Henri Poincaré. Trois suppléments sur les fonctions fuchsiennes (1880), édition électronique corrigée (2016) de Jeremy Gray & Scott A. Walter, dirs.,
Trois suppléments sur la découverte des fonctions fuchsiennes,
Berlin, Akademie Verlag, 1997, 27–103

Concours pour le Prix
des Sciences Mathématiques
Devise: Non inultus premor
(Supplément)

Le théorème de M. Fuchs est-il vrai toutes les fois qu’il n’y a que deux points singuliers et quelles en sont les conséquences, telle est la question qui va nous occuper.11 1 Archives de l’Académie des sciences de Paris, Dossier Poincaré. Le manuscrit s’accompagne d’une enveloppe portant l’annotation : “Séance du 28 Juin 1880. N° 5 Année 1880. Grand prix des Sciences mathématiques. Supplément au mémoire portant pour épigraphe ‘Non inultus premor’ ”.

Nous allons envisager dans ce qui va suivre une équation différentielle linéaire de la forme :

1yd2ydx2=A(x-a)2+2C(x-a)(x-b)+B(x-b)2\frac{1}{y}\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{A}{\left({x-a}\right)^{2}}+\frac{2C}{% \left({x-a}\right)\left({x-b}\right)}+\frac{B}{\left({x-b}\right)^{2}}

Nous appellerons φ(x)\varphi(x) et f(x)f(x) deux intégrales de cette équation, choisies de telle sorte que si α1\alpha_{1} et α2\alpha_{2} sont les racines de l’équation fondamentale relative au point singulier aa, on ait ;

f(x)=(x-a)α1f1(x)  φ(x)=(x-a)α2φ1(x)f(x)=(x-a)^{\alpha_{1}}f_{1}(x)\qquad\varphi(x)=(x-a)^{\alpha_{2}}\varphi_{1}(x)

f1f_{1} et φ1\varphi_{1} sont holomorphes en xx pour x=ax=a.

Nous poserons

φ(x)f(x)=z.\frac{\varphi\left(x\right)}{f\left(x\right)}=z.

Nous avons trois points singuliers :

Nous supposerons que aa et bb sont réels et que ρ1\rho_{1}, ρ2\rho_{2} et rr sont des parties aliquotes de l’unité. Nous allons voir que dans ce cas le théorème de M. Fuchs est vrai. Si aa et bb étaient imaginaires, on les ramènerait à être réels par un changement de variables très simple.

Joignons aa et bb par une coupure en ligne droite, puis bb à l’infini par une seconde coupure également en ligne droite et dans le prolongement de la précédente. Faisons maintenant varier xx dans son plan de telle sorte qu’il ne franchisse aucune de ces coupures et voyons comment variera zz.

Faisons décrire à xx un contour fermé, défini comme il suit. Ce contour se composera :

1° d’une demi-circonférence λμπ\lambda\mu\pi infiniment petite décrite autour du point aa de façon à ne pas rencontrer la coupure ;

2° d’une droite (μν\mu\nu) parallèle à la coupure abab et infiniment voisine de cette coupure ;

3° d’une droite νσ\nu\sigma parallèle à la coupure bb\infty et infiniment voisine de cette coupure ;

4° d’une demi-circonférence στ\sigma\tau décrite autour du point \infty et infiniment petite ;

5° d’une droite τυ\tau\upsilon parallèle à b\infty b et infiniment voisine de cette coupure ;

6° d’une droite υλ\upsilon\lambda parallèle à baba et infiniment voisine de cette coupure.

La figure suivante représente ce contour, en supposant que par une perspective on ait ramené le point \infty à distance finie.

Voyons comment, aux infiniment petits près du premier ordre, va varier zz quand xx décrira ce contour.

Quand xx variera de μ\mu à ν\nu; on aura

z=(x-a)α2-α1φ1(x)f1(x)z=\left({x-a}\right)^{\alpha_{2}-\alpha_{1}}\frac{\varphi_{1}\left(x\right)}{f% _{1}\left(x\right)}

φ1(x)\varphi_{1}(x) et f1(x)f_{1}(x) étant ordonnées suivant les puissances croissantes de x-ax-a; d’ailleurs on a

φ1(a)<>0,f1(a)<>0.\varphi_{1}(a)<\mskip-15.0mu >0,\quad f_{1}(a)<\mskip-15.0mu >0.

On peut poser

φ1(x)f1(x)=θ(x),\frac{\varphi_{1}\left(x\right)}{f_{1}\left(x\right)}=\theta\left(x\right),

θ\theta étant une série ordonnée suivant les puissances croissantes de x-ax-a.

Les coefficients de l’équation différentielle étant réels, on peut toujours supposer : 1° α2>α1\alpha_{2}>\alpha_{1}; 2° que les coefficients de θ(x)\theta(x) sont réels.

Quand xx variera de μ\mu à ν\nu, zz restera donc réel (toujours aux infiniment petits près du 1er ordre). De plus, xx variant de μ\mu à ν\nu, zz ne pourra passer par un maximum sans quoi l’on aurait :22 2 Le manuscrit indique : “dz/dx=()/(fx)2=0dz/dx=(\quad)/(fx)^{2}=0”; nous insérons le numérateur.

dzdx=-f(x)φ(x)+φ(x)f(x)f(x)2=0\frac{dz}{dx}=\frac{-f^{\prime}\left(x\right)\varphi\left(x\right)+\varphi^{% \prime}\left(x\right)f\left(x\right)}{f(x)^{2}}=0

d’où

φ(x)f(x)-φ(x)f(x)=0.\varphi^{\prime}\left(x\right)f\left(x\right)-\varphi\left(x\right)f^{\prime}% \left(x\right)=0.

Ce qui est impossible : Donc z va décrire un segment OαO\alpha de l’axe des quantités réelles.

Quand xx tourne autour du point aa, θ(x)\theta(x) ne change pas; tandis que (x-a)α2-α1\left(x-a\right)^{\alpha_{2}-\alpha_{1}} se change en

(x-a)ρ1e2iπρ1.\left(x-a\right)^{\rho_{1}}e^{2i\pi\rho_{1}}.

Le module de zz ne change donc pas, pendant que son argument augmente de 2πρ12\pi\rho_{1}; Donc quand xx variera de λ\lambda à ν\nu, zz va décrire un segment de droite OαO\alpha^{\prime} égal en longueur à OαO\alpha et faisant avec OαO\alpha un angle 2πρ12\pi\rho_{1}.

Dans le voisinage de x=bx=b, il existe toujours deux nombres réels33 3 Note marginale : “En effet, α\alpha qui est l’extrémité comme les coefficients de l’équation différentielle sont réels, α\alpha et β\beta ne peuvent être que réels ou imaginaires conjugués. Or α\alpha qui est l’extrémité du segment OαO\alpha est évidemment réel.” α\alpha, β\beta tels que

φ(x)-αf(x)=(x-b)β1φ2(x),φ(x)-βf(x)=(x-b)β2φ2(x),\begin{array}[]{l}\varphi(x)-\alpha f(x)=(x-b)^{\beta 1}\varphi_{2}(x),\\ \varphi(x)-\beta f(x)=(x-b)^{\beta 2}\varphi_{2}(x),\end{array}

φ2(x)\varphi_{2}(x) et f2(x)f_{2}(x) étant holomorphes en xx; on a alors

z-αz-β=φ(x)-αf(x)φ(x)-βf(x)=(x-b)ρ2θ2(x),\frac{z-\alpha}{z-\beta}=\frac{\varphi(x)-\alpha f(x)}{\varphi(x)-\beta f(x)}=% \left({x-b}\right)^{\rho_{2}}\theta_{2}(x),

θ2(x)\theta_{2}(x) étant holomorphe en xx. Vu la réalité des coefficients de l’équation différentielle et de ceux de f1(x)f_{1}(x), φ1(x)\varphi_{1}(x), θ(x)\theta(x), les coefficients de ρ2(x)\rho_{2}(x) sont réels; de sorte que cette fonction θ2\theta_{2} reste réelle quand xx varie de μ\mu à σ\sigma.

Supposons pour fixer les idées a>ba>b, (x-b)ρ2(x-b)^{\rho_{2}} et par conséquent

z-αz-β,\frac{z-\alpha}{z-\beta},

est réel quand xx varie de μ\mu à ν\nu; au contraire quand xx varie de ν\nu à σ\sigma, l’argument de (x-b)ρ2(x-b)^{\rho_{2}} devient πρ2\pi\rho_{2}. Donc

ν<x<σ, arg.z-αz-β=πρ2.\nu<x<\sigma,\quad\text{ arg.}\frac{z-\alpha}{z-\beta}=\pi\rho_{2}.

C’est dire que zz décrira un arc αγ\alpha\gamma du cercle qui passe par les points α\alpha, β\beta et qui coupe la droite OαβO\alpha\beta sous un angle πρ2\pi\rho_{2}.

Dans le voisinage de x=x=\infty, on peut encore trouver deux nombres γ\gamma, δ\delta tels que

z-γz-δ=x-rθ3(x),\frac{z-\gamma}{z-\delta}=x^{-r}\theta_{3}\left(x\right),

θ3\theta_{3} étant holomorphe en 1x\frac{1}{x} pour x=x=\infty.

On le démontrerait par la méthode qui a permis de voir que dans le voisinage de xx = bb, on a :

z-αz-β=(x-b)ρ2θ2(x).\frac{z-\alpha}{z-\beta}=\left({x-b}\right)^{\rho_{2}}\theta_{2}\left(x\right).

Donc quand xx décrit un contour autour de xx = \infty, le module z-γz-δ\frac{z-\gamma}{z-\delta} ne change pas pendant que son argument augmente de 2πr2\pi r.

Or quand xx décrivait νσ\nu\sigma, zz décrivait l’arc de cercle αγ\alpha\gamma; donc quand xx décrira τν\tau\nu, zz décrira un arc γα\gamma\alpha^{\prime} du cercle qui passe par γ\gamma et δ\delta, et coupe le cercle αγβ\alpha\gamma\beta suivant un angle 2πr2\pi r.

Ce même cercle devra couper la droite OαO\alpha^{\prime} sous un angle πρ2\pi\rho_{2}; il devra couper cette droite en deux points α\alpha^{\prime}, β\beta^{\prime}, tels que

Oα=OαOβ=Oβ.O\alpha^{\prime}=O\alpha\quad O\beta^{\prime}=O\beta.

Il en résulte que les points OγδO\gamma\delta sont sur une même ligne droite d’argument πρ1\pi\rho_{1}.

angleαOα\displaystyle\text{angle}\ \alpha O\alpha^{\prime} =2πρ1\displaystyle=2\pi\rho_{1}
angle mixtiligneOαγ\displaystyle\text{angle mixtiligne}\ O\alpha\gamma =πρ2\displaystyle=\pi\rho_{2}
angle mixtiligneOαγ\displaystyle\text{angle mixtiligne}\ O\alpha^{\prime}\gamma =πρ2\displaystyle=\pi\rho_{2}
αγα\displaystyle\alpha\gamma\alpha^{\prime} =2πρ\displaystyle=2\pi\rho
αβ\displaystyle\frac{\alpha}{\beta} =cosπr-cosπ(ρ1+ρ2)cosπr+cosπ(ρ1-ρ2)\displaystyle=\frac{\cos\pi r-\cos\pi\left({\rho_{1}+\rho_{2}}\right)}{\cos\pi r% +\cos\pi\left({\rho_{1}-\rho_{2}}\right)}

Quand xx décrit le contour λμνστυλ\lambda\mu\nu\sigma\tau\upsilon\lambda, zz décrit le contour OαγαO\alpha\gamma\alpha^{\prime}.

Quand xx parcourra tout son plan sans franchir aucune coupure, zz devra parcourir une certaine région tout d’une pièce qui ne pourra être que la région située à l’intérieur du quadrilatère OαγαOO\alpha\gamma\alpha^{\prime}O.

Opérations qui ne changent pas xx.

Supposons que xx partant d’une certaine valeur initiale, arrive par un chemin quelconque à une certaine valeur finale sans avoir franchi aucune coupure, zz prendra une certaine valeur située à l’intérieur du quadrilatère mixtiligne OαγαO\alpha\gamma\alpha^{\prime} et ne dépendant que de la valeur finale de xx, nous la désignerons par la notation

z=F(x).z=F(x).

Si xx était arrivé à cette valeur finale, en franchissant KK fois la première coupure ab, nous désignerions la valeur de zz par la notation

F(x,1K),F(x,1^{K}),

si xx était arrivé à cette valeur après avoir franchi KK fois la première coupure ab, puis LL fois, la seconde coupure bb\infty, puis K1K_{1} fois, la première coupure ab, puis L1L_{1} fois la seconde coupure, nous désignerions la valeur de zz par la notation

F(x,1K2L1K12L1),F\left(x,1^{K}2^{L}1^{K_{1}}2^{L_{1}}\right),

etc.

Soit MM l’opération qui consiste à changer zz en ze2iπρ1ze^{2i\pi\rho_{1}}, NN celle qui consiste à changer

z-γz-δ en z-γz-δ e2lπr\frac{z-\gamma}{z-\delta}\text{ en }\frac{\text{z-}\gamma}{\text{z-}\delta}% \text{ }e^{\text{2l}\pi\text{r}}

on aura :

F(x,1)\displaystyle F(x,1) =F(x)M\displaystyle=F(x)M
F(x,2)\displaystyle F(x,2) =F(x)N\displaystyle=F(x)N
F(x,1K+12L1K1)\displaystyle F\left(x,1^{K+1}2^{L}1^{K_{1}}\right) =F(x,1K2L1K1)M\displaystyle=F\left(x,1^{K}2^{L}1^{K_{1}}\right)M
F(x,2 1K2L1K1)\displaystyle F\left(x,2\ 1^{K}2^{L}1^{K_{1}}\right) =F(x,1K2L1K1)N\displaystyle=F\left(x,1^{K}2^{L}1^{K_{1}}\right)N
F(x,1K2L1K12L1)\displaystyle F\left(x,1^{K}2^{L}1^{K_{1}}2^{L_{1}}\right) =F(x)NL1MK1NLMK\displaystyle=F(x)N^{L_{1}}M^{K_{1}}N^{L}M^{K}

L’opération NL1MK1NLMKN^{L_{1}}M^{K_{1}}N^{L}M^{K} s’appellera une opération composée à l’aide de MM et de NN.

Quand xx parcourra tout son plan en franchissant les coupures d’une façon quelconque, zz restera donc dans le quadrilatère OαγαO\alpha\gamma\alpha^{\prime} ou dans un des transformés de ce quadrilatère par l’une des opérations composées à l’aide de MM et de NN.

Or toutes ces opérations reproduisent le cercle HHHH^{\prime} qui a OO pour centre et qui coupe orthogonalement les cercles αδβ\alpha\delta\beta et αγδxβ\alpha^{\prime}\gamma\delta_{x}\beta^{\prime}. Le quadrilatère OαγαO\alpha\gamma\alpha^{\prime} tant intérieur à ce cercle, tous ses transformés seront également intérieurs à ce cercle. Donc zz restera toujours à l’intérieur de ce cercle.

Les opérations composées à l’aide de MM et de NN forment un groupe ; ce sont les opérations qui appliquées à zz, ne changent pas xx ; elles consistent toutes à changer zz en

Az+BAz+B\frac{Az+B}{A^{\prime}z+B^{\prime}}

AA, BB, AA^{\prime}, BB^{\prime} sont des constantes.

Désignons par QQ le quadrilatère OαγαO\alpha\gamma\alpha^{\prime} ; par

QMKNLMK1,QM^{K}N^{L}M^{K_{1}},

le transformé de ce quadrilatère par l’opération

MKNLMK1.M^{K}N^{L}M^{K_{1}}.

Le quadrilatère QMKNLMK1QM^{K}N^{L}M^{K_{1}} aura un côté commun avec le quadrilatère

QMK+1NLMK1,QM^{K+1}N^{L}M^{K_{1}},

et avec le quadrilatère

QNMKNLMK1.QNM^{K}N^{L}M^{K_{1}}.

Le quadrilatère QQ et ses transformés successifs vont donc former une sorte de damier, qui recouvrira la surface du cercle HHHH^{\prime} (soit une fois, soit plusieurs fois, nous ne le savons pas encore).

Tous les transformés successifs du cercle OαγαO\alpha\gamma\alpha^{\prime} sont des cercles qui coupent orthogonalement HHHH^{\prime} ; de plus les opérations MM et NN conservent les angles. Donc les transformés successifs de QQ auront les mêmes angles que QQ et auront pour côtés des arcs de cercles coupant orthogonalement le cercle HHHH^{\prime}.

Réciproquement, tout quadrilatère curviligne dont les côtés sont formés par des arcs de cercle coupant orthogonalement HHHH^{\prime}, dont les angles sont égaux à ceux de QQ ; et dont un côté coïncide avec un côté d’un des transformés de QQ est aussi un des transformés de QQ (si ces deux côtés coïncident de façon que les sommets correspondant à des angles égaux coïncident).

En effet, soit un quadrilatère curviligne satisfaisant à ces conditions et dont un côté λμ\lambda\mu coïncide avec un côté du quadrilatère

QMKNLMK1.QM^{K}N^{L}M^{K_{1}}.

Supposons que les angles des deux quadrilatères en λ\lambda soient égaux à 2πρ12\pi\rho_{1} et les angles en μ\mu à πρ2\pi\rho_{2}. Alors le quadrilatère coïncidera avec le quadrilatère :

QMK+1NLMK1.QM^{K+1}N^{L}M^{K_{1}}.

Donc si l’on faisait voir que l’on peut décomposer la surface du cercle HHHH^{\prime} en un nombre fini ou en une infinité de quadrilatères ayant pour côtés des arcs de cercle coupant orthogonalement HHHH^{\prime} et dont les angles sont égaux à ceux de QQ et que l’un de ces quadrilatères fût précisément QQ, l’on aurait démontré que le damier formé par les transformés successifs de QQ ne recouvre qu’une fois le cercle HHHH^{\prime} et par conséquent que xx est monodrome en zz dans l’intérieur de ce cercle.

Cas exceptionnels.

Dans la figure 2 on a supposé implicitement que αβ\frac{\alpha}{\beta} était positif. Mais dans certains cas exceptionnels, il peut arriver que

αβ=0\displaystyle\frac{\alpha}{\beta}=0   ou   αβ<0\displaystyle\frac{\alpha}{\beta}<0.

On aura

αβ<0\frac{\alpha}{\beta}<0

toutes les fois que

ρ1+ρ2+r>1\rho_{1}+\rho_{2}+r>1

ce qui peut arriver :

1° Si ρ1=ρ2=12\rho_{1}=\rho_{2}=\frac{1}{2} ; nous avons montré que dans ce cas l’équation était intégrable algébriquement (voir Note 8).

2° Si

ρ1=12,r=13,ρ2=13 (A),\begin{array}[]{l}\rho_{1}=\frac{1}{2},\quad r=\frac{\text{1}}{\text{3}},\quad% \rho_{2}=\frac{1}{3}\text{ (A),}\\ \par\end{array}

ou

ρ1=12,r=13,ρ2=13 (B),\begin{array}[]{l}\rho_{1}=\frac{1}{2},\quad r=\frac{1}{3},\quad\rho_{2}=\frac% {1}{3}\text{ (B),}\\ \par\end{array}

ou

ρ1=12,r=13,ρ2=15 (C).\begin{array}[]{l}\rho_{1}=\frac{1}{2},\quad r=\frac{1}{3},\quad\rho_{2}=\frac% {1}{5}\text{ (C).}\\ \end{array}

Dans ce cas le cercle HHHH^{\prime} est imaginaire et le damier formé par les transformés de QQ peut remplir tout le plan. La puissance de l’origine OO par rapport aux différents cercles qui sont les transformés successifs de αγδβ\alpha\gamma\delta\beta est constante. Si donc on projette tous les points du plan, stéréographiquement sur une sphère de rayon convenable, tangente au plan du tableau en OO ; tous ces cercles vont se projeter suivant des grands cercles de la sphère.

Comme ici le quadrilatère QQ et ses transformés successifs se réduisent à des triangles, ils se projetteront sur la sphère suivant des triangles sphériques TT. Comme la projection stéréographique conserve les angles, ces triangles seront isocèles et auront pour angles :

120° et 60° dans l’hypothèse AA,
120° et 45° dans l’hypothèse BB,
120° et 36° dans l’hypothèse CC.

Ces triangles seront donc tous égaux.

Se demander si le damier des transformés de QQ recouvre tout le plan, et une seule fois, c’est se demander si le damier des triangles TT recouvre toute la sphère et une seule fois ; c’est-à-dire si l’on peut décomposer la sphère en triangles égaux à TT. Or cela est évident ; car cette décomposition peut être obtenue aisément

dans l’hypothèse AA à l’aide du tétraèdre régulier

dans l’hypothèse BB à l’aide du cube et de l’octaèdre régulier

dans l’hypothèse CC à l’aide du dodécaèdre et de l’icosaèdre.

Donc il n’y a qu’un nombre fini de transformés de QQ qui recouvrent tout le plan et une seule fois. Donc xx est rationnel en zz et l’équation est intégrale algébriquement.

Il peut arriver aussi que

αβ=0.\frac{\alpha}{\beta}=0.

Pour cela il faut :

ρ1+ρ2+r=1,\rho_{1}+\rho_{2}+r=1,

ce qui peut arriver si

ρ1=12,ρ2=13,r=16,ρ1=12,ρ2=14,r=14,ρ1=13,ρ2=13,r=13.\begin{array}[]{ccc}\rho_{1}=\frac{1}{2},\quad\rho_{2}=\frac{1}{3},\quad r=% \frac{1}{6},\\ \rho_{1}=\frac{1}{2},\quad\rho_{2}=\frac{1}{4},\quad r=\frac{1}{4},\\ \rho_{1}=\frac{1}{3},\quad\rho_{2}=\frac{1}{3},\quad r=\frac{1}{3}.\end{array}

Dans ce cas le cercle HHHH^{\prime} est de rayon infini, le cercle αγδβ\alpha\gamma\delta\beta et ses transformés se réduisent à des droites ; le quadrilatère QQ et ses transformés peuvent s’associer de façon à former un réseau de losanges, xx est fonction doublement périodique de zz, quant à l’équation différentielle, elle admet une intégrale algébrique de la forme,

(x-a)α (x-b)β\left({x-a}\right)^{\alpha}\text{ }\left({\text{x-b}}\right)^{\beta}

et une autre que l’on peut obtenir par quadratures.

Rapports de la théorie précédente avec la Pseudogéométrie.

Il existe des liens étroits entre les considérations qui précèdent et la géométrie non-euclidienne de Lobatchewski. Qu’est-ce en effet qu’une Géométrie ? C’est l’étude du groupe d’opérations formé par les déplacements que l’on peut faire subir à une figure sans la déformer. Dans la Géométrie euclidienne ce groupe se réduit à des rotations et à des translations. Dans la pseudogéométrie de Lobatchewski il est plus compliqué.

Eh bien, le groupe des opérations combinées à l’aide de MM et de NN est isomorphe à un groupe contenu dans le groupe pseudogéométrique. Étudier le groupe des opérations combinées à l’aide de MM et de NN, c’est donc faire de la géométrie de Lobatchewski. La pseudogéométrie va par conséquent nous fournir un langage commode pour exprimer ce que nous aurons à dire de ce groupe.

Soit hh le rayon du cercle HHHH^{\prime}, au point du plan des zz dont les coordonnées polaires sont ρ\rho et ω\omega je vais faire correspondre dans plan pseudogéométrique, un point dont les coordonnées polaires seront :

ωetLh+ρh-ρ=R.\omega\quad\text{et}\quad L\frac{\text{h+}\rho}{\text{h-}\rho}=R.

Aux points situés à l’intérieur du cercle HHHH^{\prime} correspondront des points remplissant tout le plan pseudogéométrique. Aux cercles qui coupent orthogonalement le cercle HHHH^{\prime} correspondront des droites ; aux cercles qui coupent orthogonalement tous les cercles qui passent par un point λ\lambda du plan des zz et qui coupent eux-mêmes à angle droit le cercle HHHH^{\prime} correspondront des cercles ayant pour centre le point correspondant à λ\lambda. Enfin l’angle de deux courbes dans le plan des zz sera égal à l’angle des deux courbes correspondantes dans le plan pseudogéométrique.

Que deviennent alors les opérations MM et NN ? Si nous continuons à appeler MM l’opération qui permet de passer du point correspondant à λ\lambda au point correspondant à λM\lambda M, MM n’est autre chose qu’une rotation d’angle 2πρ12\pi\rho_{1} autour de l’origine. NN n’est de même qu’une rotation d’angle 2πr2\pi r autour du point correspondant à α\alpha.

Continuons à appeler QQ le quadrilatère rectiligne qui dans le plan pseudogéométrique correspond au quadrilatère curviligne QQ du plan des zz. Dans le plan pseudogéométrique, le quadrilatère Q et ses transformés successifs sont tous égaux entre eux.

Se demander si le damier formé dans le plan des zz par le quadrilatère QQ et ses transformés recouvre la surface de HHHH^{\prime} et la recouvre une seule fois ; c’est se demander si le damier formé dans le plan pseudogéométrique par le quadrilatère QQ et ses transformés recouvre ce plan tout entier et ne le recouvre qu’une fois ; c’est se demander si ce plan peut être décomposé en une infinité de quadrilatères égaux à QQ, ou ce qui revient au même en une infinité de triangles ayant pour angle πρ1,\pi\rho_{1}, πρ2\pi\rho_{2} et πr\pi r.

Or je dis que cela est possible. En effet, soit :

ρ1=1n1,ρ2=1n2,r=1p,\rho_{1}=\frac{1}{n_{1}},\quad\rho_{2}=\frac{1}{n_{2}},\quad r=\frac{1}{p},

on pourra toujours tracer dans le plan une figure formée d’autant de triangles qu’on voudra, et de telle sorte que si l’on désigne certains des sommets de ces triangles par la lettre AA, d’autres par la lettre BB, d’autres par le lettre CC.

1° Chaque triangle ait un sommet AA, un sommet BB et un sommet C.C.

2° Tous les sommets AA qui ne sont pas sur le périmètre de la figure appartiennent à 2n1n_{1} triangles différents.

3° Tous les sommets BB qui ne sont pas sur le périmètre appartiennent à 2n2n_{2} triangles différents.

4° Tous les sommets CC qui ne sont pas sur le périmètre appartiennent à 2pp triangles différents.

Comme nous n’avons fait aucune hypothèse sur les dimensions des triangles, et comme les conditions qui précèdent sont purement qualitatives, elles pourront toujours être remplies.

Proposons-nous maintenant le problème de trigonométrie pseudogéométrique qui consiste à résoudre ce système de triangles, en supposant que tous les angles en AA sont égaux à πρ1\pi\rho_{1}, tous les angles en BB égaux à πρ2\pi\rho_{2}, tous les angles en CC égaux à πr\pi r. Ces conditions sont en nombre surabondant, mais nous allons voir qu’elles sont compatibles.

