L’Opportunisme scientifique, publié par L. Rollet, Basel: Birkhäuser
Online version of the book published by Birkhäuser in 2002. All rights reserved. Not for redistribution.
Table des matières
Préface
Henri Poincaré’s Last Philosophical Book
Introduction
According to commentators, scientists and historians of science, Henri
Poincaré was probably one of the last universal scientists. His
ability to embrace various fields of scientific knowledge and to
obtain significant results in each of them can be considered, without
any doubt, as a distinctive mark of genius. Poincaré managed to win a
double recognition: on the one hand, his mathematical works were
accepted and given an ovation by the scientific community; on the
other hand, he was also in favor with the general public. Indeed, the
scientists and the general public did not necessarily applaud the same
person. For the first group, Poincaré was the creator of fuchsian
functions, the author of Les méthodes nouvelles de la
mécanique céleste. For the second group he was not only a top-level
mathematician but also a penetrating philosopher of science whose
reflections had permitted him to enter the Académie
Française in 1908.
This second kind of popularity is explained by the publication of
three major philosophical books: La science et l’hypothèse
(1902), La valeur de la science (1905) and Science et
méthode (1908).11
1
Respectively in English: Science
and Hypothesis, The Value of Science and Science
and Method. These books had not been explicitly written for the
occasion; they were in fact constituted of various articles that had
been previously published in scientific, philosophical or scholarly
reviews. The three books were published by Flammarion Editions in the
Bibliothèque de Philosophie Scientifique, which was directed
by Gustave Le Bon. They achieved a great success and rapidly became
philosophical bestsellers: in 1925, 40.000 copies of La
science et l’hypothèse had been printed (32.000 for La
valeur de la science and 22.000 for Science et
méthode).22
2
These statistics come from a 1925 advertisement
of Flammarion Editions. According to Benoît Marpeau, who studied the
account books of the Bibliothèque de Philosophie Scientifique, in
1931, 43.750 copies of La science et l’hypothèse had been
printed. He writes : “Le tirage initial de La science
et l’hypothèse (1902) est très prudent – 1650 exemplaires – mais est épuisé
en quelques semaines. Le nombre de rééditions, de 1100 puis à
partir de 1906 en général de 2200, s’élève à 12 en 1914 pour un
total de 20.900. Pour les autres ouvrages, en 1914, les niveaux
atteints sont d’environ 21,000 pour La valeur de la science
(1906) [sic], de 12,100 pour Science et méthode
(1908), et de 7700 pour Dernières pensées, ce dernier tiré
initialement en 1913 à 5500, retiré la même année à 2200. Au total,
environ 61.700 exemplaires ont été imprimés entre 1902 et 1913, la
plupart déjà vendus puisque les rééditions postérieures sont
proches”. Benoît Marpeau, Gustave Le Bon, parcours d’un
intellectuel 1841-1931, Paris, CNRS Éditions, 2000,
pp. 190-191. Note that these figures only concern the French
editions of the books. In 1912, they had already been translated
into most European languages and were distributed all over the
world : for instance, in 1910 one could find German, English,
Spanish, Swedish, Hungarian and Japanese editions of La
science et l’hypothèse (cf. annex p. 167). Poincaré died in
1912 and a fourth volume of his philosophical works was then
posthumously published by his heirs as Dernières pensées
(1913). Although Poincaré did not directly compose it, this book also
became a bestseller (16.000 copies in 1925). L’opportunisme
scientifique was intended to be the fifth (and final) volume of
Poincaré’s philosophical writings. Louis Rougier had elaborated the
project, with the collaboration of Gustave Le Bon, and the
recommendation of Émile Boutroux and his son Pierre. Because of the
reservations of Poincaré’s family, this book was never published and
Dernières pensées
remained Poincaré’s last philosophical book.
Nevertheless Poincaré’s correspondence – which is kept in the
Poincaré Archives at Nancy 2 University – contains a large amount of
documents concerning the project, its justification and the
discussions between Louis Rougier and the mathematician’s heirs. This
preface aims at restoring this episode, which gives some crucial
information about the editorial practices of Poincaré and about the
posterity of his philosophical thinking.33
3
In a more precise
way, the postscript of the book (p. 149) will be concerned with the
relationships between Poincaré and Gustave Le Bon within
Flammarion’s Bibliothèque de Philosophie Scientifique.
History of the project
Around 1919, Gustave Le Bon wrote a letter to Poincaré’s wife. As the director of the
Bibliothèque de Philosophie Scientifique at Flammarion, he asked her for the
permission to publish a new posthumous volume. Apparently, the project
did not come from him but from Louis Rougier, a young philosopher who was at that time
professor of philosophy in the secondary school of Algiers. According
to Le Bon, Rougier had
noticed that several articles of Poincaré could constitute a new
volume for this collection. He had conversed with Émile Boutroux and
his son Pierre about this project and they had agreed on the necessity
of the publication. Émile Boutroux was Poincaré’s brother-in-law (he had married
Poincaré’s sister, Aline, in 1876). He was one of the most prominent
French philosophers of the time and his philosophy of contingency had
exerted a profound influence over the formulation of Poincaré’s
conventionalism. Louis Rougier was professeur agrégé and was
about to publish his doctoral thesis about Poincaré’s geometrical
philosophy.44
4
Louis Rougier, La philosophie géométrique
d’Henri Poincaré, Paris, Alcan, 1920. Rougier was born in Lyon in 1889. He was
professeur agrégé and Docteur ès Lettres. During
his career, he was professor in the university of Besançon and at
the Royal University of Cairo. When the Second World War began, he
exhibited his sympathy towards the Petainist government and then
chose exile in England (in 1941 he was visiting professor at Saint
John College in London) and then to the United States: from 1941
to 1943 he was associate professor at the New School for Social
Research in New-York. This institution was created during the war
and intended to welcome exiled European intellectuals (for more
details, see [Chaubet / Loyer 2000]). He introduced
in France the ideas of the Vienna Circle and wrote numerous books
covering different fields (history, philosophy, politics). His
most important works are Les paralogismes du rationalisme
(1920) and Traité de la connaissance (1955). He obtained
the Prix de l’Académie des Sciences morales et politiques
(1968) and the Prix de l’Académie Française
(1971). He died in 1982.
Gustave Le Bon joined to his letter the table of contents for the
book. It was foreseen that this volume would be entitled
L’opportunisme scientifique : – in reference to Poincaré’s conventionalist
conceptions – and that it would be divided into three
parts: 1°“les
conventions géométriques”,
2°“les approximations
de la mécanique céleste” and
3°“problèmes
scientifiques actuels”. Rougier’s aim was to assemble in a single
book a set of relatively heteroclite articles that had become rare or
untraceable: some of them were very technical and made an extensive
usage of mathematical formalism (in particular the note concerning non
Euclidean geometry from Eugène Rouché and Charles de Comberousse’s
Traité de géométrie); other articles fell within the field of
scientific popularization (“Le problème
des trois corps” or
“La télégraphie sans
fil”). In other words, Rougier’s project was to mix within the same
book philosophical, scientific and popularization works; it was also
to put on the same level ancient (indeed sometimes out of
date) and more recent publications.
This project seemed artificial to Louise Poincaré and she formulated
some serious reservations against it. This lack of
enthusiasm – although this book was supposed to honor
the memory of her husband – stemmed from two reasons:
first, she thought that Émile Boutroux had pronounced himself in favor
of the project too quickly, without even having any precise
information about it. Secondly, she felt afraid that Poincaré’s name had become, in the
course of years, a pretext for subtle editorial and commercial
operations aiming at profitability. It was consequently with the
concern to avoid any commercial harnessing that she asked Jeanne and
Léon Daum to examine the project closely in order to evaluate its
scientific legitimacy.55
5
Jeanne Poincaré was born in
1887 and was the eldest daughter of Poincaré (Yvonne, Henriette
and Léon Poincaré were respectively born in 1889, 1891 and
1893). She married Léon Daum in
1913. Daum was born in 1887 in
Nancy and came from a well-known family of glass artists who
exerted a notable influence on the art nouveau movement
(the so-called École de Nancy). After his studies at the
École polytechnique he integrated the prestigious
École des mines and then began his career as a mining
engineer and administrator. He was thus successively departmental
head in the mines of Morocco (1913) and the Sarre (1919). In 1927
he became the general director of the Compagnie des forges
et aciéries de la marine et d’Homécourt. After the Second World
War, he was administrator of the Union Sidérurgique
Lorraine, of Gisors smelting furnaces, of Saint-Étienne
steelworks and of the Credit
National. Daum ended his career as a member of the high
authority in the Communauté
Européenne du Charbon et de l’Acier (1952-1959).
Léon Daum seriously worked away at
this job, analyzing each item of the planned table of contents. This
study led him to write a very long note (more than fifteen pages) in
which he affirmed, in the name of Poincaré’s successors, the
scientific inopportuneness of this book. In the letter that
he joined with this note (see page xii), Daum explained to Rougier that this book was not adapted to a
philosophical collection such as the Bibliothèque de
Philosophie Scientifique; according to
him, the articles in question did not contain any of the innovative
ideas, any of the new conceptions, which had assured the success of
Poincaré’s
philosophical writings; on the contrary, most of them proposed small
precisions or variations of expression deprived of philosophical
interest. Moreover, the publication of the mathematician’s collected
works by the Académie des sciences was on the
way and made this project of secondary importance.66
6
The publication of Poincaré’s collected scientific works
(Œuvres scientifiques de Henri
Poincaré) was at that time supervised by Gaston
Julia and it was finally
achieved in 1956. Unfortunately, the eleven volumes of this
edition do not gather together all of Poincaré’s
writings and consequently present numerous deficiencies with
regard to
his production as a philosopher and a science popularizer.
For all these reasons, Louis Rougier and Gustave Le Bon’s project failed. Of course, Rougier
answered Daum’s letter and sent a very long argumentative
note to him, but obviously without hope. At the very most he contented
himself with indicating that, in his conception, every variation of
expression, repetition or precision was of great interest as far as it
contributed to a global understanding of Poincaré Poinc’s
thought. Finally, his last resort was to insist on the commercial
dimension of the project: experience had shown that Poincaré Poinc was an
author who sold well, even though no more than a thousand of his
readers were able to understand his writings.77
7
Cf. the
end of
the letter of Rougier’s letter to Léon Daum, p. xviii.
Rather than to compose a new book which would have had only a vague
scientific justification, Daum
suggested the addition of several of the articles proposed by Rougier
in an appendix to a new
edition of Dernières pensées. It was finally done in
1926. Besides the nine original articles, the new edition included an
appendix which was constituted of four articles :
“Les fondements de la géométrie” (1902),
“Cournot et les principes du calcul
infinitésimal” (1905),
“Le libre examen en matière
scientifique” (1909), and
“Le démon d’Arrhénius”
(1911).88
8
The 1963 Flammarion edition of
Dernières pensées contained the following
foreword (probably written by Fernand Braudel, the director of the Nouvelle
Bibliothèque Scientifique):
“[…] la première édition ne
comprenait que neuf textes composés entre 1909 et 1912. En 1926
déjà, pour répondre à diverses demandes, quelques autres textes
plus anciens que Henri Poincaré aurait eu la possibilité de faire
figurer dans ses précédents volumes de la collection G. Lebon
(sic), ont été insérés dans une seconde
édition. Toutefois, la famille du grand savant a demandé que ces
nouveaux textes, qui n’ont plus le même caractère, soient
nettement séparés de ceux qui constituent véritablement les
“dernières
pensées” de Henri Poincaré, et soient réunis en un
appendice en fin de
volume”. Strangely, in this
Flammarion new edition the order of the chapters was completely
changed.
Unpublished documents about Rougier’s project
The documents that we present in this section come from the microfilms
of Poincaré’s scientific correspondence.99
9
Arthur
Miller microfilmed this correspondence during the 1970’s.
A copy of these microfilms is kept in the Henri-Poincaré Archives. They consist
of a set of mixed-up fragmentary texts, drafts, notes and letter
copies (approximately thirty leaves). Most of the documents are
undated and an important work of reconstruction was necessary
in order to propose a correct and chronological transcription.
Because of the diversity and heterogeneity of the documents we
had to make several editorial choices. The undated papers are
indicated by [n. d.]. Spelling mistakes were corrected and the
largest part of the abbreviations was suppressed with the intention
of allowing a more fluid reading. We occasionally added in square
brackets [ ] some precisions, which might be helpful for
the understanding of some passages. We also systematically suppressed
the contractions of first names and surnames (for instance “H.
P.” became “Henri Poincaré
”). Illegible
passages are indicated by this convention {ill.}.
The notes and comments added by the writers of the documents
are given in footnotes indicated by *. On the contrary, numbered
footnotes refer to editorial comments about the documents themselves.
Almost all documents are drafts and thus contain crossed
out words, sentences or paragraphs ; the erased passages
that might be of interest are indicated in footnotes.
Louise Poincaré to Jeanne and Léon Daum
This document is the draft of a letter sent by Louise Poincaré to her eldest daughter Jeanne and her husband Léon Daum. It contains two essential papers: on the one hand, a copy of Gustave Le Bon’s letter concerning Rougier’s project; on the other hand, a copy of the planned table of contents for L’opportunisme scientifique. It is this document that guided the preparation of the present edition.
[n.d.]1010 10 Summer 1919.
Titre proposé : L’Opportunisme Scientifique
Livre I
Les Conventions Géométriques
1 On the Foundations of Geometry (The Monist 1898 p. 4-48 –
Chicago).
2 Fondements de la Géométrie (analyse du mémoire de David
Hilbert
: Grundlagen der Geometrie), Journal
des Savants 1902 et Acta Mathematica 1912.1111
11
The
1902 article and the article published in the Acta mathematica
were quite different. Did Rougier and
Le Bon want to publish the two versions
of this text? It is quite difficult to decide. For more details
concerning this question, see pp. xiii and xix.
3 Note de la 7 édition du Traité de géométrie de
M.M. Rouché et Comberousse (Gauthier-Villars).
Livre II
Les Approximations de la Mécanique Céleste
1 Préface des Hypothèses Cosmogoniques (Hermann).
2 Sur la Stabilité du Système Solaire, Revue scientifique
14 mai 1898).
3 Le Problème des Trois Corps (Revue générale des sciences
15 janvier 1895).1212
12
In fact this article was not published
in the Revue générale des sciences pures et appliquées
in 1895 but in 1891 (cf. p. xxi).
4 Conférence sur les Comètes (Bulletin de la Société
Industrielle de Mulhouse 1910).
5 Le démon d’Arrhénius – Hommage à Louis Olivier, Paris, 26 7bre 1911 p. 281-287.
Livre III
Problèmes scientifiques actuels
ou Questions scientifiques ou Miscellanées
1 Cournot et les Principes du Calcul
Infinitésimal (Revue de Métaphysique et de Morale 1905
2 La Lumière et l’Électricité d’après Maxwell
et Hertz
(Annuaire Bureau Longitudes,
1894, Revue Scientifique 27 janvier 1894).
3 La télégraphie sans fil – Journal de l’Université,
des Annales. Paris 25 avril 1909.
4 Le libre examen en Matière Scientifique (Bruxelles m
Weissenbach 1910).
(350 pages environ)
Copie de la lettre de Gustave Le Bon.
Madame, M. Émile Boutroux
et M. Pierre Boutroux
m’ont envoyé un jeune professeur
M. Rougier
qui me signale un nombre assez important
d’articles divers de M. Henri Poincaré
dont ci-joint la liste. D’après
l’avis de MM. Boutroux
qui est aussi le mien, ces articles
pourraient faire un nouveau volume. Je viens vous demander si
vous n’y voyez pas d’inconvénient.
Le plus important de ces articles est celui que j’ai mis en tête
de la liste. Il est malheureusement en anglais et si vous n’avez
pas le manuscrit original je serai obligé de le faire retraduire
en français. Je vous demanderai également si vous possédez
1° le n° de mai 1902 du Journal des
Savants contenant l’analyse du Mémoire de David Hilbert
sous le titre de Fondements de la
Géométrie. 2° le n° des Acta
Mathematica de 1912 contenant le rapport de Henri Poincaré
sur le prix Lobatchevsky
attribué à
M. David Hilbert. 3° l’opuscule intitulé Le
Démon d’Arrhénius.
Nous tâcherions si vous n’avez pas ces diverses publications
de les faire recopier dans une bibliothèque. Mais je ne publierai
ce volume, qui ne peut qu’ajouter à la Gloire de votre illustre
mari, seulement dans le cas où vous m’y autoriseriez. Il serait
nécessaire que le volume ne parût pas trop tard et nous n’aurions
pas trop de deux ou trois mois pour faire les recherches nécessaires.
Certains journaux : The Monist ont paru à Chicago.
Signé Gustave Le Bon
Ma chérie, mon cher Léon. L’époque est bien mal choisie pour
jeter sur le tapis une idée semblable. Je ne sais pas bien
de loin ce que nous avons ou non des publications que demande
Le Bon1313
13
The MS features the marginal note: “Que
te rappelles-tu à son sujet ?”., mais
je suppose que ce qu’il veut en ce moment c’est l’autorisation
en principe de publier un nouveau volume.
Qu’en pensez-vous ? Est-ce vrai que c’est l’avis des Boutroux
? En tous cas Émile
n’a pas d’opinion réfléchie ;
même s’il a dit un mot favorable c’est sans bien savoir au juste
de quoi il s’agissait.
Tu vois Jeanne que la Conférence de Bruxelles reparaît.1414
14
“Le
libre examen en matière scientifique”, 1909.
Pourrait-on lui supprimer quelques phrases du début qui sont
toutes de circonstances et empruntent au milieu un ton qui n’était
pas habituel à ton cher papa. Pour les autres propositions
je me demande surtout si Hermann
verra d’un bon œil publier
ailleurs la préface des Hypothèses [Cosmogoniques]
et d’une manière plus générale je me demande si, aller
rechercher tous ces articles sans liens entre eux et dont plusieurs
anciens ont été peut-être dépassés par de plus récents,
n’est pas surtout une entreprise commerciale.
Ils se mettent tous à vouloir exploiter cette chère grande
figure. Les artistes, les auteurs chacun tire à soi ;
trop heureux serons-nous, si on ne nous le défigure pas.
Guccia
m’annonce l’envoi de la
brochure consacrée à ton papa. 1 exemplaire séparé pour
moi – 100 brochures à distribuer. Malheureusement ces
envois ont dû arriver avant le départ de [1 mot illisible] Brangaine
et avoir été remontés à l’appartement.1515
15
The MS features
the marginal note: “(J’écris sous la lampe électrique
qui m’aveugle. Je croyais d’abord faire tenir les copies sur une
seule feuille et écrire ma lettre sur un papier ordinaire.
Je m’excuse)”. Les concierges du 63 ont bien
nos clefs de l’escalier de service, mais sous enveloppe comme
nous faisons maintenant et je recule à leur demander de pénétrer
chez nous pour m’envoyer la brochure qui m’est destinée. J’attendrai
donc le retour, mais si vous allez à Paris avant ce moment
vous pourrez voir pour vous si elle est intéressante et même
me l’envoyer après l’avoir lue, si cela en vaut encore la peine.
La saison sera dure ici peut-être avant la fin du mois ;
tout dépend du temps.
Examinez ce que vous pouvez pour Gustave Le Bon1616 16 The MS features the marginal note: “J’écris à Pierre Boutroux”. et donne-moi votre avis ma chère Jeanne avant que je lui réponde. Il a dû aller à la maison avant de m’écrire ; l’adresse à La [1 mot illisible] est de sa main sans rature ; à moins que ce ne soit les Boutroux qui la lui aient donnée. Je vous embrasse de cœur.
Louise Henri Poincaré
Louis Rougier to Louise Poincaré
This letter of Louis Rougier was sent to Louise Poincaré. It was probably the answer to a forgotten letter written by Poincaré’s wife to Gustave Le Bon. Judging from its content, it is clear that this editorial project did not fill Louise Poincaré with enthusiasm. Rougier thus endeavored to show that the articles proposed for this new book would not necessarily duplicate those that had already been printed in the Bibliothèque de Philosophie Scientifique.
Val S [1 mot illisible], 20 août 1919.
Madame,
Mr Gustave Le Bon me fait parvenir votre lettre. Permettez-moi de vous faire respectueusement remarquer que l’article du Monist est :
1° original (cela résulte des 1ères lignes
et de la note du traducteur) ;
2° postérieur aux articles sur la géométrie
reproduits dans Science et hypothèse
de 5 ou 6 ans ;
3° sauf certaines répétitions forcées et telles
qu’Henri Poincaré
ne les excluait pas dans
ses ouvrages de philosophie scientifique précédents, il ne
fait pas double emploi avec les articles de Science et Hypothèse, Valeur de
la Science, Science et Méthode
et les
complète sur maints points (cela résulte des 1ères lignes
de l’article et de sa lecture).
Les autres articles proposés ne font pas davantage double emploi
avec ceux précédemment réunis en volume. Enfin la Conférence
sur la Télégraphie sans fil pourrait être remplacée par
un Discours à l’École Polytechnique (de 1910 je crois) sur
la Nécessité de la Culture Scientifique. Cela ferait encore
un volume de 350 p environ.
Veuillez croire, Madame, que je suis votre tout dévoué.
Louis Rougier
Lyon 26 place Bellecour.
Léon Daum
to Louis Rougier
The following text is the draft of a letter sent by Léon Daum to Louis Rougier. In this document, Daum informed Rougier that his family rejected his editorial project. This letter was accompanied by a very long note that precisely explained the motivations of this refusal (cf. next document). The original document contained numerous crossed out passages, abbreviations, spelling and accentuation mistakes; we have tried to reconstitute a clear and legible text.
[n. d.]
Monsieur,
Madame Henri Poincaré, ma belle-mère, nous a fait
part à ma femme et à moi du projet que vous avez soumis à
M. Gustave Le Bon
au sujet de la publication d’un nouveau
volume d’Henri Poincaré.
Nous avons examiné avec soin les divers articles que vous avez
signalé et vous trouverez avec cette lettre une note résumant
nos observations ; cette étude n’a fait que confirmer
l’idée a priori que nous avions, à savoir qu’après les
“Dernières pensées” il
n’était pas possible de publier un nouveau volume dans la même
collection. Les Dernières pensées
ont rassemblé les
articles ou conférences postérieurs à Science et Méthode
, que Henri Poincaré
aurait sans doute publié
lui-même par la suite – Le volume que vous projetez
aurait un caractère bien différent.1717
17
Crossed out text: “en
reproduisant des articles généralement anciens, dont l’intérêt
n’est pas aussi actuel et philosophique que le public de la collection
pourrait espérer”.
Sur la question de fond elle-même vous reconnaîtrez sans
doute, Monsieur, que ces articles apportent, non pas les vues
d’Henri Poincaré
sur des questions nouvelles,
mais certaines précisions de détail, des variations d’expression
de théories développées déjà {ill.} ; ceux
qui connaissent l’œuvre d’Henri Poincaré
avec assez de compétence
pour tirer parti de ce que cette publication ajouterait sont
trop peu nombreux pour faire fléchir les raisons que je vous
disais tout à l’heure.
Certains articles qui ne se trouvent pas aisément dans les
bibliothèques {ill.} seront sans doute publiés dans l’édition
intégrale que l’Académie des sciences a entreprise –
c’est là que les chercheurs pourront les retrouver.
Enfin, il sera probablement possible d’ajouter à une édition
nouvelle des Dernières Pensées.
Je souhaite, Monsieur, que vous ne voyiez dans cette lettre que
l’intérêt que nous avons pris à la proposition que vous
avez faite, et notre reconnaissance grande pour le souci que
vous avez d’une mémoire chère.
Je vous prie de croire monsieur à mes sentiments les plus dévoués.
Note from Léon Daum to Louis Rougier
We present here the drafts of the note that probably accompanied Daum’s previous letter to Rougier. This note was a very long sales leaflet which extensively criticized each item of the table of contents proposed by Rougier.
[n. d.]1818 18 Crossed out text: “1° Il nous paraît difficile de publier un nouveau volume de philosophie scientifique après Dernières Pensées; ce titre même semble indiquer que ce volume est le dernier. Pour justifier cela il faudrait que la publication des articles proposés s’imposât [1 mot illisible] que l’étude attentive des articles proposés ne nous a pas paru fournir”.
Il est vrai que Henri Poincaré ne craignait pas les redites
quand il s’agissait d’affirmer plus fortement sa pensée ;
elles nous donnent l’évolution de ses idées sur le même
sujet ; si nous retrouvons les mêmes formules et les
mêmes comparaisons, cela nous aide au contraire à le suivre ;
et de même nous n’avons pas cherché à les éviter dans Dernières
Pensées
parce que nous n’y avons
publié que des articles ou des Conférences postérieurs
à la publication de Science et Méthode1919
19
Another
formulation of this passage can be found on a draft of
the microfilm :
Il nous paraît difficile
de publier un nouveau volume de philosophie scientifique après Dernières
Pensées ;
ce titre même semble indiquer que ce volume est le dernier –
(et le public s’étonnerait à bon droit d’en voir surgir encore
un). Pour justifier cela il faudrait que la publication des articles
proposés s’imposât et nous ne croyons pas que ce soit le
cas.
Il est certainement désirable que tous ces articles puissent être
consultés ; mais la Bibliothèque de philosophie scientifique s’adresse
à un public trop étendu à qui les redites paraîtraient trop nombreuses
eu égard aux quelques idées nouvelles que ce volume apporterait.
Je n’ignore pas qu’il y a dans Dernières Pensées quelques répétitions inévitables,
si on lit par exemple Science et Méthode Chapitre I du Livre III et Matière
et éther dans Dernières Pensées.
Comparaison système solaire électron atome – mais c’étaient
en quelque sorte des répétitions voulues par lui puisque
ces conférences et articles sont tous postérieurs à
la publication de Science et Méthode.
Dans Valeur de la Science
p. 206 nous trouvons pour la première fois cette comparaison.
Un physicien japonais etc. ; nous la retrouvons dans Science
et Méthode Chapitre I du Livre III p. 226.
Même comparaison dans Dernières Pensées, p. 200.
C’est un exemple pris au hasard, mais nous pourrions en
trouver d’autres. Ces répétitions sont sans inconvénient ;
elles nous donnent quelque chose de l’évolution de sa pensée.
Mais publier un article sur Maxwell
écrit en 1894, c’est revenir en arrière. Il étudie Maxwell dans
Science et Hypothèse. Ce n’est sûrement
pas par oubli qu’il a laissé de côté cet article quand
il a écrit le chapitre XII de Science et Hypothèse: “L’optique
et l’Électricité”.
Pour les savants ce sera un exposé de théories qu’ils connaissent
et aux gens du monde cela fera un peu l’effet d’un traité de
physique.
Les idées avaient peut-être déjà évolué entre 1894 et 1902 – en 1894
et 1912 a fortiori – en 1912 il discutait la théorie de
Planck et non plus celle de Maxwell.
–
Mais il n’en est plus de même dans le volume projeté par
Mr Le Bon ; ici nous revenons en arrière –
et au lieu de redites voulues par Henri Poincaré nous en aurons
qu’il avait volontairement laissées de côté quand il a
rédigé ses 3 volumes de philosophie scientifique.
L’édition de Science et Hypothèse que nous avons entre les mains est la première édition ; il y a été apporté depuis quelques modifications qui peuvent peut-être changer d’une page ou deux les références que nous donnons.
2° Fondements de la Géométrie – Je pense qu’il n’est pas question de publier intégralement le rapport de 1912 ; les paragraphes sur les invariants, l’arithmétique, les équations intégrales etc.2020 20 Crossed out text: “n’étant certainement pas à la portée des”. étant purement mathématiques – La partie du rapport qui a trait aux “fondements de la géométrie” reproduit presque textuellement celui de 1902 qui contient en outre des explications qui en augmentent l’intérêt et la clarté – Ce serait donc le mémoire de 1902 qui serait à publier – Cependant, on retrouve presque textuellement dans Science et Méthode pages 156-157 les premières pages du mémoire de 1902 – La question est envisagée à un tout autre point de vue ; mais le fait qu’Henri Poincaré a pris dans son mémoire deux pages qu’il a insérées dans Science et Méthode semble prouver que le mémoire intégral ne devait pas être publié dans la Bibliothèque de M. Le Bon –
3° Note de la 7e édition du Traité de Géométrie
de Rouché et Comberousse – Henri Poincaré
évitait soigneusement les
accumulations de formules dans les volumes destinés au grand
public – Cette note est beaucoup trop technique et purement
mathématique pour pouvoir être insérée dans ce volume –
4° Préface des Hypothèses
Cosmogoniques –2121
21
Variante: “Ce serait en effet tout à fait dans
le style ordinaire des volumes publiés par Henri Poincaré mais”. Cela entrerait bien
en effet dans le cadre habituel des autres volumes Science
et Hypothèse
etc. –
Mais les Hypothèses Cosmogoniques sont très répandues
et cela nous semble peu délicat vis à vis de l’éditeur
de publier cette préface en dehors de son volume –
5° Stabilité du Système Solaire également publié
dans l’Annuaire du Bureau des Longitudes 1898
et Problème des trois Corps – Ces deux articles pourraient
être insérés dans le volume en question si on le publiait,
mais ils ne s’imposent en aucune façon ; sans doute ils
seraient compris par la plupart des lecteurs ; mais Henri
Poincaré
n’y traite pas
ces questions à un point de vue philosophique – et comme
exposé purement scientifique, ces notices, déjà anciennes,
doivent avoir un peu vieilli.2222
22
Variant: “Henri Poincaré n’y voyait
pas de portée philosophique ; c’étaient à ses yeux
de simples notices scientifiques”.
6° Conférence sur les Comètes – Conférence de vulgarisation scientifique où Henri Poincaré ne voyait certainement pas une portée philosophique justifiant l’insertion dans un volume de Philosophie scientifique.
7° Le Démon d’Arrhénius – que nous n’avons pas en ce moment sous la main resterait à étudier –
8° Cournot – serait très intéressant à publier – on pourrait peut-être l’ajouter à une nouvelle édition de Dernières Pensées.
9° La lumière et l’électricité d’après Maxwell
et Hertz
également publié {ill.} –
Les objections formulées plus haut 5° nous paraissent
ici prendre plus d’importance encore ; Henri Poincaré
étudie Maxwell
dans Science et Hypothèse
et ce n’est sûrement
pas par oubli qu’il a laissé de côté cet article quand
il a écrit le chapitre XII de Science et Hypothèse
“l’Optique
et l’Électricité”. Les savants ne verront
dans cet article si ancien qu’un exposé de théories qu’ils
connaissent depuis longtemps et les autres2323
23
Variant: “les
autres profanes”. n’y trouveront
qu’une sorte de traité de physique sans conclusions philosophiques.
D’autre part publier un article sur Maxwell
écrit en 1894 c’est revenir
en arrière et dans un domaine qui a singulièrement évolué
pendant ces vingt ans – En 1912 Henri Poincaré
discutait la théorie de
Planck
et non plus celle de Maxwell.
10° La télégraphie sans fil – impossible
à publier à la suite de Science et Hypothèse
etc. ; c’est
une conférence faite pour des petites filles ignorantes –
Le discours de la distribution de prix d’Henri IV que M Rougier
proposait pour remplacer la conférence
des Annales est aussi, dans un autre genre, une allocution
de circonstance, bien difficile à introduire dans un volume.
11° Le libre examen en Matière scientifique –
pourrait être publié dans une nouvelle édition de Dernières
Pensées
.
Another note by Léon Daum
This isolated draft probably belonged to the previous note. It exclusively concerned Poincaré’s “On the Foundations of Geometry” published in 1898 in the American philosophical review The Monist. In this passage Daum’s aim was clearly to show that a large part of this material was used by Poincaré in La science et l’hypothèse and La valeur de la science.
[n. d.]
L’article du Monist est bien un article original, mais il
fait double emploi avec certaines parties de Science et Hypothèse
et surtout avec la Valeur de la Science
– À la fin
de la 2e partie de Science et Hypothèse, page 105, dans
le supplément, Henri Poincaré
dit : “… je
me bornerai à résumer ici ce que j’ai exposé dans la Revue
de Métaphysique et de Morale et dans The Monist -
…”2424
24
Crossed out text: “il
a reproduit textuellement dans la Valeur de la ScienceLa
valeur de la science : les articles de la Revue
de. Métaphysique et de Morale, mai et juillet 1903 où
il traite à peu près la même question que dans The
Monist – L’article du Monist est bien un article
original mais il semble qu’il ait été refondu et remanié
par Henri Poincaré lui-même
dans la Valeur de la Science.
Quand il écrivait ces lignes en 1902, Henri Poincaré
voulait désigner les articles de la Revue
de Métaphysique et de Morale et l’article du Monist
qui nous occupe en ce moment”. –
J’ai sous les yeux un exemplaire de la première édition de Science
et Hypothèse
(1902) sur lequel
il a ajouté de sa main cette note (qui a été insérée,
je pense, dans les éditions suivantes) : “Voir
en particulier la Revue de Métaphysique et de Morale, Mai
et Juillet 1903 –” Ces deux articles de
la Revue de Métaphysique et de Morale semblent être une
refonte et un développement de l’article du Monist ;
avec quelques suppressions évidemment faites à dessein – ;
ils ont été en 1905 textuellement reproduits dans la Valeur
de la Science
, chapitres III et
IV –
On peut faire à propos de l’article du Monist les rapprochements
suivants :
p. 3 et 4 – the feeling of direction - on
trouve une sorte de résumé de cette partie dans Science
et Hypothèse
pages 73-74 “We
mean simply that the various sensations which correspond to the
same direction etc.” cf. Science et Hypothèse
page 76 :
“Ce que je vois, c’est que les sensations qui
correspondent à des mouvements de même direction –
etc.”.
Representation of space – dernières lignes page 6. Cf. Valeur
de la Science
page 67.
Deplacement and alteration – et Classification of deplacements –
reproduits presque textuellement dans Valeur de la Science
pages 83, 84. Le
dernier paragraphe de la page 8 du Monist est développé
dans Valeur de la Science
pages 88-89 –
Introduction of the notion of group – et chapitres suivants
relatifs au groupe – L’étude mathématique des propriétés
formelles du groupe a été explicitement supprimée –
(voir Science et Hypothèse
page 83) “Pour
être complet…etc.). La loi d’homogénéité est seule
exposée comme plus simple.
Number of dimensions – La théorie telle qu’elle est présentée
dans le Monist nécessite tout l’exposé mathématique
préliminaire des groupes et des sous-groupes – La théorie
qui est exposée dans la Valeur de la Science
et dans Dernières
Pensées
est basée sur la
notion de coupure dont il n’est pas fait mention dans le Monist –
ceci est un fait très instructif au point de vue de l’histoire
de la pensée d’Henri Poincaré
; il serait à souhaiter
que l’article du Monist trouvât sa place dans l’édition
intégrale ; mais il n’est pas indiqué de publier après
coup2525
25
Crossed out text: “présenter à
un public non spécialiste une théorie dont il ne comp. {ill.}
différente de celle qui a été présentée par Henri Poincaré
dans une forme développée et définitive”. –
sur une question qui a été longuement traitée par Henri
Poincaré
– une théorie différente
et antérieure en date.
The notion of point – et Discussion of the preceding theory –
Cf. Valeur de la Science
page 102 à 112.
The reasoning of Euclid
– se trouve résumé dans Science
et Hypothèse
page 60.
The geometry of Staudt
et The axiom of
Lie
– il n’en est question nulle part
ailleurs dans les livres de “Philosophie scientifique” –
Geometry and contradiction ; the use of figures –
ne s’y retrouvent pas non plus.
Form and matter ; ce paragraphe qui est aussi propre au Monist
est étroitement lié à la théorie mathématique des groupes
qui se trouve dans le Monist et nulle part ailleurs –
Conclusions – p. 41. Cf. Valeur de la Science
p. 127. Page
42, conclusion reproduite textuellement dans Science et Hypothèse
page 66.
Il semble résulter de cette étude que l’article du Monist
a été repris et utilisé pour des écrits ultérieurs
ce qui nous interdit de le publier aujourd’hui sous une forme
que Henri Poincaré
n’a pas voulu lui laisser.
Parmi les idées du Monist qui ne font pas spécifiquement
double emploi avec les autres écrits, les unes ont reçu plus
tard une expression différente, les autres sont d’importance
secondaire.2626
26
On an isolated page of the microfilm one
can find the following paragraph. It was written by DaumDaum,
Léon : and finally crossed out : “9°
Presque tous les articles ou Conférences proposés pour composer
un nouveau volume sont antérieurs à la publication de Science
et Méthode –
Henri Poincaré a donc pu
y puiser ce qu’il entendait publier dans la Bibliothèque de
philosophie scientifiqueBibliothèque de Philosophie
Scientifique : – s’il ne les a pas insérés dans
un de ses 3 volumes, c’est certainement volontairement et non
par oubli ; la preuve c’est que nous retrouvons dans les
3 volumes des phrases entières empruntées à ces articles”.
Louis Rougier
to Léon Daum
This last letter was the conclusion of the controversy between Rougier and Poincaré’s family. Although he answered the argumentation presented by Léon Daum, Rougier declared himself ready to abandon his editorial project and to accept a more consensual solution : the addition of an appendix to the future editions of Dernières pensées .
Lyon 9 septembre 1919
Monsieur,
Je vous remercie des très intéressantes observations que
vous avez pris soin de me communiquer. Elles me suggèrent les
remarques suivantes.
1° art. du Monist. De votre analyse même il résulte
que plus de 30 pages sur 42 n’ont pas été reproduites ou
utilisées. Or si Henri Poincaré
abandonna dans la suite l’exposé
de ses idées au moyen de la notion de groupe pour lui préférer
la notion de coupure c’est qu’apparemment il trouvait celle-ci
plus intuitive pour la majorité de ses lecteurs :
je ne crois en aucun cas que cette notion de groupe en devint
moins fondamentale et prépondérante chez lui. Le démontrer
serait un peu long et je m’excuse ; mais à mon avis il
n’y a pas là changement d’opinions mais modification d’exposé
ce qui est bien différent. En m’indiquant en notes les réserves
que vous soulevez, il me semble que l’article pourrait être
réimprimé : la pensée de Henri Poincaré
est trop importante
pour que nous en perdions une parcelle. Lisez les ouvrages populaires
d’Helmholtz
: on y voit reproduits
des conférences ou articles sur les fondements de la géométrie
qui se répètent parfois littéralement. Plusieurs fois ceci
est un culte d’une pensée irrécusable qui s’est éteinte.
On a droit de sacrifier l’eurythmie d’une œuvre à son intégralité
parfaite. C’est pourquoi, sur cet article, je ne saurais me rallier
à vos très remarquables conclusions.
2° L’utilisation de cet article dans Science et Méthode
, qui
se borne à deux paragraphes, est insignifiant. Cet article
complète les vues de Poincaré
sur la géométrie. Dans
tous ses autres ouvrages il semble s’être en effet borné
aux géométries d’Euclide, de Lobatchevsky
et de Riemann
et à l’Analysis situs. Il s’agit
cette fois d’une œuvre qui a fait faire à la philosophie
des mathématiques un progrès considérable, comparable à
ceux que l’on devait à Lobatchevsky, à Riemann, à Helmholtz
et à Lie. Remarquez l’insistance avec laquelle
Henri Poincaré
reproduit son analyse en
la modifiant plus ou moins :
1 Journal des savants mai 1902
2 Bulletin des sciences mathématiques sept. 1902
3 Ibid. mars 1911
4 Acta mathematica juin 1911
5 Rendiconti del Circolo nov. 1910
matematico di Palermo
M Pierre Boutroux, lors de ma conversation avec lui,
était pour la publication de cet article en volume. “Il
fait autorité à l’étranger” me disait-il.
3° Vous avez raison. Pourtant M Pierre Boutroux
semblait opiner pour qu’on le reproduise.
4° Vous seul pouvez estimer ce qu’il est possible de
faire avec Hermann.
5° (Stabilité du système solaire et problème des
trois corps). Ces questions ne sont pas traitées au point de
vue philosophique sans doute – sinon qu’elles montrent
les approximations successives de la pensée et des méthodes
scientifiques. Mais il en est absolument de même de plusieurs
parties des autres volumes. Que trouvez-vous de philosophique
dans les livres III et IV de Science et méthode
? De plus ces
articles résument des travaux essentiels de Poincaré. Comme vous le dites vous-même,
ils pourraient être insérés dans le volume en question.
6° (Conférence sur les comètes) même réflexion
que ci-dessus. Pas plus philosophique que “la
voie lactée et la théorie des gaz” ou la
“géodésie française” que
Poincaré
a pourtant publiés en volume.
7° Le Démon d’Arrhénius
: même réflexion. Le
sujet est du reste très hautement intéressant.
8° Cournot. Nous sommes d’accord.
9° et 10° (lumière suivant Maxwell, conférence sur la télégraphie
sans fil). Vous avez certainement raison.
11° Le libre examen. Nous sommes d’accord.
—————————————- Si vous décidez seulement à faire une nouvelle édition augmentée des Dernières Pensées , ce dont M Le Bon avait très bien admis, et même avec enthousiasme, la possibilité, je crois qu’il faudrait conserver comme articles :
1° Cournot.
2° Le libre examen.
3° L’article sur David Hilbert
(celui du Journal des savants
de 1902).
4° Si possible la préface des Hypothèses
cosmogoniques.
Sinon un nouveau volume, en abandonnant les articles 9°
et 10° et peut-être {ill.}, serait encore publiable
avec des avertissements de l’éditeur. Est-il besoin d’ajouter
qu’au point de vue purement de l’éditeur un ouvrage signé
de Poincaré
se vendra toujours. Sur les
24.000 exemplaires de Science et Hypothèse
y-a-t-il plus
de mille acheteurs capables de le comprendre ?
En voyant toutes les difficultés de la publication d’un nouvel
ouvrage de Poincaré, je souhaite que dans une
nouvelle édition des “Dernières Pensées
” vous
ajoutiez les trois ou quatre articles signalés.
Votre très reconnaissant et dévoué.
L. Rougier
Presentation of the edition
Daum mostly evaluated the relevance of the
project from a psychological point of view ; he tried
for instance to imagine what Poincaré
would have done in
this particular case (hence sentences such as : “Poincaré
évitait soigneusement les
accumulations de formules…” or “Henri
Poincaré
ne voyait certainement pas
une portée philosophique…”). He had to identify
himself with Poincaré, to determine how
he would have composed his philosophical books and to discover
the reasons which would have urged the mathematician to choose
one article rather than another. In other words, Daum
paid much attention to Poincaré’s editorial practices
and attempted to imagine what would have been his position towards
this project. On the other hand, Rougier
defended a wider position ;
since he did not have any personal or familial relationships
with Poincaré’s family he had no preconceived
ideas concerning what a philosophical book by Poincaré should
be. His point of view was that
of the community of readers, scientists, philosophers and scholars
interested in geometrical conventionalism and desirous of obtaining
some information about the evolution of Poincarean philosophy.
Eighty years later, on the eve of the centennial of La science
et l’hypothèse,
Rougier’s position must be taken into account.
Admittedly, such a book cannot be explicitly considered as the
fifth volume of Poincaré’s philosophical writings :
the project was not approved by his successor because of its
heterogeneity ; it put on the same level very different
kinds of articles that had been written on different occasions
and published in very diverse reviews. Probably, Poincaré
would not have published
such a book without making substantial modifications, corrections
and additions.
Nevertheless, Poincaré’s philosophy now belongs
to philosophers and historians of science and the regeneration
of this project might be of interest for scholars and commentators.
We consequently chose to scrupulously respect the broad lines
of Rougier’s programme and to simultaneously
throw light on Poincaré’s editorial practices and
strategies within the Bibliothèque de Philosophie Scientifique
at Flammarion
(cf. postface page 149).
In order to prepare the present edition, we tried to obtain as
much information as possible concerning the bibliographical references
of the articles chosen by Rougier. Here are the results of this investigation :
Livre I
Les conventions Géométriques
Chapter I – Des fondements de la géométrie
“On the Foundations of Geometry”, The Monist IX (October 1898), pp. 1-43. This article was initially written in French and was translated by T. J. Mc Cormack for the American review. Unfortunately the French version was lost and Louis Rougier had to translate the English version into French when he published a new edition of the text (Des fondements de la géométrie, Paris, Chiron, Bibliothèque de Synthèse Scientifique , 1921). In his presentation of Poincaré’s article, Rougier thus wrote: “Le mémoire d’Henri Poincaré, qui inaugure la Bibliothèque de synthèse scientifique , a paru en langue anglaise dans une revue américaine The Monist, en janvier 1898. L’original français n’en a pas été conservé ; la traduction qui suit s’est appliquée à retrouver, sous un anglais qui semble avoir été littéral, ce que devait être le texte initial. […] Il nous a paru que le mémoire oublié de Poincaré reprenait, de ce fait, un regain d’actualité et d’intérêt qui justifiait sa publication, et nous l’offrons au public français comme la meilleure introduction à l’étude de la Théorie de la Relativité, dont d’autres volumes de notre collection viseront à donner un exposé général”.
Chapter II – Les fondements de la géométrie
“Les fondements de la géométrie – Grundlagen
der Geometrie par M. Hilbert, professeur à l’Université de
Göttingen. – Festschrift zur Feier der Enthüllung
des Gauß
-Weber-Denkmals”, Journal
des savants (1902), Paris, Imprimerie Nationale, Hachette, pp. 252-271.
This article was also published in the Bulletin des sciences
mathématiques 26 (1902), pp. 249-272, as well
as in Œuvres scientifiques de Henri Poincaré, tome XI,
pp. 92-113. The planned table of contents (see page ix)
mentioned the 1902 article as well as an article published in
the Acta mathematica in 1912 (in fact 1911). Did Rougier
intend to include two different versions of this article in the
book, or did he think that those two articles were identical?
It is difficult to decide but the fact remains that –
besides the 1902 article – Poincaré devoted at least
two articles to Hilbert’s geometrical works, in particular:
- “Rapport sur les travaux de M. Hilbert”, Bulletin
de la Société physico-mathématique de Kasan 14 (1904),
pp. 10-48 ;
- “Rapport sur le prix Bolyai, 18/10/1910”, Bulletin
des sciences mathématiques 31 (1911), pp. 67-100 ; Acta
Mathematica 35 (1911), pp. 1-28 ; Rendiconti
del Circolo matematico di Palermo 31 (1911), pp. 109-132.
These two articles were rather technical and Poincaré would probably not have published them in a book of the Bibliothèque de Philosophie Scientifique. We consequently decided only to reprint the article from the Journal des savants.2727 27 Since 1926 it has also been included as an appendix to Dernières pensées.
Chapter III – Note sur la géométrie non euclidienne
“Note sur la géométrie non euclidienne” written for the seventh edition of Eugène Rouché and Charles de Comberousse’s, Traité de géométrie, édition revue et augmentée, partie II “Géométrie dans l’espace”, Paris, Gauthier-Villars, 1900, pp. 581-593.2828 28 A new printing of the treatise was made in 1997 in Paris by the editions J. Gabay. In the preceding editions, the note concerning non Euclidean geometries was quite different, since one could read that Euclidean geometry was the only practical geometry and that Euclid’s postulate was an experimental truth.2929 29 The “Note sur la géométrie non euclidienne” included in the fifth edition of the book (1883) proposed the following conclusion (p. 569): “Si donc il existait dans la nature un écart entre la somme des angles d’un triangle et deux angles droits, c’est dans les plus grands triangles que l’écart se manifesterait le mieux ; or on a constaté par de nombreuses observations astronomiques que dans les plus grands triangles l’écart n’atteignait jamais un centième de seconde. La Géométrie pratique est donc la Géométrie euclidienne, et il faut admettre le postulatum comme une vérité expérimentale”. Of course, such a conclusion could not have been written by Poincaré. The note that was added in 1900 was not entirely written by Poincaré, it was rather technical and referred to several paragraphs of the treatise. For all these reasons we made the two following editorial decisions: first, we changed the numbering of paragraphs so that the chapter begins with paragraph I (we indicated the former numbering in brackets); secondly, we reproduced at the end of the chapter the paragraphs to which Poincaré referred in his note (i.e. paragraphs 193, 321, 938, 952, 958 and 1185).
Livre II
Les approximations de la mécanique celeste
Chapter IV – Sur les hypothèses cosmogoniques
Foreword to Leçons sur les hypothèses cosmogoniques, professées à la Sorbonne par H. Poincaré , rédigées par Henri Vergne (docteur ès sciences mathématiques, répétiteur à l’École Centrale), Paris, Hermann & Fils, 1911. A second edition of this book was published in 1913 as Leçons sur les hypothèses cosmogoniques, professées à la Sorbonne par H. Poincaré , rédigées par Henri Vergne (docteur ès sciences mathématiques, répétiteur à l’École Centrale), seconde édition avec un portrait en héliogravure et une notice sur Henri Poincaré par Ernest Lebon, Paris, Hermann & Fils, 1913.
Chapter V – Sur la stabilité du système solaire
“Sur la stabilité du système solaire”, Revue scientifique IX (14 mai 1898), 4° série, n° 20, pp. 609-613. This article had originally been published in the 1898 Annuaire du Bureau des Longitudes. See also Œuvres scientifiques de Henri Poincaré, tome VIII, pp. 538-547.
Chapter VI – Le problème des trois corps
“Le problème des trois corps”, Revue
générale des sciences pures et appliquées 2
(15 janvier 1891), n° 1, pp. 1-5. It was
also reprinted in Œuvres scientifiques de Henri Poincaré, tome VIII,
pp. 529-537. Girolamo Ramunni made a reprint of this article
in his book L’analyse et la recherche, Paris, Hermann, 1991.
Chapter VII – Conférence sur les comètes
“Les comètes”, Bulletin de la Société industrielle de Mulhouse 80 (1910), pp. 311-323. This scientific popularization conference was also published as a small brochure with the same title in 1910 (Mulhouse, Imprimerie Veuve Bader & C, 1910).
Chapter VIII – Le démon d’Arrhénius
“Le démon d’Arrhénius”, published in the collective book Hommage à Louis Olivier, Paris, Imprimerie L. Maretheux, 1911, pp. 281-287. It was also reprinted in Œuvres scientifiques de Henri Poincaré, tome VIII, pp. 564-569.3030 30 Since 1926 it has also been included as an appendix to Dernières pensées.
Livre III
Problèmes scientifiques actuels
Chapter IX – Cournot et les principes du calcul infinitésimal
“Cournot et les principes du calcul infinitésimal”, Revue de métaphysique et de morale 13 (1905), pp. 293-306.3131 31 Since 1926 it has also been included as an appendix to Dernières pensées.
Chapter X – La lumière et l’électricité d’après Maxwell et Hertz
“La lumière et l’électricité d’après Maxwell et Hertz ”, Revue scientifique XXXI (27 janvier 1894), 4° série, n° 4, pp. 106-111. This article had originally been published in the 1894 Annuaire du Bureau des Longitudes. It was also reprinted in Œuvres scientifiques de Henri Poincaré, tome X, pp. 557-569.
Chapter XI – La télégraphie sans fil
“La télégraphie sans fil, conférence de M. Henri Poincaré de l’Académie française, avec le concours de M. Carpentier de l’Institut et du Commandant Ferrié ”, Journal de l’Université des annales 1 (1909), pp. 541-552. This article was the transcription of a popularization lecture pronounced in 1909 on February 1st in a female school. It contained numerous photographic illustrations that we could not include for technical reasons (nonetheless we indicate the headings in footnotes).
Chapter XII – Le libre examen en matière scientifique
Le libre examen en matière scientifique – conférence faite aux Fêtes jubilaires de l’Université de Bruxelles le 21 novembre 1909, extrait de la Revue de l’Université de Bruxelles (décembre 1909), Liège, Imprimerie La Meuse, 1909, pp. 5-15.3232 32 Since 1926 it has also been included as an appendix to Dernières penséesDernières pensées :.
Acknowledgements
The publication of this book would not have been possible without the help, assistance, support, joy, friendship…of the Poincaré Archives’ researchers at Nancy 2 University. Gerhard Heinzmann, John Hughes, Philippe Nabonnand, and Séverine know why I am deeply indebted to them…
Laurent Rollet
Scientific Opportunism
L’opportunisme Scientifique
Henri Poincaré
Summary
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Livre I Les Conventions Géométriques
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Chapitre I Des Fondements de la Géométrie (1898)
-
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Chapitre II Les Fondements de la Géométrie (1902)
-
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Chapitre III Note sur la Géométrie Non Euclidienne (1900)
-
—
-
—
Livre II Les Approximations de la Mécanique Céleste
-
—
Chapitre IV Sur les Hypothèses Cosmogoniques (1911)
-
—
Chapitre V Sur la Stabilité du Système Solaire (1898)
-
—
Chapitre VI Le Problème des Trois Corps (1891)
-
—
Chapitre VII Conférence sur les Comètes (1910)
-
—
Chapitre VIII Le Démon d’Arrhénius (1911)
-
—
-
—
Livre III Problèmes Scientifiques Actuels
-
—
Chapitre IX Cournot et les Principes du Calcul Infinitésimal (1905)
-
—
Chapitre X La Lumière et l’Électricité d’après Maxwell et Hertz (1894)
-
—
Chapitre XI La Télégraphie Sans Fil (1909)
-
—
Chapitre XII Le Libre Examen en Matière Scientifique (1909)
-
—
Première partie Les Conventions Géométriques
Chapitre I Des Fondements de la Géométrie (1898)
Quoique j’aie déjà eu l’occasion d’exposer mes idées sur les fondements de la géométrie, il ne sera peut-être pas sans intérêt de revenir sur cette question avec de nouveaux développements et de chercher à éclaircir certains points que le lecteur peut avoir trouvés obscurs. C’est au sujet de la définition du point et de la détermination du nombre des dimensions que de nouveaux éclaircissements me paraissent le plus nécessaires ; mais cependant je crois utile de reprendre la question par le commencement.
L’espace sensible
Nos sensations ne peuvent pas nous donner la notion d’espace.
Cette notion est construite par l’esprit avec des éléments
qui préexistent en lui, et l’expérience externe n’est pour
lui que l’occasion d’exercer ce pouvoir, ou au plus un moyen de
déterminer la meilleure manière de l’exercer.
Les sensations par elles-mêmes n’ont aucun caractère spatial.
Cela est évident dans le cas de sensations isolées, des sensations
visuelles par exemple. Que pourrait voir un homme qui ne posséderait
qu’un œil unique et immobile ? Des images différentes
se formeraient sur différents points de sa rétine ;
mais serait-il amené à classer ces images comme nous classons
nos sensations rétiniennes actuelles ?
Supposons des images formées aux quatre points A, B, C, D de
cette rétine immobile. Quelle raison aurait le possesseur de
cette rétine de dire, par exemple, que la distance AB est égale
à la distance CD ? Constitués comme nous le sommes,
nous avons une raison pour parler ainsi, parce que nous savons
qu’un faible mouvement de notre œil suffira pour amener
en C l’image qui était en A et en D l’image qui était en B.
Mais ces faibles mouvements de l’œil sont impossibles pour
notre homme imaginaire et si nous lui demandions si la distance
AB est égale à la distance CD, nous lui semblerions aussi
ridicules que le serait pour nous une personne qui nous demanderait
s’il y a plus de différence entre une sensation olfactive et
une sensation visuelle qu’entre une sensation auditive et une
sensation tactile.
Mais ce n’est pas tout. Supposons que deux points A et B soient
très proches l’un de l’autre et que la distance AC soit très
grande. Notre homme imaginaire aurait-il connaissance de la différence ?
Nous la percevons, nous qui pouvons mouvoir nos yeux, parce qu’un
très faible mouvement suffit pour faire passer une image d’A
en B. Mais pour lui, la question de savoir si la distance AB
est très petite comparée à la distance AC ne serait pas
seulement insoluble, mais serait dénuée de sens.
La notion de la contiguïté de deux points n’existerait donc
pas pour notre homme imaginaire. La rubrique ou catégorie sous
laquelle il rangerait ses sensations, si tant est qu’il les range,
ne serait pas, par conséquent, l’espace du géomètre et
ne serait même probablement pas continue, puisqu’il ne pourrait
pas distinguer les petites distances des grandes. Et, même
si elle était continue, elle ne saurait être, comme je l’ai
amplement montré ailleurs, ni homogène, ni isotrope, ni à
trois dimensions.
Il est inutile de répéter pour les autres sens ce que j’ai
dit pour la vue. Nos sensations diffèrent les unes des autres
qualitativement et ne peuvent donc avoir entre elles de commune
mesure, pas plus qu’il n’y en a entre le gramme et le mètre.
Même si nous ne comparons que les sensations fournies par la
même fibre nerveuse, un effort considérable de l’esprit est
nécessaire pour reconnaître que la sensation d’aujourd’hui
est de même espèce que la sensation d’hier, mais plus grande
ou plus petite ; en d’autres termes pour classer les sensations
selon leur nature et ranger ensuite celles de même espèce
sur une sorte d’échelle suivant leur intensité. Une pareille
classification ne peut être effectuée sans une intervention
active de l’esprit et l’objet de cette intervention est de rapporter
nos sensations à une sorte de rubrique ou de catégorie qui
préexiste en nous.
Cette catégorie doit-elle être regardée comme une “forme
de notre sensibilité” ? Non, si l’on
entend par là que nos sensations, considérées individuellement,
ne pourraient pas exister sans elle. Elle ne nous devient nécessaire
que pour comparer nos sensations, pour raisonner sur nos sensations.
Elle est donc plutôt une forme de notre entendement.
Voilà donc la première catégorie à laquelle nos sensations
sont rapportées. On peut se la représenter comme composée
d’un grand nombre de systèmes absolument indépendants les
uns des autres. De plus, elle nous permet seulement de comparer
entre elles des sensations de même espèce et non de les mesurer,
de percevoir qu’une sensation est plus grande qu’une autre sensation,
mais non qu’elle est deux fois plus grande ou trois fois plus
grande.
Combien une telle catégorie diffère de l’espace du géomètre !
Dirons-nous que le géomètre introduit une catégorie tout
à fait de la même espèce lorsqu’il emploie trois systèmes
tels que les trois axes de coordonnées ? Mais dans notre
catégorie nous n’avons pas seulement trois systèmes, mais
autant qu’il y a de fibres nerveuses. De plus, nos systèmes
nous apparaissent comme autant de mondes séparés, fondamentalement
distincts, tandis que les trois axes de la géométrie remplissent
tous le même office et sont interchangeables. Enfin, les coordonnées
sont susceptibles d’être mesurées et non pas seulement d’être
comparées. Voyons donc comment nous pourrons nous élever
de cette catégorie brute, que nous pouvons appeler l’espace
sensible, à l’espace géométrique.
Le sentiment de la direction
On dit souvent que certaines de nos sensations sont toujours
accompagnées d’un sentiment particulier de la direction qui
leur donne un caractère géométrique. Telles sont les sensations
visuelles et musculaires. D’autres au contraire, telles que les
sensations du goût et de l’odorat ne sont pas accompagnées
de ce sentiment et sont, par conséquent, dénuées de tout
caractère géométrique. Dans cette théorie, la notion
de direction serait préexistante à toute sensation visuelle
ou musculaire et en serait même la condition.
Je ne suis pas de cet avis ; demandons-nous d’abord si
le sentiment de la direction forme réellement une partie constituante
de la sensation. Je ne vois pas très bien comment il peut y
avoir dans la sensation quelque chose d’autre que la sensation
elle-même. Et observons de plus que la même sensation peut,
selon les circonstances, exciter le sentiment de différentes
directions. Quelle que soit la position du corps, la contraction
du même muscle, le biceps du bras droit par exemple, provoquera
toujours la même sensation musculaire ; et cependant,
comme nous sommes avertis par d’autres sensations concomitantes
que la position du corps a changé, nous savons aussi très
bien que la direction du mouvement a changé.
Le sentiment de la direction ne fait donc pas partie intégrante
de la sensation puisqu’il peut varier sans que la sensation varie.
Tout ce que nous pouvons dire est que le sentiment de la direction
est associé à certaines sensations. Mais qu’est-ce que cela
signifie ? Entendons-nous par là que la sensation est
associée à quelque chose d’indéfinissable que nous pouvons
nous représenter, mais qui n’est cependant pas une sensation ?
Non, nous voulons dire simplement que les différentes sensations
qui correspondent à la même direction sont associées les
unes aux autres et que l’une d’elles suscite les autres suivant
les lois ordinaires de l’association des idées. Toute association
d’idées n’est qu’un produit de l’habitude et il resterait à
découvrir comment l’habitude s’est formée.
Mais nous sommes encore loin de l’espace géométrique. Nos
sensations ont été classées d’une nouvelle manière :
celles qui correspondent à la même direction sont groupées
ensemble ; celles qui sont isolées et ne se rapportent
à aucune direction ne sont pas considérées. Des innombrables
systèmes de sensations dont notre espace sensible était formé,
quelques-uns ont disparu, d’autres ont été fondus ensemble.
Leur nombre a diminué.
Mais cette nouvelle classification n’est pas encore l’espace ;
elle n’implique aucune idée de mesure ; et, de plus,
la catégorie restreinte ainsi obtenue ne serait pas un espace
isotrope, c’est-à-dire que des directions différentes ne
nous apparaîtraient pas comme remplissant le même office
et comme interchangeables l’une avec l’autre. Et ainsi, ce “sentiment
de la direction”, loin d’expliquer ce qu’est l’espace,
aurait besoin lui-même d’être expliqué.
Mais aidera-t-il au moins à trouver l’explication que nous
cherchons ? Non, parce que les lois de cette association
d’idées que nous appelons le sentiment de la direction sont
extraordinairement complexes. Comme je l’ai expliqué plus haut,
la même sensation musculaire peut correspondre à une foule
de directions différentes suivant la position du corps, laquelle
nous est connue par d’autres sensations concomitantes. Des associations
si complexes ne peuvent être le résultat que d’un processus
extrêmement long. Ce n’est donc pas ce chemin qui nous conduira
le plus rapidement à notre but. Ne regardons donc pas comme
acquis le sentiment de la direction, mais revenons à “l’espace
sensible” dont nous étions partis plus haut.
Représentation de l’espace
L’espace sensible n’a rien de commun avec l’espace géométrique.
Je crois que peu de personnes seront disposées à contester
cette assertion. Il serait peut-être possible d’épurer la
catégorie que j’ai considérée au début de cet article
et de construire quelque chose qui ressemblât davantage à
l’espace géométrique. Mais, quoi que nous fassions, l’espace
ainsi construit ne sera jamais ni infini, ni homogène, ni isotrope ;
il ne pourrait le devenir qu’en cessant d’être accessible à
nos sens.
Nos représentations ne sont que la reproduction de nos sensations ;
nous ne pouvons donc pas figurer l’espace géométrique. Nous
ne pouvons pas nous représenter les objets dans l’espace géométrique,
mais seulement raisonner sur eux comme s’ils existaient dans
cet espace.
