1-1-154. H. Poincaré à Gösta Mittag-Leffler

[19/4/1900]

Mon cher ami,

J’ai présenté l’autre jour à l’Académie une note de M. Desaint sur la représentation analytique des fonctions. Peut-être avez vous l’occasion d’y jeter les yeux. Si vous jugiez que cette note présente quelque intérêt, vous serait il possible de donner l’hospitalité des Acta au mémoire développé que j’ai entre les mains et qui n’est pas très long ?

C’est l’œuvre d’un garçon sérieux et ses résultats me semblent dignes d’attention.

Votre ami bien dévoué,

Poincaré

ALS 2p. IML 95, Mittag-Leffler Archives, Djursholm.

Time-stamp: "29.07.2020 20:25"

Notes

• 1 Date du cachet de la poste de Paris. Paris-19 avril — Djursholm-22 avril.
• 2 Louis Desaint soutint sa thèse (Desaint, 1897) à la Faculté des sciences de Paris le 13 novembre 1897; Poincaré rédigea le rapport. La note (Desaint 1900b) présentée par Poincaré à la séance du 9 avril 1900 prétend établir le résultat suivant : Une fonction analytique $F(z)$ est représentée, pour toute valeur de $z$, par l’intégrale $$F\left(z\right)=\int_{0}^{1}{\frac{{\left({z-z_{0}}\right)L\left(y\right)+J\left(y\right)}}{{\left({\frac{{z-z_{0}}}{r}}\right)^{2}-2\left({\frac{{z-z_{0}}}{r}}\right)\cos\omega L\left(y\right)+1}}dy}.$$ (Desaint 1900b, 1001) Ce résultat surprendra Mittag-Leffler (voir § 1-1-155) et Phragmén montrera qu’il est grossièrement faux ! (Voir § 1-1-157). Il est un peu surprenant que Poincaré ait laissé passer une telle erreur puisque l’idée d’une telle représentation générale va à l’encontre des intuitions généralement admises sur l’aspect nécessairement local des représentations des fonctions analytiques. D’autre part, l’erreur provient du fait qu’une même expression peut représenter deux fonctions différentes selon que l’on est à l’intérieur ou à l’extérieur d’un domaine. Ce phénomène était bien connu de Poincaré puisqu’il l’avait rencontré dans ses recherches concernant les fonctions à espace lacunaire. Dans cette note, Desaint annonce un mémoire sur cette question. Une fois l’erreur établie, il n’y aura pas d’erratum dans les Comptes rendus. Par contre, la note suivante (Desaint 1900a) de Desaint est présentée par Picard. Mittag-Leffler, évoque cette note fausse et le manque de vigilance de Poincaré à cette occasion, dans une lettre adressée à Appell le 29 mai 1901. “Je trouve, soit-il dit exclusivement entre nous, que Picard a eu bien tort de publier la note de M. Desaint dans le numéro du 6 mai. Poincaré a fait la même faute auparavant quant à Desaint. Il a publié une autre note où il n’y avait pas de sens commun. De cette manière et si les membres de la classe ne surveillent pas mieux les notes qu’ils présentent la renommée des articles des C[omptes] R[endus] s’en ira bien vite […]. M. Desaint m’envoyait par l’intermédiaire de Poincaré […] un grand mémoire rempli des fonctions les plus ridicules. Il n’a pas l’idée des premiers principes même de la théorie des fonctions.” (Brefkoncept 2892, IML)