En effet, remarquons en premier lieu que ces conditions nous donnent 2π2\pi pour la somme des angles en un sommet AA, ou en un sommet CC, ou en un sommet CC qui n’est pas sur le périmètre de la figure. Car cette somme est égale à

2n1×πρ1=2π,2n2×πρ2=2π,2p×xr=2π.\begin{array}[]{l}2n_{1}\times\pi\rho_{1}=2\pi,\\ 2n_{2}\times\pi\rho_{2}=2\pi,\\ 2p\times xr=2\pi.\\ \end{array}

Il n’y a donc pas de difficulté de ce côté. Résolvons maintenant un des triangles ; cette résolution sera possible puisque

 ρ1+ρ2+r<1,πρ1+πρ2+πr<π.\begin{array}[]{l}\text{ }\rho_{1}+\rho_{2}+r<1,\\ \pi\rho_{1}+\pi\rho_{2}+\pi r<\pi.\end{array}

Une fois ce triangle résolu, on passera au triangle adjacent ; de ce triangle nouveau on connaîtra quatre éléments, à savoir les trois angles AA, BB, CC et un côté AB par exemple.

Ces conditions sont surabondantes, mais elles sont compatibles, car ces éléments sont égaux aux éléments homologues, du triangle précédemment résolu.

On résoudra de même tous les autres triangles, et on reconnaîtra que tous ces triangles ont pour angles πρ1\pi\rho_{1}, πρ2\pi\rho_{2}, et πr\pi r, c’est-à-dire qu’il sont égaux à 12Q\frac{1}{2}Q. Donc on peut tracer dans le plan pseudogéométrique une figure formée d’un nombre aussi grand que l’on voudra de triangles égaux à 12Q\frac{1}{2}Q, et sans qu’il y ait duplicature. Donc le plan pseudogéométrique est décomposable en une infinité de triangles égaux à 12Q\frac{1}{2}Q ou de quadrilatères égaux à QQ.

Donc la surface du cercle HHHH^{\prime} est décomposable en une infinité de quadrilatères curvilignes qui ne sont autre chose que les transformés successifs de QQ. Donc le damier de ces transformés recouvre tout ce cercle et ne le recouvre qu’une fois. Donc un point quelconque situé à l’intérieur de HHHH^{\prime} n’appartient qu’à un seul de ces quadrilatères. Donc x reste fonction monodrome de z à l’intérieur de ce cercle.

Résumé.

Si

ρ1+ρ2+r>1,\rho_{1}+\rho_{2}+r>1,

xx est fonction rationnelle de zz.

Si

ρ1+ρ2+r=1,\rho_{1}+\rho_{2}+r=1,

xx est fonction doublement périodique de zz.

Si

ρ1+ρ2+r<1,\rho_{1}+\rho_{2}+r<1,

xx est une fonction de zz qui n’existe pas à l’extérieur du cercle HHHH^{\prime} et qui est méromorphe à l’intérieur de ce cercle.

Je propose d’appeler cette fonction, fonction fuchsienne. Remarquons que la fonction fuchsienne ne peut prendre qu’une seule fois la même valeur à l’intérieur de chacun des quadrilatères transformés de QQ.

La fonction fuchsienne est à la géométrie de Lobatchewski ce que la fonction doublement périodique est à celle d’Euclide.

En effet pour obtenir une fonction doublement périodique, on décompose le plan en parallélogrammes égaux et l’on cherche une fonction qui reprenne la même valeur aux points correspondants de ces parallélogrammes égaux.

De même pour obtenir une fonction fuchsienne, on décompose le plan pseudogéométrique en quadrilatères égaux et l’on cherche une fonction qui reprenne la même valeur aux points correspondants de ces quadrilatères égaux.

La géométrie opposée à celle de Lobatchewski, est comme on sait la géométrie de Riemann, qui si on se restreint à deux dimensions, n’est autre chose que la géométrie sphérique.

Eh bien, existe-t-il des fonctions qui soient à la géométrie de Riemann, ce que la fonction doublement périodique est à celle d’Euclide et la fonction fuchsienne à celle de Lobatchewski ? En d’autres termes peut-on décomposer la sphère en polygones égaux entre eux et trouver une fonction qui reprenne la même valeur aux points correspondants de ces polygones.

Évidemment oui, et c’est ce que nous avons fait en étudiant les cas où

ρ1+ρ2+r>1.\rho_{1}+\rho_{2}+r>1.

Mais dans ces cas, comme la surface de la sphère est finie, elle se décompose en un nombre fini de polygones, égaux entre eux et par conséquent la fonction définie à l’aide de cette décomposition est rationnelle.

Séries fuchsiennes.

Nous allons définir maintenant des séries qui joueront par rapport à la fonction fuchsienne le même rôle que jouent par rapport aux fonctions doublement périodiques les séries par lesquelles on a coutume de les représenter.

Pour rendre la définition qui va suivre plus claire et plus précise, commençons par faire une remarque. Deux opérations combinées à l’aide de MM et de NN

MKNLMK1NL1MKNLMK1NL1\begin{array}[]{l}M^{K}N^{L}M^{K_{1}}N^{L_{1}}\\ M^{K^{\prime}}N^{L^{\prime}}M^{K^{\prime}_{1}}N^{L^{\prime}_{1}}\end{array}

peuvent être identiques sans que l’on ait

K=K,L=L,K1=K1,L1=L1K=K^{\prime},\quad L=L^{\prime},\quad K_{1}=K^{\prime}_{1},\quad L_{1}=L^{% \prime}_{1}

Par exemple si

ρ1=1n1\rho_{1}=\frac{1}{n_{1}}

Mn1+1M^{n_{1}+1} est identique à MM.

A chaque opération, correspond un quadrilatère transformé de QQ ; à chaque quadrilatère correspondront plusieurs opérations, mais toutes ces opérations seront identiques.

Cela posé, soit HH une fonction rationnelle quelconque, KK une opération combinée à l’aide de MM et de NN, zz et ζ\zeta deux quantités variables, zKzK, et ζK\zeta K les résultats de l’opération KK appliquée à zz et à ζ\zeta.

Envisageons la série

[H(zK)-H(ζK)].\sum[H(zK)-H(\zeta K)].

Sous le signe Σ\Sigma, je prends successivement pour KK toutes les opérations combinées à l’aide de MM et de NN en ayant soin de ne pas prendre plusieurs fois des opérations identiques, c’est-à-dire de rejeter les opérations KK qui seraient identiques à une opération déjà obtenue.

À chaque terme de la série correspondra un système d’opérations KK identiques entre elles et, un seul, et réciproquement.

À chaque terme de la série, correspondra un quadrilatère transformé de QQ et un seul et réciproquement.

Je dis que la série est convergente, si l’ordre des termes est convenable.44 4 Variante : “…convergente, et cela quel que soit l’ordre des termes”.

Je n’ai pu tirer de la considération des séries fuchsiennes les résultats que j’en attendais; toutefois j’ai cru devoir en parler parce que je reste persuadé qu’on trouvera à appliquer ces séries dans la théorie des fonctions fuchsiennes; je prie particulièrement de vouloir bien lire la partie qui est encadrée de noir et qui trouve des applications dans la suite.

J’appelle en effet SRS_{R} la somme des termes de la série (nombre fini) qui correspondent aux quadrilatères transformés de QQ qui ont quelque sommet à l’intérieur d’un cercle décrit dans le plan pseudogéométrique de l’origine comme centre avec RR pour rayon. Je dis que quand RR tend vers l’infini, SRS_{R} tend vers une limite finie. Soit en effet PRP_{R} le polygone formé par tous les quadrilatères transformés de QQ qui ont quelque sommet à l’intérieur du cercle dont nous venons de parler. Soit PRP_{R}^{\prime} le polygone curviligne correspondant dans le plan géométrique des zz. Je dis que le périmètre du polygone PRP_{R}^{\prime} reste fini quand RR tend vers l’infini. Soit ρ\rho le rayon du cercle géométrique qui correspond au cercle pseudogéométrique de rayon RR de telle sorte :
R=Lh+ρh-ρ,dRdρ=2hh2-ρ2.R=L\frac{h+\rho}{h-\rho},\quad\frac{dR}{d\rho}=\frac{2h}{h^{2}-\rho^{2}}.
Soit Σ\Sigma la surface pseudogéométrique du quadrilatère QQ, LL la longueur pseudogéométrique de sa plus grande diagonale ou de son plus grand côté, si celui-ci est plus grand que la plus grande diagonale. La longueur pseudogéométrique de l’arc de cercle infiniment petit dont l’angle au centre est dωd\omega et le rayon RR nous sera donnée par la proportion :
dsdR=ρdωdρ\frac{ds}{dR}=\frac{\rho d\omega}{d\rho}
car les figures infiniment petites correspondantes sont semblables dans le plan géométrique et dans le plan pseudogéométrique. Donc
ds=dωρdRdρ=dω2hρh2-ρ2.ds=d\omega\rho\frac{dR}{d\rho}=d\omega\frac{2h\rho}{h^{2}-\rho^{2}}.
la longueur totale du cercle est alors
4πhρh2-ρ24\pi\frac{h\rho}{h^{2}-\rho^{2}}
ou puisque
ρ=heR-1eR+1\rho=h\frac{e^{R}-1}{e^{R}+1}
cette longueur du cercle de rayon RR sera :55 5 Variante : dans le terme de gauche, nous lisons “4πe2R-1/eR\pi e^{2R}-1/e^{R}”.
πe2R-1eR=πeR-πe-R.\pi\frac{e^{2R}-1}{e^{R}}=\pi e^{R}-\pi e^{-R}.
La surface du cercle de rayon RR (en pseudogéométrie) sera alors :
0R(πeR-πe-R)𝑑R=πeR+πe-R-2r.\int\limits_{0}^{R}{\left({\pi e^{R}-\pi e^{-R}}\right)dR}=\pi e^{R}+\pi e^{-R% }-2r.
Cela posé, cherchons : 1° Le maximum et le minimum du nombre des quadrilatères transformés de QQ qui peuvent être situés tout entiers à l’intérieur du cercle de rayon RR. Il est clair que si ce nombre est égal à NN ; le polygone formé par ces quadrilatères aura pour surface pseudogéométrique
NΣ.N\cdot\Sigma.
Or le périmètre de ce polygone sera tout entier intérieur au cercle de rayon RR et tout entier extérieur au cercle de rayon R-LR-L (car tous les sommets du contour de ce polygone appartiennent à un quadrilatère ayant un sommet à l’extérieur du cercle de rayon RR). Donc on a
πρr+πe-R-2π>NΣ>πeR-L+πe-R+L-2π,\pi\rho^{r}+\pi e^{-R}-2\pi>N\cdot\Sigma>\pi e^{R-L}+\pi e^{-R+L}-2\pi,
ce qui donne deux limites du nombre NN. 2° Cherchons maintenant une limite du nombre des côtés du polygone PRP_{R}. Le contour de ce polygone est formé par des côtés appartenant à des quadrilatères tout entiers intérieurs au cercle de rayon R+LR+L et qui ne sont pas tout entiers intérieurs au cercle de rayon RR. Le nombre de ces quadrilatères ne peut être plus grand que le maximum du nombre des quadrilatères tout entiers intérieurs au cercle de rayon R+LR+L diminué du minimum du nombre des quadrilatères tout entiers intérieurs au cercle de rayon RR. Le maximum de ce nombre est donc
1Σ3π(eR+L-eR-L+e-R-L-e-R+L),\frac{1}{\Sigma}3\pi\left({e^{R+L}-e^{R-L}+e^{-R-L}-e^{-R+L}}\right),
et le maximum du nombre des côtés du polygone PRP_{R} et par conséquent du polygone PRP^{\prime}_{R} est alors :
1Σ3π(eR+L-eR-L+e-R-L+e-R+L);\frac{1}{\Sigma}3\pi\left(e^{R+L}-e^{R-L}+e^{-R-L}+e^{-R+L}\right);
3° Cherchons le maximum de la longueur de l’un des côtés du polygone PRP^{\prime}_{R}. La longueur pseudogéométrique des côtés du polygone PRP_{R} est plus petite que LL. De plus tous ces côtés sont tout entiers extérieurs au cercle de rayon R-LR-L. Or la plus grande longueur géométrique que puisse prendre l’arc de cercle auquel correspond dans le plan pseudogéométrique un segment de droite de longueur LL et tout entier extérieur au cercle de rayon RR est :
L2h(h2-ρ2)=hL2eR(eR+1)2.\frac{L}{2h}\left({h^{2}-\rho^{2}}\right)=hL\frac{2e^{R}}{\left({e^{R}+1}% \right)^{2}}.
Le maximum du côté du polygone PRP_{R}^{\prime} est donc
2hLeR-L(eR-L+1)2.2hL\frac{e^{R-L}}{\left({e^{R-L}+1}\right)^{2}}.
Le maximum du périmètre du polygone PRP_{R}^{\prime} est donc :
6hLπΣ  e2R-e2R-2L+e-2L-1(eR-L+1)2\frac{6hL\pi}{\Sigma}\qquad\frac{\text{e}^{\text{2R}}-e^{2R-2L}+e^{-2L}-1}{% \left({e^{R-L}+1}\right)^{2}}
et la limite de cette expression pour RR = \infty est :
6hLπΣ(e2L-1).\frac{6hL\pi}{\Sigma}\left({e^{2L}-1}\right).
Donc le périmètre de PRP_{R}^{\prime} reste fini quand RR tend vers l’infini.

Cela posé, prenons l’intégrale

IR=(f(t)f(t)-f(z)-f(t)f(t)-f(ζ))dtt-vI_{R}=\int{\left({\frac{f^{\prime}(t)}{f(t)-f(z)}-\frac{f^{\prime}(t)}{f(t)-f(% \zeta)}}\right)}\frac{dt}{t-v}

le long du périmètre de PRP_{R}^{\prime}.

Dans cette intégrale f(z)f(z) représente la fonction fuchsienne de zz.

Intégrons par parties, il vient

IR=1t-vLf(t)-f(z)f(t)-f(ζ)+Lf(t)-f(z)f(t)-f(ζ)dt(t-v)2.I_{R}=\frac{1}{t-v}L\frac{f(t)-f(z)}{f(t)-f(\zeta)}+\int{L\frac{f(t)-f(z)}{f(t% )-f(\zeta)}}\frac{dt}{(t-v)^{2}}.

Étudions comment varie la fonction :

Lf(t)-f(z)f(t)-f(ζ)L\frac{f(t)-f(z)}{f(t)-f(\zeta)}

quand la variable tt décrit le polygone PRP_{R}^{\prime}.

Rappelons que la fonction fuchsienne f(t)f(t) n’est autre chose que xx quand la variable tt décrit un des côtés d’un des quadrilatères transformés de QQ, xx décrit l’une des coupures qui joignent les points singuliers aa, bb, \infty ; donc quand tt décrit le polygone PRP_{R}^{\prime}, xx revient à la même valeur après être resté constamment sur la ligne droite abab\infty .

Donc

Lf(t)-f(z)f(t)-f(ζ)=Lx-f(z)x-f(ζ)L\frac{f(t)-f(z)}{f(t)-f(\zeta)}=L\frac{x-f(z)}{x-f(\zeta)}

revient à la même valeur. Donc dans l’expression de IRI_{R} le terme tout intégré qui a la même valeur aux deux limites est nul, de sorte qu’on a

IR=Lf(t)-f(z)f(t)-f(ζ) dt(t-v)2.I_{R}=\int{L\frac{f(t)-f(z)}{f(t)-f(\zeta)}}\text{ }\frac{\text{dt}}{\left({t-v}\right)^{2}}.

[66 6 À cet endroit du manuscrit paraît une section barrée par Poincaré, que nous transcrivons intégralement. Intégrons une fois de plus par parties, en remarquant que : f(t)Lf(t)-f(z)f(t)-f(ζ)=[f(t)-f(z)][L(ft-fz)-1][f(t)-f(ζ)][L(ft-fζ)-1]=φ(t).\int f^{\prime}(t)L\frac{f(t)-f(z)}{f(t)-f(\zeta)}=\left[f(t)-f(z)\right]\,% \left[L(ft-fz)-1\right]\,\left[f(t)-f(\zeta)\right]\,\left[L(ft-f\zeta)-1% \right]=\varphi(t). Il viendra : IR=φ(t)(t-v)2f(t)-φ(t)ddt[1(t-v)2f(t)]𝑑t.I_{R}=\frac{\varphi(t)}{(t-v)^{2}f^{\prime}(t)}-\int\varphi(t)\frac{d}{dt}% \left[\frac{1}{(t-v)^{2}f^{\prime}(t)}\right]dt. Le terme tout intégré étant nul pour la même raison que précédemment il vient : IR=-φ(t)ddt[1(t-v)2f(t)]𝑑t.I_{R}=-\int\varphi(t)\frac{d}{dt}\left[\frac{1}{(t-v)^{2}f^{\prime}(t)}\right]dt. Faisons tendre RR vers l’infini; φ(t)\varphi(t) reste fini, le contour d’intégration reste fini; f(t)f^{\prime}(t) tend vers l’infini; donc : 1(t-v)2f(t) et ddt[1(t-v)2f(t)]\frac{1}{(t-v)^{2}f^{\prime}(t)}\text{ et }\frac{d}{dt}\left[\frac{1}{(t-v)^{2% }f^{\prime}(t)}\right] tend vers 0. Donc l’intégrale IRI_{R} tend vers 0. limIR=0.\lim I_{R}=0. ]

Quand RR tend vers l’infini, le périmètre d’intégration reste fini, la fonction sous le signe \int reste finie (car comme nous l’avons vu plus haut la fonction :

Lf(t)-f(z)f(t)-f(ξ)L\frac{f(t)-f(z)}{f(t)-f(\xi)}

a ici une valeur parfaitement déterminée). Donc IRI_{R} reste finie.

Limite IR<>.\text{Limite }I_{R}<>\infty.

Mais l’intégrale IRI_{R} est égale d’autre part à 2iπ2i\pi multiplié par la somme des résidus de la fonction

[f(t)f(t)-f(z)-f(t)f(t)-f(ζ)]1t-v\left[{\frac{f^{\prime}(t)}{f(t)-f(z)}-\frac{f^{\prime}(t)}{f(t)-f(\zeta)}}% \right]\frac{1}{t-v}

correspondant aux pôles de cette fonction situés à l’intérieur du périmètre d’intégration.

Or si zz et ζ\zeta sont tous deux à l’intérieur du quadrilatère QQ ; ces pôles sont :

t=v  t=zK  t=ζKt=v\qquad t=zK\qquad t=\zeta K

KK représente une quelconque des opérations telles que le quadrilatère QK soit l’un de ceux dont l’ensemble forme le polygone PRP_{R}^{\prime}.

La somme des résidus correspondants est alors :

f(v)f(v)-f(z)-f(v)f(v)-f(ζ)+[1v-zk-1v-ζK]\frac{f^{\prime}(v)}{f(v)-f(z)}-\frac{f^{\prime}(v)}{f(v)-f(\zeta)}+\sum{\left% [{\frac{1}{v-zk}-\frac{1}{v-\zeta K}}\right]}

Or :

[1v-zk-1v-ζK]=SRsiH(z)=1v-z.\sum{\left[{\frac{1}{v-zk}-\frac{1}{v-\zeta K}}\right]}=S_{R}\quad\text{si}% \quad H(z)=\frac{1}{v-z}.

Donc :

IR=2iπ(SR+ fonction indépendante de R)I_{R}=2i\pi(S_{R}+\text{ fonction indépendante de }R)

Or la limite de IRI_{R} est finie ; donc celle de SRS_{R} est également finie, c’est-à-dire que :

si zz et ζ\zeta sont à l’intérieur de QQ,

si H(z)=1v-zH\left(z\right)=\frac{1}{v-z},

si l’ordre des termes est convenable,

la série que nous avons considérée au début est convergente.

Je dis que si je change zz en zMzM ou en zNzN, ou bien ζ\zeta en ζM\zeta M ou en ζN\zeta N, la série reste convergente.

En effet, changeons par exemple zz en zMzM. Cela revient à ajouter à la série la suite des termes :

[H(zMK)-H(zK)],\sum{\left[H\left(zM\cdot K\right)-H\left(z\cdot K\right)\right]},

or, ou bien zKz\cdot K, zMKz\cdot M\cdot K, zM2Kz\cdot M^{2}\cdot K, …, zMn1-1Kz\cdot M^{n_{1}-1}\cdot K sont à l’intérieur du polygone PRP^{\prime}_{R} et la somme des termes correspondants s’écrit :

H(zMn1K)-H(zMn1-1K)+H(zMn1-1K)-+H(zMK)-H(zK)H(z\cdot M^{n_{1}}\cdot K)-H(z\cdot M^{n_{1}-1}\cdot K)+H(z\cdot M^{n_{1}-1}% \cdot K)-\ldots\\ +H(z\cdot M\cdot K)-H(z\cdot K)

c’est-à-dire 0.

Ou bien

zK,zMK,zM2K,,zMλKz\cdot K,z\cdot M\cdot K,z\cdot M^{2}\cdot K,\mathellipsis,z\cdot M^{\lambda}\cdot K

sont à l’intérieur du polygone PRP^{\prime}_{R} pendant que

zMλ+1K,zλ+2K,,zMn1-1Kz\cdot M^{\lambda+1}\cdot K,\ z^{\lambda+2}\cdot K,\ \ldots,\ z\cdot M^{n_{1}-% 1}\cdot K

sont à l’extérieur.

La somme des termes correspondants se réduit alors à

H(zMλ+1K)-H(zK).H(z\cdot M^{\lambda+1}\cdot K)-H(z\cdot K).

De sorte qu’en changeant zz en zMz\cdot M, on a ajouté à la série une somme de termes

[H(zMλ+1K)-H(zK)]\sum{\left[{H\left({z\cdot M^{\lambda+1}\cdot K}\right)-H\left({z\cdot K}% \right)}\right]}

dont chacun correspond à l’un des quadrilatères limitrophes du polygone PRP^{\prime}_{R}.

Le nombre de ces termes ne peut donc être plus grand que le maximum du nombre de ces quadrilatères limitrophes, c’est-à-dire que

1Σπ(eR+L-eR-L+e-R-L-e-R+L).\frac{1}{\Sigma}\pi\left({e^{R+L}-e^{R-L}+e^{-R-L}-e^{-R+L}}\right).

Le module de chaque terme est plus petit que AA (maximum du module de dHdz\frac{dH}{dz} quand le module pseudogéométrique de zz est plus grand que R-LR-L) multiplié par le module de

zMλ+1K-zK.z\cdot M^{\lambda+1}\cdot K-z\cdot K.

Or la distance pseudogéométrique des points zMλ+1KzM^{\lambda+1}K et zKz\cdot K est plus petite que 2L2L, puisque ces deux points appartiennent à deux quadrilatères transformés de QQ opposés par le sommet. Donc leur distance géométrique est plus petite que :

4hLeR-L(eR-L+1)2.4hL\frac{e^{R-L}}{\left({e^{R-L}+1}\right)^{2}}.

Le maximum de la somme de termes ajoutée à la série est donc

4hLπΣ  e2R-e2R-2L+e-2L-1(eR-L+1)2\frac{4hL\pi}{\Sigma}\qquad\frac{\text{e}^{\text{2R}}-e^{2R-2L}+e^{-2L}-1}{% \left({e^{R-L}+1}\right)^{2}}

dont la limite pour R=R=\infty est

4hLπΣ(e2L-1)A.\frac{4hL\pi}{\Sigma}\left({e^{2L}-1}\right)A.

Donc la somme de termes ajoutée à la série reste finie quand RR tend vers l’infini ; donc la série reste convergente quand on change zz en zMzM. Or en appliquant à zz et à ζ\zeta, les opérations MM et NN dans un ordre convenable, on peut faire prendre à ces variables toutes les valeurs comprises à l’intérieur du cercle HHHH^{\prime}. Donc la série fuchsienne reste convergente quand zz et ζ\zeta restent à l’intérieur de ce cercle. Nous appellerons sa limite φ(z,ζ)\varphi(z,\zeta).

Infinis de 1f(ζ).\frac{1}{f^{\prime}(\zeta)}.

Si f(z)f(z) est la fonction fuchsienne, f(z)f^{\prime}(z) sa dérivée, si y1y_{1} et y2y_{2} sont les deux intégrales de l’équation proposée, on a

x=f(z),y1=f(z),y2=zf(z),\begin{array}[]{l}x=f(z),\\ y_{1}=\sqrt{f^{\prime}(z)},\\ y_{2}=z\sqrt{f^{\prime}(z)},\\ \end{array}

f(z)f^{\prime}(z) ne peut s’annuler sans que y1y_{1} et y2y_{2} s’annulent à la fois, car zz ne peut devenir infini.

Donc f(z)f^{\prime}(z) ne peut s’annuler que pour

x=a       ou pour       x=bx=a\hskip 56.905512pt\text{ou pour}\hskip 56.905512ptx=b

c’est-à-dire pour les points singuliers.

Remarquons en passant que les intégrales y1y_{1} et y2y_{2} ne peuvent s’annuler que pour x=ax=a, ou pour x=bx=b ; puisque pour z=0z=0, on a encore x=ax=a.

Qu’une intégrale quelconque

λ1y1+λ2y2\lambda_{1}y_{1}+\lambda_{2}y_{2}

ne s’annulera que pour x=ax=a, ou pour x=bx=b si le point -λ1λ2-\frac{\lambda_{1}}{\lambda_{2}} est à l’extérieur du cercle HHHH^{\prime} et qu’elle ne s’annulera que pour x=ax=a, pour x=bx=b et pour une autre valeur de xx et une seule, si ce point est à l’intérieur de HHHH^{\prime}. Si 0 et α\alpha sont les valeurs de zz qui correspondent à x=ax=a et x=bx=b, f(z)f^{\prime}(z) ne pourra s’annuler que pour :

z=0K,z=αK,z=0\cdot K,\qquad z=\alpha\cdot K,

le symbole KK représentant l’une des opérations combinées à l’aide de MM et de NN.

De même si γ\gamma est la valeur de zz qui correspond à x=x=\infty, f(z)f^{\prime}(z) ne peut devenir infini que pour

z=γK,z=\gamma\cdot K,

proposons-nous pour zz = 0 d’ordonner 1f(x)\frac{1}{f^{\prime}(x)} suivant les puissances croissantes de zz ; pour zz = 0, nous avons x=ax=a ; or pour x=ax=a ; on a :

y1=(x-a)α1θ1(x),y2=(x-a)α2θ2(x),\begin{array}[]{l}y_{1}=\left(x-a\right)^{\alpha_{1}}\theta_{1}(x),\\ y_{2}=\left(x-a\right)^{\alpha_{2}}\theta_{2}(x),\end{array}

d’où :

(z-a)ρ1θ(x)×A\left(z-a\right)^{\rho_{1}}\theta(x)\times A

θ(x)\theta(x) étant une série ordonnée suivant les puissances croissantes de x-ax-a et dont les coefficients sont faciles à calculer et AA étant un facteur constant jusqu’ici inconnu. On déterminera AA par la condition :

lim(x-a)ρ1θ(x)A    (pourx=b)=α\text{lim}\left(x-a\right)^{\rho_{1}}\theta(x)\cdot A\qquad\qquad(\text{pour}% \ x=b)=\alpha

Cette condition exige un calcul numérique compliqué. Une fois qu’il sera effectué, on calculera sans peine autant de coefficients qu’on voudra de f(z)f(z), de f(z)f^{\prime}(z) ou de 1f(x)\frac{1}{f^{\prime}(x)} en séries ordonnées suivant les puissances de zz.

