889, 24): “Nous possédons donc $z$ sous la forme d’une fonction trigonométrique de $x$ et $y$, dépendant en outre de deux constantes arbitraires […]. Il est aisé d’en déduire les séries de M. Lindstedt sous la forme que le savant astronome leur a donnée. On remarquera que cette méthode d’exposition met en évidence la forme purement trigonométrique de la solution, sans qu’on soit obligé de recourir au théorème de Green et à l’artifice que j’ai employé dans le Bulletin astronomique pour démontrer la légitimité de la méthode de M. Lindstedt.” Poincaré choisira d’exposer la seconde démonstration dans le deuxième tome des Méthodes nouvelles de la mécanique céleste.
• 3 Dans le cadre de son étude des équations différentielles à coefficients doublement périodiques, Picard (1880a) avait publié une note dans laquelle il se proposait d’appliquer aux équations différentielles du second ordre à coefficients doublement périodiques la “méthode très remarquable [de Klein] pour reconnaître si une équation différentielle linéaire du second ordre, à coefficients rationnels, peut ou non être intégrée complétement au moyen des fonctions algébriques”.