Un peintre s’efforcerait en vain de construire sur sa toile un
objet possédant trois dimensions. L’image qu’il trace n’en aura
jamais que deux, comme sa toile. Quand nous essayons, par exemple,
de nous représenter le Soleil et les planètes dans l’espace,
tout ce que nous pouvons faire est de nous représenter les
sensations visuelles que nous éprouvons quand cinq ou six petites
sphères tournent tout près de nous.
L’espace géométrique ne peut donc pas servir de catégorie
pour nos représentations. Il n’est pas une forme de notre sensibilité.
Il ne peut nous servir que dans nos raisonnements. Il est une
forme de notre entendement.
Déplacement et changement d’état
Nous percevons du premier coup que nos sensations varient, que
nos impressions sont sujettes au changement. Les lois de ces
variations ont été cause que nous avons créé la géométrie
et la notion d’espace géométrique. Si nos sensations n’étaient
pas variables, il n’y aurait pas de géométrie.
Mais ce n’est pas tout. La géométrie ne serait pas née
si nous n’avions pas été amenés à répartir en deux
classes les changements que peuvent subir nos impressions. Nous
disons tantôt que nos impressions ont changé parce que les
objets qui les produisaient ont subi quelque changement d’état
et tantôt que nos impressions ont changé parce que les objets
ont subis un déplacement. Quel est le fondement de cette distinction ?
Une sphère dont un hémisphère est bleu et l’autre rouge
tourne sur elle-même devant nos yeux et montre d’abord un hémisphère
bleu et ensuite un hémisphère rouge. Un liquide bleu contenu
dans un vase subit une réaction chimique qui le fait devenir
rouge. Dans les deux cas l’impression de bleu a été remplacée
par celle de rouge. Pourquoi le premier de ces changements est-il
classé parmi les déplacements et le second parmi les changements
d’état ? Évidemment parce que dans le premier cas il
me suffit de tourner autour de la sphère pour me placer de
nouveau vis-à-vis de l’autre hémisphère et éprouver ainsi
une seconde fois l’impression de bleu.
Un objet se déplace devant mon œil et son image qui se formait
d’abord au centre de ma rétine se forme maintenant sur le bord.
La sensation qui m’était apportée par une fibre nerveuse
partant du centre de la rétine est remplacée par une autre
sensation qui m’est apportée par une fibre partant du bord
de la rétine. Ces sensations me sont amenées par deux nerfs
différents. Elles doivent m’apparaître comme qualitativement
différentes, et, s’il n’en était pas ainsi, comment pourrais-je
les distinguer ?
Pourquoi alors suis-je amené à penser que c’est la même
image qui s’est déplacée ? Est-ce parce que l’une de
ces sensations succède souvent à l’autre ? Mais des
successions analogues sont fréquentes. Ce sont elles qui font
naître toutes nos associations d’idées et nous n’en concluons
ordinairement pas qu’elles sont dues au déplacement d’un objet
qualitativement invariable.
Mais ce qui arrive dans ce cas, c’est que nous pouvons suivre
l’objet de l’œil et, par un déplacement de l’œil qui est
généralement volontaire et accompagné de sensations musculaires,
ramener l’image au centre de la rétine et rétablir ainsi
la sensation primitive.
Je conclurai donc comme il suit :
Parmi les changements que subissent nos impressions, nous distinguons
deux classes :
1° Les premiers sont indépendants de notre volonté
et ne sont pas accompagnés de sensations musculaires. Ce sont
des changements externes, pour ainsi dire.
2° Les autres sont volontaires et accompagnés de sensations
musculaires. Nous pouvons les appeler changements internes.
Nous observons ensuite que dans certains cas, lorsqu’un changement
externe a modifié nos impressions, nous pouvons, en provoquant
volontairement un changement interne, rétablir nos impressions
primitives. Le changement externe peut donc être corrigé
par un changement interne. Les changements externes peuvent être,
par conséquent, subdivisés en deux classes :
1° Les changements qui sont susceptibles d’être
corrigés par un changement interne. Ce sont les déplacements.
2° Les changements qui n’en sont pas susceptibles. Ce
sont les changements d’état.
Un être qui ne pourrait pas se mouvoir serait incapable de
faire cette distinction. Un tel être, par conséquent,
ne pourrait jamais créer la géométrie, – même si
ses sensations étaient variables et même si les objets qui
l’entourent étaient mobiles.
Classification des déplacements
Une sphère dont un hémisphère est bleu et l’autre rouge
tourne sur elle-même devant moi et me présente d’abord son
côté bleu et ensuite son côté rouge. Je regarde ce changement
externe comme un déplacement parce que je peux le corriger
par un changement interne, c’est-à-dire en tournant autour
de la sphère. Répétons l’expérience avec une autre sphère
dont un hémisphère est vert et l’autre jaune. L’impression
de l’hémisphère jaune succédera à celle du vert comme
auparavant celle du rouge succédait à celle du bleu. Pour
la même raison je regarderai ce nouveau changement externe
comme un déplacement.
Mais ce n’est pas tout. Je dis aussi que ces deux changements
externes sont dus au même déplacement, c’est-à-dire
à une rotation. Cependant, il n’y a pas de rapport entre l’impression
de l’hémisphère jaune et celle du rouge, pas plus qu’il n’y
en a entre celle de l’hémisphère bleu et celle du vert, et
je n’ai aucune raison de dire qu’il existe entre le jaune et le
vert la même relation qu’entre le rouge et le bleu. Non, je
dis que ces deux changements externes sont dus au même déplacement
parce que je les ai corrigés par le même changement interne.
Mais comment puis-je savoir que les deux changements internes
par lesquels j’ai corrigé d’abord le changement externe du bleu
au rouge, et ensuite celui du vert au jaune, doivent être considérés
comme identiques ? Tout simplement parce qu’ils ont provoqué
les mêmes sensations musculaires ; et pour
cela je n’ai pas besoin de connaître d’avance la géométrie
et de me représenter les mouvements de mon corps dans l’espace
géométrique.
Ainsi plusieurs changements externes qui n’ont en eux-mêmes
rien de commun peuvent être corrigés par le même changement
interne. Je les rassemble dans la même classe et les considère
comme le même déplacement.
Une classification analogue peut être faite en ce qui concerne
les changements internes. Tous les changements internes ne sont
pas capables de corriger un changement externe. Seuls ceux qui
en sont capables peuvent être appelés déplacements. D’autre
part, le même changement externe peut être corrigé par
différents changements internes. Une personne qui saurait la
géométrie pourrait exprimer cette idée en disant que mon
corps peut aller de la position A à la position B par plusieurs
chemins différents. Chacun de ces chemins correspond à une
série de sensations musculaires et pour le moment je n’ai pas
connaissance d’autre chose que de ces sensations musculaires.
Il n’y a pas de ressemblance entre deux de ces séries et si
je les considère néanmoins comme représentant le même
déplacement, c’est parce qu’elles sont susceptibles de corriger
le même changement externe.
La classification qui précède suggère deux réflexions :
1° La classification n’est pas une donnée brute
de l’expérience, parce que la compensation mentionnée plus
haut des deux changements, l’un interne et l’autre externe, n’est
jamais effectivement réalisée. C’est donc une opération
active de l’esprit qui essaie d’insérer les résultats bruts
de l’expérience dans une forme préexistante, dans une catégorie.
Cette opération consiste à identifier deux changements parce
qu’ils possèdent un caractère commun, et cela malgré qu’ils
ne le possèdent pas exactement. Néanmoins, le fait même
que l’esprit ait l’occasion d’accomplir cette opération est
dû à l’expérience, car l’expérience seule peut lui apprendre
que la compensation s’est approximativement produite.
2° La classification nous amène en outre à reconnaître
l’identité de deux déplacements et il en résulte qu’un déplacement
peut être répété deux ou plusieurs fois. C’est cette
circonstance qui introduit le nombre et permet la mesure là
où régnait auparavant la pure qualité.
Introduction de la notion de groupe
Que nous soyons capables d’aller plus loin est dû au fait suivant dont l’importance est capitale.
Il est évident que si nous considérons un changement A et le faisons suivre d’un autre changement B, nous sommes libres de regarder l’ensemble des deux changements A suivi de B comme un seul changement qui peut s’écrire et peut être appelé le changement résultant. (Il va sans dire que n’est pas nécessairement identique à ). Il en résulte alors que si deux changements A et B sont des déplacements, le changement
AB est aussi un déplacement. Les mathématiciens expriment cela en disant que l’ensemble des déplacements forme un groupe. S’il n’en était pas ainsi il n’y aurait pas de géométrie.
Mais comment savons-nous que l’ensemble des déplacements est un groupe ? Est-ce par un raisonnement a priori ? Est-ce par expérience ? On est tenté de raisonner a priori et de dire : si le changement externe A est corrigé par le changement interne , et le changement externe B par le changement interne , le changement externe résultant sera corrigé par le changement interne résultant . Donc ce changement résultant est par définition un déplacement, ce qui revient à dire que l’ensemble des déplacements forme un groupe.
Mais ce raisonnement est sujet à plusieurs objections. Il est clair que les changements A et se compensent, c’est-à-dire que si ces deux changements se succèdent, je retrouverai mes impressions primitives –, résultat que je peux écrire comme il suit :
Je vois également que . Ce sont ces hypothèses que j’ai faites au début et qui m’ont servi à définir les changements A, , B et . Mais est-il certain que nous aurons encore après les deux changements A et ? Est-il certain que ces deux premiers changements se compensent d’une manière telle qu’après eux, non seulement je retrouverai mes impressions primitives, mais que les deux changement B et retrouveront toutes leurs propriétés initiales et en particulier celle de se compenser mutuellement ? Si nous admettons cela, nous pourrons en conclure que je retrouverai mes impressions primitives quand les quatre changements se suivront dans l’ordre
mais non pas qu’il en sera encore de même quand ils se succéderont dans l’ordre
Et ce n’est pas tout. Si deux changements externes et sont regardés comme identiques sur la base de la convention adoptée plus haut, ou, en d’autres termes, sont susceptibles d’être corrigés par le même changement interne A ; si, d’autre part, deux autres changements externes et peuvent être corrigés par le même changement interne B et peuvent par conséquent être regardés aussi comme identiques, avons-nous le droit de conclure que les deux changements et sont susceptibles d’être corrigés par le même changement interne et sont par conséquent identiques ? Une telle proposition n’est aucunement évidente, et, si elle est vraie, elle ne peut être le résultat d’un raisonnement a priori.
Par conséquent, cette série de propositions, que je résume en disant que les déplacements forment un groupe, ne nous est pas donnée par un raisonnement a priori. Sont-elles donc un résultat d’expérience ? On est enclin à admettre qu’elles le sont ; et cependant on a un sentiment de véritable répugnance à le faire. Des expériences plus précises ne peuvent-elles pas prouver un jour que la loi énoncée plus haut n’est qu’approximative ? Et alors qu’adviendra-t-il de la géométrie ?
Mais nous pouvons être tranquilles sur ce point. La géométrie
est à l’abri de toute révision ; aucune expérience,
si précise soit-elle, ne peut la renverser. Si cela se pouvait,
il y a longtemps que ce serait fait. Nous savons depuis longtemps
que toutes les soi-disant lois expérimentales ne sont que des
approximations et des approximations grossières.
Que faut-il donc faire ? Quand l’expérience nous apprend
qu’un certain phénomène ne correspond pas du tout aux
lois indiquées, nous l’effaçons de la liste des déplacements.
Quand elle nous apprend qu’un certain changement ne leur obéit
qu’approximativement, nous considérons ce changement, par
une convention artificielle, comme la résultante de deux autres
changements composants. Le premier composant est regardé comme
un déplacement satisfaisant rigoureusement aux lois dont
je viens de parler, tandis que le second composant, qui est petit,
est regardé comme une altération qualitative. Ainsi nous
disons que les solides naturels ne subissent pas seulement de
grands changements de position, mais aussi de petites flexions
et de petites dilatations thermiques.
Par un changement externe par exemple, nous passons de l’ensemble d’impressions A à l’ensemble B. Nous corrigeons ce changement par un changement interne volontaire et nous sommes ramenés à l’ensemble A. Un nouveau changement externe nous fait passer de nouveau de l’ensemble A à l’ensemble B. Nous devons nous attendre alors à ce que ce changement puisse à son tour être corrigé par un autre changement interne volontaire qui provoquerait les mêmes sensations musculaires que et qui ramènerait l’ensemble d’impressions A. Si l’expérience ne confirme pas cette prédiction, nous ne sommes pas embarrassés. Nous disons que le changement , bien qu’il nous ait fait, comme , passer de l’ensemble A à l’ensemble B, n’est cependant pas identique au changement . Si notre prédiction ne se confirme qu’approximativement, nous disons que le changement est un déplacement identique au déplacement , mais accompagné d’une légère altération qualitative.
En résumé, les lois en question ne nous sont pas imposées par la nature, mais sont imposées par nous à la nature. Mais si nous les imposons à la nature, c’est parce qu’elle nous permet de le faire. Si elle offrait trop de résistance, nous chercherions dans notre arsenal une autre forme qui serait pour elle plus acceptable.
Conséquences de l’existence du groupe
Ce premier fait que les déplacements forment un groupe, contient
en germe une foule de conséquences importantes. L’espace doit
être homogène ; c’est-à-dire que tous ses points
sont capables de jouer le même rôle. L’espace doit être
isotrope ; c’est-à-dire que toutes les directions qui
partent du même point doivent jouer le même rôle.
Si un déplacement D me transporte d’un point à un autre ou
change mon orientation, je dois être, après ce déplacement
D, encore capable des mêmes mouvements qu’avant le déplacement
D, et ces mouvements doivent avoir conservé leurs propriétés
fondamentales qui m’ont permis de les classer parmi les déplacements.
S’il n’en était pas ainsi, le déplacement D suivi d’un autre
déplacement ne serait pas équivalent à un troisième ;
en d’autres termes, les déplacements ne formeraient pas un
groupe.
Ainsi le nouveau point auquel j’ai été transporté joue
le même rôle que celui auquel j’étais initialement ;
ma nouvelle orientation joue aussi le même rôle que l’ancienne ;
l’espace est homogène et isotrope.
Étant homogène il sera illimité ; car une catégorie
qui est limitée ne saurait être homogène puisque ses frontières
ne pourraient pas jouer le même rôle que son centre. Mais
cela ne veut pas dire qu’il est infini ; car la sphère
est une surface sans frontière et cependant elle est finie.
Toutes ces conséquences sont contenues en germe dans le fait
que nous venons de découvrir. Mais nous sommes encore incapables
de les percevoir parce que nous ne savons pas encore ce que c’est
qu’une direction ni même ce que c’est qu’un point.
Propriétés du groupe
Nous avons maintenant à étudier les propriétés du groupe.
Ces propriétés sont purement formelles. Elles sont indépendantes
de toute qualité et en particulier de la nature qualitative
des phénomènes qui constituent le changement auquel nous
avons donné le nom de déplacement. Nous avons remarqué
plus haut que nous pouvions considérer deux changements comme
représentant le même déplacement bien que les phénomènes
correspondants soient qualitativement tout à fait différents.
Les propriétés de ce déplacement restent les mêmes dans
les deux cas ; ou du moins les seules propriétés qui
nous intéressent, les seules qui soient susceptibles d’être
étudiées mathématiquement sont celles dans lesquelles la
qualité n’intervient aucunement. Une courte digression est
ici nécessaire pour rendre ma pensée compréhensible. Ce
que les mathématiciens appellent un groupe est l’ensemble
d’un certain nombre d’opérations et de toutes les combinaisons
qui peuvent être formées avec elles. Dans le groupe qui nous
occupe nos opérations sont des déplacements. Il arrive parfois
que deux groupes contiennent des opérations qui sont entièrement
différentes quant à leur nature, et que néanmoins ces opérations
se combinent suivant les mêmes lois. Nous disons alors que
les deux groupes sont isomorphes.
Les différentes permutations de six objets forment un groupe
et les propriétés de ce groupe sont indépendantes de la
nature des objets. Si au lieu de six objets matériels nous
prenons six lettres ou même les six faces d’un cube, nous obtenons
des groupes qui diffèrent quant à la matière dont ils sont
composés, mais qui sont tous isomorphes les uns avec les autres.
Les propriétés dites formelles sont celles qui sont communes
à tous les groupes isomorphes. Si je dis, par exemple, que
telle ou telle opération répétée trois fois est équivalente
à telle ou telle autre répétée quatre fois, j’ai énoncé
une propriété formelle, entièrement indépendante de la
qualité. De telles propriétés formelles sont susceptibles
d’être étudiées mathématiquement. On doit donc les énoncer
sous forme de propositions rigoureuses. D’un autre côté,
les expériences qui servent à les vérifier ne peuvent jamais
être qu’approchées. C’est dire que les expériences en question
ne peuvent jamais être le véritable fondement de ces propositions.
Nous avons en nous, en puissance, un certain nombre de modèles
de groupes et l’expérience nous aide seulement à découvrir
lequel de ces modèles s’écarte le moins de la réalité.
Continuité
Nous observons d’abord que le groupe est continu. Voyons ce
que cela veut dire et comment le fait peut être établi.
Le même déplacement peut être répété deux fois, trois
fois, etc. Nous obtenons ainsi différents déplacements qui
peuvent être regardés comme des multiples du premier.
Les multiples du même déplacement D forment un groupe ;
car la succession de deux de ces multiples est encore un multiple
de D. De plus, tous ces multiples sont échangeables ;
(vérité qu’on exprime en disant que le groupe qu’ils forment
est un faisceau) ; c’est-à-dire qu’il est indifférent
que nous répétions D d’abord trois fois et ensuite quatre
fois ou d’abord quatre fois et ensuite trois fois. C’est là
un jugement analytique a priori, une pure tautologie. Ce
groupe de multiples de D n’est qu’une partie du groupe total.
C’est ce qu’on appelle un sous-groupe.
Nous découvrons bientôt qu’un déplacement quelconque peut
toujours être divisé en deux, trois ou un nombre quelconque
de parties ; je veux dire que nous pouvons toujours trouver
un autre déplacement qui, répété deux, trois fois, reproduira
un déplacement donné. Cette divisibilité à l’infini nous
conduit naturellement à la notion de la continuité mathématique ;
cependant les choses ne sont pas aussi simples qu’elles le paraissent
à première vue.
Nous ne pouvons pas prouver cette divisibilité à l’infini
directement. Quand un déplacement est très petit, il est
imperceptible pour nous. Quand deux déplacements diffèrent
très peu, nous ne pouvons pas les distinguer. Si un déplacement
D est extrêmement petit, ses multiples consécutifs seront
indiscernables. Il peut arriver alors que nous ne puissions pas
distinguer 9D de 10D, ni 10D de 11D, mais que nous puissions
néanmoins distinguer 9D de 11D. Si nous voulions transcrire
ces données brutes de l’expérience en une formule nous écririons
9D = 10D, 10D = 11D, 9D < 11D.
Ce serait là la formule du continu physique. Mais une telle
formule répugne à la raison. Elle ne correspond à aucun
des modèles que nous portons en nous. Nous échappons à
ce dilemme par un artifice ; et à ce continu physique –
ou si vous préférez à ce continu sensible qui se présente
sous une forme intolérable pour nos esprits –, nous
substituons le continu mathématique. Séparant nos sensations
de ce quelque chose que nous appelons leur cause, nous admettons
que le quelque chose en question se conforme au modèle que
nous portons en nous et que nos sensations s’en écartent seulement
à cause de leur grossièreté.
Le même procédé revient chaque fois que nous soumettons
à la mesure les données de nos sens ; il est notamment
applicable à l’étude des déplacements. Du point que nous
avons atteint maintenant, nous pouvons rendre compte de nos sensations
de plusieurs manières différentes.
1° Nous pouvons supposer que chaque déplacement
fait partie d’un faisceau formé de tous les multiples d’un certain
petit déplacement, beaucoup trop petit pour être perçu
par nous. Nous aurions alors un faisceau discontinu qui nous
donnerait l’illusion de la continuité physique parce que nos
sens grossiers seraient incapables de discerner deux éléments
consécutifs quelconques du faisceau.
2° Nous pouvons supposer que chaque déplacement fait
partie d’un faisceau plus complexe et plus riche. Tous les déplacements
dont ce faisceau se compose seraient échangeables. Deux quelconques
d’entre eux seraient des multiples d’un autre déplacement plus
petit qui ferait lui-même partie du faisceau et qui pourrait
être regardé comme leur plus grand commun diviseur. Enfin
tout déplacement du faisceau pourrait être divisé en deux,
trois ou un nombre quelconque de parties, dans le sens que j’ai
donné plus haut à ce mot et le diviseur ferait encore partie
du faisceau. Les différents déplacements du faisceau seraient,
pour ainsi dire, commensurables l’un avec l’autre. À chacun
d’eux correspondrait un nombre commensurable et vice-versa.
Ce serait donc déjà une sorte de continu mathématique ;
mais cette continuité serait encore imparfaite, car il n’y
aurait rien qui correspondît aux nombres incommensurables.
3° Nous pouvons supposer enfin que notre faisceau est
parfaitement continu. Tous ses déplacements sont échangeables.
À chaque nombre commensurable ou incommensurable correspond
un déplacement et vice-versa. Le déplacement correspondant
au nombre n a n’est pas autre chose que le déplacement
correspondant au nombre a répété n fois.
Pourquoi est-ce la dernière de ces trois solutions qui a été
adoptée ? Les raisons de ce choix sont complexes.
1° Il a été établi par l’expérience que
les déplacements qui sont suffisamment grands peuvent être
divisés par un nombre quelconque ; et comme les instruments
de mesure ont augmenté de précision, cette divisibilité
a été démontrée pour des déplacements beaucoup plus
petits, à l’égard desquels elle semblait d’abord douteuse.
Nous avons ainsi été conduits par induction à supposer
que cette divisibilité est une propriété de tous les déplacements,
si petits qu’ils soient, et en conséquence à rejeter la première
solution et à nous décider en faveur de la divisibilité
à l’infini.
2° La première solution, comme la seconde, est incompatible
avec les autres propriétés du groupe, que nous connaissons
par d’autres expériences. J’expliquerai cela plus loin. La troisième
solution s’impose donc à nous par ce fait seul. Le contraire
pourrait être arrivé. Il aurait pu se faire que les propriétés
du groupe fussent incompatibles avec la continuité. Alors nous
aurions sans doute adopté la première solution.
Sous-groupes
La plus importante des propriétés formelles d’un groupe est
l’existence des sous-groupes. Il ne faut pas supposer qu’il peut
être formé autant de sous-groupes que nous voulons et qu’il
suffit de découper un groupe d’une manière arbitraire, comme
on découperait une argile inerte, pour obtenir un sous-groupe.
Si deux déplacements sont pris au hasard dans un groupe, il
sera nécessaire, pour en former un sous-groupe, d’y joindre
toutes leurs combinaisons et dans la plupart des cas, il arrive
qu’en combinant ces deux déplacements de toutes les manières
possibles, nous retrouvons finalement le groupe primitif dans
sa forme initiale intacte. Ainsi il peut arriver qu’un groupe
ne contienne pas de sous-groupe.
Cependant les groupes se distinguent les uns des autres, au point
de vue formel, par le nombre de sous-groupes qu’ils contiennent
et par les rapports des sous-groupes entre eux. Un examen superficiel
du groupe des déplacements montre tout de suite qu’il contient
quelques sous-groupes. Un examen plus approfondi les découvrira
tous. Nous verrons que parmi ces sous-groupes, il y en a qui
sont : 1° continus, c’est-à-dire dont tous
les déplacements sont divisibles à l’infini ; 2°
discontinus, c’est-à-dire dont aucun déplacement n’est divisible
à l’infini ; 3° mixtes, c’est-à-dire dont
certains déplacements sont divisibles à l’infini et d’autres
ne le sont pas.
D’un autre point de vue, nous distinguerons, parmi nos sous-groupes,
les faisceaux dont les déplacements sont tous échangeables
et les sous-groupes qui ne possèdent pas cette propriété.
Une autre manière de classer les déplacements et les sous-groupes
est la suivante :
Considérons deux déplacements et . Soit
un troisième déplacement défini comme la résultante
du déplacement , suivi du déplacement , suivi lui-même du déplacement
inverse de . Nous appellerons ce déplacement
le transformé de par .
Du point de vue formel tous les transformés du même déplacement
sont en quelque sorte équivalents ; ils jouent le même
rôle ; les Allemands disent qu’ils sont gleichberechtigt.
Ainsi (s’il m’est permis pour un instant d’employer à l’avance
le langage ordinaire de la géométrie que nous sommes censés
ne pas savoir encore) deux rotations de 60° sont gleichberechtigt,
deux déplacements hélicoïdaux du même pas et de la même
fraction de spire sont gleichberechtigt.
Les transformés de tous les déplacements d’un sous-groupe g
par le même déplacement
forment un nouveau sous-groupe que nous appellerons le transformé
du sous-groupe g par le déplacement . Les différents transformés du même sous-groupe, jouant
le même rôle au point de vue formel, sont gleicheberechtigt.
Il arrive généralement que beaucoup des transformés du
même sous-groupe sont identiques ; il arrivera même
quelquefois que tous les transformés d’un sous-groupe soient
identiques les uns aux autres et identiques au sous-groupe primitif.
On dit alors que ce sous-groupe est invariant (ce qui arrive,
par exemple, dans le cas du sous-groupe formé de toutes les
translations). L’existence d’un sous-groupe invariant est une
propriété formelle de la plus haute importance.
Sous-groupes rotatifs
Le nombre des sous-groupes est infini ; toutefois ils
peuvent être divisés en un nombre assez limité de classes
dont je ne veux pas donner ici une énumération complète.
Mais nous ne percevons pas tous ces sous-groupes avec la même
facilité. Certains d’entre eux n’ont été découverts que
tout récemment. Leur existence n’est pas une vérité intuitive.
Sans doute, elle peut se déduire des propriétés fondamentales
du groupe, de propriétés qui sont connues de tout le monde
et qui sont, pour ainsi dire, le patrimoine commun de tous les
esprits, sans doute elle y est contenue en germe ; cependant
ceux qui ont démontré leur existence ont senti à juste
titre qu’ils avaient fait une découverte et ont souvent été
obligés d’écrire de longs mémoires pour parvenir à leurs
conclusions.
D’autres sous-groupes, au contraire, nous sont connus d’une manière
bien plus immédiate. Sans beaucoup de réflexion chacun croit
en avoir une intuition directe et l’affirmation de leur existence
constitue les axiomes d’Euclide. Comment se fait-il que certains sous-groupes
ont tout de suite attiré l’attention tandis que d’autres ont
échappé à toute recherche pendant beaucoup plus longtemps ?
Nous allons expliquer cela par quelques exemples.
Un corps solide ayant un point fixe tourne devant nos yeux. Son
image se peint sur notre rétine et chacune des fibres du nerf
optique nous transmet une impression ; mais à cause
du mouvement du corps solide cette impression est variable. Une
de ces fibres, cependant, nous transmet une impression constante.
C’est celle à l’extrémité de laquelle l’image du point fixe
s’est formée. Nous avons ainsi un changement qui fait varier
certaines sensations, mais en laisse d’autres invariables. C’est
une propriété du déplacement, mais à première vue il
n’apparaît pas que ce soit une propriété formelle. Il semble
qu’elle fasse partie des caractères qualitatifs des sensations
perçues. Nous allons voir cependant que nous pouvons en dégager
une propriété formelle et pour rendre ma pensée plus claire,
je vais comparer ce qui se passe dans ce cas avec ce qui arrive
dans une autre circonstance qui est analogue en apparence.
Je suppose qu’un certain corps se meut devant mes yeux d’une manière
quelconque, mais qu’une certaine région de ce corps est peinte
d’une couleur suffisamment uniforme pour ne pas laisser discerner
d’ombres. Disons qu’elle est rouge. Si les mouvements ne sont
pas de trop grande amplitude et si la région rouge est suffisamment
étendue, certaines parties de la rétine resteront constamment
dans l’image de cette région, certaines fibres nerveuses me
transmettront constamment l’impression du rouge, le déplacement
aura laissé certaines sensations invariables.
Mais il y a une différence essentielle entre les deux cas.
Revenons au premier. Nous assistions là à un changement externe
dans lequel certaines sensations ne changeaient pas, tandis
que d’autres sensations changeaient. Nous pouvons corriger
ce changement externe par un changement interne et dans cette
correction les sensations restent cependant invariables.
Mais voici maintenant un nouveau corps solide qui tourne devant
nos yeux et subit les mêmes rotations que le premier. C’est
là un nouveau changement externe qui peut être entièrement
différent du premier d’un point de vue qualitatif, parce que
le nouveau corps qui tourne peut être peint de nouvelles couleurs
ou parce que nous sommes avertis de sa rotation par le toucher
et non par la vue. Nous découvrons cependant que c’est le même
déplacement parce qu’il peut être corrigé par le même
changement interne. Et nous découvrons aussi que, dans le nouveau
changement externe, certaines sensations , (peut-être totalement différentes de ), sont restées
invariables, tandis que d’autres sensations
ont varié. Ainsi cette propriété de conserver certaines
sensations nous apparaît finalement comme une propriété
formelle indépendante de la nature qualitative des sensations.
Passons au second exemple. Nous avons d’abord un changement externe
dans lequel une certaine sensation , une sensation de rouge,
est demeurée constante. Supposons qu’un autre corps solide,
peint différemment, subisse le même déplacement. Voici
un nouveau changement externe, et nous savons qu’il représente
le même déplacement, parce que nous pouvons le corriger par
le même changement interne. Nous découvrons généralement
que dans ce nouveau changement externe, il n’arrive pas que certaines
sensations demeurent constantes. Ainsi la conservation de la
sensation nous apparaîtra seulement comme une propriété
accidentelle, liée à la nature qualitative de la sensation.
Nous sommes ainsi conduits à distinguer parmi les déplacements
ceux qui conservent certaines sensations. L’ensemble des
déplacements qui conservent ainsi un système donné de sensations
forme évidemment un sous-groupe que nous pouvons appeler sous-groupe
rotatif.
Telle est la conclusion que nous tirons de l’expérience. Il
est inutile de faire ressortir combien l’expérience est grossière
et combien d’autre part la conclusion est précise. L’expérience
ne peut donc pas nous imposer la conclusion, mais elle suffit
à nous la suggérer. Elle suffit à montrer que, de tous
les groupes dont la notion préexiste en nous, les seuls que
nous puissions adopter en vue d’y rapporter nos sensations sont
ceux qui contiennent un tel sous-groupe.
À côté du sous-groupe rotatif, considérons ses transformés
qui peuvent aussi être appelés sous-groupes rotatifs. (Sous-groupes
de rotations autour d’un point fixe). Par de nouvelles expériences,
toujours très grossières, il apparaît alors :
1° Que deux sous-groupes rotatifs quelconques ont des
déplacements communs ;
2° Que ces déplacements communs, tous échangeables
entre eux, forment un faisceau qui peut être appelé faisceau
rotatif. (Rotations autour d’un axe fixe).
3° Qu’un faisceau rotatif quelconque fait partie non
seulement de deux sous-groupes rotatifs, mais d’une infinité.
C’est là l’origine de la notion de ligne droite comme le sous-groupe
rotatif était l’origine de la notion de point.
Considérons maintenant tous les déplacements d’un faisceau
rotatif. Si nous considérons un déplacement quelconque, il
ne sera pas, en général, échangeable avec tous les déplacements
du faisceau, mais nous découvrirons bientôt qu’il existe
des déplacements qui sont échangeables avec tous ceux du
faisceau rotatif et qu’ils forment un sous-groupe plus vaste
qui peut être appelé sous-groupe hélicoïdal. (Combinaisons
de rotations autour d’un axe et de translations parallèles
à cet axe). Cela est évident si l’on observe qu’une ligne
droite peut glisser le long d’elle-même.
Enfin, nous tirons des mêmes observations grossières des
propositions telles que les suivantes :
Tout déplacement suffisamment petit et faisant partie d’un
sous-groupe rotatif donné, peut toujours être décomposé
en trois autres, appartenant respectivement à trois faisceaux
rotatifs donnés. Tout déplacement échangeable avec un sous-groupe
rotatif fait partie de ce sous-groupe.
Tout déplacement suffisamment petit peut toujours être décomposé
en deux autres, appartenant respectivement à deux sous-groupes
rotatifs donnés ou à six faisceaux rotatifs donnés.
Je reviendrai plus tard en détail sur l’origine de ces diverses
propositions.
Sous-groupes translatifs
Avec ces propositions, nous sommes en mesure, non pas de construire la
géométrie d’Euclide, mais de limiter notre choix à un choix entre la
géométrie d’Euclide et celles de Lobatchevsky ou de Riemann. Pour
aller plus loin, nous avons besoin d’une nouvelle proposition qui
prenne la place du postulatum des parallèles. La proposition
qui en tiendra lieu sera l’affirmation de l’existence d’un sous-groupe
invariant dont tous les déplacements
sont échangeables et qui est formé de toutes les translations.
C’est là ce qui détermine notre choix en faveur de la géométrie
d’Euclide, parce que le groupe qui correspond à la géométrie de
Lobatchevsky ne contient pas un tel sous-groupe invariant.
Nombre des dimensions
Dans la théorie ordinaire des groupes, nous distinguons l’ordre
et le degré. Supposons d’abord le cas le plus simple, celui
d’un groupe formé par différentes permutations entre certains
objets. Le nombre des objets est appelé le degré ;
le nombre des permutations est appelé l’ordre du groupe. Deux
tels groupes peuvent être isomorphes et leurs permutations
peuvent se combiner suivant les mêmes lois sans que leur degré
soit le même. Ainsi considérons les différentes manières
dont un cube peut être superposé à lui-même. Les sommets
peuvent être échangés l’un avec l’autre comme peuvent l’être
aussi les faces et les arêtes ; d’où résultent trois
groupes de permutations qui sont évidemment isomorphes entre
eux ; mais leur degré peut être huit, six ou douze,
puisqu’il y a huit sommets, six faces et douze arêtes.
D’autre part deux groupes isomorphes entre eux ont toujours le
même ordre. Le degré est, pour ainsi dire, un élément
matériel et l’ordre un élément formel dont l’importance
est bien plus grande. La théorie de deux groupes de degré
différent peut être la même en ce qui concerne ses propriétés
formelles ; exactement comme la théorie mathématique
de l’addition de trois vaches et quatre vaches est identique
à celle de trois chevaux et quatre chevaux.
Quand nous passons aux groupes continus les définitions de
l’ordre et du degré doivent être modifiées, mais sans en
sacrifier l’esprit. Les mathématiciens supposent ordinairement
que l’objet des opérations du groupe est un ensemble d’un
certain nombre n de quantités susceptibles de varier d’une
manière continue, lesquelles quantités sont appelées coordonnées.
D’autre part, toute opération du groupe peut être regardée
comme faisant partie d’un faisceau analogue au faisceau rotatif
et comme un multiple d’un ordre très élevé d’une opération
infinitésimale appartenant au même faisceau. En outre, toute
opération infinitésimale du groupe peut être décomposée
en k autres opérations appartenant à k faisceaux donnés.
Le nombre n des coordonnées (ou des dimensions) est alors
le degré et le nombre k des composantes d’une opération
infinitésimale est l’ordre. Ici encore deux groupes isomorphes
peuvent avoir des degrés différents, mais doivent être
du même ordre. Ici encore le degré est un élément relativement
matériel et secondaire et l’ordre un élément formel. Étant
donné les lois établies plus haut, le groupe de déplacements
que nous considérons est ici du sixième ordre, mais son degré
est encore inconnu. Ce degré nous sera-t-il donné immédiatement ?
Les déplacements, comme nous l’avons vu, correspondent à
des changements dans nos sensations et si nous distinguons dans
notre groupe entre la forme et la matière, la matière ne
peut pas être autre chose que ce que les déplacements font
changer, c’est-à-dire nos sensations. Même si nous supposons
que ce que nous avons appelé plus haut espace sensible fût
déjà construit, la matière du groupe sera représentée
par autant de variables continues qu’il y a de fibres nerveuses ;
le “degré” de notre groupe serait
extrêmement grand. L’espace n’aurait pas trois dimensions, mais
autant qu’il y a de fibres nerveuses. Telle est la conséquence
à laquelle nous arrivons si nous considérons comme matière
de notre groupe ce qui nous est immédiatement donné. Comment
échapperons nous à la difficulté ? Évidemment
en remplaçant le groupe qui nous est donné, avec sa forme
et sa matière, par un autre groupe isomorphe, dont la matière
est plus simple.
Mais comment cela peut-il se faire ? Précisément grâce
à cette circonstance que les déplacements qui conservent
certains éléments sont les mêmes que ceux qui conservent
certains autres éléments. Nous convenons alors de remplacer
tous ces éléments qui sont conservés par les mêmes déplacements
par un seul élément qui n’a qu’une valeur purement schématique.
D’où résulte une réduction considérable du degré.
Je vois par exemple un corps solide tournant autour d’un point
fixe. Les parties voisines du point fixe sont peintes en rouge.
C’est un déplacement et dans ce déplacement je perçois
que quelque chose demeure invariable –, à savoir la
sensation de rouge qui m’est transmise par une certaine fibre
du nerf optique. Quelque temps après, je vois un autre corps
solide tournant autour d’un point fixe. Mais les parties voisines
du point fixe sont peintes en vert. Les sensations éprouvées
sont en elles-mêmes tout à fait différentes, mais je perçois
que c’est le même déplacement parce qu’il peut être corrigé
par le même changement interne. Ici encore quelque chose reste
invariable ; mais ce quelque chose est entièrement différent
au point de vue matériel ; c’est la sensation de vert
transmise par une certaine fibre nerveuse.
Ces deux choses qui sont matériellement si différentes, je
les remplace schématiquement par une seule chose que j’appelle
un point et j’exprime ma pensée en disant que dans un cas comme
dans l’autre un point du corps est demeuré fixe. Ainsi chacun
de nos nouveaux éléments sera ce qui est conservé par tous
les déplacements d’un sous-groupe ; à chaque sous-groupe
correspondra alors un élément et vice-versa.
Considérons les différents transformés du même sous-groupe.
Le nombre en est infini et ils peuvent former une infinité
continue simple, double ou triple. À chacun de ces transformés
on peut faire correspondre un élément ; j’ai alors
une infinité simple, double, triple, etc., de ces éléments
et le degré de notre groupe continu est 1, 2, 3 ….
Supposons que nous prenions les différents transformés d’un
sous-groupe rotatif. Nous avons ici une infinité triple. La
matière de notre groupe se compose donc d’une triple infinité
d’éléments. Le degré du groupe est trois. Nous avons en
ce cas choisi le point comme élément de l’espace et donné
à l’espace trois dimensions.
Supposons que nous prenions les différents transformés d’un
sous-groupe hélicoïdal. Ici nous avons une infinité quadruple.
La matière de notre groupe se compose d’une quadruple infinité
d’éléments. Son degré est quatre. Nous avons en ce cas
choisi la ligne droite comme élément de l’espace –,
ce qui donnerait à l’espace quatre dimensions.
Supposons enfin que nous choisissions les différents transformés
d’un faisceau rotatif. Le degré serait alors cinq. Nous avons
choisi comme élément de l’espace la figure formée par une
ligne droite et un point sur cette ligne droite. L’espace aurait
cinq dimensions.
Ce sont là trois solutions donc chacune est possible logiquement.
Nous préférons la première parce qu’elle est la plus simple
et elle est la plus simple parce qu’elle est celle qui donne
à l’espace le nombre le plus petit de dimensions. Mais il y
a une autre raison qui recommande ce choix. Le sous-groupe rotatif
attire d’abord notre attention parce qu’il conserve certaines
sensations. Le sous-groupe hélicoïdal ne nous est connu
que plus tard et indirectement. Le faisceau rotatif d’autre part
n’est lui-même qu’un sous groupe du sous-groupe rotatif.
La notion de point
Je sens que je touche ici au point le plus délicat de cette
discussion et je suis obligé de m’arrêter un moment pour
justifier plus complètement les assertions qui précèdent
et dont certaines personnes pourraient être disposées à
douter. Beaucoup de personnes en effet considèrent la notion
d’un point de l’espace comme si immédiate et si claire que toute
définition en est superflue. Mais je pense qu’on m’accordera
qu’une notion aussi subtile que celle du point mathématique
sans longueur, largeur, ni épaisseur n’est pas immédiate
et qu’elle a besoin d’être expliquée.
Mais en est-il de même pour la notion plus vague et moins exactement
définie, mais plus empirique de place ? Y a-t-il
quelqu’un qui ne s’imagine pas savoir parfaitement ce dont il
parle lorsqu’il dit : cet objet occupe la place qui était
occupée par cet autre objet ? Pour déterminer la portée
de cette assertion et les conclusions qui peuvent en être tirées,
cherchons à en analyser la signification. Si je n’ai bougé
ni mon corps, ni ma tête, ni mon œil et si l’image de l’objet
B affecte les mêmes fibres rétiniennes qu’affectait auparavant
l’image de l’objet ; si encore, bien que je n’aie bougé
ni mon bras, ni ma main, les mêmes fibres sensorielles qui
aboutissent à l’extrémité du doigt et qui me transmettaient
d’abord l’impression que j’attribuais à l’objet , me transmettent
maintenant l’impression que j’attribue à l’objet ; si
ces deux conditions sont remplies, – alors nous convenons
ordinairement de dire que l’objet occupe la place que l’objet
occupait auparavant.
Avant d’analyser une convention aussi compliquée que celle
que nous venons d’indiquer, je ferai d’abord une remarque. Je
viens d’énoncer deux conditions : l’une relative à
la vue et l’autre relative au toucher. La première est nécessaire,
mais n’est pas suffisante, car nous disons dans le langage ordinaire
que le point de la rétine où une image se forme nous donne
seulement connaissance de la direction du rayon visuel, mais
que la distance de l’œil demeure inconnue. La seconde condition
est à la fois nécessaire et suffisante parce que nous admettons
que l’action du toucher ne s’exerce pas à distance et que l’objet
comme l’objet ne peut agir sur le doigt que par un contact
immédiat. Tout cela concorde avec ce que l’expérience nous
a appris ; à savoir que la première condition peut
être remplie sans que la seconde se réalise, mais que la
seconde ne peut pas être remplie sans que la première le
soit. Remarquons que nous sommes ici en présence d’un fait
que nous ne pouvions pas connaître a priori et que l’expérience
seule pouvait nous le démontrer.
Mais ce n’est pas tout. Pour déterminer la place d’un objet
je n’ai fait usage que d’un œil et d’un doigt. J’aurais pu faire
usage de plusieurs autres moyens, – par exemple de tous
mes autres doigts. Après avoir été averti que l’objet
a produit sur mon premier doigt une impression tactile, supposons
que par une série de mouvements mon second doigt vienne au
contact du même objet . Ma première impression tactile cesse
et est remplacée par une autre impression tactile qui m’est
transmise par le nerf du second doigt et que j’attribue encore
à l’action de l’objet . Quelque temps après et sans que j’aie
bougé ma main, le même nerf du second doigt me transmet une
autre impression tactile que j’attribue à l’action d’un autre
objet . Je dis alors que l’objet a pris la place de l’objet
.
À ce moment je fais une série de mouvements
inverse de la série . Comment sais-je que ces deux séries
sont inverses l’une de l’autre ? Parce que l’expérience
m’a appris que quand le changement interne qui correspond à
certaines sensations musculaires est suivi par un changement
interne qui correspond à d’autres sensations musculaires, il se produit
une compensation et que mes impressions primitives, d’abord modifiées
par le changement , sont rétablies par le changement .
J’exécute la série de mouvements . L’effet doit être de ramener mon premier doigt à sa position
initiale et de le mettre ainsi au contact de l’objet qui a
pris la place de l’objet . Je dois donc m’attendre à ce que
le nerf de mon premier doigt me transmette une impression tactile
attribuable à l’objet . Et en fait c’est ce qui arrive.
Mais serait-il donc absurde de supposer le contraire ?
Et pourquoi serait-ce absurde ? Dirai-je que l’objet
ayant pris la place de l’objet et mon premier doigt ayant repris
sa place initiale, il doit toucher l’objet comme il touchait
auparavant l’objet ? Cela serait une pure pétition
de principe. Et pour le montrer, essayons d’appliquer le même
raisonnement à un autre exemple ou plutôt revenons à l’exemple
de la vue et du toucher que je citais au début.
L’image de l’objet fait une impression sur l’une de mes fibres
rétiniennes. En même temps, le nerf de l’un de mes doigts
me transmet une impression tactile que j’attribue au même objet.
Je ne bouge ni mon œil ni ma main. Et un moment après l’image
de l’objet frappe la même fibre rétinienne. Par un raisonnement
tout à fait analogue à celui qui précède, je serais tenté
de conclure que l’objet a pris la place de l’objet et je m’attendrais
à ce que le nerf de mon doigt me transmette une impression
tactile attribuable à . Et cependant je me serais trompé.
Car il peut arriver que l’image de se forme sur le même point
de la rétine que l’image de sans que la distance de l’œil
soit la même dans les deux cas.
L’expérience a réfuté mon raisonnement. Je m’en tire en
disant qu’il ne suffit pas que deux corps forment leur image
sur la même fibre rétinienne pour me permettre de dire que
les deux corps sont à la même place ; et je m’en tirerais
d’une manière analogue dans le cas des deux doigts si les indications
du second doigt n’avaient pas été d’accord avec celles du
premier, et si l’expérience avait contredit mon raisonnement.
Je dirais encore en ce cas que deux objets A et B peuvent faire
une impression sur le même doigt par le moyen du toucher et
cependant ne pas être à la même place ; en d’autres
termes je conclurais que le toucher peut s’exercer à distance.
Ou encore je conviendrais de ne considérer A et B comme étant
à la même place qu’à la condition qu’il y ait concordance
non seulement entre leurs effets sur le premier doigt, mais aussi
entre leurs effets sur le second doigt. On pourrait presque dire,
à un certain point de vue, que de cette façon une dimension
de plus serait attribuée à l’espace.
En résumé, il y certaines lois de concordance qui ne
peuvent nous être révélées que par l’expérience, et
qui sont à la base de la vague notion de place.
Mais même en considérant ces lois de concordance comme acquises,
pouvons-nous en déduire la notion beaucoup plus exacte de point
et la notion du nombre des dimensions ? Cela reste à
examiner.
D’abord une observation. Nous avons parlé de deux objets
et qui ont formé l’un après l’autre leur image sur le même
point de la rétine. Mais ces deux images ne sont pas identiques ;
sans cela comment pourrais-je les distinguer ? Elles diffèrent,
par exemple, en couleur. L’une est rouge, l’autre est verte. Nous
avons donc deux sensations qui diffèrent en qualité et qui
me sont certainement transmises par deux fibres nerveuses différentes
quoique contiguës. Qu’ont-elles de commun et pourquoi suis-je
conduit à les associer ? Il est probable que si l’œil
était immobile nous n’aurions jamais pensé à cette association.
Ce sont les mouvements de l’œil qui nous ont appris qu’il y
a la même relation d’une part entre la sensation de vert au
point A de la rétine et la sensation de vert au point B de
la rétine et d’autre part entre la sensation de rouge au point
A de la rétine et la sensation de rouge au point B de la rétine.
Nous avons constaté, en fait, que les mêmes mouvements, correspondant
aux mêmes sensations musculaires, nous font passer de la première
à la seconde ou de la troisième à la quatrième. S’il
n’en était pas ainsi, ces quatre sensations nous apparaîtraient
comme qualitativement distinctes et nous ne songerions pas plus
à établir entre elles une sorte de proportion qu’entre une
sensation olfactive, une sensation gustative, une sensation auditive
et une sensation tactile.
Cependant, quelle que soit l’origine de cette association, elle
est impliquée dans la notion de place qui n’aurait pas pris
naissance sans elle. Analysons donc ses lois. Nous ne pouvons
les concevoir que sous deux formes différentes également
éloignées de la continuité mathématique : à
savoir la discontinuité ou la continuité physique.
Sous la première forme, nos sensations seront divisées en
un très grand nombre de “familles”,
toutes les sensations d’une famille étant associées entre
elles et n’étant pas associées à celles des autres familles.
Puisque à chaque famille correspondrait une place, nous aurions
un nombre fini, mais très grand de places et les places formeraient
un ensemble discret. Il n’y aurait aucune raison pour les classer
dans un tableau à trois dimensions plutôt que dans un tableau
à deux ou à quatre dimensions et nous ne pourrions en déduire
ni le point ni l’espace mathématiques.
Sous la seconde forme qui est plus satisfaisante les différentes
familles se pénètrent l’une l’autre. A, par exemple, sera
associé à B et B à C. Mais A ne nous apparaîtra pas
comme associé à C. Nous trouverons que A et C n’appartiennent
pas à la même famille, bien que A et B d’une part et B et
C d’autre part nous apparaissent comme appartenant à la même
famille. Ainsi nous ne pouvons pas distinguer entre un poids
de neuf grammes et un poids de dix grammes, ni entre ce dernier
poids et un poids de onze grammes. Mais nous percevons sans hésiter
la différence entre le premier poids et le troisième. C’est
là toujours la formule du continu physique.
Figurons-nous une série de pains à cacheter se recouvrant
partiellement l’un l’autre de telle manière que le plan soit
entièrement couvert ; ou mieux, figurons-nous quelque
chose d’analogue dans un espace à trois dimensions. Si ces
pains à cacheter ne formaient par leur superposition qu’une
sorte de ruban à une dimension, nous reconnaîtrions cette
circonstance au fait que les associations dont je viens de parler
obéiraient à une loi qui peut être formulée ainsi :
si A est associé à la fois à B, C et D, D est associé
à B ou à C. Cette loi ne serait pas vraie si nos pains à
cacheter couvraient par leur superposition un plan ou un espace
à plus de deux dimensions. Quand je dis par conséquent que
toutes les places possibles constituent un ensemble à une dimension
ou à plus d’une dimension, je veux simplement dire que la loi
indiquée est vraie ou qu’elle est fausse. Quand je dis que
ces places constituent un ensemble à deux ou trois dimensions,
j’affirme simplement que certaines lois analogues sont vraies.
Tels sont les fondements sur lesquels nous pouvons essayer de
construire une théorie statique du nombre des dimensions.
On voit combien cette manière de définir le nombre des dimensions
est compliquée, combien elle est imparfaite et il est inutile
de faire remarquer la distance qui sépare encore le continu
physique à trois dimensions ainsi compris du véritable continu
mathématique à trois dimensions.
Discussion de la théorie précédente
Sans nous attarder à une foule de détails difficiles, voyons
en quoi consistent ces associations sur lesquelles repose la
notion de place. Nous verrons que nous sommes finalement ramenés,
après un long détour, à la notion de groupe qui nous est
apparue au début comme la plus propre à élucider la question
du nombre des dimensions.
Par quels moyens différentes “places”
sont-elles discernées les unes des autres ? Comment
distinguerai-je, par exemple, deux places occupées successivement
par l’extrémité d’un de mes doigts ? Évidemment par
les mouvements que mon corps a faits dans l’intervalle, mouvements
qui me sont révélés par une certaine série de sensations
musculaires. Les deux places correspondent à deux attitudes
et positions distinctes du corps qui me sont connues seulement
par les mouvements que j’ai eu à faire pour changer une certaine
attitude initiale et une certaine position initiale ;
et ces mouvements eux-mêmes ne me sont connus que par les sensations
musculaires qu’ils ont provoquées.
Deux attitudes du corps, ou deux places correspondantes du doigt
me paraissent identiques, si les deux mouvements que je dois
faire pour les atteindre diffèrent si peu l’un de l’autre que
je ne puisse pas distinguer les sensations musculaires correspondantes.
Elles me paraîtront non identiques, sans convention nouvelle,
si elles correspondent à deux séries de sensations musculaires
discernables.
Mais par ces considérations nous avons engendré non un continu
physique à trois dimensions, mais un continu physique à un
beaucoup plus grand nombre de dimensions ; car je peux
faire varier les sensations musculaires correspondant à un
très grand nombre de muscles et d’autre part je ne considère
pas une sensation musculaire isolée, ni même un ensemble
de sensations simultanées, mais une série de sensations successives
et je peux faire varier d’une manière arbitraire les lois d’après
lesquelles ces sensations se succèdent.
Pourquoi le nombre des dimensions est-il réduit, ou, ce qui
est la même chose, pourquoi considérons-nous deux places
comme identiques, alors même que les deux attitudes correspondantes
du corps sont différentes ? Pourquoi disons-nous dans
certains cas que la place occupée par l’extrémité d’un doigt
n’a pas changé quoique l’attitude du corps ait changé ?
C’est parce que nous découvrons que, très souvent,
dans le mouvement qui nous fait passer de l’une à l’autre de
ces deux attitudes, la sensation tactile attribuable au contact
de ce doigt avec un objet A persiste et demeure constante. Nous convenons
alors de dire que ces deux attitudes doivent être placées
dans la même classe et que cette classe doit comprendre toutes
les attitudes correspondant à la même place occupée par
le même doigt. Et nous convenons de dire que ces deux attitudes
doivent encore être placées dans la même classe même
quand elles ne sont accompagnées d’aucune sensation tactile
ou qu’elles sont accompagnées de sensations tactiles variables.
Cette convention a été inspirée par l’expérience, parce
que l’expérience seule nous avertit que certaines sensations
tactiles sont souvent persistantes. Mais pour que des conventions
de cette espèce soient légitimes, elles doivent satisfaire
à certaines conditions qu’il nous reste maintenant à analyser.
Si je place les attitudes A et B dans la même classe et aussi
les attitudes B et C dans la même classe, il s’ensuit nécessairement
que les attitudes A et C doivent être regardées comme appartenant
à la même classe. Si donc nous convenons de dire que les
mouvements qui causent le passage de l’attitude A à l’attitude
B ne changent pas la place du doigt, et si la même chose est
vraie des mouvements qui causent le passage de l’attitude B à
l’attitude C, il s’ensuit nécessairement que la même chose
est encore vraie de ceux qui causent le passage de l’attitude
A à l’attitude C. En d’autres termes, l’ensemble des mouvements
causant un passage d’une attitude à une autre attitude de la
même classe constitue un groupe. C’est seulement lorsqu’un tel
groupe existe que la convention établie plus haut est admissible.
À chaque classe d’attitudes, et par conséquent à chaque
place, correspondra donc un groupe et nous sommes ici ramenés
encore à la notion de groupe sans laquelle il n’y aurait pas
de géométrie.
Néanmoins il y a une différence entre le principe que nous
discutons ici et la théorie que j’ai développée plus haut.
Ici chaque place m’apparaît comme associée à un certain
groupe qui est introduit comme sous-groupe du groupe formé
par les mouvements qui peuvent donner au corps toutes les positions
possibles et toutes les attitudes possibles, les situations relatives
des différentes parties du corps pouvant varier d’une manière
quelconque. Dans notre autre théorie au contraire chaque point
était associé à un sous-groupe du groupe
formé par les déplacements du corps envisagé comme un
solide invariable, c’est-à-dire par des déplacements tels
que les situations relatives des différentes parties du corps
ne varient pas.
Laquelle des deux théories doit-on préférer ? Il
est évident que est un sous-groupe de et
un sous-groupe de . De plus est beaucoup plus simple que et pour cette raison la théorie
que j’ai proposée d’abord et qui est basée sur la considération
du groupe me paraît plus simple et plus naturelle et en conséquence
je m’y tiendrai.
Mais quoi qu’il en soit, l’introduction d’un groupe, plus ou moins
compliqué, me paraît absolument nécessaire. Toute théorie
purement statique du nombre des dimensions donnera lieu à beaucoup
de difficultés et il sera toujours nécessaire de se rabattre
sur une théorie dynamique. Je suis heureux d’être d’accord
sur ce point avec les idées exposées par le Professeur Newcomb
dans sa Philosophy of Hyperspace.
Le raisonnement d’Euclide
Mais pour montrer que l’idée de déplacement et par conséquent
l’idée de groupe a joué un rôle prépondérant dans la
genèse de la géométrie, il reste à faire voir que cette
idée domine tous les raisonnements d’Euclide
et des auteurs qui ont écrit après lui
sur la géométrie élémentaire.
Euclide commence par énoncer un certain nombre
d’axiomes ; mais on ne doit pas s’imaginer que les axiomes
qu’il énonce explicitement sont les seuls auxquels il a recours.
Si nous analysons soigneusement ses démonstrations, nous y
trouverons, sous une forme plus ou moins voilée, un certain
nombre d’hypothèses qui sont en réalité des axiomes déguisés ;
et nous pourrions en dire presque autant de quelques-unes de
ses définitions.
Sa géométrie commence par déclarer que deux figures sont
égales si elles sont superposables. Ceci admet qu’elles peuvent
être déplacées et aussi que parmi tous les changements
qu’elles peuvent subir, nous pouvons distinguer ceux qui peuvent
être regardés comme des déplacements sans déformation.
Cette définition implique également que deux figures qui
sont égales à une troisième sont égales entre elles.
Et cela revient à dire que s’il y a un déplacement qui mette
la figure A sur la figure B et un second déplacement qui superpose
la figure B à la figure C, il y en aura aussi un troisième,
la résultante des deux premiers, qui superposera la figure
A à la figure C. En d’autres termes on présuppose que les
déplacements forment un groupe. La notion de groupe, par conséquent,
est introduite dès le début et introduite inévitablement.
Quand je prononce le mot “longueur”,
un mot que nous estimons souvent inutile de définir, j’admets
implicitement que la figure formée par deux points n’est pas
toujours superposable à celle qui est formée par deux autres
points ; car autrement deux longueurs quelconques seraient
égales entre elles. Or, c’est là justement une propriété
importante de notre groupe.
J’énonce implicitement une hypothèse analogue quand je prononce
le mot “angle”.
Et comment procédons-nous dans nos raisonnements ? En
déplaçant nos figures et en leur faisant exécuter certains
mouvements. Je veux montrer qu’en un point donné d’une ligne
droite on peut toujours élever une perpendiculaire, et pour
cela j’imagine une droite mobile tournant autour du point en
question. Mais ici je présuppose que le mouvement de cette
nouvelle droite est possible, qu’il est continu, et qu’en tournant
ainsi elle peut passer de la position dans laquelle elle se confond
avec la ligne droite donnée à la position opposée dans
laquelle elle se confond avec son prolongement. Ici encore nous
avons une hypothèse qui touche aux propriétés du groupe.
Pour démontrer les cas d’égalité des triangles, les figures
sont déplacées de telle sorte qu’elles se superposent l’une
à l’autre.
Enfin quelle est la méthode employée pour démontrer que
par un point donné on peut toujours mener une et une seule
perpendiculaire à une droite donnée ? On fait tourner
la figure de 180° autour de la ligne droite donnée
et on obtient de cette manière le point symétrique au point
donné par rapport à la droite donnée. Nous avons ici un
exemple fort caractéristique et qui met en évidence le rôle
que la ligne droite joue le plus fréquemment dans les démonstrations
géométriques, celui d’un axe de rotation.
Ceci implique l’existence du sous-groupe que j’ai appelé le
faisceau rotatif. Quand, – ce qui arrive aussi fréquemment –,
on fait glisser une ligne droite le long d’elle-même (continuant
bien entendu à supposer que la droite peut servir d’axe de
rotation) on tient implicitement pour assurée l’existence du
sous-groupe hélicoïdal. En résumé le principal fondement
des démonstrations d’Euclide
est réellement l’existence du groupe et
ses propriétés.
Sans doute, il a recours à d’autres axiomes qu’il est plus difficile
de rapporter à la notion de groupe. Tel est l’axiome qu’emploient
quelques géomètres quand il définissent la ligne droite
comme la plus courte distance entre deux points. Mais ce
sont précisément les axiomes de cette nature qu’Euclide
énonce. Les autres, qui sont plus directement
associés à l’idée de déplacement et à l’idée de groupe,
sont justement ceux qu’il admet implicitement et qu’il ne croit
même pas nécessaire d’énoncer. Cela revient à dire que
les premiers axiomes (ceux qui sont énoncés) sont le fruit
d’une expérience plus récente, tandis que les sous-entendus
ont été assimilés les premiers par nous ; par conséquent
la notion de groupe existait avant toutes les autres.
La géométrie de Staudt
On sait que Staudt a essayé de construire
la géométrie sur des principes différents. Staudt n’admet
que les axiomes suivants :
1° Par deux points on peut toujours mener une ligne
droite.
2° Par trois points on peut toujours faire passer un
plan.
3° Toute ligne droite ayant deux de ses points dans
un plan est entièrement contenue dans ce plan.
4° Si trois plans ont un point commun, et un seulement,
toute ligne droite coupera au moins un de ces trois plans.
Ces axiomes suffisent à établir toutes les propriétés descriptives,
relatives aux intersections des lignes droites et des plans.
Pour obtenir les propriétés métriques nous commençons
par définir un faisceau harmonique de quatre droites en
prenant comme définition la propriété descriptive bien
connue. Alors le rapport anharmonique de quatre points est défini
et enfin, en supposant que l’un de ces quatre points a été
rejeté à l’infini, le rapport de deux longueurs est défini.
C’est là le point faible de la théorie précédente, si
séduisante qu’elle soit. Arriver à la notion de longueur
en la regardant seulement comme un cas particulier du rapport
anharmonique est un détour artificiel auquel on répugne.
Ce n’est évidemment pas de cette manière que nos notions
géométriques se sont formées.
Voyons maintenant si nous pouvons concevoir, sans introduire
la notion de groupe et de mouvement, comment les notions qui
servent de fondement à cette ingénieuse géométrie ont
pris naissance. Voyons quelles expériences auraient pu nous
conduire à formuler les axiomes énoncés plus haut.
Si la ligne droite n’est pas donnée comme un axe de rotation,
elle ne peut être donnée que d’une façon, comme le trajet
d’un rayon lumineux. Je veux dire que les expériences, toujours
plus ou moins grossières, qui nous servent de point de départ,
devront toutes être applicables au rayon lumineux et que nous
devons définir la ligne droite comme une ligne pour laquelle
les lois simples auxquelles le rayon lumineux obéit approximativement,
seront rigoureusement vraies. L’expérience qu’il nous faudra
faire pour vérifier le plus important de nos axiomes, le troisième,
sera alors la suivante :
Soient deux fils tendus. Plaçons l’œil à l’extrémité
de l’un de ces fils. Nous voyons que le fil est entièrement
caché par son extrémité, ce qui nous apprend que le fil
est rectiligne, c’est-à-dire suit le trajet d’un rayon lumineux.
Faisons la même chose pour le second fil. Nous observons alors
ce qui suit : ou bien il n’y aura aucune position de l’œil
dans laquelle l’un des fils soit entièrement caché par l’autre,
ou bien il y en aura une infinité.
