James Joseph Sylvester to H. Poincaré

13 Jan 189[7]11endnote: 1 Sylvester mistakenly dated this to 1896, the year having changed less than two weeks earlier.

5 Hertford St. — Mayfair London

Cher M. Poincaré,

En parlant de la valeur de

ϱα-N1-ϱαβ\sum\frac{\varrho_{\alpha}-N}{1-\varrho_{\alpha}}\beta

ϱα=1\varrho^{\alpha}=1 j’ai commis une double erreur. Sa valeur sera ou positif–négatif en effet c’est (p-α+12)\left(p-\frac{\alpha+1}{2}\right) ou pp est le nombre entier compris entre 11, 22, 33, \ldots, ϕ\phi qui satisfait à l’équation

pβ-qα=Np\beta-q\alpha=N

de sorte que le nombre de solutions en nombres [illegible] de l’équation

px+y=2n=Npx+y=2n=N

et xx et yy22endnote: 2 Variante : “et ni xx ni yy sont tous les deux … ”. sont tous les deux plus grand que N4\frac{N}{4} et [illegible] que 3N4\frac{3N}{4} en conservant la notation donnée dans ma lettre précédente sera (sauf le cas ou pp est un nombre premier)

(r2-p-μr2)N+(μ-1)r+Q+R(r^{2}-p-\mu r_{2})N+(\mu-1)r+Q+R

Q\displaystyle Q =2(Nαβ-(1α+1β))\displaystyle=2\sum\left(\frac{N}{\alpha\beta}-\left(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}% {\beta}\right)\right)
=N(μr2-r2)-2(μ-1)r\displaystyle=N(\mu r^{2}-r_{2})-2(\mu-1)r

De sorte que

X=(N(μ-1)r-μ-r2)+RX=(N(\mu-1)r-\mu-r_{2})+R

RR étant une qualité qu’on place facilement entre des limites et d’un [illisible] inférieur à celle de QQ c-à-d de l’[illisible] Qn\frac{Q}{n}.

Avec cette formule on peut faire croitre nn et sauf [dans] des cas spéc[ia]les les α\alpha, β\beta, \ldots, ϕ\phi, ω\omega pour N=4qN=4q n+2=4q+2n+2=4q+2 et excepté d’autres cas spéc[ia]les ont la part de 4q-24q-2 à 4q4q.

En effet en prenant 4K-24K-2, 4K4K, 4K+24K+2 pour tous ces basis valeurs de NN les [illisible] α\alpha, β\beta, γ\gamma, … , ω\omega redeviennent les mêmes si ni KK, ni 2K+12K+1, ni 3K+13K+1 [ne] sont des nombres premiers. Ainsi j’attends (avec humilité) très tôt à pouvoir établir mon théorème donné dans le journal Nature il y a deux ou trois semaines.33endnote: 3 Sylvester (1896), publié le 31.12.1896.

Chose singulière au lieu de

(Σ11-xα)2\left(\Sigma\frac{1}{1-x^{\alpha}}\right)^{2}

pris pour la fonction génératrice on peut prendre

(Σ11-xα)n\left(\Sigma\frac{1}{1-x^{\alpha}}\right)^{n}

n>2n>2. Mais en faisant ainsi et en mettant le cas de n>2n>2 nombre premier pour obtenir le nombre de partitions de NN en deux nombres premiers il faut diviser le coefficient de x2αx^{2\alpha} par r(γ-1)/nγr(\gamma-1)/n^{\gamma}.

Mais il est beaucoup plus simple à prendre r=2r=2. La méthode dont je me sers et celle que j’ai déjà employé[e] dans les leçons sur les Problems que la Société Mathématique de Londres va publier [dans le] J[ournal] de Octobre.

Tout à vous Cher et très dévoué M. Poincaré,

J. J. Sylvester

ALS 4p. Collection particulière, Paris 75017.

Time-stamp: " 6.09.2020 20:50"

Notes

  • 1 Sylvester mistakenly dated this to 1896, the year having changed less than two weeks earlier.
  • 2 Variante : “et ni xx ni yy sont tous les deux … ”.
  • 3 Sylvester (1896), publié le 31.12.1896.

Références

  • J. J. Sylvester (1896) On the Goldbach-Euler Theorem. Nature 55 (1418), pp. 196–197. Link Cited by: endnote 3.