Vladimir A. Steklov to H. Poincaré

Kharkow le 28 Avril 1898ii.

Monsieur

Je vous prie d’agréer mes remerciements les plus vifs pour la présentation de ma Note : «   Sur un problème de la théorie analytique de la chaleur   », que vous avez bien voulu faire à l’Académie des Sciences le 4 Avril 1898.

Permettez moi aussi d’appeler votre attention sur quelques applications de ma méthode, indiquée dans ma Note tout à l’heure mentionnée.

Soit une surface fermée satisfaisant aux conditions :

admet un plan tangent

En tout point de les sections normales ont toutes des courbures finies et déterminées.

Le rapport de l’angle de contingence à l’arc tend vers sa limite, courbure uniformément pour toutes les sections normales au point considéré (Voir M. Liapounoff, Comptes Rendus, le 22 novembre 1897)

Pour chaque telle surface existent les fonctions fondamentales de M. Le Roy, satisfaisant aux conditions

, , ,

soit une fonction donnée sur . Posons

,

étant des constantes arbitraires. On a

, , .

Soit la fonction harmonique qui prend sur les valeurs . D’après les recherches de M. Liapounoff et * existent sous les conditions très générales par rapport à , si satisfait aux conditions . Nous aurons

Posons ,

D’après le lemme de M. Le Roy, on peut choisir les de telle façon que

étant un nombre, qui croît indéfiniment avec . Cela posé nous démontrons sans peine que

étant la valeur de pour . Par conséquent

(1) .

De cette égalité nous tirerons immédiatement les théorèmes de M. Le Roy sur la possibilité du développement de la fonction donnée suivant les fonctions .

Il est aisé de vérifier aussi que (2)

où désigne l’élément d’une portion quelconque de .

Soit la densité d’une couche superficielle, dont le potentiel sur les points de est égal à ( étant une fonction empirique). On a

Il faut déterminer ?

Supposons que est fini et continu. On a

.

Nous supposons que est seulement intégrable.

A l’aide de l’égalité (2) on peut déterminer la masse d’une portion arbitraire de la surface. En effet

La densité est donc complètement déterminée au point de vue de la Physique. En posant , nous aurons la solution du problème de la distribution de l’électricité.

Ces résultats ont lieu, si satisfait aux conditions assez générales . Il est probable qu’ils seront encore vrais sans supposer que soit continu. Il faut remarquer que l’idée d’application de l’égalité (1) aux questions du caractère indiqué appartient à M. Liapounoff.

Je ne veux pas en ce moment publier ces recherches, je voudrais seulement d’appeler votre attention sur quelques applications de la méthode indiquée dans ma Note : «   Sur un problème etc.   ».

Excusez moi, Monsieur, généreusement, si je vous incommode par ma lettre et agréez l’assurance de ma considération la plus distinguée.

W. Stekloff

Russie, Kharkow, Université.

* désigne la direction de la normale extérieure.

ALS 3p. Collection particulière, Paris.

Time-stamp: " 4.05.2019 00:57"