Comment se présente la question du nombre des dimensions quand
on suit cet ordre d’idées ? Considérons toutes les
positions de l’œil dans lesquelles l’un des fils est caché
par l’autre. Supposons que dans l’une de ces positions le point
du premier fil soit caché par le point du second, le point
par le point , le point par le point . Nous découvrons alors que si le corps se déplace de telle
façon que le point soit toujours caché par le point
et le point par le point , le point reste toujours caché par le point
et en général un point quelconque du premier fil reste caché
par le même point du second fil par lequel il était caché
avant que le corps ne se déplace. Nous exprimons ce fait en
disant que, bien que le corps se soit déplacé, la position
de l’œil n’a pas changé.
Nous voyons ainsi que la position de l’œil est définie par
deux conditions, que soit caché par
et par . Nous exprimons ce fait en disant que le lieu des points tel
que les deux fils se cachent l’un l’autre a deux dimensions.
De même, supposons que pour une certaine position du corps,
quatre fils, , , , cachent quatre point
, , , ; supposons que le corps se déplace, mais de telle manière
que , et continuent à cacher
, et . Nous découvrirons alors que continue à cacher
et nous exprimerons encore ce fait en disant que la position
de l’œil n’a pas changé. Cette position sera donc définie
par trois conditions et c’est pourquoi nous disons que l’espace
a trois dimensions.
On remarquera que la loi ainsi découverte expérimentalement
n’est vraie qu’approximativement. Mais ce n’est pas tout. Elle
n’est même pas toujours vraie, parce que ou
peuvent avoir bougé en même temps que mon corps se déplaçait.
Nous déclarons donc simplement que cette loi est souvent approximativement
vraie.
Mais nous sommes désireux d’arriver à des axiomes géométriques
qui soient rigoureusement et toujours vrais et nous échappons
toujours à ce dilemme par le même artifice, en disant que
nous convenons de considérer le changement observé comme
la résultante de deux autres, l’un qui obéit rigoureusement
à la loi et que nous attribuons au déplacement de l’œil
et le second qui est généralement très petit et que nous
attribuons soit à des altérations qualitatives, soit aux
mouvements des corps extérieurs.
Nous n’avons pas pu éviter la considération des mouvements
de l’œil et du corps. Cependant, nous pouvons dire que, à
un certain point de vue, la géométrie de Staudt
est surtout une géométrie visuelle tandis que celle d’Euclide
est surtout musculaire.
Sans aucun doute des expériences inconscientes analogues à
celles dont je viens de parler peuvent avoir joué un rôle
dans le genèse de la géométrie ; mais elles ne sont
pas suffisantes. Si nous avions procédé comme le suppose
la géométrie de Staudt, quelque Apollonius
aurait découvert les propriétés
des polaires. Mais ce n’eût été que longtemps après que
les progrès de la science auraient fait comprendre ce qu’est
une longueur ou un angle. Nous aurions dû attendre quelque
Newton pour découvrir les différents
cas d’égalité des triangles. Et ce n’est évidemment pas
de cette manière que les choses se sont passées.
L’axiome de Lie
C’est Sophus Lie qui a le plus contribué à mettre
en évidence l’importance de la notion de groupe et à établir
les fondements de la théorie que je viens d’exposer. C’est lui,
en fait, qui a donné sa forme actuelle à la théorie mathématique
des groupes continus. Mais pour rendre possible l’application
de cette théorie à la géométrie, il regarde comme nécessaire
un nouvel axiome qu’il énonce en déclarant que l’espace est
une Zahlenmannigfaltigkeit ; c’est-à-dire
qu’à tout point d’une ligne droite correspond un nombre et vice
versa.
Cet axiome est-il absolument nécessaire ? Et les autres
principes que Lie
a posés ne pourraient-ils pas en dispenser ?
Nous avons vu plus haut, à propos de la continuité, que les
groupes les plus connus pouvaient être, à un certain point
de vue, répartis en trois classes ; toutes les opérations
du groupe peuvent être divisées en faisceaux ; pour
les groupes “discontinus”, les
différentes opérations du même faisceau ne sont qu’une
seule opération répétée une fois, deux fois, trois fois,
etc. ; pour les groupes “continus”
proprement dits, les différentes opérations du même faisceau
correspondent à différents nombres entiers, commensurables
ou incommensurables ; enfin, pour les groupes qui peuvent
être appelés “semi-continus”,
ces opérations correspondent à différents nombres commensurables.
Or, on peut démontrer qu’il n’existe pas de groupe discontinu
ou semi-continu qui possède d’autres propriétés que celles
que l’expérience nous a amené à adopter pour le groupe
fondamental de la géométrie, et que je rappelle ici brièvement :
le groupe contient une infinité de sous-groupes, tous gleichberechtigt,
que j’appelle sous-groupes rotatifs. Deux sous-groupes rotatifs
ont un faisceau commun que j’appelle rotatif et qui est commun
non seulement à deux, mais à une infinité de sous-groupes
rotatifs. Enfin tout déplacement très petit du groupe peut
être regardé comme la résultante de six déplacements
appartenant à six faisceaux rotatifs donnés. Un groupe satisfaisant
à ces conditions ne peut être ni discontinu, ni semi-continu.
Sans doute, c’est là une propriété excessivement mystérieuse
et qu’il n’est pas facile de démontrer. Les géomètres qui
l’ignoraient n’en ont pas moins saisi ses conséquences, comme,
par exemple, quand ils ont découvert que le rapport d’une diagonale
au côté d’un carré est incommensurable. C’est pour cette
raison que l’introduction des incommensurables dans la géométrie
est devenue nécessaire.
Le groupe doit donc être continu et il semble que l’axiome
de Lie
soit inutile.
Néanmoins, nous devons remarquer que la classification des
groupes esquissée plus haut n’est pas complète ; on
peut concevoir des groupes qui n’y soient pas inclus. Nous pourrions
donc supposer, que notre groupe n’est ni discontinu, ni semi-continu,
ni continu. Mais ce serait là une hypothèse compliquée.
Nous la rejetons ou plutôt nous n’y pensons jamais, pour la
raison qu’elle n’est pas la plus simple qui soit compatible avec
les axiomes adoptés.
Le fondement de l’axiome de Lie
reste encore à fournir.
La géométrie et la contradiction
En poursuivant toutes les conséquences des différents axiomes
géométriques, ne sommes-nous jamais amenés à des contradictions ?
Les axiomes ne sont pas des jugements analytiques a priori ;
ce sont des conventions. Est-il certain que toutes ces conventions
soient compatibles ?
Ces conventions, il est vrai, nous ont toutes été suggérées
par des expériences, mais par des expériences grossières.
Nous découvrons que certaines lois se vérifient approximativement
et nous décomposons par convention le phénomène observé
en deux autres : un phénomène purement géométrique
qui obéit exactement à ces lois et un très petit phénomène
perturbateur.
Est-il certain que cette décomposition soit toujours légitime ?
Il est certain que ces lois sont approximativement compatibles,
car l’expérience montre qu’elles sont toutes approximativement
réalisées en même temps dans la nature. Mais est-il certain
qu’elles seraient compatibles si elles étaient absolument rigoureuses ?
Pour nous la question n’est plus douteuse. La géométrie analytique
est d’une construction solide et tous les axiomes ont été
introduits dans les équations qui lui servent de point de départ :
nous n’aurions pas pu écrire ces équations si les axiomes
avaient été contradictoires. Maintenant que les équations
sont écrites, elles peuvent être combinées de toutes les
manières possibles ; l’Analyse est la garantie que des
contradictions ne pourront pas s’introduire.
Mais Euclide
ne savait pas la géométrie analytique
et cependant il n’a jamais douté un instant que ses axiomes
ne soient compatibles. D’où lui venait sa confiance ?
Était-il dupe d’une illusion ? Et attribuait-il à nos
expériences inconscientes plus de valeur qu’elles n’en possèdent
réellement ? Ou peut-être, puisque l’idée du groupe
préexistait en puissance en lui, en a-t-il eu quelque obscur
instinct sans atteindre à sa notion distincte. Je laisserai
cette question sans la résoudre quoique j’incline vers la seconde
solution.
L’emploi des figures
On peut se demander pourquoi la géométrie ne peut pas être étudiée sans figures. Cela est facile à expliquer. Quand nous commençons à étudier la géométrie, nous avons déjà fait, dans d’innombrables occasions, les expériences fondamentales qui ont permis à notre notion d’espace de prendre naissance. Mais ces expériences ont été faites sans méthode, sans attention scientifique et pour ainsi dire inconsciemment. Nous avons acquis la faculté de nous représenter les expériences géométriques familières sans être obligés d’avoir recours à leurs reproductions matérielles ; mais nous n’en avons pas encore déduit de conclusions logiques. Comment le ferons-nous ? Avant d’énoncer la loi, nous représenterons l’expérience en question d’une manière perceptible en la dépouillant aussi complètement que possible de toutes les circonstances accessoires ou perturbatrices, – exactement comme un physicien élimine dans ses expériences les sources d’erreurs systématiques. C’est ici que les figures sont nécessaires, mais elles sont un instrument à peine moins grossier que la craie qui sert à les tracer, et, de même que les objets matériels ne peuvent pas être représentés dans l’espace géométrique qui fait l’objet de nos études, nous ne pouvons nous les représenter que dans l’espace sensible. Ce ne sont donc pas des figures matérielles que nous étudions, mais nous nous servons d’elles simplement pour étudier quelque chose qui est plus élevé et plus subtil.
La forme et la matière
Nous devons la théorie que je viens d’esquisser à Helmholtz
et à Lie. Je ne diffère d’eux que sur un point ;
mais la différence n’est probablement que dans l’expression
et au fond nous sommes complètement d’accord.
Comme je l’ai expliqué plus haut, nous devons distinguer dans
un groupe la forme et la matière. Pour Helmholtz et Lie
la matière du groupe existait avant
la forme et en géométrie la matière est une Zahlenmannigfaltigkeit
à trois dimensions. Le nombre des dimensions est donc posé
antérieurement au groupe. Pour moi au contraire la forme existe
avant la matière. Les différentes manières dont un cube
peut être superposé à lui-même et les différentes manières
dont les racines d’une certaine équation peuvent être échangées
constituent deux groupes isomorphes. Elles ne diffèrent que
par la matière. Le mathématicien regarderait cette différence
comme superficielle et il ne distinguerait pas davantage entre
ces deux groupes qu’entre un cube de verre et un cube de métal.
Sous cet aspect le groupe existe antérieurement au nombre des
dimensions.
Nous échappons aussi de cette façon à une objection qui
a souvent été faite à Helmholtz
et à Lie : “Mais votre groupe,
objecte-t-on, présuppose l’espace ; pour le construire
vous êtes obligés d’admettre un continu à trois dimensions.
Vous procédez comme si vous saviez déjà la géométrie
analytique”. Peut-être cette objection n’était-elle
pas tout à fait juste ; le continu à trois dimensions
que posaient Helmholtz
et Lie était une sorte de grandeur non mesurable
analogue aux grandeurs dont nous pouvons dire qu’elles sont devenues
plus grandes ou plus petites, mais non qu’elles sont devenues
deux fois ou trois fois plus grandes.
C’est seulement par l’introduction du groupe qu’ils en ont fait
une grandeur mesurable, c’est-à-dire un véritable espace.
Cependant l’origine de ce continu non mesurable à trois dimensions
reste imparfaitement expliquée.
Mais dira-t-on, pour étudier un groupe, fût-ce dans ses propriétés
formelles, il est nécessaire de le construire et il ne peut
être construit sans matière. On pourrait aussi bien dire
qu’on ne peut pas étudier les propriétés géométriques
d’un cube sans supposer ce cube de bois ou de fer. Le complexe
de nos sensations nous a sans doute pourvus d’une sorte de matière,
mais il y a un contraste frappant entre la grossièreté de
cette matière et la subtile précision de la forme de notre
groupe. Il est impossible que ce soit là, à proprement parler,
la matière d’un tel groupe. Le groupe des déplacements tel
qu’il nous est donné directement par l’expérience est quelque
chose d’une nature plus grossière ; il est, pouvons-nous
dire, aux groupes continus à proprement parler ce que le continu
physique est au continu mathématique. Nous étudions d’abord
sa forme conformément à la formule du continu physique et
comme il y a quelque chose qui répugne à notre raison dans
cette formule, nous la rejetons et nous y substituons celle du
groupe continu qui en puissance préexiste en nous, mais que
nous ne connaissons initialement que par sa forme. La matière
grossière qui nous est fournie par nos sensations n’a été
qu’une béquille pour notre infirmité et n’a servi qu’à nous
forcer à fixer notre attention sur l’idée pure que nous portions
auparavant en nous.
Conclusions
La géométrie n’est pas une science expérimentale ;
l’expérience n’est pour nous que l’occasion de réfléchir
sur les idées géométriques qui préexistent en nous. Mais
cette occasion est nécessaire ; si elle n’existait pas,
nous ne réfléchirions pas, et si nos expériences étaient
différentes, nos réflexions seraient sans doute aussi différentes.
L’espace n’est pas une forme de notre sensibilité ; c’est
un instrument qui nous sert, non à nous représenter les choses,
mais à raisonner sur les choses.
Ce que nous appelons la géométrie n’est pas autre chose que
l’étude des propriétés formelles d’un certain groupe continu ;
si bien que nous pouvons dire que l’espace est un groupe. La
notion de ce groupe continu existe dans notre esprit antérieurement
à toute expérience ; mais il en est de même pour
la notion de beaucoup d’autres groupes continus ; par exemple
celui qui correspond à la géométrie de Lobatchevsky. Il y a donc
plusieurs géométries possibles et il reste à voir comment
le choix se fait entre elles. Parmi les groupes mathématiques
continus que notre esprit peut construire, nous choisissons celui
qui s’écarte le moins de ce groupe brut, analogue au continu
physique, que l’expérience nous a fait connaître comme groupe
des déplacements.
Notre choix ne nous est donc pas imposé par l’expérience.
Il est simplement guidé par l’expérience. Mais il reste libre :
nous choisissons cette géométrie-ci plutôt que celle-là,
non parce qu’elle est plus vraie, mais parce qu’elle est plus commode.
Demander si la géométrie d’Euclide
est vraie et celle de Lobatchevsky fausse est aussi
absurde que de demander si le système métrique est vrai et
celui de la toise, du pied et du pouce faux. Transportés dans
un autre monde, nous pourrions sans doute avoir une géométrie
différente, non parce que notre géométrie aurait cessé
d’être vraie, mais parce qu’elle serait devenue moins commode
qu’une autre. Avons-nous le droit de dire que le choix entre
les géométries nous est imposé par la raison et, par exemple,
que la géométrie euclidienne est seule vraie parce que le
principe de la relativité des grandeurs s’impose inévitablement
à notre esprit ? Il est absurde, dit-on, de supposer
qu’une longueur peut être égale à un nombre abstrait. Mais
pourquoi ? Pourquoi est-ce absurde pour une longueur et
n’est-ce pas absurde pour un angle ? Il n’y a qu’une réponse
possible : cela nous paraît absurde parce que c’est
contraire à nos habitudes de pensée. Sans doute la raison
a ses préférences, mais ces préférences n’ont pas ce
caractère impératif. Elle a ses préférences pour le plus
simple, parce que toutes choses égales d’ailleurs, le plus
simple est le plus commode. Ainsi nos expériences seraient
également compatibles avec la géométrie d’Euclide
et avec la géométrie de Lobatchevsky
qui supposait
la courbure de l’espace très petite. Nous choisissons la géométrie
d’Euclide
parce qu’elle est la plus simple. Si nos
expériences étaient considérablement différentes, la
géométrie d’Euclide
ne suffirait plus à les représenter commodément,
et nous choisirions une géométrie différente.
Qu’on ne dise pas que le groupe d’Euclide
nous semble plus simple parce qu’il est le
plus conforme à quelque idéal préexistant qui a déjà
un caractère géométrique ; il est plus simple parce
que certains de ses déplacements sont échangeables, ce qui
n’est pas vrai des déplacements correspondants du groupe de
Lobatchevsky. Traduit
dans le langage analytique, cela veut dire qu’il y a moins de
termes dans les équations et il est clair qu’un algébriste
qui ne saurait pas ce qu’est l’espace ou la ligne droite regarderait
cela néanmoins comme une condition de simplicité.
En résumé, c’est notre esprit qui fournit une catégorie
à la nature. Mais cette catégorie n’est pas un lit de Procuste
dans lequel nous contraignons violemment
la nature, en la mutilant selon que l’exigent nos besoins. Nous
offrons à la nature un choix de lits parmi lesquels nous choisissons
la couche qui va le mieux à sa taille.
Chapitre II Les Fondements de la Géométrie (1902)
Quels sont les principes fondamentaux de la géométrie, quelle
en est l’origine, la nature et la portée ? Ce sont là
des questions qui ont, de tous temps, préoccupé les mathématiciens
et les penseurs, mais qui, il y a un siècle environ, ont pris,
pour ainsi dire, une figure toute nouvelle, grâce aux idées
de Lobatchevsky
et de
Bolyai.
On s’est longtemps efforcé de démontrer la proposition connue
sous le nom de postulatum d’Euclide
; on a constamment échoué ;
nous connaissons maintenant les raisons de ces échecs. Lobatchevsky
est parvenu à
construire un édifice logique, aussi cohérent que la géométrie
d’Euclide, mais où le célèbre postulatum
est supposé faux et où la somme des angles d’un triangle
est toujours plus petite que deux droits. Riemann
a imaginé un autre système
logique, également exempt de contradiction, et où cette somme
est, au contraire, toujours plus grande que deux droits. Ces
deux géométries, celle de Lobatchevsky
et celle
de Riemann, sont ce qu’on appelle les géométries
non euclidiennes.
Le postulatum d’Euclide
ne peut donc être démontré, et cette
impossibilité est aussi absolument certaine que n’importe quelle
vérité mathématique. Ce qui n’empêche pas l’Académie
des sciences de recevoir chaque année plusieurs démonstrations
nouvelles auxquelles elle refuse naturellement l’hospitalité
des Comptes-rendus.
On a déjà beaucoup écrit sur les géométries non euclidiennes ;
après avoir crié au scandale, on s’est habitué à ce qu’elles
ont de paradoxal ; plusieurs personnes sont allées jusqu’à
douter du postulatum, à se demander si l’espace réel est
plan, comme le supposait Euclide, ou s’il ne présente pas une légère
“courbure”. Elles croyaient même
que l’expérience pouvait leur donner une réponse à cette
question. Inutile d’ajouter que c’était méconnaître complètement
la nature de la géométrie, qui n’est pas une science expérimentale.
Mais pourquoi, parmi tous les axiomes de la géométrie, le postulatum
serait-il le seul que l’on pût nier sans dommage pour la logique ?
D’où tiendrait-il ce privilège ? On ne le voit pas
très bien, et, à ce compte, bien d’autres conceptions sont
possibles.
Cependant beaucoup de géomètres contemporains ne semblent
pas penser ainsi. En accordant le droit de cité aux deux géométries
nouvelles, ils croient sans doute avoir été jusqu’au bout
des concessions possibles. C’est pourquoi ils ont imaginé ce
qu’ils appellent “la géométrie générale”,
qui comprend comme cas particuliers les trois systèmes d’Euclide, de Lobatchevsky
et de
Riemann, et qui n’en comprend pas d’autres.
Et cet épithète de “générale”
signifie évidemment, dans leur esprit, qu’aucune autre géométrie
n’est concevable.
Ils perdront cette illusion s’ils lisent l’ouvrage de M. Hilbert
; ils y verront éclater de
toutes parts les cadres dans lesquels ils avaient voulu nous
enfermer.
Pour bien comprendre cette tentative nouvelle, il faut se rappeler
quelle a été depuis cent ans l’évolution de la pensée
mathématique, non seulement en géométrie, mais en arithmétique
et en analyse. La notion de nombre s’est éclaircie et précisée ;
en même temps, elle a reçu des généralisations diverses.
La plus précieuse pour les analystes est celle qui résulte
de l’introduction des “imaginaires”,
dont les mathématiciens modernes ne pourraient plus se passer ;
mais on ne s’est pas arrêté là et on a fait entrer dans
la science d’autres généralisations du nombre ou, comme on
dit, d’autres catégories de nombres complexes.
Les opérations de l’arithmétique ont été, de leur côté,
soumises à la critique, et les quaternions d’Hamilton
nous ont montré
un exemple d’une opération qui présente une analogie presque
parfaite avec la multiplication, que l’on peut appeler du même
nom et qui, pourtant, n’est pas commutative, c’est-à-dire dont
le produit change quand on intervertit l’ordre des facteurs.
C’était là en arithmétique une révolution toute pareille
à celle qu’avait faite Lobatchevsky
en géométrie.
Notre façon de concevoir l’infini s’est également modifiée.
M. G. Cantor
nous a appris à distinguer
des degrés dans l’infini lui-même (qui n’ont d’ailleurs rien
de commun avec les infiniment petits des différents ordres
créés par Leibnitz
en vue du calcul infinitésimal
ordinaire). La notion du continu, longtemps regardée comme
primitive, a été analysée et réduite à ses éléments.
Mentionnerai-je également les travaux des Italiens, qui se
sont efforcés de créer un symbolisme logique universel et
de réduire le raisonnement mathématique à des règles
purement mécaniques ?
Il faut se rappeler de tout cela si l’on veut comprendre comment
des conceptions, qui auraient fait bondir Lobatchevsky
lui-même,
tout révolutionnaire qu’il fût, nous semblent aujourd’hui
presque naturelles et ont pu être proposées par M. Hilbert
avec une parfaite tranquillité.
Liste des Axiomes. – La première chose à faire
était d’énumérer tous les axiomes de la géométrie.
Ce n’était pas si facile qu’on pourrait le croire ; il
y a les axiomes que l’on voit et ceux qu’on ne voit pas, ceux
qu’on introduit inconsciemment et sans s’en apercevoir. Euclide
lui-même, que l’on croit un logicien impeccable, en applique
souvent qu’il n’énonce pas.
La liste de M. Hilbert
est-elle définitive ? Il
est permis de le croire, car elle semble avoir été dressée
avec soin. Le savant professeur répartit les axiomes en cinq
groupes :
I. Axiome der Verknüpfung (je traduirai par axiomes
projectifs, au lieu de chercher une traduction littérale comme,
par exemple, axiomes de la connexion, qui ne saurait être satisfaisante) ;
II. Axiome der Anordnung (axiomes de l’ordre) ;
III. Axiome d’Euclide
;
IV. Axiomes de la congruence ou axiomes métriques ;
V. Axiome d’Archimède.
Parmi les axiomes projectifs, nous distinguerons ceux du plan
et ceux de l’espace ; les premiers sont ceux qui dérivent
de la proposition bien connue : “Par deux
points passe une droite et une seule” ;
mais je préfère traduire littéralement, afin de bien faire
comprendre la pensée de M. Hilbert.
“Imaginons trois systèmes d’objets que nous
appellerons points, droites, et plans. Imaginons que ces points,
droites et plans soient liés par certaines relations que nous
exprimerons par les mots “être situé sur,
entre”, etc.
“I. 1. Deux points différents A et B déterminent
toujours une droite a, ce que nous écrirons :
ou .
Au lieu du mot “déterminent”,
nous emploierons également d’autres tournures de phrase qui
seront synonymes ; nous dirons : A est situé sur a,
A est un point de a, a passe par A, a joint A à
B, etc.
“I. 2. Deux points quelconques d’une droite déterminent
cette droite, c’est-à-dire que, si
et que
, et si B est différent de C, on a aussi
”.
Voici les réflexions que doivent nous inspirer ces énoncés :
les expressions “être situé sur, passer par”,
etc., ne sont pas destinées à évoquer des images ;
elles sont simplement des synonymes du mot déterminer.
Les mots “point, droite et plan”
eux-mêmes ne doivent provoquer dans l’esprit aucune représentation
sensible. Ils pourraient indifféremment désigner des objets
d’une nature quelconque, pourvu qu’on pût établir entre ces
objets une correspondance telle qu’à tout système de deux
objets appelés points correspondît un des objets appelés
droites et un seul. Et c’est pourquoi il devient nécessaire
d’ajouter (I, 2) que, si la droite qui correspond à un système
de deux points A et B est la même que celle qui correspond
au système des deux points B et C, c’est aussi la même qui
correspond au système des deux points A et C.
Ainsi, M. Hilbert
a, pour ainsi dire, cherché à
mettre les axiomes sous une forme telle qu’ils puissent être
appliqués par quelqu’un qui n’en comprendrait pas le sens, parce
qu’il n’aurait jamais vu ni points, ni droite, ni plan. Les raisonnements
doivent pouvoir, d’après lui, se ramener à des règles purement
mécaniques, et il suffit pour faire la géométrie d’appliquer
servilement ces règles aux axiomes, sans savoir ce qu’ils veulent
dire. On pourra ainsi construire toute la géométrie, je ne
dirai pas précisément sans y rien comprendre, mais tout au
moins sans y rien voir. On pourrait confier les axiomes à une
machine à raisonner, par exemple au “piano raisonneur”
de Stanley Jevons, et on en verrait sortir
toute la géométrie.
C’est la même préoccupation qui a inspiré certains savants
italiens, tels que MM. Peano
et Padoa, qui se sont efforcés de créer
une “pasigraphie”, c’est-à-dire
une sorte d’algèbre universelle où tous les raisonnements
sont remplacés par des symboles ou des formules. Cette préoccupation
peut sembler artificielle et puérile, et il est inutile de
faire observer combien elle serait funeste dans l’enseignement
et nuisible au développement des esprits, combien elle serait
desséchante pour les chercheurs, dont elle tarirait promptement
l’originalité. Mais, chez M. Hilbert, elle s’explique et se justifie si
l’on se rappelle le but poursuivi. La liste des axiomes est-elle
complète ou en avons-nous laissé échapper quelques-uns
que nous appliquons inconsciemment ? Voilà ce qu’il faut
savoir. Pour cela, nous avons un critère, et nous n’en avons
qu’un. Il faut chercher si la géométrie est une conséquence
logique des axiomes explicitement énoncés, c’est-à-dire
si ces axiomes confiés à la machine à raisonner peuvent
en faire sortir toute la suite des propositions. Si oui, on sera
certain de n’avoir rien oublié. Car notre machine ne peut fonctionner
que conformément aux règles de la logique pour lesquelles
elle a été construite ; elle ignore ce vague instinct
que nous appelons intuition.
Je ne m’étendrai pas sur les axiomes projectifs de l’espace
que l’auteur numérote 1, 3, 4, 5, 6 ; rien n’est changé
aux énoncés habituels. Un mot seulement sur l’axiome I, 7,
qui se formule ainsi : “Sur toute droite
il y a au moins deux points ; sur tout plan il y a au
moins trois points non en ligne droite ; dans l’espace
il y a au moins quatre points qui ne sont pas dans un même
plan”. Cet énoncé est caractéristique.
Quiconque aurait laissé à l’intuition une place, si petite
qu’elle fût, n’aurait pas songé à dire que sur toute droite
il y a au moins deux points, ou bien il aurait ajouté tout
de suite qu’il y en a une infinité ; car l’intuition
de la droite lui aurait révélé immédiatement et simultanément
ces deux vérités.
Passons au second groupe, celui des axiomes de l’ordre. Voici
l’énoncé des deux premiers : “Si trois
points sont sur une même droite, il y a entre eux une certaine
relation que nous exprimons en disant que l’un des points et
un seulement est entre les deux autres. Si C est entre A et B,
et si D est entre A et C, D sera aussi entre A et B, etc.”.
Ici encore nous ne faisons pas intervenir l’intuition ;
nous ne cherchons pas à approfondir ce que signifie le mot
“entre” ; toute relation
satisfaisant aux axiomes pourrait être désignée par le
même mot. Voilà qui est bien propre à nous éclairer sur
la nature purement formelle des définitions mathématiques ;
mais je n’insiste pas, car je n’aurais qu’à répéter ce que
j’ai dit à propos du premier groupe.
Mais une autre réflexion s’impose. Les axiomes de l’ordre sont
présentés comme dépendant des axiomes projectifs, et ils
n’auraient plus aucun sens si l’on n’admettait pas ces derniers,
puisqu’on ne saurait ce que c’est que trois points en ligne droite.
Et cependant il existe une géométrie particulière, purement
qualitative et qui est absolument indépendante de la géométrie
projective, qui ne suppose connues ni la notion de droite, ni
celle de plan, mais seulement celles de ligne et de surface ;
c’est ce qu’on appelle l’analysis situs. Le but de cette science,
qui a été cultivée par plusieurs grands géomètres comme
Euler
et Riemann, est l’étude qualitative des
positions relatives des diverses parties d’une figure. On laisse
de côté les propriétés qui supposent que les proportions
de cette figure ont été rigoureusement conservées, et on
se borne à étudier celles qui subsisteraient encore si la
figure était copiée par un dessinateur malhabile, comme par
exemple celles qui se rapporteraient au nombre des points d’intersection
des différentes lignes. Il est clair qu’une pareille science
doit être autonome et qu’elle doit avoir des axiomes propres.
Or ces axiomes sont précisément ceux de l’ordre. Pourquoi
alors les faire dépendre de la notion de la ligne droite, puisque
cette notion est étrangère à l’analysis situs ?
On peut placer un point C entre deux points A et B sur une
courbe quelconque tout aussi bien que sur une droite. Ne serait-il
pas préférable de donner aux axiomes du deuxième groupe
une forme qui les affranchît de cette dépendance et les
séparât complètement du premier groupe ? Il reste
à savoir si cela serait possible, en conservant à ces axiomes
leur caractère purement logique, c’est-à-dire en fermant
complètement la porte à toute intuition.
Le troisième groupe ne contient qu’un seul axiome, qui est
le célèbre postulatum d’Euclide
; je remarquerai seulement que, contrairement
à l’usage ordinaire, il est présenté avant les axiomes
métriques. Ces derniers forment le quatrième groupe. Nous
y distinguerons trois sous-groupes. Les propositions IV, 1, 2,
3 sont les axiomes métriques des segments ; ces axiomes
servent à définir les longueurs. On conviendra de dire qu’un
segment pris sur une droite peut être congruent (égal) à
un segment pris sur une autre droite ; c’est l’axiome IV,
1 ; mais cette convention n’est pas tout à fait arbitraire ;
elle doit être faite de façon que deux segments congruents
à un même troisième soient congruents entre eux (IV, 2) ;
on définit ensuite par une convention nouvelle l’addition des
segments et cette convention, à son tour, doit être faite
de façon qu’en additionnant des segments égaux on trouve
des sommes égales ; et c’est là l’axiome IV, 3.
Les propositions IV, 4, 5 sont les axiomes correspondants pour
les angles, mais cela ne suffit pas encore ; aux deux
sous-groupes des axiomes métriques des segments et des angles,
il faut adjoindre l’axiome métrique des triangles, que M. Hilbert
numérote IV, 6 : si deux
triangles ont un angle égal compris entre côtés égaux,
les autres angles de ces deux triangles sont égaux chacun à
chacun.
On retrouve là l’un des cas connus de l’égalité des triangles,
que l’on démontre d’ordinaire par superposition, et qu’on doit
poser en postulat si l’on veut éviter de faire appel à l’intuition.
Quand d’ailleurs on se servait de l’intuition, c’est-à-dire
de la superposition, on voyait du même coup que les troisièmes
côtés étaient égaux dans les deux triangles et les deux
propositions étaient unies, pour ainsi dire, dans une même
aperception ; ici, au contraire, nous les séparons ;
de l’une d’elles nous faisons un postulat, mais nous n’érigeons
pas l’autre en postulat, parce qu’elle peut se déduire logiquement
de la première. Je regretterai aussi que dans cet exposé
des axiomes métriques, il ne reste plus aucune trace d’une
notion dont Helmholtz
avait le premier compris l’importance,
je veux parler du déplacement d’une figure invariable. On aurait
pu conserver son rôle naturel à cette notion, sans sacrifier
le caractère logique des axiomes. On aurait évité ainsi
l’introduction artificielle de cet axiome IV, 6, et les postulats
auraient été rattachés à leur véritable origine psychologique.
Le cinquième groupe ne contient qu’un seul axiome, celui d’Archimède, c’est-à-dire que, si l’on se donne
deux longueurs quelconques, l et L, on peut toujours trouver
un nombre entier n assez grand pour qu’en ajoutant n fois
à elle-même la longueur l, on obtienne une longueur totale
plus grande que L.
Indépendance des axiomes. – La liste des axiomes
une fois dressée, il faut voir si elle est exempte de contradictions.
Nous savons bien que oui, puisque la géométrie existe ;
et M. Hilbert
répond oui également, en construisant
une géométrie. Mais, chose étrange, cette géométrie
n’est pas tout à fait la nôtre ; son espace n’est pas
le nôtre ou du moins n’en est qu’une partie. Dans l’espace de
M. Hilbert, il n’y a pas tous les points
qui sont dans le nôtre, mais ceux seulement qu’on peut, en
partant de deux points donnés, construire, par le moyen de
la règle et du compas ; par exemple dans cet espace
il n’existerait pas, en général, un angle qui serait le tiers
d’un angle donné.
Je crois bien que cette conception aurait été regardée
par Euclide
comme plus raisonnable que la nôtre. Toujours
est-il que ce n’est pas la nôtre. Pour retrouver notre géométrie,
il faudrait ajouter un axiome : si sur une droite, il
y a une double infinité de points
A, A,…, A…, B, B,…, B tels que
B soit compris entre
A et
B et
A entre
B et
A, quels que soient p et q, il y aura sur cette droite au moins un point C qui sera entre
A et
B.
On doit se demander ensuite si les axiomes sont indépendants,
c’est-à-dire si l’on peut sacrifier l’un des cinq groupes en
conservant les quatre autres et obtenir néanmoins une géométrie
cohérente. C’est ainsi qu’en supprimant le groupe III (postulatum
d’Euclide
) on a obtenu la géométrie non euclidienne
de Lobatchevsky.
On peut également supprimer le groupe IV. M. Hilbert
a réussi à conserver les groupes
I, II, III et V ainsi que les deux sous-groupes des axiomes métriques
des segments et des angles, tout en rejetant l’axiome métrique
des triangles, c’est-à-dire la proposition IV, 6. Pour
y parvenir, M. Hilbert
conserve la définition ordinaire
des angles, de sorte que les axiomes métriques des angles restent
vrais, mais il change la définition des longueurs. Il est clair
que la convention par laquelle nous avons défini les longueurs
reste arbitraire dans une très large mesure ; elle n’est
assujettie qu’à une seule condition, qui est de satisfaire
aux axiomes métriques des segments ; cette condition
limite notre choix, mais ne le supprime pas complètement. Il
est clair que l’on peut, de bien des manières, changer la définition
de la longueur, tout en conservant ces axiomes. Mais, si
l’on ne met pas d’accord la convention relative aux angles et
la convention relative aux longueurs, l’axiome des triangles
ne sera plus vrai en général.
Dans la solution adoptée par M. Hilbert, cet accord n’existe pas, mais
la définition choisie pour les longueurs est telle qu’on pourrait
trouver une définition des angles qui rétablirait cet accord.
Cette solution ne me satisfait qu’à moitié ; les angles
ont été définis indépendamment des longueurs, sans qu’on
se soit préoccupé de mettre les deux définitions d’accord
(ou plutôt en les mettant en désaccord à dessein). Il suffirait
de changer l’une des deux définitions pour retomber sur
la géométrie classique. Je préférerais qu’on donnât
des longueurs une définition telle qu’il devînt impossible
de trouver une définition des angles satisfaisant aux axiomes
métriques des angles et des triangles. Cela ne serait d’ailleurs
pas difficile.
Il aurait été facile à M. Hilbert
de créer une géométrie où
les axiomes de l’ordre seraient abandonnés tandis que tous
les autres seraient conservés. Ou plutôt cette géométrie
existe déjà, ou plutôt encore il en existe déjà deux.
Il y a celle de Riemann, pour laquelle, il est vrai, le postulatum
d’Euclide
(groupe III) est abandonné également,
puisque la somme des angles d’un triangle est plus grande que
deux droits. Pour bien faire comprendre ma pensée, je me bornerai
à considérer une géométrie à deux dimensions. La géométrie
de Riemann
à deux dimensions n’est autre
que la géométrie sphérique, à une condition toutefois,
c’est que l’on ne regarde pas comme distincts deux points diamétralement
opposés sur la sphère. Les éléments de cette géométrie
seront donc les différents diamètres de cette sphère. Or,
si l’on envisage trois diamètres d’une sphère situés dans
un même plan diamétral, on n’a aucune raison de dire que
l’un d’eux est entre les deux autres. Le mot entre n’a plus
de sens, et les axiomes de l’ordre tombent d’eux-mêmes.
Si nous voulons maintenant une géométrie où les axiomes
de l’ordre ne subsisteront pas, et où on conservera le postulatum
d’Euclide
avec les autres, nous n’avons qu’à prendre
pour éléments les points et les droites imaginaires de
l’espace ordinaire. Il est clair que les points imaginaires de
l’espace ne nous sont pas donnés comme rangés dans un ordre
déterminé. On pourrait peut-être les ranger, mais cela
ne pourrait pas se faire de telle façon que cet ordre ne soit
pas altéré par les diverses opérations de la géométrie
(perspective, translation, rotation, etc.). Les axiomes de l’ordre
ne sont donc pas applicables à cette géométrie.
La géométrie non archimédienne – Mais la conception
la plus originale de M. Hilbert, c’est celle de la géométrie non
archimédienne, où tous les axiomes restent vrais, sauf celui
d’Archimède. Pour cela il fallait d’abord construire
un “système de nombres non archimédiens”.
Toutes les fois qu’on veut généraliser une notion quelconque,
il faut rompre avec d’anciennes habitudes d’esprit, et cette rupture
est quelquefois difficile : elle l’est surtout quand il
s’agit d’une notion aussi ancienne que celle de nombre. Qu’est-ce
que les nombres ? Ce sont avant tout des éléments
que nous savons distinguer les uns des autres ; nous savons
en outre définir la somme ou le produit de deux de ces éléments,
et enfin nous avons des règles pour reconnaître entre deux
nombres quel est le plus grand et quel est le plus petit.
Voilà ce que nous devons considérer comme essentiel ;
mais il est clair que, si nous regardons ces règles comme des
conventions, nous pouvons appliquer ces conventions à d’autres
éléments que nos nombres ordinaires et que nous pouvons même
changer ces conventions dans une mesure plus ou moins grande.
C’est ainsi que la notion de nombre peut s’élargir presque indéfiniment.
Par exemple, les polynômes peuvent, comme les nombres, subir
l’addition et la multiplication et d’après les mêmes règles.
Il nous suffirait de définir l’inégalité de deux polynômes,
ce que nous pouvons faire par une convention quelconque, par
exemple en convenant que de deux polynômes, celui-là sera
regardé comme le plus grand dont la valeur numérique est
la plus grande quand la variable est positive et très grande.
Avec cette convention, les règles ordinaires du calcul des
égalités et des inégalités subsisteraient sans changement.
Mais nos nombres vulgaires satisfont à l’axiome d’Archimède, je veux dire que si l’on additionne
à lui-même un nombre quelconque un nombre suffisant de fois,
la somme finira par dépasser tout autre nombre donné quelconque.
Au contraire, avec nos nouveaux éléments qui sont des polynômes,
il n’en est plus de même. Un polynôme du premier degré,
additionné à lui-même autant de fois qu’on voudra, restera
toujours du premier degré ; il sera donc toujours plus
petit que
, d’après notre convention, puisque pour x très grand,
est plus grand que tout polynôme du premier degré.
Nos nouveaux nombres sont donc des nombres non archimédiens.
Nos nombres vulgaires rentrent comme cas particuliers parmi ces
“nombres non archimédiens”.
Les nouveaux nombres viennent s’intercaler pour ainsi dire dans
la série de nos nombres vulgaires, de telle façon qu’il y
ait par exemple une infinité de nombres nouveaux plus petits
qu’un nombre vulgaire donné A et plus grands que tous les nombres
vulgaires inférieurs à A.
Cela posé, imaginons un espace à trois dimensions où les
coordonnées d’un point seraient mesurées non par des nombres
vulgaires, mais par des nombres non archimédiens, mais où
les équations habituelles de la droite et du plan subsisteraient,
de même que les expressions analytiques des angles et des longueurs.
Il est clair que dans cet espace tous les axiomes resteraient
vrais, sauf celui d’Archimède.
Sur une droite quelconque, entre nos points vulgaires, viendraient
s’intercaler des points nouveaux. Si par exemple
est une droite vulgaire,
la droite non archimédienne correspondante ; si est
un point vulgaire quelconque de , et si ce point partage
en deux demi-droites et (j’ajoute pour préciser
que je considère comme ne faisant
partie ni de , ni de ) ; il y aura sur
une infinité de points nouveaux tant entre et qu’entre
et . Il y aura également sur une infinité de points
nouveaux qui seront à droite de tous
les points vulgaires de . En résumé, notre espace vulgaire n’est qu’une partie de
l’espace non archimédien.
Au premier abord, l’esprit se révolte contre de pareilles conceptions.
C’est que, par une vieille habitude, il cherche une représentation
sensible. Il faut qu’il se débarrasse de cette préoccupation,
s’il veut arriver à comprendre, et cela est encore plus nécessaire
que pour la géométrie non euclidienne. M. Hilbert
ne s’est proposé qu’une chose, construire
un système d’éléments susceptibles de certaines relations
logiques et il lui suffit de montrer que ces relations n’impliquent
pas de contradiction interne.
Qu’on remarque cependant ceci : la géométrie non euclidienne
respectait pour ainsi dire notre conception qualitative du continu
géométrique tout en bouleversant nos idées sur la mesure
de ce continu. La géométrie non archimédienne détruit
cette conception ; elle dissèque le continu pour y introduire
des éléments nouveaux.
Quoi qu’il en soit, M. Hilbert
poursuit les conséquences de ses
prémisses ; et il cherche comment on pourrait refaire
la géométrie sans se servir de l’axiome d’Archimède. Pas de difficulté en ce qui concerne
les chapitres que les écoliers appellent le premier et le deuxième
livre. Cet axiome n’y intervient nulle part.
Le troisième livre traite des proportions et de la similitude.
Voici en substance la marche que suit M. Hilbert
pour le reconstituer sans avoir recours
à l’axiome d’Archimède. Il prend la construction habituelle
de la quatrième proportionnelle comme définition de la proportion ;
mais une pareille définition a besoin d’être justifiée ;
il faut montrer d’abord que le résultat est le même quelles
que soient les lignes auxiliaires employées dans la construction ;
et ensuite que les règles ordinaires du calcul s’appliquent
aux proportions ainsi définies. C’est cette justification que
M. Hilbert nous donne d’une façon satisfaisante.
Le quatrième livre traite de la mesure des aires planes ;
cette mesure peut s’établir facilement sans le secours du principe
d’Archimède ; c’est parce que deux polygones
équivalents ou bien peuvent être décomposés en triangles
de telle façon que les triangles élémentaires de l’un et
ceux de l’autre soient égaux chacun à chacun (ou en d’autres
termes peuvent être ramenés l’un à l’autre par le procédé
du casse-tête chinois), ou bien peuvent être regardés comme
des différences de polygones susceptibles de ce mode de décomposition
(c’est toujours le même procédé, en admettant non seulement
des triangles additifs, mais encore des triangles soustractifs).
Mais nous devons observer qu’une circonstance analogue ne paraît
pas se retrouver pour deux polyèdres équivalents, de sorte
qu’on peut se demander si l’on peut déterminer par exemple le
volume de la pyramide sans un appel plus ou moins déguisé
au calcul infinitésimal. Il n’est donc pas certain qu’on pourrait
se passer aussi facilement de l’axiome d’Archimède dans la mesure
des volumes que dans celle des aires planes ; M. Hilbert
ne l’a d’ailleurs pas tenté.
Une question restait à traiter toutefois ; étant donné
un polygone, est-il possible de le décomposer en triangles
et d’enlever l’un des morceaux de façon que le polygone restant
soit équivalent au polygone donné, c’est-à-dire de façon
qu’en transformant ce polygone restant par le procédé du
casse-tête chinois, on puisse retomber sur le polygone primitif.
D’ordinaire, on se borne à dire que cela est impossible parce
que le tout est plus grand que la partie. C’est là invoquer
un axiome nouveau, et, quelque évident qu’il nous paraisse,
le logicien serait plus satisfait si on pouvait l’éviter. M. Schur
a trouvé la démonstration, il est
vrai, mais en s’appuyant sur l’axiome d’Archimède ; M. Hilbert
voulait y arriver sans se servir de
cet axiome. Voici par quel artifice il y parvient : il
admet que la “surface” du triangle
est par définition le demi-produit de sa base par sa hauteur
et il justifie cette définition en montrant que deux triangles
équivalents (au point de vue du casse-tête chinois) ont même
“surface” (au sens de la nouvelle
définition) et que la “surface”
d’un triangle décomposable en plusieurs autres est la somme
des “surfaces” des triangles composants.
Une fois cette justification terminée, tout le reste suit sans
difficulté. C’est donc toujours la même marche. Pour éviter
d’incessants appels à l’intuition, qui nous fournirait sans
cesse de nouveaux axiomes, on transforme ces axiomes en définitions
et on justifie après coup ces définitions en montrant qu’elles
sont exemptes de contradiction.
La géométrie non arguésienne. – Le théorème
fondamental de la géométrie projective est le théorème
de Désargues. Deux triangles sont dits homologues
lorsque les droites qui joignent chacun à chacun les sommets
correspondants se coupent en un même point. Désargues
a démontré que les points
d’intersection des côtés correspondants de deux triangles
homologues sont sur une même ligne droite ; la réciproque
est également vraie.
Le théorème de Désargues
peut s’établir de deux manières :
1° en se servant des axiomes projectifs du plan et des
axiomes métriques du plan ; 2° en se servant
des axiomes projectifs du plan et de ceux de l’espace. Le théorème
pourrait donc être découvert par un animal à deux dimensions,
à qui une troisième dimension paraîtrait aussi inconcevable
qu’à nous une quatrième, qui par conséquent ignorerait
les axiomes projectifs de l’espace, mais qui aurait vu se déplacer,
dans le plan qu’il habite, des figures invariables analogues
à nos corps solides et qui par conséquent connaîtrait
les axiomes métriques. Le théorème pourrait être découvert
également par un animal à trois dimensions, qui connaîtrait
les axiomes projectifs de l’espace, mais qui, n’ayant jamais vu
se déplacer des corps solides, ignorerait les axiomes métriques.
Mais pourrait-on établir le théorème de Désargues
sans se servir ni des
axiomes projectifs de l’espace, ni des axiomes métriques, mais
seulement des axiomes projectifs du plan ? On pensait
que non, mais on n’en était pas sûr. M. Hilbert
a tranché la question en construisant
une géométrie non arguésienne, qui est, bien
entendu, une géométrie plane. Il n’a, pour cela, qu’à changer
un peu la définition de la droite. Si la définition nouvelle
diffère peu de la définition ancienne, le nombre des points
d’intersection de deux droites restera le même ; deux
droites ne pourront toujours se couper qu’en un point, et les
axiomes projectifs du plan resteront vrais. Cependant le moindre
changement dans cette définition suffit pour que le théorème
de Désargues cesse d’être vrai.
La géométrie non pascalienne. – M. Hilbert
ne s’arrête pas là, et
il introduit encore une nouvelle conception. Pour bien la comprendre,
il nous faut d’abord retourner un instant dans le domaine de
l’arithmétique. Nous avons vu plus haut s’élargir la notion
de nombre par l’introduction des “nombres non
archimédiens”. Il nous faut une classification
de ces nouveaux nombres et, pour l’obtenir, nous allons classer
d’abord les axiomes de l’arithmétique en quatre groupes, qui
seront :
1° Les lois d’associativité et de commutativité
de l’addition, la loi d’associativité de la multiplication,
les deux lois de la distributivité de la multiplication, ou
en résumé, toutes les règles de l’addition et de la multiplication
sauf la loi de commutativité de la multiplication ;
2° Les axiomes de l’ordre, c’est-à-dire les règles
du calcul des inégalités ;
3° La loi de commutativité de la multiplication, d’après
laquelle on peut intervertir l’ordre des facteurs sans changer
le produit ;
4° L’axiome d’Archimède.
Les nombres qui admettent les axiomes des deux premiers groupes
sont dits arguésiens ; ils pourront être pascaliens
ou non pascaliens, selon qu’ils satisferont ou ne satisferont
pas à l’axiome du troisième groupe ; ils seront archimédiens
ou non archimédiens, suivant qu’ils satisferont ou non à
l’axiome du quatrième groupe.
Nous ne tarderons pas à voir la raison de ces dénominations.
Les nombres ordinaires sont à la fois arguésiens, pascaliens,
et archimédiens. On peut démontrer la loi de commutativité
en partant des axiomes des deux premiers groupes et de l’axiome
d’Archimède. Il n’y a donc pas de nombres arguésiens,
archimédiens et non pascaliens.
En revanche, nous avons cité plus haut un exemple de nombres
arguésiens, pascaliens et non archimédiens.
Après ce que nous venons de dire sur la façon de former les
nombres non archimédiens, on doit comprendre que notre caprice
ne peut plus, pour ainsi dire, rencontrer d’obstacle. Nous pouvons
changer à notre gré les conventions fondamentales et nous
devons seulement rechercher si un changement apporté dans l’une
d’elles ne nous oblige pas à modifier les autres.
Nous pouvons donc changer les règles conventionnelles de la
multiplication de façon que cette opération ne soit plus
commutative. Il reste à savoir si cela n’entraînera pas l’abandon
des autres règles. M. Hilbert
a reconnu que non ; on peut
conserver toutes les autres règles, sauf celle d’Archimède. Il a donc créé des nombres arguésiens,
non pascaliens, non archimédiens.
Avant d’aller plus loin, je rappelle que Hamilton
a depuis longtemps
introduit un système de nombres complexes, où la multiplication
n’est pas commutative : ce sont les quaternions, dont
les Anglais font un si fréquent usage en physique mathématique.
Mais pour les quaternions, les axiomes de l’ordre ne sont pas
vrais ; ce qu’il y a donc d’original dans la conception
de M. Hilbert, c’est que ses nouveaux nombres satisfont
aux axiomes de l’ordre sans satisfaire à la règle de commutativité.
Revenons à la géométrie. Admettons les axiomes des trois
premiers groupes, c’est-à-dire les axiomes projectifs du plan
et de l’espace, les axiomes de l’ordre et le postulat d’Euclide
; le théorème de Désargues
s’en déduira, puisqu’il est
une conséquence des axiomes projectifs de l’espace. Nous voulons
constituer notre géométrie sans nous servir des axiomes
métriques ; le mot de longueur n’a donc encore pour nous
aucun sens ; nous n’avons pas le droit de nous servir du
compas ; en revanche, nous pouvons nous servir de la règle,
puisque nous admettons que par deux points on peut faire passer
une droite, en vertu de l’un des axiomes projectifs ; nous
savons également mener par un point une parallèle à une
droite donnée, puisque nous admettons le postulatum d’Euclide. Voyons ce que nous pouvons faire avec ces
ressources.
Nous pouvons définir l’homothétie de deux figures ;
deux triangles seront dits homothétiques quand leurs côtés
seront parallèles deux à deux, et nous en conclurons (par
le théorème de Désargues, que nous admettons) que les
droites qui joignent les sommets correspondants sont concourantes.
Nous nous servirons ensuite de l’homothétie pour définir
les proportions. Nous pouvons aussi définir l’égalité dans
une certaine mesure. Les deux côtés opposés d’un parallélogramme
seront égaux par définition ; nous savons ainsi
reconnaître si deux segments sont égaux entre eux, pourvu
qu’ils soient parallèles.
Grâce à ces conventions, nous sommes maintenant en mesure
de comparer les longueurs de deux segments, mais pourvu que
ces segments soient parallèles. La comparaison de deux
longueurs dont la direction est différente n’a aucun sens,
et il faudrait, pour ainsi dire, une unité de longueur différente
pour chaque direction. Inutile d’ajouter que le mot angle n’a
aucun sens.
Les longueurs seront ainsi exprimées par des nombres, mais
ce ne seront pas forcément des nombres ordinaires. Tout ce
que nous pouvons dire, c’est que si le théorème de Désargues
est vrai comme nous l’admettons,
ces nombres appartiendront à un système satisfaisant aux
axiomes arithmétiques des deux premiers groupes, c’est-à-dire
un système arguésien. Inversement, étant donné un
système de nombres arguésiens quelconques, on peut construire
une géométrie telle que les longueurs des segments d’une
droite soient justement exprimées par ces nombres.
Ainsi, à chaque système de nombres arguésiens correspondra
une géométrie nouvelle satisfaisant aux axiomes projectifs,
à ceux de l’ordre, au théorème de Désargues
et au postulatum d’Euclide. Quelle est maintenant la signification géométrique
de l’axiome arithmétique du troisième groupe, c’est-à-dire
de la règle de commutativité de la multiplication ? La
traduction géométrique de cette règle, c’est le théorème
de Pascal
; je veux parler du théorème
sur l’hexagone inscrit dans une conique, en supposant que cette
conique se réduit à deux droites.
Ainsi le théorème de Pascal
sera vrai ou faux, selon que le système
sera pascalien ou non pascalien, et comme il y a des systèmes
non pascaliens, il y aura également des géométries
non pascaliennes.
Le théorème de Pascal
peut se démontrer en partant des
axiomes métriques ; il sera donc vrai si l’on admet que
les figures peuvent se transformer non seulement par homothétie
et translation, comme nous venons de le faire, mais encore par
rotation.
Le théorème de Pascal
peut également se déduire de l’axiome
d’Archimède, puisque nous venons de voir que tout
système de nombres arguésiens et archimédiens est en même
temps pascalien ; toute géométrie non pascalienne
est donc en même temps non archimédienne.
Le Streckenüberträger. – Citons encore
une autre conception de M. Hilbert. Il étudie les constructions que
l’on pourrait faire, non pas à l’aide de la règle et du compas,
mais par le moyen de la règle et d’un instrument particulier,
qu’il appelle Streckenüberträger, et qui permettrait de
porter sur une droite un segment égal à un autre segment
pris sur une autre droite. Le Streckenüberträger n’est
pas l’équivalent du compas ; ce dernier instrument permettrait
de construire l’intersection de deux cercles quelconques, ou
d’un cercle et d’une droite quelconque ; le Streckenüberträger nous
donnerait seulement l’intersection d’un cercle et d’une droite passant
par le centre du cercle. M. Hilbert
cherche donc quelles sont les constructions
qui seront possibles avec ces deux instruments, et il arrive
à une conclusion bien remarquable.
Les constructions qui peuvent se faire par la règle et le compas
peuvent se faire également par la règle et le Streckenüberträger, si
ces constructions sont telles que le résultat en soit
toujours réel. Il est clair, en effet, que cette condition
est nécessaire, car un cercle est toujours coupé en deux
points réels par une droite menée par son centre. Mais il
était difficile de prévoir que cette condition serait également
suffisante.
Géométries diverses. – Je voudrais, avant
de terminer, voir quelle place occupent, dans la classification
de M. Hilbert, les diverses géométries proposées
jusqu’ici. Et d’abord, les géométries de Riemann
; je ne veux pas parler
de la géométrie de Riemann, que j’ai signalée plus haut
et qui est l’opposé de celle de Lobatchevsky
;
je veux parler des géométries relatives aux espaces à courbure
variable envisagés par Riemann
dans sa célèbre Habilitationsschrift.
Dans cette conception, on attribue par définition une longueur
à une courbe quelconque, et c’est sur cette définition que
tout repose. Le rôle des droites est joué par les géodésiques,
c’est-à-dire par les lignes de longueur minimum menées d’un
point à un autre. Les axiomes projectifs ne sont plus vrais ;
et il n’y a aucune raison, par exemple, pour que deux points
ne puissent être joints que par une seule géodésique. Le
postulat d’Euclide
ne peut plus, évidemment, avoir aucun sens.
L’axiome d’Archimède
reste vrai, ainsi que les axiomes de
l’ordre, mutatis mutandis ; Riemann
n’envisage, en effet, que
des systèmes de nombres ordinaires. En ce qui concerne les
axiomes métriques, on voit aisément que ceux des segments
et ceux des angles restent vrais, tandis que l’axiome métrique
des triangles (IV, 6) est évidemment faux.
Et ici nous retrouvons l’objection qu’on a le plus souvent faite
à Riemann.
Vous parlez de longueur, lui a-t-on dit, or longueur suppose
mesure, et pour mesurer il faut pouvoir transporter un instrument
de mesure qui doit demeurer invariable ; d’ailleurs vous
le reconnaissez vous-même. Il faut donc que l’espace soit partout
égal à lui-même, qu’il soit homogène, pour que la congruence
y soit possible. Or votre espace ne l’est pas, puisque sa courbure
est variable ; il ne peut donc y être question ni de
mesure, ni de longueur.
Riemann
n’aurait pas eu de peine à répondre.
Supposons une géométrie à deux dimensions, pour simplifier ;
nous pourrons alors nous représenter l’espace de Riemann
comme une surface dans l’espace
ordinaire. Nous pourrions mesurer des longueurs sur cette surface
à l’aide d’une ficelle, et cependant une figure ne pourrait
pas se déplacer en restant appliquée sur cette surface et
de façon que les longueurs de tous ses éléments demeurent
invariables, car la surface n’est pas en général applicable
sur elle-même.
C’est ce que M. Hilbert
traduirait en disant que les axiomes
métriques des segments sont vrais et que celui des triangles
ne l’est pas. Les premiers sont symbolisés pour ainsi dire
par notre ficelle ; celui des triangles supposerait le
déplacement d’une figure dont tous les éléments auraient
une longueur constante.
Quelle sera la place d’une autre géométrie que j’ai proposée
autrefois et qui rentre pour ainsi dire dans la même famille
que celle de Lobatchevsky
et celle de Riemann
; j’ai montré qu’on peut
imaginer trois géométries à deux dimensions, qui correspondent
respectivement aux trois sortes de surfaces du second degré :
l’ellipsoïde, l’hyperboloïde à deux nappes et l’hyperboloïde
à une nappe ; la première est celle de Riemann
; la seconde est celle
de Lobatchevsky
et la troisième
est la géométrie nouvelle. On trouverait, de même, quatre
géométries à trois dimensions.
Où viendrait se ranger cette géométrie nouvelle dans la
classification de M. Hilbert
? Il est aisé de s’en rendre
compte. Comme pour celle de Riemann, tous les axiomes subsistent,
sauf ceux de l’ordre et celui d’Euclide
; mais tandis que dans la géométrie
de Riemann
les axiomes de l’ordre
sont faux sur toutes les droites, au contraire, dans la géométrie
nouvelle, les droites se répartissent en deux classes, les
unes, sur lesquelles les axiomes sont vrais ; les autres,
sur lesquelles ils sont faux.
Conclusion. – Mais ce qui est le plus important,
c’est de nous rendre compte de la place qu’occupent les conceptions
nouvelles de M. Hilbert
dans l’histoire de nos idées sur
la philosophie des mathématiques.
Après une première période de naïve confiance où l’on
nourrissait l’espoir de tout démontrer, est venu Lobatchevsky, l’inventeur des
géométries non euclidiennes.
Mais le véritable sens de cette invention n’a pas été pénétré
tout de suite ; Helmholtz
a montré d’abord que les
propositions de la géométrie euclidienne n’étaient autre
chose que les lois des mouvements des corps solides, tandis que
celles des autres géométries étaient les lois que pourraient
suivre d’autres corps analogues aux corps solides, qui, sans
doute, n’existent pas, mais dont l’existence pourrait être conçue
sans qu’il en résultât la moindre contradiction ; des
corps que l’on pourrait fabriquer, si on le voulait. Ces lois
ne pourraient toutefois être regardées comme expérimentales,
puisque les solides naturels ne les suivent que grossièrement,
et, d’ailleurs, puisque les corps fictifs de la géométrie
non euclidienne, n’existant pas, ne peuvent être accessibles
à l’expérience. Helmholtz, toutefois, ne s’est jamais
expliqué sur ce point avec une parfaite netteté.
Lie
a poussé l’analyse beaucoup plus loin.
Les lois du mouvement des corps solides invariables ne sont pas
des lois expérimentales ; il en est de même a fortiori
pour les corps fictifs de la géométrie non euclidienne, mais
toutes les lois que l’on pourrait imaginer doivent satisfaire
à certaines conditions, lesquelles ne sont pas révélées
par l’expérience, mais s’imposent au contraire à l’expérience.
Ce que la géométrie nous enseigne, c’est que les lois connues
du mouvement des solides invariables satisfont à ces conditions.
Lie
a bien compris tout cela ; il
a donc voulu former tous les types possibles de lois cinématiques.
Il a cherché de quelle manière peuvent se combiner les divers
mouvements possibles d’un système quelconque ou, plus généralement,
les diverses transformations possibles d’une figure. Si l’on envisage
un certain nombre de transformations et qu’on les combine ensuite
de toutes les manières possibles, l’ensemble de toutes ces
combinaisons formera ce qu’il appelle un groupe. À chaque groupe
correspond une géométrie, et la nôtre, qui correspond au
groupe des déplacements d’un corps solide, n’est qu’un cas très
particulier. Mais tous les groupes que l’on peut imaginer posséderont
certaines propriétés communes, et ce sont précisément
ces propriétés communes qui limitent le caprice des inventeurs
de géométries ; ce sont elles, d’ailleurs, que Lie
a étudiées toute sa vie. Il
n’était pourtant pas entièrement satisfait de son œuvre.
Il avait, disait-il, toujours envisagé l’espace comme une Zahlenmannigfalltigkeit.
Il s’était borné à l’étude des groupes continus proprement
dits, auxquels s’appliquent les règles de l’analyse infinitésimale
ordinaire. Ne s’était-il pas ainsi artificiellement restreint ?
N’avait-il pas ainsi négligé un des axiomes indispensables
de la géométrie (c’est en somme de l’axiome d’Archimède
qu’il s’agit) ? Je ne sais si on
trouverait trace de cette préoccupation dans ses œuvres imprimées,
mais dans sa correspondance ou dans sa conversation, il exprimait
sans cesse ce même regret.
C’est précisément la lacune qu’a comblée M. Hilbert
; les géométries de Lie
restaient toutes assujetties aux formes
de l’analyse et de l’arithmétique qui semblaient intangibles.
M. Hilbert
a brisé ces formes, ou, si l’on
aime mieux, il les a élargies. Ses espaces ne sont plus des Zahlenmannigfaltigkeiten.
Les objets qu’il appelle point, droite ou plan deviennent ainsi
des êtres purement logiques qu’il est impossible de se représenter.
