2-54-1. H. Poincaré à Arnold Sommerfeld

[Ca. 03.1912]

Mon cher Collègue,

J’ai examiné le mémoire de M. March que vous avez eu la bonté de m’envoyer. J’ai découvert l’origine de l’erreur de M. March.

A la page 39 de sa dissertation il envisage une certaine intégrale (94) que j’écrirai pour abréger.

Π1=F(α)𝑑α.\Pi_{1}=\int{F(\alpha)d\alpha}.

l’intégrale est prise le long du contour OMNOMN\infty.11endnote: 1 La figure ne paraît pas dans la note de Poincaré (1912).

[Uncaptioned image]

Comme ϱ\varrho est très grand, il remplace F(α)F(\alpha) par sa valeur approchée.

Soit Φ(α)\Phi(\alpha) cette valeur approchée, cela veut dire que l’on a :

F(α)=Φ(α)(1+ε)F(\alpha)=\Phi(\alpha)(1+\varepsilon)

ε\varepsilon étant très petit de l’ordre de

1ϱ.\frac{1}{\varrho}.

M. March obtient ainsi l’intégrale de la page 42, l’intégrale (100) que j’écris pour abréger

Φ(α)𝑑α.\int{\Phi(\alpha)d\alpha}.

et qu’il regarde comme une bonne approximation de (94).

Pour que cette vue fût exacte, il faudrait que l’erreur commise :

Δ=εΦ(α)𝑑α\Delta=\int{\varepsilon\Phi(\alpha)d\alpha}

fût négligeable devant l’intégrale (100) elle-même. Or il n’en est pas ainsi. Cette intégrale (100) calculée page 43 à la formule (101) est de l’ordre de 1/ϱ1/\varrho.

Quel est l’ordre de la quantité sous le signe \int{}

εΦ(α) ?\varepsilon\Phi(\alpha)\quad\text{ ?}

Φ(α)\Phi(\alpha) contient en facteur cos(αθπ/4)\cos\left(\alpha\theta-\pi/4\right) lequel est de l’ordre de eβθe^{\beta\theta}, β\beta étant la partie imaginaire de α\alpha, laquelle peut atteindre ϱ\varrho. Donc εΦ(α)\varepsilon\Phi(\alpha) est très petit par rapport à Φ(α)\Phi(\alpha), mais très grand par rapport à 1/ϱ1/\varrho, c’est à dire par rapport à (100).22endnote: 2 Le manuscrit comporte un trou à la place du dénominateur, que nous rétablissons. L’intégrale des valeurs absolues

|εΦ(α)dα|\int{\left|\,\varepsilon\Phi(\alpha)d\alpha\right|}

serait de l’ordre de eϱθ/ϱ3e^{\varrho\theta}/\varrho^{3} et c’est par suite de compensations que Δ\Delta est seulement de l’ordre de 1/ϱ1/\varrho, à peu près égale et de signe contraire à (100) de façon que la valeur exacte (94) soit très petite par rapport à la soi-disant valeur approchée (100).

Je profite de l’occasion pour me rappeler à votre bon souvenir.33endnote: 3 Sommerfeld et Poincaré se sont vus lors du premier Conseil Solvay à Bruxelles, du 30.10 au 03.11.1911 (§ 2-53-1). Plus tard, dans une lettre à Wilhelm Wien, Sommerfeld reconnaîtra la valeur de l’argument mathématique de Poincaré (Sommerfeld à W. Wien, 29.11.1913, NL 56–010, Archiv, Deutsches Museum).

Votre bien dévoué Collègue,

Poincaré

ALS 3p. HS 1977–28A/266, Archiv, Deutsches Museum.

Time-stamp: " 2.09.2020 16:47"

Notes

  • 1 La figure ne paraît pas dans la note de Poincaré (1912).
  • 2 Le manuscrit comporte un trou à la place du dénominateur, que nous rétablissons.
  • 3 Sommerfeld et Poincaré se sont vus lors du premier Conseil Solvay à Bruxelles, du 30.10 au 03.11.1911 (§ 2-53-1). Plus tard, dans une lettre à Wilhelm Wien, Sommerfeld reconnaîtra la valeur de l’argument mathématique de Poincaré (Sommerfeld à W. Wien, 29.11.1913, NL 56–010, Archiv, Deutsches Museum).

Références

  • H. Poincaré (1912) Sur la diffraction des ondes hertziennes. Comptes rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des sciences de Paris 154, pp. 795–797. link1 Cited by: endnote 1.