Soit maintenant pour z=αz=\alpha à ordonner 1f(x)\frac{1}{f^{\prime}(x)} suivant les puissances croissantes de z-αz-\alpha.

Pour cela, remarquons que pour x=bx=b, on a :

y1-αy2\displaystyle y_{1}-\alpha y_{2} =(x-b)β1θ1(x)A1\displaystyle=\left({x-b}\right)^{\beta_{1}}\theta_{1}(x)A_{1}
y1-βy2\displaystyle y_{1}-\beta y_{2} =(x-b)β2θ2(x)A2,\displaystyle=\left({x-b}\right)^{\beta_{2}}\theta_{2}(x)A_{2},

θ1(x)\theta_{1}(x) et θ2(x)\theta_{2}(x) étant des séries ordonnées suivant les puissances croissantes de x-bx-b, et dont les coefficients sont connus ; A1A_{1} et A2A_{2} étant des coefficients constants jusqu’ici inconnus.

On en tire

z-αz-β=(x-b)ρ2θ3(x)A3,\frac{z-\alpha}{z-\beta}=\left({x-b}\right)^{\rho_{2}}\theta_{3}(x)A_{3},

A3A_{3} est inconnu pendant que les coefficients de θ3(x)\theta_{3}(x) sont connus. Il faut encore ici calculer A3A_{3} avec une approximation numérique quelconque à l’aide de la condition

lim (x-b)ρ2θ3(x)A3(pour x=a)=αβ,\text{lim }\left({\text{x-b}}\right)^{\rho 2}\theta_{3}(x)A_{3}\quad\text{(% pour }x=a)=\frac{\alpha}{\beta},

et une fois ce calcul fait, on trouvera sans peine autant de coefficients qu’on voudra de 1f(x)\frac{1}{f^{\prime}(x)} ordonné suivant les puissances de z-αz-β\frac{z-\alpha}{z-\beta} ou bien ordonné suivant les puissances de z-αz-\alpha.

Soit maintenant à trouver le développement de 1f(x)\frac{1}{f^{\prime}(x)} suivant les puissances de z-OKz-O\cdot K ou de z-αKz-\alpha\cdot K.

Pour cela remarquons :77 7 Variante : “Pour cela remarquons : que l’on a, si …”. si l’opération KK consiste à changer zz en

λz+μλ1z+μ1\frac{\lambda z+\mu}{\lambda_{1}z+\mu_{1}}

de telle sorte que

z.K=λz+μλ1z+μ1λμ1-μλ1=1,z.K=\frac{\lambda z+\mu}{\lambda_{1}z+\mu_{1}}\quad\lambda\mu_{1}-\mu\lambda_{% 1}=1,

on aura :

d(zK)dz=1(λ1z+μ1)2f(zK)=f(z)f(zK)=f(z)(λ1z+μ1)2\begin{array}[]{l}\frac{d\left({z\cdot K}\right)}{dz}=\frac{1}{\left({\lambda_% {1}z+\mu_{1}}\right)^{2}}\\ f\left({z\cdot K}\right)=f\left(z\right)\\ f^{\prime}\left({z\cdot K}\right)=f^{\prime}\left(z\right)\left({\lambda_{1}z+% \mu_{1}}\right)^{2}\\ \end{array}

et

1f(zK)=1f(z)(λ1z+μ1)-2.\frac{1}{f^{\prime}\left({z\cdot K}\right)}=\frac{1}{f^{\prime}\left(z\right)}% \left({\lambda_{1}z+\mu_{1}}\right)^{-2}.

Supposons donc que pour zz = 0, on ait :

1f(z)=Amzm.\frac{1}{f^{\prime}(z)}=\sum{A_{m}z^{m}}.

Soit maintenant à développer f(z)f(z) suivant les puissances croissantes de

z-OK=z-μμ1.z-OK=z-\frac{\mu}{\mu_{1}}.

On n’a dans la formule :

1f(zK)=1f(z)(λ1z+μ1)-2.\frac{1}{f^{\prime}\left({z\cdot K}\right)}=\frac{1}{f^{\prime}\left(z\right)}% \left({\lambda_{1}z+\mu_{1}}\right)^{-2}.

qu’à changer zK en zz et zz en zK-1{}^{-1} où :

z=λzK-1+μλ1zK-1+μ1z=\frac{\lambda zK^{-1}+\mu}{\lambda_{1}zK^{-1}+\mu_{1}}

ou

zK-1=μ-μ1zλ1z-λzK^{-1}=\frac{\mu-\mu_{1}z}{\lambda_{1}z-\lambda}

et

λ1zK-1+μ1=1λ1z-λ\lambda_{1}zK^{-1}+\mu_{1}=\frac{1}{\lambda_{1}z-\lambda}

et :

1f(z)=1f(zK-1)(λ1z-λ)2\frac{1}{f^{\prime}(z)}=\frac{1}{f^{\prime}\left({zK^{-1}}\right)}\left({% \lambda_{1}z-\lambda}\right)^{2}

ou

1f(z)=Am(μ-μ1z)m(λ1z-λ)m-2.\frac{1}{f^{\prime}(z)}=\sum{A_{m}}\frac{\left({\mu-\mu_{1}z}\right)^{m}}{% \left({\lambda_{1}z-\lambda}\right)^{m-2}}.

De ce développement on déduit aisément le développement de cette même fonction suivant les puissances croissantes de z-μμ1z-\frac{\mu}{\mu_{1}}.

Nous appellerons Λ(OK)\Lambda(O\cdot K) l’ensemble des termes de cette série dont les exposants sont négatifs ; d’après ce qu’on vient de voir Λ(OK)\Lambda(O\cdot K) se déduit par une opération très simple de Λ(O)\Lambda(O).

Quand on connaît la valeur numérique du coefficient que nous avons appelé plus haut AA, le calcul de Λ(O)\Lambda(O) et par conséquent celui de Λ(OK)\Lambda(O\cdot K) n’exige plus que des additions, des multiplications et des divisions numériques.

Appelons de même Λ(αK)\Lambda(\alpha K) la somme des termes d’exposant négatif dans le développement de 1f(z)\frac{1}{f^{\prime}(z)} par rapport aux puissances croissantes de z-αKz-\alpha K. Nous déduirons Λ(αK)\Lambda(\alpha K) de Λ(α)\Lambda(\alpha) comme nous avons déduit Λ(OK)\Lambda(OK) de Λ(O)\Lambda(O) et par conséquent, dès que nous connaîtrons la valeur numérique de A3A_{3} nous pourrons calculer les coefficients de Λ(αK)\Lambda(\alpha K) par les opérations ordinaires de l’arithmétique.

Cela posé, considérons l’intégrale

dtf(t)(t-z)\int{\frac{dt}{f^{\prime}(t)(t-z)}}

prise le long du polygone PRP_{R}^{\prime} ; je dis que cette intégrale tend vers 0 quand RR tend vers l’infini. En effet le périmètre d’intégration reste fini (voir page 27).

De plus 1t-z\frac{1}{t-z} reste fini et 1f(z)\frac{1}{f^{\prime}(z)} tend vers 0. En effet supposons que tt soit compris dans le quadrilatère QKQ\cdot K et soit uu le point correspondant du quadrilatère QQ, on aura

1f(t)=1f(u)dtdu\frac{1}{f^{\prime}(t)}=\frac{1}{f^{\prime}(u)}\frac{dt}{du}

Or le module de dtdu\frac{dt}{du} est plus petit que la maximum du rapport de la distance géométrique88 8 Variante : “la distance pseudogéométrique”. de deux points situés dans le quadrilatère QKQK à leur distance pseudogéométrique, et si le quadrilatère QKQK est l’un des quadrilatères limitrophes du polygone PRP^{\prime}_{R} on a vu page 27 que ce maximum est :

2heR-L(eR-L+1)22h\frac{e^{R-L}}{\left(e^{R-L}+1\right)^{2}}

et tend par conséquent vers 0 quand RR tend vers l’infini.

Il pourrait y avoir une difficulté parce que 1f(t)\frac{1}{f^{\prime}(t)} devient infini sur le contour d’intégration. Mais cette difficulté est aisée à tourner.

En effet soit SS une figure qui diffère du quadrilatère QQ, parce que l’on a contourné les points zz = 0 et z=αz=\alpha, z=αMz=\alpha\cdot M par de petits arcs de cercle comme l’indique la figure où les traits pointillés représentent le contour du quadrilatère QQ partout où il ne se confond pas avec celui de la figure SS dont le contour est indiqué en trait plein.

Soit KK une opération quelconque telle que QKQ\cdot K fasse partie de PRP_{R}. Soit SKSK la transformée de SS par l’opération KK.

L’ensemble des figures SKSK va former une figure dont le contour extérieur différera peu du périmètre de PRP^{\prime}_{R}, si les arcs de cercles décrits autour des points O etc. sont de petit rayon.

Je dis le contour extérieur pour éviter toute confusion parce que l’ensemble des figures SKS_{K} laissera vides certains petits cercles décrits autour des points OKO\cdot K.

Prenons alors l’intégrale, non plus le long de PRP^{\prime}_{R}, mais le long du contour extérieur de la figure formée par l’ensemble des figures SKS\cdot K. Le long de ce nouveau périmètre d’intégration (qui est fini pour RR infiniment grand) 1f(u)\frac{1}{f^{\prime}(u)} reste fini ; dtdu\frac{dt}{du} comme nous l’avons vu devient infiniment petit ; donc 1f(u)\frac{1}{f^{\prime}(u)} et par conséquent l’intégrale elle-même devient infiniment petite. Donc :

limite de l’intégrale = 0.

Or la limite de l’intégrale a une autre expression ; à savoir 2iπ2i\pi multiplié par la somme des résidus relatifs aux pôles situés à l’intérieur du contour d’intégration ; cette limite de la somme des résidus est :

1f(z)-limΣΛ(OK)-limΣΛ(αK).\frac{1}{f^{\prime}(z)}-\lim\Sigma\Lambda(O\cdot K)-\lim\Sigma\Lambda(\alpha% \cdot K).

C’est dire que 1f(z)\frac{1}{f^{\prime}(z)} peut être représenté par la série infinie :

ΣΛ(OK)+limΣΛ(αK).\Sigma\Lambda(O\cdot K)+\lim\Sigma\Lambda(\alpha\cdot K).

Chaque terme de cette série est de la forme :

A(x-λ)m.\frac{A}{(x-\lambda)^{m}}.

Les valeurs des λ\lambda et des mm se calculent par les opérations ordinaires de l’arithmétique ; quand aux AA, on peut les calculer tous à l’aide de simples additions, multiplications ou divisions toutes les fois qu’on connaît la valeur numérique de deux d’entre eux (qui déterminent les coefficients que nous avons appelés plus haut AA et A3A_{3}).

Développement de f(z)f(z)\frac{f(z)}{f^{\prime}(z)}.

La fonction f(z)f(z)\frac{f(z)}{f^{\prime}(z)} peut se développer en séries absolument de la même manière. Les infinis de cette fonction sont en effet des points

z=OK,z=αK,z=γKz=O\cdot K,\quad z=\alpha\cdot K,\quad z=\gamma\cdot K

et l’on peut développer la fonction en séries ordonnées suivant les puissances de

z-OK,z-αK,z-γKz-O\cdot K,\quad z-\alpha\cdot K,\quad z-\gamma\cdot K

On trouvera les coefficients de cette série par les méthodes qui ont permis de développer 1f(z)\frac{1}{f^{\prime}(z)}.

Nous appellerons :

Λ1(OK),Λ1(α,K),Λ1(γ,K)\Lambda_{1}\left(O\cdot K\right),\quad\Lambda_{1}\left(\alpha,K\right),\quad% \Lambda_{1}\left(\gamma,K\right)

l’ensemble des termes de ces développements dont les exposants sont négatifs.

Si l’on considère maintenant l’intégrale :

f(t)f(t)dtt-z\int{\frac{f(t)}{f^{\prime}(t)}}\frac{dt}{t-z}

prise le long du contour extérieur de l’ensemble des figures SK, cette intégrale est infiniment petite pour R=R=\infty pour la même raison que l’intégrale considérée à propos de 1f(z)\frac{1}{f^{\prime}(z)}.

Or cette intégrale s’écrit

2iπ[f(z)f(z)-Λ1(OK)-Λ1(αK)-Λ1(γK)],2i\pi\left[\frac{f(z)}{f^{\prime}(z)}-\sum{\Lambda_{1}\left(O\cdot K\right)}-% \sum{\Lambda_{1}\left(\alpha\cdot K\right)}-\sum\Lambda_{1}\left(\gamma\cdot K% \right)\right],

Donc :

f(z)f(z)-Λ1(OK)-Λ1(αK)-Λ1(γK),\frac{f(z)}{f^{\prime}(z)}-\sum{\Lambda_{1}\left({O\cdot K}\right)}-\sum{% \Lambda_{1}\left({\alpha\cdot K}\right)}-\sum{\Lambda_{1}}\left({\gamma\cdot K% ^{\prime}}\right),

ce qui donne le développement de cette fonction en série convergente dans toute l’étendue du cercle HHHH^{\prime}.

Remarques.

1° Par la même méthode on développerait :

F(f(z))f(z)\frac{F\left({f\left(z\right)}\right)}{f^{\prime}\left(z\right)}

F(f(z))F\left({f(z)}\right) étant une fonction rationnelle quelconque en ff (z)z) ;

ff (z)z) étant le quotient de f(z)f(z)\frac{f(z)}{f^{\prime}(z)} par 1f(z)\frac{1}{f^{\prime}(z)} s’exprime par le quotient de deux séries convergentes dans toute l’étendue du cercle HHHH^{\prime}.

Fonctions zétafuchsiennes.

Considérons une nouvelle équation différentielle linéaire99 9 Variante : “…nouvelle équation aux dérivées partielles”.:

d2ydx2=y[A(x-a)2+2C(x-a)(x-b)+B(x-b)2]\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=y\left[{\frac{A}{\left({x-a}\right)^{2}}+\frac{2C}{\left% ({x-a}\right)\left({x-b}\right)}+\frac{B}{\left({x-b}\right)^{2}}}\right]

de la même forme que l’équation considérée au début, mais où la différence des racines de l’équation déterminante est respectivement

pour x=ax=a 2K1ρ12K_{1}\rho_{1}
pour x=bx=b 2K2ρ22K_{2}\rho_{2}
pour x=x=\infty 2Kr2Kr

K1K_{1}, K2K_{2}, KK sont entiers c’est-à-dire que ces différences sont des multiples pairs des différences correspondantes relatives à l’équation différentielle qui nous a servi à définir la fonction fuchsienne.

Soient F(x)F(x) et Φ(x)\Phi(x) deux intégrales de cette équation ; intégrales choisies de telle sorte que si λ1\lambda_{1} et λ2\lambda_{2} sont les racines de l’équation déterminante relative au point singulier x=ax=a ; on ait :

F(x)=(x-a)λ1×F(x)=(x-a)^{\lambda_{1}}\times fonction holomorphe de x-ax-a,

Φ(x)=(x-a)λ2×\Phi(x)=(x-a)^{\lambda_{2}}\times fonction holomorphe en x-ax-a.

Soit :

α=F(b)Φ(b),γ=F()Φ(),\alpha^{\prime}=\frac{F(b)}{\Phi(b)},\qquad\gamma^{\prime}=\frac{F(\infty)}{% \Phi(\infty)},

Joignons les points aa, bb, \infty par des coupures. Quand xx revient à sa valeur primitive, après avoir franchi la coupure abab,

F(x)Φ(x) se change en F(x)Φ(x)e4iK1πρ1.\frac{F(x)}{\Phi(x)}\text{ se change en }\frac{F(x)}{\Phi(x)}e^{4iK_{1}\pi\rho% _{1}}.

Quand xx revient à sa valeur après avoir franchi la coupure bb\infty:

F(x)-γΦ(x)F(x)-δΦ(x) se change en F(x)-γΦ(x)F(x)-δΦ(x)e4iKπr,\frac{F(x)-\gamma^{\prime}\Phi(x)}{F(x)-\delta^{\prime}\Phi(x)}\text{ se % change en }\frac{F(x)-\gamma^{\prime}\Phi(x)}{F(x)-\delta^{\prime}\Phi(x)}e^{4% iK\pi r},

δ\delta^{\prime} étant une constante.

γ\gamma^{\prime} peut être choisi arbitrairement; et on en déduit aisément les valeurs de δ\delta^{\prime} et de α\alpha^{\prime}; car on a

γδ=cos2πK2ρ2+cos2π(K1ρ1+Kr)cos2πK2ρ2+cos2π(K1ρ1-Kr)\frac{\gamma^{\prime}}{\delta^{\prime}}=\frac{\cos 2\pi K_{2}\rho_{2}+\cos 2% \pi\left({K_{1}\rho_{1}+Kr}\right)}{\cos 2\pi K_{2}\rho_{2}+\cos 2\pi\left({K_% {1}\rho_{1}-Kr}\right)}

et α\alpha^{\prime} est lié à γ\gamma^{\prime} par une relation du même genre. Une fois qu’on s’est donné γ\gamma^{\prime} on peut donc savoir ce que devient le rapport

F(x)Φ(x)\frac{F(x)}{\Phi(x)}

(en fonction de sa valeur primitive) quand xx revient à sa valeur primitive après avoir franchi les coupures un nombre de fois déterminé et dans un ordre déterminé.1010 10 Variante barrée : “Si par exemple xx a franchi la coupure abab, puis la coupure bb\infty, puis la coupure abab : F(x)Φ(x)\frac{F(x)}{\Phi(x)} s’est changé en e4iπK1ρ1e^{4i\pi K_{1}\rho_{1}}”.

On trouvera que

F(x)Φ(x) s’est changé en εF(x)+ζΦ(x)εF(x)+ζΦ(x)\frac{F(x)}{\Phi(x)}\quad\text{ s'est chang\'{e} en }\quad\frac{\varepsilon F(% x)+\zeta\Phi(x)}{\varepsilon^{\prime}F(x)+\zeta^{\prime}\Phi(x)}

ε\varepsilon, ζ\zeta, ε\varepsilon^{\prime}, ζ\zeta^{\prime} sont des constantes dont les valeurs se déduisent aisément de celles de γ\gamma^{\prime}, δ\delta^{\prime}, α\alpha^{\prime}, ρ1\rho_{1}, ρ2\rho_{2}, rr, K1K_{1}, K2K_{2}, KK.

On en conclura que

F(x)F(x) s’est changé en λεF(x)+λζΦ(x)\lambda\varepsilon F(x)+\lambda\zeta\Phi(x)

Φ(x)\Phi(x) s’est changé en λεF(x)+λζΦ(x)\lambda\varepsilon^{\prime}F(x)+\lambda\zeta^{\prime}\Phi(x)

λ\lambda est une constante déterminée par la condition

λ2(εζ-εζ)=1.\lambda^{2}(\varepsilon\zeta^{\prime}-\varepsilon^{\prime}\zeta)=1.

En particulier quand xx a franchi une fois la coupure abab,

F(x)F(x) se change en -e2iK2ρ2F(x)-e^{2iK_{2}\rho_{2}}F(x) ou λF(x)\lambda F(x),

Φ(x)\Phi(x) se change en -e-2iK2ρ2Φ(x) ou μΦ(x)-e^{-2iK_{2}\rho_{2}}\Phi(x)\text{ ou }\mu\Phi(x).

Nous dirons que F(x)F(x) et Φ(x)\Phi(x) ont subi l’opération M1M_{1}.

Quand xx a franchi la coupure bb\infty,

F(x)F(x) se change en AF(x)AF(x) + BΦ(x)B\Phi(x),

Φ(x)\Phi(x) se change en A1F(x)+B1Φ(x)A_{1}F(x)+B_{1}\Phi(x).1111 11 Note marginale : “AA, BB, A1A_{1}, B1B_{1} étant des constantes dont les valeurs se déduisent de celles de γ\gamma^{\prime}, δ\delta^{\prime}, KK, rr”.

Nous dirons que F(x)F(x) et Φ\Phi(x) ont subi l’opération N1N_{1}.

Quand xx revient à la même valeur après avoir franchi un certain nombre de coupures, F(x)F(x) et Φ(x)\Phi(x) subissent une opération combinée à l’aide de M1M_{1} et de N1N_{1}.

Nous dirons que F(x)F(x) et Φ(x)\Phi(x) ont subi l’opération K1K_{1}, si elles subissent l’opération

M1λ1N1μ1M1λ2N1μ2M_{1}^{\lambda_{1}}N_{1}^{\mu_{1}}M_{1}^{\lambda_{2}}N_{1}^{\mu_{2}}

et que l’on appelle KK l’opération correspondante

Mλ1Nμ1Mλ2Nμ2M^{\lambda_{1}}N^{\mu_{1}}M^{\lambda_{2}}N^{\mu_{2}}

qui est subie par zz quand xx revient à la même valeur après avoir franchi les coupures dans un ordre convenable.

Quand F(x)F(x) et Φ(x)\Phi(x) ont subi l’opération K1K_{1},

F(x)F(x) s’est changé en cF(x)x) + dΦ(x)d\Phi(x)

Φ(x)\Phi(x) s’est changé en c1F(x)+d1Φ(x)c_{1}F(x)+d_{1}\Phi(x)

cc, dd, c1c_{1}, d1d_{1} étant des constantes.

Il est facile de trouver les valeurs de cc, dd, c1c_{1}, d1d_{1}. Soit en effet par exemple

K1=M,N1M1K_{1}=M,N_{1}M_{1}

on aura :

[F(x)]K1=Aλ2F(x)+BλμΦ(x),[Φ(x)]K1=A1λμF(x)+B1μ2Φ(x).\begin{array}[]{l}\left[{F(x)}\right]K_{1}=A\lambda^{2}F(x)+B\lambda\mu\Phi(x)% ,\\ \left[{\Phi(x)}\right]K_{1}=A_{1}\lambda\mu F(x)+B_{1}\mu^{2}\Phi(x).\\ \end{array}

Supposons qu’on se propose de trouver le maximum des valeurs de cc, dd, c1c_{1}, d1d_{1} pour une opération

K1=M1λ1N1μ1M1λ2N1μ2K_{1}=M_{1}^{\lambda_{1}}N_{1}^{\mu_{1}}M_{1}^{\lambda_{2}}N_{1}^{\mu_{2}}

λ1+μ1+λ2+μ2<m.\lambda_{1}+\mu_{1}+\lambda_{2}+\mu_{2}<m.

Il est clair :

1° que cc, dd, c1c_{1}, d1d_{1} seront des polynômes en AA, BB, A1A_{1}, B1B_{1} , λ\lambda, μ\mu,

2° que leur degré en λ\lambda, μ\mu sera :

λ1+λ2;\lambda_{1}+\lambda_{2};

3° que leur degré en AA, BB, A1A_{1}, B1B_{1} sera

μ1+μ2;\mu_{1}+\mu_{2};

4° que le nombre des termes sera1212 12 Variante : “…termes sera au maximum …”.

2μ2+μ2;2^{\mu_{2}+\mu_{2}};

5° que le coefficient de chaque terme sera 1. On en conclut que si UU est le plus grand des modules des quatre quantités AA, BB, A1A_{1} , B1B_{1}, on a :

modc<(2U)m\displaystyle\bmod c<(2U)^{m}
modd<(2U)m\displaystyle\bmod d<(2U)^{m}
modc1<(2U)m\displaystyle\bmod c_{1}<(2U)^{m}
modd1<(2U)m.\displaystyle\bmod d_{1}<(2U)^{m}.

Supposons maintenant que nous remplacions dans F(x)F(x) et Φ(x)\Phi(x), xx par sa valeur f(z)f(z), c’est-à-dire par la fonction fuchsienne.

Il est clair que F(x)F(x) et Φ(x)\Phi(x) deviennent des fonctions Θ1\Theta_{1} et Θ2\Theta_{2} de zz ; que ces fonctions n’existent pas quand zz est extérieur au cercle HHHH^{\prime}.

Quand zz est intérieur à ce cercle, je dis que les fonctions Θ1\Theta_{1} et Θ2\Theta_{2} sont méromorphes. En effet, supposons que zz décrive un contour, infiniment petit autour d’un point quelconque de son plan ; xx décrira alors un contour fermé autour du point correspondant de son plan, puisque xx est fonction monodrome de zz.

Si le point autour duquel tourne zz, n’est, ni un des points OKO\cdot K, ni un des points αK\alpha\cdot K, ni un des points γK\gamma\cdot K ; xx tourne autour d’un point qui n’est pas un point singulier et par conséquent Θ1\Theta_{1} et Θ2\Theta_{2} reprennent les mêmes valeurs.

Si zz tourne d’un point OKO\cdot K, xx tourne autour du point singulier aa ; et décrit autour de ce point 1ρ1\frac{1}{\rho_{1}} tours. (1ρ1\frac{1}{\rho_{1}} est, on le sait, un entier). Or

Θ1(z)=(x-a)12+K1ρ1Θ1(x),Θ2(z)=(x-a)12+K1ρ1Θ2(x),\begin{array}[]{l}\Theta_{1}(z)=\left({x-a}\right)^{\frac{1}{2}+K_{1}\rho_{1}}% \Theta^{\prime}_{1}(x),\\ \Theta_{2}(z)=\left({x-a}\right)^{\frac{1}{2}+K_{1}\rho_{1}}\Theta^{\prime}_{2% }(x),\\ \end{array}

Θ1\Theta_{1}^{\prime} et Θ2\Theta_{2}^{\prime} étant holomorphes.

Supposons désormais que 1ρ1,1ρ2,1r\frac{1}{\rho_{1}},\frac{1}{\rho_{2}},\frac{1}{r} soient pairs. On verra aisément que quand xx décrira 1ρ1\frac{1}{\rho_{1}} tours autour de aa, Θ1(z¯) et Θ2(z¯)\Theta_{1}\left({\underline{z}}\right)\text{ et }\Theta_{2}\left({\underline{z% }}\right) reviendront à la même valeur.

Il en sera de même, pour la même raison, quand zz tournera autour d’un des points aKa\cdot K ou d’un des points gKg\cdot K. Donc Θ1\Theta_{1} et Θ2\Theta_{2} sont fonctions monodromes de zz.

Ces fonctions subissent l’opération M1M_{1}, quand zz subit l’opération MM ; l’opération N1N_{1} quand zz subit l’opération NN.

En général, quand zz subit une opération KK combinée à l’aide de MM et de NN, elles subissent l’opération correspondante K1K_{1}. Nous les appellerons fonctions zétafuchsiennes parce qu’elles nous semblent présenter quelque analogie avec les fonctions zéta que l’on considère dans la théorie des fonctions doublement périodiques.

Développement des fonctions zétafuchsiennes.

Soit d’abord à développer Θ1\Theta_{1} et Θ2\Theta_{2} suivant les puissances croissantes de zz ; pour zz = 0, on a x=ax=a ; et dans le voisinage de x=ax=a ; on a

Θ1=(x-a)12+K1ρ1Θ1(x)B1(H)Θ2=(x-a)12+K1ρ1Θ2(x)B2,\begin{array}[]{l}\qquad\Theta_{1}=\left({x-a}\right)^{\frac{1}{2}+K_{1}\rho_{% 1}}\quad\Theta_{1}^{\prime}(x)B_{1}\\ (H)\\ \qquad\Theta_{2}=\left({x-a}\right)^{\frac{1}{2}+K_{1}\rho_{1}}\quad\Theta_{2}% ^{\prime}(x)B_{2},\\ \end{array}

Θ1(x),Θ2(x)\Theta^{\prime}_{1}(x),\Theta^{\prime}_{2}(x) sont des séries ordonnées suivant les puissances de x-ax-a, et dont on connaît les coefficients, pendant B1B_{1} et B2B_{2} sont des constantes jusqu’ici inconnues. On choisira B1B_{1} arbitrairement ; quant à B2B_{2} on le déterminera par la condition que quand xx tend vers bb,

limΘ1Θ2=α.\lim\frac{\Theta_{1}}{\Theta_{2}}=\alpha^{\prime}.