On ne saurait s’imaginer, sous une forme sensible, ces points
qui ne sont que des systèmes de trois séries. Peu lui importe ;
il lui suffit que ce soient des individus et qu’il ait des règles
sûres pour distinguer ces individus les uns des autres, pour
établir conventionnellement entre eux des relations d’égalité
ou d’inégalité et pour les transformer.
Une autre remarque : les groupes de transformations au
sens de Lie
ne semblent plus jouer qu’un rôle
secondaire. C’est du moins ce qu’il semble quand on lit le texte
même de M. Hilbert. Mais, si l’on y regardait de plus
près, on verrait que chacune de ces géométries est encore
l’étude d’un groupe. Sa géométrie non archimédienne est
celle d’un groupe qui contient toutes les transformations du
groupe euclidien, correspondant aux divers déplacements d’un
solide, mais qui en contient encore d’autres susceptibles de
se combiner aux premières, d’après des lois simples.
Lobatchevsky
et Riemann
rejetaient le postulatum
d’Euclide, mais ils conservaient les axiomes métriques ;
dans la plupart de ses géométries, M. Hilbert
fait l’inverse. Cela revient
à mettre au premier rang un groupe formé des transformations
de l’espace par homothétie et par translation ; et, à
la base de la géométrie non pascalienne, c’est un groupe
analogue que nous retrouvons, comprenant non seulement les homothéties
et les translations de l’espace ordinaire, mais d’autres transformations
analogues se combinant aux premières d’après des lois simples.
M. Hilbert
semble plutôt dissimuler ces rapprochements,
je ne sais pourquoi. Le point de vue logique paraît seul l’intéresser.
Étant donné une suite de propositions, il constate que toutes
se déduisent logiquement de la première. Quel est le fondement
de cette première proposition, quelle en est l’origine psychologique ?
Il ne s’en occupe pas. Et même si nous avons par exemple trois
propositions A, B, C, et si la logique permet, en partant de
l’une quelconque d’entre elles, d’en déduire les deux autres,
il lui sera indifférent de regarder A comme un axiome et d’en
tirer B et C, ou bien, au contraire, de regarder C comme un axiome
et d’en tirer A et B. Les axiomes sont posés, on ne sait pas
d’où ils sortent ; il est donc aussi facile de poser
A que C.
Son œuvre est donc incomplète, mais ce n’est pas une critique
que je lui adresse. Incomplet, il faut bien se résigner à
l’être. Il suffit qu’il ait fait faire à la philosophie des
mathématiques un progrès considérable comparable à ceux
que l’on devait à Lobatchevsky, à Riemann, à Helmholtz
et à Lie.
Poincaré
Depuis l’impression des lignes qui précèdent, M. Hilbert a publié une note nouvelle sur le même sujet (Ueber die Grundlagen der Geometrie, Nachrichten der K. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, 1902, Heft 3). Il semble y avoir fait une tentative pour combler les lacunes que j’ai signalées plus haut. Bien que cette note soit fort succincte, on y voit nettement percer deux préoccupations. D’abord il cherche à présenter les axiomes de l’ordre en les affranchissant de toute dépendance de la géométrie projective ; il se sert pour cela d’un théorème de M. Jordan. Puis il rattache les principes fondamentaux de la géométrie à la notion de groupe. Il se rapproche donc de la façon de voir de Lie, mais il réalise un progrès sur son devancier, puisqu’il débarrasse la théorie des groupes de tout appel aux principes du calcul différentiel.
Chapitre III Note sur la Géométrie Non Euclidienne (1900)
I (III)
Toutefois11 1 In the previous paragraphs, one could read: “5° Il résulte des propositions précédentes que deux hypothèses sont seules possibles : Ou bien, dans tous les triangles rectilignes, la somme des angles est égale à deux angles droits ; alors l’angle de parallélisme est toujours droit, et par un point quelconque on ne peut mener qu’une parallèle à une droite. Ou bien, dans tous les triangles rectilignes, la somme des angles est inférieure à deux angles droits ; alors, par un point quelconque, on peut mener deux parallèles à une droite, et l’angle de parallélisme, toujours aigu, varie avec la distance d’un point à un autre. La première hypothèse sert de fondement à la Géométrie ordinaire ou euclidienne. La seconde peut être également admise sans conduire à aucune contradiction ; elle est la base de la Géométrie non euclidienne que Lobatchevsky a établie, jusqu’au développement complet des équations entre les côtés et les angles d’un triangle, soit rectiligne, soit sphérique (tout ce qui va suivre, dans cette Note, est dû à M. Poincaré)”. il y a encore lieu de se demander si, en poussant plus loin les déductions, Lobatchevsky n’aurait pas fini par se heurter à une contradiction. En d’autres termes, y-a-t-il contradiction d’une part entre les axiomes admis par les géomètres (en mettant de côté le postulatum d’Euclide), et d’autre part le postulatum de Lobatcheffsky ? Pour nous en rendre compte, nous allons énoncer ces axiomes sous la forme suivante, en mettant en évidence ceux que les géomètres ne formulent pas d’ordinaire et qu’ils se contentent d’admettre implicitement.
Axiome 1. – Par deux points, on peut faire passer
une droite et une seule ; par trois points, un plan et
un seul.
Axiome 2. – Toute droite qui a deux points dans un
plan est toute entière dans ce plan, ou bien, ce qui revient
au même, l’intersection de deux plans est une droite.
Axiome 3. – Si deux figures sont égales, les lignes
et les surfaces de la seconde qui sont homologues aux droites
et aux plans de la première, sont aussi des droites et des
plans.
Axiome 4. – Dans deux figures égales, les angles
homologues sont égaux, ainsi que les distances des couples
de points homologues.
Axiome 5. – Une figure peut se déplacer en restant
égale à elle-même et de telle sorte que tous les points
d’une droite restent fixes (mouvement de rotation).
Axiome 6. – Une figure peut se déplacer en restant
égale à elle-même et de telle sorte que tous les points
d’une droite se déplacent, mais en restant sur cette droite
(mouvement de glissement).
Axiome 7. – Si un point B est sur la droite AC, la
distance AC est égale à la somme des distances AB et AC ;
dans le cas contraire elle est plus petite.
Y-a-t-il contradiction entre ces sept axiomes et le postulatum de Lobatchevsky, d’après lequel : on peut par un point mener une infinité de plans qui ne rencontrent pas un plan donné.
Afin de lever les derniers doutes à ce sujet, il faut employer
un détour. Considérons une sphère qu’on appelle la sphère
absolue ; appelons domaine intérieur l’ensemble
des points intérieurs à la sphère absolue.
Considérons une sphère qui coupe orthogonalement la sphère
absolue ; la partie de cette sphère qui est dans le
domaine intérieur s’appellera faux plan.
Soit de même un cercle qui coupe orthogonalement la sphère
absolue ; la partie de ce cercle qui est dans le domaine
intérieur s’appellera fausse droite.
Nous pouvons alors énoncer les deux propositions suivantes :
Proposition 1. – Par deux points du domaine intérieur
on peut faire passer une fausse droite et une seule ;
par trois points du domaine intérieur on peut faire passer
un faux plan et un seul.
Proposition 2. – L’intersection de deux faux plans
est une fausse droite.
Supposons maintenant que l’on fasse une transformation par rayons
vecteurs réciproques (n° 952)22
2
Cf. paragraph
952, p. 61., en prenant pour sphère d’inversion un faux
plan, c’est-à-dire une sphère coupant orthogonalement la
sphère absolue.
Les sphères se transformeront en sphères et les cercles en
cercles ; de plus, les angles seront conservés ;
la sphère absolue, coupant orthogonalement la sphère d’inversion,
se transformera en elle-même ; et à cause de la conservation
des angles, les faux plans se transformeront en faux plans et
les fausses droites en fausses droites.
Le rapport anharmonique de quatre points sur un cercle, tel qu’il
a été défini au n° 321, n’est pas non plus
altéré par l’inversion.33
3
Cf. paragraph 321, p. 60.
Soient A et B deux points quelconques du domaine intérieur ;
joignons ces deux points par une fausse droite qui viendra couper
la sphère absolue en C et en D.
Appelons fausse distance des points A et B le logarithme
du rapport anharmonique (ABCD), multiplié par le rayon R de
la sphère absolue.
L’inversion transformera A et B en deux points
et
et la fausse droite qui les joint en une fausse droite qui coupera
la sphère absolue en deux points
et
transformés de C et D. On aura donc :
La fausse distance n’est pas altérée par l’inversion.
Soit une figure F quelconque ; faisons-lui subir un certain
nombre de transformations telles que celle dont je viens de parler,
c’est-à-dire un certain nombre d’inversions, la sphère d’inversion
étant un faux plan. Je dirai que la figure transformée est congruente
à F ; la congruence sera directe si elle résulte
d’un nombre pair d’inversions et inverse dans le cas contraire.
Nous pouvons alors énoncer les propositions suivantes :
Proposition 3. – Si deux figures sont congruentes,
les lignes et les surfaces de la seconde qui sont homologues
aux fausses droites et aux faux plans de la première sont aussi
des fausses droites et des faux plans.
Proposition 4. – Dans deux figures congruentes, les
angles homologues sont égaux ; les fausses distances
de deux couples de points homologues sont égales.
Les angles étant conservés, deux figures congruentes infiniment
petites sont semblables. Le rapport de similitude est
, R étant le rayon de la sphère absolue,
et
les distances des deux figures à l’origine, c’est-à-dire
au centre de la sphère absolue. Dans le cas où la sphère
absolue se réduit à un plan, ce rapport se réduit à
,
et
étant les distances des deux figures au plan absolu.
Soient D une fausse droite, S et
deux faux plans passant par D. Soient F une figure quelconque,
la figure inverse de F par rapport à S,
la figure inverse de
par rapport à
. Les points de D n’ont pas été altérés par ces deux
inversions.
Supposons que, D et S restant fixes, varie d’une manière continue, mais en passant toujours par D. La figure variera d’une manière continue, mais en restant congruente à elle-même. Ce déplacement continu (accompagné d’ailleurs de déformation) s’appellera une fausse rotation ; les points de D resteront fixes.
Soient encore D une fausse droite, S et deux faux plans orthogonaux à D.
Soient encore F une figure quelconque, la figure inverse de F par rapport à S, la figure inverse de par rapport à . La droite D n’est pas altérée par ces deux inversions ; les points de D sont déplacés, mais ils restent sur D.
Supposons que, D et S restant fixes, varie d’une manière continue, mais en restant orthogonal à D. La figure variera d’une manière continue en restant congruente à elle-même. Ce déplacement continu s’appellera un faux glissement ; dans ce mouvement, les points de D se mouvront, mais en restant sur D.
Nous pouvons donc énoncer les deux propositions suivantes :
Proposition 5. – Une figure peut se déplacer en
restant congruente à elle-même, et de telle sorte que tous
les points d’une fausse droite restent fixes (fausse rotation).
Proposition 6. – Une figure peut se déplacer en
restant congruente à elle-même et de telle sorte que tous
les points d’une fausse droite se déplacent, mais en restant
sur cette fausse droite (faux glissement).
Le lieu des points dont la fausse distance au point A est constante ne doit pas être altéré par les inversions qui ont lieu par rapport à un faux plan passant par A ; ce lieu doit donc couper normalement tous les faux plans qui passent par A.
Considérons la sphère S, lieu des points dont la fausse distance à A est constante ; et d’autre part la sphère , lieu des points dont la fausse distance à B est constante. Si ces deux sphères sont tangentes, le point de contact ne doit pas être altéré par les inversions qui ont lieu par rapport à un faux plan passant par A et B, puisque ces inversions n’altèrent aucune des deux sphères. Ce point de contact doit donc être sur la fausse droite AB. D’où cette conséquence : de tous les points C qui sont à une fausse distance donnée de A, celui dont la fausse distance à B est la plus petite est sur la fausse droite AB.
Mais si C est sur la fausse droite AB, il résulte des définitions que la fausse distance AB est la somme des fausses distances AC et BC. Nous pouvons donc énoncer la proposition suivante :
Proposition 7. – Si un point B est sur la fausse droite AC, la fausse distance AC est la somme des fausses distances AB et BC. Dans le cas contraire, elle est plus petite.
Il est aisé de vérifier d’autre part que :
Proposition 8. – On peut par un point du domaine intérieur mener une infinité de faux plans qui ne rencontrent pas un faux plan donné.
On remarquera immédiatement que ces huit propositions sont, pour ainsi dire, la traduction des sept axiomes de la Géométrie et du postulatum de Lobatcheffsky. Il suffit pour passer des uns aux autres de remplacer partout les mots
(1) |
espace, plan, droite, distance, égal, angle, |
par les mots
(2) |
domaine intérieur, plan, droite, fausse distance, directement congruent, angle. |
(La congruence inverse correspondrait à la symétrie).
Supposons donc que Lobatcheffsky, en tirant les
conséquences logiques des axiomes et de son postulatum,
soit arrivé à deux propositions contradictoires. Alors, en
traduisant son raisonnement de la façon que je viens de dire,
c’est-à-dire en remplaçant les mots (1) par les mots (2)
correspondants, on arriverait également à deux propositions
contradictoires qui seraient des conséquences logiques des
propositions 1 à 8 que nous venons d’énoncer.
Il y aurait donc contradiction entre ces huit propositions ;
mais cela est impossible, puisque ces huit propositions sont
vraies et appartiennent à la Géométrie ordinaire.
Il est donc certain que Lobatcheffsky
ne pouvait arriver
à une contradiction et que l’on n’y arrivera jamais, quelque
loin que l’on pousse les déductions.
Ajoutons qu’un faux plan divise le domaine intérieur (de même
qu’un plan divise l’espace) en deux régions entièrement séparées
l’une de l’autre.
II (IV)
La puissance de l’origine par rapport à un faux plan (n° 193)44 4 Cf. paragraph 193, p. 59. est égale à
, étant le rayon de la sphère absolue ; elle est
donc constante.
Convenons d’appeler faux plan toute sphère telle que la
puissance de l’origine par rapport à cette sphère soit égale
à une constante donnée K, mais en supposant cette constante
négative. En d’autres termes, supposons que le rayon de la
sphère absolue soit imaginaire.
Nous désignerons toujours par fausse droite l’intersection
de deux faux plans.
Ici, il n’y a plus lieu de distinguer un domaine intérieur :
un faux plan n’est plus une portion de sphère, mais une sphère
entière.
Un faux plan et une fausse droite se coupent alors en deux points
que j’appellerai points antipodes. Ces deux points sont en
ligne droite avec l’origine et le produit des rayons vecteurs
sera égal à K.
Dans le cas du § I (III) (c’est-à-dire quand K était positif et la sphère absolue réelle), une sphère et un cercle orthogonaux à cette sphère absolue se coupaient encore en deux points antipodes ; mais un seul de ces deux points appartenait au domaine intérieur et par conséquent au faux plan et à la fausse droite envisagés.
Si K était positif, les deux points antipodes seraient d’un même côté de l’origine.
Si K est négatif, ils sont de part et d’autre de l’origine.
Quand un point se rapproche de l’origine, son antipode s’éloigne
indéfiniment ; nous sommes ainsi amenés à regarder
tous les points à l’infini comme un point unique, antipode
de l’origine.
Dans ces conditions, un faux plan et une fausse droite se rencontrent toujours, et il en résulte qu’un triangle curviligne dont les côtés sont des fausses droites, a la somme de ses angles plus grande que deux droits (cette somme était au contraire plus petite que deux droits dans le cas du § I (III)).
Nous conserverons la définition de la fausse distance AB ; seulement les points C et D qui figurent dans cette définition sont maintenant imaginaires, puisque la sphère absolue est devenue imaginaire. On peut éviter la considération de ces points imaginaires en remarquant que si et sont les antipodes de A et B, la fausse distance AB est égale à
représentant le rapport anharmonique des quatre points.
Nos sept premières propositions subsistent avec un seul changement : la proposition 1 comporte une exception ; si deux points sont antipodes, on peut faire passer par ces deux points une infinité de fausses droites, de même par trois points, dont deux sont antipodes, on peut faire passer une infinité de plans.
Quant à la huitième proposition, elle doit être remplacée par la suivante :
Proposition 8 bis. – Par un point donné, non seulement on ne peut pas mener une infinité de faux plans qui ne rencontrent pas un faux plan donné, mais on n’en peut mener aucun.
On peut conclure de là que l’on pourrait, sans contradiction
logique, construire une Géométrie où l’on conserverait
les sept axiomes ordinaires, mais en admettant que l’axiome 1
cesse d’être vrai dans certains cas d’exception ; nous
voulons dire qu’il y aurait certains couples de points exceptionnels
par lesquels on pourrait faire passer, non pas une droite, mais
une infinité de droites. De même, par un de ces couples de
points exceptionnels et par un troisième point de l’espace,
on pourrait faire passer une infinité de plans.
Quant au postulatum d’Euclide
ou à celui de Lobatcheffsky, ils devraient
être remplacés par le suivant : par un point, on ne
peut mener aucun plan parallèle à un plan donné.
“Traduisons” en effet ces axiomes
en remplaçant les mots (1) par les mots (2) nous retrouverons
nos huit nouvelles propositions qui étant vraies ne sauraient
être contradictoires.
Dans cette nouvelle Géométrie non euclidienne, qui est connue
sous le nom de Géométrie de Riemann, la somme des angles d’un triangle
est supérieure à deux droits. Nous avons vu plus haut que
Lobatcheffsky avait
démontré que cette somme ne peut être qu’égale ou inférieure
à deux droits ; c’est que le géomètre russe admettait
que l’axiome 1 est vrai sans aucune exception.
Ainsi en “traduisant” une proposition
quelconque de la Géométrie de Lobatcheffsky
ou de celle de
Riemann, on retrouvera une proposition
euclidienne.
Démontrons maintenant que les formules de la Trigonométrie
sphérique sont les mêmes dans les trois Géométries. En
effet, considérons dans la Géométrie de Lobatcheffsky
(ou celle de Riemann) une proposition de Trigonométrie
sphérique ; ce sera une relation entre les côtés
et les angles d’un triangle sphérique, ou, ce qui revient au
même, une relation entre les angles plans et les dièdres
d’un trièdre non euclidien . Traduisons cette proposition
en remplaçant les mots (1) par les mots (2) : nous obtiendrons
une relation entre les angles sous lesquels se coupent trois
faux plans, et les angles sous lesquels se coupent les trois
fausses droites intersections mutuelles de ces trois faux plans ;
c’est-à-dire entre les angles plans et les dièdres du trièdre
formé par les plans tangents à nos trois faux plans en
leur point d’intersection.
La relation n’aura d’ailleurs pas été altérée par la traduction,
puisque le mot angle se traduit par angle. La
relation est donc la même entre les éléments du trièdre
non euclidien et ceux du trièdre euclidien .
III (V)
Introduisons maintenant une transformation nouvelle que j’appellerai
la transformation T. Soit O l’origine, A un point quelconque,
A son antipode ; B le conjugué harmonique de O par rapport
au segment ; le point B sera regardé comme le transformé du point A.
Dans cette transformation T :
1° La sphère absolue n’est pas altérée ;
2° Un faux plan est transformé en un plan proprement
dit qui n’est autre que le plan polaire de l’origine par rapport
à la sphère dont fait partie ce faux plan ;
3° Une fausse droite se transforme en une droite proprement
dite ;
4° La fausse distance de deux points A, B est par définition
le logarithme du rapport anharmonique (ABCD), les points C et
D étant les intersections de la sphère absolue et de la fausse
droite AB. Par notre transformation T, les points C et D ne changeront
pas, les points A et B seront transformés en
A et B. Les quatre points
seront en ligne droite et le rapport anharmonique
sera le carré de
.
Nous pourrons alors appeler fausse distance de deuxième
sorte des points
et
le demi-logarithme de
, ce sera la même chose que la fausse distance des points A
et B.
5° Les angles seront altérés par la transformation
T conformément aux règles du n° 1185.55
5
Cf.
paragraph 1185, p. 61. Soient deux plans quelconques,
et les deux plans tangents (imaginaires) menés par leur intersection
à la sphère absolue ; soit
le rapport anharmonique de ces quatre plans ; l’expression
s’appellera le faux angle de ces deux plans. L’angle de deux
faux plans est égal au faux angle des deux plans qui sont leurs
transformés.
6° Soient deux points A et B inverses l’un de l’autre par rapport au faux plan P ; soient et leurs transformés, le transformé de P (ce sera un plan). Soit Q le pôle du plan par rapport à la sphère absolue. Les points Q, , sont sur une même droite qui coupe le plan en un point R conjugué harmonique de Q par rapport au segment . Les points et sont donc transformés l’un de l’autre par homologie ; mais cette homologie satisfait à des conditions particulières, puisque (voir n° 938)66 6 Cf. paragraph 938, p. 60. le centre d’homologie est le pôle du plan d’homologie par rapport à la sphère absolue et que le rapport d’homologie est égal à .
Considérons une figure, et ses transformées successives par une série d’homologies satisfaisant à ces conditions. On dira que ces diverses figures sont congruentes de la seconde manière. Il est clair que si deux figures sont congruentes de la première manière, leurs transformées par la transformation T seront congruentes de la seconde manière.
Ces considérations nous font connaître une autre manière de déduire une proposition de la Géométrie ordinaire de toute proposition de la Géométrie non euclidienne.
Il suffit pour cela de la traduire en remplaçant les mots :
(1) |
espace, plan, droite, distance, égal, angle, |
par les mots
(3) |
domaine intérieur, plan, droite, fausse distance de la deuxième sorte, directement congruent de la deuxième manière, faux angle. |
Voilà donc une nouvelle interprétation qui, en ce qui concerne la Géométrie de Riemann, soulève l’observation suivante :
Deux points antipodes ont le même transformé par la transformation T ; par conséquent, dans la nouvelle manière d’interpréter la Géométrie de Riemann, un plan et une droite ne peuvent avoir qu’un point commun ; l’axiome 1 est vrai sans comporter aucune exception. Comment se fait-il alors que, contrairement à la démonstration de Lobatcheffsky, la somme des angles d’un triangle soit supérieure à deux droits ? C’est que nous avons abandonné une autre des hypothèses fondamentales de la Géométrie : il n’est plus vrai de dire qu’un plan partage l’espace en deux régions de telle façon qu’on ne puisse passer d’une de ces régions à l’autre sans traverser ce plan.
Il est inutile d’ajouter que toutes ces propriétés peuvent être transformées d’une manière quelconque par homologie. La sphère absolue sera alors remplacée par un ellipsoïde ou un hyperboloïde absolu. À part ce changement, les définitions de la fausse distance de la seconde sorte, de la congruence de la seconde manière, du faux angle ne seront pas changées ; le caractère projectif de ces définitions est en effet manifeste.
IV (VI)
La Géométrie non euclidienne à trois dimensions, étant
ainsi constituée, contient, comme cas particulier, la Géométrie
plane non euclidienne. Aux figures situées dans un plan non
euclidien, correspondront dans l’espace euclidien, les figures
situées dans un faux plan quelconque que nous pourrons d’ailleurs
choisir arbitrairement. Nous choisirons un faux plan P passant
par l’origine et qui sera par conséquent à la fois un faux
plan et un plan au sens ordinaire du mot.
Ce faux plan P coupera la sphère absolue suivant un cercle
qu’on appellera le cercle absolu. Les fausses droites
de P couperont orthogonalement ce cercle absolu ; la puissance
de l’origine par rapport à ces fausses droites sera égale
à K.
Nous allons voir d’abord que la Géométrie de Riemann
à deux dimensions ne
diffère pas essentiellement de la Géométrie sphérique.
Supposons donc K négatif ; construisons une sphère
S de rayon
ayant pour centre l’origine. Soit F une figure de la sphère,
projetons-la stéréographiquement sur le plan P (n° 958).77
7
Cf.
paragraph 938, p. 61. Cette projection conservera les
angles, les grands cercles de la sphère se projetteront suivant
des fausses droites ; la longueur d’un arc de grand cercle
n’est autre chose que la fausse distance des projections de ses
extrémités.
Les projections de deux points antipodes de la sphère seront
deux points antipodes au sens du paragraphe II (IV) ;
c’est ce qui justifie cette dénomination.
À chaque théorème de la Géométrie de Riemann
correspondra donc un théorème
de la Géométrie sphérique ; il suffit, pour la traduire,
de remplacer les mots :
(1) droite, égal, longueur, angle,
par les mots :
(4) grand cercle, égal, longueur, angle.
En particulier, les formules de la Trigonométrie plane de Riemann seront les mêmes que celles de la Trigonométrie sphérique ordinaire. On a, par exemple, en Trigonométrie sphérique,
(5) |
A, B, C étant les angles d’un triangle sphérique, et a, b, c les longueurs de ses côtés (le rayon de la sphère étant supposé égal à ), de telle façon que , , soient les longueurs des côtés correspondants du triangle semblable construit sur la sphère de rayon 1.
La formule (5) sera encore vraie d’un triangle plan dans la Géométrie de Riemann.
Elle sera encore vraie (par continuité) d’un triangle plan dans la Géométrie de Lobatcheffsky. Seulement, étant positif, la formule se présente sous une forme imaginaire. Pour lui rendre la forme réelle servons-nous d’une formule d’Analyse
notre formule (5) deviendra :
(5 bis) |
Soient une figure sphérique quelconque, sa projection stéréographique sur le plan . Comment pourrait-on obtenir la transformée de par la transformation du paragraphe III (V) ? Pour cela menons à la sphère un plan tangent parallèle à ; faisons la perspective de sur ce plan, en prenant pour point de vue le centre de la sphère ; et enfin projetons orthogonalement sur le plan la perspective obtenue ; il est aisé de montrer que la figure ainsi construite n’est autre chose que . On vérifie immédiatement qu’aux grands cercles de correspondent les droites de .
Lorsque est positif, la sphère est imaginaire ;
on peut donc dire que la Géométrie plane de Lobatcheffsky
est la Géométrie
d’une sphère imaginaire ; mais il y a bien des moyens
d’éviter cette sphère imaginaire et d’arriver à la formule
(5 bis) et aux formules analogues sans passer par la considération
des imaginaires. Nous nous bornerons à indiquer sommairement
le suivant :
Considérons un hyperboloïde de révolution à deux nappes.
Soit P le plan de symétrie qui ne rencontre pas la surface ;
soient N l’une des nappes et V le point où l’axe de symétrie
perpendiculaire à P vient rencontrer l’autre nappe. Soit F
une figure quelconque tracée sur la nappe N : faisons-en
la perspective sur le plan P, en prenant V pour point de vue.
Toutes les sections planes de l’hyperboloïde se projetteront
suivant des cercles.
Menons par V des parallèles aux génératrices du cône
asymptote. Nous obtiendrons un certain cône de révolution
qui viendra couper le plan P suivant un cercle C. Ce cercle est
la projection des points à l’infini de l’hyperboloïde.
Si nous prenons C pour cercle absolu, les sections diamétrales
de l’hyperboloïde se projetteront suivant des fausses droites.
À chaque point de la nappe N correspond ainsi un point du domaine
intérieur et par conséquent un point du plan non euclidien.
Cette construction joue, pour la Géométrie de Lobatcheffsky, le rôle
que jouait tout à l’heure la projection stéréographique
pour la Géométrie de Riemann.
Soient, dans le plan P, deux figures congruentes, et , qui soient les projections de deux figures F et de la nappe N ; les coordonnées d’un point de sont alors des fonctions linéaires et homogènes des coordonnées du point homologue de F ; il suffit de montrer qu’il en est ainsi quand on suppose que et sont transformées l’une de l’autre par une seule inversion, le cercle d’inversion étant une fausse droite ; or cela se vérifie immédiatement.
Soient
l’équation de l’hyperboloïde, et
les coordonnées de deux points de N. Soit la fausse distance des projections de ces deux points ; on vérifie aisément que
Cette formule, d’où l’on peut déduire toutes celles de la Trigonométrie plane non euclidienne, est l’équivalent de la formule de Géométrie analytique qui donne le cosinus de l’angle de deux directions en fonction de leurs cosinus directeurs.
V (VII)
Dans les pages qui précèdent nous n’avons fait usage que
des principes de la Géométrie élémentaire ; tout
au plus dans le paragraphe précédent avons-nous invoqué
une formule d’Analyse, et quelques formules de Géométrie
analytique, ce que nous aurions d’ailleurs pu éviter au prix
de quelques longueurs. Nous ne saurions cependant clore cette
Note sans dire quelques mots des liens qui rattachent la Géométrie
plane non euclidienne à la Géométrie infinitésimale des
surfaces. Nous renverrons d’ailleurs pour les théorèmes dont
nous aurons à nous servir à l’Ouvrage classique de M. Darboux.
Deux surfaces sont dites applicables l’une sur l’autre, si
l’on peut déformer l’une d’elles (sans altérer les longueurs
des lignes tracées sur cette surface et les angles sous lesquels
ces lignes se coupent) de manière à l’appliquer sur l’autre
sans déchirure ni duplicature.
Une géodésique d’une surface est, par définition, le plus
court chemin d’un point à un autre sur cette surface. Il est
clair que si deux surfaces sont applicables l’une sur l’autre,
les géodésiques de l’une correspondront aux géodésiques
de l’autre, puisque la déformation, n’altérant pas les longueurs,
conserve les géodésiques.
La courbure totale d’une surface est l’inverse du produit des
deux rayons de courbure principaux. On démontre que la condition
nécessaire et suffisante pour qu’une surface soit applicable
sur une sphère de rayon R, c’est que cette surface ait sa courbure
totale constante et égale à
.
Une sphère est applicable d’une infinité de manières sur
elle-même ; une surface à courbure totale constante
sera donc aussi applicable sur elle-même d’une infinité de
manières.
Il est clair que la Géométrie des lignes tracées sur une
surface sera la même que la Géométrie des lignes tracées
sur une surface applicable sur la première.
Or nous avons vu que la Géométrie plane de Riemann
ne diffère pas de la
Géométrie de la sphère ; elle ne différera donc
pas non plus de la Géométrie des surfaces à courbure totale
constante positive.
Les triangles dont les côtés sont trois géodésiques tracées
sur une pareille surface auront la somme de leurs angles supérieure
à deux droits et leurs éléments seront liés par les formules
de la Trigonométrie sphérique.
Mais il y a également des surfaces réelles à courbure totale
négative, connues sous le nom de surfaces de Beltrami. La Géométrie de ces
surfaces ne différera pas de celle de Lobatcheffsky.
Les triangles dont les côtés sont trois géodésiques tracées
sur une surface de Beltrami
auront la somme de leurs angles
inférieure à deux droits et leurs éléments seront liés
par les formules de la Trigonométrie plane non euclidienne.
Poincaré’s note ends at this point. Here are the paragraphs from Rouché and Comberousse’s treatise to which he referred in his text.
N° 193 – Si, d’un point pris dans le plan d’un cercle, on mène des sécantes à ce cercle, le produit des distances de ce point aux deux points d’intersection de chaque sécante est constant, quelle que soit la direction de la sécante.
Ainsi, soient EA, ED, deux sécantes issues du point fixe E ; il s’agit de démontrer qu’on a
(III.1) |
La figure peut se présenter de deux manières, suivant que
le point E est intérieur (fig. 145) ou extérieur
au cercle (fig. 146) ; mais la démonstration
est la même dans les deux cas.
Menons les cordes AC et BD ; les angles ACD, ABD, étant
inscrits dans le même segment, sont égaux, et par suite les
cordes AC, BD, sont anti-parallèles par rapport à l’angle
AED. On a donc la relation (1).
Le produit constant EA.EB a reçu le nom de puissance du point E par rapport au cercle considéré.
N° 321 – On nomme rapports anharmoniques d’un faisceau de quatre droites les rapports anharmoniques des quatre points déterminés par ce faisceau sur une transversale quelconque. Ainsi, , , …sont des rapports anharmoniques du faisceau formé par les droites OM, ON, OP, OQ […]. On désigne ces rapports anharmoniques du faisceau par la notation
Il résulte d’ailleurs du n° 318 que le rapport anharmonique d’un faisceau ne change pas de valeur lorsqu’on échange deux rayons quelconques, pourvu qu’on échange en même temps les deux autres ; de sorte qu’on a, par exemple, .
Il résulte de la seconde démonstration donnée au numéro
précédent que le rapport anharmonique
du faisceau a pour expression
.
Il est évident, d’après cela, que deux faisceaux qui ont
respectivement les mêmes angles ont les mêmes rapports anharmoniques.
Voici deux exemples importants de faisceaux de cette nature.
1° Si l’on joint un point quelconque d’une circonférence
à quatre points fixes , , , , de
cette circonférence, le rapport anharmonique du faisceau ainsi
obtenu est constant, quelle que soit la position du point sur
la circonférence. Il résulte, en effet, des propriétés
des angles inscrits que le point se déplaçant, et les points
, , , , restant fixes sur la circonférence,
le faisceau conserve les mêmes angles. Ce rapport constant
est ce qu’on appelle le rapport anharmonique des quatre points , , , , du
cercle.
2° Si l’on joint le centre d’un cercle aux points
où quatre tangentes fixes sont coupées par une cinquième
tangente, le rapport anharmonique du faisceau ainsi obtenu est
constant, quelle que soit la cinquième tangente. En
effet, l’angle sous lequel on voit du centre la portion d’une
tangente mobile comprise entre deux tangentes fixes est évidemment
égal à la moitié de l’angle des deux rayons qui aboutissent
aux points de contact de ces tangentes fixes. Cet angle est donc
constant, et par suite le faisceau considéré conserve les
mêmes angles, quelle que soit la position de la cinquième
tangente.
On voit par là que le rapport anharmonique des points suivant
lesquels une tangente mobile est coupée par quatre
tangentes fixes est constant. Ce rapport est ce qu’on appelle
le rapport anharmonique des quatre tangentes fixes.
Le rapport anharmonique de quatre tangentes à un cercle
est égal au rapport anharmonique des quatre points
de contact ; car le faisceau partant du centre du cercle,
et aboutissant aux points d’intersection de ces quatre tangentes
avec une cinquième, a ses rayons respectivement perpendiculaires
à ceux du faisceau partant du point de contact de la cinquième
tangente et aboutissant aux points de contact des quatre tangentes
considérées”.
N° 938 – La nouvelle définition donnée
au n° 732 pour les figures planes s’étend aux
figures de l’espace, lorsqu’on remplace la droite fixe X par un
plan fixe.
Ainsi, étant donnés un point fixe O et un plan fixe Q, si,
sur chaque rayon
joignant le point fixe à un point quelconque
du plan , on prend deux points et tels que le rapport anharmonique
ait une valeur constante
, les points et décrivent deux figures
et qu’on dit homologiques.
est le centre d’homologie, le plan d’homologie, et
le coefficient d’homologie.
Le point est son propre homologue, et il partage cette propriété
avec chacun des points du plan .
Au lieu de donner la constante
, on peut donner un premier couple
de points homologues. Alors, pour obtenir l’homologue d’un point
quelconque m de la première figure , il suffit de prendre
l’intersection du rayon avec la droite
qui joint le point au point
, où la droite am rencontre le plan d’homologie. Ce tracé
est la généralisation de celui du n° 729
et, d’après les considérations développées au n° 732,
il équivaut à la définition donnée ci-dessus.
N° 952 – La définition du n° 384
s’applique à des points A, B, C, …, situés
d’une manière quelconque dans l’espace.
Le cercle d’inversion devient alors une sphère, et, lorsqu’on
fait varier le rayon de cette sphère sans déplacer son centre,
les figures inverses de la figure donnée ainsi obtenues sont
homothétiques (385) entre elles.
N° 958 – Voici quelques applications des
principes qui précèdent.
On nomme projection stéréographique d’une figure sphérique
la perspective de cette figure faite en prenant pour point
de vue S un point de la sphère, et pour plan de projection
ou tableau le plan P du grand cercle dont le pôle est au
point de vue S.
D’après le n° 953, on peut considérer le plan
diamétral P comme l’inverse de la surface sphérique, en prenant
pour origine le point S et pour puissance le double du carré
du rayon de la sphère. La projection stéréographique n’est
donc qu’un cas particulier de la transformation par rayons vecteurs
réciproques, et l’on peut énoncer les propositions suivantes
qu’on utilise dans la construction des mappemondes :
1° Les projections stéréographiques de deux lignes tracées sur la sphère se coupent sous le même angle que ces lignes elles-mêmes ;
2° La projection stéréographique d’un cercle de la sphère est un cercle dont le centre est la perspective du sommet du cône circonscrit à la sphère suivant le cercle proposé.
La projection stéréographique a été connue des Grecs : Ptolémée l’a décrite sous le nom de planisphère, et les auteurs du moyen âge l’appelaient astrolabe. La construction du centre est due à M. Chasles.
N° 1185 – La solution générale du problème de la transformation des relations angulaires est due à M. Laguerre (Nouvelles annales, 1853). Elle repose sur le principe suivant :
Le rapport anharmonique
(III.1) |
du faisceau formé par les côtés d’un angle et par les droites qui joignent son sommet aux points cycliques g et h du plan est égal à . En effet, m étant un point d’un cercle ayant o pour centre et pour rayon, on a, en menant mp parallèle à ov jusqu’à sa rencontre avec ou,
d’où, en désignant par ce rapport de sinus,
Or, si m est l’un des points g ou h, op est infini, et l’on voit que le rapport anharmonique a bien la valeur énoncée, puisqu’il est égal au quotient des racines de l’équation
Cela posé, soit un angle quelconque, UOV sa projection, G et H les projections des points cycliques gh du plan uov ; en désignant par et nommant rapport anharmonique relatif à l’angle UOV le rapport (1), dans lequel on remplace chaque lettre par la lettre majuscule correspondante, on a, en vertu de la projectivité du rapport anharmonique,
Telle est la relation entre un angle et sa projection. Donc enfin, à une relation quelconque
entre les angles , …, d’une figure répond, entre les angles , …, de la figure projection, la relation
où désigne le rapport anharmonique relatif à l’angle .
Remarquons que, dans le cas particulier de , on a ; donc, à tout angle droit d’une figure répond, dans la figure projection, un angle dont les côtés divisent harmoniquement les droites qui joignent le sommet aux projections des points cycliques.
Voici quelques applications :
Deux coniques confocales se coupent orthogonalement (1161). |
Si deux coniques sont inscrites dans le même quadrilatère, les deux tangentes à l’un des points communs divisent harmoniquement une diagonale quelconque de ce quadrilatère. |
Le lieu des angles droits circonscrits à une ellipse ou à une hyperbole est un cercle (990, 1021). |
Le lieu des angles circonscrits à une conique, dont les côtés divisent harmoniquement une ligne droite donnée ab, est une conique passant par les points a et b. |
Le lieu des angles droits circonscrits à une parabole est la directrice (1048). |
Le lieu des angles circonscrits à une conique, dont les côtés divisent harmoniquement un tangente ab à cette conique, est la droite qui joint les points de contact des tangentes issues de a et de b. |
Si autour du centre d’un cercle comme sommet on fait tourner un angle de grandeur constante, la corde qu’il intercepte dans le cercle enveloppe un cercle concentrique. |
Si autour d’un point fixe on fait tourner deux rayons formant deux faisceaux homographiques dont les rayons doubles soient les tangentes à une conique, la corde interceptée dans la conique enveloppe une autre conique qui a avec la première un double contact sur la polaire du point fixe. |
Deuxième partie Les Approximations de la Mécanique Céleste
Chapitre IV Sur les Hypothèses Cosmogoniques (1911)
Le problème de l’origine du Monde a de tout temps préoccupé tous les
hommes qui réfléchissent ; il est impossible de contempler le
spectacle de l’Univers étoilé sans se demander comment il s’est
formé ; nous devrions peut-être attendre pour chercher une solution
que nous en ayons patiemment rassemblé les éléments, et que nous ayons
acquis par là quelque espoir sérieux de la trouver ; mais si nous
étions si raisonnables, si nous étions curieux sans impatience, il est
probable que nous n’aurions jamais créé la Science et que nous nous
serions toujours contentés de vivre notre petite vie. Notre esprit a
donc réclamé impérieusement cette solution, bien avant qu’elle fût
mûre, et alors qu’il ne possédait que de vagues lueurs, lui permettant
de la deviner plutôt que de l’atteindre. Et c’est pour cela que les
hypothèses cosmogoniques sont si nombreuses, si variées, qu’il en naît
chaque jour de nouvelles, tout aussi incertaines, mais tout aussi
plausibles que les théories plus anciennes, au milieu desquelles elles
viennent prendre place
sans parvenir à les faire oublier.
On pourrait penser que l’Univers a toujours été ce qu’il est
aujourd’hui, que les êtres minuscules qui rampent à la surface des
astres sont périssables, mais que les astres eux-mêmes ne changent
pas, et qu’ils poursuivent glorieusement leur vie éternelle, sans se
soucier de leurs misérables et éphémères parasites. Mais il y a deux
raisons de rejeter cette manière
de voir.
Le système solaire nous présente le spectacle d’une parfaite
harmonie ; les orbites des planètes sont toutes presque circulaires,
toutes à peu près dans un même plan, toutes parcourues dans le même
sens. Ce ne peut être l’effet du hasard ; on pourrait supposer qu’une
intelligence infinie a établi cet ordre au début une fois pour toutes
et pour toujours, et tout le monde se serait contenté autrefois de
cette explication ; aujourd’hui on ne se satisfait plus à si bon
marché ; certes il y a encore bien des gens qui tiennent un Dieu
créateur pour une hypothèse nécessaire, mais ils ne conçoivent plus
l’intervention divine comme le faisaient leurs devanciers ; leur Dieu
est moins architecte et plus mécanicien ; et il reste alors à
expliquer par quel mécanisme il a tiré l’ordre du chaos. Si l’ordre
que nous constatons n’est pas dû au hasard, et si on renonce à
l’attribuer à quelque décret divin immédiatement exécutoire, il faut
qu’il ait succédé au chaos, il faut donc que les
astres aient changé. Et c’est bien ainsi qu’a raisonné Laplace.
D’autre part, le second principe de la Thermodynamique, le principe de
Carnot, nous apprend que le Monde tend vers un état final ; l’énergie
“se dissipe”, c’est-à-dire que le frottement tend constamment à
transformer le mouvement en chaleur et que la température tend partout
à s’uniformiser. L’état final du Monde est donc un état d’uniformité ;
cet état, qu’il doit atteindre, n’est pas atteint encore ; donc le
monde change et même il
a toujours changé.
Et voilà le champ ouvert aux hypothèses ; la plus vieille est celle de
Laplace ; mais sa vieillesse est vigoureuse, et, pour son âge, elle
n’a pas trop de rides. Malgré les objections qu’on lui a opposées,
malgré les découvertes que les astronomes ont faites et qui auraient
bien étonné Laplace, elle est toujours debout, et c’est encore elle
qui rend le mieux compte de bien des faits ; c’est elle qui répond le
mieux à la question que s’était posé son auteur. Pourquoi l’ordre
règne-t-il dans le système solaire, si cet ordre n’est pas dû au
hasard ? De temps en temps une brèche s’ouvrait dans le vieil
édifice ; mais elle
était promptement réparée et l’édifice ne tombait pas.
On sait en quoi consiste cette hypothèse. Le système solaire est sorti
d’une nébuleuse qui s’étendait autrefois au delà de l’orbite de
Neptune ; cette nébuleuse était animée d’un mouvement de rotation
uniforme ; elle ne pouvait être homogène, elle était condensée et même
fortement condensée vers le centre ; elle était formée d’un noyau
relativement dense qui est devenu le Soleil, entouré d’une atmosphère
d’une ténuité extrême qui a donné naissance aux planètes. Elle se
contractait par refroidissement, abandonnant de temps en temps à
l’équateur des anneaux nébuleux ; ces anneaux étaient instables ou le
devenaient promptement ; ils devaient donc se rompre et finalement se
rassembler en une
seule masse sphéroïdale.
Au moment où le système commence à se former, il y règne déjà un
commencement d’ordre ; les mouvements internes de la nébuleuse ne sont
pas capricieux et désordonnés ; ils se ramènent à une rotation
uniforme ; c’est cette harmonie initiale qui a produit l’harmonie
finale que nous admirons, mais cette harmonie initiale est facile à
expliquer. Les frottements internes de la masse ont dû promptement
détruire les irrégularités de ses mouvements intestins et ne laisser
subsister qu’une rotation d’ensemble parfaitement
régulière. Promptement ? Cela dépend du sens que l’on attache à ce
mot ; les inégalités disparaîtront promptement si l’on regarde
quelques milliards d’années comme un délai très court. Quand on veut
faire le calcul en attribuant à la matière de la nébuleuse la
viscosité des gaz que nous connaissons, on arrive à des chiffres
fantastiques. Et ce n’est pas tout : le refroidissement même et la
contraction qui en résultent tendent à troubler cette harmonie si
lentement conquise, et, pour qu’elle se conserve, il faut que cette
contraction et l’évolution entière du système soient aussi
prodigieusement lentes. D’autant plus que l’on a établi qu’il faut des
centaines de millions d’années pour que les diverses parties d’un même
anneau, en se mouvant séparément suivant les lois de Kepler, finissent
par se choquer et se coller les unes aux autres ; phénomène qui ne
doit être regardé que comme un court épisode dans l’évolution
générale. Ces chiffres ne doivent pas nous effrayer ; ils sont en
désaccord avec l’âge que d’autres théories attribuent au Soleil et aux
étoiles ; mais ces théories soulèvent de leur côté de grandes
difficultés. Une réflexion toutefois s’impose ; d’autres systèmes
semblables au nôtre devaient subir en même temps la même évolution ;
chacun d’eux occupait un espace considérable s’étendant bien au delà
du rayon de notre Soleil actuel ; si cette évolution a duré trop
longtemps, on est obligé de compter avec la probabilité d’un choc,
venant tout détruire avant qu’elle soit terminée.
Pour Faye, l’origine des planètes est toute différente ; c’est à
l’intérieur de la masse nébulaire elle-même que les planètes et le
Soleil se sont différenciés ; dès qu’un commencement de condensation
s’est produit en certains points, ces points sont devenus des centres
d’attraction, ils ont attiré la matière environnante, s’en sont
nourris pour ainsi dire, jusqu’à ce qu’ils aient fini par absorber
toute l’atmosphère très ténue de la nébuleuse primitive et par se
mouvoir dans le vide. Cette théorie conduit à de singulières
conséquences : Mercure serait plus vieux que Neptune et la Terre
elle-même plus vieille que le Soleil. Les planètes étaient autrefois
beaucoup plus éloignées du Soleil, et Mercure par exemple était à la
distance de Saturne ; elles se sont graduellement rapprochées de
l’astre central en conservant des orbites circulaires. On ne peut pas
dire que Faye ne rend pas compte de la faiblesse des excentricités et
des inclinaisons ; du moins il cherche à le faire et il est bien
décidé à donner les coups de pouce nécessaires pour obtenir ce
résultat ; mais l’explication qu’il donne est bien imprécise et bien
moins satisfaisante pour l’esprit que celle de Laplace. Il avait cru
devoir abandonner les idées de Laplace, incapables d’après lui
d’expliquer le mouvement rétrograde du satellite de Neptune. Il
croyait comme Laplace lui-même, que le sens de rotation d’une planète
dépend de la distribution des vitesses dans l’anneau qui lui a donné
naissance. Nous savons aujourd’hui que cette distribution ne peut être
qu’éphémère, puisque l’anneau est instable, qu’elle ne peut donc avoir
aucune influence sur le résultat final ; que les rotations de toutes
les planètes ont dû être primitivement rétrogrades quelle que soit
leur origine, et que l’influence des marées a pu seule les rendre
directes. Dans ces conditions, nous n’avons plus aucune raison de
préférer l’hypothèse de Faye
à celle de Laplace.
La théorie de M. Du Ligondès dérive à la fois de celle de Faye et de
celle de Kant. Pour lui, le point de départ n’est plus la nébuleuse de
Laplace, dont les mouvements sont déjà régularisés par le frottement,
c’est un chaos véritable. Au lieu d’une masse gazeuse dont les
diverses parties sont rendues plus ou moins solidaires les unes des
autres par l’effet de la viscosité, et qui forme en tout cas un
continu, nous n’avons plus qu’un essaim de projectiles se
croisant au hasard dans tous les sens. Que sont ces projectiles ? Ce
peuvent être des météorites solides, ou d’énormes bulles de gaz, peu
importe ; entre eux il n’y a que le vide ou une atmosphère assez ténue
pour ne pas gêner la liberté de leurs mouvements. De temps en temps
ces mouvements sont troublés, soit parce que ces corps approchent
beaucoup les uns des autres, soit parce qu’ils se choquent
physiquement. Et ce sont ces chocs qui produisent l’évolution ; s’il
n’y avait ni choc, ni résistance passive, ou même si les corps qui se
choquent étaient parfaitement élastiques, ces projectiles, malgré
l’attraction qu’ils exercent les uns sur les autres, pourraient
circuler indéfiniment sans montrer aucune tendance à la
concentration ; de même que, dans le vide, les planètes tourneraient
perpétuellement autour du Soleil, sans jamais tomber sur l’astre qui
les attire. Supposons au contraire deux planètes circulant en sens
contraire sur la même orbite circulaire ; avant d’avoir décrit une
demi-circonférence, elles se rencontreront, leur vitesse sera détruite
par le choc si on les suppose dépourvues d’élasticité, et elles
tomberont ensemble sur le Soleil, augmentant ainsi la masse de l’astre
central. De pareils chocs peuvent devenir fréquents dans un milieu
constitué comme l’imagine M. Du Ligondès ; il y a donc une
concentration progressive de la masse ; on la voit peu à peu
s’organiser, les planètes et le Soleil se différencient, puis se
nourrissent de la matière qui les entoure et finissent par tout
absorber. On peut montrer que par le jeu même de ces chocs, on arrive
à un système d’orbites peu excentriques et peu inclinées. Bien que se
faisant au hasard et pour ainsi dire aveuglément, ces chocs
transforment le chaos en un cosmos admirablement réglé, où
l’uniformité primitive a fait place à la variété,
mais à une variété harmonieuse.
La nébuleuse de M. Du Ligondès, sillonnée en tous sens par des
projectiles se mouvant au hasard, ressemble beaucoup au gaz de la
théorie cinétique. Peu importe que les projectiles soient de taille
très différente, puisque dans un cas ce sont des atomes et dans
l’autre des météorites, ou de petits astres. Et cependant la
Thermodynamique et la théorie cinétique nous enseignent que les gaz,
comme le monde physique tout entier, tendent sans cesse vers
l’uniformité. Les lois du hasard et celles des grands nombres tendent
à niveler très rapidement les inégalités que le gaz peut présenter,
jusqu’à ce que la température et les vitesses deviennent uniformes
dans toute la masse. Prenons comme point de départ un système de
molécules gazeuses dont les vitesses, au lieu d’être fortuitement
réparties, seraient harmonieusement distribuées, de manière à faire
une sorte de cosmos pareil au système solaire ; au bout de peu de
temps, nous serons retombés dans le chaos, les masses primitivement
différenciées se seront confondues en une seule, les vitesses seront
de nouveau réparties suivant la loi de Maxwell, qui est celle du
hasard. Comment deux mécanismes en apparence identiques ont-ils pu
produire deux effets opposés ? La réponse est aisée : dans la théorie
cinétique des gaz, on regarde les molécules gazeuses comme
parfaitement élastiques, il n’y a rien qui ressemble à une résistance
passive, la force vive n’est jamais détruite ; dans l’hypothèse de
M. Du Ligondès, les corps en se choquant perdent leur force vive, au
moins en partie, et la transforment en chaleur ; nous avons vu que
c’était là l’origine d’une tendance à la concentration et par
conséquent à la différenciation. Nos projectiles peuvent donc subir
deux sortes de perturbations ; de brusques déviations causées par
l’attraction newtonienne, quand deux masses viennent à se rapprocher
sans se toucher, et des chocs physiques. Les premières perturbations,
de beaucoup les plus fréquentes, se font sans perte de force vive,
elles sont tout à fait assimilables aux chocs des molécules gazeuses
dans la théorie cinétique ; elles tendent donc à maintenir le chaos,
ou même à le rétablir, et à faire régner partout la loi de
Maxwell. Les chocs physiques au contraire entraînent des résistances
passives ; c’est à eux
que nous devons l’organisation du cosmos.
Et alors une réflexion s’impose ; on admet en général que les atomes
ne sont soumis à aucune résistance passive, de sorte qu’ils se
comportent dans le choc comme des corps élastiques ; ils suivent ainsi
sans restriction les lois de la Mécanique théorique. Si les corps de
dimension sensible semblent s’en écarter à tel point que les
phénomènes observés sont irréversibles, c’est qu’ils se composent
d’atomes très nombreux et que la loi des grands nombres
intervient. Cela va bien si les atomes sont eux-mêmes regardés comme
des points matériels et si le mot “atome” doit être entendu au sens
étymologique ; mais il est loin d’en être ainsi ; les éléments d’un
gaz dans la théorie cinétique sont les “molécules” et chacune
d’elles contient plusieurs atomes chimiques ; chaque atome à son tour
est formé d’électrons, et il serait puéril de supposer qu’on n’ira
jamais plus loin et que les électrons ne se résoudront pas un jour en
éléments plus petits. Une molécule en un mot est un édifice aussi
compliqué que le système solaire ; ses éléments ultimes très nombreux
doivent obéir à la loi des grands nombres, de sorte que dans
l’intérieur de l’atome lui-même, il y aura des résistances
passives. Ne pourrait-on concevoir que ces résistances jouent le même
rôle que dans la théorie de M. Du Ligondès et ne pourraient-elles
tendre à produire la différentiation à l’encontre du principe de
Carnot
?
Dans la théorie de M. See, les planètes ne se sont pas détachées du
Soleil, non plus que la Lune de la Terre. Tous ces astres ont eu de
tout temps une existence
individuelle.
Les planètes ont été captées par le Soleil et la Lune par la
Terre. Comment s’est faite cette capture ? Le Soleil était autrefois
entouré d’une atmosphère ; dès qu’un astre vagabond y pénétrait, il
éprouvait une résistance ; son orbite, d’abord hyperbolique devenait
elliptique par suite de la diminution de vitesse ; puis elle se
rapprochait de la forme circulaire, en même temps que son rayon
décroissait. L’astre ainsi capté aurait fini par tomber sur le
Soleil, s’il avait continué à subir la résistance de l’atmosphère
solaire, mais cette atmosphère absorbée par le Soleil est devenue de
plus en plus ténue et a fini un jour par disparaître ; à partir de ce
moment les orbites des planètes n’ont plus varié. Cette théorie rend
bien compte de la faiblesse des
excentricités, mais elle n’explique pas celle des inclinaisons.
Il ne faudrait pas croire que si notre système solaire a évolué dans le passé, il a atteint aujourd’hui son état définitif ; que l’atmosphère plus ou moins ténue dans laquelle nageaient pour ainsi dire les corps célestes ayant été résorbée et ayant disparu, les planètes, désormais séparées les unes des autres par le vide, sont ainsi soustraites à une résistance passive. Même à distance, ces résistances peuvent entrer en jeu ; on sait qu’on a construit des moteurs qui utilisent la puissance des marées ; ces moteurs ne peuvent créer de l’énergie, il faut qu’ils l’empruntent à une source quelconque, et cette source ne peut être que la force vive des corps célestes. Si l’homme n’avait pas construit de moteurs, l’énergie ainsi empruntée n’aurait pas été utilisée, elle se serait perdue inutilement en frottements, en chocs des vagues sur les côtes ; mais dans un cas comme dans l’autre, la force vive des astres va sans cesse en diminuant ; la vitesse de rotation de la Terre diminue constamment, mais avec une extrême lenteur ; cela est arrivé beaucoup plus rapidement pour la Lune et le processus s’est poursuivi jusqu’à ce que la durée de sa rotation soit devenue exactement égale à celle de sa révolution ; de telle sorte que notre satellite nous présente toujours la même face.
Ce phénomène a joué dans l’évolution cosmogonique un rôle que Sir G. H. Darwin a bien mis en évidence. Deux causes tendaient à modifier la rotation des planètes ; l’action des marées dont nous venons de parler tendait à la ralentir et, plus exactement, à lui donner même sens et même durée qu’à la révolution de l’astre autour du Soleil ; d’autre part, le refroidissement et la contraction, en diminuant le moment d’inertie, tendait au contraire à l’accélérer. La première de ces deux causes a transformé la rotation des planètes primitivement rétrograde en une rotation directe de même durée que la révolution orbitale ; c’est ensuite que la seconde cause, devenue prépondérante, a donné à ces planètes une rotation qui est restée directe, mais qui est devenue beaucoup plus rapide.
La durée du jour va donc sans cesse en augmentant, mais, par une sorte
de réaction, celle du mois augmente également, la Lune s’éloigne
constamment de la Terre. Au moment de sa formation notre satellite
touchait presque la surface de notre globe ; le mois et le jour
avaient même durée, cinq ou six de nos heures actuelles ; en revanche,
quand de longs siècles seront écoulés, le mois et le jour
redeviendront égaux entre eux, à peu près égaux à deux de nos mois
actuels, et la Terre présentera toujours la même face à
la Lune, comme la Lune à la Terre.
Toutes ces hypothèses, si divergentes d’ailleurs, ont un caractère
commun ; ce sont des théories de Mécanique rationnelle, d’Astronomie
mathématique ; elles font peu d’emprunts aux sciences physiques ;
elles sont par là incomplètes. Les physiciens, dont l’intervention
était aussi inévitable qu’elle était désirable, se sont surtout
préoccupés de l’origine de la chaleur solaire. Des mesures précises
nous ont montré l’étonnante dépense de chaleur que fait le Soleil à
chaque seconde. Quelles ressources a-t-il qui lui permettent une telle
prodigalité ? Où a-t-il pu emmagasiner une provision d’énergie
suffisante pour des millions d’années ? Et quelle a pu être l’origine
de cette provision ? On a pu penser d’abord que cette énergie était
d’origine chimique, le Soleil brûlerait comme un gros morceau de
charbon : cette hypothèse n’est pas tenable ; à ce compte, le Soleil
n’aurait été qu’un feu de paille éphémère, à peine capable d’éclairer
les hommes pendant la durée de l’histoire.
Et alors Lord Kelvin et Helmholtz ont pensé que l’énergie solaire
pouvait être d’origine mécanique ; on a songé d’abord aux météorites
qui tombent comme une pluie constante à sa surface, et dont la force
vive est constamment détruite et transformée en chaleur. Cela ne
suffisait pas encore ; mais si les divers matériaux dont est formé le
Soleil ont été autrefois séparés par de grandes distances et se sont
ensuite concentrés sous l’influence de l’attraction, le travail de
cette attraction a dû être énorme : s’il s’est transformé en force
vive, puis en chaleur, nous avons une provision de chaleur dix mille
fois plus grande que celle que donnerait la combustion d’un globe de
charbon gros comme
le Soleil.
La nébuleuse solaire a sans doute été froide au début
et elle s’est échauffée parce qu’elle se contractait.
Nous voilà bien loin de la nébuleuse de Laplace, primitivement très
étendue parce qu’elle était très chaude, et qui se contractait parce
qu’elle se refroidissait. On est ainsi amené à se demander comment va
se comporter une masse gazeuse soumise à la gravitation ; elle ne peut
perdre de la chaleur sans se refroidir, ni se refroidir sans se
contracter, ni se contracter sans s’échauffer. Que va-t-il en résulter
en somme ? Sa température va-t-elle s’élever bien qu’elle perde de la
chaleur par rayonnement, comme si sa chaleur spécifique était
négative ? Ou bien enfin allons-nous avoir à la fois contraction et
refroidissement ? On peut donner une réponse à cette question s’il
s’agit d’un gaz parfait : s’il est monoatomique ou diatomique, il se
contractera quand il perdra de la chaleur par rayonnement, mais sa
température augmentera, il se comportera comme si sa chaleur
spécifique était négative ; au contraire, il se contractera en se
refroidissant, s’il est polyatomique ou bien encore s’il est assez
condensé pour s’écarter
notablement des lois d’un gaz parfait.
Quoi qu’il en soit, on n’aura ainsi de chaleur que pour 50 millions
d’années ; et alors les transformistes et les géologues ont jeté les
hauts cris : “Cinquante millions d’années, qu’est-ce c’est que cela !
Comment voulez-vous qu’en aussi peu de temps, nous fassions évoluer
les espèces, que nous engloutissions des continents et que nous en
fassions surgir de nouveaux, que nous élevions deux chaînes de
montagnes pareilles aux Alpes, comme les chaînes calédonienne et
hercynienne, et que nous les rasions ensuite par le lent mécanisme de
l’érosion ?”. Ces plaintes paraissent légitimes, et il faut bien 200
millions d’années depuis le début du dévonien ; mais alors d’où vient
la chaleur solaire, si son origine n’est ni mécanique, ni chimique au
sens ordinaire du mot ? La question paraissait sans réponse quand on a
découvert le radium. Lui seul paraissait capable de tout expliquer ;
tout au moins il nous montrait qu’il reste bien des mystères à
découvrir et qu’il ne faut
pas se hâter d’affirmer qu’un phénomène est inexplicable.
La théorie de Laplace, comme toutes celles que nous venons d’exposer,
ne sort pas des limites du système solaire. Laplace sans aucun doute
ne négligeait pas de propos délibéré les autres systèmes, mais il
pensait qu’ils devaient tous être plus ou moins semblables au nôtre et
que ce qui convenait à l’un convenait aux autres. D’ailleurs ils lui
semblaient séparés par de trop grandes distances pour pouvoir réagir
les uns sur les autres. Les progrès de l’astronomie stellaire ne nous
permettent plus de nous attarder à ce point de vue ; le télescope nous
révèle dans le ciel étoilé une variété beaucoup plus riche que tout ce
qu’on aurait pu attendre. Nous avons d’abord les étoiles doubles, qui
sont loin d’être des exceptions ; on peut estimer que sur trois
étoiles il y a pour le moins une étoile double. Parfois les
deux composantes sont faciles à séparer ; parfois aussi elles se
touchent presque et, si l’une d’elles est peu lumineuse, des éclipses
périodiques se traduisent pour nous par des variations d’éclat. C’est
alors la spectroscopie ou la photométrie qui nous apprennent que nous
avons affaire à un système double et qui nous permettent d’en
déterminer l’orbite. Est-il possible que le même mécanisme ait pu
donner naissance à un système comme le nôtre où un corps central a
absorbé la presque totalité de la masse et où des planètes minuscules
sont séparées par des distances énormes ; et à un de ces systèmes
singuliers où la masse est à peu près également partagée entre deux ou
trois composantes et où, dans certains cas, les distances
des astres sont comparables à leurs dimensions ?
