4-12-1. Luitzen Egbertus Jan Brouwer à H. Poincaré

[Entre le 17 novembre et le 10 décembre 1911]

Je prends la liberté de vous envoyer en même temps que cette lettre trois petits articles récemment parus dans les Mathem. Ann., ainsi que le texte non-publié d’une communication faite par moi au Congrès allemand de Karlsruhe le 27 septembre 1911. Je ne puis cependant pas me décider à publier cette communication sans vous prier.

Mon „Beweis der Invarianz des $n$-dimensionalen Gebiets“ a été inspiré l’année passée par la lecture de votre „Méthode de Continuité“ du tome 4 des Acta Mathematica. C’est qu’à cette lecture j’avais l’impression d’une part qu’on ne sait pas au cas général si la correspondance biunivoque et continue entre les deux variétés $6p-6+2n$-dimension[nelles] dont il est question est analytique, d’autre part que l’absence de points singuliers dans les variables des modules des surfaces de Riemann du genre $p$, cette dernière démonstration [me semble?] d’ailleurs assez simple. Mais ayant lu quelque part dans un article de votre main (je crois sur l’équation $\Delta u=e^{u}$ dans le Journal de Liouville) que vous considérez votre exposé de la méthode de continuité comme parfaitement rigoureux et complet, je me suis mis à craindre d’avoir mal compris vos mémoires des Acta et j’ai publié mon travail „Beweis der Inversion des $n$-dimension. Gebiets“ sans y signaler l’application à la méthode de continuité, me bornant à faire une communication orale sur ce sujet le 27 septembre 1911 au Congrès des mathématiciens allemands à Karlsruhe, communication dont je joins le texte à cette lettre. À l’occasion de cette communication M. Fricke m’a exprimé son doute que j’y eusse au commencement exactement formulé le résultat de vos raisonnements des pages 250–276 des Acta. Cependant je continue à croire que je vous ai exactement interprété.

En effet, si les conditions de cet énoncé sont satisfaites, [le] mot „gleichmässig“ (uniformément) constitue le point principal, les polygones réduits de la suite du groupe convergent aussi uniformément vers la frontière du cube $(2n+6p-6)$-dimension[nel] et en vertu de vos raisonnements il existe au moins un polygone limite réduit possédant sur le cercle fondamental des angles paraboliques seulement, et correspondant pour cela à une surface de Riemann limite, pour laquelle ou bien le genre s’est abaissé, ou bien des points singuliers se sont confondus.

Demanderais-je trop de votre bienveillance et de votre temps précieux, en vous priant de vouloir bien me communiquer brièvement votre opinion sur les points en litige signalés, [à] savoir 1° si j’ai exactement formulé le résultat des pages 250–276 des Acta et 2° si j’avais tort en disant sur la première page de la communication ci-jointe que les pages 276–278 des Acta admettent tacitement le „Theorem 1“ et le „Theorem 2“.

Je vous serais extrêmement reconnaissant de me délivrer de la sorte de mon incertitude sur ces points.

Agréer, Monsieur, l’expression de ma profonde vénération,

L E J Brouwer

ADftS 1p. Brouwer archive, Philosophy Department, University of Utrecht. Traduction anglaise dans Van Dalen (2011, 112–114).

Time-stamp: " 1.10.2021 16:18"

Notes

• 1 Brouwer (1911); Poincaré (1884, § 8).
• 2 Poincaré (1898).
• 3 Robert Fricke (1861–1930) enseigna les mathématiques à la Technische Hochschule de Braunschweig. Il fut chargé de la rédaction de l’article sur les fonctions automorphes dans Encyklopädie de Felix Klein (Fricke, 1913).
• 4 Voici les énoncés de ces théorèmes : “Theorem 1. Die Klassen der Riemannschen Flächen vom Geschlechte $p$ bilden eine singularitätenfreie $(6p-6)$-dimensionale Mannigfaltigkeit. Theorem 2. In einer $q$-dimensionalen Mannigfaltigkeit bildet das eineindeutige und stetige Bild eines $q$-dimensionalen Gebiets wiederum ein Gebiet.” Brouwer (1912, 154–155).
• 5 Poincaré accusa réception des lettres de Brouwer, sans fournir la réponse qu’il attendait; voir Poincaré à Brouwer (§ 4-14-3). Brouwer a tout de même publié sa communication du 27.09.1911 (Brouwer, 1912).