De même quand on connaît la valeur numérique de la constante que nous avons appelée AA (voir p. 34), on peut calculer aisément les coefficients du développement de

x=fx=f (z)z)   et de   dzdx=1f(z)\frac{dz}{dx}=\frac{1}{f^{\prime}(z)}

suivant les puissances de zz.

Donc rien n’est plus facile que de trouver les coefficients du développement de

Θ1   de   Θ2\Theta_{1}\qquad\text{ de }\qquad\Theta_{2}

ou

de Θ1(fz)p,Θ2(fz)p\text{de }\frac{\Theta_{1}}{\left(f^{\prime}z\right)^{p}},\quad\frac{\Theta_{2% }}{\left(f^{\prime}z\right)^{p}}

suivant les puissances de zz.

Supposons maintenant qu’on se propose de développer Θ1\Theta_{1} et Θ2\Theta_{2} ou

Θ1(fz)-p,Θ2(fz)-p\Theta_{1}(f^{\prime}z)^{-p},\qquad\Theta_{2}(f^{\prime}z)^{-p}

suivant les puissances de z-αz-\alpha.

Pour z=αz=\alpha, on a x=bx=b, et dans le voisinage de x=bx=b, on a

Θ1-αΘ2=(x-b)12+K2ρ2Θ3(x)B3,(K)Θ1-βΘ2=(x-b)12+K2ρ2Θ4(x)B4,\begin{array}[]{l}\qquad\Theta_{1}-\alpha^{\prime}\Theta_{2}=\left({x-b}\right% )^{\frac{1}{2}+K_{2}\rho_{2}}\Theta^{\prime}_{3}(x)B_{3},\\ (K)\\ \qquad\Theta_{1}-\beta^{\prime}\Theta_{2}=\left({x-b}\right)^{\frac{1}{2}+K_{2% }\rho_{2}}\Theta^{\prime}_{4}(x)B_{4},\end{array}

β\beta^{\prime} étant une quantité liée à α\alpha^{\prime} par la relation :

αβ=cos2Krπ+cos2π(K1ρ1+K2ρ2)cos2Krπ+cos2π(K1ρ1-K2ρ2)\frac{\alpha^{\prime}}{\beta^{\prime}}=\frac{\cos 2Kr\pi+\cos 2\pi\left({K_{1}% \rho_{1}+K_{2}\rho_{2}}\right)}{\cos 2Kr\pi+\cos 2\pi\left({K_{1}\rho_{1}-K_{2% }\rho_{2}}\right)}

Θ3\Theta^{\prime}_{3} et Θ4\Theta^{\prime}_{4} étant des séries ordonnées suivant les puissances de x-bx-b et dont on connaît les coefficients ; B3B_{3} et B4B_{4} étant des constantes jusqu’ici inconnues.

On déterminera B3B_{3} et B4B_{4} en identifiant les valeurs de Θ1\Theta_{1} et Θ2\Theta_{2} tirées des développements (H)(H) et (K)(K) pour une valeur de xx qui rend ces deux développements également convergents.

Quand on connaîtra la valeur numérique de la constante que j’ai appellé plus haut A3A_{3} on connaîtra les coefficients des développements suivant les puissances de z-αz-\alpha de

1f(z) et f(z).\frac{1}{f^{\prime}(z)}\text{ et }f(z).

On en déduira aisément les coefficients des développements suivant les mêmes puissances des fonctions :

Θ1,Θ2,Θ1(fz)-pΘ2(fz)-p\Theta_{1},\Theta_{2},\Theta_{1}\left(f^{\prime}z\right)^{-p}\Theta_{2}\left(f% ^{\prime}z\right)^{-p}

On développera de la même façon les mêmes fonctions suivant les puissances de z-γz-\gamma.

Soit maintenant à développer ces fonctions suivant les puissances de z-OKz-O\cdot K.

Supposons que l’opération KK consiste à changer

zz en λz+μλ1z+μ1\frac{\lambda z+\mu}{\lambda_{1}z+\mu_{1}}

qu’à l’opération KK corresponde l’opération K1K_{1} ; c’est-à-dire que K1K_{1} soit formé avec M1M_{1} et N1N_{1}de la même façon que KK avec MM et NN et que cette opération K1K_{1} consiste à changer

Θ1\Theta_{1} en cΘ1+dΘ2c\Theta_{1}+d\Theta_{2}
et Θ2\Theta_{2} en c1Θ1+d1Θ2c_{1}\Theta_{1}+d_{1}\Theta_{2}.

Quand on changera zz en zKz\cdot K, Θ1\Theta_{1} et Θ2\Theta_{2} se changeront en cΘ1+dΘ2c\Theta_{1}+d\Theta_{2} et c1Θ1+d1Θ2c_{1}\Theta_{1}+d_{1}\Theta_{2}.

Supposons que dans le voisinage de z=0z=0, on ait :

Θ1=Amzm,Θ2=Bmzm.\begin{array}[]{l}\Theta_{1}=\sum{A_{m}}z^{m},\\ \Theta_{2}=\sum{B_{m}}z^{m}.\\ \end{array}

On aura alors :

Θ1(zK)=(cAm+dBm)zm,Θ2(zK)=(c1Am+d1Bm)zm.\begin{array}[]{l}\Theta_{1}\left({z\cdot K}\right)=\sum{\left({cA_{m}+dB_{m}}% \right)}z^{m},\\ \Theta_{2}\left({z\cdot K}\right)=\sum{\left({c_{1}A_{m}+d_{1}B_{m}}\right)}z^% {m}.\\ \end{array}

Changeons dans ces formules

zK en z   et   z en zz\cdot K\text{ en }z\qquad\text{ et }\qquad z\text{ en }z^{\prime}

z=μ-zμ1λ1z-λ.z^{\prime}=\frac{\mu-z\mu_{1}}{\lambda_{1}z-\lambda}.

Il viendra

Θ1(z)=(cAm+dBm)[μ-zμ1λ1z-λ]m,Θ2(z)=(c1Am+d1Bm)[μ-zμ1λ1z-λ]m,\begin{array}[]{l}\Theta_{1}\left(z\right)=\sum{\left({cA_{m}+dB_{m}}\right)}% \left[{\frac{\mu-z\mu_{1}}{\lambda_{1}z-\lambda}}\right]^{m},\\ \Theta_{2}\left(z\right)=\sum{\left({c_{1}A_{m}+d_{1}B_{m}}\right)}\left[{% \frac{\mu-z\mu_{1}}{\lambda_{1}z-\lambda}}\right]^{m},\\ \end{array}

d’où l’on déduit aisément les développements de Θ1\Theta_{1} et de Θ2\Theta_{2} suivant les puissances de z-μμ1z-\frac{\mu}{\mu_{1}}, c’est-à-dire les puissances de z-OKz-O\cdot K. Comme on possède déjà le développement de 1f(z)\frac{1}{f^{\prime}(z)} suivant les mêmes puissances, on trouvera sans difficulté les développements de Θ1(fz)-p\Theta_{1}\left(f^{\prime}z\right)^{-p} et Θ2(fz)-p\Theta_{2}\left(f^{\prime}z\right)^{-p}.

Appelons Λ2(OK)\Lambda_{2}(O\cdot K) et Λ3(OK)\Lambda_{3}(O\cdot K) l’ensemble des termes de ces deux développements qui ont des exposants négatifs. D’après ce que l’on vient de voir, on voit que Λ2(OK)\Lambda_{2}(O\cdot K) et Λ3(OK)\Lambda_{3}(O\cdot K) se déduisent de Λ2(O)\Lambda_{2}(O) et Λ3(O)\Lambda_{3}(O) par les opérations ordinaires de l’arithmétique.

Appelons de même Λ2(α,K)\Lambda_{2}(\alpha,K), Λ3(α,K)\Lambda_{3}(\alpha,K), Λ2(γK)\Lambda_{2}(\gamma\cdot K), Λ3(γ,K)\Lambda_{3}(\gamma,K) ceux des termes des développements de Θ1(fz)-p et Θ2(fz)-p\Theta_{1}\left({f^{\prime}z}\right)^{-p}\text{ et }\Theta_{2}\left({f^{\prime% }z}\right)^{-p} dont les exposants sont négatifs. On les calculera à l’aide de Λ2(α)\Lambda_{2}(\alpha),Λ3(α)\Lambda_{3}(\alpha), Λ2(γ)\Lambda_{2}(\gamma), Λ3(γ)\Lambda_{3}(\gamma) comme on a calculé Λ2(OK)\Lambda_{2}(O\cdot K), Λ3(OK)\Lambda_{3}(O\cdot K) à l’aide de Λ2(O)\Lambda_{2}(O),Λ3(O)\Lambda_{3}(O).

Cela posé, considérons les intégrales

Θ1(t)(ft)-p(t-z)-1𝑑t,Θ2(t)(ft)-p(t-z)-1𝑑t,\begin{array}[]{l}\int{\Theta_{1}(t)(f^{\prime}t)^{-p}\left({t-z}\right)^{-1}% dt,}\\ \int{\Theta_{2}(t)(f^{\prime}t)^{-p}\left({t-z}\right)^{-1}dt,}\end{array}

prises le long du contour extérieur de l’ensemble des figures SKS\cdot K ; puis faisons tendre RR vers l’infini. Je dis que les intégrales tendront vers 0.

En effet, soit tt un point du contour d’intégration situé sur une figure SK, soit uu le point correspondant de la figure SS.

On aura, voir page 39,

(ft)-p<(fu)-pep(R-L)(e(R-L)-1)p(2h)p.\left({f^{\prime}t}\right)^{-p}<\left({f^{\prime}u}\right)^{-p}\frac{e^{p(R-L)% }}{\left({e^{\left({R-L}\right)}-1}\right)^{p}}\left({2h}\right)^{p}.

D’un autre côté, on aura :

Θ1(t)=c Θ1(u)+dΘ2(u),Θ2(t)=c1Θ1(u)+d1Θ2(u),\begin{array}[]{l}\Theta_{1}\left(t\right)=c\text{ }\Theta_{1}\left(u\right)+d% \Theta_{2}\left(u\right),\\ \Theta_{2}\left(t\right)=c_{1}\Theta_{1}\left(u\right)+d_{1}\Theta_{2}\left(u% \right),\end{array}

et si l’on peut réaliser l’opération KK en faisant franchir à xx moins de mm coupures on a vu page 48 que

modc<(2U)mmodd<(2U)m,modc1<(2U)mmodd1<(2U)m,\begin{array}[]{cc}\mod c<(2U)^{m}&\mod d<(2U)^{m},\\ \mod c_{1}<(2U)^{m}&\mod d_{1}<(2U)^{m},\end{array}

UU étant une constante donnée.

Or mm est égal au nombre minimum des côtés des quadrilatères transformés de QQ que l’on rencontre en allant du point uu au point tt, puisque chaque fois que zz traverse un de ces côtés dans son plan, xx franchit une coupure dans le sien.

Quel est donc le minimum de mm, il est clair qu’un segment de droite de longueur pseudogéométrique donnée, de longueur ll par exemple, ne peut rencontrer qu’un nombre limité de côtés des quadrilatères transformés de QQ ; il ne peut par exemple en rencontrer plus de nn.

Donc la droite tutu dont la longueur pseudogéométrique est plus petite que R+LR+L ne peut en rencontrer plus de

nρ(R+L),\frac{n}{\rho}\left({R+L}\right),

de sorte que

m<nb(R+L),,\begin{array}[]{l}m<\frac{n}{b}\left({R+L}\right),\\ \\ \end{array},

et

modc<(2U)nρ(R+L),\bmod c<\left(2U\right)^{\frac{n}{\rho}\left(R+L\right)},

et qu’il en est de même de mod. dd, mod. c1c_{1} , mod. d1d_{1}. Donc

1f(t)<1f(u)α1e-R\frac{1}{f^{\prime}(t)}<\frac{1}{f^{\prime}(u)}\alpha_{1}e^{-R}

α1\alpha_{1} étant une constante facile à déterminer.1313 13 Variante : “α1\alpha_{1} et β1\beta_{1} étants des constantes faciles à déterminer.”

modc<α2e2R\bmod c<\alpha_{2}e^{2^{R}},

de même que mod. dd, mod. c1c_{1}, mod. d1d_{1}; α2\alpha_{2} et β2\beta_{2} étant des constantes. On pourra toujours prendre la quantité entière positive pp assez grande pour que :

β2<p.\beta_{2}<p.

Alors on aura

Θ1(t)(ft)-p<α2e(β2-p)R(Θ1(u)(f(u))-p+Θ2(u)(fu)-p)Θ2(t)(ft)-p<α2e(β2-p)R(Θ1(u)(f(u))-p+Θ2(u)(fu)-p)\begin{array}[]{l}\Theta_{1}\left(t\right)\left({f^{\prime}t}\right)^{-p}<% \alpha_{2}e^{\left({\beta_{2}-p}\right)R}\left({\Theta_{1}\left(u\right)\left(% {f^{\prime}(u)}\right)^{-p}+\Theta_{2}\left(u\right)\left({f^{\prime}u}\right)% ^{-p}}\right)\\ \Theta_{2}\left(t\right)\left({f^{\prime}t}\right)^{-p}<\alpha_{2}e^{\left({% \beta_{2}-p}\right)R}\left({\Theta_{1}\left(u\right)(f^{\prime}\left(u\right))% ^{-p}+\Theta_{2}\left(u\right)\left({f^{\prime}u}\right)^{-p}}\right)\end{array}

Le second membre de ces inégalités tend vers 0 quand RR tend vers l’infini. Donc le premier membre tend également vers 0. Donc dans les deux intégrales que nous envisageons, les fonctions sous le signe \int tendent vers 0. Or le périmètre d’intégration reste fini. Donc les deux intégrales tendent vers 0. Or on peut trouver une autre valeur de ces deux intégrales ; les limites de ces deux intégrales sont en effet égales respectivement (à un facteur constant 2iπ2i\pi près) à

Θ1(z)(fz)-p-ΣΛ2(OK)-ΣΛ2(αK)-ΣΛ2(γK),\Theta_{1}\left(z\right)\left({f^{\prime}z}\right)^{-p}-\Sigma\Lambda_{2}\left% ({O\cdot K}\right)-\Sigma\Lambda_{2}\left({\alpha\cdot K}\right)-\Sigma\Lambda% _{2}\left({\gamma\cdot K}\right),

et

Θ2(z)(fz)-p-ΣΛ3(OK)-ΣΛ3(αK)-ΣΛ3(γK).\Theta_{2}\left(z\right)\left({f^{\prime}z}\right)^{-p}-\Sigma\Lambda_{3}\left% ({O\cdot K}\right)-\Sigma\Lambda_{3}\left({\alpha\cdot K}\right)-\Sigma\Lambda% _{3}\left({\gamma\cdot K}\right).

Donc les fonctions Θ1(z)(fz)-p et Θ2(z)(fz)-p\Theta_{1}\left({z}\right)\left({f^{\prime}z}\right)^{-p}\text{ et }\Theta_{2}% \left({z}\right)\left({f^{\prime}z}\right)^{-p}sont égales respectivement aux limites des deux séries

Λ2(OK)+ΣΛ2(αK)+ΣΛ2(γK),\sum\Lambda_{2}\left({O\cdot K}\right)+\Sigma\Lambda_{2}\left({\alpha\cdot K}% \right)+\Sigma\Lambda_{2}\left({\gamma\cdot K}\right),

et

Λ3(OK)+ΣΛ3(αK)+ΣΛ3(αK).\sum\Lambda_{3}\left({O\cdot K}\right)+\Sigma\Lambda_{3}\left({\alpha\cdot K}% \right)+\Sigma\Lambda_{3}\left({\alpha\cdot K}\right).

qui sont convergentes dans toute l’étendue du cercle HHHH^{\prime}.

Comme on connaît déjà le développement de 1(fz)p\frac{1}{\left({f^{\prime}z}\right)^{p}} par une série analogue, Θ1\Theta_{1} [va] se trouver exprimé par le quotient de deux séries convergentes dans toute l’étendue du cercle HHHH^{\prime}; et il en sera de même de Θ2\Theta_{2}.1414 14 Variante : Θ1\Theta_{1}et Θ2\Theta_{2} vont se trouver exprimé …”.

Propriétés des fonctions zétafuchsiennes.

On voit aisément comment les fonctions zétafuchsiennes permettent d’intégrer l’équation

(L)     d2ydx2=y[A1(x-a)2+B1(x-b)2+2C1(x-a)(x-b)]\displaystyle\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=y\left[{\frac{A_{1}}{\left({x-a}\right)^{2}% }+\frac{B_{1}}{\left({x-b}\right)^{2}}+\frac{2C_{1}}{\left({x-a}\right)\left({% x-b}\right)}}\right]

où la différence des racines de chaque équation déterminante est respectivement

2K1ρ12K2ρ22Kr.\begin{array}[]{ccc}2K_{1}\rho_{1}&2K_{2}\rho_{2}&2Kr.\end{array}

Soit en effet, une seconde équation différentielle

(P)    d2ydx2=y[A(x-a)2+B(x-b)2+2C(x-a)(x-b)]\displaystyle\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=y\left[{\frac{A}{\left({x-a}\right)^{2}}+% \frac{B}{\left({x-b}\right)^{2}}+\frac{2C}{\left({x-a}\right)\left({x-b}\right% )}}\right]

où la différence des racines de chaque équation déterminante est respectivement

ρ1ρ2r.\begin{array}[]{ccc}\rho_{1}&\rho_{2}&r.\end{array}

(Je suppose toujours que K1K_{1}, K2K_{2}, KK, 1ρ1\frac{1}{\rho_{1}}, 1ρ2\frac{1}{\rho_{2}}, 1r\frac{1}{r} sont entiers).

Soient y1y^{\prime}_{1}, y2y^{\prime}_{2} les deux intégrales de l’équation (L)(L), y1y_{1}, y2y_{2} les deux intégrales de l’équation (P)(P), soit

y1y2=z,y1y2=z.\begin{array}[]{cc}\frac{y^{\prime}_{1}}{y^{\prime}_{2}}=z^{\prime},&\frac{y_{% 1}}{y_{2}}=z.\end{array}

xx sera une fonction fuchsienne de zz que nous désignerons par

(Q)    x=f(z,ρ1,ρ2,r),\displaystyle x=f(z,\rho_{1},\rho_{2},r),

yy et y2y_{2}^{\prime} seront alors des fonctions zétafuchsiennes de zz que nous désignerons par

(R)    y1=Θ1(z,ρ1,ρ2,r,K1,K2,K)\displaystyle y^{\prime}_{1}=\Theta_{1}\left({z,\rho_{1},\rho_{2},r,K_{1},K_{2% },K}\right)

(S)    y2=Θ2(z,ρ1,ρ2,r,K1,K2,K)\displaystyle y^{\prime}_{2}=\Theta_{2}\left({z,\rho_{1},\rho_{2},r,K_{1},K_{2% },K}\right)

Les trois équations (Q) (R) (S) définissent y1y^{\prime}_{1} et y2y^{\prime}_{2} en fonctions de xx, c’est-à-dire qu’elles permettent d’intégrer l’équation (L).

Supposons maintenant que :

12K1ρ1  12K2ρ2  12Kr\frac{1}{2K_{1}\rho_{1}}\qquad\frac{1}{2K_{2}\rho_{2}}\qquad\frac{1}{2Kr}

soient entiers.

Alors xx sera fonction fuchsienne de zz^{\prime} et on pourra écrire

x=f(z,2K1ρ1,2K2ρ2,2Kr),x=f\left({z^{\prime},2K_{1}\rho_{1},2K_{2}\rho_{2},2Kr}\right),

ou bien :

f(z,ρ1,ρ2,r)=f[Θ1Θ2,2K1ρ1,2K2ρ2,2Kr]f\left({z,\rho_{1},\rho_{2},r}\right)=f\left[{\frac{\Theta_{1}}{\Theta_{2}},2K% _{1}\rho_{1},2K_{2}\rho_{2},2Kr}\right]

ce qui montre qu’une fonction fuchsienne du rapport de deux fonctions zétafuchsiennes de z peut être elle-même une fonction fuchsienne de z.

Si l’on suppose de plus :

12K1ρ1 + 12K2ρ2 + 12Kr=1\frac{1}{2K_{1}\rho_{1}}\text{ + }\frac{1}{2K_{2}\rho_{2}}\text{ + }\frac{\text{1}}{\text{2Kr}}=1

xx devient fonction doublement périodique de zz^{\prime}.

Donc une fonction doublement périodique du rapport de deux fonctions zétafuchsiennes de z peut être elle-même une fonction fuchsienne de z.

Si

12K1ρ1+12K2ρ2+12Kr>1\frac{1}{2K_{1}\rho_{1}}+\frac{1}{2K_{2}\rho_{2}}+\frac{1}{2Kr}>1

xx devient rationnel en zz^{\prime}.

Donc :

Une fonction rationnelle du rapport de deux fonctions zétafuchsiennes de z peut être elle-même une fonction fuchsienne de z.

Séries thétafuchsiennes.

Considérons la série

SR=ΣH(zK)(dzKdz)m.S_{R}=\Sigma{H(z\cdot K)\left({\frac{dz\cdot K}{dz}}\right)}^{m}.

Dans cette expression HH est une fonction rationnelle quelconque, mm un nombre entier, KK l’une des opérations telles que le quadrilatère QKQ\cdot K fasse partie du polygone PRP_{R}^{\prime}.

Faisons tendre RR vers l’infini ; je dis que SRS_{R} tendra vers une limite finie, c’est-à-dire que la série proposée est convergente.

Soit en effet λ\lambda ne longueur pseudogéométrique quelconque ; et soit

sn=Snλ-S(n-1)λ.s_{n}=S_{n\lambda}-S_{(n-1)\lambda}.

Quel est le maximum du nombre des termes qui font partie de sns_{n} ; il est égal au nombre des quadrilatères qui ont quelque sommet à l’intérieur du cercle de rayon nλn\lambda et qui n’en ont pas à l’intérieur du cercle de rayon (n-1)λ(n-1)\lambda.

Si N1N_{1} est le nombre des quadrilatères qui font partie du polygone PnλP_{n\lambda}, si N2N_{2} est celui des quadrilatères qui font partie du polygone P(n-1)λP^{\prime}_{(n-1)\lambda} , si n1n_{1} est le nombre des termes de sns_{n} on a donc :

n1=N1-N2.n_{1}=N_{1}-N_{2}.

Mais on a, voir page 25

N1<πΣ(enλ+e-nλ-2),N2>πΣ(e(n-1)λ-L+e-(n-1)λ+L-2),\begin{array}[]{l}N_{1}<\frac{\pi}{\Sigma}\left({e^{n\lambda}+e^{-n\lambda}-2}% \right),\\ N_{2}>\frac{\pi}{\Sigma}\left({e^{(n-1)\lambda-L}+e^{-(n-1)\lambda+L}-2}\right% ),\end{array}

donc :

n1<π[enλ(1-e-(λ+L))+e-nλ(1-eλ+L)].n_{1}<\frac{\pi}{\sum}\left[{e^{n\lambda}\left({1-e^{-\left({\lambda+L}\right)% }}\right)+e^{-n\lambda}\left({1-e^{\lambda+L}}\right)}\right].

Quel est maintenant le maximum du module de chaque terme de sns_{n} .

D’abord supposons que zz ait une valeur déterminée qui ne rende pas H(z)H(z) infini non plus qu’aucun des H(zK)H(z\cdot K) et qui soit comprise dans le quadrilatère QQ.

Alors il existe une quantité AA, telle que :

modH(zK)<A,\mod H(z\cdot K)<A,

quel que soit KK.

De plus dzKdz\frac{dz\cdot K}{dz} est plus petit qu’une certaine constante BB, multipliée par la plus grande valeur possible du rapport de la distance géométrique de deux points du quadrilatère QKQ\cdot K à leur distance pseudogéométrique.

Or si le terme qui contient (dzKdz)m\left({\frac{dz\cdot K}{dz}}\right)^{m} fait partie de sns_{n} ; la plus grande valeur de ce rapport est, voir p. 27,

2henλ-λ-L(enλ-λ-L+1)2.2h\frac{e^{n\lambda-\lambda-L}}{\left({e^{n\lambda-\lambda-L}+1}\right)^{2}}.

Donc si σn\sigma_{n} est la somme des modules de tous les termes qui font partie de sns_{n} ; on aura :

mod.sn<σn<(2h)mABmπe(m+1)nλ(1-e-(λ+L))e-λ-L(enλ-λ-L+1)2m.\bmod.s_{n}<\sigma_{n}<\frac{\left({2h}\right)^{m}A\cdot B^{m}\pi}{\sum}\frac{% e^{\left({m+1}\right)n\lambda}\left({1-e^{-\left({\lambda+L}\right)}}\right)e^% {-\lambda-L}}{\left({e^{n\lambda-\lambda-L}+1}\right)^{2m}}.

Dans le dernier membre de l’inégalité j’aurais dû avoir au numérateur de la 2de{}^{de} fraction un terme en :

e(m-1)nλ(1-eλ+L)e-λ-L,e^{\left({m-1}\right)n\lambda}\left({1-e^{\lambda+L}}\right)e^{-\lambda-L},

mais comme il est négatif je ne l’ai pas écrit. Quand nn tend vers l’infini :

limσn+1σn=e(1-m)λ<1,\lim\frac{\sigma_{n+1}}{\sigma_{n}}=e^{(1-m)\lambda}<1,

pourvu que m>1m>1. Donc à cette condition, la série :

σ1+σ2++σn\sigma_{1}+\sigma_{2}+\ldots+\sigma_{n}

est convergente ; or cette série n’est autre chose que la série

 mod [H(zK)(dzKdz)m].\sum{\text{ mod }\left[H\left(z\cdot K\right)\left(\frac{dz\cdot K}{dz}\right)% ^{m}\right]}.

Donc la série des modules des termes de SRS_{R} est convergente.

Donc la série SRS_{R} est convergente quel que soit l’ordre de ses termes (pourvu que zz ne rende infini aucun des H(zK)H(z\cdot K) et soit à l’intérieur du quadrilatère Q)Q).

Comme la somme de SRS_{R} est, nous venons de le voir, indépendante de l’ordre des termes ; on aura, en appelant φ(z)\varphi(z) la limite de la série

φ(z)=H(zK)(dzKdz)m=H(zLK)(dzLKdz)m,\varphi\left(z\right)=\sum{H\left(z\cdot K\right)\left(\frac{dz\cdot K}{dz}% \right)^{m}}=\sum{H\left(z\cdot L\cdot K\right)\left(\frac{dz\cdot L\cdot K}{% dz}\right)^{m}},

LL étant une opération quelconque combinée à l’aide de MM et de NN.