À ces systèmes doubles, la théorie de Laplace n’est évidemment pas
applicable (et d’ailleurs les excentricités ne sont généralement pas
très petites) ; mais on peut imaginer d’autres hypothèses ;
considérons une nébuleuse en rotation comme celle de Laplace, mais qui
en diffère parce que sa masse, au lieu d’être concentrée presque toute
entière dans un noyau central, est à peu près uniformément
répartie. En se refroidissant, elle se contractera et sa rotation va
s’accélérer ; elle s’aplatira de plus en plus ; quand l’aplatissement
aura dépassé une certaine limite, elle s’allongera dans un sens de
façon à présenter trois axes inégaux ; c’est la figure que, dans le
cas d’homogénéité parfaite, on appelle un ellipsoïde de Jacobi ; plus
tard encore cette figure s’étranglera dans sa partie médiane et finira
par se diviser en deux masses, inégales sans doute, mais comparables.
Il est possible que ce soit là l’origine des étoiles doubles ; mais
sans sortir de notre système solaire, il est possible que ce soit
également celle de la Lune. Ce satellite est plus petit que la Terre,
mais le rapport des masses est loin d’être aussi faible que pour les
satellites de Jupiter, de Saturne,
ou même de Mars.
Ce n’est pas tout : les étoiles simples elles-mêmes ne sont pas toutes
pareilles entre elles ; le spectroscope nous a montré combien elles
diffèrent, et il est assez naturel de supposer qu’elles diffèrent
surtout par l’âge et que les différents types spectraux correspondent
à différents types de l’évolution. Si même elles se sont toutes
formées en même temps, il peut y avoir bien des raisons pour
lesquelles certaines d’entre elles ont vieilli plus vite que les
autres. D’autres objets sollicitent encore l’attention de
l’astronome : il y a d’abord les amas stellaires, puis les nébuleuses
dont les unes sont résolubles, tandis que les autres montrent par leur
spectre qu’elles sont entièrement formées d’un gaz très subtil. Ces
nébuleuses présentent les formes les plus variées, disques, anneaux,
spirales ou amas irréguliers. Les premiers qui les ont examinées avec
quelque soin ont été naturellement conduits à les assimiler à la
nébuleuse de Laplace, ou à celles des théories rivales qui admettent
toutes le même point de départ. Ces nébuleuses sont-elles de futures
étoiles ou de futurs amas d’étoiles ; on était d’abord invinciblement
porté
à le penser ; on en est bien moins sûr aujourd’hui.
Il semble que nous avons sous les yeux des objets qu’il suffit de
comparer pour reconstruire tout le passé des astres, comme le
naturaliste qui a dans le champ de son microscope des cellules
présentant toutes les phases de la division cellulaire, et qui peut
reconstituer à coup sûr toute l’histoire de cette division, bien que
ces cellules soient désormais fixées et
inertes.
La cosmogonie va-t-elle donc sortir de l’âge des hypothèses et de
l’imagination pour devenir une science expérimentale, ou tout au moins
une science d’observation ? Bien mieux, de temps en temps nous voyons
naître une étoile, qui s’allume inopinément dans le ciel, pour
diminuer promptement d’éclat et prendre un spectre qui rappelle celui
des nébuleuses planétaires ; de sorte qu’on n’a jamais vu une
nébuleuse se transformer en étoile comme le voulait
Laplace,11
1
Il ne faut pas tirer de là un argument contre la
théorie de Laplace, l’illustre astronome n’ayant jamais prétendu
qu’une nébuleuse devait se transformer en étoile en quelques jours
ou en quelques mois. et que, au contraire, on a vu souvent une
étoile se transformer en nébuleuse. La nature n’est-elle pas là
surprise en flagrant
délit dans sa fonction créatrice ?
Il ne faut pas pourtant se leurrer de vaines illusions ; de trop
grandes espérances seraient au moins prématurées. Et ce qui le
prouve, c’est la diversité des opinions des astronomes sur l’évolution
des étoiles, et en particulier sur l’origine des étoiles nouvelles. La
première pensée, la plus naturelle, a été que les nébuleuses sont
extrêmement chaudes et représentent la première phase de l’évolution,
et pour ainsi dire l’enfance des astres, et qu’on rencontre ensuite
les étoiles blanches, puis les étoiles jaunes et enfin les étoiles
rouges de plus en plus vieilles et en même temps de plus en plus
froides. Pour Sir N. Lockyer, l’histoire du monde stellaire a été plus
compliquée ; les nébuleuses sont au contraire très froides (et sur ce
point je crois que tout le monde est aujourd’hui d’accord et qu’on
regarde la lumière dont elles brillent comme d’origine
électrique). Elles ne sont en réalité qu’un essaim de météorites ; par
leurs chocs incessants, ces météorites s’échauffent, se vaporisent et
forment finalement une masse gazeuse extrêmement chaude, en un mot une
étoile ; les chocs ont alors cessé et le calme renaît ; par l’effet du
rayonnement, l’étoile se refroidit peu à peu et finit par s’éteindre
et s’encroûter : elle repasse dans l’ordre inverse par les stades de
température qu’elle a parcourus dans son ascension, de sorte que le
cycle complet sera : nébuleuse, étoile rouge, étoile jaune, étoile
blanche, étoile jaune, étoile rouge, étoile éteinte. Les étoiles de
la série ascendante sont néanmoins bien différentes des étoiles
correspondantes de la série descendante ; toute la masse des premières
est brassée par de violents courants de convection ; les météorites
n’ont pas encore entièrement disparu et leurs chocs entretiennent
l’agitation ; les secondes jouissent d’un calme relatif ; Sir
N. Lockyer croit pouvoir distinguer
cette différence par l’étude de leurs spectres.
Les Novæ, depuis l’époque de Tycho-Brahé, ont surexcité
l’imagination des astronomes. Leur apparition est brusque et a les
allures d’un cataclysme. Est-ce une éruption qui serait en grand
analogue à celles qui produisent les protubérances solaires ? On a
mieux aimé recourir à l’hypothèse d’un choc, et c’est en effet l’idée
que l’aspect de ces phénomènes nous suggère irrésistiblement. Mais il
y a bien des façons de comprendre les circonstances et les effets d’un
choc. Sont-ce deux corps solides qui s’échauffent subitement dès que
leur rencontre a détruit leur force vive ? Est-ce un corps solide
énorme, ou une étoile peu brillante, ou encore un essaim de météorites
qui pénètre dans une nébuleuse et qui doit son incandescence au
frottement ? Ou bien encore, comme le veut Arrhenius, les soleils
encroûtés ne conservent-ils pas dans leurs flancs une provision
d’énergie énorme, sous forme radioactive par exemple ? Cette provision
qui demeure inutilisée et comme latente, tant qu’elle reste
emprisonnée dans la croûte, ne peut-elle être libérée subitement, si
un choc vient à briser cette croûte ? Elle se dépense alors en peu de
temps ; de sorte que le choc produirait de la chaleur, non comme quand
une balle a frappé une cuirasse qu’elle n’a pu traverser et qu’elle
retombe toute rougie sur le sol ; mais comme quand la fusée d’un obus
chargé de matières explosives détone à la rencontre d’un obstacle. Il
est certain que les Novæ se montrent souvent entourées de
nébulosités ; mais ces nébulosités sont-elles la cause ou l’effet du
phénomène ; est-ce parce que l’étoile les a rencontrées qu’elle est
subitement devenue brillante, ou est-ce quelque déchet qu’elle rejette
de son sein et comme la fumée de l’explosion ? De tout cela
nous ne savons rien.
Le mystère s’accroît quand au lieu de considérer chaque étoile en
particulier, on en envisage l’ensemble et qu’on réfléchit sur leurs
mutuels rapports. Les étoiles ont-elles pris naissance en même temps,
ou s’allument-elles successivement pendant que d’autres s’éteignent ?
Si elles ont même date de naissance, les unes ont-elles vieilli plus
vite que les autres, et est-ce pour cette raison qu’elles sont
aujourd’hui différentes ? Mais alors à côté des étoiles brillantes,
n’y-a-t-il pas, en beaucoup plus grand nombre, des étoiles éteintes
dont la masse inutile encombre les cieux ? Comment pouvons-nous le
savoir ? Peut-être les considérations suivantes, dont la première idée
est due à Lord Kelvin, peuvent-elles aider à résoudre la question. La
Voie Lactée est formée d’étoiles fort nombreuses, s’attirant
mutuellement en se mouvant dans tous les sens ; elle nous offre donc
l’image d’un gaz, dont les molécules s’attirent et sont animées de
vitesses dans les directions les plus diverses ; chaque étoile joue
ainsi le rôle d’une molécule gazeuse. Cette assimilation semble
légitime et l’on peut songer à étendre à l’univers stellaire les
résultats de la théorie cinétique des gaz. Un gaz soumis à
l’attraction newtonienne prendra au bout de peu de temps un état
d’équilibre adiabatique où les vitesses moléculaires obéiront à la loi
de Maxwell et où la température croîtra vers le centre ; la
température centrale dépendra de la masse totale du gaz et de son
volume total. Cette température est mesurée par les vitesses
moléculaires. Appliquons ces principes à la Voie Lactée ; les vitesses
stellaires que nous observons appartiennent aux astres voisins de nous
et par conséquent du centre de la Voie Lactée ; elles correspondent
donc à la “température centrale”, et elles peuvent nous renseigner
sur les dimensions et sur la masse totale de cette agglomération
d’étoiles assimilée à une énorme bulle gazeuse. On trouve ainsi que le
télescope en a presque atteint les limites extrêmes, et qu’il doit y
avoir peu d’étoiles obscures ; si en effet il y en avait beaucoup plus
que d’astres brillants, elles concourraient à l’attraction totale et
les mouvements propres des étoiles seraient
beaucoup plus grands que ceux qu’on a observés.
Cela paraît reposer sur des raisonnements irréfutables ; si la Voie
Lactée a atteint l’état stable vers lequel elle tend nécessairement,
tout ce que nous venons de dire est vrai, et les mouvements propres
doivent être répartis conformément à la loi de Maxwell. Le sont-ils ?
L’observation seule peut répondre ; or il paraît bien qu’elle répond :
non. D’après Kapteyn et d’autres astronomes tout se passe comme si on
se trouvait en présence de deux essaims d’étoiles, obéissant
séparément à la loi de Maxwell, mais avec des constantes
différentes ; ces deux essaims se pénètrent d’ailleurs mutuellement
et ne sont pas séparés. Il semble que deux voies lactées qui avaient
atteint leur état d’équilibre final se sont un jour rencontrées, et
n’ont pas encore exercé l’une sur l’autre une action assez prolongée
pour que les différences qui les distinguent se soient entièrement
nivelées. Elles sont semblables à deux bulles gazeuses qui se seraient
rencontrées, mais n’auraient pas encore eu le temps de se
mélanger. Nous retrouvons ainsi, sous une forme nouvelle et
inattendue, cette intervention du choc, dont l’importance cosmogonique
a été mise en évidence par l’étude des Novæ, et que nous
retrouvons
à la base de certaines théories, telles que celle de M. Belot.
Si néanmoins les conclusions de Lord Kelvin subsistent dans leurs
traits généraux, et si le nombre des étoiles éteintes n’est pas
énorme, nous devons penser que tous les flambeaux de notre ciel se
sont allumés à peu près en même temps et que l’âge de la Voie Lactée
ne dépasse pas un petit
nombre de vies d’étoiles.
L’une des théories cosmogoniques les plus récentes, et à coup sûr
l’une des plus originales, est celle de M. Svante Arrhenius. Pour lui,
les astres ne sont pas, comme on le pense d’ordinaire, des individus à
peu près étrangers les uns aux autres, séparés par des vides immenses
et n’échangeant guère que leurs attractions et leur lumière ; ils
échangent bien d’autres choses, de l’électricité, de la matière et
jusqu’à des germes vivants. La pression de radiation est une force qui
émane des corps lumineux et qui repousse les corps légers, c’est elle
qui forme les queues des comètes dont la matière très ténue est
repoussée par la lumière du Soleil. C’est elle aussi qui, d’après
M. Arrhenius, chasserait du Soleil de très petites particules, et les
pousserait jusque sur la Terre, jusqu’aux planètes et jusqu’aux
lointaines nébuleuses. Ces particules finiraient par s’agglutiner en
formant les météorites ; et ces météorites, pénétrant dans la masse
des nébuleuses, deviendraient des centres de condensation autour
desquels la matière commencerait à se concentrer ; nous retrouvons
ensuite toute l’histoire des étoiles, leur naissance presque obscure,
leur splendeur, leur décadence aboutissant à l’encroûtement final. Cet
encroûtement ne serait pas toutefois la mort définitive ; mais
seulement le début d’une longue période de vie latente, obscure et
silencieuse jusqu’au jour où un choc libérerait brusquement cette
énergie endormie. L’explosion qui en résulterait donnerait
naissance à une nébuleuse et le cycle recommencerait.
La vie latente doit être beaucoup plus longue que la vie brillante ;
d’où il suit qu’il doit y avoir beaucoup plus d’étoiles obscures
que d’étoiles visibles, contrairement aux vues de Lord Kelvin.
Pour M. Arrhenius, le monde est infini et les astres y sont distribués
d’une façon sensiblement uniforme ; si nos télescopes semblent
assigner des limites à l’Univers, c’est parce qu’ils sont trop
faibles, et que la lumière qui nous vient des soleils les plus
éloignés est absorbée en route. On a fait à cette hypothèse une double
objection. D’une part, si la densité des étoiles est constante dans
tout l’espace, leur lumière totalisée devrait donner au ciel entier
l’éclat même du Soleil. Cela serait vrai si le vide interstellaire
laissait passer toute la lumière qui le traverse sans en rien garder,
de sorte que l’éclat apparent d’un astre varierait en raison inverse
du carré de la distance. Il suffit, pour échapper à cette difficulté,
de supposer que le milieu qui sépare les étoiles est absorbant ; il
peut d’ailleurs l’être très peu. L’autre objection, c’est que
l’attraction newtonienne serait infinie ou indéterminée ; pour nous
tirer d’affaire, il nous faut alors supposer que la loi de Newton
n’est pas rigoureusement exacte, et que la gravitation subit une sorte
d’absorption, se traduisant par un facteur exponentiel. Si on consent
à faire cette hypothèse, les conclusions de Lord Kelvin ne s’imposent
plus, car nous les avons établies en partant de la loi de Newton ; la
Voie Lactée ne serait plus assimilable à une bulle gazeuse dont la
densité et la température augmente vers le centre, mais à ce que nous
pouvons voir d’une masse gazeuse indéfinie et homogène, de
densité
et de température uniforme.
Ce n’est pas tout : le monde de M. Arrhenius n’est pas seulement
infini dans l’espace, mais il est éternel dans le temps ; c’est
surtout ici que ses vues sont géniales et qu’elles nous apparaissent
comme suggestives, quelques objections qu’elles soulèvent d’ailleurs.
L’Univers est comme une vaste machine thermique, fonctionnant entre
une source chaude et une source froide ; la source chaude est
représentée par les étoiles et la source froide par les
nébuleuses. Mais nos machines thermiques ne tarderaient pas à
s’arrêter, si on ne leur fournissait sans cesse de nouveaux
combustibles ; abandonnées à elles-mêmes, les deux sources
s’épuiseraient, c’est-à-dire que leurs températures s’égaliseraient et
finiraient par se mettre en équilibre. C’est là ce qu’exige le
principe de Carnot. Et ce principe lui-même est une conséquence des
lois de la Mécanique statistique. C’est parce que les molécules sont
très nombreuses qu’elles tendent à se mélanger et à ne plus obéir
qu’aux lois du hasard. Pour revenir en arrière, il faudrait les
démêler, détruire le mélange une fois fait ; et cela semble
impossible ; il faudrait pour cela le démon de Maxwell, c’est-à-dire
un être très délié et très intelligent, capable de trier des objets
aussi petits.
Pour que le monde pût recommencer indéfiniment, il faudrait donc une
sorte de démon de Maxwell automatique. Ce démon, M. Arrhenius croit
l’avoir trouvé. Les nébuleuses sont très froides, mais très peu
denses, très peu capables par conséquent de retenir par leur
attraction les corps en mouvement qui tendent à en sortir. Les
molécules gazeuses sont animées de vitesses diverses, et plus les
vitesses sont grandes en moyenne plus le gaz est chaud. Le
rôle du démon de Maxwell, s’il voulait refroidir une enceinte, serait
de trier les molécules chaudes, c’est-à-dire celles dont la
vitesse est grande et de les expulser de l’enceinte, où ne resteraient
que les molécules froides. Or, les molécules qui ont le plus
de chances de s’échapper de la nébuleuse, sans y être retenues par la
gravitation, ce sont précisément les molécules à grande vitesse, les
molécules chaudes ; les autres restant seules, la nébuleuse pourra
rester froide tout en recevant de la chaleur.
On peut tenter de se placer à d’autres points de vue, de dire par
exemple qu’ici la véritable source froide, c’est le vide avec la
température du zéro absolu et qu’alors le rendement du cycle de Carnot
est égal à 1. D’autre part, ce qui distingue la chaleur de la force
vive mécanique, c’est que les corps chauds sont formés de molécules
nombreuses dont les vitesses ont des directions diverses, tandis que
les vitesses qui produisent la force vive mécanique ont une direction
unique ; réunies, les molécules gazeuses forment un gaz qui peut être
froid et dont le contact refroidit ; isolées, au contraire, elles
seraient des projectiles dont le choc réchaufferait. Or, dans le vide
interplanétaire, elles sont séparées par d’énormes distances et pour
ainsi dire isolées ; leur énergie s’élèverait donc en dignité, elle
cesserait d’être de la simple “Chaleur” pour être
promue au rang de “Travail”.
Bien des doutes subsistent toutefois ; le vide ne va-t-il pas se
combler, si le monde est infini ; et, s’il ne l’est pas, sa matière en
s’échappant, ne va-t-elle pas s’évaporer jusqu’à ce qu’il ne reste
rien ? De toutes manières, nous devrions renoncer au rêve du “Retour
éternel” et de la perpétuelle renaissance des mondes ; il semble donc
que la solution de M. Arrhenius est encore insuffisante ; ce n’est pas
assez de mettre un démon dans la source froide,
il en faudrait encore un dans la source chaude.
Après cet exposé, on attend sans doute de moi une conclusion, et c’est
cela qui m’embarrasse. Plus on étudie cette question de l’origine des
astres, moins on est pressé de conclure. Chacune des théories
proposées est séduisante par certains côtés. Les unes donnent d’une
façon très satisfaisante l’explication d’un certain nombre de faits ;
les autres embrassent davantage, mais les explications perdent en
précision ce qu’elles gagnent en étendue ; ou bien, au contraire,
elles nous donnent une précision trop grande, mais qui n’est
qu’illusoire et qui
sent le coup de pouce.
S’il n’y avait que le système solaire, je n’hésiterais pas à préférer
la vieille hypothèse de Laplace ; il y a très peu de choses à faire
pour la remettre à neuf. Mais la variété des systèmes stellaires nous
oblige à élargir nos cadres, de sorte que l’hypothèse de Laplace, si
elle ne doit pas être entièrement abandonnée, devrait être modifiée de
façon à n’être plus qu’une forme, adaptée spécialement au système
solaire, d’une hypothèse plus générale qui conviendrait à l’Univers
tout entier et qui nous expliquerait à la fois les destins divers des
Étoiles, et comment chacune
d’elles s’est faite sa place dans le grand tout.
Or, sur ce point, les données sont insuffisantes et nous avons encore
beaucoup à attendre de l’observation. Les deux courants d’étoiles de
Kapteyn existent-ils et y en a-t-il d’autres ? Que sont les nébuleuses
et en particulier les nébuleuses spirales ? Sont-elles à des distances
énormes, en dehors de la Voie Lactée, et sont-elles elles-mêmes des
voies lactées vues de loin ? Ou bien, malgré la nature de leur
spectre, sont-elles incapables d’être assimilées à des amas de vraies
étoiles ; devons-nous accepter la mesure de Bohlin au sujet de la
parallaxe de la nébuleuse d’Andromède et la conclusion que See en
tire, et qui nous représenterait cet objet céleste comme formé de
soleils sans doute, mais de soleils gros comme les astéroïdes qui
circulent entre Mars et Jupiter ? Est-il possible d’admettre que notre
système solaire soit sorti d’une des espèces de nébuleuses que nous
connaissons, par exemple des nébuleuses spirales, ou planétaires ou
annulaires ? Voilà une question à laquelle on ne pourra tenter de
répondre que quand on connaîtra mieux la nature, la distance et par
conséquent les dimensions
de ces corps.
Un fait qui frappe tout le monde, c’est la forme spirale de certaines
nébuleuses ; elle se rencontre beaucoup trop souvent pour qu’on puisse
penser qu’elle est due au hasard. On comprend combien est incomplète
toute théorie cosmogonique qui en fait abstraction. Or, aucune d’elles
n’en rend compte d’une manière satisfaisante et l’explication que j’ai
donnée moi-même un jour, par manière de passe-temps, ne vaut pas mieux
que les
autres. Nous ne pouvons donc terminer que par un point
d’interrogation.
Chapitre V Sur la Stabilité du Système Solaire (1898)
Les personnes qui s’intéressent aux progrès de la Mécanique céleste, mais qui ne peuvent les suivre que de loin, doivent éprouver quelque étonnement en voyant combien de fois on a démontré la stabilité du système solaire.
Lagrange l’a établie d’abord, Poisson l’a démontrée de nouveau, d’autres démonstrations sont venues depuis, d’autres viendront encore. Les démonstrations anciennes étaient-elles insuffisantes, ou sont-ce les nouvelles qui sont superflues ?
L’étonnement de ces personnes redoublerait sans doute, si on leur disait qu’un jour peut-être un mathématicien fera voir, par un raisonnement rigoureux, que le système planétaire est instable.
Cela pourra arriver cependant ; il n’y aura là rien de contradictoire, et cependant les démonstrations anciennes conserveront leur valeur.
C’est qu’en effet elles ne sont que des approximations successives ; elles n’ont donc pas la prétention d’enfermer rigoureusement les éléments des orbites entre des limites étroites que jamais elles ne pourront franchir, mais elles nous apprennent du moins que certaines causes, qui semblaient d’abord devoir faire varier ces éléments assez rapidement, ne produisent en réalité que des variations beaucoup plus lentes.
L’attraction de Jupiter, à distance égale, est mille fois plus petite que celle du Soleil ; la force perturbatrice est donc petite, et cependant, si elle agissait toujours dans le même sens, elle ne tarderait pas à produire des effets très appréciables.
Il n’en est pas ainsi, et c’est là le point qu’a établi Lagrange. Au bout d’un petit nombre d’années, deux planètes qui agissent l’une sur l’autre ont occupé sur leurs orbites toutes les positions possibles ; dans ces diverses positions leur action mutuelle était dirigée, tantôt dans un sens, tantôt dans le sens opposé, et cela de telle façon qu’au bout de peu de temps il y ait compensation presque exacte. Les grands axes des orbites ne sont pas absolument invariables, mais leurs variations se réduisent à des oscillations de faible amplitude de part et d’autre d’une valeur moyenne.
Cette valeur moyenne, il est vrai, n’est pas rigoureusement fixe, mais les changements qu’elle éprouve sont extrêmement lents, comme si la force qui les produisait était non plus mille fois, mais un million de fois plus petite que l’attraction solaire. On peut donc négliger ces changements qui sont, comme on dit, de l’ordre du carré des masses.
Quant aux autres éléments des orbites, tels que les excentricités et les inclinaisons, ils peuvent éprouver, autour de leurs valeurs moyennes, des oscillations plus amples et plus lentes, mais auxquelles on peut facilement assigner des limites.
Voilà ce qu’ont montré Lagrange et Laplace ; mais Poisson est allé plus loin. Il a voulu étudier les lents changements éprouvés par les valeurs moyennes, changements dont j’ai parlé plus haut et que ses devanciers avaient d’abord négligés.
Il montra que ces changements se réduisaient encore à des oscillations périodiques autour d’une valeur moyenne qui n’éprouvait que des variations mille fois plus lentes encore.
C’était un pas de plus, mais ce n’était encore qu’une approximation ; depuis on a fait d’autres pas en avant, mais sans arriver à une démonstration complète, définitive et rigoureuse.
Il y a un cas qui paraissait échapper à l’analyse de Lagrange et de Poisson. Si les deux moyens mouvements sont commensurables entre eux, au bout d’un certain nombre de révolutions, les deux planètes et le Soleil se retrouveront dans la même situation relative et la force perturbatrice agira dans le même sens qu’au début. La compensation dont j’ai parlé plus haut ne se produit plus alors, et l’on peut craindre que les effets des perturbations ne finissent par s’accumuler et devenir considérables. Des travaux plus récents, entre autres ceux de Delaunay, de Tisserand, de Gyldén, ont fait voir que cette accumulation ne se produit pas. L’amplitude des oscillations est un peu augmentée, mais reste pourtant très petite. Ce cas particulier n’échappe donc pas à la règle générale.
Non seulement on s’est débarrassé de ces exceptions apparentes, mais on s’est mieux rendu compte des raisons profondes de ces compensations qu’avaient remarquées les fondateurs de la mécanique céleste. On a poussé plus loin que Poisson l’approximation, mais on n’en est encore qu’à une approximation.
On peut démontrer, dans certains cas particuliers, que les éléments de l’orbite d’une planète redeviendront une infinité de fois très voisins des éléments initiaux, et cela est probablement vrai aussi dans le cas général, mais cela ne suffit pas ; il faudrait faire voir que non seulement ces éléments finiront par reprendre leurs valeurs primitives, mais qu’ils ne s’en écarteront jamais beaucoup.
Cette dernière démonstration, on ne l’a jamais donnée d’une manière rigoureuse, et il est même probable que la proposition n’est pas rigoureusement vraie. Ce qui est vrai seulement, c’est que les éléments ne pourront s’écarter sensiblement de leur valeur primitive qu’avec une extrême lenteur et au bout d’un temps tout à fait énorme.
Aller plus loin, affirmer que ces éléments resteront non pas très longtemps, mais toujours, compris entre des limites étroites, c’est ce que nous ne pouvons faire.
Mais ce n’est pas ainsi que le problème se pose.
Le mathématicien ne considère que des astres fictifs, réduits à de simples points matériels, et soumis à l’action exclusive de leurs attractions mutuelles qui suit rigoureusement la loi de Newton.
Comment se comporterait un pareil système : serait-il stable ? C’est là un problème aussi difficile qu’intéressant pour l’analyste. Mais ce n’est pas celui qui correspond au cas de la nature.
Les astres réels ne sont pas des points matériels, et ils sont soumis à d’autres forces que l’attraction newtonienne.
Ces forces complémentaires devraient avoir pour effet de modifier peu à peu les orbites, alors même que les astres fictifs envisagés par le mathématicien jouiraient de la stabilité absolue.
Ce que nous devons nous demander alors, c’est si cette stabilité sera plus vite détruite par le simple jeu de l’attraction newtonienne, ou par ces forces complémentaires.
Quand l’approximation sera poussée assez loin pour que nous soyons certains que les variations très lentes, que l’attraction newtonienne fait subir aux orbites des astres fictifs, ne peuvent être que très petites pendant le temps qui suffit aux forces complémentaires pour achever la destruction du système ; quand, dis-je, l’approximation sera poussée jusque-là, il sera inutile d’aller plus loin, du moins au point de vue des applications, et nous devrons nous considérer comme satisfaits.
Or il semble bien que ce point soit atteint ; sans vouloir citer de chiffres, je crois que les effets de ces forces complémentaires sont beaucoup plus grands que ceux des termes négligés par les analystes dans les démonstrations les plus récentes de la stabilité.
Voyons en effet quelles sont les plus importantes de ces forces complémentaires.
La première idée qui vient à l’esprit, c’est que la loi de Newton n’est sans doute pas absolument exacte ; que l’attraction n’est pas rigoureusement proportionnelle à l’inverse du carré des distances, mais à quelque autre fonction des distances. C’est ainsi que M. Newcomb a dernièrement cherché à expliquer le mouvement du périhélie de Mercure.
Mais on voit bien vite que cela ne saurait influer sur la stabilité. Il est vrai que, d’après un théorème de Jacobi, il y aurait instabilité si l’attraction était en raison inverse du cube de la distance.
Il est aisé, par un raisonnement grossier, de se rendre compte pourquoi : avec une pareille loi, l’attraction serait considérable aux petites distances et extrêmement faible aux grandes distances. Si donc, pour une raison quelconque, la distance d’une des planètes au corps central venait à augmenter, l’attraction diminuerait rapidement et ne serait plus capable de la retenir.
Mais cela n’a lieu que pour des lois très différentes de celle du carré des distances. Toutes les lois, assez voisines de celle de Newton pour être acceptables, sont équivalentes au point de vue de la stabilité.
Mais il y a une autre raison qui s’oppose à ce que les astres se meuvent sans s’écarter jamais beaucoup de leur orbite primitive.
D’après la seconde loi thermodynamique, connue sous le nom de principe de Carnot, il y a une dissipation continuelle de l’énergie, qui tend à perdre la forme du travail mécanique pour prendre la forme de la chaleur ; il existe une certaine fonction, nommée entropie, dont il est inutile de rappeler ici la définition ; l’entropie, d’après cette seconde loi, peut rester constante ou diminuer, mais ne peut jamais augmenter.11 1 [NDLR. Au contraire, d’après la seconde loi, l’entropie d’un système fermé tend à augmenter, comme Poincaré l’a enseigné dans ses leçons sur la thermodynamique (Paris: Georges Carré, 1892, 422).] Dès qu’elle s’est écartée de sa valeur primitive, ce qu’elle ne peut faire qu’en diminuant, elle ne peut plus jamais y revenir, puisque pour cela il faudrait augmenter.
Le monde, par conséquent, ne pourra jamais revenir à son état primitif ou dans un état peu différent, dès que son entropie a changé. C’est le contraire de la stabilité.
Or l’entropie diminue toutes les fois que se produit un phénomène irréversible, tel que le frottement de deux solides, le mouvement d’un liquide visqueux, l’échange de chaleur entre deux corps de température différente, l’échauffement d’un conducteur par le passage d’un courant.
Si nous observons alors qu’il n’y a pas en réalité de phénomène réversible, que la réversibilité n’est qu’un cas limite, un cas idéal dont la nature peut approcher plus ou moins, mais qu’elle ne peut jamais atteindre, nous serons amenés à conclure que l’instabilité est la loi de tous les phénomènes naturels.
Les mouvements des corps célestes seraient-ils seuls à y échapper ? On pourrait le croire en voyant qu’ils se passent dans le vide et sont ainsi soustraits au frottement.
Mais le vide interplanétaire est-il absolu, ou bien les astres se meuvent-ils dans un milieu extrêmement ténu, dont la résistance est excessivement faible, mais qui est cependant résistant ?
Les astronomes n’ont pu expliquer le mouvement de la comète d’Encke qu’en supposant l’existence d’un pareil milieu. Mais le milieu résistant qui rendrait compte des anomalies de cette comète, s’il existe, se trouve confiné dans le voisinage immédiat du Soleil. Cette comète y pénétrerait, mais aux distances où sont les planètes, l’action de ce milieu cesserait de se faire sentir ou deviendrait beaucoup plus faible.
Il aurait pour effet indirect d’accélérer le mouvement des planètes ; perdant de l’énergie, elles tendraient à tomber sur le Soleil ; et, en vertu de la troisième loi de Kepler, la durée de la révolution diminuerait en même temps que la distance au corps central. Mais il est impossible de se faire idée de la rapidité avec laquelle cet effet se produirait, puisque nous n’avons aucune notion sur la densité de ce milieu hypothétique.
Une autre cause, dont je vais parler maintenant, doit avoir, semble-t-il, une action plus prompte. Soupçonnée depuis longtemps, elle a été surtout mise en lumière par Delaunay et après lui par G. Darwin.
Les marées, conséquences directes des mouvements célestes, ne s’arrêteraient que si ces mouvements cessaient eux-mêmes ; cependant les oscillations des mers sont accompagnées de frottements et par conséquent produisent de la chaleur. Cette chaleur ne peut être empruntée qu’à l’énergie qui produit les marées, c’est-à-dire à la force vive des corps célestes.
Nous pouvons donc prévoir que cette force vive se dissipe peu à peu par cette cause, et un peu de réflexion nous fera comprendre par quel mécanisme.
La surface des mers, soulevée par les marées, présente une sorte de bourrelet. Si la pleine mer avait lieu au moment du passage de la Lune au méridien, cette surface serait celle d’un ellipsoïde dont l’axe irait passer par la Lune. Tout serait symétrique par rapport à cet axe, et l’attraction de la Lune sur ce bourrelet ne pourrait ni ralentir, ni accélérer la rotation terrestre.
C’est ce qui arriverait s’il n’y avait pas de frottement ; mais, par suite des frottements, la pleine mer est en retard sur le passage de la Lune ; la symétrie cesse ; l’attraction de la Lune sur le bourrelet ne passe plus par le centre de la Terre et tend à ralentir la rotation de notre globe.
Delaunay estimait que, pour cette cause, la durée du jour sidéral augmente d’une seconde en cent mille ans. C’est ainsi qu’il voulait expliquer l’accélération séculaire du mouvement de la Lune. La lunaison nous semblerait devenir de plus en plus courte, parce que l’unité de temps à laquelle nous la rapportons, le jour, deviendrait de plus en plus longue.
Quoi qu’on doive penser du chiffre donné par Delaunay et de l’explication qu’il propose pour les anomalies du mouvement lunaire, il est difficile de contester l’effet produit par les marées.
C’est même ce qui peut nous aider à comprendre un fait bien connu, mais bien surprenant. On sait que la durée de la rotation de la Lune est précisément égale à celle de sa révolution ; de telle sorte que, s’il y avait des mers sur cet astre, ces mers n’auraient pas de marées, du moins de marées dues à l’attraction de la Terre ; car pour un observateur situé en un point de la surface de la Lune, la Terre serait toujours à la même hauteur au-dessus de l’horizon.
On sait également que Laplace a cherché l’explication de cette étrange coïncidence.
Comment les deux vitesses peuvent-elles être exactement les mêmes ? La probabilité d’une égalité rigoureuse due au simple hasard est évidemment nulle.
Laplace suppose que la Lune a la forme d’un ellipsoïde allongé ; cet ellipsoïde se comporte comme un pendule qui serait en équilibre quand le grand axe est dirigé suivant la droite qui joint les centres des deux astres.
Si la vitesse initiale de rotation diffère peu de la vitesse de révolution, l’ellipsoïde oscillera de part et d’autre de sa position d’équilibre sans jamais s’en écarter beaucoup. C’est ainsi que se comporte un pendule qui a reçu une faible impulsion.
La vitesse moyenne de rotation est alors exactement la même que celle de la position d’équilibre autour de laquelle le grand axe oscille ; elle est donc la même que celle de la droite qui joint les centres des deux astres. Elle est donc rigoureusement égale à la vitesse de révolution.
Si, au contraire, la vitesse initiale diffère notablement de la vitesse de révolution, le grand axe n’oscillera plus autour de sa position d’équilibre, comme un pendule qui, sous une forte impulsion, décrit un cercle complet.
Il suffit donc que la vitesse de révolution soit à peu près égale à la vitesse initiale de rotation, pour qu’elle soit exactement égale à la vitesse moyenne de rotation. Une égalité rigoureuse n’étant plus nécessaire, le paradoxe se trouve écarté.
L’explication est incomplète cependant. Quelle est la raison de cette égalité approchée, dont la probabilité n’est plus nulle, il est vrai, mais reste assez faible ? Et surtout, pourquoi la Lune n’éprouve-t-elle d’oscillations sensibles de part et d’autre de sa position d’équilibre (si nous éliminons, bien entendu, ses diverses librations dues à d’autres causes qui sont bien connues) ? Ces oscillations devaient exister à l’origine ; il faut qu’elles se soient éteintes par une sorte de frottement ; et tout porte à croire que le mécanisme de ce frottement est celui que je viens d’analyser à propos des marées de nos océans.
Quand la Lune n’était pas encore solidifiée et formait un sphéroïde fluide, ce sphéroïde a dû subir des marées énormes, à cause de la proximité de la Terre et de sa masse. Ces marées n’ont dû cesser que quand les oscillations ont été presque complètement éteintes.
Il semble que les satellites de Jupiter et les deux planètes les plus voisines du Soleil, Mercure et Vénus, ont aussi une rotation dont la durée est la même que celle de leur révolution : c’est sans doute pour la même raison.
On pourrait croire que cette action des marées n’a aucun rapport avec notre sujet ; je n’ai encore parlé que des rotations et, dans les études relatives à la stabilité du système solaire, on ne s’occupe que des mouvements de translation. Mais un peu d’attention montre que la même action se fait sentir également sur les translations.
Nous venons de voir que l’attraction de la Lune sur la Terre ne passe pas exactement par le centre de la Terre. L’attraction de la Terre sur la Lune, qui est égale et directement opposée, ne passera pas non plus par ce centre, c’est-à-dire par le foyer de l’orbite lunaire.
Il en résulte une force perturbatrice, minime à la vérité, mais qui fait gagner de l’énergie à la Lune. La force vive de translation ainsi gagnée par la Lune est évidemment plus petite que la force vive de rotation perdue par la Terre ; puisqu’une partie de l’énergie doit se transformer en chaleur, à cause des frottements engendrés par les marées.
Un calcul très simple montre que, la révolution de la Lune durant vingt-huit jours sidéraux environ, la Lune gagne vingt-huit fois moins de force vive que la Terre n’en perd.
J’ai expliqué plus haut l’action d’un milieu résistant ; j’ai montré comment, en faisant perdre de l’énergie aux planètes, elle accélère leur mouvement ; au contraire, l’action des marées, en faisant gagner de l’énergie à la Lune, ralentit son mouvement ; le mois s’allonge donc en même temps que le jour.
Quel est l’état final vers lequel tendrait le système si cette cause agissait seule ? Évidemment cette action ne s’arrêterait que quand les marées auraient cessé, c’est-à-dire quand la rotation de la Terre aurait même durée que la révolution lunaire.
Ce n’est pas tout, dans l’état final, l’orbite de la Lune devrait être devenue circulaire. S’il en était autrement, les variations de la distance de la Lune à la Terre suffiraient pour produire des marées.
Comme le mouvement de rotation n’aurait pas changé, il serait aisé de calculer quelle serait la vitesse angulaire commune de la Terre et de la Lune. On trouve que, dans cet état limite, le mois comme le jour durerait environ 65 de nos jours actuels.
Tel serait l’état final s’il n’y avait pas de milieu résistant et si la Terre et la Lune existaient seules.
Mais le Soleil produit aussi des marées, l’attraction des planètes en produit également sur le Soleil.
Le système solaire tendrait donc vers un état limite où le Soleil, toutes les planètes et leurs satellites tourneraient, avec une même vitesse, autour d’un même axe, comme s’ils étaient des parties d’un même corps solide invariable. La vitesse angulaire finale différerait, d’ailleurs, peu de la vitesse de révolution de Jupiter.
Ce serait là l’état final du système solaire, s’il n’y avait pas de milieu résistant, mais l’action de ce milieu, s’il existe, ne permettrait pas à cet état de subsister et finirait par précipiter toutes les planètes dans le Soleil.
Il ne faudrait pas croire qu’un globe solide, qui ne serait pas recouvert par des mers, se trouverait, grâce à l’absence des marées, soustrait à des actions analogues à celles dont nous venons de parler. Et cela, en admettant même que la solidification ait atteint le centre de ce globe.
Cet astre, que nous supposons solide, ne serait pas pour cela un corps solide invariable : de pareils corps n’existent que dans les traités de mécanique rationnelle.
Il serait élastique et subirait, sous l’attraction des corps célestes voisins, des déformations analogues aux marées et du même ordre de grandeur.
Si l’élasticité était parfaite, ces déformations se passeraient sans perte de travail et sans production de chaleur. Mais il n’y a pas de corps parfaitement élastique. Il y aura donc encore là développement de chaleur, qui aura lieu aux dépens de l’énergie de rotation et de translation des astres et qui produira absolument les mêmes effets que la chaleur engendrée par le frottement des marées.
Ce n’est pas tout ; la Terre est magnétique, et il en est probablement de même des autres planètes et du Soleil. On connaît l’expérience du disque de Foucault ; un disque en cuivre, tournant en présence d’un électro-aimant, éprouve une grande résistance et s’échauffe dès que l’électro-aimant entre en action. Un conducteur en mouvement dans un champ magnétique est parcouru par des courants d’induction qui l’échauffent ; la chaleur engendrée ne peut être empruntée qu’à la force vive du conducteur. On peut donc prévoir que les actions électrodynamiques de l’électro-aimant sur les courants d’induction doivent s’opposer au mouvement du conducteur. Ainsi s’explique l’expérience de Foucault.
Les astres doivent éprouver une résistance analogue, car ils sont magnétiques et conducteurs.
Le même phénomène se produira donc, bien qu’extrêmement atténué par la distance ; mais les effets, se produisant toujours dans le même sens, finiront par s’accumuler ; ils s’ajoutent, d’ailleurs, à ceux des marées, et tendent à amener le système au même état final.
Ainsi les corps célestes n’échappent pas à cette loi de Carnot, d’après laquelle le monde tend vers un état de repos final. Ils n’y échapperaient même pas s’ils étaient séparés par le vide absolu.
Leur énergie se dissipe, et, bien que cette dissipation n’ait lieu qu’avec une extrême lenteur, elle est assez rapide pour que l’on n’ait pas à se préoccuper des termes négligés dans les démonstrations actuelles de la stabilité du système solaire.
Chapitre VI Le Problème des Trois Corps (1891)
La loi de Newton est la plus simple de toutes les lois physiques ; mais elle a pour expression mathématique une équation différentielle, et pour obtenir les coordonnées des astres, il faut intégrer cette équation. Ce problème est un des plus difficiles de l’Analyse, et malgré les recherches persévérantes des géomètres, il est encore bien loin d’être résolu.
I
Quel sera le mouvement de n points matériels, s’attirant mutuellement en raison directe de leurs masses et en raison inverse du carré des distances ? Si , c’est-à-dire si l’on a affaire à une planète isolée et au Soleil, en négligeant les perturbations dues aux autres planètes, l’intégration est facile ; les deux corps décrivent des ellipses, en se conformant aux lois de Kepler. La difficulté commence si le nombre n des corps est égal à trois ; le problème des trois corps a défié jusqu’ici tous les efforts des analystes.
L’intégration complète et rigoureuse étant manifestement impossible, les astronomes ont dû procéder par approximations successives ; l’emploi de cette méthode était facilité par la petitesse des masses des planètes, comparées à celle du Soleil. On a donc été conduit à développer les coordonnées des astres, suivant les puissances croissantes des masses.
Ce mode de développement n’est pas sans inconvénient ; je n’en citerai qu’un : supposons qu’il entre dans l’expression d’une de ces coordonnées un terme périodique dont la période soit très longue, et d’autant plus longue que les masses troublantes sont plus petites, et développons ce terme suivant les puissances croissantes des masses ; quelque loin que nous poussions l’approximation, la valeur approchée de ce terme ira en croissant indéfiniment, tandis que la vraie valeur reste toujours finie. C’est ainsi qu’en développant suivant les puissances croissantes de m et négligeant les termes en , on trouve
polynôme susceptible de croître indéfiniment, tandis que est toujours plus petit que 1. La véritable nature de la fonction est donc complètement dissimulée.
Cette méthode a été cependant jusqu’ici très suffisante pour les besoins de la pratique ; les masses sont, en effet, tellement petites qu’on peut, le plus souvent, négliger leurs carrés et se borner ainsi à la première approximation.
Mais on ne peut espérer qu’il en soit toujours ainsi ;
il ne s’agit pas seulement, en effet, de calculer les éphémérides
des astres quelques années d’avance pour les besoins de la
navigation ou pour que les astronomes puissent retrouver les
petites planètes déjà connues. Le but final de la Mécanique
céleste est plus élevé ; il s’agit de résoudre
cette importante question : la loi de Newton
peut-elle expliquer à elle seule
tous les phénomènes astronomiques ? Le seul moyen
d’y parvenir est de faire des observations aussi précises que
possible, de les prolonger pendant de longues années ou même
de longs siècles et de les comparer ensuite aux résultats
du calcul. Il est donc inutile de demander au calcul plus de
précision qu’aux observations, mais on ne doit pas non plus
lui en demander moins. Aussi l’approximation dont nous pouvons
nous contenter aujourd’hui deviendra-t-elle un jour insuffisante.
Et, en effet, en admettant même, ce qui est très improbable,
que les instruments de mesure ne se perfectionnent plus, l’accumulation
seule des observations pendant plusieurs siècles nous fera
connaître avec plus de précision les coefficients des diverses
inégalités.
On peut donc prévoir le moment où les méthodes anciennes,
malgré la perfection que leur a donnée Le Verrier, devront être abandonnées
définitivement. Nous ne serons pas pris au dépourvu. Delaunay, Hill, Gyldén, Lindstedt
ont imaginé de nouveaux procédés
d’approximation successive plus rapides et plus satisfaisants
à tous égards que les anciens ; en particulier, ils
se sont affranchis de l’inconvénient que je signalais plus
haut.
Les développements auxquels ils parviennent pourraient même
être regardés comme une solution complète du problème
des trois corps, si la convergence en était établie. Il n’en
est malheureusement pas ainsi.
Faute de cette convergence, ils ne peuvent pas donner une approximation
indéfinie ; ils donneront plus de décimales exactes
que les anciens procédés, mais ils n’en donneront pas autant
qu’on voudra. Si on l’oubliait, on serait conduit à des conséquences
erronées. On en serait vite averti, d’ailleurs, car ces conséquences
ne seraient pas les mêmes, selon qu’on appliquerait les méthodes
de Delaunay
ou celles de Lindstedt, et ces contradictions suffiraient
pour montrer qu’un au moins des deux développements n’est pas
convergent.
II
Ne peut-on cependant établir aucun résultat relatif au mouvement
des trois corps avec cette absolue rigueur à laquelle les géomètres
sont habitués ? S’il est possible d’en découvrir, ne
pourrait-on y trouver un terrain solide sur lequel on s’appuierait
pour marcher à de nouvelles conquêtes ? N’aurait-on
pas ouvert une brèche qui permettrait enfin d’entrer dans la
forteresse ? On ne peut s’empêcher de le penser, et c’est
ce qui donne quelque prix aux rares théorèmes susceptibles
d’une démonstration rigoureuse, quand même ils ne semblent
pas immédiatement applicables à l’astronomie.
Telles sont les propriétés des solutions particulières
remarquables du problème des trois corps.
Le mouvement des trois astres dépend en effet de leurs positions
et de leurs vitesses initiales : si l’on se donne ces conditions
initiales du mouvement, on aura défini une solution particulière
du problème. Il peut se faire que quelques-unes de ces solutions
particulières soient plus simples, plus abordables au calcul,
que la solution générale ; il peut se faire que pour
certaines positions initiales des trois corps, les lois de leur
mouvement présentent des propriétés remarquables.
Parmi ces solutions particulières, les unes ne sont intéressantes
que par leur bizarrerie ; les autres sont, comme nous
le verrons, susceptibles d’applications astronomiques. Lagrange
et Laplace ont déjà abordé
le problème par ce côté, et ils ont découvert ainsi un
théorème important. Il peut arriver que les orbites des trois
corps se réduisent à des ellipses. La position et la vitesse
initiales de notre satellite auraient pu être telles que la
Lune fut constamment pleine ; elles auraient pu être
telles que la Lune fût constamment nouvelle ; elles
auraient pu aussi être telles que cet astre fût constamment
à 60° du Soleil dans une phase intermédiaire entre
la nouvelle Lune et le premier quartier.
Ce sont là des solutions particulières très simples ;
il y en a de plus compliquées qui sont cependant remarquables.
Si les conditions du mouvement avaient été différentes
de ce qu’elles sont, les phases auraient pu suivre des lois bien
étranges ; dans une des solutions possibles, la Lune,
d’abord nouvelle, commence par croître ; mais, avant
d’atteindre le premier quartier, elle se met à décroître
pour redevenir nouvelle et ainsi de suite ; elle a donc
constamment la forme d’un croissant. Dans une autre solution,
plus étrange encore, elle passe trois fois par le premier quartier
entre la nouvelle Lune et la pleine Lune ; dans cet intervalle,
elle croît d’abord, décroît ensuite, pour se mettre de
nouveau à croître.
Ces solutions sont trop différentes des véritables trajectoires
des astres, pour pouvoir jamais être réellement utiles à
l’Astronomie. Elles n’ont qu’un intérêt de curiosité. Il
n’en est pas de même de celles dont je vais maintenant parler.
Il y a d’abord les solutions périodiques. Ce sont celles
où les distances des trois corps sont des fonctions périodiques
du temps ; à des intervalles périodiques, les trois
corps se retrouvent donc dans les mêmes positions relatives.
Les solutions périodiques sont de plusieurs sortes. Dans celles
que j’ai appelées de la première sorte, les inclinaisons
sont nulles et les trois corps se meuvent dans un même plan ;
les excentricités sont très petites et les orbites sont presque
circulaires : les moyens mouvements ne sont pas commensurables ;
les deux planètes passent en même temps au périhélie,
qui, loin d’être fixe, tourne avec une rapidité comparable
à celle des planètes elles-mêmes, de telle façon que
ces deux astres sont au périhélie à chaque conjonction.
C’est à cette catégorie qu’appartient la première solution
périodique qui ait été découverte et que son inventeur,
M. Hill, a prise pour point de départ
dans sa théorie de la Lune.
Dans les solutions de la seconde sorte, les inclinaisons sont
encore nulles, mais les excentricités sont finies ;
le mouvement du périhélie est très lent ; les moyens
mouvements sont près d’être commensurables ; les périodes
anomalistiques (on appelle ainsi le temps qui s’écoule entre
deux passages consécutifs de l’astre au périhélie), le
sont exactement. À certaines époques, deux planètes passent
en même temps au périhélie. Dans les solutions de la troisième
sorte les inclinaisons sont finies, les orbites sont presque
circulaires ; le mouvement des périhélies est très
lent et égal à celui des nœuds ; les périodes
anomalistiques sont commensurables ; à certaines époques
les planètes passent en même temps aux périhélies. Je
laisse de côté de nombreuses catégories de solutions périodiques
plus compliquées et qu’il serait trop long d’énumérer.
Il y a ensuite les solutions asymptotiques. Pour bien faire
comprendre ce qu’on doit entendre par là, qu’on me permette
d’employer un exemple simple. Imaginons d’abord une Terre et un
Soleil isolés dans l’espace, se mouvant par conséquent d’après
les lois de Kepler. Supposons encore pour simplifier,
que leur mouvement soit circulaire. Donnons maintenant à cette
Terre deux satellites et dont la masse sera infiniment
petite de telle sorte qu’ils ne troubleront pas le mouvement
circulaire de la Terre et du Soleil, et qu’ils ne se troubleront
pas non plus mutuellement, chacun d’eux se mouvant comme s’il
était seul. Choisissons la position initiale de de façon
que cette Lune décrive une orbite périodique ; nous
pourrons alors choisir celle de de façon que ce second
satellite décrive ce que nous appellerons une orbite asymptotique.
D’abord assez éloignée de , il s’en rapprochera indéfiniment,
de sorte qu’après un temps infiniment long, son orbite différera
infiniment peu de celle de . Supposons un observateur placé
sur la Terre et tournant lentement sur lui-même de façon
à regarder constamment le Soleil. Le Soleil lui paraîtra
immobile et la Lune dont le mouvement est périodique lui
semblera décrire une courbe fermée C. La Lune décrira
alors pour lui une sorte de spirale dont les spires de plus en
plus serrées se rapprocheront indéfiniment de la courbe C.
Il y a une infinité de pareilles orbites asymptotiques. L’ensemble
de ces orbites forme une surface continue S qui passe par la
courbe C et sur laquelle sont tracées les spires dont je viens
de parler.11
1
Il peut arriver, si l’inclinaison des orbites
est nulle, que S se réduise à une surface infiniment aplatie,
formée de plusieurs feuillets plans superposés, et analogues
aux surfaces de Riemann.
Mais il y a une autre catégorie de solutions asymptotiques.
Il peut arriver, si l’on choisit convenablement la position initiale
de , que cette Lune aille en s’éloignant de , de telle
façon qu’à une époque très reculée dans le passé,
son orbite diffère très peu de celle de . Pour notre
observateur, ce satellite décrira encore une courbe en spirale
dont les spires se rapprocheront indéfiniment de la courbe
C ; mais il la décrira en sens contraire en s’éloignant
constamment de C. L’ensemble de ces nouvelles orbites asymptotiques
formera une seconde surface continue
passant également par la courbe D.
Enfin il y a une infinité de solutions doublement asymptotiques ; c’est là un point que j’ai eu beaucoup de peine à établir rigoureusement. Il peut arriver que le satellite , d’abord très rapproché de l’orbite de , s’en éloigne d’abord beaucoup et s’en rapproche ensuite de nouveau indéfiniment. À une époque très reculée dans le passé, cette Lune se trouvait sur la surface S’, et y décrivait des spires en s’éloignant de C ; elle s’est ensuite beaucoup éloignée de C ; mais dans un temps très long elle se retrouvera sur la surface S et décrira de nouveau des spires en se rapprochant de C.
Soient , ,…, , lunes décrivant des orbites doublement asymptotiques ; à une époque reculée, ces lunes se meuvent en suivant des spirales sur ; en parcourant cette surface on rencontre ces orbites dans un certain ordre. Au bout d’un temps très long, nos satellites se retrouveront sur S et décriront de nouveau des spirales ; mais en parcourant cette surface S, on rencontrera les orbites des lunes dans un ordre tout différent. Ce fait, pour peu qu’on prenne la peine d’y réfléchir, semblera une preuve éclatante de la complexité du problème des Trois corps et de l’impossibilité de le résoudre avec les instruments actuels de l’Analyse.
III
L’astronomie ne nous offre aucun exemple d’un système de trois
ou de plusieurs corps dont les conditions initiales du mouvement
soient telles qu’ils décrivent exactement des orbites périodiques
ou asymptotiques. D’ailleurs a priori la probabilité pour
que cette circonstance se présentât était manifestement
nulle. On ne peut pas en conclure que les considérations précédentes
ne sont intéressantes que pour le géomètre et inutiles
à l’astronome. Il peut arriver, en effet, et il arrive quelquefois
que les conditions initiales du mouvement diffèrent peu de
celles qui correspondent à une solution périodique. L’étude
de cette solution présente alors un double intérêt.
D’abord, le plus souvent, le mouvement de l’astre présentera
une inégalité dont le coefficient sera très grand, mais
très peu différent de ce qu’il serait si l’orbite était
rigoureusement périodique. Le calcul de cette solution périodique
fournira alors ce coefficient plus rapidement et plus exactement
que les méthodes anciennes. C’est ce qui est arrivé dans
la théorie de la Lune de M. Hill
pour le calcul de cette grande
inégalité appelée variation.
En second lieu, l’orbite périodique peut être prise comme
première approximation, comme “orbite intermédiaire”
pour employer le langage de M. Gyldén. La seconde approximation conduit
alors à un calcul relativement facile, parce que les équations
sont linéaires et à coefficients périodiques. C’est ainsi
que M. Hill
a calculé le mouvement du
périgée et qu’il aurait pu calculer également le mouvement
du nœud et la grande inégalité connue sous le nom d’évection.
Je pourrais citer beaucoup d’autres exemples. Un des satellites
de Saturne a un mouvement très troublé ; son périsaturne
tourne très rapidement ; M. Tisserand
a rattaché sa théorie à
l’étude d’une solution périodique de la première sorte.
La même méthode est applicable à une certaine petite planète
dont le moyen mouvement est sensiblement double de celui de Jupiter
et que M. Harzer
a étudiée.
Gauß
a cru pouvoir affirmer que
les mouvements moyens de Jupiter et de Pallas étaient entre
eux exactement dans le rapport de 7 à 18. Si ses vues venaient
à se confirmer, ce qui est encore douteux, la théorie de
Pallas se ramènerait à celle d’une solution périodique
de la seconde sorte.
Mais l’exemple le plus frappant nous est fourni par l’étude
des satellites de Jupiter. Les relations qui ont lieu entre leurs
moyens mouvements, et dont la découverte est le plus beau titre
de gloire de Laplace, montrent que leur
orbite diffère fort peu d’une orbite périodique : en
y regardant de près, on voit que la méthode spatiale créée
par le génie de ce grand géomètre ne diffère pas de celle
que nous préconisons ici.
IV
Les équations différentielles du problème des trois corps
admettent un certain nombre d’intégrales qui sont connues depuis
longtemps ; ce sont celles du mouvement du centre de gravité,
celles des aires, celle des forces vives. Il était extrêmement
probable qu’elles ne pouvaient avoir d’autres intégrales algébriques ;
ce n’est cependant que dans ces dernières années que M. Bruns
a pu le démontrer rigoureusement. Mais on peut aller plus loin ;
en dehors des intégrales connues, le problème des trois corps
n’admet aucune intégrale analytique et uniforme ; les
propriétés des solutions périodiques et asymptotiques,
étudiées avec attention, suffisent pour l’établir. On peut
en conclure que les divers développements proposés jusqu’ici
sont divergents ; car leur convergence entraînerait
l’existence d’une intégrale uniforme.
Dirai-je pour cela que le problème est insoluble ? Ce
mot n’a pas de sens ; nous savons depuis 1882 que la quadrature
du cercle est impossible avec la règle et le compas, et pourtant
nous connaissons avec beaucoup plus de décimales
que n’en pourrait donner aucune construction graphique. Tout
ce que nous pouvons dire, c’est que le problème des trois corps
ne peut être résolu avec les instruments dont nous disposons
actuellement ; ceux qu’il faudra imaginer et employer pour
obtenir la solution devront certainement être très différents
et d’une nature beaucoup plus compliquée.
V
Une des questions qui ont le plus préoccupé les chercheurs
est celle de la stabilité du système solaire. C’est à vrai
dire une question mathématique plutôt que physique. Si l’on
découvrait une démonstration générale et rigoureuse,
on n’en devrait pas conclure que le système solaire est éternel.
Il peut en effet être soumis à d’autres forces que celle
de Newton, et les astres ne se réduisent
pas à des points matériels. Bien des causes peuvent dissiper
peu à peu l’énergie du système ; on n’est pas absolument
certain qu’il n’existe pas de milieu résistant ; d’autre
part les marées absorbent de l’énergie qui est incessamment
convertie en chaleur par la viscosité des mers, et cette énergie
ne peut être empruntée qu’à la force vive des corps célestes.
De plus si tous les astres sont des aimants comme la Terre, leurs
mouvements doivent produire, par une induction mutuelle, des
courants dans leur masse et par conséquent de la chaleur qui
est encore empruntée à leur force vive. Mais toutes ces causes
de destruction agiraient beaucoup plus lentement que les perturbations,
et si ces dernières n’étaient pas capables d’en altérer
la stabilité, le système solaire serait assuré d’une existence
beaucoup plus longue. La question de la stabilité conserve
donc toujours un grand intérêt.
Lagrange, par une démonstration
d’une admirable simplicité, a montré que, si l’on néglige
les carrés des masses, les grands axes des orbites demeurent
invariables, ou plutôt que leurs variations se réduisent
à des oscillations périodiques d’amplitude finie autour de
leur valeur moyenne. Poisson
a étendu la démonstration
au cas où l’on tient compte des carrés des masses en négligeant
leurs cubes ; mais, malgré la virtuosité analytique
dont il a fait preuve, son analyse montre déjà les défauts
des anciennes méthodes. Il montre en effet que les grands axes
éprouvent autour de leur valeur moyenne des oscillations périodiques ;
mais, d’après ses formules, l’amplitude de ces oscillations
pourrait croître au delà de toute limite ; ce n’est
là qu’une apparence due au mode de développement, et si l’on
ne négligeait pas certains termes, on pourrait prouver que
cette amplitude reste finie. Après Poisson
on a cherché à trouver
une démonstration générale ou au moins à établir l’invariabilité
des grands axes en tenant compte du cube des masses. Mathieu
avait cru un instant y
réussir ; mais M. Spiru-Aretu
a montré ensuite qu’il s’était trompé.
Il avait ainsi plutôt condamné les anciennes méthodes que
démontré l’instabilité du système. La question restait
entière.
Toutes ces recherches ont exigé de grands efforts qui nous
semblent aujourd’hui bien inutiles ; les méthodes de
M. Gyldén
et celles de M. Lindstedt
ne donnent en effet, si loin que
l’on pousse l’approximation, que des termes périodiques, de
sorte que tous les éléments des orbites ne peuvent éprouver
que des oscillations autour de leur valeur moyenne. La question
serait donc résolue, si ces développements étaient convergents.
Nous savons malheureusement qu’il n’en est rien.
Incapables pour le moment de résoudre le problème général,
nous pouvons nous borner à un cas particulier. Imaginons trois
masses se mouvant dans un même plan, la première très grande,
la seconde assez petite, la troisième infiniment petite et
par conséquent hors d’état de troubler les deux autres. Supposons
de plus que les deux grandes masses aient un mouvement circulaire
et uniforme. Tel serait le cas du Soleil, de Jupiter et d’une
petite planète, si l’on négligeait l’inclinaison des orbites
et l’excentricité de Jupiter. Dans ce cas, MM. Hill
et Bohlin
ont démontré que le rayon vecteur
de la petite planète reste toujours inférieur à une limite
finie.
Cela ne suffit pas toutefois pour la stabilité ; il
faut encore que la petite masse repasse une infinité de fois
aussi près que l’on veut de sa position initiale.
Il est évident qu’il n’en est pas ainsi pour toutes les solutions
particulières, c’est-à-dire quelles que soient les conditions
initiales du mouvement ; l’existence des solutions asymptotiques
en est une preuve suffisante. Mais d’autre part on peut rigoureusement
démontrer que l’on peut choisir ces conditions initiales de
façon que l’astre repasse une infinité de fois dans le voisinage
de sa position primitive. Il y a donc une infinité de solutions
particulières qui sont instables, au sens que nous venons de
donner à ce mot et une infinité d’autres qui sont stables.
J’ajouterai que les premières sont exceptionnelles (ce qui
permet de dire qu’il y a stabilité en général). Voici ce
que j’entends par là, car ce mot par lui-même n’a aucun sens.
Je veux dire qu’il y a une probabilité nulle pour que les conditions
initiales du mouvement soient celles qui correspondent à une
solution instable. On objectera qu’il y a une infinité de manières
de définir cette probabilité. Mais cela reste vrai quelle
que soit la définition que l’on adopte, à une condition toutefois :
soient et les coordonnées de la troisième masse,
et les composantes de sa vitesse. J’appelle
la probabilité pour que soit compris entre
et ,
entre et ,
entre et ,
entre et .
Nous pouvons définir la probabilité comme nous le voulons
et par conséquent nous donner arbitrairement en fonction
de , , et .
Eh bien, le résultat que j’ai énoncé plus haut reste
vrai, quelle que soit cette fonction , pourvu qu’elle soit
continue.
