4-28-2. Georges Fouret à H. Poincaré

Paris, 7 Janvier 1882

Monsieur,

Je vous suis bien obligé des nouvelles explications que vous prenez la peine de me donner. L’exemple que vous me citez de l’éq^on

$$\frac{dy}{y}=\frac{dx}{2x}$$

est en effet tout à fait convaincant et me rallie entièrement à votre manière de voir. Sans entrer dans un examen approfondi de la nature des points que j’ai appelés principaux dans mon mémoire, cette question étant en dehors du but que je me proposais, j’avais cru, pour les raisons que je vous ai indiquées dans ma précédente lettre, pouvoir affirmer que ces points étaient généralement des points asymptotiques. Je me suis trompé, la question était beaucoup plus complexe que je ne le supposais.

J’avoue que je croyais d’autant plus être dans le vrai que je me trouvais d’accord avec le théorème de M^r Darboux que je vous citais l’autre jour.

On lit en effet, à la page 124–125 du Tome II de la 2^e Série du Bulletin des Sciences Mathématiques :

Cherchons maintenant combien il peut passer par un point singulier de courbes pour lesquelles $y$ soit une fonction développable de $x$. Si nous exprimons que la courbe dont l’équation est

$$y=Cx+C^{\prime}x^{2}+\ldots$$

satisfait à l’équation différentielle,

$$-L\frac{dy}{dx}+M+N\left(x\frac{dy}{dx}-y\right)=0$$

dans laquelle

$$L =ax+by+\alpha x^{2}+\beta xy+\gamma y^{2}$$

$$M =a^{\prime}x+b^{\prime}y+\alpha^{\prime}x^{2}+\beta^{\prime}xy+\gamma^{\prime}y^{2}$$

$$N =Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}$$

nous aurons pour déterminer $C$ l’équation

$$bC^{2}+(b^{\prime}-a)C+a^{\prime}=0.$$

Il y a donc, en général, seulement deux courbes de cette nature pour chaque point singulier. Il résulte d’ailleurs des principes exposés dans le beau Mémoire de MM. Briot et Bouquet, sur l’intégration des équations différentielles (Journal de l’École Polytechnique, XXXVI^e Cahier), que ces deux courbes existent réellement tant que l’équation précédente en $C$ a ses racines inégales. Si l’on veut qu’il passe, par un point singulier, plus de deux courbes à tangentes distinctes, il faudra que l’équation qui détermine $C$ ait lieu identiquement, c’est-à-dire que l’on ait

$$b=a^{\prime}=0,\qquad b^{\prime}=a.$$

Comme vous le voyez, tout en regrettant mon erreur, il me reste au moins la consolation d’avoir fait fausse route en bonne compagnie.

Du reste l’interprétation inexacte de M^r Darboux est sans conséquence dans le reste de son mémoire si plein d’intérêt.

En vous remerciant encore une fois, Monsieur, je vous prie de vouloir bien agréer l’expression de mes sentiments distingués,

G. Fouret

ALS 4p. Collection particulière, Paris 75017.

Time-stamp: " 2.11.2021 12:55"

Notes

• 1 Poincaré had presented this particular case as an example for the study of characteristics in the neighborhood of the singular point $x=y=0$, the general equation of which is $y=kx^{2}$, with $k$ a constant; see Poincaré (1881, 388). In Poincaré’s terminology, this singular point is a “noeud”, or knot.
• 2 Darboux (1878).
• 3 The next four equations, cited from Darboux (1878), are encircled in the MS, ostensibly by Fouret.
• 4 Briot and Bouquet (1856).