On aura alors :

φ(zL)=H(zLK)(dzLKdzL)m=H(zLK)(dzLKdz)m(dzdzL)m,\varphi(z\cdot L)=\sum H(z\cdot L\cdot K)\left(\frac{dz\cdot L\cdot K}{dz\cdot L% }\right)^{m}=\sum H(z\cdot L\cdot K)\left(\frac{dz\cdot L\cdot K}{dz}\right)^{% m}\left(\frac{dz}{dz\cdot L}\right)^{m},

ou :

φ(zL)=φ(z)(dzdzL)m,\varphi\left({z\cdot L}\right)=\varphi(z)\left({\frac{dz}{dz\cdot L}}\right)^{% m},

ce qui à la fois, nous donne la preuve que la série reste convergente quand on change zz en zLz\cdot L, la preuve, par conséquent, que cette série est convergente toutes les fois que zz reste à l’intérieur du cercle HHH\cdot H^{\prime} et en même temps nous fait découvrir une propriété très importante de cette série.

Cette série, je l’appelle série thétafuchsienne à cause de ses nombreuses analogies avec les fonctions Θ\Theta.

Les séries thétafuchsiennes se divisent immédiatement en deux catégories :

1° si la fonction H(z)H(z) ne devient pas infinie à l’intérieur du cercle HH’, aucune des fonctions H(zK)H(z\cdot K) ne devient infinie à l’intérieur de ce cercle, et la série thétafuchsienne reste holomorphe à l’intérieur de ce cercle, de telle sorte qu’elle peut être représentée dans cette étendue par une série ordonnée suivant les puissances de zz.

2° si la fonction H(z)H(z) devient infinie à l’intérieur du cercle HHHH^{\prime}, la série thétafuchsienne reste méromorphe1515 15 Variante : “…reste holomorphe …”. à l’intérieur de ce cercle.

Considérons deux séries thétafuchsiennes correspondant à une même valeur de mm.

Soient φ(z)\varphi(z) et φ1(z)\varphi_{1}(z) ces deux séries :

On aura

φ(zL)=φ(z)(dzdzL)m,φ1(zL)=φ1(z)(dzdzL)m.\begin{array}[]{l}\varphi\left(z\cdot L\right)=\varphi\left(z\right)\left(% \frac{dz}{dz\cdot L}\right)^{m},\\ \varphi_{1}\left(z\cdot L\right)=\varphi_{1}\left(z\right)\left(\frac{dz}{dz% \cdot L}\right)^{m}.\end{array}

Donc

φ(zL)φ1(zL)=φ(z)φ1(z)\frac{\varphi\left(z\cdot L\right)}{\varphi_{1}\left(z\cdot L\right)}=\frac{% \varphi\left(z\right)}{\varphi_{1}\left(z\right)}

c’est-à-dire que le rapport φ(z)φ1(z)\frac{\varphi\left(z\right)}{\varphi_{1}\left(z\right)} n’est pas altéré par les opérations combinées à l’aide de MM et de NN ; de plus cette fonction est méromorphe pour toutes les valeurs de zz situées à l’intérieur du cercle HHH\cdot H^{\prime}.

Donc cette fonction est monodrome en f(z)=xf(z)=x si ff (z)z) est la fonction fuchsienne ; pour la connaître pour toutes les valeurs de xx, il suffit de l’étudier dans l’intérieur du quadrilatère QQ. On reconnaît alors qu’elle est méromorphe. C’est donc une fonction de xx qui est méromorphe pour toutes les valeurs de cette variable finies et infinies ; c’est donc une fonction rationnelle de xx, d’où ce résultat important :

Le quotient de deux séries thétafuchsiennes (correspondant à une même valeur de m) est une fonction rationnelle de la fonction fuchsienne.

Séries thétazéta.

Nous allons définir des séries que nous appellerons séries thétazéta parce qu’elles seront aux fonctions zétafuchsiennes, ce que les séries thétafuchsiennes sont aux fonctions fuchsiennes.

Soient Θ1(z)\Theta_{1}(z) et Θ2(z)\Theta_{2}(z) deux fonctions zétafuchsiennes qui subissent l’opération K1K_{1} quand zz subit l’opération KK, et l’opération L1L_{1} quand zz subit l’opération LL.

Supposons que l’opération K1-1K_{1}^{-1} consiste à changer

Θ1 en cΘ1+dΘ2Θ2 en c1Θ1+d1Θ2 ou cd1-c1d=1,\begin{array}[]{lr}\Theta_{1}\text{ en }c\Theta_{1}+d\Theta_{2}\\ \Theta_{2}\text{ en }c_{1}\Theta_{1}+d_{1}\Theta_{2}&\text{ ou }cd_{1}-c_{1}d=1,\end{array}

que l’opération L1L_{1} consiste à changer :

Θ1 en γ1Θ1+δ1Θ2Θ2 en γ2Θ1+δ2Θ2γ1δ2-δ1γ2=1\begin{array}[]{lr}\Theta_{1}\text{ en }\gamma_{1}\Theta_{1}+\delta_{1}\Theta_% {2}\\ \Theta_{2}\text{ en }\gamma_{2}\Theta_{1}+\delta_{2}\Theta_{2}&\gamma_{1}% \delta_{2}-\delta_{1}\gamma_{2}=1\\ \end{array}

et par conséquent l’opération L1-1L_{1}^{-1} à changer :

Θ1 en γ1Θ2-γ2Θ1Θ2 en δ2Θ1-δ1Θ2\begin{array}[]{l}\Theta_{1}\text{ en }\gamma_{1}\Theta_{2}-\gamma_{2}\Theta_{% 1}\\ \Theta_{2}\text{ en }\delta_{2}\Theta_{1}-\delta_{1}\Theta_{2}\\ \end{array}

et l’opération (L1K1)-1(L_{1}K^{1})^{-1} à changer :

Θ1 en (dδ2-cγ2)Θ1+(cγ1-dδ1)Θ2Θ2 en (d1δ2-c1γ2)Θ1+(c1γ1-d1δ1)Θ2.\begin{array}[]{l}\Theta_{1}\text{ en }\left({d\delta_{2}-c\gamma_{2}}\right)% \Theta_{1}+\left({c\gamma_{1}-d\delta_{1}}\right)\Theta_{2}\\ \Theta_{2}\text{ en }\left({d_{1}\delta_{2}-c_{1}\gamma_{2}}\right)\Theta_{1}+% \left({c_{1}\gamma_{1}-d_{1}\delta_{1}}\right)\Theta_{2}.\\ \end{array}

Soient H1H_{1} et H2H_{2} deux fonctions rationnelles quelconques. Nous poserons pour abréger :

H1K1-1=cH1+dH2,H2K1-1=c1H1+d1H2,\begin{array}[]{l}H_{1}K_{1}^{-1}=cH_{1}+dH_{2},\\ H_{2}K_{1}^{-1}=c_{1}H_{1}+d_{1}H_{2},\\ \end{array}

et nous définirons de même les notations

H1L1,H2L2,H1L1-1,H2L2-1,H1(L1K1)-1,H2(L2K2)-1,etc.\begin{array}[]{ll}H_{1}L_{1},&H_{2}L_{2},\\ H_{1}L_{1}^{-1},&H_{2}L_{2}^{-1},\\ H_{1}(L_{1}K_{1})^{-1},&H_{2}(L_{2}K_{2})^{-1},\ \text{etc.}\end{array}

Considérons les séries

SR=(dzKdz)mH1(zK)K1-1SR=(dzKdz)mH2(zK)K2-1\begin{array}[]{l}S_{R}=\sum{\left(\frac{dz\cdot K}{dz}\right)}^{m}H_{1}\left(% {z\cdot K}\right)K_{1}^{-1}\\ S^{\prime}_{R}=\sum{\left(\frac{dz\cdot K}{dz}\right)}^{m}H_{2}\left({z\cdot K% }\right)K_{2}^{-1}\\ \end{array}

l’opération KK étant l’une de celles qui sont telles que le quadrilatère QKQ\cdot K fasse partie du polygone PRP_{R}. Je dis que SRS_{R} et SRS_{R}’ tendent vers une limite finie quand RR tend vers l’infini.

Soit en effet comme plus haut :

sn=Snλ-S(n-1)λ,sn=Snλ-S(n-1)λ,\begin{array}[]{l}s_{n}=S_{n\lambda}-S_{\left(n-1\right)\lambda},\\ s^{\prime}_{n}=S^{\prime}_{n\lambda}-S^{\prime}_{\left(n-1\right)\lambda},\end% {array}

Soient σn\sigma_{n} et σn\sigma^{\prime}_{n} la somme des modules de tous les termes de sns_{n} et sns^{\prime}_{n}.

Le nombre des termes de sns_{n} ou de sns^{\prime}_{n} est plus petit que (voir p. 62) :

πΣ[enλ(1-e-(λ+L)+e-nλ)(1-eλ+L)]<πΣenλ.\frac{\pi}{\Sigma}\left[{e^{n\lambda}\left({1-e^{-\left({\lambda+L}\right)}+e^% {-n\lambda}}\right)\left({1-e^{\lambda+L}}\right)}\right]<\frac{\pi}{\Sigma}e^% {n\lambda}.

Quel est maintenant le maximum du module de chaque terme de sns_{n} et de sns_{n}^{\prime} .

Il existe une quantité AA telle que

mod H1(zK)<AH_{1}(z\cdot K)\quad<\quad A,

mod H2(zK)<AH_{2}(z\cdot K)\quad<\quad A,

une quantité BB telle que :

moddzKdz<2hBenλ-λ-L(enλ-λ-L+1)2<2hBeλ+Le-nλ.\bmod\frac{dzK}{dz}<2hB\frac{e^{n\lambda-\lambda-L}}{\left({e^{n\lambda-% \lambda-L}+1}\right)^{2}}<2hBe^{\lambda+L}e^{-n\lambda}.

Or les termes généraux des séries SRS_{R} et SRS_{R}^{\prime} s’écrivent :

(dzKdz)mH1(zK)K1-1=(dzKdz)mcH1(zK)+(dzKdz)mdH2(zK),(dzKdz)mH2(zK)K1-1=(dzKdz)mc1H1(zK)+(dzKdz)md1H2(zK),\begin{array}[]{l}\left(\frac{dz\cdot K}{dz}\right)^{m}H_{1}(z\cdot K)K_{1}^{-% 1}=\left({\frac{dzK}{dz}}\right)^{m}cH_{1}(z\cdot K)+\left({\frac{dzK}{dz}}% \right)^{m}dH_{2}(z\cdot K),\\ \left({\frac{dz\cdot K}{dz}}\right)^{m}H_{2}(z\cdot K)K_{1}^{-1}=\left({\frac{% dzK}{dz}}\right)^{m}c_{1}H_{1}(z\cdot K)+\left({\frac{dzK}{dz}}\right)^{m}d_{1% }H_{2}(z\cdot K),\\ \end{array}

or les modules de cc, dd, c1c_{1}, d1d_{1} sont plus petits que :

(2U)p,(2U)^{p},

2U2U étant une quantité donnée et pp une quantité de la forme εn+ζ\varepsilon n+\zeta, ε\varepsilon et ζ\zeta étant des constantes faciles à calculer, voir pages 48, 55 et 56.

Donc les modules des termes de sns_{n} et de sns_{n}^{\prime} sont plus petits que :

2A(2hBeλ+L)m(2U)ζen[εL(2U)-mλ],2A(2hBe^{\lambda+L})^{m}(2U)^{\zeta}e^{n[\varepsilon L(2U)-m\lambda]},

Donc on a

modsn<σn<2πΣA(2U)ζ(2hBeλ+L)men[εL(2U)+1-mλ]modsn<σn<2πΣA(2U)ζ(2hBeλ+L)men[εL(2U)+1-mλ]\begin{array}[]{l}\bmod s_{n}<\sigma_{n}<2\frac{\pi}{\Sigma}A(2U)^{\zeta}\left% ({2hBe^{\lambda+L}}\right)^{m}e^{n\left[{\varepsilon L\left({2U}\right)+1-m% \lambda}\right]}\\ \bmod s_{n}^{\prime}<\sigma_{n}^{\prime}<2\frac{\pi}{\Sigma}A(2U)^{\zeta}\left% ({2hBe^{\lambda+L}}\right)^{m}e^{n\left[{\varepsilon L\left({2U}\right)+1-m% \lambda}\right]}\\ \end{array}

Donc les séries

σ1+σ2++σn,σ1+σ2++σn\begin{array}[]{l}\sigma_{1}+\sigma_{2}+...+\sigma_{n},\\ \sigma_{1}^{\prime}+\sigma_{2}^{\prime}+...+\sigma_{n}^{\prime}\\ \end{array}

sont convergentes pourvu que mm soit assez grand pour que :

mλ\lambda >> ε\varepsilonL(2U)U) + 1.

Donc à cette condition les séries des modules des termes des deux séries SRS_{R} et SRS_{R}^{\prime} sont convergentes.

Donc ces deux séries sont convergentes quel que soit l’ordre des termes. Nous aurons donc en appelant φ1(z)\varphi_{1}(z) et φ2(z)\varphi_{2}(z) les limites de ces deux séries :

φ1(z)=(dzKdz)mH1(zK)K1-1,φ2(z)=(dzKdz)mH2(zK)K1-1,\begin{array}[]{l}\varphi_{1}\left(z\right)=\sum{\left({\frac{dzK}{dz}}\right)% }^{m}H_{1}\left({z\cdot K}\right)K_{1}^{-1},\\ \varphi_{2}\left(z\right)=\sum{\left({\frac{dzK}{dz}}\right)}^{m}H_{2}\left({z% \cdot K}\right)K_{1}^{-1},\end{array}

et d’autre part :

φ1(z)=(dzLKdz)mH1(zLK)K1-1L1-1,φ2(z)=(dzLKdz)mH2(zLK)K1-1L1-1\begin{array}[]{l}\varphi_{1}\left(z\right)=\sum{\left({\frac{dzLK}{dz}}\right% )}^{m}H_{1}\left({z\cdot L\cdot K}\right)K_{1}^{-1}L_{1}^{-1},\\ \varphi_{2}\left(z\right)=\sum{\left({\frac{dzLK}{dz}}\right)}^{m}H_{2}\left({% z\cdot L\cdot K}\right)K_{1}^{-1}L_{1}^{-1}\\ \end{array}

puisqu’on peut intervertir l’ordre des termes et que d’ailleurs on a identiquement

(L1K1)-1=K1-1L1-1.\left({L_{1}K_{1}}\right)^{-1}=K_{1}^{-1}L_{1}^{-1}.

D’autre part, on a :

φ1(zL)=(dzLKdz)mH1(zLK)K1-1L1-1L1(dzdzL)m,φ2(zL)=(dzLKdz)mH2(zLK)K1-1L1-1L1(dzdzL)m.\begin{array}[]{l}\varphi_{1}\left({z\cdot L}\right)=\sum{\left({\frac{dzLK}{% dz}}\right)}^{m}H_{1}\left({z\cdot L\cdot K}\right)K_{1}^{-1}L_{1}^{-1}L_{1}% \left({\frac{dz}{dzL}}\right)^{m},\\ \varphi_{2}\left({z\cdot L}\right)=\sum{\left({\frac{dzLK}{dz}}\right)}^{m}H_{% 2}\left({z\cdot L\cdot K}\right)K_{1}^{-1}L_{1}^{-1}L_{1}\left({\frac{dz}{dzL}% }\right)^{m}.\\ \end{array}

Mais à cause de la nature particulière de l’opération L1L_{1}, on a :

(λnHnL1)=(λnHn)L1,(λnHnL1)=(λnHn)L1.\begin{array}[]{l}\sum{\left({\lambda_{n}H_{n}L_{1}}\right)}=\left({\sum{% \lambda_{n}H_{n}}}\right)L_{1},\\ \sum{\left({\lambda_{n}H_{n}^{\prime}L_{1}}\right)}=\left({\sum{\lambda_{n}H_{% n}^{\prime}}}\right)L_{1}.\\ \end{array}

Si justement on définit comme nous l’avons fait :

HnL1=γ1Hn+δ1Hn,HnL1=γ2Hn+δ2Hn,\begin{array}[]{l}H_{n}L_{1}=\gamma_{1}H_{n}+\delta_{1}H_{n}^{\prime},\\ H_{n}^{\prime}L_{1}=\gamma_{2}H_{n}+\delta_{2}H_{n}^{\prime},\\ \end{array}

et :

(λnHn)L1=γ1(λnHn)+δ1(λnHn),(λnHn)L1=γ2(λnHn)+δ2(λnHn).\begin{array}[]{l}\left({\sum{\lambda_{n}H_{n}}}\right)L_{1}=\gamma_{1}\left({% \sum{\lambda_{n}H_{n}}}\right)+\delta_{1}\left({\sum{\lambda_{n}H_{n}^{\prime}% }}\right),\\ \left({\sum{\lambda_{n}H_{n}^{\prime}}}\right)L_{1}=\gamma_{2}\left({\sum{% \lambda_{n}H_{n}}}\right)+\delta_{2}\left({\sum{\lambda_{n}H_{n}^{\prime}}}% \right).\\ \end{array}

On en conclut que l’on a

φ1(zL)=(dzdzL)mφ1(z)L1,φ2(zL)=(dzdzL)mφ2(z)L1.\begin{array}[]{l}\varphi_{1}\left({z\cdot L}\right)=\left({\frac{dz}{dz\cdot L% }}\right)^{m}\varphi_{1}(z)L_{1},\\ \varphi_{2}\left({z\cdot L}\right)=\left({\frac{dz}{dz\cdot L}}\right)^{m}% \varphi_{2}(z)L_{1}.\\ \end{array}

Ici encore nous devons faire une distinction entre deux catégories de séries thétazéta.

Si en effet ni H1(z)H_{1}(z) ni H2(z)H_{2}(z) ne deviennent infinies à l’intérieur du cercle HH’ les séries thétazéta restent holomorphes à l’intérieur de ce cercle.

Si cela n’a pas lieu, elles sont méromorphes.

Soit maintenant φ(z)\varphi(z) une fonction thétafuchsienne correspondant à la même valeur de mm que les séries φ1(z)\varphi_{1}(z) et φ2(z)\varphi_{2}(z), on aura :

φ1(zL)φ(zL)=γ1φ1(z)φ(z)+δ1φ2(z)φ(z),\displaystyle\frac{\varphi_{1}\left({z\cdot L}\right)}{\varphi\left({z\cdot L}% \right)}=\gamma_{1}\frac{\varphi_{1}\left(z\right)}{\varphi\left(z\right)}+% \delta_{1}\frac{\varphi_{2}\left(z\right)}{\varphi\left(z\right)},
φ2(zL)φ(zL)=γ2φ1(z)φ(z)+δ2φ2(z)φ(z),\displaystyle\frac{\varphi_{2}\left({z\cdot L}\right)}{\varphi\left({z\cdot L}% \right)}=\gamma_{2}\frac{\varphi_{1}\left(z\right)}{\varphi\left(z\right)}+% \delta_{2}\frac{\varphi_{2}\left(z\right)}{\varphi\left(z\right)},

d’où :

φ1(zL)φ(zL)=φ1(z)φ(z)L1  φ2(zL)φ(zL)=φ2(z)φ(z)L1.\frac{\varphi_{1}\left({z\cdot L}\right)}{\varphi\left({z\cdot L}\right)}=% \frac{\varphi_{1}\left(z\right)}{\varphi\left(z\right)}L_{1}\qquad\frac{% \varphi_{2}\left({z\cdot L}\right)}{\varphi\left({z\cdot L}\right)}=\frac{% \varphi_{2}\left(z\right)}{\varphi\left(z\right)}L_{1}.

Donc quand zz subit l’opération LL, L1φ1(z)φ(z) et φ2(z)φ(z)L_{1}\frac{\varphi_{1}\left(z\right)}{\varphi\left(z\right)}\text{ et }\frac{% \varphi_{2}\left(z\right)}{\varphi\left(z\right)} subissent l’opération L1L_{1}.

Conséquence ; si l’on considère :

φ1(z)φ(z) et φ2(z)φ(z)\frac{\varphi_{1}\left(z\right)}{\varphi\left(z\right)}\text{ et }\frac{\varphi_{2}\left(z\right)}{\varphi\left(z\right)}

comme des fonctions de la fonction fuchsienne f(z)=xf(z)=x, ce sont des fonctions qui sont susceptibles d’une infinité de valeurs pour chaque valeur de xx.

Seulement un système quelconque de valeurs se déduit du système initial par une substitution linéaire. C’est dire que

y=φ1(z)φ(z), y=φ2(z)φ(z)y=\frac{\varphi_{1}\left(z\right)}{\varphi\left(z\right)}\text{, y=}\frac{\varphi_{2}\left(z\right)}{\varphi\left(z\right)}

sont deux solutions d’une équation différentielle :

d2ydx2+Udydx+Vy=0,\frac{d^{2}y}{dx^{2}}+U\frac{dy}{dx}+Vy=0,

UU et VV étant des fonctions monodromes de xx. Pour étudier UU et VV, pour toutes les valeurs de xx, finies et infinies, il suffit d’étudier ces fonctions pour toutes les valeurs de zz comprises à l’intérieur du quadrilatère QQ. On reconnaît alors que ces fonctions sont méromorphes pour toutes les valeurs finies et infinies de xx, c’est-à-dire que ce sont des fonctions rationnelles de xx.

Conséquence ; les fonctions φ1(z)φ(z)\frac{\varphi_{1}(z)}{\varphi(z)} et φ2(z)φ(z)\frac{\varphi_{2}(z)}{\varphi(z)} satisfont à une équation différentielle linéaire à coefficients rationnels.

En choisissant convenablement φ\varphi, φ1\varphi_{1} et φ2\varphi_{2}, on doit pouvoir s’arranger de telle sorte que :

φ1φ=Θ1,φ2φ=Θ2.\begin{array}[]{cc}\frac{\varphi_{1}}{\varphi}=\Theta_{1},&\frac{\varphi_{2}}{% \varphi}=\Theta_{2}.\end{array}

Origine des séries thétafuchsiennes.

Une série thétafuchsienne est évidemment égale à

(fz)mF(fz)\left({f\,^{\prime}z}\right)^{m}F\left({fz}\right)

FF étant une fonction rationnelle.

Quelle est en particulier l’origine des séries thétafuchsiennes qui sont holomorphes dans toute l’étendue du cercle HHHH^{\prime} ?

Soit :

f(z)[f(z)-a]λ[f(z)-b]μ.\frac{f^{\prime}(z)}{\left[{f(z)-a}\right]^{\lambda}\left[{f(z)-b}\right]^{\mu% }}.

Cette fonction de zz ne peut devenir infinie que pour

z=OK,z=αK,z=γK.z=O\cdot K,\qquad z=\alpha\cdot K,\qquad z=\gamma\cdot K.

Elle restera finie pour z=OKz=O\cdot K si 1ρ1-1>λ1ρ1\frac{1}{\rho_{1}}-1>\lambda\frac{1}{\rho_{1}} pour z=αKz=\alpha\cdot K si 1ρ2-1>μ1ρ2\frac{1}{\rho_{2}}-1>\mu\frac{1}{\rho_{2}} pour z=γKz=\gamma\cdot K si 1r+1<(λ+μ)1r\frac{1}{r}+1<(\lambda+\mu)\frac{1}{r}

Or ces trois conditions peuvent être remplies à la fois, puisque :

ρ1+ρ2+r<1..\rho_{1}+\rho_{2}+r<1..

On peut toujours supposer que les quantités λ\lambda, et μ\mu qui satisfont à ces inégalités sont commensurables ; soit

λnm, μ=pm,\lambda\frac{n}{m},\text{ }\mu=\frac{p}{m},

mm, nn, pp étant entiers. La fonction

(fz)m[f(z)-a]n[f(z)-b]p\frac{\left({f^{\prime}z}\right)^{m}}{\left[{f\left(z\right)-a}\right]^{n}% \left[{f\left(z\right)-b}\right]^{p}}

sera holomorphe dans toute l’étendue du cercle HHHH^{\prime}. Ce sera cette fonction qui sera l’origine des séries thétafuchsiennes holomorphes dans toute la superficie de ce cercle. Cette expression de cette fonction permet de trouver sans peine une série ordonnée suivant les puissances croissantes de zz et qui la représente dans toute l’étendue du cercle HHHH^{\prime}.

Origine des séries thétazéta.

La même méthode est applicable aux séries thétazéta qui sont holomorphes dans toute l’étendue de ce cercle. Soit en effet à former une fonction qui jouisse des mêmes propriétés que ces séries, et qui soit toujours holomorphe. Remarquons que les fonctions Θ1\Theta_{1} et Θ2\Theta_{2} admettent pour

z=OK,z=αK,z=γKz=O\cdot K,\qquad z=\alpha\cdot K,\qquad z=\gamma\cdot K

des infinis d’ordre donné ; d’ordre H1H_{1} par exemple pour zz = O \cdot K ; H2H_{2} pour zz = αK\alpha\cdot K ; H3H_{3} pour zz = γK\gamma\cdot K.

On en conclut que les fonctions :

Θ1(z)(fz)m(f-a)n(fz-b)p, Θ2(z)(fz)m(fz-a)n(fz-b)p,\Theta_{1}\left(z\right)\frac{\left({f^{\prime}z}\right)^{m}}{\left({f-a}% \right)^{n}\left({fz-b}\right)^{p}},\text{ }\Theta_{2}\left(z\right)\frac{% \left({f^{\prime}z}\right)^{m}}{\left({fz-a}\right)^{n}\left({fz-b}\right)^{p}},

sont toujours holomorphes pourvu que :

m(1ρ1-1)>H1+nρ1m(1ρ2-1)>H2+pρ2H3+m(1r+1)<(m+p)1r\begin{array}[]{l}m\left({\frac{1}{\rho_{1}}-1}\right)>H_{1}+\frac{n}{\rho_{1}% }\\ m\left({\frac{1}{\rho_{2}}-1}\right)>H_{2}+\frac{p}{\rho_{2}}\\ H_{3}+m\left({\frac{1}{r}+1}\right)<(m+p)\frac{1}{r}\\ \end{array}

conditions auxquelles il est possible de satisfaire à la fois.

Nous pourrons donc exprimer ces fonctions par des séries ordonnées suivant les puissances de zz ; et Θ1\Theta_{1} nous sera1616 16 Variante : “Θ1\Theta_{1} et Θ2\Theta_{2} nous seront …”. alors donné comme le quotient de deux pareilles séries.

Résumé.

Les considérations qui précèdent permettent d’intégrer l’équation :

d2ydx2=y[A(x-a)2+B(x-b)2+2C(x-a)(x-b)]\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=y\left[{\frac{A}{\left({x-a}\right)^{2}}+\frac{B}{\left(% {x-b}\right)^{2}}+\frac{2C}{\left({x-a}\right)\left({x-b}\right)}}\right] (1)

toutes les fois que la différence des racines de chaque équation déterminante est commensurable, et qu’il n’y a pas de logarithmes dans les développements des intégrales. Supposons d’abord que pour chaque équation déterminante, cette différence soit une partie aliquote de l’unité et appelons ρ1\rho_{1}, ρ2\rho_{2} et rr, ces trois différences. Nous n’aurons rien à dire du cas où

ρ1+ρ2+r1\rho_{1}+\rho_{2}+r\geq 1

et où xx est fonction rationnelle ou doublement périodique du rapport des deux intégrales. Si au contraire :

ρ1+ρ2+r<1\rho_{1}+\rho_{2}+r<1

nous dirons que xx est fonction fuchsienne de ce rapport que nous appellerons zz.