Chapitre VII Conférence sur les Comètes (1910)
Les amateurs de comètes ont été favorisés cette année ;
ils ont eu deux belles comètes visibles à l’œil nu ou du
moins qui auraient dû l’être si le temps l’avait permis. La
première, la plus belle des deux, n’avait pas été annoncée ;
la seconde, au contraire, avait été prédite ; on
avait calculé son orbite d’avance et elle arrivée à point
nommé avec une exactitude que pourraient envier les trains
de l’Ouest-État ; mais ce n’est pas cette exactitude
qui a fait la popularité de la comète de Halley
; on avait annoncé que sa
rencontre avec la Terre amènerait la fin du monde dans la nuit
du 18 mai. En France, cela se borna à quelques chansons, mais
il y a eu des pays où l’on a eu réellement peur, et on a
vu des pharmaciens qui ont fait fortune en débitant je ne sais
quel antidote contre le cyanogène. Je ne vous apprendrai rien
en vous disant que le monde a continué à vivre après le
18 mai. Mais alors ce fut une autre antienne ; comme la
comète ne se montrait pas, beaucoup de gens se sont imaginé
qu’elle n’avait jamais existé et que les astronomes étaient
des mystificateurs. Toujours est-il qu’on en a beaucoup parlé
et la comète de Halley était encore une actualité quand
j’ai choisi le sujet de cette conférence ; aujourd’hui
elle est peut-être un peu oubliée ; sans doute, il
est trop tard pour parler encore d’elle. Cependant, peut-être
y-a-t-il quelque intérêt à rechercher si réellement notre
planète vient d’échapper à aussi grand danger qu’on l’a
dit.
La comète de Halley
est chère aux astronomes parce que
c’est la première dont le retour a été prédit. Halley
l’ayant observée au XVII siècle,
calcula son orbite avec assez d’exactitude pour annoncer qu’elle
reviendrait au bout de 75 ans. Il mourut, bien entendu, avant
l’échéance, mais ses successeurs revirent l’astre chevelu
en 1759 et il revint encore à point nommé en 1835. On l’attendait
en 1910 et dès l’année dernière on espérait pouvoir le
voir avec de bons instruments. Deux astronomes anglais calculèrent
avec soin les circonstances de ce retour ; ce n’est pas
chose facile, les comètes sont exposées à une foule de
mauvaises rencontres dans ces espaces célestes où il rôde
tant de planètes ; chacune de ces rencontres, même
à très grande distance, les détourne légèrement de
leur route, il fallait n’oublier aucune de ces rencontres et
en prévoir les effets. Quoi qu’il en soit, on m’a montré l’année
dernière, à Greenwich, une plaque photographique représentant
une portion du ciel étoilé ; on y voyait une petite
tache à peine perceptible, c’était la comète qui se trouvait
exactement au point calculé d’avance. Depuis elle a grossi
et si on ne l’a pas vue à Paris à cause du mauvais temps,
ou parce qu’elle était trop bas sur l’horizon, on l’a admirée
d’un grand nombre de points du globe.
Mais arrivons au point qui nous intéresse. Avons-nous réellement
traversé la queue de la comète ? Nous pouvons d’abord
répondre hardiment, non, nous ne sommes pas passés à
travers la queue le 18 mai ; si nous y étions passés,
ce ne pourrait être que deux jours après. Pourquoi avait-on
pu croire que nous rencontrerions cette queue précisément
dans la nuit en question ? On avait calculé que le noyau
de la comète passerait à ce moment devant le Soleil et cela
est arrivé effectivement ; on ne pouvait pas le voir
en Europe parce que le Soleil et la comète étaient couchés
à l’heure du passage. On ne l’a pas vu non plus aux antipodes,
parce que le Soleil est tellement brillant et la matière du
noyau si peu dense et par conséquent si transparente que l’éclat
du disque solaire n’en était pas affaibli ; mais on a
pu observer le noyau un peu avant et un peu après le passage
et on s’est assuré que sa trajectoire apparente passait bien
devant le Soleil. Ainsi, à un certain moment, le Soleil, le
noyau et la Terre se sont trouvés en ligne droite. Si la queue
était rectiligne, si elle était dirigée à l’opposé
du Soleil, et si elle était assez longue, elle devait donc
rencontrer la Terre. Les deux dernières conditions étaient
certainement remplies ; mais pouvait-on admettre que la
queue était en ligne droite. On a souvent observé des comètes
à queue recourbée ; si la queue paraît souvent rectiligne,
cela peut être par un effet de perspective, parce que l’œil
est placé dans le plan de la courbe. Cette courbure paraît
varier d’une comète à l’autre et dépendre de la composition
de la queue, c’est ce que nous verrons plus loin. On ne pouvait
donc prévoir quelle serait cette courbure, ni si elle serait
assez faible pour que la rencontre restât possible ;
les observations ne nous apprenaient rien non plus, parce que
le mauvais temps avait empêché de rien voir en Europe dans
les jours qui avaient précédé le passage, et que celles
qui nous venaient des autres continents nous arrivaient par le
télégraphe et sous une forme singulièrement succincte.
Mais si la queue avait été rectiligne on aurait dû la voir
le lendemain très courte et opposée au Soleil ; ce
n’est pas du tout cela qu’on a vu ; le soir on voyait le
noyau avec une courte queue se perdant sous l’horizon du côté
du Soleil, et le matin, le noyau et le Soleil n’étant pas encore
levés, on voyait encore une certaine longueur de queue ;
c’est ce qu’on vit le 19 et le 20 mai au matin. La Terre n’avait
donc pas encore franchi la queue ; le 21 seulement cette
queue du matin avait disparu, nous venions seulement de dépasser
la queue.
La queue était donc notablement courbe et si nous l’avons traversée,
ce n’est que dans la nuit du 20 au 21. Quelle que soit sa courbure,
nous l’aurions rencontrée tôt ou tard si l’orbite de la comète
et celle de la Terre avaient été dans un même plan. Mais
il n’en est plus de même si les deux orbites sont inclinées
l’une sur l’autre ; nous pouvons alors dépasser la queue
sans passer dedans, mais en passant dessus ou dessous. L’axe
de la queue était évidemment dans le plan de l’orbite de
la comète ; l’inclinaison de ce plan étant de 18°,
la Terre était à plus d’un million de kilomètres de ce
plan dans la nuit du 20 mai. Ne vous effrayez pas de ce chiffre,
cela n’est pas énorme ; la question est de savoir si
l’épaisseur de la queue était de plus de 2.000.000 de kilomètres.
Il semble que non d’après les observations faites, et alors
nous devons conclure que nous n’avons pas traversé la queue,
que nous l’avons tout au plus frôlée en effleurant les parties
extérieures les moins denses.
Déjà en 1861, on a dit que nous étions passés dans la
queue d’une comète ; les données me manquent pour vous
dire si cette hypothèse est conforme aux faits ; en
tout cas les choses se sont passées d’une façon aussi peu
tragique que le 18 mai dernier. Mais une autre question se pose :
si réellement nous avions traversé le queue d’une comète
que serait-il arrivé ? Pour y répondre, il est nécessaire
que je vous rappelle rapidement ce que nous savons des comètes
en général.
Et d’abord, d’où viennent les comètes ? Sont-elles
étrangères à notre système solaire ; traversent-elles
en tous sens les espaces immenses qui séparent les étoiles ?
Sont-elles des messagères qui vont d’une constellation à
l’autre ; ou bien, au contraire, ces astres sont-ils des
membres fantaisistes de notre système, des satellites très
excentrique du Soleil ? Dans ce dernier cas, elles doivent
toutes décrire des courbes fermées, des ellipses ;
dans le premier, leurs trajectoires doivent s’étendre à l’infini ;
c’est ce que nous appelons des hyperboles. La plupart décrivent
des courbes tellement allongées qu’il est impossible de savoir
si elles sont fermées ou non, si, par conséquent, l’astre
qui les décrit nous reviendra un jour, ou si nous sommes destinés
à ne le revoir jamais ; je ne parle pas de nous, bien
entendu, mais de nos descendants les plus lointains ;
car, si la comète doit revenir, ce sera souvent dans 10.000
ans, peut-être dans 50.000 ans. Mais le calcul des probabilités
nous montre que si les comètes n’appartenaient pas au système
solaire, elles devraient, en majorité, avoir des orbites franchement
hyperboliques, sur lesquelles il n’y aurait pas moyen de se tromper :
or, il n’y en a pas une seule qui soit dans ce cas.
La conclusion, c’est que les comètes ont appartenu de tout
temps au système solaire, qu’elles ne nous apportent pas des
nouvelles des mondes plus lointains, de ceux qui gravitent autour
des autres étoiles. En général, elles décrivent des orbites
beaucoup plus allongées que les planètes, elles s’éloignent
beaucoup plus du Soleil et on peut admettre qu’elles mettent
plusieurs milliers d’années à faire une révolution complète.
La première comète de cette année, la plus belles des deux,
n’avait pas été annoncée parce qu’elle n’était pas encore
passée dans notre voisinage depuis les temps historiques ;
c’était la première fois qu’on la voyait. Nous avons vu toutefois
que la seconde, celle de Halley, revient tous les 75 ans ;
il y en a d’autres dont le retour est encore plus fréquent,
tous les 6 ans, par exemple. À quoi cela tient-il ;
ont-elles une autre origine que les autres, une origine qui ferait
d’elles des intermédiaires entre les comètes proprement dites
et les planètes ? Pas le moins du monde ; autrefois,
elles mettaient comme les autres des milliers d’années à
faire le tour de leur orbite, mais il leur est arrivé dans
le cours de leur histoire une mésaventure ; elles ont
rencontré une grosse planète ; je ne veux pas dire
qu’elles l’ont choquée ; elles sont simplement passées
assez près pour que leur trajectoire soit profondément troublée ;
déviées de leur route, elles ont quitté la grande ellipse
allongée qu’elles décrivaient, pour suivre une autre ellipse
plus petite, plus semblable à un cercle, qu’elles peuvent parcourir
en moins de temps. C’est ainsi que la comète de Halley
a été captée, comme on dit,
par Neptune, et la plupart des autres comètes périodiques
par Jupiter.
Quel est maintenant l’avenir des comètes ? Nous voyons
les planètes graviter autour du Soleil sans subir de changement
sensible ; sans doute, elles ne sont pas éternelles,
elles périront un jour, mais dans si longtemps ! En
est-il de même des comètes ? Non, ces astres périclitent
rapidement et nous en avons vu disparaître sous nos yeux.
Ainsi, il y avait une comète, celle de Biéla, qui avait été
captée par Jupiter et qui revenait tous les 6 ans. À un de
ses passages, il y a une cinquantaine d’années, comme on avait
été quelques jours sans pouvoir l’observer, à cause du
mauvais temps, on l’a revue divisée en deux par je ne sais
quel cataclysme ; les deux noyaux semblaient s’éloigner
l’un de l’autre. On les revit encore à l’apparition suivante.
Six ans après encore, on attendait la comète, on ne la vit
pas reparaître et, depuis, elle n’est plus revenue ;
mais, au lieu et place de la comète défunte, on a une pluie
d’étoiles filantes qui reviennent maintenant régulièrement ;
si l’on calcule l’orbite de ces étoiles filantes, on trouve
qu’elle coïncide avec celle que suivait autrefois la comète ;
c’est pourquoi ces étoiles filantes que l’on revoit tous les
ans, le 27 novembre, ont reçu le nom de Biélides. Schiaparelli, le grand astronome
italien qui vient de mourir, a généralisé ce résultat ;
il a reconnu qu’un grand nombre d’essaims de météores ont
des orbites en connexion intime avec celles de comètes vivantes
ou disparues. Sans doute la coïncidence n’est pas parfaite,
puisque l’orbite de la comète ne rencontrant pas celle de la
Terre, nous ne verrions pas les météores, s’ils ne s’en écartaient
un peu. D’ailleurs, ces étoiles filantes suivent à peu près
la route de la comète, mais elles sont répandues tout le
long de cette route, plus ou moins en retard sur la comète
qui leur a donné naissance.
Ceci me rappelle une histoire de fin du monde. L’essaim des Léonides
circule dans l’orbite de la comète de 1866 ; on voit
tous les ans des étoiles filantes le 13 novembre ; mais,
tous les 33 ans, le nombre des météores aperçus est un
maximum, parce que la durée de la révolution de la comète
est de 33 ans. Or, les journaux bien informés avaient annoncé
que la fin du monde devait avoir lieu le 13 novembre 1899. Tout
éploré, un journaliste vint m’interviewer, je le rassurai
en lui disant que le même phénomène s’était déjà
produit en 1833 et en 1866.
Ainsi, les comètes se désagrègent peu à peu et finissent
par se résoudre en un essaim d’étoiles filantes ; comment
se fait-il alors qu’il y ait encore des comètes depuis le temps
que le monde dure ? C’est que cette lente destruction des
astres chevelus paraît ne se produire qu’au moment où ils
passent près du Soleil. Tant qu’une comète ne passe au périhélie
que tous les 10.000 ans, par exemple, elle peut évidemment
durer longtemps ; mais vient-elle à être captée
par une planète, comme nous l’avons dit tout à l’heure, elle
devient périodique, se rapproche davantage du Soleil et revient
tous les siècles, ou même tous les 10 ans, se réchauffer
à ses rayons. Désormais, ses jours sont comptés et l’œuvre
de mort se poursuit rapidement.
Pourquoi maintenant les comètes ont-elles des queues ?
Et si elles n’avaient pas de queue, il faut bien le reconnaître,
personne, en dehors des professionnels, ne ferait attention à
elles. C’est là une question dont on a proposé bien des solutions
plus ou moins saugrenues ; il y en a une maintenant qui
est à la mode et qui paraît appuyée d’assez bonnes raisons
pour qu’on puisse se demander si elle n’est pas destinée à
durer. Mais ceci nécessite quelques explications. Maxwell, en se fondant sur des considérations
théoriques, était arrivé à cette conclusion que la lumière
devait repousser les corps qu’elle frappe ; depuis, Bartholi11
1
BartoliBartoli,
Adolfo Giuseppe : (Adolfo Giuseppe)., par d’autres considérations
théoriques aussi, mais entièrement différentes, était
arrivé à la même conclusion. Il restait à vérifier
ces hypothèses et la difficulté provenait de la petitesse
de cette répulsion. C’est dans ce but que fut imaginé un
instrument que vous connaissez bien, le radiomètre ;
on espérait qu’il tournerait sous l’influence de la lumière,
comme l’exigeait la théorie. Il tourna, en effet ; il
tourna même beaucoup plus vite qu’on ne s’y attendait ;
malheureusement, il tournait à l’envers. Il y avait donc un
effet que personne n’avait prévu, qui était beaucoup plus
considérable que celui qu’on avait calculé et qui le masquait
complètement ; il fallait en découvrir la cause :
on y parvint sans trop de peine ; la rotation est due
aux mouvements déterminés dans l’air très raréfié qui
remplit l’appareil par les inégalités d’échauffement.
On essaya alors d’éliminer cet effet perturbateur en prenant
des palettes très minces et brillantes des deux côtés ;
l’appareil ne tourna pas, mais il subit une légère déviation ;
on m’a dit que cette déviation est en accord avec la théorie.
J’ai entendu parler aussi d’une expérience plus frappante. On
fait tomber dans un sablier un mélange de limaille de fer et
de poudre de lycopode ; à un certain moment, on dirige
sur ce mélange un faisceau lumineux ; le fer, qui est
plus lourd, continue son chemin vertical, mais le lycopode, repoussé
par la lumière, se trouve dévié et séparé de la limaille.
On aurait là, pense-t-on, une reproduction artificielle des
queues cométaires ; la limaille représenterait le
noyau, formé de matières plus lourdes, qui continuerait à
parcourir son ellipse avec la sagesse d’une simple planète ;
le lycopode, ce serait la queue qui, au lieu de rester sur cette
ellipse, serait déviée et rejetée au loin par la répulsion
due à la lumière solaire.
La queue serait donc formée de particules très ténues,
assez ténues pour que cette répulsion l’emporte sur l’attraction
newtonienne. On conçoit, en effet, que cette attraction est
proportionnelle aux masses, tandis que la répulsion, qui agit
superficiellement, est proportionnelle aux surfaces ;
si donc on considère deux sphères et que la plus grande ait
un rayon double, la plus grande sera attirée huit fois plus
et repoussée quatre fois plus que la petite ; il peut
donc se faire que la répulsion prédomine pour la plus petite
et l’attraction pour la plus grande.
Quelle peut être la dimension de ces particules ? On
peut s’en rendre compte. Un astronome russe, M. Bredichin
22
2
BredikhinBredikhin,
Fedor Aleksandrovich : (Fedor Aleksandrovich)., a étudié
les formes des queues cométaires ; il a reconnu que
la théorie précédente pouvait en rendre compte ;
que la courbure des queues était variable, sans doute d’après
la composition des particules, et que cette courbure dénotait
différents types de particules, pour lesquels la répulsion
était soit cinq fois, soit sept fois, soit même vingt fois
plus grande que l’attraction. À quelles dimensions cela nous
conduit-il pour ces corpuscules ? Cela dépend naturellement
de la densité qu’on leur attribue ; mais remarquons qu’ils
ne peuvent être gazeux ; les gaz sont transparents,
ils laissent passer la lumière qui les traverserait sans agir
sur eux.
On les regarde donc comme solides ou liquides et on leur attribue,
un peu arbitrairement, la densité du pétrole, sans doute
parce que l’on a trouvé les raies des hydrocarbures dans le
spectre des comètes. Le calcul montre alors que le diamètre
de ces particules doit être de l’ordre du millième de millimètre.
Les divers types de queues de Bredichin
correspondraient
alors soit à des particules de diamètres différents, soit
à des particules formées de substances plus ou moins denses.
On voit comment nous devons maintenant nous représenter la
genèse des queues cométaires. La queue est comme un panache
que le noyau transporte avec lui ; mais il y a deux espèces
de panaches ; il y a celui que le militaire porte à
son casque ou à son képi, et il y a le panache de fumée
qui sort de la cheminée des bateaux à vapeur. Le panache
du militaire voyage avec lui, il est toujours formé des mêmes
plumes, il fait corps avec le casque. Un observateur superficiel
pourrait croire qu’il en est de même du panache de fumée
du paquebot, puisqu’il verrait que le navire est allé de New-York
au Havre sans cesser de traîner derrière lui une sorte de
queue qui a conservé tout le temps à peu près la même
forme. Et pourtant nous savons qu’il n’en est rien, que la fumée
se serait promptement dissipée si la cheminée n’en avait
constamment fourni de nouvelle pour remplacer celle qui disparaissait.
La fumée qui est arrivée au Havre n’est pas du tout celle
qui était partie de New-York.
La queue d’une comète est semblable à la fumée du bateau ;
ce n’est pas une espèce de grand sabre avec lequel la comète
fauche l’espace. Mais à chaque instant, pour une cause inconnue,
et sans doute sous l’influence de la chaleur solaire, des particules
se détachent du noyau ; la comète s’effrite, pour ainsi
dire ; une fois détachées, leur légèreté même
les expose à la répulsion due à la lumière solaire et
elles s’éloignent en se perdant dans l’espace ; la queue
aurait bientôt disparu, si elle ne se renouvelait sans cesse.
Dans ces conditions, vous comprenez que la rencontre de cette
queue ne peut pas être bien redoutable. Et d’abord la masse
des comètes n’est pas très considérable ; on n’a
jamais observé qu’elles exerçassent sur les orbites planétaires
la plus légère influence perturbatrice. Une d’elles est passée
une fois entre Jupiter et ses satellites ; sa trajectoire
a été fortement déviée, mais ni Jupiter ni les satellites
n’ont eu l’air de s’apercevoir de rien. Laplace
a été jusqu’à
dire que la masse d’une comète n’est que de quelques kilogrammes ;
en cela, il exagérait, évidemment ; la rencontre d’un
noyau avec la Terre engendrerait sans doute quelques dégâts,
mais cette éventualité est extrêmement peu probable, les
noyaux sont relativement petits et nous n’aurions vraiment pas
de chance d’aller donner justement dans un but aussi restreint.
Il n’en est pas de même pour les queues, qui occupent dans
le ciel des espaces énormes, mais alors leur densité devient
vraiment négligeable et il est aisé de s’en rendre compte.
Ce qui pourrait faire croire le contraire, c’est la lumière
dont elles brillent. Si nous admettons même que tout provient
de la lumière solaire réfléchie et qu’il n’y a pas à faire
intervenir ces phénomènes cathodiques qui peuvent se produire
dans le vide, il n’y aurait pas lieu de trop s’effrayer.
Si nous considérons une même masse éclairée par le Soleil,
la quantité de lumière qu’elle réfléchira sera d’autant
plus grande qu’elle sera plus divisée. Si cette masse est formée
d’un grand nombre de petites sphères, la lumière réfléchie
sera d’autant plus intense que ces sphères seront plus petites.
Il est aisé de s’en rendre compte ; considérons de
grosses sphères de 2 de rayon et de petites sphères de
1 de rayon ; le volume ou la masse de la grosse sphère
sera 8 fois le volume ou la masse de la petite, mais la surface
de la grosse sphère sera seulement 4 fois la surface de la
petite. Huit petites sphères équivaudront donc à une grosse
au point de vue de la masse ; mais elles auront en tout
deux fois plus de surface ; elles réfléchiront donc
deux fois plus de lumière. La Lune a un peu plus de mille kilomètres
de rayon et nos particules ont un millième de millimètre.
Si donc nous remplissions le volume de la Lune par de pareilles
particules, de façon que la densité totale soit un million
de millions de fois plus petite que celle de la Lune, la lumière
qu’elles réfléchiraient aurait l’éclat de la Lune. Si nous
les regardions à la distance de notre satellite, elles nous
feraient l’effet de la Lune ; si nous étions plus loin,
nous verrions un disque plus petit, mais dont l’éclat serait
le même.
Or, on ne saurait songer à comparer l’éclat d’une queue cométaire
à celui de la Lune ; il est peut-être cent mille fois
plus faible, je ne crois pas qu’on ait fait de mesure, mettons
mille fois ; nous devons conclure que la densité de
ces particules est
fois plus petite que celle de l’eau ; nous pouvons dire
que c’est le vide, puisque c’est une densité un milliard de
fois plus faible que celles auxquelles nous parvenons avec beaucoup
de peine quand nous avons fait le vide dans nos appareils, avec
les moyens artificiels les plus perfectionnés que nous connaissions.
Nous n’avons donc rien à redouter du choc ; allons-nous
donc craindre les effets calorifiques ? En voyant les
queues si brillantes, nous pourrions croire qu’elles sont chaudes ;
mais notre Terre, qui n’est pas chaude, apparaîtrait bien plus
brillante encore ; à cette distance, elle aurait l’aspect
qu’ont pour nous Mars ou Jupiter. Ces particules sont, au contraire,
très froides, et elles seraient chaudes qu’il n’y aurait pas
à s’en inquiéter, parce que leur masse est trop faible ;
une goutte d’eau bouillante jetée dans la mer ne la réchaufferait
pas sensiblement. Nous devons donc conclure comme il suit :
nous n’avons pas traversé la queue le 18 mai, nous n’avons fait
que la frôler le 20, mais nous l’aurions rencontrée que nous
ne nous en serions pas aperçus ; nous aurions dormi
comme à l’ordinaire et, en nous réveillant le lendemain,
nous aurions trouvé le monde tout pareil à ce qu’il était
la veille. Les astronomes qui auraient veillé n’auraient rien
vu du tout, pas même ces étoiles filantes dues à la désagrégation
des comètes et qu’on a observées en 1899.
Il reste cependant une question, celle des gaz délétères ;
nous n’aurions été ni écrasés ni brûlés ; nous
aurions pu être empoisonnés.
Il est certain que la comète de Halley
est particulièrement riche en cyanogène ;
on l’a reconnu en étudiant son spectre, mais les raies du cyanogène,
comme celles des autres gaz, n’ont été observées que dans
les parties de la chevelure les plus voisines du noyau ;
on n’en voit pas dans la queue, soit qu’il n’y en ait réellement
pas, soit qu’il y en ait trop peu, soit qu’à une certaine distance
de la tête il cesse d’être lumineux. Si le mécanisme de
la formation de la queue est celui que je vous ai exposé, celui
que suppose Bredichin, il n’y a
aucune raison pour que le cyanogène soit entraîné dans
la queue. La répulsion de la lumière solaire n’agit que sur
les particules solides ou liquides, elle n’agit pas sur les gaz,
parce que ceux-ci sont transparents et n’arrêtent pas la lumière ;
les poussières solides ou liquides sont seules entraînées
et ce sont elles exclusivement qui doivent former la queue. S’il
y avait des gaz, leur densité serait sans doute plus faible
encore que la densité moyenne de la queue, que nous avons calculée
tout à l’heure, elle serait tout à fait insensible, même
pour nos meilleurs instruments, même pour les organismes les
plus susceptibles. On a fait des prises d’essai après le passage
pour savoir si la composition de l’atmosphère avait varié ;
on n’a rien trouvé du tout ; c’était bien inutile,
il était bien impossible qu’on y trouvât quelque chose. Le
danger d’empoisonnement était donc aussi chimérique que les
deux autres.
Une dernière question ; les deux comètes de cette
année ont-elles été pour quelque chose dans les mauvais
temps que nous avons subis ? Il y a, à ce sujet, une
théorie intéressante de mon ami M. Deslandres. On admet généralement
que le Soleil nous envoie des rayons cathodiques et ce sont ces
rayons qui produiraient, par exemple, les aurores boréales.
Quand les rayons cathodiques frappent dans le vide une surface
solide ou liquide, ils engendrent des rayons X ; les rayons
cathodiques solaires trouvent dans les particules qui forment
les queues cométaires une grande étendue de surface réfléchissante.
La présence des comètes va donc engendrer des rayons X qui
sillonneront l’espace. Les rayons X ionisent l’atmosphère et
les ions déterminent la condensation de la vapeur d’eau. Cela
ne veut pas dire qu’il pleuvra partout ; les ions ne peuvent
condenser la vapeur d’eau que s’il y en a une quantité notable ;
mais dans des lieux où on aurait eu simplement beau temps avec
degré hygrométrique élevé, on aura des nuages et de la
pluie.
Cette théorie est séduisante ; elle mérite d’être
examinée, mais elle soulève bien des objections. D’abord,
la tradition parle de comètes qui, au lieu de nous apporter
de l’eau, nous ont apporté du vin. Et puis, s’il y a des rayons
X partout, ils doivent voiler les plaques photographiques même
à travers les châssis. A-t-on observé que, cette année,
il y a eu plus de plaques qui se sont voilées, sans savoir
pourquoi ? Jusqu’à nouvel ordre, nous devons donc voir
dans les mauvais temps en question une simple coïncidence.
Je ne veux pas abuser plus longtemps de votre attention. Vous
voyez que si les comètes ne sont pas si terribles qu’on le
dit, elles restent, à bien des égards, des astres mystérieux.
Leur origine, leur nature, celle de la lumière qu’elles nous
envoient, leur destinée, sont encore mal connues ; je
vous ai dit ce qu’on en savait et vous avez vu qu’on n’en sait
pas grand chose.
Chapitre VIII Le Démon d’Arrhenius (1911)
Parmi les idées nouvelles que nous voyons germer en foule dans le fécond cerveau de M. Arrhénius, il y en a une qui mérite d’attirer particulièrement l’attention, parce qu’elle intéresse l’avenir de notre Univers ; elle nous ouvre (ou du moins elle s’y efforce) des perspectives plus consolantes que la théorie classique de Clausius. Le monde, si l’on en croit le savant suédois, ne serait pas fatalement voué à la mort thermique, il ne serait pas destiné à périr dans une morne uniformité finale.
On sait que les machines thermiques ne peuvent fonctionner qu’entre, deux sources, l’une chaude et l’autre froide. La chaleur empruntée à la première ne peut être que partiellement transformée en travail, il est nécessaire qu’une partie soit cédée à la source froide ; il en résulte que la source chaude va se refroidir et la source froide s’échauffer ; leurs températures finiront par s’égaliser ; elles seront alors épuisées.
Si l’on regarde l’Univers entier comme une immense machine thermique, la source chaude sera représentée par les Soleils, la source froide par les Nébuleuses, toutes les sources dont nous disposons devant être regardées seulement comme des échelons intermédiaires de l’échelle immense qui s’étend entre ces deux extrêmes. Qu’est-ce donc qui peut entretenir la source chaude ? ce ne peut être que l’énergie qui existe dans le monde sous la forme mécanique ; ce n’est pour nos Soleils qu’une bouchée, à peine de quoi assouvir leur appétit pendant une centaine de millions d’années. Et alors les Étoiles vont se refroidir et les Nébuleuses s’échauffer, jusqu’à ce qu’il n’y ait plus entre elles de différence de température : l’Univers aura subi la mort thermique.
C’est là ce qu’exige le second principe de la Thermodynamique. Mais quelle est la raison d’être de ce principe ? d’après beaucoup de physiciens, il ne serait qu’une conséquence de la loi des grands nombres. Les molécules étant très nombreuses, leurs mouvements tendraient de plus en plus à se distribuer conformément aux lois du hasard. Tout tendrait à se mêler, parce que, s’il est facile de cacher un grain d’orge dans un tas de blé, il est très difficile de l’y retrouver et de l’en faire sortir. Les molécules sont innombrables et très petites, c’est pourquoi il est pratiquement impossible de les démêler une fois qu’elles sont mêlées.
Pour remonter le courant, pour faire passer de la chaleur d’un corps froid sur un corps chaud, il faudrait, disait Maxwell, un être assez petit et assez intelligent pour faire le triage de ces objets minuscules. Cet être aux sens déliés, qui verrait ce qui échappe à nos yeux grossiers, pourrait séparer les molécules “chaudes”, c’est-à-dire les molécules rapides, des molécules “froides”, c’est-à-dire des molécules lentes. C’est cet être fictif que l’on appelle le démon de Maxwell.
Pour conserver au monde la vie, pour maintenir les Nébuleuses froides et les Soleils chauds, il faudrait donc une sorte de démon de Maxwell automatique. C’est ce qu’Arrhénius croit avoir trouvé. Comment en effet opérerait le démon de Maxwell pour réchauffer la moitié d’une masse gazeuse en refroidissant l’autre ? Il séparerait le vase en deux parties par une cloison percée de petites portes qu’il pourrait ouvrir ou fermer à volonté. Si une molécule rapide venant de gauche, s’approchait d’une de ces portes, il se hâterait de la fermer et la molécule rebondirait vers la gauche ; il l’ouvrirait au contraire pour une molécule lente venant de gauche ou pour une molécule rapide venant de droite. Finalement, il n’y aurait plus à gauche que des molécules rapides et à droite que des molécules lentes ; le gaz de gauche serait chaud et celui de droite serait froid.
Or qu’arrive-t-il dans les Nébuleuses ? la matière y étant très raréfiée, les molécules gazeuses n’y sont que faiblement retenues par la gravitation ; il doit donc arriver fréquemment qu’une molécule s’échappe et va se perdre dans le vide infini. Mais quelles sont les molécules qui sont le plus exposées à cet accident ? ce sont évidemment les plus rapides ; un projectile lancé de la Terre aura, en effet, d’autant plus de chances de sortir de la sphère d’attraction terrestre que sa vitesse initiale sera plus grande. Par conséquent, les molécules qui resteront dans la Nébuleuse seront les molécules lentes, c’est-à-dire froides ; celles qui s’en iront seront les molécules rapides, c’est-à-dire chaudes. Et c’est ainsi que les Nébuleuses peuvent rester froides, malgré la chaleur qu’elles reçoivent des Soleils. Il y a un triage, comme celui que ferait le démon de Maxwell, mais ce triage est automatique.
Les molécules échappées des Nébuleuses finissent par entrer dans la sphère d’attraction des Soleils et par tomber à leur surface en acquérant une grande vitesse par l’effet de la gravitation. En même temps qu’elles en augmentent la masse, elles en entretiennent la chaleur par leurs chocs.
La solution n’est pas encore satisfaisante ; et d’abord nous savons bien que la masse de notre Soleil n’augmente pas. D’autre part les Nébuleuses finiraient par se vider et perdre leur substance qui irait se concentrer dans les Etoiles. Le monde atteindrait l’uniformité et la mort thermique, mais par une autre voie. Arrhénius est donc obligé de compléter son hypothèse ; pour cela il a recours à la pression de radiation de Maxwell-Bartholi ; on sait que les corps très légers sont repoussés par la lumière, et c’est ainsi que se forment les queues des comètes, dont la matière très ténue est repoussée par la lumière solaire.
Arrhénius suppose que des particules très fines, issues du Soleil, peuvent subir une action analogue ; elles forment d’abord la couronne solaire, mais elles ne s’arrêtent pas là : la pression de Maxwell les pousse beaucoup plus loin, en dehors même du système solaire et jusqu’aux lointaines Nébuleuses. Les Nébuleuses qui envoient de la matière aux Soleils en recevraient en échange, de sorte qu’il y aurait balance parfaite entre les gains et les pertes de substance.
Que devons-nous penser de cette théorie si séduisante ? Toutes les difficultés sont-elles écartées ? Pas encore. La matière se trouve soumise à deux forces antagonistes : la gravitation newtonienne qui l’attire vers le Soleil, la pression de Maxwell qui tend à l’en éloigner. La première de ces forces l’emporte sur la seconde si le corps est gros et lourd, parce qu’elle est proportionnée à la masse, tandis que la pression de radiation varie comme la surface. La répulsion l’emporte, au contraire, pour les gouttelettes qui n’ont que quelques millièmes de millimètre ; enfin l’attraction l’emporte de nouveau pour les corps qui sont très petits par rapport aux longueurs d’onde et ne peuvent par conséquent réfléchir la lumière, comme par exemple pour les molécules isolées. On peut alors concevoir une sorte de va-et-vient : des gouttelettes sont repoussées par le Soleil ; parvenues à une certaine distance, pour une raison ou une autre, elles s’agglomèrent en corps trop gros ou se dissocient en particules trop petites. L’attraction l’emporte de nouveau et la matière retombe sur le Soleil où elle reprend la forme de gouttelettes, et ainsi de suite indéfiniment.
Ce n’est pas là le mouvement perpétuel ; le travail nécessaire pour entretenir ce va-et-vient indéfini est emprunté à la chaleur solaire ; nous avons affaire à une machine thermique. Quel est le rendement de cette machine ? Il est aisé de voir qu’il ne peut dépasser un demi. En effet, une de ces particules peut être regardée comme un écran qui arrête le rayonnement solaire ; quand elle est repoussée, l’espace dans lequel ce rayonnement peut se répandre se trouve accru, d’où emprunt de chaleur au Soleil ; et la loi de Maxwell montre que cet emprunt est précisément égal au travail de la pression de radiation ; la moitié de l’énergie émanée du Soleil sera donc employée en travail mécanique sur la particule et l’autre moitié en échauffement de l’espace. La chaleur ainsi perdue atteindra finalement la Nébuleuse ; le démon d’Arrhénius serait-il de force à nous la restituer ?
Les molécules qui sont chassées de la Nébuleuse en sortent avec une certaine vitesse ; quand elles retombent ensuite sur le Soleil, cette vitesse s’accroît, de sorte qu’en choquant la surface solaire, elles lui apportent l’énergie qu’elles possédaient au départ, plus celle qu’elles ont acquise dans leur chute. C’est cette dernière qui figurait dans les calculs que nous venons de faire au sujet du mouvement de va-et-vient, et nous avons vu qu’elle est au plus la moitié de l’énergie rayonnée par le Soleil.
Si nous voulons que la restitution soit complète, il faut donc que la seconde moitié soit représentée par l’énergie initiale que ces molécules possédaient en quittant la Nébuleuse, c’est-à-dire que leur vitesse initiale soit comparable à celle qu’acquiert un corps qui tombe de l’infini sur le Soleil, et qui est de plusieurs centaines de kilomètres par seconde. Or, cela est bien invraisemblable ; les Nébuleuses sont très froides, c’est-à-dire que la vitesse moyenne de leurs molécules est très faible ; il est vrai que ce sont les plus rapides qui s’en vont, mais celles qui auront des vitesses de cet ordre ne pourront jamais être que des exceptions, même parmi celles qui ne sont pas retenues dans la Nébuleuse par l’attraction.
On a peine à renoncer définitivement à une idée si séduisante et on est porté à se demander si elle n’est pas incomplète plutôt que fausse. Le démon d’Arrhénius ne peut suffire à sa tâche, mais peut-être y en a-t-il d’autres qui l’y aideront. Ne pourrait-on, par exemple, après avoir mis un démon dans la source froide, en mettre un autre dans la source chaude ? Quelque hypothétiques, quelque mal fondées que soient mes vues sur ce point, me permettra-t-on d’en dire quelques mots ?
Les molécules qui quittent les Soleils ne peuvent-elles être l’objet d’une sélection comme celles qui quittent les Nébuleuses ? Cette fois ce ne sont pas les plus chaudes qui doivent partir, ce sont les plus froides. Examinons donc par quel mécanisme se produisent les gouttelettes qui subissent la pression de radiation : 1° Certaines molécules gazeuses sont ionisées ; 2° Chaque ion devient un centre de condensation pour certaines vapeurs sursaturées. La sélection se ferait donc tout naturellement : 1° Si les molécules froides, c’est-à-dire lentes, étaient plus facilement ionisées que les molécules rapides ; 2° Si la condensation se faisait plus aisément autour des ions lents que des ions rapides ; 3° Si les molécules de vapeur les plus lentes se liquéfiaient plus aisément que les plus rapides.
Je ne vois aucune raison à alléguer en faveur de la première hypothèse. La seconde est plus plausible ; on conçoit qu’un ion en repos pourra jouer son rôle de centre de condensation plus facilement qu’un ion en mouvement : pierre qui roule n’amasse pas de mousse. Mais c’est surtout à la troisième qu’il convient de s’attacher. Qu’on se représente une gouttelette en voie de formation et des molécules de vapeur circulant dans son voisinage ; on peut les comparer à des bolides qui circulent près d’une planète et frôleraient son atmosphère. Ceux qui auront des vitesses hyperboliques passeront sans être arrêtés ; ce sont les plus lents qui seront retenus et tomberont à sa surface. Sans doute aussi, quand un liquide est au contact de sa vapeur, il y a échange continuel antre leurs molécules. Retenues quelque temps par l’attraction du liquide, les unes finissent par s’échapper et redeviennent gazeuses. D’autres, au contraire, sont captées par le liquide.
Ce sont évidemment les plus lentes qui seront retenues, les plus rapides qui s’échapperont, tout se passant comme pour la Nébuleuse dont nous parlions plus haut. Il en résulterait, remarquons-le, qu’il devrait y avoir une différence de température entra un liquide et sa vapeur ; je ne sais si elle serait constatable. Quoi qu’il en soit, on pourrait imaginer un mécanisme analogue jouant dans la source chaude le rôle de démon automatique. Ce démon, en tout cas, travaillerait dans le bon sens, mais je ne puis examiner la question de savoir s’il suffirait à remplir sa tâche.
Troisième partie Problèmes Scientifiques Actuels
Chapitre IX Cournot et les Principes du Calcul Infinitésimal (1905)
Il est très difficile, pour les mathématiciens contemporains, de comprendre les contradictions que nos devanciers croyaient découvrir dans les principes du calcul infinitésimal. Le mot célèbre : “Allez toujours et la foi vous viendra”, est pour nous un sujet perpétuel d’étonnement. Est-il possible que de grands géomètres qui maniaient l’analyse infinitésimale avec autant d’habilité qu’on l’a jamais fait, aient vu du mystère dans ce qui nous paraît si simple et qu’ils se soient laissé embarrasser par des objections qui nous semblent enfantines ? La différence profonde que les critiques de cette époque apercevaient entre la manière de Leibnitz et celle de Newton nous échappe de même complètement et nous sommes disposés à ne voir entre les deux fondateurs du calcul intégral qu’une différence de notations.
La théorie des erreurs compensées de Cournot nous semble répondre de la façon la plus simple aux objections accumulées de tous les philosophes peu versés avec les mathématiques, et nous sommes portés à croire que si Leibnitz ne l’a pas opposée d’emblée à ses contradicteurs, c’est à cause de sa simplicité même et parce que ne pouvant comprendre qu’ils n’avaient pas aperçu quelque chose d’aussi évident, il cherchait à leurs critiques je ne sais quel sens mystérieux.
Ce sont les récents progrès de la théorie des fonctions qui ont fait disparaître les dernières difficultés ; le jour où on a défini le nombre incommensurable d’une façon satisfaisante, de façon à parfaire ce que l’on a appelé l’arithmétisation de l’analyse mathématique, les derniers voiles ont été levés, à tel point que nous avons aujourd’hui peine à comprendre ce qui a pu autrefois paraître obscur.
Est-ce à dire que l’étude des difficultés aujourd’hui vaincues, et des efforts qu’on a faits pour lutter contre elles, soit désormais dépourvue de tout intérêt ou n’ait plus qu’un intérêt historique ? Il s’en faut de beaucoup ; il semble qu’en s’arithmétisant, en s’idéalisant pour ainsi dire, la mathématique s’éloignait de la nature et le philosophe peut toujours se demander si les procédés du calcul différentiel et intégral, aujourd’hui complètement justifiés au point de vue logique, peuvent être légitimement appliqués à la nature. Le continu que nous offre la nature et qui est en quelque sorte une unité est-il semblable au continu mathématique, tel que l’ont défini les plus récents géomètres, et qui n’est plus qu’une multiplicité d’éléments, en nombre infini, mais extérieurs les uns aux autres et pour ainsi dire logiquement discrets.
Que l’on ne se méprenne pas cependant sur la portée de cette difficulté. Si l’on admet que les phénomènes naturels peuvent être représentés par des nombres et par conséquent par des fonctions mathématiques, les règles du calcul infinitésimal pourront être appliquées à ces fonctions et cela en toute rigueur. À ce point de vue la question peut être regardée comme entièrement résolue ; nous savons, sans qu’aucun doute demeure possible, qu’une fonction mathématique satisfera à ces règles ou qu’elle ne sera pas ; mais il reste précisément à savoir s’il existera une fonction mathématique susceptible de représenter le phénomène avec une précision indéfinie.
Ce que l’observation nous donne directement, ce n’est pas un nombre, c’est une sensation qui n’est pas elle-même exprimable par un nombre puisque nous ne pouvons la discerner d’autres sensations trop voisines ; par exemple, nous ne pouvons distinguer la sensation que nous fait éprouver la pression d’un poids de 10 grammes de celle que nous ferait éprouver la pression d’un poids de 11 grammes, et c’est précisément dans cette sorte de fusion des éléments voisins que consiste la continuité physique. À proprement parler, il est donc impossible de représenter la sensation du poids de 10 grammes par un nombre ; puisqu’une seconde sensation, celle du poids de 11 grammes, ne pouvant être discernée de la première, devrait être représentée par le même nombre. Mais elle ne pourrait non plus être représentée par le même nombre puisqu’elle ne peut non plus être discernée de la sensation de 12 grammes et qu’il faudrait alors représenter les trois sensations par un même nombre, ce qui serait absurde puisque celle de 10 grammes et celle de 12 se distinguent aisément.
Seulement nous admettons que cette imprécision n’appartient qu’aux sensations elles-mêmes, que leur cause inconnue est susceptible d’être exactement représentée par un nombre ; cette même cause peut se manifester par d’autres effets, ce qui nous fournit d’autres moyens plus délicats d’évaluer ce nombre, de façon à réduire de plus en plus la marge de l’incertitude. Nous pouvons, par exemple, au lieu de soupeser le poids avec la main, le mesurer à l’aide d’une balance de précision. Mais quelle que soit la série d’opérations à laquelle nous procédions, il faudra bien que finalement nous fassions intervenir nos sens, ce qui ramènera les caractères de la continuité physique et son imprécision essentielle.
Nous voyons qu’à mesure que se perfectionnent nos moyens d’observation, les limites entre lesquelles doit rester compris le nombre représentatif d’un phénomène naturel quelconque, deviennent de plus en plus étroites, mais il n’arrivera jamais que le jeu de plus en plus petit qu’elles laissent entre elles devienne rigoureusement nul. Nous croyons toutefois que ce progrès n’aura pas de limite, que nous ne pourrons jamais dire, par exemple : un poids ne pourra jamais être évalué à moins d’un millième ou d’un millionième de milligramme près. C’est là le postulat que nous admettons implicitement quand nous appliquons à la nature les lois de l’analyse mathématique et en particulier celles du calcul infinitésimal.
Avant de dire ce que Cournot pense de ce problème, je crois utile d’en préciser un peu mieux encore la portée. Suivant que l’on adoptera ou non ce postulat, la notion de loi se présentera sous une forme toute différente. Dans la conception scientifique l’état du monde, ou d’une partie du monde regardée comme isolée, sera entièrement défini par les valeurs attribuées à un certain nombre de variables . La connaissance de ces valeurs nous donnera non seulement l’état du monde à l’instant envisagé, à l’instant t, mais encore à l’instant immédiatement postérieur , car ces deux états sont immédiatement reliés l’un à l’autre par une relation qui est précisément ce que l’on appelle loi, et cette relation est une équation différentielle :
Nous postulons encore quelque chose de plus, à savoir que ces fonctions qui servent à l’expression de cette loi jouissent de toutes les propriétés essentielles des fonctions analytiques, par exemple de celle d’admettre des dérivées de tous les ordres. Les mathématiciens savent que l’on peut construire des fonctions qui ne jouissent pas de ces propriétés.
Ce n’est pas sous cette forme, nous l’avons dit, que le monde nous est donné, puisque, par exemple, l’état du monde défini par les valeurs des variables et l’état défini par les valeurs nous apparaissent comme indiscernables si sont assez petits.
Encore une remarque : la considération de la loi différentielle à laquelle satisfait une partie du monde et des états successifs de cette partie, nous renseigne souvent sur l’état initial mieux que ne l’aurait fait l’observation directe de cet état initial. Cela nous montre que cet état initial était déterminé en réalité beaucoup mieux que l’observation directe aurait pu nous le faire croire, et nous induit à penser qu’il était dans la réalité infiniment bien déterminé et que l’imprécision apparente ne provenait que de notre infirmité. Si, par exemple, nous découvrons une planète, nous constaterons que sa distance au Soleil est comprise entre et , étant relativement très petit, et nous en conclurons en vertu de la troisième loi de Kepler que son moyen mouvement est compris entre et , étant très petit. C’est tout ce que nous pourrons faire. Mais au bout d’un temps la planète aura tourné d’un certain angle qu’il sera facile de mesurer de sorte que son moyen mouvement et par conséquent sa distance au Soleil seront connus avec d’autant plus de précision que les observations se seront prolongées plus longtemps. Nous pourrons alors affirmer quelle valeur nos observations initiales nous auraient donnée pour la distance si nos instruments avaient été assez délicats.
Mais, à cause de cette imprécision même, nous pouvons être assurés que le postulat qui nous occupe, celui sur lequel repose toute la science, ne pourra jamais être mis en défaut par l’expérience. Quelque multipliées et quelque précises que soient nos expériences, elles seront toujours entachées de certaines erreurs qu’on pourra réduire, mais non pas annuler. Il y aura donc toujours moyen de représenter les observations, quelles qu’elles soient, par des fonctions qui s’en écarteront moins que ne le comporte l’incertitude des mesures et qui jouiront de la continuité, de la propriété d’avoir une dérivée, de toutes les propriétés des fonctions analytiques. Une fonction quelconque étant donnée, on peut toujours trouver une fonction analytique qui en diffère aussi peu que l’on veut. Ainsi le physicien peut toujours appliquer les règles du calcul infinitésimal sans craindre un démenti de l’expérience.
C’est assez pour le physicien, ce n’est pas assez pour le philosophe, et c’est pour cela que d’autres conceptions ont été proposées. Ainsi le monde donné est un continu physique, et les savants supposent que le monde réel est un continu mathématique, mais quelques métaphysiciens ont préféré admettre que le monde est discontinu. Telle est, par exemple, la pensée de M. Évellin ; le temps réel serait formé d’instants discrets ; l’état du monde serait encore susceptible d’être défini par les valeurs attribuées à certaines variables ; mais ces variables ne peuvent parcourir l’échelle continue de la grandeur mathématique, elles ne peuvent prendre que des valeurs entières, elles passent de l’une à l’autre par sauts brusques. La loi lie alors l’état actuel du monde à son état à l’instant immédiatement ultérieur, mais le sens de ce mot n’est plus le même que tout à l’heure, ce n’est plus l’instant qui diffère de l’instant antérieur d’une quantité aussi petite que l’on veut. C’est dans les instants discrets dont est formé le temps réel, celui qui vient immédiatement après l’instant et qu’il faudrait noter . M. J. Bertrand lui-même, dans une discussion avec M. Boussinesq, avait paru admettre une idée du même genre.
On pourrait aussi concevoir que le monde réel, comme le monde donné, est un continu physique et il faudrait modifier en conséquence l’idée de loi ; cela ne serait pas aussi simple qu’avec le système de M. Évellin, et il serait difficile sans doute de donner à cette idée une forme mathématique et de la rendre compatible avec le déterminisme absolu.
Pour faire comprendre quelle est en face de ces problèmes la position de Cournot, le mieux est, je crois, de commencer par quelques citations.
“Effectivement, dit-il (Théorie des fonctions11 1 Traité élémentaire de la théorie des fonctions et du calcul infinitésimal, 2 volumes, Paris, Hachette, 1841., t. I, page 81), si nous pouvions comparer, dès le début, la méthode des limites et la méthode infinitésimale, nous verrions que toutes deux tendent au même but, qui est d’exprimer la loi de continuité dans les variations des grandeurs, mais qu’elles y tendent par des procédés inverses. Dans la première méthode, étant donnée une question sur des grandeurs qui varient d’une manière continue, on suppose d’abord qu’elles passent subitement d’un état de grandeur à un autre ; et on cherche ensuite ce qui arrive quand on resserre de plus en plus l’intervalle qui sépare deux états consécutifs. Il est clair qu’on n’obtient ainsi qu’après coup les simplifications qui résultent de la continuité…
“Aussi peut-on poser en fait que quelque adresse que l’on mette à employer la méthode des limites, …on arrive toujours à des questions pour lesquelles il y faut renoncer.
“D’ailleurs la méthode infinitésimale ne constitue pas seulement un artifice ingénieux ; elle est l’expression naturelle du mode de génération des grandeurs physiques qui croissent par éléments plus petits que toute grandeur finie. Aussi, quand un corps se refroidit, le rapport entre les variations élémentaires de la chaleur et du temps est la raison du rapport qui s’établit entre les variations finies de ces mêmes grandeurs, le terme de raison étant pris ici dans son acception philosophique.
“Sous ce point de vue, on a pu dire avec fondement que les infiniment petits existent dans la nature, et il conviendrait certainement d’appeler la fonction génératrice ou primitive, et la fonction dérivée, à l’inverse de ce qu’a fait Lagrange.
“En résumé, la méthode infinitésimale est mieux appropriée à la nature des choses.
“Elle est la méthode directe, au point de vue objectif. D’un autre côté, le concept de l’infiniment petit ne peut se définir logiquement que d’une manière indirecte par l’intermédiaire des limites ; de sorte qu’au point de vue logique et subjectif, la rigueur démonstrative appartient directement à la méthode des limites et indirectement à la méthode infinitésimale, en tant que celle-ci devient, à l’aide de certaines définitions de mots, une pure traduction de la première”.
“Les géomètres ont une autre manière d’exprimer la même chose, dit-il encore (L’enchaînement des idées fondamentales22 2 Traité de l’enchaînement des idées fondamentales dans les sciences et dans l’histoire, 2 volumes, Paris, Hachette, 1861., t. I, p. 87). On aurait tort de ne voir dans cette expression d’infiniment petit qu’une abréviation convenue, une forme de langage, apparemment plus commode parce qu’elle est plus usitée. Elle n’est effectivement plus commode que parce qu’elle est l’expression naturelle du mode de génération des grandeurs qui croissent par éléments plus petits que toute grandeur finie. Ainsi, quand un corps se refroidit, le rapport entre les variations élémentaires de la chaleur et du temps est la vraie raison du rapport qui s’établit entre les variations finies de ces mêmes grandeurs. Ce rapport, il est vrai, est le seul qui puisse tomber directement sous notre observation, et lorsque nous définissons le 1 par le 2e nous nous conformons aux conditions de notre logique humaine ; mais une fois en possession de l’idée du 1 rapport, nous nous conformons à la nature des choses en en faisant le principe d’explication de la valeur que l’observation assigne au 2e rapport”.
Et encore (ibid., p. 37) : “Un corps qui sort du repos commence par avoir une vitesse infiniment petite ; tandis qu’il répugne qu’il y ait actuellement dans le monde un corps animé d’une vitesse infiniment grande.
“Tout ce qui est infiniment petit échappe à nos observations, mais non aux conditions des phénomènes naturels ; tout ce qui est infiniment grand échappe à la fois à nos observations et aux conditions mêmes de la production des phénomènes”.
Il semble que la netteté de ces citations ne laisse rien à désirer. L’infiniment grand ne peut avoir d’existence actuelle, mais il n’en est pas de même de l’infiniment petit. Bien plus, au point de vue objectif, l’infiniment petit préexiste au fini. C’est notre logique humaine qui procède du fini à l’infiniment petit, la nature procède toujours de l’infiniment petit au fini. Newton était resté fidèle à la logique humaine, Leibnitz s’est rapproché de la nature. Ils se complètent donc mutuellement ; le premier n’aurait pu nous donner qu’une image imparfaite du monde, le second ne pouvait se passer de ce qu’il empruntait au premier, ou à sa manière, sans quoi la rigueur démonstrative lui aurait fait défaut.
On pouvait se demander si Cournot ne donne pas ici au mot infiniment petit le même sens que M. Évellin, si cet infiniment petit auquel il attribue une existence objective, n’est pas l’élément ultime, indivisible des choses, que l’on supposerait décomposables en atomes discrets. Le temps infiniment petit, ce serait l’atome de temps et toute durée finie se composerait d’un nombre fini, quoique extrêmement grand, de pareils atomes. Je ne puis m’arrêter à cette interprétation ; si Cournot avait eu une conception aussi particulière, aussi éloignée des idées ordinaires et des vues de la plupart des savants, il l’aurait dit explicitement. Il avait un langage trop précis pour employer le mot infiniment petit dans le sens de fini.
Mais il y a plus et nous trouverons à chaque instant, dans les écrits de Cournot, l’affirmation contraire très nettement exprimée ; “les notions de l’étendue et de la durée impliquent également, avec une nécessité évidente, l’idée de la continuité” (loc. cit., p. 35), et comme pour qu’on voie bien qu’il s’agit de la continuité mathématique proprement dite, il ajoute : “La raison conçoit nécessairement qu’un mobile ne peut passer d’une position à une autre sans occuper successivement toutes les positions intermédiaires en nombre illimité ou infini”. Et enfin on ne pourra pas croire non plus qu’il ne s’agit ici que de l’image plus ou moins imparfaite que nous avons du monde, car après avoir parlé de l’ordre généalogique de nos idées, il ajoute encore : “Dans l’ordre même des faits naturels, il ne répugne point d’admettre que toutes les manifestations de la loi de continuité ont leur raison primordiale dans la continuité de l’espace ou du temps”.
On ne saurait admettre que Cournot attribue cette continuité à l’espace et au temps seulement et non aux autres grandeurs naturelles. S’il croyait à une pareille différence, il le dirait explicitement ; il semble plutôt qu’il veuille dire que la continuité ne peut pas ne pas appartenir à ces grandeurs, puisqu’elles appartiennent au temps et à l’espace et que ces grandeurs ne sauraient être conçues en dehors du temps et de l’espace.
Ainsi ces infiniment petits qui sont la véritable raison des choses ne sont pas des atomes et, d’un autre côté, ce ne sont pas non plus des devenir, puisqu’ils sont rationnellement antérieurs, pour ainsi dire, aux quantités finies observables. Les infiniment petits leibnitiens, il est vrai, ne sont que des devenir, ou du moins ne jouent pas d’autre rôle dans les raisonnements mathématiques, c’est en cela que la méthode infinitésimale devient “une pure traduction de la méthode des limites”.
Mais elle ne prend cette forme qu’en vue d’obtenir la rigueur mathématique, parce que la méthode des limites, qui n’est pas la plus conforme à l’ordre rationnel, est la plus conforme à l’ordre logique.
Cette opposition entre l’ordre logique et l’ordre rationnel est une idée sur laquelle Cournot revient souvent. L’esprit humain est obligé de remonter du donné, qui est complexe, aux principes, qui sont simples ; cela, c’est l’ordre logique, qui nous est imposé par l’infirmité de notre intelligence ; c’est l’ordre de la découverte, mais nous ne posséderons la connaissance parfaite que quand nous serons redescendus des principes simples aux conséquences complexes, en suivant l’ordre rationnel, c’est-à-dire l’ordre adopté par la Nature elle-même.
Cournot en donne (loc. cit., p. 33) un exemple qui mérite d’être signalé en passant, au sujet de l’origine des idées d’espace et de temps : “L’idée d’espace, dit-il, ne s’acquiert que par le mouvement, par l’exploration successive des parties de l’étendue ; elle présuppose donc intrinsèquement l’idée ou la conscience de la durée…Le sens de la durée est un sens plus rationnel, et à ce point de vue plus fondamental que les sens qui nous donnent la perception de l’espace…En vertu même de cet ordre rationnel, il doit arriver que…l’étendue soit pour nous l’objet d’une intuition immédiate, d’une représentation directe…et que nous ne pouvons imaginer la durée qu’en attribuant à l’étendue une vertu représentative de la durée…Les langues portent la trace de cette dérivation… ; les animaux, même les plus rapprochés de l’homme, ne paraissent avoir et ne peuvent avoir qu’une perception très obscure des rapports de temps …”.
Ainsi le temps est rationnellement antérieur et logiquement postérieur à l’espace ; et s’il lui est logiquement postérieur, c’est en vertu même de cet ordre rationnel, c’est-à-dire parce qu’il est rationnellement antérieur ; car les deux ordres sont nécessairement inverses l’un de l’autre.
Et, plus loin (p. 64) : “Il ne faut pas confondre l’ordre rationnel avec l’ordre logique, quoique l’un de ces mots ait la même racine en grec que l’autre en latin. L’ordre rationnel tient aux choses, considérées en elles-mêmes ; l’ordre logique tient à l’ordre du langage, qui est pour nous l’instrument de la pensée…On distingue très bien, parmi les démonstrations d’un même théorème, toutes irréprochables au point de vue des règles de la logique, celle qui donne la vraie raison du théorème démontré, c’est-à-dire celle qui suit dans l’enchaînement logique des propositions l’ordre suivant lequel s’engendrent les vérités correspondantes, en tant que l’une est la raison de l’autre. En conséquence, on dit qu’une démonstration est indirecte lorsqu’elle intervertit l’ordre rationnel, lorsque la vérité obtenue à titre de conséquence dans la déduction logique est conçue par l’esprit comme renfermant au contraire la raison des vérités qui lui servent de prémisses logiques”.
Le type de la démonstration indirecte est évidemment la démonstration par l’absurde. Cournot s’aperçoit bien que la méthode des limites ne laisse rien à désirer au point de vue de la rigueur mathématique et qu’en réalité elle se ramène à un raisonnement par l’absurde, identique à la méthode par exhaustion des anciens. Il voit également que cette méthode est la seule voie qui puisse conduire à la certitude logique et que la méthode infinitésimale ne participe à cette certitude que parce qu’à un certain point de vue elle n’est pour ainsi dire que “la traduction de la première”. L’infirmité de notre nature nous impose donc cette méthode indirecte mais seulement pour faire les premiers pas : “On ne peut donc se dispenser de mettre en évidence, dans les cas les plus simples, l’identité des résultats des deux méthodes, mais une fois cette traduction bien comprise, il convient de s’abandonner à la méthode infinitésimale…”. Servons-nous donc de la méthode indirecte pour remonter une bonne fois aux principes ; mais hâtons-nous de revenir, aussitôt que nous le pouvons, à la méthode directe, à la méthode conforme à l’ordre rationnel, à celle qui nous fait connaître les véritables raisons des choses.
On peut se demander quel sens Cournot attache à ce mot de raison, mais il prend soin de nous l’expliquer et de distinguer la raison de la cause. “La cause, dit-il, a une double origine, physique et psychologique ; tandis que les idées de la raison et de l’essence des choses pourraient résider dans une intelligence qui n’aurait pas la même constitution psychologique”. Ainsi la cause est quelque chose de relatif, qui dépend de la constitution psychologique du sujet pensant ; la raison, au contraire, est indépendante du sujet ; elle est quelque chose d’absolu. Pour Cournot, qui n’hésite pas à croire à un monde extérieur dont l’existence est tout à fait indépendante du sujet, cela veut dire que la cause n’est qu’une apparence et que la raison est la réalité.
Un trait intéressant de cette conception, c’est que toutes les vérités ont leur raison, aussi bien les théorèmes mathématiques que les phénomènes physiques, tandis que ces derniers seuls ont leur cause. Quand on dit donc que c’est dans l’infiniment petit qu’il faut rechercher la raison des faits relatifs aux quantités finies, cela ne doit pas s’entendre seulement des faits physiques, mais également des vérités géométriques. Après le passage que nous citons plus haut et où Cournot affirme que les infiniment petits existent dans la nature, il ajoute :
“Du reste, ces remarques ne concernent pas exclusivement les grandeurs douées d’une existence physique : en géométrie pure, les grandeurs continues ont aussi et peuvent avoir leur mode naturel de génération ; et, en pareil cas, on trouve le même avantage à saisir directement la loi des variations infinitésimales”.
Ainsi les infiniment petits sont la raison des choses, mais il semble au premier abord que la difficulté essentielle n’est même pas soupçonnée. Ces infiniment petits, raisons des choses, sont-ils de perpétuels devenir comme les infiniment petits leibnitiens ? Pour nous, qui ne croyons pas à la possibilité de concevoir un monde extérieur indépendamment du sujet pensant, ce serait la solution la plus simple et la plus naturelle. La raison première fuirait toujours devant l’esprit qui la cherche sans jamais pouvoir l’atteindre, et ce serait l’infiniment petit leibnitien qui symboliserait le mieux cette fuite éternelle.
Mais rien ne nous autorise à attribuer une pareille pensée à Cournot ; “le temps et l’espace, dit-il (loc. cit., p. 29), ne sont pas, comme l’a voulu Kant, des conditions imposées à notre seul entendement, des formes inhérentes à la constitution de l’esprit humain et non aux choses extérieures qu’il perçoit”. Et Leibnitz lui-même a eu tort de ne voir dans l’espace et le temps que l’ordre des choses. Il est impossible d’être plus réaliste.
Quand donc Cournot dit que l’infiniment petit est la raison première des choses, il s’agit bien d’une raison première posée en dehors de nous, ce n’est pas un indéfiniment petit, et comme ce n’est pas non plus un atome évellinien, il faut que ce soit un infiniment petit actuel. La contradiction que la plupart des esprits croient voir dans l’infini actuel n’a pas frappé Cournot ; il fait bon marché de cette objection.
“On a souvent répété, dit-il (loc. cit., p. 37), que l’idée de l’infini n’a en mathématique qu’une valeur purement négative…L’arithmétique me donne l’idée de l’infini en ce sens que rien ne limite la série des nombres ; ce n’est là, si l’on veut, qu’une idée négative, c’est l’idée de l’indéfini plutôt que celle de l’infini, à la bonne heure. Mais, quand je conçois l’infinité du temps et de l’espace, c’est bien une infinité actuellement, nécessairement imposée à ma raison et dont j’ai l’idée claire, quoique je puisse m’en faire une image ou une représentation. Que s’il s’agit du mouvement continu qui implique l’existence effective d’une infinité de positions intermédiaires, j’aurai, non seulement une idée claire, mais une représentation du phénomène”. Ici nous pourrions objecter que ce que nous pouvons nous représenter c’est le continu physique, bien différent, comme nous l’avons expliqué, du continu mathématique.
Quoi qu’il en soit, la pensée de Cournot semble claire ; la contradiction que nous croyons apercevoir dans la notion de l’infini actuel est purement apparente ; elle est due uniquement à l’infirmité de notre esprit, elle n’existe que dans l’ordre logique et est étrangère à l’ordre rationnel.
Une pareille solution ne satisfera certainement pas tout le monde, et je ne crois pas d’ailleurs qu’aucune solution réaliste puisse satisfaire tout le monde, mais il me suffit d’avoir mis en lumière la véritable pensée du philosophe ; et il ne me reste plus qu’à chercher comment il la justifiait à ses propres yeux. Nous n’avons vu jusqu’ici que des affirmations, il est temps de voir les raisons dont il les appuie. D’où vient cette tranquillité avec laquelle il croit découvrir les véritables raisons des choses ?
C’est qu’il croit qu’au-dessus de la logique formelle il y en a une autre (loc. cit., p. 3) par laquelle nous nous rendons compte des raisons que nous avons de distinguer l’essentiel de l’accidentel, l’absolu du relatif, la réalité de l’apparence. Quel moyen avons-nous de distinguer le mouvement absolu du mouvement relatif ; par exemple, pourquoi préférons-nous le système de Copernic à celui de Ptolémée, c’est parce qu’il est plus simple, et nous en concluons non seulement qu’il est plus commode, mais qu’il est plus réel (loc. cit., p. 18).
“Imaginons encore (loc. cit., p. 90) que l’on observe simultanément le mouvement d’un corps opaque qui décrit uniformément un cercle parfait et le mouvement de l’ombre qu’il projette sur un corps voisin, à surface irrégulière : aurait-on besoin de palper le corps et l’ombre pour s’assurer que c’est bien le mouvement du corps qui entraîne celui de l’ombre et non le mouvement de l’ombre qui entraîne celui du corps ? Ne suffirait-il pas, au contraire, de considérer combien la loi du premier mouvement paraît simple, combien l’autre est compliquée …”.
Et encore, à propos de la réalité du temps et de l’espace : “car il serait par trop étrange que le verre mis sur nos yeux (c’est-à-dire la forme du temps et de l’espace que nous imposerions au monde et qui n’appartiendrait qu’à notre sensibilité) et qui devrait tout déformer aux dépens de la régularité, de la simplicité des lois, y mît par une fallacieuse apparence la régularité, la simplicité que nous croyons y constater et qui de fait n’y serait pas”.
Ainsi le simple peut être la raison du complexe, le complexe ne peut pas être la raison du simple, tel est le principe fondamental de la nouvelle logique. Et par conséquent c’est par exemple la loi de Newton, qui est la raison des lois de Kepler, parce qu’elle est plus simple ; cela ne peut pas être l’inverse.
Or, la loi de Newton nous fait connaître quelle est la variation infiniment petite que subit dans un temps infiniment petit la vitesse des corps célestes sous l’influence de leur attraction mutuelle. Les lois de Kepler, au contraire, nous font prévoir les variations finies de cette même vitesse dans un temps fini. Et comme la même différence de simplicité se retrouve dans tous les problèmes de physique, il nous faut bien conclure que c’est l’infiniment petit, c’est-à-dire le simple, qui est la raison du fini, c’est-à-dire du complexe.
Si l’on voulait remplacer la rampe douce du continu leibnitien par l’escalier évellinien, quelque nombreuses et quelque rapprochées qu’en soient les marches, on ne retrouverait jamais la même simplicité, parce que la grandeur, en cessant d’être continue, au sens mathématique du mot, cesserait d’être homogène, puisque le tout ne pourrait rester semblable à la partie. Et alors on serait obligé d’admettre que c’est le simple, c’est-à-dire le continu, qui est l’apparence, et le complexe, c’est-à-dire le discret, qui est la réalité. Il faudrait croire que le verre à travers lequel nous voyons les objets leur donne une simplicité qui ne leur appartient pas.
Cela semble impossible à Cournot. En résumé, c’est de la croyance en la simplicité de la nature, croyance fondée elle-même sur le principe de raison suffisante, qu’il tire sa conviction.
“S’il faut compliquer une formule, dit-il (loc. cit., p. 104), à mesure que de nouveaux faits se révèlent à l’observation, elle devient de moins en moins probable en tant que loi de la Nature…Si, au contraire, les faits acquis à l’observation postérieurement à la construction de l’hypothèse sont bien reliés par elle, si surtout des faits prévus comme conséquences de l’hypothèse sont postérieurement confirmés, la probabilité de l’hypothèse peut aller jusqu’à ne laisser aucune place au doute dans un esprit éclairé”.
Cette simplicité, cette symétrie qui devient le criterium de la certitude, ne peut se rencontrer que dans les idées mathématiques d’ordre et de forme. C’est là pour Cournot “le secret de la prééminence et du rôle des sciences mathématiques. Les mathématiques sont les sciences par excellence, le plus parfait exemplaire de la forme et de la construction scientifique”. Le monde, en un mot, doit être simple et il ne saurait l’être s’il n’est construit sur le modèle de la grandeur mathématique.
Chapitre X La Lumière et l’Électricité d’après Maxwell et Hertz (1894)
Au moment où les expériences de Fresnel forçaient tous les savants à
admettre que la lumière est due aux vibrations d’un fluide très
subtil, remplissant les espaces interplanétaires, les travaux d’Ampère
faisaient connaître les lois des actions mutuelles des courants et
fondaient l’Électrodynamique.
On n’avait qu’un pas à faire pour supposer que ce même fluide,
l’éther, qui est la cause des phénomènes lumineux, est en même temps
le véhicule des actions électriques : ce pas, l’imagination d’Ampère
le fit : mais l’illustre physicien, en énonçant cette séduisante
hypothèse, ne prévoyait sans doute pas qu’elle dût si vite prendre une
forme plus précise et recevoir un commencement de confirmation.
Ce ne fut là pourtant qu’un rêve sans consistance jusqu’au jour où les
mesures électriques mirent en évidence un fait inattendu ; voici ce
fait qui a été rappelé par M. Cornu, dans le dernier
Annuaire, à la fin de la lumineuse Notice que ce savant a
consacrée à la définition des unités électriques. Pour passer du
système d’unités électrostatiques au système d’unités
électrodynamiques, on se sert d’un certain facteur de
transformation dont je ne rappellerai pas la définition, puisqu’on
la trouve dans la Notice de M. Cornu. Ce facteur, que l’on appelle
aussi le rapport des unités, est précisément égal à la
vitesse de la lumière.
Les observations devinrent bientôt assez précises pour qu’on ne pût
songer à attribuer cette concordance au hasard. On ne pouvait donc
douter qu’il n’y eût certains rapports intimes entre les phénomènes
optiques et les phénomènes électriques. Mais la nature de ces
rapports nous échapperait peut-être encore si le génie de Maxwell ne
l’avait devinée.
Courants de déplacement
Tout le monde sait que l’on peut répartir les corps en deux
classes, les conducteurs où nous constatons des déplacements
de l’électricité, c’est-à-dire des courants voltaïques,
et les isolants ou diélectriques. Pour les anciens électriciens,
les diélectriques étaient purement inertes et leur rôle
se bornait à s’opposer au passage de l’électricité. S’il
en était ainsi, on pourrait remplacer un isolant quelconque
par un isolant différent sans rien changer aux phénomènes.
Les expériences de Faraday
ont montré qu’il n’en est
rien : deux condensateurs de même forme et de mêmes
dimensions, mis en communication avec les mêmes sources d’électricité,
ne prendront pas la même charge, bien que l’épaisseur de
la lame isolante soit la même, si la nature de la matière
isolante diffère. Maxwell
avait fait une étude trop
profonde des travaux de Faraday
pour ne pas comprendre l’importance
des diélectriques et la nécessité de leur restituer leur
véritable rôle.
D’ailleurs, s’il est vrai que la lumière ne soit qu’un phénomène
électrique, il faut bien, quand elle se propage à travers
un corps isolant, que ce corps soit le siège de ce phénomène ;
il doit donc y avoir des phénomènes électriques localisés
dans les diélectriques ; mais quelle peut en être
la nature ? Maxwell
répond hardiment :
ce sont des courants.
Toute l’expérience de son temps semblait le contredire ;
on n’avait jamais observé de courant que dans les conducteurs.
Comment Maxwell
pouvait-il concilier son audacieuse
hypothèse avec un fait si bien constaté ? Pourquoi,
dans certaines circonstances, ces courants hypothétiques produisent-ils
des effets manifestes et sont-ils absolument inobservables dans
les conditions ordinaires ?
C’est que les diélectriques opposent au passage de l’électricité,
non pas une résistance plus grande que les conducteurs, mais
une résistance d’une autre nature. Une comparaison fera mieux
comprendre la pensée de Maxwell.
Si l’on s’efforce de tendre un ressort, on rencontre une résistance
qui va en croissant à mesure que le ressort se bande. Si donc
on ne dispose que d’une force limitée, il arrivera un moment
où, cette résistance ne pouvant plus être surmontée,
le mouvement s’arrêtera et l’équilibre s’établira ;
enfin, quand la force cessera d’agir, le ressort restituera en
se débandant tout le travail qu’on aura dépensé pour le
bander.
Supposons, au contraire, qu’on veuille déplacer un corps plongé
dans l’eau ; ici encore on éprouvera une résistance,
qui dépendra de la vitesse, mais qui cependant, si cette vitesse
demeure constante, n’ira pas en croissant à mesure que le corps
s’avancera ; le mouvement pourra donc se prolonger tant
que la force motrice agira et l’on n’atteindra jamais l’équilibre ;
enfin, quand la force disparaîtra, le corps ne tendra pas
à revenir en arrière et le travail dépensé pour le faire
avancer ne pourra être restitué ; il aura tout entier
été transformé en chaleur par la viscosité de l’eau.
Le contraste est manifeste, et il est nécessaire de distinguer
la résistance élastique de la résistance visqueuse.
Alors les diélectriques se comporteraient pour les mouvements
de l’électricité comme les solides élastiques pour les
mouvements matériels, tandis que les conducteurs se comporteraient
comme les liquides visqueux. De là, deux catégories de courants :
les courants de déplacement ou de Maxwell
qui traversent les diélectriques,
et les courants ordinaires de conduction qui circulent dans
les conducteurs.
Les premiers, ayant à surmonter une sorte de résistance élastique,
ne pourraient être que de courte durée ; car, cette
résistance croissant sans cesse, l’équilibre serait promptement
établi.
Les courants de conduction, au contraire, devraient vaincre une
sorte de résistance visqueuse et pourraient par conséquent
se prolonger aussi longtemps que la force électro-motrice qui
leur donne naissance.
Reprenons la comparaison si commode que M. Cornu
a empruntée à l’Hydraulique. Supposons
que nous ayons dans un réservoir de l’eau sous pression ;
mettons ce réservoir en communication avec un tuyau vertical :
l’eau va y monter ; mais le mouvement s’arrêtera dès
que l’équilibre hydrostatique sera atteint. Si le tuyau est
large, il n’y aura pas de frottement ni de perte de charge, et
l’eau ainsi élevée pourra être employée pour produire
du travail. Nous avons là l’image du courant de déplacement.
Si au contraire l’eau du réservoir s’écoule par un tuyau horizontal,
le mouvement continuera tant que le réservoir ne sera pas vide ;
mais, si le tuyau est étroit, il y aura une perte de travail
considérable et une production de chaleur par le frottement ;
nous avons là l’image du courant de conduction.
Bien qu’il soit impossible et quelque peu oiseux de chercher
à se représenter tous les détails du mécanisme, on peut
dire que tout se passe comme si les courants de déplacement
avaient pour effet de bander une multitude de petits ressorts.
Quand ces courants cessent, l’équilibre électrostatique est
établi, et ces ressorts sont d’autant plus tendus que le champ
électrique est plus intense. Le travail accumulé dans ces
ressorts, c’est-à-dire l’énergie électrostatique, peut être
restitué intégralement dès qu’ils peuvent se débander ;
c’est ainsi qu’on obtiendra du travail mécanique quand on laissera
les conducteurs obéir aux attractions électrostatiques.
Ces attractions seraient dues ainsi à la pression exercée
sur les conducteurs par les ressorts bandés. Enfin, pour poursuivre
la comparaison jusqu’au bout, il faudrait rapprocher la décharge
disruptive de la rupture de quelques ressorts trop tendus.
Au contraire, le travail employé à produire des courants
de conduction est perdu et tout entier transformé en chaleur,
comme celui que l’on dépense pour vaincre les frottements ou
la viscosité des fluides. C’est pour cela que les fils conducteurs
s’échauffent.
Dans la manière de voir de Maxwell, il n’y a que des courants
fermés. Pour les anciens électriciens, il n’en était pas
de même ; ils regardaient comme fermé le courant qui
circule dans un fil joignant les deux pôles d’une pile. Mais
si, au lieu de réunir directement les deux pôles, on les
met respectivement en communication avec les deux armatures d’un
condensateur, le courant instantané qui dure jusqu’à ce que
le condensateur soit chargé était considéré comme ouvert ;
il allait, pensait-on, d’une armature à l’autre à travers
le fil de communication et la pile, et s’arrêtait à la surface
de ces deux armatures. Maxwell, au contraire, suppose que le
courant traverse, sous forme de courant de déplacement, la
lame isolante qui sépare les deux armatures et qu’il se ferme
ainsi complètement. La résistance élastique qu’il rencontre
dans ce passage explique sa faible durée.
Les courants peuvent se manifester de trois manières :
par leurs effets calorifiques, par leur action sur les aimants
et les courants, par les courants induits auxquels ils donnent
naissance. Nous avons vu plus haut pourquoi les courants de conduction
développent de la chaleur, et pourquoi les courants de déplacement
n’en font pas naître. En revanche, d’après l’hypothèse de
Maxwell, les courants qu’il imagine
doivent, comme les courants ordinaires, produire des effets électromagnétiques,
électrodynamiques et inductifs.
Pourquoi ces effets n’ont-ils encore pu être mis évidence ?
C’est parce qu’un courant de déplacement quelque peu intense
ne peut durer longtemps dans le même sens ; car la
tension de nos ressorts, sans cesse croissante, l’arrêterait
bientôt. Il ne peut donc y avoir dans les diélectriques,
ni courant continu de longue durée, ni courant alternatif sensible
de longue période. Les effets deviendront au contraire observables
si l’alternance est très rapide.
Nature de la lumière
C’est là, d’après Maxwell, l’origine de la lumière ;
une onde lumineuse est une suite de courants alternatifs qui
se produisent dans les diélectriques et même dans l’air ou
le vide interplanétaire, et qui changent de sens un quatrillion
de fois par seconde. L’induction énorme due à ces alternances
fréquentes produit d’autres courants dans les parties voisines
des diélectriques, et c’est ainsi que les ondes lumineuses
se propagent de proche en proche. Le calcul montre que la vitesse
de propagation est égale au rapport des unités, c’est-à-dire
à la vitesse de la lumière.
Ces courants alternatifs sont des espèces de vibrations électriques ;
mais ces vibrations sont-elles longitudinales comme celles du
son, ou transversales comme celles de l’éther de Fresnel
? Dans le cas du son, l’air
subit des condensations et des raréfactions alternatives. Au
contraire, l’éther de Fresnel
se comporte dans ses vibrations
comme s’il était formé de couches incompressibles, susceptibles
seulement de glisser l’une sur l’autre. S’il y avait des courants ouverts,
l’électricité se portant d’un bout à l’autre d’un de ces
courants s’accumulerait à l’une des extrémités ;
elle se condenserait ou se raréfierait comme l’air, ses vibrations
seraient longitudinales. Mais Maxwell
n’admet que des courants fermés ;
cette accumulation est impossible et l’électricité se comporte
comme l’éther incompressible de Fresnel
: ses vibrations sont transversales.
Vérification expérimentale
Ainsi nous retrouvons tous les résultats de la théorie des
ondes. Ce n’était pas assez pourtant pour que les physiciens,
séduits plutôt que convaincus, se décidassent à adopter
les idées de Maxwell
; tout ce qu’on
pouvait dire en leur faveur, c’est qu’elles n’étaient en contradiction
avec aucun des faits observés, et que c’eût été bien
dommage qu’elles ne fussent pas vraies. Mais la confirmation
expérimentale manquait : elle devait se faire attendre
vingt-cinq ans.
Il fallait trouver, entre la théorie ancienne et celle de Maxwell, une divergence qui ne fût
pas trop délicate pour nos grossiers moyens d’investigation.
Il n’y en avait qu’une dont on pût tirer un experimentum
crucis.
L’ancienne électrodynamique exige que l’induction électromagnétique
se produise instantanément ; d’après la doctrine nouvelle,
elle doit au contraire se propager avec la vitesse de la lumière.
Il s’agit donc de mesurer ou au moins de constater la vitesse
de propagation des effets inductifs ; c’est ce qu’a fait
l’illustre physicien allemand Hertz
par la méthode des interférences.
Cette méthode est bien connue par ses applications aux phénomènes
optiques. Deux rayons lumineux issus de la même source interfèrent
quand ils aboutissent au même point après avoir suivi des
chemins différents. Si la différence de ces chemins est égale
à une longueur d’onde, c’est-à-dire au chemin parcouru pendant
une période, ou à un nombre entier de longueurs d’onde, l’une
des vibrations est en retard sur l’autre d’un nombre entier de
périodes : les deux vibrations en sont donc à la même
phase, elles sont de même sens et s’ajoutent. Si, au contraire,
la différence de marche des deux rayons est égale à un
nombre impair de demi-longueurs d’onde, les deux vibrations sont
de sens contraire et se retranchent l’une de l’autre.
Les ondes lumineuses ne sont pas seules susceptibles d’interférence ;
tout phénomène périodique et alternatif se propageant avec
une vitesse finie produira des effets analogues. C’est ce qui
arrive pour le son, c’est ce qui doit arriver aussi pour l’induction
électrodynamique, si la vitesse de propagation en est finie ;
si au contraire cette propagation était instantanée, il n’y
aurait pas d’interférence.
Mais on ne pourrait mettre ces interférences en évidence
si la longueur d’onde était plus grande que les salles des
laboratoires, plus grande que l’espace que l’induction peut franchir
sans trop s’affaiblir. Il faut donc des courants de période
très courte.
Excitateurs électriques
Voyons d’abord comment on peut les obtenir à l’aide d’un appareil
qui est un véritable pendule électrique. Supposons deux
conducteurs réunis par un fil : s’ils ne sont pas au
même potentiel, l’équilibre électrique est rompu, de même
que l’équilibre mécanique est dérangé, quand un pendule
est écarté de la verticale. Dans un cas comme dans l’autre,
l’équilibre tend à se rétablir.
Un courant circule dans le fil et tend à égaliser le potentiel
des deux conducteurs, de même que le pendule se rapproche de
la verticale. Mais le pendule ne s’arrêtera pas dans sa position
d’équilibre : ayant acquis une certaine vitesse, il va,
grâce à son inertie, dépasser cette position. De même,
quand nos conducteurs seront déchargés, l’équilibre électrique
momentanément rétabli ne se maintiendra pas et sera aussitôt
détruit par une cause analogue à l’inertie : cette
cause, c’est la self-induction. On sait que quand un courant
cesse, il fait naître dans les fils voisins un courant induit
de même sens. Le même effet se produit dans le fil même
où circulait le courant inducteur qui se trouve ainsi pour
ainsi dire continué par le courant induit.
En d’autres termes, un courant persistera après la disparition
de la cause qui l’a fait naître, de même qu’un mobile ne
s’arrête pas quand la force qui l’avait mis en mouvement cesse
d’agir.
Quand les deux potentiels seront devenus égaux, le courant
continuera donc dans le même sens et fera prendre aux deux
conducteurs des charges opposées à celles qu’ils avaient
d’abord.
Dans ce cas comme dans celui du pendule, la position de l’équilibre
est dépassée : il faut, pour le rétablir, revenir
en arrière.
Quand l’équilibre est atteint de nouveau, la même cause le
rompt aussitôt et les oscillations se poursuivent sans cesse.
Le calcul montre que la période dépend de la capacité des
conducteurs ; il suffit donc de diminuer suffisamment
cette capacité, ce qui est facile, pour avoir un pendule
électrique susceptible de produire des courants d’alternance
extrêmement rapide.
Tout cela était bien connu par les théories de Lord Kelvin
et par
les expériences de Feddersen
sur la décharge
oscillante de la bouteille de Leyde. Ce n’est donc pas ce qui
constitue l’idée originale de Hertz.
Mais il ne suffit pas de construire un pendule, il faut encore
le mettre en mouvement. Pour cela, il faut qu’une cause quelconque
l’écarte de sa position d’équilibre, puis qu’elle cesse d’agir
brusquement, je veux dire dans un temps très court par
rapport à la durée d’une période ; sans cela il n’oscillera
pas.
Si, avec la main, par exemple, on écarte un pendule de la verticale,
puis, qu’au lieu de le lâcher tout à coup, on laisse le bras
se détendre lentement sans desserrer les doigts, le pendule,
toujours soutenu, arrivera sans vitesse à sa position d’équilibre
et ne la dépassera pas.
On conçoit donc que, avec des périodes d’un cent millionième
de seconde, aucun système de déclenchement mécanique ne
pourrait fonctionner, quelque rapide qu’il puisse nous paraître
par rapport à nos unités de temps habituelles. Voici comment
Hertz
a résolu le problème.
Reprenons notre pendule électrique, et pratiquons dans le fil
qui joint les deux conducteurs une coupure de quelques millimètres.
Cette coupure partage notre appareil en deux moitiés symétriques
que nous mettrons en communication avec les deux pôles d’une
bobine de Ruhmkorff. Le courant induit va
charger nos deux conducteurs et la différence de leur potentiel
va croître avec une lenteur relative.
D’abord, la coupure empêchera les conducteurs de se décharger ;
l’air qui s’y trouve joue le rôle d’isolant et maintient notre
pendule écarté de sa position d’équilibre.
Mais quand la différence de potentiel sera assez grande, l’étincelle
de la bobine éclatera et frayera un chemin à l’électricité
accumulée sur les conducteurs. La coupure cessera tout à
coup d’isoler et, par une sorte de déclenchement électrique,
notre pendule sera délivré de la cause qui l’empêchait
de retourner à l’équilibre. Si des conditions assez complexes,
bien étudiées par Hertz, sont remplies, ce déclenchement
est assez brusque pour que les oscillations se produisent.
Cet appareil, appelé excitateur, produit des courants qui
changent de sens de cent millions à un milliard de fois par
seconde. Grâce à cette fréquence extrême, ils peuvent
produire des effets d’induction à grande distance. Pour mettre
ces effets en évidence, on se sert d’un autre pendule électrique
nommé résonateur. Dans ce nouveau pendule, la
coupure du milieu et la bobine qui ne servent qu’au déclenchement
sont supprimées : les deux conducteurs se réduisent
à deux très petites sphères et le fil est recourbé en
cercle de manière à rapprocher les deux sphères l’une de
l’autre.
L’induction due à l’excitateur mettra ce résonateur en vibration
d’autant plus facilement que les périodes seront moins différentes.
À certaines phases de la vibration, la différence de potentiel
des deux sphères sera assez grande pour que des étincelles
jaillissent.
Production des interférences
On a ainsi un instrument qui met en évidence les effets de
l’onde d’induction partie de l’excitateur. On peut faire cette
étude de deux manières : ou bien exposer le résonateur
à l’induction directe de l’excitateur à grande distance ;
ou bien faire agir cette induction à petite distance sur un
long fil conducteur que l’onde électrique va suivre et qui
agira à son tour par induction à petite distance sur le résonateur.
Que l’onde se propage le long d’un fil ou à travers l’air, on
peut produire des interférences par réflexion. Dans le premier
cas, elle se réfléchira à l’extrémité du fil qu’elle
suivra de nouveau en sens inverse ; dans le second, elle
pourra se réfléchir sur une feuille métallique qui fera
office de miroir. Dans les deux cas, l’onde réfléchie interférera
avec l’onde directe et l’on trouvera des positions où l’étincelle
du résonateur s’éteindra.
Les expériences faites avec le long fil sont plus faciles ;
elles nous fournissent beaucoup de renseignements précieux,
mais elles ne sauraient servir d’experimentum crucis, car,
dans l’ancienne théorie comme dans la nouvelle, la vitesse
de l’onde électrique le long d’un fil doit être égale à
celle de la lumière. Les expériences sur l’induction directe
à grande distance sont au contraire décisives. Elles montrent
que non seulement la vitesse de propagation de l’induction à
travers l’air est finie, mais qu’elle est égale à la vitesse
de l’onde propagée le long d’un fil, conformément aux idées
de Maxwell.
Synthèse de la lumière
J’insisterai moins sur d’autres expériences de Hertz, plus brillantes, mais moins instructives. Concentrant avec un miroir parabolique l’onde d’induction émanée de l’excitateur, le savant allemand obtient un véritable faisceau de rayons de force électrique, susceptibles de se réfléchir et de se réfracter régulièrement. Les rayons, si la période, déjà si petite, était un million de fois plus courte encore, ne différeraient pas des rayons lumineux. On sait que le Soleil nous envoie plusieurs sortes de radiations, les unes lumineuses parce qu’elles agissent sur la rétine, les autres obscures, ultraviolettes ou infrarouges, qui se manifestent par leurs effets chimiques ou calorifiques. Les premières ne doivent leurs qualités qui nous les font paraître d’une autre nature, qu’à une sorte de hasard physiologique. Pour le physicien, l’infrarouge ne diffère pas plus du rouge que le rouge du vert ; la longueur d’onde est seulement plus grande : celle des radiations hertziennes est beaucoup plus grande encore, mais il n’y a là que des différences de degré et l’on peut dire, si les idées de Maxwell sont vraies, que l’illustre professeur de Bonn a réalisé une véritable synthèse de la lumière.
Conclusions
Il ne faut pas cependant que notre admiration pour tant de succès
inespérés nous fasse oublier les progrès qui restent à
accomplir. Cherchons donc à nous rendre compte exactement des
résultats qui sont définitivement acquis.
D’abord la vitesse de l’induction directe à travers l’air est
finie, sans quoi les interférences seraient impossibles. L’ancienne
électrodynamique est donc condamnée. Que doit-on
mettre à la place ? Est-ce la doctrine de Maxwell
(ou du moins quelque chose d’approchant,
car on ne saurait demander à la divination du savant anglais
d’avoir prévu la vérité dans tous ses détails). Bien
que les probabilités s’accumulent, la démonstration complète
n’est pas encore faite.
Nous pouvons mesurer la longueur d’onde des oscillations hertziennes ;
cette longueur est le produit de la période par la vitesse
de propagation. Nous connaîtrions donc cette vitesse si nous
connaissions la période ; mais cette dernière est
si petite que nous ne pouvons la mesurer : nous pouvons
seulement la calculer par une formule due à Lord Kelvin. Ce calcul conduit
à des chiffres qui sont d’accord avec la théorie de Maxwell; mais les derniers doutes
ne seront dissipés que quand la vitesse de propagation aura
été directement mesurée.
Ce n’est pas tout, les choses sont loin d’être aussi simples
qu’on pourrait le croire d’après ce court exposé. Diverses
circonstances viennent les compliquer.
D’abord il y a autour de l’excitateur un véritable rayonnement
d’induction : l’énergie de cet appareil rayonne donc
au dehors et, comme aucune source ne vient l’alimenter, elle
ne tarde pas à se dissiper et les oscillations s’éteignent
rapidement. C’est là qu’on doit chercher l’explication du phénomène
de la résonance multiple qui a été découvert par
MM. Sarasin
et de la Rive, et qui avait d’abord
paru inconciliable avec la théorie.
D’autre part, on sait que la lumière ne suit pas exactement
les lois de l’optique géométrique, et l’écart, qui produit
la diffraction, est d’autant plus considérable que
la longueur d’onde est plus grande. Avec les grandes longueurs
des oscillations hertziennes, ces phénomènes doivent prendre
une importance énorme et tout troubler. Sans doute il est heureux,
pour le moment du moins, que nos moyens d’observation soient
si grossiers, sans quoi la simplicité qui nous séduit au
premier abord, ferait place à un dédale où nous ne pourrions
nous reconnaître. C’est de là probablement que proviennent
diverses anomalies que l’on n’a pu expliquer jusqu’ici. C’est aussi
pour cette raison que les expériences sur la réfraction des
rayons de force électrique n’ont, comme je l’ai dit plus haut,
que peu de valeur démonstrative.
Il reste une difficulté qui est plus grave, mais qui n’est
sans doute pas insurmontable. D’après Maxwell, le coefficient d’induction
électrostatique d’un corps transparent devrait être égal
au carré de son indice de réfraction. Il n’en est rien, les
corps qui suivent la loi de Maxwell
sont des exceptions. On est
évidemment en présence de phénomènes beaucoup plus complexes
qu’on ne le croyait d’abord ; mais on n’a encore pu rien
débrouiller et les expériences elles-mêmes sont contradictoires.
Il reste donc beaucoup à faire. L’identité de la lumière
et de l’électricité est dès aujourd’hui autre chose qu’une
hypothèse séduisante : c’est une vérité probable,
mais ce n’est pas encore une vérité démontrée.11
1
Extrait de l’Annuaire pour l’an 1894, publié par le Bureau
des Longitudes.
Note I
Depuis que ces quelques lignes ont été écrites, un grand
pas a été fait. M. Blondlot
est en effet parvenu, grâce à
d’ingénieuses dispositions expérimentales, à mesurer directement
la vitesse d’une perturbation qui se propage le long d’un fil.
Le nombre trouvé diffère peu du rapport des unités, c’est-à-dire
de la vitesse de la lumière, qui est de 300.000 kilomètres
par seconde. Comme les expériences d’interférence faites
à Genève par MM. Sarasin
et de la Rive
ont montré, ainsi que
je l’ai dit plus haut, que l’induction se propage à travers
l’air avec la même vitesse qu’une perturbation électrique
qui suit un fil conducteur, nous devons conclure que la vitesse
de l’induction est la même que celle de la lumière, ce qui
est une confirmation des idées de Maxwell.
M. Fizeau
avait trouvé autrefois, pour
la vitesse de l’électricité, un nombre beaucoup plus faible,
180.000 kilomètres environ. Il n’y a là aucune contradiction ;
les phénomènes observés étaient en effet très différents.
Les courants dont se servait M. Fizeau
étaient intermittents, mais de
faible fréquence ; ils pénétraient jusqu’à
l’axe du fil ; les courants de M. Blondlot, alternatifs et de période très
courte, restaient superficiels et confinés dans
une couche mince de moins d’un centième de millimètre d’épaisseur.
On conçoit que les lois de la propagation ne soient pas les
mêmes dans les deux cas.
Note II
J’ai cherché plus haut à faire comprendre, par une comparaison,
l’explication des attractions électrostatiques et des phénomènes
d’induction ; voyons maintenant quelle idée se fait Maxwell
de la cause qui produit les
attractions mutuelles des courants.
Tandis que les attractions électrostatiques seraient dues à
la tension d’une multitude de petits ressorts, ou, en d’autres
termes, à l’élasticité de l’éther, ce seraient la force
vive et l’inertie de ce fluide qui produiraient les phénomènes
d’induction et les actions électrodynamiques.
Le calcul complet est beaucoup trop long pour trouver place ici,
et je me contenterai d’une comparaison. Je l’emprunterai à un
appareil bien connu, le régulateur à force centrifuge.
La force vive de cet appareil est proportionnelle au carré
de la vitesse angulaire de rotation et au carré de l’écartement
des boules.
D’après l’hypothèse de Maxwell, l’éther est en mouvement
dès qu’il y a des courants voltaïques, et sa force vive est
proportionnelle au carré de l’intensité de ces courants,
qui correspond ainsi, dans le parallèle que je cherche à
établir, à la vitesse angulaire de rotation.
Si nous considérons deux courants de même sens, cette force
vive, à intensité égale, sera d’autant plus grande que
les courants seront plus rapprochés ; si les courants
sont de sens contraire, elle sera d’autant plus grande qu’ils
seront plus éloignés.
Cela posé, poursuivons notre comparaison.
Pour augmenter la vitesse angulaire du régulateur, et par conséquent
sa force vive, il faut lui fournir du travail, et surmonter par
conséquent une résistance que l’on appelle son inertie.
De même, augmenter l’intensité des courants, c’est augmenter
la force vive de l’éther ; et il faudra pour le faire
fournir du travail et surmonter une résistance, qui n’est autre
chose que l’inertie de l’éther, et que l’on appelle l’induction.
La force vive sera plus grande si les courants sont de même
sens et rapprochés ; le travail à fournir et la force
contre-électromotrice d’induction seront donc plus grands.
C’est ce que l’on exprime, dans le langage ordinaire, en disant
que l’induction mutuelle des deux courants s’ajoute à leur self-induction.
C’est le contraire si les deux courants sont de sens opposé.
Si l’on écarte les boules du régulateur, il faudra, pour
maintenir la vitesse angulaire, fournir du travail, parce que,
à vitesse angulaire égale, la force vive est d’autant plus
grande que les boules sont plus écartées.
De même, si deux courants sont de même sens et qu’on les
rapproche, il faudra, pour maintenir l’intensité, fournir du
travail, puisque la force vive augmentera. On aura donc à surmonter
une force électromotrice d’induction qui tendrait à diminuer
l’intensité des courants. Elle tendrait au contraire à l’augmenter,
si les courants étaient de même sens et qu’on les éloignât,
ou s’ils étaient de sens contraire et qu’on les rapprochât.
Enfin, la force centrifuge tend à écarter les boules, ce
qui aurait pour effet d’augmenter la force vive si l’on
maintient la vitesse angulaire constante.
De même, quand les courants sont de même sens, ils s’attirent,
c’est-à-dire qu’ils tendent à se rapprocher, ce qui aurait
pour effet d’augmenter la force vive si l’on maintient l’intensité
constante. S’ils sont de sens contraire, ils se repoussent
et tendent à s’éloigner, ce qui aurait encore pour effet
d’augmenter la force vive à intensité constante.
Ainsi les phénomènes électrostatiques seraient dus à
l’élasticité de l’éther, et les phénomènes électrodynamiques
à sa force vive. Maintenant, cette élasticité elle-même
devrait-elle s’expliquer, comme le pense Lord Kelvin, par des rotations
de très petites parties de fluide ? Diverses raisons
peuvent rendre cette hypothèse séduisante, mais elle ne joue
aucun rôle essentiel dans la théorie de Maxwell, qui en est indépendante.
De même, j’ai fait des comparaisons avec divers mécanismes.
Mais ce ne sont que des comparaisons, et même assez grossières.
Il ne faut pas, en effet, chercher dans le livre de Maxwell
une explication mécanique
complète des phénomènes électriques, mais seulement l’exposé
des conditions auxquelles toute explication doit satisfaire.
Et ce qui fait justement que l’œuvre de Maxwell
sera probablement durable,
c’est qu’elle est indépendante de toute explication particulière.
Chapitre XI La Télégraphie Sans Fil (1909)
11 1 The subtitle of this article was : “Conférence de M. Henri Poincaré de l’Académie Française, avec le concours de M. Carpentier de l’Institut et du Commandant Ferrié”.Mesdemoiselles,
Quand une nouvelle découverte vient nous surprendre, il y a
un premier moment d’étonnement, mais il est de très courte
durée, parce que l’habitude émousse très vite l’admiration.
Il y a cinquante ans, la télégraphie ordinaire comblait nos
pères de stupeur. Comment un simple fil pouvait-il transmettre
la pensée instantanément aux extrémités du globe ?
Ils n’en revenaient pas, et nous les trouvons, aujourd’hui, un
peu faciles à l’enthousiasme. Pourtant, le phénomène est-il,
maintenant, moins mystérieux ? Pas le moins du monde,
nous ne savons pas mieux comment cela se fait ; seulement,
à force d’expédier des télégrammes, nous nous sommes
familiarisés avec lui, et il n’étonne plus personne. Nous
sommes surpris, au contraire, que la transmission puisse se faire
sans fil, parce qu’il s’agit d’une découverte récente qui
a ravivé dans nos âmes le sentiment si vite oublié du mystère
infini au milieu duquel nous sommes plongés. Et, cependant,
la découverte de la télégraphie sans fil n’a pas été
absolument imprévue ; pour les savants, la possibilité
théorique du phénomène était connue depuis longtemps.
On ne croyait pas, cependant, qu’il fût possible de construire
des appareils assez délicats pour le mettre en évidence à
de grandes distances. L’invention nouvelle n’est donc pas due
seulement, comme tant d’autres, à un hasard heureux. C’est un
savant anglais, Maxwell, qui l’a préparée, il y
a près de quarante ans, par d’ingénieuses hypothèses et
des calculs compliqués.
Vingt ans après, un Allemand, Hertz, a confirmé cette idée par des
expériences de laboratoire.
Voilà quels ont été les véritables inventeurs, et c’est
pour cela qu’on dit souvent : la télégraphie hertzienne,
pour parler de la télégraphie sans fil, qu’on appelle “signaux
hertziens” les signaux de cette télégraphie,
et qu’on appelle “ondes hertziennes”
ces messagers mystérieux qui transmettent ces signaux.
C’est seulement après que les techniciens se sont mis à l’œuvre
et nous ont donné l’instrument que nous possédons aujourd’hui.
Mais, après tout, le phénomène est-il, en réalité si
nouveau que cela ? Non, il n’est pas nouveau ; il
est connu des hommes depuis qu’il y a des hommes, parce que ce
phénomène n’est pas autre chose que la lumière. Le mécanisme
par lequel les ondes émanées des objets lumineux parviennent
jusqu’à nos yeux ne diffère pas de celui par lequel se transmettent,
à travers les airs, les signaux de la télégraphie hertzienne. (Applaudissements).
* * *
À quoi est due la lumière ? La lumière est due à
des courants électriques alternatifs qui se produisent dans
les corps transparents, dans l’air ou même dans le vide. C’est
ce que nous a appris Maxwell.22
2
Illustration : “Le
poste de télégraphie sans fil au sommet de la Tour Eiffel
(à droite on distingue l’antenne)”. Ce sont
des courants tout pareils qui agissent dans la télégraphie
hertzienne. Nous ne devrions donc pas plus nous étonner du
phénomène nouveau, que nous ne nous étonnons de la lumière.
Oui. Seulement, je prévois un certain nombre d’objections.
– Et, d’abord, me direz-vous, si les signaux de la télégraphie
sans fil sont de la lumière, comment se fait-il que nous ne
les voyons pas directement avec nos yeux ?
Pour expliquer cela, je suis obligé à une petite digression.
Tout le monde sait que la lumière peut être de différentes
couleurs ; seulement, il faut que je vous explique à
quoi tiennent les différences de couleur. La lumière, je
vous l’ai dit, est produite par des courants alternatifs ;
mais l’alternance de ces courants, ce qu’on appelle la fréquence
ou l’alternance, peut être plus ou moins rapide. Prenons, par
exemple, un courant ordinaire, le courant que les secteurs fournissent
à leurs abonnés : nous aurons quarante-deux alternances
par seconde, je veux dire quarante-deux voyages aller et quarante-deux
voyages retour. En télégraphie sans fil, on va beaucoup plus
loin, on n’a plus quarante-deux alternances, mais environ un
million par seconde ; dans la lumière ordinaire, l’alternance
est encore cinq cents millions de fois plus rapide.
Maintenant, pour ne pas sortir de la lumière ordinaire, l’alternance
est plus rapide pour le jaune que pour le rouge, pour le vert
que pour le jaune, plus rapide encore pour le bleu, et plus rapide
pour le violet que pour le bleu. C’est tout simplement cela qui
produit la différence des couleurs.
Il y a là quelque chose d’analogue à ce qui se passe pour
le son. Le son aussi est produit par des oscillations, mais avec
cette différence, qui est très importante, c’est que cette
fois-ci, ce n’est plus l’électricité qui exécute des voyages
d’aller et retour, c’est la matière elle-même, ce sont les
molécules de l’air. Ainsi, pour le son, ce sont les molécules
de l’air qui voyagent, tandis que, pour les ondes hertziennes,
c’est l’électricité.
Le nombre des alternances pour le son est beaucoup plus faible,
il est de 870 pour le la du diapason, de 500 pour l’ut
qui est en dessous, 1000 à peu près pour l’ut qui est
en dessus, et, en général, quand nous avons deux sons séparés
par un intervalle d’une octave, nous avons deux fois plus d’alternances
pour le son aigu que pour le son grave ; par conséquent,
la cause qui explique la différence des notes de la gamme,
en acoustique, explique, par une cause analogue, le différence
des couleurs à notre œil. Alors, il faudra dire qu’il y a
une octave du rouge au violet, et nous aurions vingt-neuf octaves
depuis le rouge jusqu’aux signaux hertziens, seize octaves depuis
les signaux hertziens jusqu’au courant industriel. (Vifs applaudissements).
* * *
Ces explications ont été un peu longues, et, maintenant,
je suis en mesure de répondre à l’objection que je formulais
tout à l’heure.33
3
Illustration : “Antenne
du poste de la Tour Eiffel”. Si les signaux hertziens
sont de la lumière, pourquoi ne les voyons-nous pas ?
Tout simplement parce qu’il y a des couleurs que nos yeux ne
peuvent pas voir, de même qu’il y a des sons que nos oreilles
ne peuvent pas entendre, parce que ces sons sont ou trop aigus
ou trop graves, et que nos oreilles ne sont pas conformées
pour les entendre.44
4
Illustration : “Poste
militaire au Maroc”. De même, nos yeux sont
conformés de façon à ne voir que les couleurs d’une seule
octave. Nous ne voyons pas les ondes hertziennes parce qu’elles
sont en dehors de cette octave.
Deuxième objection. Vous allez me dire :
– Mais, la lumière se propageant en ligne droite, le moindre
obstacle, par conséquent, suffit pour l’arrêter ; au
contraire, nous voyons les signaux hertziens sauter par-dessus
les Alpes, par-dessus les Pyrénées elles-mêmes, et n’être
pas arrêtés par la rotondité du globe terrestre.
Si les signaux hertziens sont de la lumière, ils devraient
être arrêtés comme la lumière par les obstacles. Si haute
que soit la Tour Eiffel, on n’en voit pas le sommet du Maroc !
La rotondité de la Terre s’y oppose. Par conséquent, les
signaux hertziens devraient être arrêtés par cette rotondité
qui constitue un obstacle énorme.
Comment se fait-il que nous puissions envoyer des signaux depuis
la Tour Eiffel jusqu’au Maroc ? Voici l’explication :
La lumière ne se propage pas rigoureusement en ligne droite,
elle se propage seulement à peu près en ligne droite, elle
peut contourner de petits obstacles. Ainsi, vous savez qu’à
l’aide d’un prisme, on peut obtenir un spectre brillamment coloré.
Mais il y a une autre manière d’obtenir un spectre brillamment
coloré. Supposez que vous traciez tout simplement, sur une
plaque de verre, des traits fins, très régulièrement espacés ;
en recevant la lumière sur cette plaque, vous aurez de même
des spectres colorés ; c’est ce qu’on appelle un réseau ;
et chacun de ces traits constitue, pour la lumière, un petit
obstacle. C’est en contournant cet obstacle que la lumière
est déviée de manière à réaliser de très brillantes
couleurs.55
5
Illustration : “Poste
militaire de télégraphie sans fil en campagne”.
Je vous dirai qu’on peut répéter l’expérience sans appareil.
Il suffit de considérer un objet suffisamment lumineux et suffisamment
petit, par exemple une fenêtre éclairée, qui renvoie, qui
réfléchit la lumière du Soleil, et qui est suffisamment
éloignée. Si vous regardez cette fenêtre en clignant des
yeux, de manière à la voir à travers vos cils, vous verrez,
de chaque côté, des spectres brillamment colorés, parce
que vos cils auront joué le rôle des traits du réseau.
Ce sont de petits obstacles, et la lumière, en contournant
ces petits obstacles, aura produit les couleurs. Pour mon compte,
dans ces conditions, je vois très bien, à droite et à gauche,
cinq spectres parfaitement nets. Seulement, vous allez me trouver
bien outrecuidant de comparer mes cils aux Alpes, aux Pyrénées,
ou à la majestueuse rotondité du globe terrestre. Mais, faites
attention, tout est relatif ! (Rires. Applaudissements).
On dit :
– Petits obstacles.
Qu’est-ce que cela veut dire ? C’est relatif ! Pour
un géant qui serait 500 millions de fois plus grand que nous,
une chaîne de montagnes ne serait qu’un obstacle insignifiant,
qui se comporterait tout à fait comme les cils ou les traits
du réseau. Il y a une condition : c’est que tout soit
proportionné, et toutes nos longueurs sembleront, à notre
géant, 500 millions de fois plus petites : 500 kilomètres
lui feront l’effet d’un millimètre. Mais, alors, le temps que
la lumière met à faire 500 kilomètres fera, pour lui, le
même effet que, pour nous, le temps que met la lumière à
parcourir un millimètre : en d’autres termes, si les
longueurs lui paraissent 500 millions de fois plus petites, les
durées lui paraîtront aussi 500 millions de fois plus courtes.
Alors, si nous considérons les ondes hertziennes, la durée
d’un de ces voyages aller et retour, dont je vous parlais tout
à l’heure, sera 500 millions de fois plus longue que pour la
lumière ; les ondes hertziennes seront donc, pour notre
géant, ce qu’est, pour nous, la lumière ordinaire, et, alors,
elles contourneront les chaînes de montagnes, obstacles insignifiants
pour notre géant, avec la même facilité que la lumière
visible contourne les obstacles, qui sont insignifiants pour
nous. (Vifs applaudissements).
* * *
Je n’en ai pas fini avec les objections. Il y en a une troisième,
il y en a beaucoup d’autres ; mais nous nous contenterons
de trois. J’ai parlé de courants alternatifs qui se produisent
dans l’air ; mais l’air n’est pas bon conducteur, tout le
monde sait qu’il ne conduit pas bien l’électricité, qu’il
ne peut pas y avoir de courant dans l’air. Il faut s’expliquer.
Non, l’électricité ne peut pas traverser l’air ; par
conséquent, il ne peut pas y avoir dans l’air de courant continu.
Et, cependant, des courants peuvent y naître, pourvu qu’ils
ne marchent pas trop longtemps de suite dans le même sens.
Permettez-moi une comparaison. Supposez une chèvre attachée
par une corde à un piquet, dans un pâturage ; cette
chèvre ne pourra pas voir beaucoup de pays, mais elle pourra
se donner beaucoup de mouvement. L’électricité, dans l’air,
est tout à fait dans la situation de cette chèvre.66
6
Illustration : “Chèvre
attachée à un piquet”.
Voilà les objections. Je suppose que vous avez compris la réponse
que j’y ai faite, et que je les considère comme écartées.
(Vifs applaudissements).
* * *
Nous allons voir, maintenant, comment on peut produire les signaux.
Voici l’appareil qui sert à produire les signaux. Nous avons
une bobine de Ruhmkorff
; les deux
bornes de cette bobine sont mises en communication avec ces deux
cylindres, entre lesquels l’étincelle va éclater. D’un côté,
le circuit est prolongé par cette petite spirale que vous voyez
là, et, de l’autre, est mis en communication avec l’autre pôle.
Vous voyez l’étincelle entre les deux cylindres et vous entendez
le bruit sec de l’étincelle. Ces étincelles sont de très
courte durée.
Je dois, d’abord, vous expliquer comment on peut se servir de
cette étincelle pour produire des signaux. Vous savez que les
télégraphistes se servent d’un alphabet particulier, qu’on
appelle alphabet Morse, où chaque lettre est représentée
par une série de points et de traits. Il y sont tellement habitués
qu’ils peuvent très bien, à l’audition, comprendre un télégramme,
rien qu’en entendant le bruit du manipulateur ou du récepteur.
Eh bien ! On peut produire ces signaux à l’aide d’étincelles.
Si le contact dure très peu de temps, nous avons un point ;
s’il dure plus longtemps, nous avons un trait. Un trait ne représente
pas une étincelle de très longue durée. Nous avons ce petit
appareil qui tourne et produit des interruptions périodiques
en assez grand nombre par seconde. Lorsque nous voulons produire
un trait Morse, nous faisons durer le contact un certain temps,
et voici ce qui se passe : au moment de la première
interruption, nous avons une étincelle qui dure un temps très
court, un cent millième de seconde ; nous avons, ensuite,
un silence prolongé, puis, à l’interruption suivante, une
nouvelle étincelle, et ainsi de suite, ce qui produit un trait
Morse qui dure un quart de seconde ; ce n’est pas une étincelle
qui dure un quart de seconde, c’est une série d’étincelles,
chacune de très courte durée, se succédant, et séparées
par des silences relativement longs.
Pour que l’appareil soit complet, il faudrait mettre, soit directement,
soit indirectement, en connexion avec cet appareil, une antenne.
Une antenne se compose, ordinairement, d’un fil métallique,
tendu verticalement tout le long d’un mât de cinquante mètres
de hauteur. J’ai renoncé à établir ici cette installation,
parce que j’ai craint que M Brisson
ne la trouvât un peu encombrante
(Rires) ; mais nous avons une antenne réduite. Vous
voyez que le fil, au lieu d’être tendu verticalement le long
d’un mât, est enroulé autour d’une colonne. De distance en
distance, on a intercalé des lampes pour que vous vous rendiez
compte de l’intensité du courant. Nous avons peut-être deux
cent mètres de fil ; seulement, comme un fil enroulé
comme cela n’est pas l’équivalent d’un fil étendu verticalement,
ceci équivaut, au point de vue des alternances, à une antenne
de cent mètres de haut.77
7
Illustration : “Chambre
de télégraphie sans fil à bord du Republic”.
* * *
Nous allons voir, maintenant, comment se répartit le courant.
Pour cela, nous allons recommencer l’émission des signaux.
Vous voyez que ces lampes brillent inégalement : celle
d’en bas brille beaucoup plus, la seconde brille déjà moins,
la troisième moins encore, et celle du haut ne s’allume pas.
Cela tient à ce que l’intensité du courant décroît depuis
la base de l’antenne jusqu’au sommet, et nous pouvons tirer des
étincelles tout le long de l’antenne. (Applaudissements).
Nous n’avons pas une véritable antenne, une antenne de cinquante
mètres ; mais cela ne fait rien, parce que nous n’avons
pas besoin d’envoyer des signaux au Maroc : il suffit de
les envoyer d’un bout de la salle à l’autre. (Rires).
Il faut que je vous explique à quoi sert l’antenne. Elle sert,
en particulier, à contourner les obstacles. Plus l’antenne
est haute, plus il est facile de contourner les obstacles, et
vous allez comprendre pourquoi. Le courant part, je suppose,
du bas de l’antenne et va jusqu’au sommet ; il revient,
puis, quand il est en bas, il remonte, et ainsi de suite. Nous
avons donc une série de voyages aller et retour ; plus
l’antenne est haute, plus les voyages sont longs. Par conséquent,
l’onde se trouve à la taille du géant dont je parlais tout
à l’heure, et pour lequel les longues durées équivalent
à ce que sont, pour nous, de courtes durées. Par conséquent,
plus l’antenne sera longue, plus ces voyages seront longs, plus
nous serons de la taille du géant, et, par conséquent, mieux
nous contourneront les obstacles qui sont, eux-mêmes, négligeables
aux yeux du géant dont nous parlions à l’instant.
* * *
Maintenant, nous avons envoyé des signaux, il s’agit de les
recevoir. Nous avons le poste transmetteur, muni d’une antenne,
comme je vous le disais tout à l’heure. Notre correspondant
aura aussi une antenne réceptrice, destinée à recevoir
les signaux. Seulement, l’énergie transmise s’affaiblit très
rapidement parce qu’elle se disperse dans toutes les directions.
Nous ne pouvons pas songer à la concentrer dans une direction
unique, par le moyen d’une lentille ou d’un miroir, comme on le
fait pour la lumière, parce que, rappelez-vous bien, tout doit
être proportionné, et alors il nous faudrait – toujours
la même proportion – des lentilles 500 millions de fois
plus grandes que les nôtres, et on n’en trouve pas chez les
opticiens ! Mais, si nous gaspillons notre énergie dans
toutes les directions, qu’est-ce qui va rester quand on sera
à 1000 ou 10.000 kilomètres ! Hélas ! Bien
peu de chose, à peine l’énergie nécessaire pour soulever
un milligramme, à un demi-dixième de millimètre de hauteur.
C’est là un travail bien minime, et que le premier microbe
venu pourrait exécuter sans fatigue. Et c’est, pourtant, ce
qu’il nous faut mettre en évidence. Il est vrai que ce travail
si faible est dépensé en un cent millième de seconde, de
sorte qu’il correspond encore à une puissance raisonnable quoique
de très courte durée. Néanmoins, on n’aurait pu arriver
au but, si Branly, et après lui d’autres savants,
n’avaient imaginé des appareils d’une incroyable délicatesse.
Voici un de ces appareils : c’est ce qu’on appelle le cohéreur.
Il se compose tout simplement d’un petit tube, et, dans ce petit
tube, se trouve de la limaille de fer. Que se passe-t-il alors ?
Dans l’état ordinaire, la résistance est très grande.
Je dois vous dire qu’il faut mettre les deux extrémités du
tube en communication, d’une part avec l’antenne réceptrice,
avec le circuit de l’antenne réceptrice, et, d’autre part, avec
les deux pôles d’une pile qui peut faire manœuvrer un appareil
télégraphique ordinaire.
Dans l’état ordinaire, la résistance est trop grande, de
sorte que le courant de la pile ne peut pas passer. Quand les
ondes hertziennes agissent, qu’arrive-t-il ? Il arrive
que, sous l’influence des ondes hertziennes, les grains de limaille
se collent les uns contre les autres ; alors, le courant
passe. Quand les ondes ont cessé d’agir, les grains restent
collés, de sorte que l’effet survit à la cause ; cette
cause qui est d’une puissance raisonnable, comme je vous le disais
tout à l’heure, mais très éphémère, cette cause agit
pendant un temps très court, mais son effet se prolonge après
que la cause a disparu, parce que les grains restent collés.
Alors, le courant de la pile peut durer assez longtemps pour
faire marcher un appareil télégraphique ordinaire. Puis,
quand on veut remettre les choses en état, décoller les grains
de limaille, on n’a qu’à donner un petit choc. On a un appareil
pour donner un petit choc sur le cohéreur, pour ramener le
cohéreur à son état primitif. Ceci, c’est l’appareil de
Branly.
Nous avons un appareil plus délicat encore, qu’on appelle le
détecteur électrolytique. Celui-ci sert pour les grandes
distances, et alors, au lieu de limaille, nous avons, dans le
tube, un liquide, avec deux petits fils qui pénètrent dans
ce liquide. Ici, le courant de la pile serait trop faible pour
actionner un appareil télégraphique ordinaire ; mais
on peut le faire agir sur un téléphone parce que l’oreille
humaine est un instrument d’une sensibilité exquise et qu’on
ne saurait jamais trop admirer ; par conséquent, elle
nous décèle des courants beaucoup trop faibles pour actionner
des appareils lourds : les appareils de la télégraphie
ordinaire. (Applaudissements).
* * *
En résumé, nous avons donc deux postes : l’un qui transmet
les signaux, le poste d’émission, et l’autre qui les reçoit,
le poste récepteur. Chacun d’eux comporte une antenne. Au poste
d’émission, nous avons une antenne qui est reliée, soit directement,
soit indirectement, au circuit où éclate l’étincelle ;
le circuit est relié, d’une part à l’antenne, d’autre part
au sol. Au poste de réception, notre antenne est reliée soit
au détecteur électrolytique, soit au détecteur de Branly, ou cohéreur.
Il s’agit d’expliquer ce qui se passe, comment les signaux peuvent
se transmettre. Je vous rappelle une chose : quand deux
conducteurs sont placés l’un près de l’autre, et qu’on fait
naître un courant alternatif dans l’un deux, il se produit,
par sympathie pour ainsi dire, un courant secondaire dans le
second conducteur voisin. C’est ce qu’on appelle le phénomène
de l’induction. Je vous ai dit, tout à l’heure, que, pour les
courants d’une fréquence suffisante, l’air se comporte comme
un véritable conducteur, comme un conducteur d’une nature particulière.88
8
Illustration : “M. le
commandant Ferrié”.
Nous avons un courant alternatif dans l’antenne d’émission,
nous avons l’air qui est à côté de cette antenne, qui constitue
comme un conducteur voisin de l’antenne. Dans ce conducteur,
par induction, va naître un courant secondaire ; ce
courant, à son tour, va agir vers les couches d’air qui sont
un peu plus loin par le même mécanisme, et nous avons un
courant un peu plus loin, et ainsi de suite. Les ondes iront
constamment en se propageant, jusqu’à ce que, finalement, elles
atteignent les couches d’air qui sont voisines de l’antenne réceptrice.
Dans ces couches d’air, nous allons avoir un courant alternatif,
qui, par induction, fera naître un courant alternatif dans
l’antenne de réception elle-même.
* * *
Si vous le voulez, nous allons, maintenant, transmettre des signaux.
Nous allons avoir le poste d’émission au fond de la salle ;
le poste de réception sera ici : le voici. Il était
resté couvert jusqu’ici, parce que les étincelles de cet
appareil éclateraient trop près et pourraient abîmer l’appareil.
On vient de le découvrir, on l’a mis en communication avec
ce fil qui joue le rôle d’antenne ; le fil est accroché
là-haut, il ne s’en va pas dehors, par conséquent, il n’y
a pas de trucage. (Rires).
Voilà l’appareil qui se déroule, on envoie des signaux. Nous
avons ici le cohéreur de Branly, que je vous montrais tout à
l’heure, et, ici, nous avons un petit marteau qui vient frapper,
après chaque émission, le tube de façon à décoller
les grains de limaille. Voici un appareil beaucoup plus sensible
pour les grandes distances. Nous avons ici le second cohéreur
dont je vous parlais, le détecteur électrolytique, qui est
beaucoup plus sensible, qui sert pour les grandes distances.
Cet appareil est dû au commandant Ferrié, qui a ainsi fait faire à la
télégraphie sans fil un progrès considérable.
Voici un poste de réception muni d’un téléphone. On place
alors tout simplement le téléphone aux oreilles, et on entend
des sons, à peu près ce que vous entendiez du fond de la
salle ici.
Voilà donc en quoi consiste la réception des signaux.
Les avantages de la télégraphie sans fil, comme aussi ses
inconvénients, sont évidents à première vue. Les signaux
que nous envoyons s’en vont dans tous les sens ; nous n’avons
donc pas besoin de savoir où est notre correspondant. Il sera
très facile de correspondre avec un poste mobile, par exemple
avec un navire en mer. Autrefois, quand on s’embarquait et qu’on
avait perdu le port de vue, on était séparé du monde. Jusqu’à
la fin de la traversée, on ne pouvait ni recevoir ni envoyer
de nouvelles, et cela même n’était pas sans agrément. (Rires).
On prenait la mer absolument dégoûté de la presse quotidienne
et on se disait :
– Ah ! Enfin, pendant huit jours, je n’entendrai plus parler
de M Steinheil
!
Et, quand on débarquait, on retrouvait les journaux avec plaisir.
(Rires).
Aujourd’hui, hélas ! au milieu même de l’Atlantique,
on tremble à tout moment d’apprendre la chute du ministère !
(Rires).
C’est donc la marine surtout qui a bénéficié de l’invention
nouvelle. Mais c’est aussi l’armée. On comprend combien elle
doit être précieuse en campagne, quand les fils ordinaires
sont coupés et qu’il faudrait du temps pour en installer de
nouveaux. Nous ne devons donc pas nous étonner de voir au premier
rang de ceux qui s’occupent de ces questions quelques uns des
officiers les plus distingués de nos armées de terre et de
mer. Heureusement, il n’est pas rare de trouver, chez les mêmes
hommes, l’intelligence du savant réunie au courage du soldat.
Cela est fréquent dans toutes les armées, mais plus fréquent
encore dans l’armée française ! (Applaudissements).
Permettez-moi de vous citer particulièrement deux noms :
celui de M. le lieutenant de vaisseau Tissot, dont les expériences nous
ont appris beaucoup de choses intéressantes sur la nature des
ondes hertziennes, et celui de M. le commandant Ferrié, dont je viens déjà de vous
parler, qui a fait des travaux scientifiques remarquables, et
qui vient de passer six mois au Maroc. C’est grâce à lui
que, pendant toute la durée de cette pénible campagne, nos
troupes de Casablanca ont pu rester en communications constantes
avec la mère patrie. (Applaudissements).
Tout à l’heure, je vous projetterai un certain nombre de postes
qu’il avait fait établir au Maroc.
Sur mer, l’utilité de la télégraphie sans fil n’est pas
moindre, et on a pu, récemment, s’en rendre compte. Le paquebot
le Republic approchait des côtes d’Amérique, quand il
est entré en collision avec un bateau italien. Le bâtiment
sombrait rapidement, malgré les efforts de l’équipage. Heureusement,
le télégraphiste n’a pas perdu la tête ; il est resté
courageusement à son poste ; ses signaux désespérés
ont volé dans toutes les directions à l’adresse du sauveteur
inconnu. De tous les points de l’horizon, les secours ont afflué.
Ils sont arrivés à temps pour sauver les malheureux passagers.99
9
Illustration : “Schéma
de la collision des paquebots Republic et Florida montrant
la situation des postes de télégraphie sans fil qui perçurent
les ondes hertziennes”. (Applaudissements).
* * *
Nous avons suffisamment fait l’éloge de la télégraphie
sans fil ; il est temps de parler de ses inconvénients
et des efforts que l’on fait pour y remédier.