La fonction fuchsienne n’existe pas à l’extérieur d’un certain cercle HH’ et elle reste méromorphe à l’intérieur de ce cercle ; elle ne change pas quand on change

zenαz+βαz+β,z\ \text{en}\ \frac{\alpha z+\beta}{\alpha^{\prime}z+\beta^{\prime}},

α\alpha, β\beta, α\alpha^{\prime}, β\beta^{\prime} étant des constantes convenablement choisies ; de plus cela a lieu pour une infinité de systèmes de valeurs des constantes

α\alpha, β\beta, α\alpha^{\prime}, β\beta^{\prime}.

Considérons maintenant une seconde équation

d2ydx2=y[A1(x-a)2+B1(x-b)2+2C1(x-a)(x-b)]\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=y\left[{\frac{A_{1}}{\left({x-a}\right)^{2}}+\frac{B_{1}% }{\left({x-b}\right)^{2}}+\frac{2C_{1}}{\left({x-a}\right)\left({x-b}\right)}}\right] (2)

de même forme que l’équation (1) ; mais où la différence des racines de chaque équation déterminante est un multiple pair de la différence correspondante relative à l’équation (1).

Remplaçons dans les expressions des deux intégrales de cette équation, xx par sa valeur en fonction de zz ; c’est-à-dire par la fonction fuchsienne de zz ; ces deux intégrales deviendront des fonctions monodromes de zz que nous appelons les fonctions zétafuchsiennes.

Ces fonctions n’existent pas à l’extérieur du cercle HHHH^{\prime} et restent méromorphes à l’intérieur de ce cercle ; quand on y change

z en αz+βαz+βz\text{ en }\frac{\alpha z+\beta}{\alpha^{\prime}z+\beta^{\prime}}

ces deux fonctions que nous désignons par Θ1\Theta_{1} et par Θ2\Theta_{2} se changent en

cΘ1+dΘ2c\Theta_{1}+d\Theta_{2}
c1Θ1+d1Θ2c_{1}\Theta_{1}+d_{1}\Theta_{2}

cc, dd, c1c_{1}, d1d_{1}étant des constantes.

Ces résultats sont encore vrais pour l’équation :

d2ydx2=y[A(x-a)2+B(x-b)2+C(x-c)2+D(x-d)2+A1x-a+B1x-b+C1x-c+D1x-d]\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=y\left[{\frac{A}{\left({x-a}\right)^{2}}+\frac{B}{\left(% {x-b}\right)^{2}}+\frac{C}{\left({x-c}\right)^{2}}+\frac{D}{\left({x-d}\right)% ^{2}}+\frac{A_{1}}{x-a}+\frac{B_{1}}{x-b}+\frac{C_{1}}{x-c}+\frac{D_{1}}{x-d}}\right] (3)

quand A1+B1+C1+D1A_{1}+B_{1}+C_{1}+D_{1} = 0 et quand la différence des racines de l’équation déterminante est :

pour x=ax=a un multiple pair de ρ1\rho_{1}
pour x=bx=b un multiple pair de ρ2\rho_{2}
pour x=x=\infty un multiple pair de rr
pour x=cx=c un nombre entier
pour x=dx=d un nombre entier

et quand il n’y a pas de logarithmes dans le développement des intégrales. Une pareille équation donne également naissance à des fonctions zétafuchsiennes jouissant des mêmes propriétés que celles qui doivent leur origine à l’équation (2). Il restait à exprimer les fonctions fuchsiennes et zétafuchsiennes à l’aide de séries convergentes dans toute l’étendue du cercle HHHH^{\prime}. Pour cela on considère la fonction fuchsienne f(z)f(z) comme le quotient de

1f(z)etf(z)f(z)\frac{1}{f^{\prime}(z)}\quad\text{et}\quad\frac{f(z)}{f^{\prime}(z)}

et la fonction zétafuchsienne Θ1(z)\Theta_{1}(z) comme le quotient de

Θ1(z)(f(z))p et 1(fz)p.\frac{\Theta_{1}(z)}{\left({f^{\prime}(z)}\right)^{p}}\text{ et }\frac{1}{% \left({f^{\prime}z}\right)^{p}}.

Ces diverses fonctions sont méromorphes à l’intérieur du cercle HHHH^{\prime} et de plus elles tendent vers 0 quand zz se rapproche de la circonférence de ce cercle. Elles se réduisent alors à la somme de tous les termes formés de la manière suivante : on développe la fonction suivant les puissances croissantes de z-λz-\lambda, dans le voisinage de chaque infini λ\lambda ; on prend les termes dont l’exposant est négatif, et l’on ajoute tous les termes ainsi trouvés relatifs à tous les infinis.

On trouve facilement les valeurs des infinis ; quant aux coefficients, on peut les calculer par les opérations ordinaires de l’arithmétique une fois qu’on connaît trois d’entre eux.

Les fonctions fuchsiennes1717 17 Variante : “Les fonctions fuchsiennes et zétafuchsiennes”. peuvent également être représentées comme le quotient de deux séries que j’appelle thétafuchsiennes et cela d’une infinité de manières. Ces séries thétafuchsiennes, convergentes dans toute l’étendue du cercle HHHH^{\prime}, sont de deux sortes, les unes sont des séries entières en zz, les autres ont tous leurs termes rationnels en zz.

Je définis de même d’autres séries analogues que j’appelle séries thétazéta et qui, divisées par une série thétafuchsienne, donnent une fonction zétafuchsienne, voir pages 71 et 72. Je n’ai pu toutefois démontrer d’une façon claire que toute fonction zétafuchsienne pouvait être représentée de la sorte ; j’ai fait voir seulement page 74, que toute fonction zétafuchsienne pouvait être regardée comme le quotient de deux séries holomorphes en zz, convergentes dans tout le cercle HHHH^{\prime} et dont les coefficients sont aisés à trouver.

Un dernier mot ; il pourrait se faire que l’emploi de la pseudogéométrie ne semblât pas légitime à certains esprits ; mais il leur serait facile de traduire dans un autre langage, le langage pseudogéométrique que j’ai employé. Par exemple, on peut supposer que j’ai projeté stéréographiquement tous les points du plan géométrique sur une sphère imaginaire, et alors tout ce que je dis du plan pseudogéométrique doit s’entendre de cette sphère imaginaire, ce que je dis des droites de ce plan doit s’entendre des grands cercles de cette sphère.

Ou bien, on peut considérer directement les points du plan géométrique, et alors la droite pseudogéométrique n’est autre chose qu’un cercle coupant orthogonalement HHHH^{\prime} ; la distance pseudogéométrique de deux points est une fonction connue de leurs coordonnées ; la surface pseudogéométrique d’une aire est l’intégrale double:

𝑑x𝑑xφ,\int dxdx\varphi,

prise dans toute l’étendue de cette aire et où φ\varphi est une fonction connue de xx et de yy.

(Henri Poincaré)

Séance du 6 septembre 1880.

Concours pour le Grand Prix des
Sciences Mathématiques
Devise: Non inultus premor
2e2^{\textrm{e}} Supplément

Je crains d’avoir manqué de clarté dans mon premier supplément et je ne crois pas inutile, avant de généraliser les résultats obtenus, devoir revenir sur ces résultats eux-mêmes afin de donner quelques explications supplémentaires. Je demande à l’Académie mille pardons de toutes ces redites.1818 18 Le manuscrit comporte une annotation de main inconnue : “N° 5”.

Définitions.

Je considère un plan dont tous les points représentent une valeur imaginaire de zz, d’après la convention habituelle ; dans ce plan j’envisage un cercle, celui que j’ai appelé jusqu’ici HHHH^{\prime} et que j’appellerai désormais cercle fondamental. Je supposerai qu’il a pour centre l’origine et pour rayon l’unité.

J’appelle plan pseudogéométrique la partie du plan située à l’intérieur de ce cercle.

droite pseudogéométrique toute circonférence qui coupe orthogonalement le cercle fondamental.

cercle pseudogéométrique un cercle quelconque, ne coupant pas orthogonalement le cercle fondamental.

L’ angle pseudogéometrique de deux courbes sera égal à leur angle géométrique.

Considérons deux points dans le plan pseudogéométrique, par ces deux points je pourrai toujours faire passer une circonférence coupant orthogonalement le cercle fondamental. Envisageons sur cette circonférence le rapport anharmonique de ces deux points et des deux points d’intersection de la circonférence avec le cercle fondamental. Le logarithme de ce rapport anharmonique sera la distance pseudogéométrique des deux points.

Enfin la surface pseudogéométrique d’une aire donnée sera égale en coordonnées polaires à l’intégrale double :

4ρdρdω(1-ρ2)2prise à l’intérieur de cette aire.4\iint{\frac{\rho d\rho d\omega}{\left({1-\rho^{2}}\right)^{2}}}\quad\text{% prise à l'intérieur de cette aire.}

Envisageons maintenant l’opération qui consiste à changer zz en

z=αz+βαz+βz^{\prime}=\frac{\alpha z+\beta}{\alpha^{\prime}z+\beta^{\prime}}

ou à remplacer le point représentatif de zz par le point représentatif de zz^{\prime}.

Une pareille opération transforme les circonférances en circonférences, elle conserve les angles ainsi que le rapport anharmonique de quatre points sur une circonférence.

Si en même temps cette opération conserve le cercle fondamental je l’appellerai mouvement pseudogéométrique et je distinguerai les rotations pseudogéométriques, mouvements qui conservent deux points réels, et les translations pseudogéométriques, mouvements qui ne conservent aucun point réel.

Les mouvements pseudogéométriques transforment les droites et les cercles pseudogéométriques en droites et en cercles pseudogéométriques, ils conservent les longueurs, les angles et les surfaces pseudogéométriques.

D’où l’important résultat qui suit :

Il y a entres les longueurs, les angles et les surfaces pseudogéométriques les mêmes relations qu’entre les longueurs, les angles et les surfaces géométriques, sauf celles qui sont une conséquence du postulatum d’Euclide.

Soit un point dont la distance géométrique à l’origine soit ρ\rho ; sa distance pseudogéométrique à l’origine sera d’après la définition précédente :

R=L1+ρ1-ρ d’où ρ=eR-1eR+1.R=L\frac{1+\rho}{1-\rho}\text{ d'où }\rho=\frac{e^{R}-1}{e^{R}+1}.

La surface pseudogéométrique du cercle de rayon pseudogéométrique RR sera donc :1919 19 À droite de la première égalité, nous lisons : “2π0ρ2d(ρ2)(1-ρ2)2\pi\int_{0}^{\rho^{2}}{\frac{d\left({\rho^{2}}\right)}{\left({1-\rho^{2}}% \right)^{2}}}”; nous insérons le facteur 4 à la place du 2 barré.

4ρdρdω(1-ρ2)2=4π0ρ2d(ρ2)(1-ρ2)2=4π1-ρ2-4π=4πρ21-ρ24\iint{\frac{\rho d\rho d\omega}{\left({1-\rho^{2}}\right)^{2}}}=4\pi\int_{0}^% {\rho^{2}}{\frac{d\left({\rho^{2}}\right)}{\left({1-\rho^{2}}\right)^{2}}}=% \frac{4\pi}{1-\rho^{2}}-4\pi=\frac{4\pi\rho^{2}}{1-\rho^{2}}

ou bien :

πe2R-2eR+1eR=π(eR+e-R-2)\pi\frac{e^{2R}-2e^{R}+1}{e^{R}}=\pi\left({e^{R}+e^{-R}-2}\right)

ce qui est le résultat trouvé dans le 1er supplément.

La limite du rapport de cette surface à eRe^{R} est π\pi pour R=R=\infty.2020 20 Variante : “…est π/\pi/4 pour R=R=\infty”; le dénominateur est barré ici et dans les deux formules suivantes. L’anneau compris entre le cercle de rayon pseudogéométrique RR et celui de rayon pseudogéométrique de rayon R+πR+\pi a pour surface pseudogéométrique :

π[eR(eπ-1)+e-R(e-π-1)],\pi\left[{e^{R}\left({e^{\pi}-1}\right)+e^{-R}\left({e^{-\pi}-1}\right)}\right],

la limite de cette surface divisée par eRe^{R} pour R=R=\infty est

π(eπ-1).\pi(e^{\pi}-1).

Soit KK un mouvement pseudogéométrique quelconque, zz une quantité quelconque, AA le point représentatif de cette quantité, SS une figure quelconque. J’appellerai zKz\cdot K ; AKA\cdot K, SKS\cdot K ce que deviennent zz, AA et SS après le mouvement pseudogéométrique KK.

Appelons module pseudogéométrique d’une quantité, la distance pseudogéométrique du point représentatif de cette quantité à l’origine, de telle sorte que si :

mod.z=ρmod pseud.z=R\displaystyle\begin{matrix}\bmod.z=\rho&\mod\text{ pseud.}z=R\end{matrix}
R=L1+ρ1-ρ.\displaystyle R=L\frac{1+\rho}{1-\rho}.

Soit un cercle infiniment petit tel que sa plus petite et sa plus grande distances géométriques à l’origine soient ρ\rho et ρ+2dρ\rho+2d\rho [et] sa plus petite et sa plus grande distances pseudogéométriques à l’origine soit RR et RR + 2dR ; soient SS et Σ\Sigma ses surfaces géométrique et pseudogéométrique, on aura :

S=πdρ2  =πdR2R=L1-ρ1+ρρ=eR-1eR+1dρ=dR2eR(eR+1)2S=4e2R(eR+1)4\begin{array}[]{c}S=\pi d\rho^{2}\qquad\sum=\pi dR^{2}\\ R=L\frac{1-\rho}{1+\rho}\quad\rho=\frac{e^{R}-1}{e^{R}+1}\quad d\rho=dR\frac{2% e^{R}}{\left({e^{R}+1}\right)^{2}}\\ S=\sum\frac{4e^{2R}}{\left({e^{R}+1}\right)^{4}}\\ \end{array}

Soit maintenant un cercle2121 21 Variante : “Soient maintenant deux un cercles”. infiniment petit CC ayant pour centre un point zz de module pseudogéométrique RR ; par le mouvement KK il se transformera en un cercle infiniment petit CKC\cdot K ayant pour centre le zKz\cdot K de module pseudogéométrique RKR\cdot K et ayant même surface pseudogéométrique que CC.

Soit Σ\Sigma la surface pseudogéométrique de CC et de CKC\cdot K ; SS et S1S_{1} les surfaces géométriques de CC et de CKC\cdot K ; on aura :

S=4e2R(eR+1)4S1=4e2R1(eR1+1)4 d’où :S1S=(eR+1)4e2R1(eR1+1)4e2R\begin{array}[]{c}S=\sum{\frac{4e^{2R}}{\left({e^{R}+1}\right)^{4}}}\\ S_{1}=\sum{\frac{4e^{2R_{1}}}{\left({e^{R_{1}}+1}\right)^{4}}}\text{ d'où :}\\ \frac{S_{1}}{S}=\sum{\frac{\left({e^{R}+1}\right)^{4}e^{2R_{1}}}{\left({e^{R_{% 1}}+1}\right)^{4}e^{2R}}}\\ \end{array}

Or on a pour la dérivée de zKz\cdot K par rapport à zz :

moddzKdz=S1S\mod\frac{dz\cdot K}{dz}=\sqrt{\frac{S_{1}}{S}}

d’où

moddzKdz=(eR+1)2eR1(eR1+1)2eR.\mod\frac{dz\cdot K}{dz}=\frac{\left({e^{R}+1}\right)^{2}e^{R_{1}}}{\left({e^{% R_{1}}+1}\right)^{2}e^{R}}.

Supposons que R1R_{1} tende vers l’infini ; RR restant constant ; on aura :

lim.mod.eR1dzKdz=(eR+1)2eR.\text{lim.mod.}\quad e^{R_{1}}\frac{dz\cdot K}{dz}=\frac{\left({e^{R}+1}\right% )^{2}}{e^{R}}.

Cette formule nous sera fort utile dans la suite.

Telles sont les définitions complètes de ces notions pseudogéométriques que j’ai appliquées à la résolution de certaines équations différentielles linéaires du second ordre.

On se rappelle que j’ai fait voir, en ce qui concerne ces équations si l’on considère xx comme fonction du rapport zz des deux intégrales, que :

1° Cette fonction n’existe pas quand zz est extérieur au cercle fondamental.

2° À l’intérieur de ce cercle, cette fonction est monodrome. Cette deuxième proposition est liée à la suivante :

3° Le plan pseudogéométrique est décomposable en triangles pseudogéométriques égaux entre eux et ayant pour angles des parties aliquotes de π\pi.

La deuxième proposition entraîne la troisième et réciproquement.

Je n’ai pas à revenir sur la première proposition.

Quant à la seconde et à la troisième, j’en ai donné deux démonstrations l’une à la fin du mémoire principal, l’autre au commencement du premier supplément.

La première de ces démonstrations ne s’étendrait pas au cas plus général que j’ai l’intention de traiter ; la seconde n’est pas rigoureuse. C’est pourquoi je crois utile d’en donner encore une troisième démonstration.

Je rappelle que l’on peut distinguer trois sortes de valeurs de zz ; 1° celles que peut atteindre zz quand xx décrit dans son plan ou sur sa sphère un contour fini ; 2° celles vers lesquelles tend zz quand xx décrit dans son plan un contour infini ; 3° enfin celles que zz ne peut jamais atteindre.

M. Fuchs a fait voir que xx considéré comme fonction de zz reste monodrome dans le voisinage des valeurs de la première sorte. Si donc je montre que, xx décrivant un contour fini, zz peut prendre toutes ces valeurs intérieures au cercle fondamental j’aurai montré que xx est une fonction monodrome de zz dans l’intérieur de ce cercle.

Or supposons comme dans le 1er{}^{er}supplément que l’on joigne par des coupures en ligne droite les différents points singuliers et le point \infty ; quand xx décrira tout son plan sans franchir aucune coupure, on a vu que zz restait à l’intérieur d’un certain quadrilatère que j’ai appelé QQ et dont les côtés sont des droites pseudogéométriques. Quand xx décrit tout son plan après avoir franchi les coupures un certain nombre de fois et dans un certain ordre, zz reste à l’intérieur d’un certain quadrilatère pseudogéométriquement égal à QQ.

Donc on trouvera toutes les valeurs que peut prendre zz quand xx décrit dans son plan un contour quelconque, de la manière suivante. On divisera le quadrilatère QQ en deux triangles pseudogéométriquement égaux par une de ses diagonales ; on considérera l’un de ces triangles TT ; on annexera à ce triangle les trois triangles qui lui sont pseudogéométriquement symétriques par rapport à ces différents côtés. On recommencera la même opération pour ces nouveaux triangles et ainsi de suite.

La surface occupée par tous ces triangles sera celle qui sera occupée par les valeurs de zz cherchées.

Or je dis qu’un point quelconque intérieur au cercle fondamental fait partie de cette surface. Soit DD ce point. En effet joignons ce point à un point intérieur BB au triangle TT par une droite pseudogéométrique. Cette droite BD viendra couper l’un des côtés, AA par exemple du triangle TT. Soit T1T_{1} le triangle pseudogéométriquement symétrique de TT par rapport à AA. La droite BD rencontrera le côté A1A_{1} du triangle T1T_{1\leavevmode\nobreak\ }; soit T2T_{2} le triangle symétrique de T1T_{1} par rapport à A1A_{1} ; on considérera l’intersection de la droite BD avec le côté A2A_{2} du triangle T2T_{2} et ainsi de suite. Je dis qu’après un nombre fini d’opérations on trouvera un triangle TnT_{n} à l’intérieur duquel se trouvera le point DD.

En effet il suffit de faire voir qu’une droite de longueur pseudogéométrique finie ne peut rencontrer qu’un nombre fini de triangles TT, T1T_{1}, T2T_{2}, …, TnT_{n} .

Or cela est évident ; en effet concevons qu’on entoure les différents sommets des triangles TT, T1T_{1}, T2T_{2}, …, TnT_{n} de cercles HH assez petits pour ne pas se couper, ayant les sommets des triangles pour centres pseudogéométriques et même rayon pseudogéométrique.

On pourra assigner une longueur pseudogéométrique \ell ; telle que deux quelconques de ces cercles HH soient l’un de l’autre à une distance supérieure à \ell ; on pourra assigner également une longueur λ\lambda telle que tout segment de droite pseudogéométrique allant d’un côté à l’autre d’un des triangles TT, T1T_{1}, T2T_{2}, …, TnT_{n} et ne coupant aucun des cercles HH soit toujours plus grand que λ\lambda. Les triangles TT, T1T_{1} etc. étant tous pseudogéométriquement égaux entre eux, il suffit en effet de prendre pour \ell, la plus petite hauteur du triangle TT diminuée de deux fois le rayon des cercle HH ; pour déterminer λ\lambda, on prendra les bissectrices des angles du triangle TT ; on considérera l’intersection de chacune de ses bissectrices avec le cercle HH correspondant, on mènera en ce point la tangente au cercle HH, on envisagera la longueur du segment de cette tangente compris à l’intérieur du triangle TT et on prendra pour λ\lambda le plus petit des trois segments ainsi trouvé.

Soit n1n_{1}, n2n_{2} , n3n_{3} le nombre des triangles qui se groupent autour des trois sommets AA, BB, CC soit n1>n2>n3n_{1}>n_{2}>n_{3}.

Il est clair que tout segment de droite compris à l’intérieur d’un cercle HH ne peut rencontrer plus de n1n_{1} des triangles TT, T1T_{1} etc. Le nombre de triangles TT, T1T_{1}, T2T_{2}, etc. que ce segment peut rencontrer est au plus égal à :

Lλ+n1L.\frac{L}{\lambda}+n_{1}\frac{L}{\ell}.

Donc une droite de longueur pseudogéométrique limitée ne peut rencontrer qu’un nombre fini de triangles TT, T1T_{1}, T2T_{2}, etc. Donc après un nombre fini d’opérations on trouvera un triangle TnT_{n} à l’intérieur duquel se trouvera le point DD. Donc toutes les valeurs de z intérieures au cercle fondamental sont de la 1e`re1^{\grave{e}re} sorte.

Donc la fonction x de z que j’ai appelée fonction fuchsienne est monodrome à l’intérieur de ce cercle.

Donc le plan pseudogéométrique peut être décomposé en une infinité de triangles pseudogéométriquement égaux à T.

Des deux propositions précédentes on peut déduire toutes celles que nous avons établies dans le 1er{}^{er} supplément et je n’ai pas à y revenir. Mais je vais montrer comment elles peuvent se généraliser.

Le plan pseudogéométrique, peut-il, d’une autre façon que celle que je viens de définir, se décomposer en polygones égaux entre eux ?

Commençons par supposer cette décomposition faite ; de façon à découvrir les conditions nécessaires pour qu’elle soit possible.

Supposons d’abord que ces polygones soient des triangles scalènes. Soit ABC l’un de ces triangles, ABC ’ un triangle adjacent au premier le long du côté AB ; il est clair que le côté AB du triangle ABCABC\,^{\prime} doit être l’homologue du côté AB du triangle ABC ; on peut donc faire deux hypothèses :

1° le sommet AA de ABC est l’homologue du sommet AA du triangle ABCABC\,^{\prime} et BB est l’homologue de BB. Dans ce cas si l’on a décomposé le plan pseudogéométrique en triangles égaux à ABC, AB est un axe de symétrie du système de ces triangles.

2° Le sommet AA de ABC est l’homologue du sommet BB de ABCABC\,^{\prime}, et BB est l’homologue de AA. Dans ce cas, le milieu de AB est un centre de symétrie du système (au point de vue pseudogéométrique).

Faisons maintenant les 4 hypothèses suivantes, qui sont les seules possibles :

1° Les trois côtés du triangle ABC ont des axes de symétrie du système.

C’est le cas que nous avons examiné dans tout ce qui précède ; et d’après ce que l’on a vu : pour que le plan pseudogéométrique soit décomposable en triangles égaux à ABC, il faut et il suffit que chacun des trois angles de ces triangles soit une partie aliquote de π\pi.

2° Aucun des côtés du triangle ABC n’est un axe de symétrie du système.

Soit alors ABD, BCE, ACF trois triangles adjacents à ABC.

Le sommet AA du triangle ABC est l’homologue du sommet BB du triangle ABDABD.
BB AA
BB CC BCEBCE.
CC BB
AA CC ACFACF.
CC AA

Le sommet AA pouvant devenir l’homologue du sommet BB et du sommet CC tous les sommets du système sont homologues, c’est-à-dire que rien ne distingue l’un de l’autre les divers sommets du système des triangles égaux à ABC qui recouvre le plan pseudogéométrique.

Considérons donc l’ensemble des triangles qui rayonnent autour du point AA.

Dans le triangle ABD, AA est l’homologue du sommet BB de ABC, BB l’homologue de AA et DD l’homologue de CC ; AD est donc l’homologue de BC.

Soit ADH le triangle adjacent à ABD.

Le sommet AA de ce triangle est l’homologue du sommet CC de ABCABC.
DD BB
HH AA

Le côté AH est donc l’homologue de CA.

Soit AHK un triangle adjacent à ADH.

Le sommet AA AA
HH CC
KK BB

Le côté AH est donc l’homologue de AC.

On continuerait la discussion de la sorte jusqu’à ce qu’on ait épuisé tous les triangles qui ont un sommet en AA. On voit que ces triangles se succèdent de telle sorte que le sommet AA soit pour le 1er{}^{er} d’entre eux homologue au sommet AA de ABC, pour le 2d{}^{d} homologue au sommet BB, pour le troisième homologue au sommet CC, pour le 4e4^{\textrm{e}} au sommet AA et ainsi de suite. On en conclut :

1° que le nombre de ces triangles est divisible par 3.

2° que la somme des angles du triangle ABC est une partie aliquote de 4 droits.

3e3^{\textrm{e}} Hypothèse.

L’un des côtés, AB par exemple du triangle ABC est un axe de symétrie du système. Soient ABD, BCE, ACF trois triangles adjacents à ABC.

Le sommet A de ABC est l’homologue du sommet A de ABD.BBBC de BCE.CBACACF.CA\begin{array}[]{r@{}r@{}l}\text{Le sommet }A&\text{ de }ABC\text{ est l'% homologue du sommet }A&\text{ de }ABD.\\ B&B\\ B&C&\text{ de }BCE.\\ C&B\\ A&C&\qquad ACF.\\ C&A&\end{array}

Le sommet CC peut donc devenir l’homologue du sommet BB et du sommet AA. Donc tous les sommets du système sont homologues. Considérons l’ensemble des triangles qui rayonnent autour de AA : Soient ABC, ABD, ADH, AHK etc., ces triangles.

Le sommet A de ABD est l’homologue du sommet A de ABC.BBDCLe côté ADdu côté ACLe sommet A de ADHdu sommet CDAHBLe côté AHdu côté CBLe sommet A de AHKdu sommet BHCKALe côté AKdu côté BALe sommet A de AKLdu sommet BKALCLe côté ALdu côté BCLe sommet A de ALMdu sommet CLBMALe côté AMdu côté CALe sommet A de AMNdu sommet AMCNBLe côté ANdu côté AB\begin{array}[]{r@{}r@{}r@{}l}\text{Le sommet }A&\text{ de }ABD&\text{ est l'% homologue du sommet }A&\text{ de }ABC.\\ B&&B\\ D&&C\\ \text{Le côté }AD&&\text{du côté }AC\\ \text{Le sommet }A&\text{ de }ADH&\text{du sommet }C&\quad\cdots\\ D&&A\\ H&&B\\ \text{Le côté }AH&&\text{du côté }CB\\ \text{Le sommet }A&\text{ de }AHK&\text{du sommet }B&\quad\cdots\\ H&&C\\ K&&A\\ \text{Le côté }AK&&\text{du côté }BA\\ \text{Le sommet }A&\text{ de }AKL&\text{du sommet }B\\ \quad\cdots\\ K&&A\\ L&&C\\ \text{Le côté }AL&&\text{du côté }BC\\ \text{Le sommet }A&\text{ de }ALM&\text{du sommet }C&\quad\cdots\\ L&&B\\ M&&A\\ \text{Le côté }AM&&\text{du côté }CA\\ \text{Le sommet }A&\text{ de }AMN&\text{du sommet }A&\quad\cdots\\ M&&C\\ N&&B\\ \text{Le côté }AN&&\text{du côté }AB\end{array}

et ainsi de suite.

On voit que pour le 1er1^{\textrm{er}} triangle, le sommet AA est homologue du sommet AA de ABC, pour le 2d{}^{d} homologue de AA ; pour le 3e{}^{\textrm{e}} de CC, pour le 4e{}^{\textrm{e}} de BB, pour le 5e{}^{\textrm{e}} de BB, pour le 6e{}^{\textrm{e}} de CC puisque cela recommence périodiquement, pour le 7e{}^{\textrm{e}} le sommet AA étant l’homologue de AA et ainsi de suite.

On en conclut :

1° que le nombre des triangles est divisible par 6.

Que la somme des angles du triangle ABC est une partie aliquote de deux droits.

4e4^{\textrm{e}} hypothèse.

Deux des côtés de ABC sont des axes de symétrie du système. Soient AB et AC ces deux côtés.

Dans ce cas le sommet AA n’est pas homologue à BB et à CC qui sont d’ailleurs homologues entre eux.

1° Le nombre des triangles qui rayonnent autour de AA est divisible par 2.

L’angle A est une partie aliquote de deux droits.

Soient BAC, BCD, BDE etc. la série des triangles qui rayonnent autour de BB.

Le sommet Bde BCD est homologue du sommet C de BAC.CBDALe côté BDdu côté CALe sommet Bde BDE est homologue du sommet C de DAEBLe côté BEdu côté CBLe sommet B de BEF est homologue du sommet BECFALe côté BFdu côté BALe sommet Bde BFH est homologue du sommet BFAHC\begin{array}[]{r@{}r@{}l}\text{Le sommet }B&\text{de }BCD\text{ est homologue% du sommet }C&\text{ de }BAC.\\ C&B\\ D&A\\ \text{Le côté }BD&\text{du côté }CA\\ \text{Le sommet }B&\text{de }BDE\text{ est homologue du sommet }C&\text{ de }% \cdots\\ D&A\\ E&B\\ \text{Le côté }BE&\text{du côté }CB&\\ \text{Le sommet }B&\text{ de }BEF\text{ est homologue du sommet }B&\quad\cdots% \\ E&C\\ F&A\\ \text{Le côté }BF&\text{du côté }BA\\ \text{Le sommet }B&\text{de }BFH\text{ est homologue du sommet }B&\quad\cdots% \\ F&A\\ H&C\end{array}

On voit que le nombre des triangles est divisible par 4 et que la somme des angles B et C est une partie aliquote de 2 droites. Supposons maintenant que le triangle ABC soit isocèle mais non équilatéral de telle sorte que :

AB=AC<>BCAB=AC<\mskip-15.0mu >BC

Soit ABD un triangle adjacent à ABC ; on peut faire deux hypothèses :

1° Le côté AB de ABD est homologue du côté AB de ABC. Dans ce cas la discussion est la même que dans le cas du triangle scalène.

2° Le côté AB de ABD est homologue du côté AC de ABC. Cette hypothèse se subdivise en quatre hypothèses secondaires :

1e`re1^{\grave{\textrm{e}}\textrm{re}} hypothèse.

Le sommet A de ABD est homologue du sommet A de ABC.BC\begin{array}[]{r@{}r@{}l}\text{Le sommet }A&\text{ de }ABD\text{ est % homologue du sommet }A&\text{ de }ABC.\\ B&C\\ \end{array}

Le côté BC est un axe de symétrie du système.

2e2^{\textrm{e}} hypothèse.

Le sommet A de ABD est homologue du sommet C de ABC.BA\begin{array}[]{r@{}r@{}l}\text{Le sommet }A&\text{ de }ABD\text{ est % homologue du sommet }C&\text{ de }ABC.\\ B&A\\ \end{array}

Le côté BC est un axe de symétrie du système.

3e3^{\textrm{e}} hypothèse.

Le sommet A de ABD est homologue du sommet A de ABC.BC\begin{array}[]{r@{}r@{}l}\text{Le sommet }A&\text{ de }ABD\text{ est % homologue du sommet }A&\text{ de }ABC.\\ B&C\\ \end{array}

Le côté BC n’est pas un axe de symétrie du système.

4e4^{\textrm{e}} hypothèse.

Le sommet A de ABD est homologue du sommet C de ABC.BA\begin{array}[]{r@{}r@{}l}\text{Le sommet }A&\text{ de }ABD\text{ est % homologue du sommet }C&\text{ de }ABC.\\ B&A\\ \end{array}

Le côté BC est un axe de symétrie du système.

Il est inutile de discuter ces quatre hypothèses, je me bornerai donc à la première.

Je pourrais ramener ce cas à celui des triangles scalènes en divisant le triangle isocèle en deux triangles scalènes égaux à l’aide de sa hauteur mais comme un pareil procédé ne serait pas applicable aux polygones de plus de trois côtés, je préfère donner la discussion directe :

Considérons les triangles qui rayonnent autour de AA. Soient ACB, ABD, ADE, AEF, etc. la série de ces triangles :

Le sommet A de ABD est l’homologue de A dans ABC.BCDBLe côté ADABLe sommet A de ADEADCEBAEAB\begin{array}[]{r@{}r@{}r@{}l}\text{Le sommet }A&\text{ de }ABD&\text{ est l'% homologue de }A&\text{ dans }ABC.\\ B&&C\\ D&&B\\ \text{Le côté }AD&&AB\\ \text{Le sommet }A&\text{ de }ADE&A\\ D&&C\\ E&&B\\ AE&&AB\end{array}

Etc.

On voit que le nombre des triangles qui rayonnent autour de AA peut être quelconque et que l’angle A doit être une partie aliquote de 4 emph droits.

Considérons maintenant les triangles BCA, BAD, BDE’, BE’F’, etc. qui rayonnent autour de BB.

Dans BADB est homologue de C dans ABC.DAAADBBDCBDans BDEBCDBEABECADans BEFBBEAFCBFBCDans BFHBBFCHA\begin{array}[]{r@{}r@{}l}\text{Dans }BAD\ B&\text{ est homologue de }C&\text{% dans }ABC.\\ D&A\\ A&A\\ D&B\\ BD&CB\\ \text{Dans }BDE\ B&C&\qquad\cdots\\ D&B\\ E^{\prime}&A\\ BE^{\prime}&CA\\ \text{Dans }BE^{\prime}F^{\prime}\ B&B&\qquad\cdots\\ E^{\prime}&A\\ F^{\prime}&C\\ BF^{\prime}&BC\\ \text{Dans }BF^{\prime}H^{\prime}\ B&B&\qquad\cdots\\ F^{\prime}&C\\ H^{\prime}&A\end{array}

On voit que le nombre des triangles doit être divisible par 4 et que la somme des angles B et C est une partie aliquote de 2 droits.

Les exemples qui précèdent suffisent pour montrer comment devrait être conduite la discussion si au lieu de chercher si le plan pseudogéométrique est décomposable en une infinité de triangles pseudogéométriquement égaux à ABC, il s’agissait de savoir si ce plan est décomposable en polygones égaux à un polygone donné de plus de trois côtés. On trouverait de la sorte des conditions nécessaires pour que cette décomposition soit possible.

Dans le cas d’un triangle ABC ces conditions sont celles qui sont soulignées dans la discussion précédente. Sont-elles suffisantes ? Pour le reconnaître, nous pourrons raisonner de la manière suivante : Si l’on considère un triangle ABC, qu’on construise ensuite sur ces trois côtés des triangles adjacents à ABC et pseudogéométriquement égaux à ABC, puis que sur ces nouveaux triangles on fasse la même opération que sur ABC, puis qu’on recommence la même opération indéfiniment, les triangles ainsi obtenus recouvriront une certaine surface FF ; qui ira indéfiniment en s’accroissant. Si cette surface finit par recouvrir tout le plan pseudogémétrique sans se recouvrir elle-même, le plan pseudogéométrique sera décomposable en triangles égaux à ABC ; si au contraire la surface FF finit par se recouvrir elle-même, une pareille décomposition sera impossible.

Mais, comme nous l’avons déjà dit plusieurs fois, la surface FF peut se recouvrir elle-même de deux manières différentes :

1e`re1^{\grave{\text{e}}\textrm{re}} Manière 2e2^{\textrm{e}} Manière

Envisageons une fonction auxiliaire Φ\Phi jouissant des propriétés suivantes. Ne la définissons d’abord que dans l’intérieur du triangle ABC.

1° Pour chaque valeur de zz intérieure à ABC elle aura une valeur et une seule.

2° Elle sera continue.

3° Ses valeurs sur le périmètre de ABC seront assujetties à la loi suivante.

Supposons en particulier que ABC soit un triangle scalène et qu’on soit dans la 2e2^{\textrm{e}} hypothèse, celle où aucun des côtés de ABC n’est un axe de symétrie du système.

Dans ce cas le milieu OO de AB est un centre de symétrie du système ; si MO = NO, le point MM considéré comme appartenant au triangle ABD est homologue du point NN considéré comme appartenant au triangle ABC.

La fonction Φ\Phi sera alors assujettie à reprendre la même valeur au point MM et au point NN.

La fonction Φ\Phi sera définie en dehors du triangle ABC de la façon suivante.

Elle aura en chaque point du triangle ABD la même valeur qu’au point correspondant du triangle ABC ; et de même si l’on considère la série des triangles qui font partie de la surface FF, elle aura en chaque point de chacun de ces triangles la même valeur qu’au point correspondant du triangle ABC.

La fonction Φ\Phi est donc définie pour tous les points intérieurs à la surface FF, elle ne l’est pas pour les points extérieurs à cette surface. Cette fonction est continue. Elle est monodrome si la surface FF ne peut se recouvrir elle-même ; elle ne l’est pas, si la surface FF peut se recouvrir elle-même. Il s’agit donc de rechercher si la fonction Φ\Phi reste monodrome.

Cette fonction Φ\Phi va jouer dans la démonstration pour le cas général le même rôle que la fonction fuchsienne pour le cas qui nous avait occupé d’abord. Il existe toujours une fonction qui satisfait aux conditions énoncées plus haut. Cela ne serait pas évident si nous avions assujetti la fonction Φ\Phi à être monogène, mais nous ne l’avons pas fait ; en effet bien qu’il existe des fonctions monogènes satisfaisant aux conditions énoncées, ainsi qu’on le verra plus loin, je n’ai pas fait cette hypothèse parce qu’elle m’est inutile, et parce que je ne serais pas encore en état de démontrer l’existence de semblables fonctions.

Une fonction continue quand même elle ne serait pas monogène, reste monodrome à l’intérieur d’un contour simple, enveloppant une aire non trouée, si elle est monodrome dans le voisinage de chacun des points de ce contour.

Les points de la surface FF sont de deux sortes : ou bien ils sont à l’intérieur ou sur le périmètre d’un des triangles, ou bien ils sont au sommet d’un des triangles. La définition de la fonction Φ\Phi montre qu’elle reste monodrome dans le voisinage des points de la première sorte, et si les conditions nécessaires soulignées dans la discussion précédente sont remplies elle sera également monodrome dans le voisinage des points de la 2e{}^{e} sorte. Elle est donc monodrome dans le voisinage des points de la surface FF.

Maintenant on peut toujours introduire assez de triangles dans la surface FF pour que cette surface contienne un point quelconque du plan pseudogéométrique. On se rappelle en effet comment nous avons fait voir pages 6 et 7 qu’une droite pseudogéométrique de longueur pseudogéométrique donnée ne pouvait rencontrer qu’un nombre fini de triangles T1T_{1}, T2T_{2}, etc., et comment nous avons pu en conclure que l’on pouvait introduire dans la surface occupée par ces triangles assez de triangles pour qu’un point quelconque2222 22 Variante : “pour que tout point donné”. du plan pseudogéométrique se trouve dans cette surface.

Le même raisonnement s’applique au cas qui nous occupe.

Donc tout point du plan pseudogéométrique fait partie de la surface FF.

Donc la fonction Φ\Phi reste monodrome dans tout le plan pseudogéométrique.

Donc la surface FF ne peut se recouvrir elle-même, ni de la 1ère{}^{\text{è}re}, ni de la 2e{}^{\textrm{e}} manière. Donc le plan pseudogéométrique est décomposable en triangles égaux à ABC.

Les mêmes raisonnements s’appliquent si au lieu de la 2de{}^{de} hypothèse on se place dans la 3e{}^{\textrm{e}} ou dans la 4e{}^{\textrm{e}} ; si le triangle ABC est isocèle ou équilatéral ou enfin si au lieu d’un triangle on envisage un polygone d’un nombre quelconque de côtés.

Retenons le résultat suivant qui va être le point de départ de nos recherches.

Le plan pseudogéométrique peut se décomposer d’une infinité de manières en polygones pseudogéométriquement égaux entre eux.

Relations avec la théorie des Formes Quadratiques.

Ici se place une remarque importante. De même qu’il y a un lien intime entre la théorie des fonctions elliptiques, et celles des formes quadratiques binaires définies, de même il y a une relation entre la théorie des nouvelles fonctions que je vais définir et celle des formes quadratiques ternaires indéfinies.

La démonstration nous entraînerait trop loin de notre sujet. Ne donnons ici que le résultat.

Soit Φ(x,y,z)\Phi(x,y,z) une forme quadratique ternaire indéfinie quelconque à coefficients entiers. Soit TT une des substitutions linéaires à coefficients entiers qui la reproduisent ; SS la substitution linéaire qui permet de passer de la forme ξ2+η2-ζ2\xi^{2}+\eta^{2}-\zeta^{2} à la forme Φ\Phi, S-1S^{-1} la substitution inverse. Il est clair que la substitution que l’on peut représenter symboliquement par :

S.T.S-1 reproduira ξ2+η2-ζ2.S.T.S^{-1}\text{ reproduira }\xi^{2}+\eta^{2}-\zeta^{2}.

Considérons la quantité imaginaire

ξζ+-1ηζ.\frac{\xi}{\zeta}+\sqrt{-1}\frac{\eta}{\zeta}.

Supposons que la substitution SS.TT.S-1S^{-1} que nous désignerons pour abréger par KK, consiste à changer ξ+η-ζ1 en ξ1+η1-ζ\xi+\eta-\zeta_{1}\text{ en }\xi_{1}+\eta_{1}-\zeta de telle sorte que :

ξ1=α1ξ+β1η+γ1ζη1=α2ξ+β2η+γ2ζζ1=α3ξ+β3η+γ3ζ\begin{array}[]{l}\xi_{1}=\alpha_{1}\xi+\beta_{1}\eta+\gamma_{1}\zeta\\ \eta_{1}=\alpha_{2}\xi+\beta_{2}\eta+\gamma_{2}\zeta\\ \zeta_{1}=\alpha_{3}\xi+\beta_{3}\eta+\gamma_{3}\zeta\\ \end{array}

Nous écrirons pour abréger :

ξζ+-1ηζ=zξ1ζ1+-1η1ζ1=zK.\begin{array}[]{l}\frac{\xi}{\zeta}+\sqrt{-1}\frac{\eta}{\zeta}=z\\ \frac{\xi_{1}}{\zeta_{1}}+\sqrt{-1}\frac{\eta_{1}}{\zeta_{1}}=z\cdot K.\end{array}

Les substitutions TT sont en nombre infini ; les substitutions KK sont donc aussi en nombre infini. On a donc2323 23 Variante : “On a donc un nombre infini de quantités. Soit donc imagin si”. si ξ\xi, η\eta, ζ\zeta ont des valeurs déterminées, un nombre infini de quantités imaginaires zKz\cdot K représentées par un nombre infini de points du plan pseudogéométrique.

(Ces points appartiennent tous au plan pseudogéométrique pourvu que

ξ2+η2-ζ2<0\xi^{2}+\eta^{2}-\zeta^{2}<0 ).

Le résultat que je voulais énoncer est le suivant :

Tous les points zKz\cdot K sont les sommets d’un réseau polygonal obtenu en décomposant le plan pseudogéométrique en polygones pseudogéométriquement égaux entre eux.

Les substitutions K sont celles qui transforment ces polygones les uns dans les autres, ou bien encore comme on le verra plus loin, celles qui reproduisent les fonctions que nous allons définir.

J’en ai dit assez pour faire ressortir les relations intimes et inattendues qui rapprochent l’une de l’autre deux théories en apparence si différentes et je reviens à mon sujet principal.

Généralisation des fonctions thétafuchsiennes.

Supposons qu’on ait décomposé le plan pseudogéométrique en une infinité de polygones P0P_{0}, P1P_{1}, P2P_{2}, …, pseudogéométriquement égaux entre eux.

Soit KiK_{i} le mouvement pseudogéométrique qui permet d’appliquer le polygone PiP_{i} sur le polygone P0P_{0}.

Soit H(z)H(z) une fonction rationnelle quelconque.

Envisageons la série :

Θ(z)=H(zKi)(dzKidz)m\Theta\left(z\right)=\sum H\left({z\cdot K_{i}}\right)\left({\frac{dz\cdot K_{% i}}{dz}}\right)^{m}

mm est un nombre entier et où ii prend toutes les valeurs possibles. Pour démontrer la convergence de la série, nous allons faire voir que la série :

S=mod. H(zki)(dzkidz)mS=\sum\text{mod. }H\left({z\cdot k_{i}}\right)\left({\frac{dz\cdot k_{i}}{dz}}% \right)^{m}

est convergente et nous allons grouper les termes de la manière suivante ; nous poserons :

S=S1+S2++Sn+.S=S_{1}+S_{2}+{\ldots}+S_{n}+{\ldots}.

On aura :

Sn=mod.H(zKi)(dzKidz)mS_{n}=\sum\bmod.H\left({z\cdot K_{i}}\right)\left({\frac{dz\cdot K_{i}}{dz}}% \right)^{m}

Dans cette somme ii prendra toutes les valeurs telles que le polygone PiP_{i} ait un sommet à l’intérieur du cercle qui a pour centre l’origine et pour rayon pseudogéométrique nλ\lambda et n’en ait pas à l’intérieur du cercle qui a pour centre l’origine et pour rayon pseudogéométrique (n-1)λ(n-1)\lambda.

Soit LL la plus grande distance pseudogéométrique de deux points d’un des polygones PP, soit Σ\Sigma la surface pseudogéométrique de ces polygones. Tous les polygones PiP_{i} correspondant à SnS_{n} seront compris dans la couronne circulaire formée par les deux cercles qui ont pour centre l’origine et pour rayons pseudogéométriques (n-1)λ(n-1)\lambda et nλ+Ln\lambda+L.

Conséquence ; le nombre de ces polygones c’est-à-dire le nombre des formes de SrS_{r}est plus petit que la surface de cette couronne divisée par Σ\Sigma, c’est-à-dire que

r[e(n-1)λ(eλ+L-1)+e(1-n)λ(e-λ-L-1)]\frac{r}{\sum}\left[{e^{\left({n-1}\right)\lambda}\left({e^{\lambda+L}-1}% \right)+e^{\left({1-n}\right)\lambda}\left({e^{-\lambda-L}-1}\right)}\right]

ou a fortiori (puisque e-λ-L<1)e^{-\lambda-L}<1) que

re(n-1)λ(eλ+L-1).\begin{array}[]{l}\frac{r}{\sum}e^{(n-1)\lambda}\left({e^{\lambda+L}-1}\right)% .\\ \end{array}

Supposons que zz soit choisi de telle sorte qu’aucun des zKiz\cdot K_{i} ne rende H(zKi)H(z\cdot K_{i}) infini ; on pourra trouver une quantité AA telle que :

mod. H(zKi)<AH(z\cdot K_{i})<A.

Supposons de plus que le polygone P0P_{0} soit celui qui contient l’origine et que zz soit à l’intérieur de ce polygone ; zKiz\cdot K_{i} sera à l’intérieur du polygone PiP_{i\leavevmode\nobreak\ }; d’où

mod. zKi>(n-1)λz\cdot K_{i}>(n-1)\lambda

mod. z<Lz<L

ou d’après une formule établie page 4 :

moddzKidz<(eL+1)2e(n-1)λ(e(n-1)λ+1)2eL,\bmod\frac{dz\cdot K_{i}}{dz}<\frac{\left({e^{L}+1}\right)^{2}e^{\left({n-1}% \right)\lambda}}{\left({e^{\left({n-1}\right)\lambda}+1}\right)^{2}e^{L}},

d’où l’on tire

Sn<Aπ(eλ+L-1)(eL+1)2memL×e(n-1)λ(m+1)(e(n-1)λ+1)2m.S_{n}<A\frac{\pi}{\sum}\frac{\left({e^{\lambda+L}-1}\right)\left({e^{L}+1}% \right)^{2m}}{e^{mL}}\times\frac{e^{(n-1)\lambda(m+1)}}{\left({e^{\left({n-1}% \right)\lambda}+1}\right)^{2m}}.

Il suffit d’examiner ces formules pour voir que :

lim(Sn+1)Sn( pour n=)=eλ(1-m),\lim\frac{\left({S_{n+1}}\right)}{S_{n}}(\text{ pour }n=\infty)=e^{\lambda% \left({1-m}\right)},

et que par conséquent si m>1m>1, la série SS et la série2424 24 Variante : “…la série SS et par conséquent la série …”. Θ(z)\Theta(z) sont convergentes. D’ailleurs cette convergence n’est pas une semi-convergence.

On établit aisément la formule :

Θ(zL)=Θ(z)(dzdzL)m\Theta\left({z\cdot L}\right)=\Theta\left(z\right)\left({\frac{dz}{dz\cdot L}}% \right)^{m}

LL étant l’un des mouvements pseudogéométriques KiK_{i}. Cette formule montre :

1° que la série Θ\Theta(z)z) reste convergente quand zz sort du polygone P0P_{0}.

2° que cette série jouit des mêmes propriétés que les fonctions thétafuchsiennes.

Généralisation des fonctions fuchsiennes

Si l’on divise l’une par l’autre deux de ces fonctions analogues aux fonctions thétafuchsiennes, pourvu que la valeur du nombre entier mm soit la même pour ces deux fonctions, on obtiendra une fonction f(z)f(z) tout à fait analogue aux fonctions fuchsiennes. Cette fonction sera en effet méromorphe dans toute l’étendue du plan pseudogéométrique et elle se reproduira quand on changera zz en zKiz\cdot K_{i} ; KiK_{i} étant le mouvement pseudogéométrique qui permet d’appliquer PiP_{i} sur P0P_{0}.

Cette fonction reprendra donc en chaque point du polygone PiP_{i} la même valeur qu’au point correspondant du polygone P0P_{0}.

Je dis que dans le polygone P0P_{0} son module ne peut passer par un maximum ; ou un minimum à moins d’être infini ou nul ; car si la fonction f(z)f(z) n’est pas infinie, elle est holomorphe et on sait que le module d’une fonction holomorphe ne peut être maximum ou minimum que s’il est nul.

Donc la fonction f(z)f(z) doit devenir nulle et infinie dans l’intérieur de P0P_{0}. Car si elle ne devenait pas infinie par exemple ; son module resterait plus petit qu’une certaine quantité AA dans l’intérieur de P0P_{0} et par conséquent aussi dans l’intérieur des polygones adjacents à P0P_{0} et par conséquent AA serait un maximum de module.

Le même raisonnement s’appliquant à f(z)-αf(z)-\alpha, on conclut que f(z)f(z) peut prendre toutes les valeurs possibles à l’intérieur de P0.P_{0}.

De plus ff(z) ne peut les prendre qu’un nombre fini de fois ; sans quoi cette fonction devrait reprendre la même valeur en des points infiniment rapprochés ce qui n’arrive jamais aux fonctions holomorphes.

Je dis maintenant que f(z)f(z) peut servir à intégrer une équation différentielle linéaire à coefficients algébriques.

Posons en effet :

x=f(z)y1=dfdzy2=zdfdz.x=f(z)\quad y_{1}=\sqrt{\frac{df}{dz}}\quad y_{2}=z\sqrt{\frac{df}{dz}}.

L’équation :

|yy1y2dydxdy1dxdy2dxd2ydx2d2y1dx2d2y2dx2|=0\left|{{\begin{array}[]{*{20}c}y\hfill&{y_{1}}\hfill&{y_{2}}\hfill\\ {\frac{dy}{dx}}\hfill&{\frac{dy_{1}}{dx}}\hfill&{\frac{dy_{2}}{dx}}\hfill\\ {\frac{d^{2}y}{dx^{2}}}\hfill&{\frac{d^{2}y_{1}}{dx^{2}}}\hfill&{\frac{d^{2}y_% {2}}{dx^{2}}}\hfill\\ \end{array}}}\right|=0

a évidemment pour intégrales

y=y1  y=y2.y=y_{1}\qquad y=y_{2}.

Je dis que ses coefficients sont algébriquement en xx.

En effet, on a

y1dy2dx-y2dy1dx=1y1d2y2dx2+y2d2y1dx2=0\begin{array}[]{l}y_{1}\frac{dy_{2}}{dx}-y_{2}\frac{dy_{1}}{dx}=1\\ y_{1}\frac{d^{2}y_{2}}{dx^{2}}+y_{2}\frac{d^{2}y_{1}}{dx^{2}}=0\\ \end{array}

Quant au 3e{}^{\textrm{e}} coefficient :

φ(z)=dy1dxd2y2dx2-dy2dxd2y1dx2\varphi(z)=\frac{dy_{1}}{dx}\frac{d^{2}y_{2}}{dx^{2}}-\frac{dy_{2}}{dx}\frac{d% ^{2}y_{1}}{dx^{2}}

Je dis qu’il est algébrique en xx. En effet il est monodrome en zz ; de plus il ne change pas quand on change zz en zKiz\cdot K_{i}. En effet supposons que

zKi=αz+βγz+δ où αδ-γβ=1.z\cdot K_{i}=\frac{\alpha z+\beta}{\gamma z+\delta}\text{ où }\alpha\delta-% \gamma\beta=1.

On aura, si dfdz=f(z)\frac{df}{dz}=f^{\prime}(z),

f(zKi)=dzKidz=f(z)=f(zKi)1(γz+δ)2,\begin{array}[]{l}f^{\prime}\left({z\cdot K_{i}}\right)=\frac{dz\cdot K_{i}}{% dz}=f^{\prime}(z)=f^{\prime}\left({z\cdot K_{i}}\right)\frac{1}{\left({\gamma z% +\delta}\right)^{2}}\\ \end{array}_{,}

d’où

f(zKi)=f(z)(γz+δ)2.f^{\prime}\left({z\cdot K_{i}}\right)=f^{\prime}(z)\left({\gamma z+\delta}% \right)^{2}.

Supposons qu’on change zz en zKiz\cdot K_{i} de façon que xx, y1y_{1} et y2y_{2} se changent en xKix\cdot K_{i}, y1Kiy_{1}\cdot K_{i}, y2Kiy_{2}\cdot K_{i} ; on aura :

xKi=xy1Ki=y1(γz+δ)=γy2+δy1y2Ki=y2(αz+β)=αy2+βy1dy1KidxKi=γdy2+δdy1dx=γdy2dx+δdy1dxdy2KidxKi=αdy2+βdy1dx=αdy2dx+βdy1dx\begin{array}[]{l}x\cdot K_{i}=x\\ y_{1}K_{i}=y_{1}\left({\gamma z+\delta}\right)=\gamma y_{2}+\delta y_{1}\\ y_{2}K_{i}=y_{2}\left({\alpha z+\beta}\right)=\alpha y_{2}+\beta y_{1}\\ \frac{dy_{1}\cdot K_{i}}{dx\cdot K_{i}}=\frac{\gamma dy_{2}+\delta dy_{1}}{dx}% =\frac{\gamma dy_{2}}{dx}+\delta\frac{dy_{1}}{dx}\\ \frac{dy_{2}\cdot K_{i}}{dx\cdot K_{i}}=\frac{\alpha dy_{2}+\beta dy_{1}}{dx}=% \frac{\alpha dy_{2}}{dx}+\beta\frac{dy_{1}}{dx}\\ \end{array}

et

d2y1KidxKi2=γd2y2dx2+δd2y1dx2d2y2KidxKi2=αd2y2dx2+βd2y1dx2.\begin{array}[]{l}\frac{d^{2}y_{1}\cdot K_{i}}{dx\cdot K_{i}^{2}}=\gamma\frac{% d^{2}y_{2}}{dx^{2}}+\delta\frac{d^{2}y_{1}}{dx^{2}}\\ \frac{d^{2}y_{2}\cdot K_{i}}{dx\cdot K_{i}^{2}}=\alpha\frac{d^{2}y_{2}}{dx^{2}% }+\beta\frac{d^{2}y_{1}}{dx^{2}}.\end{array}

ou enfin :

φ(zKi)=φ(z)(αδ-βγ)=φ(z).\varphi\left({z\cdot K_{i}}\right)=\varphi(z)\left({\alpha\delta-\beta\gamma}% \right)=\varphi(z).

Considérons maintenant φ\varphi comme fonction de ff c’est-à-dire de xx. À chaque valeur de ff correspondent : 1° un nombre fini de valeurs de zz intérieures au polygone P0P_{0} ; soient z1z_{1}z2z_{2}, …, znz_{n} ces valeurs. Ces valeurs donneraient un nombre fini de valeurs de φ\varphi, φ1\varphi_{1}, φ2\varphi_{2}, …, φK\varphi_{K}.

2° une infinité de valeurs de zz extérieures à P0P_{0}. Mais celles de ces valeurs qui sont intérieures à PiP_{i} par exemple sont

z1Ki,z2Ki,z3Ki,,zKKiz_{1}\cdot K_{i},z_{2}\cdot K_{i},z_{3}\cdot K_{i},{\ldots},z_{K}\cdot K_{i}

pour lesquelles φ\varphi reprend les valeurs :

φ1,φ2,,φK.\varphi_{1},\varphi_{2},\ldots,\varphi_{K}.

Donc à chaque valeur de ff correspondent un nombre fini de valeurs de φ\varphi.

De plus toute fonction symétrique de ces KK valeurs de φ\varphi est méromorphe en ff ou en xx dans toute la sphère.

Donc φ\varphi est algébrique en xx.

Donc

A toute décomposition du plan pseudogéométrique en polygones pseudogéométriquement égaux entre eux correspond une fonction analogue aux fonctions fuchsiennes et qui permet d’intégrer une équation linéaire de 2d2^{\textrm{d}} ordre à coefficients algébriques, mais irrationnels.

On voit qu’il y a des fonctions dont la fonction fuchsienne n’est qu’un cas particulier et qui permettent d’intégrer des équations différentielles linéaires algébriques ; mais pour déterminer si une équation donnée est intégrable de la sorte, il faudrait une longue discussion que je me réserve d’entreprendre plus tard, mais dans laquelle je ne veux pas entrer pour le moment.

(Henri Poincaré)

Concours pour le Grand Prix
des Sciences Mathématiques
Devise: Non inultus premor
Troisième supplément

La théorie de la fonction fuchsienne repose toute entière sur la décomposition du plan pseudogéométrique en triangles pseudogéométriquement égaux ou symétriques entre eux.

Ces triangles ont pour côtés des droites pseudogéométriques c’est-à-dire des cercles coupant orthogonalement le cercle fondamental ; ils ont pour angles des parties aliquotes de deux droites ; de plus si deux triangles ABC, ABD par exemple sont contigus le long du côté AB, ils sont pseudogéométriquement symétriques par rapport à ce côté.

Mais deux droites pseudogéométriques peuvent ou bien se couper à l’intérieur du cercle fondamental, ou bien se toucher sur ce cercle, ou bien ne pas se couper. Jusqu’ici nous avons supposé que les trois droites pseudogéométriques qui limitaient notre triangle se coupaient deux à deux à l’intérieur du cercle fondamental de manière à former un triangle fermé ABC. Cette hypothèse n’est nullement nécessaire.

Considérons le triangle R0R_{0} limité 1° par le cercle fondamental, 2° par trois droites pseudogéométriques a0a_{0}, b0b_{0}, c0c_{0} qui ne se coupent pas ou qui se touchent sur le cercle fondamental.

Je dis que nous pourrons toujours décomposer le plan pseudogéométrique, c’est-à-dire l’intérieur du cercle fondamental, en triangles pseudogéométriquement égaux ou symétriques à R0R_{0}.

En effet, quand on a construit le triangle R0R_{0}, on a divisé le cercle fondamental en 4 régions :

L’intérieur de R0R_{0}.
La région comprise entre a0a_{0} et le cercle fondamental.
b0b_{0}
c0c_{0}

Construisons un triangle R1R_{1} symétrique de R0R_{0} par rapport à l’un de ses côtés, par rapport à a0a_{0} par exemple ce triangle aura pour côtés a1a_{1} qui se confondra avec a0a_{0}, b1b_{1} homologue de b0b_{0} et c1c_{1}homologue de c0c_{0}. Il sera tout entier dans la 2e{}^{e} région qu’il subdivisera en trois sous-régions, à savoir :

L’intérieur de R1.R_{1}.
La région comprise entre b1b_{1} et le cercle fondamental.
c1c_{1}

Le cercle fondamental se trouve ainsi divisé en 6 régions :

L’intérieur de R0R_{0}
L’intérieur de R1R_{1}
La région comprise entre b0b_{0} et le cercle fondamental.
c0c_{0}
b1b_{1}
c1c_{1}

Si l’on veut, construisons un nouveau triangle R2R_{2} symétrique de R0R_{0} par rapport à b0b_{0} ou à c0c_{0}, ou de R1R_{1} par rapport à b1b_{1} ou à c1c_{1\leavevmode\nobreak\ } ; supposons par exemple que R2R_{2} soit symétrique de R1R_{1} par rapport à b1b_{1} et ait pour côtés b2b_{2} se confondant avec b1b_{1}, c2c_{2} et a2a_{2\leavevmode\nobreak\ } ; R2R_{2} sera tout entier dans la 5e{}^{\textrm{e}} région et la subdivise en trois sous-régions :

L’intérieur de R2R_{2}.
La région qui s’étend de a2a_{2} au cercle fondamental.
c2c_{2}

On voit qu’on pourrait continuer indéfiniment de la sorte ; chaque fois qu’on ajoute un triangle, il est tout entier compris dans des régions déjà existantes et il la subdivise en trois sous-régions.

On ne sera donc jamais arrêté.

La décomposition est donc toujours possible.

Quand elle sera effectué, on départira les triangles R0R_{0}, R1R_{1} etc. en deux classes.

1° Les triangles R0R_{0}, R1R_{1} etc. qui sont pseudogéométriquement égaux entre eux.

2° Les triangles R0R_{0}^{\prime}, R1R_{1}^{\prime}, etc. qui sont pseudogéométriquement égaux entre eux et symétriques aux premiers.

Je puis toujours supposer qu’on a choisi les valeurs de telle sorte que :

R0R_{0}^{\prime} soit pseudogéométriquement symétrique de R0R_{0} par rapport à a0a_{0}.
R1R_{1}^{\prime} R1R_{1} a1a_{1}.
R2R_{2}^{\prime} R2R_{2} a2a_{2}.

Cela posé, on pourra considérer ce plan pseudogéométrique comme décomposé en quadrilatères

Q0=R0+R0,Q1=R1+R1,Q_{0}=R_{0}+R_{0}^{\prime},\qquad Q_{1}=R_{1}+R_{1}^{\prime},

pseudogéométriquement égaux entre eux.

Nous appellerons, en reprenant nos solutions primitives KiK_{i} l’opération qui change Q0Q_{0} en QiQ_{i}; et nous écrirons

Qi=Q0KiQ_{i}=Q_{0}K_{i}

On sait que KiK_{i} change zz en

aiz+biciz+di,\frac{a_{i}z+b_{i}}{c_{i}z+d_{i}},

aia_{i}, bib_{i}, cic_{i}, did_{i} étant des constantes.

Nous écrirons encore comme précédemment

zKi=aiz+biciz+di.zK_{i}=\frac{a_{i}z+b_{i}}{c_{i}z+d_{i}}.

Fonctions Thétafuchsiennes.

Soit H(z)H(z) une fonction rationnelle donnée de zz ; KK l’une quelconque des opérations KiK_{i} définies plus haut, nous formerons comme précédemment la série suivante :

H(zk)(dzKdz)m,m\sum H\left({z\cdot k}\right)\left({\frac{dz\cdot K}{dz}}\right)^{m},\quad m étant un entier.

Cherchons donc les conditions de convergence de cette série. Nous avons trouvé que si :

modz<ρ  modzK>ρ1moddzkdz-1-ρ121-ρ2.\begin{array}[]{c}\bmod z<\rho\qquad\bmod z\cdot K>\rho_{1}\\ \par\bmod\frac{dz\cdot k}{dz}-\frac{1-\rho_{1}^{2}}{1-\rho^{2}}.\end{array}

Donnons un instant à zz une valeur fixe, choisie de telle sorte que tous les H(zK)H(z\cdot K) restent finis, on pourra poser :

modH(zK)<A  (A une constante)\bmod H(z\cdot K)<A\qquad\text{(}A\text{ une constante)}

On aura donc :

mod[H(zK)(dzKdz)m]<A[1-ρ121-ρ2]m.\bmod\left[{H\left({z\cdot K}\right)\left({\frac{dz\cdot K}{dz}}\right)^{m}}% \right]<A\left[{\frac{1-\rho_{1}^{2}}{1-\rho^{2}}}\right]^{m}.

Soit NN le nombre2525 25 Variante : “NN le maximum des”. des points zKz\cdot K dont le module est plus petit que ρ1\rho_{1} ; les rayons autour de l’un quelconque de ces points zKz\cdot K ; le cercle CC lieu des points dont la distance pseudogéométrique à zKz\cdot K en λ\lambda ; ou si l’on veut le cercle CC qui a pour centre pseudogéométrique zKz\cdot K et pour rayon λ\lambda et choisissons λ\lambda assez petit pour que tous ces cercles ne se coupent pas.

Soit RR le rayon pseudogéométrique du cercle qui a pour centre l’origine et pour rayon géométrique ρ1\rho_{1} ; on aura par définition :

R=L1+ρ11-ρ1.R=L\frac{1+\rho_{1}}{1-\rho_{1}}.

Tous ces cercles CC seront contenus tout entiers à l’intérieur du cercle DD qui a pour centre l’origine et pour rayon pseudogéométrique RλR\lambda. Soit Σ\Sigma leur surface pseudogéométrique ; celle du cercle DD sera :

π(eR+λ+e-R-λ-2)\pi\left({e^{R+\lambda}+e^{-R-\lambda}-2}\right)

On aura donc

N<πΣ(eR+λ+e-R-λ-2).N<\frac{\pi}{\Sigma}(e^{R+\lambda}+e^{-R-\lambda}-2).

Donc, il ne pourra pas y avoir plus de NN termes dont le module soit plus grand que :2626 26 Variante : l’index de ρ2\rho_{2} est barré.

A(1-ρ2)m(1-ρ12)m=A(1-ρ22)m(2eR+e-R+2)m.\frac{A}{\left({1-\rho^{2}}\right)^{m}}\left({1-\rho_{1}^{2}}\right)^{m}=\frac% {A}{\left({1-\rho_{2}^{2}}\right)^{m}}\left({\frac{2}{e^{R}+e^{-R}+2}}\right)^% {m}.

Formons donc les termes de la série proposée dans un ordre tel que les modules de ces termes aillent en décroissant.

Elle s’écrira alors :2727 27 Variante : “u0+u1+u_{0}+u_{1}+\ldots”.

(1)  u1+u2++un+un+1+.u_{1}+u_{2}+{\ldots}+u_{n}+u_{n+1}+{\ldots}.

et on aura :

mod.un+1mod.un.\bmod.u_{n+1}\leq\bmod.u_{n}.

Elle sera convergente et sa somme sera indépendante de l’ordre des termes pourvu que la série

(2)  mod.u1+mod.u2++mod.un+mod.un+1+\bmod.u_{1}+\bmod.u_{2\leavevmode\nobreak\ }+{\ldots}+\bmod.u_{n}+\bmod.u_{n+1% }+{\ldots}.

soit convergente.

Écrivons la série (2) sous la forme suivante :2828 28 Variante : “(modu0+modu1++modun)(\mod u_{0}+\mod u_{1}+\ldots+\mod u_{n})”.

(3)  U1+U2++Up+Up+1+U_{1}+U_{2}+{\ldots}+U_{p}+U_{p+1}+{\ldots}.

Dans cette série U1U_{1} est la somme des termes de la série (1) dont le module est plus grand que 2mA(1-ρ2)m1(e+e-1+2)m\frac{2^{m}A}{\left({1-\rho^{2}}\right)^{m}}\frac{1}{\left({e+e^{-1}+2}\right)% ^{m}}, et en général UnU_{n} est la somme des termes de la série (2) dont le module est compris entre :

2mA(1-ρ2)m1(en+e-n+2)m et 2mA(1-ρ2)m-1(en-1+e-n+1+2)m\frac{2^{m}A}{\left({1-\rho^{2}}\right)^{m}}\frac{1}{\left({e^{n}+e^{-n}+2}% \right)^{m}}\text{ et }\frac{2^{m}A}{\left({1-\rho^{2}}\right)^{m}}-\frac{1}{% \left({e^{n-1}+e^{-n+1}+2}\right)^{m}}

Les termes de la série (3) seront respectivement plus petits que ceux de la série2929 29 Variante : le deuxième terme commence par un Σ\Sigma barré.

(4)  U1+2mA(1-ρ2)mn=1n=1(en+e-n+2)m(en+λ+1+e-n-λ-1-2)πU_{1}+{\frac{2^{m}A}{\left({1-\rho^{2}}\right)^{m}}\sum\limits_{n=1}^{n=\infty% }{\frac{1}{\left({e^{n}+e^{-n}+2}\right)^{m}}}}\left({e^{n+\lambda+1}+e^{-n-% \lambda-1}-2}\right)\pi.

Or cette série est convergente pourvu que m>m> 1.

Donc la série (1) est convergente.

Elle définit une fonction que nous appellerons thétafuchsienne, qui est méromorphe dans toute l’étendue du cercle fondamental, et qui est multipliée par (dzKdz)-m\left({\frac{dz\cdot K}{dz}}\right)^{-m} quand on change zz en zKz\cdot K.

Si l’on divise l’une par l’autre deux fonctions thétafuchsiennes correspondant à une même valeur de mm, on obtient une fonction méromorphe dans toute l’étendue du cercle fondamental, et qui ne change pas quand on change zz en zKz\cdot K.

Cette fonction permet d’intégrer une équation différentielle linéaire à coefficients algébriques, ainsi qu’on le verra plus loin et nous l’appellerons par analogie, fonction fuchsienne.

Le quadrilatère pseudogéométrique Q0Q_{0} est limité 1° par le cercle fondamental ; 2° par 4 arcs de cercle a0a_{0}, b0b_{0}, c0c_{0}, d0d_{0} qui coupent orthogonalement ce cercle et que, conformément à une définition donnée dans un des suppléments précédents, j’appelle droites pseudogéométriques. Formons les cercles A0A_{0}, B0B_{0}, C0C_{0}, D0D_{0} dont font partie les arcs de cercle a0a_{0}, b0b_{0}, c0c_{0}, d0d_{0} ; appelons Q0Q_{0} la partie du plan qui est extérieur à la fois au cercle fondamental et aux quatre cercles A0A_{0}, B0B_{0}, C0C_{0}, D0D_{0}. Les points de Q0Q_{0} seront ceux qui ont même argument que les points de Q0Q_{0} et module inverse.

Appelons de même QiQ_{i}’ la région occupée par les points qui ont même argument que ceux de QiQ_{i} et module inverse. Nous aurons :

Qi=Q0Ki.Q_{i}^{\prime}=Q_{0}K_{i}.

Nous avons fait voir que la série thétafuchsienne est convergente toutes les fois que zz est à l’intérieur de Q0Q_{0}, de Q1Q_{1}, etc. ou de QiQ_{i\leavevmode\nobreak\ }; nous démontrerions de la même façon (en changeant très peu de choses au raisonnement) que la série thétafuchsienne est encore convergente toutes les fois que zz est à l’intérieur de Q0Q_{0}’, de Q1Q_{1}’, etc. ou de QiQ_{i}’ ; ou bien toutes les fois que zz est sur l’arc de cercle fondamental qui sert de frontière commune à Q0Q_{0} et Q0Q_{0}’, ou bien à Q1Q_{1} et Q1Q_{1}’, etc. ou bien à QiQ_{i} et QiQ_{i}’. Il suit de là que la fonction thétafuchsienne et par conséquent la fonction fuchsienne est méromorphe dans toute la région Q0+Q0Q_{0}+Q_{0}’ et n’y présente aucun point singulier essentiel. Elle ne peut donc reprendre la même valeur qu’un nombre fini de fois à l’intérieur de cette région.

Cela posé soit F(z)F(z) la fonction fuchsienne ; nous écrirons comme nous l’avons toujours fait jusqu’ici :

x=F(z)y1=dPdzy2=dFdz.x=F(z)\quad y_{1}=\sqrt{\frac{dP}{dz}}\quad y_{2}=\sqrt{\frac{dF}{dz}}.

Les deux fonctions y1y_{1} et y2y_{2} satisferont à une équation différentielle de la forme :

d2ydx2+P1dydx+Poy=0.\frac{d^{2}y}{dx^{2}}+P_{1}\frac{dy}{dx}+P_{o}y=0.

On reconnaîtrait aisément que P1P_{1} = 0. Considérons P0P_{0} comme une fonction de xx, nous reconnaîtrons que cette fonction n’est susceptible que d’un nombre fini de valeurs pour chaque valeur de xx ; que de plus elle ne présente aucun point singulier essentiel. C’est donc une fonction algébrique de xx.

Ce raisonnement ne serait pas applicable dans le cas où deux des cercles A0A_{0}, B0B_{0}, C0C_{0}, D0D_{0}, viendraient à se toucher sur le cercle fondamental ; car le point de contact serait un point singulier essentiel. Le résultat serait encore vrai, je ne veux pas le démontrer ici, car ce n’est là qu’un cas particulier et la démonstration est très longue.

Je retiendrai cependant un cas particulier extrêmement important ; c’est celui où A0A_{0}B0B_{0}C0C_{0}D0D_{0} sont tangents deux à deux sur le cercle fondamental. On se rappelle que dans le premier supplément, j’ai traité le cas où les cercles A0A_{0}, B0B_{0}, C0C_{0}, D0D_{0} se coupaient à l’intérieur du cercle fondamental et de telle façon que :

\quad angle de A0A_{0} et de B0=2παB_{0}=\frac{2\pi}{\alpha}

\quad angle de C0C_{0} et de D0=2πβD_{0}=\frac{2\pi}{\beta}

\quad angle de B0B_{0} et de C0C_{0} = angle de A0A_{0} et de D0=πγD_{0}=\frac{\pi}{\gamma}

α\alpha, β\beta et γ\gamma étant des entiers.

Dans ce cas le plan pseudogéométrique se trouvait décomposé en une infinité de quadrilatères pseudogéométriques Q0Q_{0}, Q1Q_{1}, …, QiQ_{i} de telle façon que

Qi=Q0Ki.Q_{i}=Q_{0}K_{i}.

Il existait alors une fonction f(z)f(z) méromorphe dans toute l’étendue du cercle fondamental, n’étant altérée par aucune des opérations KiK_{i} , et ne prenant à l’intérieur de chacun des quadrilatères QiQ_{i} qu’une seule fois une valeur donnée.

C’était la fonction fuchsienne proprement dite.

Si l’on posait

x=f(z)  y1=dfdz  y2=zdfdzx=f(z)\qquad y_{1}=\sqrt{\frac{df}{dz}}\qquad y_{2}=z\sqrt{\frac{df}{dz}}

y1y_{1} et y2y_{2} satisfaisaient à une équation différentielle linéaire :

(2)   d2ydx2+Poy=0\frac{d^{2}y}{dx^{2}}+P_{o}y=0.

P0P_{0} étant une fonction rationnelle de xx.

Faisons tendre maintenant les nombres entiers α\alpha, β\beta, γ\gamma vers l’infini. À la limite les cercles A0A_{0}, B0B_{0}, C0C_{0}, D0D_{0} viendront se toucher deux à deux sur le cercle fondamental, de telle sorte que nous tomberons dans le cas particulier que nous nous proposons d’étudier. À la limite l’équation (2) sera celle qui lie au carré du module les périodes d’une fonction elliptique multipliées par une certaine fonction algébrique du carré de ce module.

Supposons qu’à la limite de l’équation (2) s’écrive :

(2bis)  d2ydx2=H0y.(2bis)\qquad\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=H_{0}y.

Cette équation aura deux intégrales dont le rapport zz sera lié à xx par une relation que l’on pourra mettre sous la forme :

x=φ(z).x=\varphi(z).

On reconnaîtrait aisément :3030 30 Variante : “…aisément : 1° que φ(z)\varphi(z) est méromorphe dans le cercle fondamental ; 2° que φ(z)=limf(z)\varphi(z)=\lim f(z) pour α=β=γ=\alpha=\beta=\gamma=\infty”.

1° que le carré du module de la fonction elliptique qui a pour périodes KK et KK^{\prime} est égal à :

φ[aK+bKcK+dK],\varphi\left[{\frac{aK+bK^{\prime}}{cK+dK^{\prime}}}\right],

aa, bb, cc, dd étant des constantes faciles à déterminer.

2° que φ(z)\varphi(z) est méromorphe dans le cercle fondamental (c’est une conséquences de ce qui précède et des travaux de M. Hermite sur le module considéré comme fonction des périodes).

3° que φ(z)\varphi(z) = lim f(z)f(z) quand α\alpha, β\beta, γ\gamma tendent vers l’infini.

4° que φ(z)\varphi(z) ne peut prendre qu’une seule fois une même valeur à l’intérieur du quadrilatère Q0Q_{0}.

5° que φ(z)\varphi(z) prend à l’intérieur du quadrilatère Q0Q_{0} toutes les valeurs possibles sauf 0, 1 et \infty si l’on suppose pour fixer les idées que H0H_{0} devient infini pour x=0x=0 et x=1x=1.

La transcendante qui exprime le carré du module en fonction du rapport des périodes est donc un cas particulier des fonctions fuchsiennes.

Nous allons voir maintenant quel parti on peut tirer de cette fonction φ(z)\varphi(z) pour l’intégration d’une équation différentielle linéaire quelconque ne présentant que deux points singuliers à distance finie.

Remarquons d’abord que φ(z)\varphi(z) ne devenant jamais infinie à l’intérieur ducercle fondamental est holomorphe à l’intérieur de ce cercle et peut par conséquent être représentée par une série ordonnée suivant les puissances croissantes de zz et convergente dans toute l’étendue du plan pseudogéométrique. Il est aisé d’ailleurs de calculer les coefficients de cette série.

Soit maintenant

(3) Xpdpydxp+Xp-1dp-1ydxp-1++X1dydx+X0y=0\qquad X_{p}\frac{d^{p}y}{dx^{p}}+X_{p-1}\frac{d^{p-1}y}{dx^{p-1}}+{\ldots}+X_% {1}\frac{dy}{dx}+X_{0}y=0

une équation différentielle linéaire ; je suppose que X0X_{0}, X1X_{1}, etc. sont des polynômes en xx ; et que l’équation ne présente que deux points singuliers à distance finie, de telle sorte que :

Xp=(x-a)α(x-b)β.X_{p}=(x-a)^{\alpha}(x-b)^{\beta}.

Je puis toujours supposer

a=0  b=1a=0\qquad b=1

d’où

Xp=xα(n-1)β.X_{p}=x^{\alpha}(n-1)^{\beta}.

Car si l’on n’avait pas a=0a=0, b=1b=1, il suffirait d’un changement très simple de variable pour lever la difficulté.

Soient

y1y_{1}, y2y_{2}, …, ypy_{p}

les intégrales de l’équation (3).

Quand xx décrira un contour fermé n’enveloppant ni le point xx = 0, ni le point xx = 1, ces fonctions reviendront à leur valeur initiale ; si au contraire xx décrit un contour fermé enveloppant l’un ou l’autre de ces points ou tous deux, les valeurs finales de ces fonctions sont des fonctions linéaires des valeurs initiales. Appelons CiC_{i} le contour décrit par xx. Supposons que zz représente le rapport des intégrales de l’équation (2 bis) et se change en zKiz\cdot K_{i} quand xx décrit le contour CiC_{i}. L’opération KiK_{i} sera l’une de celles qui n’altèrent pas φ(z)\varphi(z) ; ce sera par exemple celle qui change le quadrilatère pseudogéométrique Q0Q_{0} en QiQ_{i}. Supposons que quand xx décrit le contour CiC_{i} ; y1y_{1}, y2y_{2}, …, ypy_{p} se changent en :

αi.1.1y1+αi.1.2y2+\alpha_{i.1.1}y_{1}+\alpha_{i.1.2}y_{2}+………….+αi.1.pyp+\alpha_{i.1.p}y_{p}

αi.2.1y1+αi.2.2y2+\alpha_{i.2.1}y_{1}+\alpha_{i.2.2}y_{2}+………….+αi.2.pyp+\alpha_{i.2.p}y_{p}

…………………………………………………

αi.p.1y1+αi.p.2y2+\alpha_{i.p.1}y_{1}+\alpha_{i.p.2}y_{2}+………….+αi.p.pyp+\alpha_{i.p.p}y_{p}

Pour abréger, nous appellerons LiL_{i} l’opération qui consiste à faire ce changement, et nous dirons que quand xx décrit le conto