Chaque poste se fait entendre à des milliers de kilomètres,
dans toutes les directions. Que va-t-il arriver quand les postes
se seront multipliés ? Oh ! mon Dieu, c’est bien
simple, ce sera comme si, dans cette salle, nous nous mettions
à parler haut tous à la fois. Il en résultera, probablement,
quelque confusion, et un pareil milieu serait peu propice aux
confidences un peu délicates. Le palais de la Bourse ne donnerait
qu’une image incomplète de ce que sera, dans peu de temps,
le monde de la télégraphie sans fil.
Ainsi donc, deux difficultés : préserver le secret
de la correspondance et empêcher la confusion des signaux.
Pour le premier point, on peut écrire en chiffres. Pour le
second, il faut chercher un autre remède. On n’a trouvé,
jusqu’à présent, que des atténuations. Une des ces atténuations
est ce qu’on appelle la syntonie. C’est ce que je vais vous expliquer.1010
10
Illustration :
“Signaux de l’alphabet Morse”.
Supposons un diapason qui donne une certaine note, par exemple
le la naturel. Si nous produisons un son dans le voisinage,
si ce son n’est pas un la, si, même, c’est un la bémol
ou un la dièse, notre diapason ne bronchera pas ;
si, au contraire, le son que nous émettons est un la naturel,
notre diapason va se mettre à vibrer par sympathie :
c’est ce qu’on appelle la résonance. Ainsi, le diapason se comporte
comme un détecteur pour le son ; mais c’est un détecteur
qui n’est sensible qu’à une seule note. Pour les ondes hertziennes,
il se passe un phénomène tout à fait analogue. Chaque antenne
donne toujours des vibrations de même fréquence et le même
nombre de voyages aller et retour ; elle donne de la lumière
invisible toujours de la même couleur, de même que le diapason
donne toujours la même note. Si deux antennes sont accordées,
si elles sont à l’unisson, c’est-à-dire si la fréquence
est la même pour l’une et pour l’autre, chacune d’elles recevra
les signaux de l’autre beaucoup mieux qu’elle ne recevrait ceux
d’une troisième antenne qui serait désaccordée, dont la
fréquence serait plus lente ou plus rapide. Nous allons voir
cela.1111
11
Illustration : “Poste de la
Guadeloupe”.
Nous allons toujours nous servir du même appareil d’émission ;
l’appareil de réception sera remplacé par le circuit que
nous constituons ici. Vous voyez ici une lampe ; cette
lampe va s’allumer quand le courant sera suffisamment intense.
Voilà l’appareil d’émission qui est capable d’émettre une
certaine note, voici l’appareil de réception, appareil qui,
s’il fonctionnait comme appareil d’émission, donnerait une note
propre, d’une fréquence constante. Nous pouvons faire varier
cette fréquence en tournant cette vis. Le condensateur avance
ou recule, et cela fait varier la fréquence, la note propre
de l’appareil de réception ; nous pouvons profiter de
cela pour mettre les deux appareils à l’unisson. Dans ce moment-ci,
nous ne sommes pas à l’unisson, vous ne voyez rien. On change
la note, nous approchons de l’unisson, la lampe commence à
s’allumer ; nous voici à l’unisson, la lampe brille.
Si nous faisons cesser l’unisson, la lampe s’éteint. (Applaudissements).
Vous voyez donc qu’il est possible d’avoir des appareils de réception
qui ne répondent qu’à un appareil d’émission qui est à
l’unisson. À ce compte, on ne sera entendu qu’avec les correspondants
qui seront accordés, on ne troublera pas les voisins à qui
on n’a rien à dire, et on pourrait même, semble-t-il, se
risquer à dire des secrets.
N’allons pas trop vite : la syntonie est encore bien imparfaite,
la résonance électrique est beaucoup moins nette que la résonance
acoustique ; nos antennes ont l’oreille beaucoup moins
musicienne que nos diapasons. Non seulement ils ne distingueront,
ils ne discerneront pas les demi-tons, mais ils apprécieront
même mal une tierce ! Ainsi, laissez-moi vous raconter
une anecdote. Il y a quelques années, la flotte allemande revenait
de Chine et passait près d’Ouessant ; elle était munie
d’appareils de syntonie très perfectionnés, dus au génie
d’un savant allemand très renommé. Les postes d’Ouessant entendirent
très bien le signal envoyé, du vaisseau amiral, à un bâtiment
de l’escadre, et aussi la réponse de ce bâtiment.
– Répétez, pas compris.
Ainsi, ceux qui n’auraient rien dû entendre parce qu’ils étaient
désaccordés, avaient mieux compris que le bâtiment qui
était accordé et qui demandait, pourtant, qu’on répétât.
(Rires).
D’où vient cette différence entre la résonance électrique
et la résonance acoustique ? Pourquoi est-elle bien
meilleure en acoustique qu’en électricité ? Voici pourquoi :
c’est que les vibrations électriques vont en s’affaiblissant
rapidement, et, au bout de dix vibrations, elles sont à peu
près totalement éteintes. Si je fais balancer ce petit pendule
que vous voyez, au bout de très peu de temps les vibrations
s’éteignent. Les vibrations électriques se comportent de
même, tandis que les vibrations acoustiques continuent longtemps
sans décroître d’intensité. C’est pour cela que la résonance
est moins bonne maintenant pour l’électricité.
Vous n’apercevez peut-être pas très bien la conséquence.
Je ne voudrais pas vous faire le petit calcul qui pourrait servir
à la justifier, bien que ce calcul soit tout à fait élémentaire
et puisse être compris des élèves de première année
de l’École Polytechnique. Dans tous les cas, admettons le résultat :
c’est parce que les vibrations s’éteignent trop rapidement que
nous ne pouvons obtenir une bonne résonance. Le problème,
c’est d’avoir des vibrations électriques entretenues, vibrations
éléectriques qui ne s’affaiblissent pas, et de les entretenir
pendant un certain temps.
On y est arrivé. Nous avons ici un appareil : c’est un
arc électrique disposé d’une certaine manière. Cet arc
est enfermé. La lumière en serait trop vive, enfermé dans
une boîte ; mais, à travers les fentes, vous pouvez
vous rendre compte qu’il y a un arc allumé dans la boîte.
Vous venez d’entendre un son ; voici l’origine de ce son :
nous avons, dans l’appareil, des vibrations électriques, des
oscillations électriques, et nous avons aussi des oscillations
acoustiques. Il ne faut pas confondre ces deux phénomènes.
Les oscillations acoustiques sont un effet secondaire des oscillations
électriques, parce que ces courants alternatifs échauffent
périodiquement l’air, ce qui le fait vibrer. Seulement, il
n’en est pas moins vrai que ces oscillations acoustiques, que
vous pouvez entendre, nous prouvent l’existence des vibrations
électriques qui leur ont donné naissance, et même que la
fréquence des unes peut vous donner une idée de la fréquence
des autres.
Vous voyez que nous n’avons plus, comme tout à l’heure, un bruit
sec correspondant à des étincelles de très courte durée ;
nous avons un bruit continu et nous avons un son musical qui
correspond à des vibrations régulières se prolongeant pendant
un certain temps. En appuyant sur certaines touches, je puis
faire varier la fréquence des oscillations électriques ;
on peut varier, en même temps, la note émise.
Ainsi, au lieu d’une étincelle brillante, mais éphémère,
nous avons un arc persistant, et les vibrations électriques
sont constamment entretenues, de sorte que nous avons quelque
chose d’analogue au desideratum que je formulais tout à
l’heure, qui va nous permettre d’obtenir une syntonie meilleure.
Maintenant, l’arc chantant que nous venons de voir ne pourrait
servir en télégraphie sans fil. En effet, la fréquence
est beaucoup trop faible : elle est à peine de quelques
centaines d’alternances par seconde, tandis qu’il nous en faudrait
à peu près mille fois plus. L’installation d’un arc à fréquences
rapides aurait présenté certaines difficultés, et, d’ailleurs,
le son correspondant aurait été trop aigu, et vous n’auriez
rien entendu, parce que, de même que nos yeux ne peuvent pas
voir toutes les couleurs, nos oreilles ne peuvent entendre ni
les sons trop graves, ni les sons trop aigus ; vous auriez
vu un arc, vous auriez vu une lumière, mais vous n’auriez rien
entendu, vous n’auriez pas vu en quoi cet arc différait des
arcs d’éclairage ordinaires. Qu’il me suffise de vous dire qu’on
a pu réaliser des arcs analogues à celui-ci, mais donnant
une fréquence convenable pour la télégraphie hertzienne.1212
12
Illustration :
“L’antenne de télégraphie sans fil surajoutée
au mât du pavillon du Consulat de France à Casablanca”.
Il y a eu quelques difficultés, par exemple. On prend, ordinairement,
une électrode creuse et on la refroidit par un courant d’eau ;
l’une des deux électrodes doit rester froide. Ceci, ce sont
des détails ; l’essentiel est de savoir qu’en somme,
la difficulté a été vaincue, et il est probable que les
conséquences de cette nouvelle découverte ne tarderont pas
à se faire sentir, et qu’on obtiendra alors une syntonie plus
parfaite, et qu’on pourra converser sans troubler ses voisins.
Mais ce n’est pas tout. Il y a, là aussi, la source d’une autre
découverte, la solution d’un autre problème : celui
de la téléphonie sans fil. La téléphonie sans fil sortira
bientôt de la période des essais. Ainsi je vous ai dit, tout
à l’heure, qu’à grandes distances on se servait du téléphone ;
mais ce qu’on entend n’est pas la parole, ce qu’on entend, ce
sont les signaux de l’alphabet Morse, ce sont des bruits secs
comme ceux que vous entendiez tout à l’heure quand on faisait
l’émission à l’autre bout de la salle. Bientôt, ce ne seront
plus les signaux de l’alphabet Morse qu’on entendra, ce sera la
parole elle-même, ce sera la téléphonie sans fil, et j’ai
tort de parler au futur parce que, maintenant, les expériences
sont assez avancées et ont déjà donné de très bons
résultats.1313
13
Illustration : “M. Branly et ses appareils de télégraphie sans fil”.
(Longs applaudissements).
Il y a un autre problème qui est sur le point d’être résolu :
le problème de la télégraphie dirigée. Je vous ai dit
qu’on envoyait des signaux dans toutes les directions. On a un
moyen d’envoyer des signaux dans une direction désignée.
Au lieu d’une antenne, supposons que nous ayons deux antennes,
que je représente par ces deux objets que vous voyez. Alors,
que va-t-il se passer ? Je suppose que je veuille envoyer
des signaux dans cette direction, très loin. Si je m’éloigne
très loin dans cette direction, je serai toujours à égale
distance des deux antennes ; si, au contraire, je m’éloigne
très loin par ici, je serai plus près de l’une des antennes
que de l’autre, de sorte que les signaux les plus éloignés
vont m’arriver avec un certain retard. Que va-t-il se passer ?
Quand celle-ci sera au voyage de retour, l’autre, étant en
retard, paraîtra être au voyage d’aller ; un peu après,
celle-ci sera au voyage de retour, et l’autre au voyage d’aller,
de sorte que les effets se contrarieront constamment. Dans ce
sens, on ne recevra rien ; dans l’autre, au contraire,
on recevra très bien. C’est là le système que Tosi
et Bellini
ont mis en essai, qui n’est pas encore
entré dans la pratique courante, mais qui a donné, dans les
essais, des résultats satisfaisants. (Vifs applaudissements).
* * *
Vous voyez, Mesdemoiselles, par cet exposé, les résultats
déjà obtenus, et quels sont les résultats que l’on peut
espérer à bref délai. Pour le moment déjà, les résultats
sont merveilleux, puisque nous allons à des distances qu’on
n’aurait jamais espéré franchir. Le principal progrès qui
reste à accomplir est justement d’empêcher la confusion des
signaux par le moyen de la syntonie. Cette syntonie est sur le
point d’être réalisée. La direction des ondes restera,
il faut bien le dire, encore longtemps très imparfaite ;
mais on peut espérer que, pour la syntonie, le petit instrument
de musique que vous admiré tout à l’heure, l’arc chantant,
nous donnera promptement la solution.
Nous sommes encore à une période d’essais ; mais j’espère,
dans ce court entretien, vous avoir donné cette idée que
l’intelligence de l’homme ne connaîtra bientôt plus d’obstacles.
Vous avez vu, en effet, que les problèmes qui auraient parus
insolubles, il y a dix années à peine, sont abordés, maintenant,
hardiment par nos techniciens, grâce aux découvertes théoriques
de Maxwell
et de Hertz, dont il faut retenir les noms.
Je ne veux pas abuser davantage de votre bienveillante attention,
et je vous en remercie. (Applaudissements prolongés. L’illustre
savant est acclamé. Les expériences, dirigées par
M. Carpentier, de l’Institut, et le commandant
Ferrié, ont brillamment réussi).
Chapitre XII Le Libre Examen en Matière Scientifique (1909)
11 1 The subtitle of this article was: “Par Henri Poincaré, membre de l’Académie Française et de l’Académie des Sciences”.Mesdames, Messieurs,
Vous trouverez peut-être que j’ai choisi un sujet bien général
et un titre bien ambitieux ; je ne songe pourtant pas
à m’en excuser. Je ne pouvais pas, comme d’autres le font, vous
entretenir de mes études quotidiennes ; elles sont un
peu…comment dirai-je, ésotériques, et bien des auditeurs
aiment mieux les révérer de loin que de près, et alors
j’étais bien forcé de rester dans les généralités.
D’ailleurs, je ne pouvais oublier que la maison qui me donne
aujourd’hui l’hospitalité est avant tout une maison de liberté,
et qu’on y est toujours bien accueilli quand on y parle de liberté.
Permettez-moi d’ajouter que ce choix, c’est une idée de M. Le
Recteur, idée que, du reste, j’ai saisie avec empressement.
La liberté est pour la Science ce que l’air est pour l’animal ;
privée de liberté, elle meurt d’asphyxie comme un oiseau
privé d’oxygène. Et cette liberté doit être sans limite,
parce que, si on voulait lui en imposer, on n’aurait qu’une demi-science,
et qu’une demi-science, ce n’est plus la science, puisque cela
peut être, cela est forcément une science fausse. La pensée
ne doit jamais se soumettre, ni à un dogme, ni à un parti,
ni à une passion, ni à un intérêt, ni à une idée
préconçue, ni à quoi que ce soit, si ce n’est aux faits
eux-mêmes, parce que, pour elle, se soumettre, ce serait cesser
d’être.
Depuis les temps lointains où il interdisait à nos premiers
parents de toucher à l’arbre de la science, les idées du
bon Dieu se sont sans doute bien élargies ; j’imagine
que ce merveilleux artiste qui a fait le monde ne veut pas que
cette incomparable œuvre d’art demeure inutile, faute d’admirateurs ;
il ne veut pas non plus qu’on n’en connaisse qu’une mauvaise reproduction
artificiellement mutilée. Si nous pouvions entendre sa voix,
je crois qu’elle nous dirait : “Regardez
bien et regardez tout”, et non pas : “Ne
regardez pas de ce côté, attendez qu’on ait mis à la Vérité
une feuille de vigne”.
Si les bûchers sont éteints pour toujours, il arrive encore
qu’un homme est puni pour avoir pensé. S’il est rare qu’il paye
ses idées de sa vie, ou même de sa liberté, elles sont
pour lui trop souvent l’origine de mille tracasseries sournoises ;
elles l’exposent à la perte de sa place ou aux taquineries
haineuses de persécuteurs hypocrites qui n’ont plus le courage
d’être de francs inquisiteurs. C’est encore trop ; il
est clair que s’il faut être un héros pour ouvrir les yeux
et pour oser dire ce qu’on a vu, il y aura bien peu de gens qui
se serviront loyalement de la vue ou de la parole, parce qu’en
ce monde les héros seront toujours rares ; et ce qui
est plus grave, c’est qu’il y aura des hommes qui se tromperont
et qui nous tromperont, parce que, ne regardant qu’en tremblant,
ils croiront de bonne foi avoir vu ce qu’il est le moins dangereux
de voir. Il faut donc que toute contrainte légale ou sociale
exercée sur la pensée disparaisse autant que la nature humaine
le permet.
Je rougirais d’insister, mais cela, ce n’est que la liberté
extérieure, et cela ne suffit pas ; les pires chaînes
sont celles que nous nous forgeons à nous-mêmes et c’est
aussi de celles-là qu’il convient de s’affranchir.
Si vous abordez l’étude des phénomènes avec une croyance
préconçue, qui vous est chère parce que vous l’avez sucée
avec le lait, parce que les maîtres à qui vous la devez
sont des hommes vertueux et dignes de respect, si, de plus, vous
êtes persuadé que vous ne sauriez y renoncer sans crime,
par quels conflits douloureux n’allez-vous pas passer, si les
faits viennent à la démentir ? C’est à cette angoisse
que beaucoup de savants éminents qui ont conservé leur foi
toute entière ou des traces de leur foi se trouvent tous les
jours exposés, et il leur faut, pour affronter la lumière,
pour pouvoir appliquer aux faits une critique impartiale, et,
après cette critique, se soumettre aux faits sans réserve,
plus de courage qu’à nous autres ; il leur faut un esprit
mieux trempé et peut-être plus vraiment libre.
Mais de tels hommes sont rares. Combien d’autres croiront de
bonne foi faire de la science impartiale, parce qu’ils font quelquefois
appel au témoignage des faits ? C’est vrai, mais ils
les interrogent comme les présidents d’assises d’autrefois,
ceux de la vieille école, interrogeaient les témoins ;
ils ne les laissaient tranquilles que quand ils avaient dit ce
qu’on voulait qu’ils dissent. Et c’était cela que ces magistrats
appelaient de la justice, et c’est cela que ces soi-disant savants
appellent de la science.
Je voudrais étudier de plus près le mécanisme par lequel
ces hommes de bonne foi sont entraînés, à leur insu, par
leurs idées préconçues, et souvent jusqu’à l’erreur. Les
faits sont susceptibles de plusieurs interprétations, parce
qu’ils ne sont jamais qu’imparfaitement connus. Parmi ces interprétations,
il y en a qui sont plus vraisemblables que d’autres. Malheureusement,
l’appréciation de la vraisemblance est une chose délicate,
fugitive, éminemment subjective, sur laquelle tous les bons
esprits ne peuvent toujours s’accorder. Ils ne tombent d’accord
que quand les vraisemblances s’accumulent et, sans jamais atteindre
la certitude mathématique, engendrent la certitude pratique.
Eh bien, de deux interprétations d’un fait, l’homme asservi
à un dogme ne choisira pas celle qu’il jugerait la plus raisonnable
s’il ne connaissait que ce fait isolé, mais celle qui est la
moins contraire à la vérité qu’il croyait connaître avant
de l’avoir observé. C’est celle-là qu’il regardera comme vraisemblable
et, jusqu’ici, il est dans son droit. L’explication peut sembler
étrange, mais, après tout, il arrive en ce monde des choses
étranges.
Seulement, après ce fait, il en observera un second, puis un
troisième ; et pour chaque fait il trouvera une explication
nouvelle ; comme chacune d’elles ne sera qu’à demi-invraisemblable,
il croira que tout est sauvé ; il ne s’apercevra pas
que les invraisemblances s’accumulent et il n’osera pas s’avouer
à lui-même qu’il aurait reculé devant ce faisceau d’absurdités
si elles s’étaient présentées à lui à la fois, et non
pas l’une après l’autre. Il sera très fier parce qu’il pourra
dire : “Nous avons réponse à tout !”.
Ce sont les avocats qui…(Messieurs, il y a peut-être des
avocats parmi vous ; je leur fais toutes mes excuses,
mais je continue tout de même). Ce sont les avocats qui se
contentent à si bon marché et qui sont satisfaits quand ils
n’ont pas été réduits au silence ; leur métier
n’est pas de chercher la vérité, mais de faire croire qu’ils
la possèdent.
Pour le vrai savant, il ne s’agit pas d’abuser de la naïveté
d’un juge ; il faut qu’il ait l’esprit assez libre pour
se faire son propre juge et pour apprécier à sa valeur un
échafaudage artificiel, dont les pièces avaient pu le séduire
tant qu’elles restaient séparées.
N’allez pas comprendre au moins que je veux interdire la Science
aux hommes de foi, et en particulier aux catholiques. À Dieu
ne plaise ! Je ne serais pas assez bête pour priver
l’humanité des services d’un Pasteur. Il y a des hommes qui oublient leur
foi en entrant au laboratoire ; dès qu’ils ont revêtu
leur costume de travail, ils savent regarder la vérité en
face, et ils ont autant d’esprit critique que personne. C’est
là tout ce qu’on peut leur demander.
J’en connais beaucoup et Pasteur
n’est que le plus illustre. Mais,
rappelez-vous le bien ; Pasteur
a été élève de l’École normale.
Là il était dirigé par des penseurs éminents qui lui
ont appris le respect qui est dû à la vérité ;
il se frottait constamment à des camarades qui avaient d’autres
idées que lui, et leurs discussions hardies faisaient son âme
forte et libre. Supposez, au contraire, qu’il ait été élevé
dans un établissement d’un autre esprit, où ses maîtres
auraient regardé ses qualités éminentes comme un danger,
où il n’aurait vu autour de lui que des condisciples soumis
à l’autorité et coulés dans le même moule, où on lui
aurait appris dès l’enfance à se défier de sa raison comme
d’une ennemie, à redouter des curiosités qui pouvaient l’exposer
au péché du doute ; eh bien, sa foi n’aurait pas été
plus vive, mais il n’aurait pas été Pasteur.
Les dogmes des religions révélées ne sont pas les seuls
à craindre. L’empreinte que le catholicisme a imprimé sur
l’âme occidentale a été si profonde que bien des esprits
à peine affranchis ont eu la nostalgie de la servitude et se
sont efforcés de reconstituer des églises ; c’est ainsi
que certaines écoles positivistes ne sont qu’un catholicisme
sans Dieu. Auguste Comte
lui-même rêvait de discipliner
les âmes et certains de ses disciples exagérant la pensée
du maître, deviendraient bien vite des ennemis de la science
s’ils étaient les plus forts. Toute discipline extérieure
n’est pour la pensée qu’une entrave, et ce ne serait pas la
peine d’avoir brisé l’ancienne si c’était pour en accepter
une nouvelle.
Ce péril est encore lointain, et je ne veux pas insister. Mais,
sans adhérer à aucune église, sommes-nous bien certains
d’avoir toujours conservé l’impartialité qui convient au savant,
de ne pas nous être écriés en face d’une découverte particulièrement
embarrassante pour les croyants : “Ah !
je voudrais bien savoir quelle tête vont faire les cléricaux !”.
Ce n’est pas la sérénité avec laquelle doit être accueillie
une conquête scientifique ; l’admiration qu’elle inspire
doit être désintéressée, elle doit s’adresser à la
beauté pure, sans aucun souci de l’avantage qu’en peut tirer
tel ou tel parti.
Voyez, par exemple, l’histoire des religions ; c’est une
science qui doit être traitée comme une science, par des
hommes résolus à tout voir et à aller jusqu’au bout. On
ne la confiera pas à un croyant qui ne toucherait pas volontiers
à ce qui lui est plus cher que lui-même ; les chirurgiens
les plus habiles n’aiment pas à opérer leurs proches. Mais
il ne convient pas davantage de choisir un homme qui a de l’antipathie
pour les choses religieuses et qui par là même est incapable
de comprendre les phénomènes qu’il doit étudier. Autant
confier un cours d’optique à un aveugle, ou un cours d’acoustique
à un sourd.
Nous ne serons libres, et capables de libre examen, que quand
nous ne serons plus les dupes d’aucune passion, et je ne parle
pas seulement des passions politiques ; peut-être arrive-t-il
quelquefois qu’un expérimentateur éprouve un sentiment pénible
quand il fait une observation qui vient à l’appui d’une théorie
chère à un collègue pour qui il ne ressent qu’une demi-sympathie.
Et cela arrivera sans doute tant que les hommes seront des hommes.
L’affranchissement ne sera donc jamais que partiel ; c’est
déjà quelque chose qu’on en rougisse, qu’on ne regarde pas
la partialité comme une obligation morale, ainsi qu’on fait
lorsqu’on est dominé par un souci d’apologétique.
Il n’y a pas d’ailleurs que les catholiques qui se croient obligés
par un devoir étroit à combattre certaines propositions et
à ne pas écouter les raisons de ceux qui les défendent ;
il y a ceux qui invoquent l’intérêt social. Y-a-t-il des
doctrines dangereuses pour la société ? Et alors la
société qui veut vivre et qui a le droit de se défendre,
peut-elle s’en débarrasser comme elle se débarrasse des criminels ?
Non, il n’y a pas de mensonge salutaire ; le mensonge n’est
pas un remède, il ne peut qu’éloigner momentanément le
danger, en l’aggravant. Il est impuissant à le conjurer. C’est
à ceux qui ne savent pas regarder la vérité en face qu’elle
inspire de périlleuses tentations. Ceux qui sont les plus familiers
avec elle n’en aperçoivent que la splendeur sereine, de même
que le sculpteur, en face du modèle nu, oublie ses désirs
pour ne plus songer qu’à l’éternelle beauté.
Les théories sont des auxiliaires indispensables de la Science,
mais ce sont des auxiliaires tyranniques contre lesquels il faut
savoir se défendre ; celui qui subirait leur empire
sans réagir ne serait plus capable d’un examen vraiment libre ;
il se mettrait à lui-même des œillères, et cependant,
on ne saurait se passer d’elles. Que faire alors ?
Les uns chercheront à les négliger, ils les mépriseront
et ils mépriseront ceux qui s’en servent ; ils n’auront
foi qu’à l’expérience toute nue et ils croiront qu’eux seuls
sont fidèles à la vraie méthode expérimentale. Mais pourront-ils
aller bien loin dans cette voie ? S’ils sont conséquents
avec eux-mêmes, ils devront s’interdire tout rapprochement
entre les faits, parce qu’un rapprochement, c’est déjà une
théorie. Mais les faits isolés sont dépourvus d’intérêt,
parce que c’est leur comparaison qui nous révèle leur harmonie,
source de leur beauté, et parce que l’analogie permet seule
la prévision sans laquelle il n’y a pas d’application pratique
possible. Toute classification est une théorie déguisée,
et ce n’est pourtant qu’en classant les faits qu’on pourra se
mouvoir dans le dédale sans s’égarer. Ceux qui méconnaîtront
cette vérité ne marcheront qu’à tâtons, revenant sans
cesse sur leurs pas, refaisant cent fois le même chemin ;
ils ne seront pas, comme il convient, économes de leur pensée ;
ils doivent se rappeler que la tâche est longue et que la vie
est courte (je ne dis pas seulement celle de l’homme, mais celle
de l’humanité), et ils ne doivent pas s’exposer à perdre un
temps précieux.
D’autres tombent dans un excès tout opposé. Ils ont tant
de confiance dans les théories qu’ils se refusent à voir
les faits qui peuvent les contredire, ou simplement montrer qu’elles
ne sont qu’approchées. Quand on fait une expérience, il arrive,
en général, qu’on n’en saurait accepter les résultats bruts,
qu’il y a certaines causes d’erreur, et qu’il est nécessaire
en conséquence de pratiquer quelques corrections. Eh bien,
si les résultats bruts concordent avec la théorie, les savants
dont je parle ne se donneront pas la peine de rechercher les
erreurs ; si, au contraire, il y a désaccord, ils se
creuseront la tête pour en découvrir ; ils ne rechercheront
que celles qui agiront dans le bon sens ; ils seront aveugles
pour celles qui pourraient agir en sens contraire ; et
à force de se donner du mal, cela finira toujours par marcher.
Est-il besoin de dire que ce n’est pas là le libre examen,
qui ne peut être qu’un examen impartial ? Il faut être
aussi sévère pour les expériences qui réussissent que
pour celles qui ne réussissent pas.
Heureusement, il y a des savants qui font des théories un usage
plus judicieux ; ils s’en servent, mais ils s’en défient ;
elles ne sont pour eux que des guides qui leur indiquent ce qu’il
est intéressant de chercher, plutôt qu’elles ne leur font
pressentir quel sera le résultat de cette recherche. Parmi
tous les faits qui nous environnent, aucun n’est indifférent ;
ils devraient tous nous arrêter si le temps ne nous était
mesuré ; malheureusement, nous sommes pressés et nous
ne devons retenir que les plus importants ; la difficulté
est de les discerner, c’est à cela que les théories peuvent
nous aider ; les faits importants sont les faits cruciaux,
comme disent les Anglais, c’est-à-dire ceux qui peuvent confirmer
ou infirmer une théorie. Après cela, si les résultats ne
sont pas conformes à ce qu’on a prévu, les vrais savants
n’éprouvent pas un sentiment de gêne, dont ils ont hâte
de se débarrasser grâce à la magie des coups de pouce ;
ils sentent, au contraire, leur curiosité vivement surexcitée ;
ils savent que leurs efforts, leur déconvenue momentanée,
vont être payés au centuple, parce que la vérité est
là, tout près, encore cachée et parée pour ainsi dire
de l’attrait du mystère, mais sur le point de se dévoiler.
J’arrive à une question délicate, celle du surnaturel et
du miracle ; je ne veux pas parler seulement des faits
merveilleux dont les partisans des diverses religions tirent
argument, mais de tout ce qu’on appelle télépathie ou spiritisme.
Il n’y a pas longtemps que tout cela aurait été écarté
par la question préalable ; ce ne sont que des superstitions
d’un autre âge, aurait-on dit, et dont les progrès des lumières
ont définitivement fait justice. Mais il arrive aujourd’hui
que le triomphe du positivisme ne nous permet plus d’adopter
sans remords cette attitude commode. Le savant ne se croit plus
le représentant de je ne sais quelle raison éternelle à
laquelle il saurait d’avance que les faits doivent se soumettre.
L’expérience seule est reine et ceux qui reconnaissent sa royauté
ne doivent rien nier sans examen.
Aussi voyons-nous des savants authentiques, et quelquefois éminents,
se laisser attirer par ces mystérieuses questions. “Pourquoi,
disent les uns, laisser toute une classe de faits au dehors de
la science ; il faut leur appliquer les méthodes scientifiques ;
comme les autres, ils obéissent à des lois ; seulement
ces lois sont inconnues, il ne s’agit que de les découvrir”.
Et ils n’ont pas tout à fait tort, puisqu’ils ont découvert
les phénomènes d’hypnose.
D’autres vont plus loin. “De quel droit, disent-ils,
proclamez-vous a priori le déterminisme universel et l’impossibilité
du miracle ? Ce n’est pas là du libre examen, c’est tout
le contraire. Non seulement vous n’avez pas le droit de déclarer
d’avance que ces phénomènes n’existent pas, vous n’avez pas
même celui de nier leur caractère surnaturel. Regardez d’abord,
vous parlerez ensuite”.
On pourrait répondre, sans doute, que nous sommes obligés
de faire un choix parmi la multitude d’objets qui sollicitent
notre attention ; que nous sommes, par conséquent, forcés
d’en négliger quelques-uns et que ce n’est pas là manquer
aux règles puisque c’est une nécessité ; qu’en conséquence
il est légitime de laisser de côté les essais dont l’expérience
du passé nous fait prévoir l’insuccès. Une expérience
d’aujourd’hui a-t-elle plus de poids que mille expériences d’hier ?
Et ce n’est pas tout ; pour aborder ces questions avec
quelque chance d’éviter les erreurs, il ne suffit pas d’être
un physicien habile, il faut avant tout être un psychologue
averti ; il y a des instruments de physique très perfectionnés,
mais qui ne fonctionnent bien que si l’observateur est sans parti-pris.
On sait que les médiums sont enclins à la supercherie ;
tous les médiums trichent, disent les croyants ; il
nous suffit qu’ils ne trichent pas toujours. Ceux qui raisonnent
ainsi ne doivent pas être très difficiles à tromper. Les
médecins eux-mêmes, qui ont créé la science de l’hypnotisme,
et qui avaient un sens critique beaucoup plus développé,
ne se sont pas toujours suffisamment défiés des ruses de
leurs sujets.
L’enthousiasme n’est pas moins à redouter que la fraude. Quand
on nous raconte un fait de ce genre, et surtout quand on nous
le raconte avec l’accent de la foi, nous devons nous rappeler
quel est chez certaines âmes l’appétit du merveilleux, avec
quelle ardeur elles croient l’incroyable, quand elles douteraient
d’une demi-vraisemblance, et nous ne devons croire que ce que
nous avons vu nous-mêmes.
Eh bien, alors, allez-y voir, nous dira-t-on. Mais si quelqu’un
d’entre nous y voulait aller, on lui imposerait des conditions
saugrenues. Eusapia
consentait à l’intervention
d’un photographe, mais elle se réservait d’ordonner elle-même
l’inflammation du magnésium en criant : fuoco. Ce
n’est plus là le libre examen, puisqu’il y a des modes d’examen
qu’on ne nous laisse pas libres d’employer, et ceux qui ne veulent
pas se prêter à cette comédie ont bien raison.
Que devons-nous répondre maintenant à ceux qui nous reprochent
de nier le miracle a priori et d’être ainsi infidèles
à la méthode expérimentale ? Pouvons-nous dire que
la physique moderne en a démontré l’impossibilité ;
non, ce serait une pétition de principe. La science ne peut
que nous faire connaître les lois des phénomènes ;
elle ne nous apprend pas que ces lois ne comportent aucune exception,
elle le postule, cela n’est pas la même chose. Nous aurons
beau montrer que ces exceptions sont rares, que dans tel cas
particulier, celles qu’on avait cru observer n’étaient qu’apparentes,
nous n’aurons pas la démonstration rigoureuse qui réduirait
nos adversaires au silence.
Tout au plus pourra-t-on dire que nos habitudes expérimentales
nous ont fait un état d’âme qui nous rend impossible la croyance
au miracle, cet état d’âme ne se communique pas.
Non, ce qui plaide contre le surnaturel, ce n’est pas la physique,
c’est la psychologie et l’histoire.
La première nous apprend, je l’ai déjà dit, quelles illusions
engendre l’enthousiasme ; il faut toujours en revenir au
mot de Renan
: les témoins qui se font
égorger, c’est justement de ceux-là qu’il convient de se défier.
Quant à l’histoire, elle nous montre que les faux dieux ont
fait autant de miracles que le vrai.
Si l’on veut établir que les faits dits surnaturels sont non
seulement authentiques, mais inexplicables sans l’action d’un
être surhumain, encore faut-il que cet être existe ;
et alors nous avons le droit de demander aux croyants de juger
les récits de ces faits comme ils le feraient si le prodige
était attribué à Jupiter.
Il reste bien les miracles modernes ; là aussi, sans
doute, Esculape
faisait tout aussi bien ; il serait
néanmoins désirable que des médecins sans parti-pris étudiassent
ces phénomènes de près.
Je sais bien à quoi ils s’exposent et je comprends qu’ils hésitent ;
aussi est-il heureux qu’un procès récent à Metz ait jeté
quelque lumière sur ces questions.
J’ai dit, Messieurs, ce que la liberté est pour la science ;
je voudrais, en terminant, dire ce que la science peut faire
pour la liberté ; les fondateurs de votre Université
l’ont bien compris.
“Ce qui fait la force de notre établissement,
disait l’un d’eux, ce qui a sauvegardé son existence, c’est
que bien qu’émanant d’un parti politique, il n’en a jamais été
l’instrument. L’Université de Bruxelles n’est point destinée
à défendre telle ou telle doctrine libérale, sa mission
est de propager les grands principes, et spécialement celui
du libre examen”.
On ne saurait mieux dire ; non, ce qu’on doit demander
à la science, ce n’est pas de découvrir des vérités aussi
désagréables que possible pour nos adversaires politiques,
c’est de faire des esprits libres ; quand elle nous en
aura donné beaucoup, elle aura payé sa dette envers la liberté.
Voyez Pasteur, sa foi était profonde et il ne
croyait certes pas travailler contre le catholicisme ;
cependant il a formé des élèves qui se sont imprégnés
de ses méthodes, de sa rigoureuse critique, de ses habitudes
d’expérimentateur consciencieux ; ce sont de libres esprits
qu’il a donnés à l’humanité et tous ceux qui aiment la liberté
doivent lui en être reconnaissants. Parmi ces élèves, il
y en a peut-être qui partagent ses idées religieuses ;
mais ils travailleront librement comme leur maître ;
à leur tour, ils engendreront des esprits libres et par là
il travailleront pour nous ; quoi qu’ils en aient, ces
croyants sont des nôtres ; s’il n’y en avait que de pareils,
on pourrait vivre avec eux.
Quatrième partie Postface
Chapitre XIII About Henri Poincaré and Gustave Le Bon
Henri Poincaré was elected to the Académie des sciences at the age of 33 and soon became one of the most famous French mathematicians. Nevertheless, public recognition came very much later. Around 1900, most of his works, especially the philosophical ones, were intended for a restricted academic and intellectual public. Poincaré probably did not imagine that some of his philosophical writings were potential bestsellers and that he would enter the Académie Française eight years later. According to Gustave Le Bon’s recollections, Poincaré skeptically welcomed his proposition to compose a philosophical book with several of his ancient articles:
When, twelve years ago, I founded the Bibliothèque de Philosophie Scientifique , Henri Poincaré was the first of the authors I thought to contact. This illustrious mathematician was then little known as a philosopher. Indeed, his philosophical productions restricted themselves to some articles in prefaces and special reviews. However they revealed the depth of his conceptions. I persuaded him, with great difficulty, to take them as the point of departure of a volume entitled: La science et l’hypothèse . Although this volume was not a popularization book, its success was immense. Very few philosophical works so profoundly influenced philosophical thought.11 1 Gustave Le Bon wrote these words in the foreword of a luxury edition of La science et l’hypothèse, which was published around 1914. This is my own translation.
Flammarion’s Bibliothèque de Philosophie
scientifique
Bibliothèque de Philosophie Scientifique :
undoubtedly contributed to the public recognition of Poincaré. It widened the diffusion
of his philosophical conceptions and increased his capital of
authority. In 1913 the 103 books of the collection represented
608.513 printed books and Poincaré’s contribution 10,14% of
the total.22
2
[Marpeau 2000], pp. 191. In 1950, E. T. Bell noted: “Pendant
la première décade du XX siècle, la renommée de Poincaré
alla croissant rapidement et, surtout en
France, on le considérait comme un oracle en toutes choses
touchant les mathématiques. Il se prononçait sur toutes sortes
de questions, depuis la politique jusqu’à l’éthique, de façon
ordinairement brève et catégorique et ses conclusions étaient
des verdicts pour la majorité”. [Bell 1950], p. 586.
This postface aims at reconstituting the history of Poincaré’s collaboration with Gustave
Le Bon’s Bibliothèque de Philosophie
Scientifique
Bibliothèque de Philosophie Scientifique :.
Hence it will be divided into two parts: the first part will
deal with the creation of the collection by Ernest Flammarion
and Gustave Le Bon. More precisely, the second part,
will be concerned with Poincaré’s writings within the collection.
As is well known, Gustave Le Bon
was the promoter of racist and anti-semitic
conceptions. He can be considered, along with Georges Vacher
de Lapouge, as a representative of
evolutionist racism and his influence on fascism and National
Socialism has often been put forward. This important question
has very often been dealt with and we deliberately chose to disregard
it.33
3
In a 1888 article he wrote for instance: “Si
les Juifs ont joué un rôle bien nul dans le monde antique,
il en est tout autrement aujourd’hui. Si des nations aussi civilisées
que les Russes et les Allemands les écartent soigneusement
des fonctions publiques et de l’armée, et font leur possible
pour se débarrasser d’eux, ce n’est pas en raison de leurs croyances,
mais des sentiments particuliers à leur race. Beaucoup de bons
esprits considèrent que les fils d’Israël constituent un
formidable danger pour les nations telles que la nôtre, qui
les traitent comme s’ils n’étaient pas en réalité des étrangers.
Ce n’est pas le pays où l’on est né qui donne la véritable
nationalité : elle ne peut être créée que par
les aïeux. Le Juif moderne n’est ni Allemand, ni Russe, ni
Français : il est Juif et ne peut être que Juif”
(“Le rôle des juifs dans l’histoire de la civilisation”, Revue
scientifique, October 1888). A recent evaluation of this debate
can be found in Benoît Marpeau, Gustave
Le Bon, parcours d’un intellectuel, 1841–1931 [Marpeau 2000]. See also Robert Allan Nye’s important book, The Origins of Crowd Psychology –
Gustave Le Bon and the Crisis
of Mass Democracy in the Third Republic [Nye
R. 1975]. Cf. also [Sternhell 1978],
[Sternhell 1983], [Vlach 1981], [Rouvier
1986], [Thiec 1981] and [Thiec 1982].
Chapitre XIV The creation of the Bibliothèque de Philosophie Scientifique
At the turn of the nineteenth century, Ernest Flammarion ’s publishing
company was an integral part of the Parisian editorial scene. It was
the result of the association, in 1875, with the Parisian bookseller
Charles Marpon. In 1900 Flammarion was in possession of an important
and diversified catalog, from literature to scientific
popularization. This last domain was particularly prosperous thanks to
Ernest Flammarion ’s brother, Camille.
Camille Flammarion was a famous self-taught astronomer and a prolific
popularizer; from 1880 until 1914 he was to reserve the exclusivity of
his works for the company, that is 31 books (700.000
volumes).11
1
Parinet 1989], p. 170. Further
information concerning Camille Flammarion’s life and works can be
found in [De la Cotardière/Fuentes 1994]. Following
the enormous success of his Astronomie populaire (1879),
Camille Flammarion had became the director of the Bibliothèque
Scientifique Populaire, a popularization collection
that shortly after had turned into Bibliothèque Camille
Flammarion. Its purpose was ‘to put
human knowledge within the reach of everyone’. Unfortunately, most of
the books of the collection, except those of Flammarion, were quite
out of date and did
not sell very well.
In 1900, the Bibliothèque Camille Flammarion was running out of steam and
Ernest Flammarion envisaged giving a new impulsion to the edition of
scientific books. This field was then divided into two sectors: the
learned edition and the edition of scientific popularization. The
first one was reserved for several specialized companies which had
privileged relationships with academic institutions (for instance
Firmin-Didot, J. G. Baillière, Gauthier-Villars, Carré & Naud );
the second one belonged to big publishers such as Hachette, Larousse
and Delagrave. The competition was all the more difficult for
Flammarion as his company did not occupy the textbook sector, which
was a very profitable one since Jules Ferry ’s reforms. Meanwhile, the
universities of science were developing. The 1893 and 1896 reforms had
favoured the expansion of academic research institutes and a new
category of readers was emerging. Such an evolution was not without
consequences for publishers, who were aware of the appearance of a new
market for scientific publications (which was profitable for
specialized editors) and the widening of an educated public interested
in the recent evolution of scientific research.22
2
[ParinetParinet,
Élizabeth : 1989], p. 180.
By 1902, Ernest Flammarion was strongly yearning to attract a part of
this rapidly growing public. It is thus with benevolence that he
welcomed Le Bon ’s proposition to create a Bibliothèque de
Philosophie Scientifique. Le Bon had
published several of his books at Alcan, in the Bibliothèque
de Philosophie Contemporaine. This
prestigious collection had largely transformed the organization of
French philosophical publishing at the turn of the century. However,
Le Bon had been led to regret its too narrow limits and its
restriction to an intellectual and philosophical elite. For all these
reasons (and also for reasons of prestige), he had suggested Félix
Alcan create a new collection directed at a wider
audience.33
3
See [Fabiani 1988],
pp. 109-110. Félix Alcan (1841-1925) is probably one
of the most striking figures of French publishing in the nineteenth
century. Born in Metz, this son of a bookseller integrated the
scientific section of the École Normale Supérieure while
maintaining friendly relationships with some prominent students of
the literary section, notably Théodule Ribot and Gabriel
MonodMonod, Gabriel :. It is during his
studies that he had the idea to create an editorial company widely
open to intellectual, philosophical and scientific conceptions. He
realized his project at first in 1874 by forming an association with
the editor Germer-Baillière. A few years later, in 1883, he bought
Germer-Baillière Company and Alcan very quickly became a French
cultural reference. Félix Alcan resumed and developed the old
Bibliothèque de Philosophie Contemporaine and
Bibliothèque d’Histoire Contemporaine
(respectively created in 1863 and 1866) and managed to confer on
them an indisputable scientific authority. Alcan was also the
publisher of prestigious reviews such as the Revue
philosophique (founded in 1866 by his friend Ribot), the
Revue historique (founded in 1866 by Monod), the
Année sociologique (founded by Émile Durkheim) and the
Journal de psychologie normale et pathologique. Alcan had
refused this proposition, which was manifestly contradictory to his
editorial policy, and Le Bon finally turned to Ernest Flammarion.
Le Bon ’s objective was not to create a scientific popularization
collection comparable to Alcan ’s Bibliothèque Scientifique
Internationale, which had started in
1879, but to offer to an educated public a general point of view on
the sciences which did not only help to accumulate precise information
in a specialized domain, but also allowed one to build a personal
philosophy of the world. This objective was clearly put forward in
the advertisement for the collection :
Scientific facts so multiply that it becomes impossible to know all of them. Scholars are confined to very restricted specialities. […] To keep up to date on scientific, philosophical and social knowledge, it is necessary to attempt to know the principles which are the soul of this knowledge and which constitute at the same time their best summary. It is with the aim of clearly presenting the philosophical synthesis of diverse sciences, the evolution of their principles and the general problems that they raise, that the Bibliothèque de Philosophie Scientifique was founded. Addressing all educated persons, it is intended to find its place in every library.44 4 [Parinet 1989], p. 181. This is my own translation.
In this advertisement the word ‘popularization’ did not appear
at any moment although it was present between the lines. The
ambiguity of the formulation was probably deliberate. Le Bon
intended to place the collection
under the honorable patronage of philosophy and to obtain a favorable
echo from philosophical, scientific and popular audiences. Clearly,
most of the books in this collection were commissioned works
in which the authors tried to present previous articles and conferences
in a logic of popularization. The three books published by Poincaré
in his lifetime –
and of course Dernières pensées – share this feature.55
5
Cf.
the annex p. 171. For an analysis of Poincaré’s popularization of
science, see [Rollet 1996] and [Rollet 2000].
The engaging of Le Bon
as director of the collection was
made in a rather informal way. Ernest Flammarion
simply added a short paragraph
in the publishing agreement for Le Bon’s Psychologie de l’éducation;
it stipulated that this volume was to become the first of a collection
which would be entitled Bibliothèque de Philosophie Scientifique.
In a letter sent to Ernest Flammarion
in April 1902, Le Bon
defined his objectives in a very
precise way. The collection had to be within anyone’s capability;
its purpose was to propose philosophical and scientific consumables.
Consequently the price of the books had to be relatively low
(3.50 francs for a 300-page book). Moreover, in order
to insure the unity of the collection and to give it an identity,
he adopted the principle of a brick-red cover. Le Bon
cautiously planned to publish four
volumes a year for three years, with an initial run of 1500 copies.66
6
Scientific,
academic and limited editions did not usually exceed 2000 copies
at that time. For each book, he proposed to give 500 francs
to the author, 250 francs to the director of the collection
(himself) and 150 francs to the secretary of publication.
His financial claims were quite high; he thus wrote to Flammarion:
If you wish to distribute these figures in another way, feel free to do so. The only point on which I shall be inflexible, is that no volume shall be published in this collection without my approval. It is indeed in your interest because you are such a nice person that, out of kindness, you would accept things of inferior quality.77 7 This letter is kept in Paris, at the Institut Mémoire de l’Édition Contemporaine (IMEC). Quoted in [Parinet 1989], p. 186. This is my own translation.
Flammarion obliged him to revise his claims.
However, Le Bon
managed to obtain the essential,
that is, a total freedom for the recruitment of the authors of
the collection. On this point, he knew that Flammarion, who had very few relationships
with the intellectual and academic communities, had to rely on
him.
Born in 1841 in Nogent-le-Rotrou, Le Bon’s father was a minor official of
the financial administration (he was receveur de l’enregistrement).
Le Bon’s secondary studies were quite mediocre
and it is probable that he did not obtain his baccalauréat.
In 1860, he followed his father’s steps and entered the administration
of indirect taxation as a supernumerary employee (i. e. without
retribution). Four years later he started medical studies in
order to obtain a position as a medical officer.88
8
Officier
de santé. He then became a disciple of Pierre Adolphe Piorry
and, even though he
did not manage to get a diploma, he succeeded in gaining a reputation
within the medical community. From 1862 until 1880 he published
numerous articles in popularization reviews as well as medical
treatises: Physiologie de la génération de l’homme
et des principaux êtres vivants (1868), Traité pratique
des maladies des organes génito-urinaires (1869), Traité
de physiologie humaine (1873), etc. In 1884 he directed an archaeological
mission in India and Nepal and came back to France with the material
for several books which sold very well: Les civilisations
de l’Inde (1887), Les premières civilisations (1889) and Les
monuments de l’Inde (1893). In 1895 he published La psychologie
des foules, one of his most famous books, which contributed to
establish his intellectual authority.99
9
For a complete –
and very impressive – bibliography of Le BonLe Bon,
Gu’s writings, cf. [Marpeau 2000] In 1902,
Le Bon
was 61 years old, he was rich and
his reputation was immense inside and outside the country.
He was one the rare French intellectuals who lived by his pen
but he was on the fringe of the academic society. For this reason,
he always tried, during his lifetime, to keep regular (and useful)
contacts with scientists, politicians, philosophers and intellectuals.
In this perspective, he had founded in 1893, together with his
friend Théodule Ribot, his famous Banquet des XX;
every last Friday of the month, this dinner gathered academics,
high-ranking officials, members of the government and general
officers (the prince Roland Bonaparte, Henri
and Raymond Poincaré, Camille Flammarion, Paul Painlevé
etc.). A few years later, in 1902,
he founded his Déjeuner du mercredi which gathered every
week about fifteen guests: Aristide Briand, Charles Mangin, Camille Saint-Saëns, Marie Bonaparte, Paul Valéry
or Gabriel Hanotaux
were regularly invited.
These social whirls were not organized without ulterior motives:
Le Bon’s aim was to constitute a solid network,
to establish fruitful contacts within the intellectual community
in order to enhance his reputation and the standing of his collection. He
thus used his network to promote the Bibliothèque de Philosophie
Scientifique
Bibliothèque de Philosophie Scientifique :.1010
10
For
instance, in a letter to Ernest Flammarion
he wrote: “Tomorrow I am having a lunch with the
President at the Élysée. Please, send me, this very day,
our first complete set so that I can give it to him”.
Undated letter, [Parinet 1989], p. 188.
As director of the collection, Le Bon
closely controlled the content of
the books as well as the technical details of their publication.
Since most of the volumes of the collection were commissioned
books, the authors were largely invited to submit themselves
to the orders of the director. Le Bon
did not hesitate to modify sentences,
paragraphs or chapters that did not match his own vision of science
and politics. In other words, Le Bon
was more than the director of the
collection; he was an ideological manager. As Robert Nye
remarked:
It was Le Bon’s practice to frequently remind prospective authors of the advisability of adding a few words which might make their works more relevant to his view of current politics. Even men with well-established academic reputations occasionally received crude suggestions on political content from the editor; and frequently, when the author held firm on content, Le Bon persuaded him to make a few concessions in the title and chapter headings which gave the appearance that the book was a ‘scientific’ deflation of Le Bon’s latest bête noire.1111 11 [NyeNye, Robert Allan : R. 1975], p. 163. See for instance Le Bon’s conflict with the historian Georges Renard. Le BonLe Bon, Gu had asked him for a book dealing with ancient Italian democracies but did not want to hear about Florentine syndicalism because he was opposed to socialismRenard, Georges :. Finally Renard put an end to his relations with Le Bon (cf. [Marpeau 2000], pp. 178-182).
In the beginning, Le Bon
decided to recruit exclusively first-rank
authors, in order to assure the credibility of the collection
(in 1902 he wrote to Flammarion
: “Later I shall
lower the quality but for the first volumes I can only take valuable
books, which is, I think, also your opinion”1212
12
September
13th, 1902. Quoted in [Parinet
1989], p. 190. This is my own translation.). Indeed he
tried to obtain the collaboration of recognized scientists from
the Sorbonne, the Institut or the Collège de France.
In 1914, among the 85 authors of the collection catalogue, 70
were in possession of at least one academic degree.
Le Bon
was directly concerned by the success
of his collection. Indeed Flammarion
had accepted to pay 50 centimes
per volume, i. e. 33 centimes for the author of the book
and 17 centimes for the director of the collection (4.8%
of the retail price). Beyond 5000 copies of the book, the author
received 35 centimes per volume and, for his own part, Le
Bon
was to receive 22 centimes if
more than 1500 copies of a book were printed. These were usual
conditions in the general edition community. Nevertheless, in
1907 Le Bon
managed to obtain more profitable
conditions since Flammarion accepted to guarantee him almost
7% of the retail price. Such an increase was far from negligible,
because of the number of copies. The Bibliothèque de Philosophie
Scientifique
constituted a profitable business for Flammarion, but it also made Gustave Le Bon’s fortune.1313 13 See [Marpeau 2000], pp. 196-197: “Un calcul approximatif mais sans marge d’incertitude considérable donne à partir des archives Flammarion un niveau de rémunération impressionnant. Pour les ouvrages de la Bibliothèque de Philosophie Scientifique dont il n’est pas l’auteur, Le Bon reçoit en effet de Flammarion avant 1914 une somme de l’ordre de 112.000 francs-or. À cela s’ajoutent, pour les six ouvrages de sa plume publiés dans la collection, 37.420 francs. Les incitations financières au développement de la collection sont donc fortes pour Le Bon. […] Ajoutons que cette aisance financière considérable – […] le ministère des Finances évaluait à la veille de la guerre à 187.200 le nombre de revenus supérieurs, comme ceux de Le Bon, à 10.000 francs par an – favorise dans tous les cas les efforts de Le Bon pour construire et entretenir son système de réunions et d’invitations régulières du Déjeuner du mercredi”. In comparison with him, the remuneration of the authors was not very high; however, most of them came from the academic scene and were accustomed to less profitable editorial conditions. The Bibliothèque de Philosophie Scientifique offered them a wider audience and allowed them to hope for a good diffusion of their books.
Chapitre XV Poincaré at the Bibliothèque de Philosophie Scientifique
Gustave Le Bon chose to inaugurate the Bibliothèque de
Philosophie Scientifique with Poincaré’s La science et l’hypothèse. This book was
to become one of the most popular books of the collection and
gave the mathematician a literary fame that he probably did not
expect (the other bestselling authors were Gustave Le Bon, Félix
Le Dantec, Lucien Poincaré, Alfred Binet and Henri Lichtenberger).11
1
A
proof of this literary fame can for instance be found in the
following letter sent by Marie Bonaparte to Poincaré in November
1910 (Poincaré Archives, University of Lorraine): “Vous
m’avez rendue bien heureuse, Monsieur, en voulant bien venir
parmi nous – et j’ai gardé de cette soirée un profond
souvenir. Mieux vaut vous approcher quelques heures que lire
les livres des Docteurs Toulouse !!
C’est alors, à vous écouter, qu’éclate la différence du
‘temps physiologique’ et du ‘temps paramètre’ ! Et je
m’enhardis à vous demander si vous voudriez bien revenir dîner
avec nous mardi prochain 29 novembre ? Vous me feriez
une bien grande joie. J’ai suivi vos conseils de lecture et BergsonBergson,
Henri : et James sont sur ma
table. Mais d’abord c’est vous que je continue de lire. Et je
vous prie, Monsieur, de me laisser vous dire mon dévoué souvenir”. Marie
Bonaparte (1882-1962) was Roland Bonaparte’s daughter (1858-1924),
an important scientific patron and author of numerous geographic,
ethnographical and botanical works. She played an important role
in the genesis of psychoanalysis. For more details about her
life and work, see [Bertin 1982].
In 1902, the scientific fame of Poincaré was considerable.
He moved in the fashionable society and was frequently invited
to Gustave Le Bon’s receptions. Le Bon possessed a small private
laboratory in which he made experiments on light polarization.
In 1896 he had been convinced that he had discovered a new kind
of radiation – which he called black light –
and he had asked some of his scientific acquaintances to expose
his results at the Académie des Sciences. Poincaré
and Lippmann
had seemed quite interested by
Le Bon’s results and had given him some
support.22
2
Henri Becquerel finally
demonstrated in 1897 that Le Bon’s
results were due to infrared radiation. See Henri Becquerel, “Explications de quelques expériences
de M. G. Le Bon”, Comptes-rendus
de l’Académie des Sciences 124 (1897), pp. 984-988.
See also [Nye 1974], pp. 176-177,
footnotes 65 and 66. Le Bon exchanged a few letters with Poincaré
concerning his scientific research: some of them are kept in
the Poincaré Archives (Nancy 2 University); some others can
be found in the Cabinet des Manuscrits of the Bibliothèque
Nationale in Paris (Don 87-18). Throughout his lifetime,
Le Bon published more than twenty notes in the Comptes-rendus
de l’Académie des Sciences. In 1903, he tried to obtain the
Nobel prize for his scientific works (see [Marpeau 2000], pp. 254-257, as well as the chapter concerning
his relationships with ‘official science’). In July 1922, he also
exchanged a short correspondence with Albert EinsteinEinstein,
Albert : concerning the priority for the discovery of
the equivalence between mass and energy. Le Bon
claimed that he had been the first to formulate this principle
in his 1905 book, L’évolution de la matière, although
he admitted not having demonstrated it (letters kept in the Bibliothèque
Nationale). For more details concerning Le Bon’s
scientific activity, cf. [Nye R.
1975].
Poincaré
and Le Bon
seemed to be in regular contact.
Le Bon
used to send his new publications
to the mathematician (for instance Psychologie de l’éducation
in 1898 and Psychologie du socialisme in 1902). Poincaré
sometimes paid great attention
to them.33
3
“J’ai reçu votre volume sur
l’Éducation ; je vous en remercie beaucoup, je l’ai lu
avec autant de plaisir que d’intérêt. Votre tableau n’est
pas faux mais il est dépourvu de nuances ; vous avez
voulu faire du Taine, mais le procédé de TaineTaine,
Hyppolite :, qui consiste à juxtaposer des découpures
d’auteurs divers peut conduire et a conduit Taine
lui-même à des résultats bien extraordinaires. […]”. Undated
letter (1898 ?), Bibliothèque Nationale (Don 87-18,
carton 1). Nevertheless, judging from several of his short letters
to Le Bon
he did not always reply to
him (“I see that the absence of an acknowledgment
of receipt for your last book offended you. It proves that you
still don’t know me and that you don’t know how lazy I am when
I have to write. It does not mean that I do not read your books,
or that I do not appreciate them”44
4
Undated
letter, Société des Amis de Gustave Le Bon.
This is my own translation.). On his part, Le Bon
was very interested in Poincaré’s philosophical articles
and he was convinced that his conventionalism was to constitute
an intellectual revolution.55
5
See in particular [Le BonLe
Bon, Gustave : 1908a], [Le Bon
1908b], [Le Bon 1914a] and [Le BonLe
Bon, Gu 1914b].
The exact circumstances in which Poincaré
decided to collaborate with
Le Bon’s collection are unknown. Nevertheless,
a letter sent to the mathematician by Flammarion
in 1902 indicates that Le Bon
had managed to obtain his
support:
Dear Sir,
Dr Gustave Le Bon, with whose support I am founding
the Bibliothèque de Philosophie Scientifique, tells me
that you will accept to give me a volume of about 250-300 pages,
whose title – modifiable at your will – would be La
science et l’hypothèse
.
I send you my acknowledgements for your invaluable collaboration
and I would be grateful if you would send this volume as soon
as possible.
As you already know, the author receives five hundred francs
for the volume when it is published.66
6
Undated letter (1902),
Poincaré Archives, University Nancy 2. This is my own translation.
Poincaré’s publishing agreement was
established in accordance with planned editorial conditions.
The financial conditions of the publishing agreements were rather
profitable for the publisher and the director of the collection.
For the authors the benefit was elsewhere: since most of them
came from the academic field the Bibliothèque de Philosophie
Scientifique provided them with the opportunity to release
themselves from the constraints of specialized publishing and
find a new audience for their works. This observation applies
to the case of Poincaré but should however be slightly qualified.
Poincaré was indeed one the most famous French scientists and
an attentive analysis of his publication contracts for his scientific
works reveals that he benefited from quite advantageous conditions.
In 1890, for instance, Poincaré signed an agreement with Gauthier-Villars
for the publication of his book Méthodes nouvelles
de la mécanique céleste: the edition of the first volume
was set at 1700 copies, it was agreed that Poincaré would get
10% of the retail price and that he would receive forty off-prints
of the book. Such conditions were very close to those of Flammarion,
except for the fact that that the price fixed for this scientific
book was much higher than 3.50 francs, and could guarantee
an appreciable profit in case of success. Similarly, the conditions
granted by the Georges Carré publishing house for the books Théorie
mathématique de la lumière (1889), Thermodynamique (1891)
or Théorie analytique de la propagation de la chaleur (1895)
seemed relatively advantageous; the publisher accepted to take
care of all the expenses required by the publication (limited
to 1000 copies) and the contracts stipulated that the author
would get 33% of the sales (after deduction of the costs for
the technical composition of the books).77
7
A large number
of Poincaré’s publishing
agreements are kept in the Poincaré Archives at Nancy 2 University.
In a letter sent by Le Bon
to Flammarion
in September 1902 one can read
that the book was almost ready at that time, except for the conclusion.88
8
September
13, 1902, Institut Mémoire de l’Édition Contemporaine :
“Le succès du livre de Dastre
[La vie et la mort] m’a l’air certain vu le titre. J’espère
avoir la fin dans quelques jours. Envoyez-moi les épreuves
de couverture des nouveaux tirages pour que j’annonce les nouveaux
livres de la collection. J’espère obtenir de Poincaré
qu’il ajoute à la fin une conclusion
qui manque à son livre ce qui lui permettra de mettre {ill.}
augmenter”. Another letter written at the same
time provides interesting information concerning the method adopted
by Poincaré
in order to compose La
science et l’hypothèse. He thus wrote
to Flammarion:
Dear Sir,
I have the honor to deliver you enclosed with this letter two issues of the Revue de métaphysique et de morale.
It would be necessary […] to copy out, in these two issues, the two articles entitled: le Raisonnement mathématique and le Continu mathématique.
The copy should be made on a single side and with a sufficient margin for the corrections.
In any case, the copy should not be sent directly to the printers; it should be returned to Claude Bernard Street 63, for corrections.
Yours sincerely.99 9 Undated letter (1902), Institut Mémoire de l’Édition Contemporaine; translation L. Rollet.
Consequently, La science et l’hypothèse
was not written
for the occasion but was a collection of articles previously
published in philosophical or scientific reviews. The mathematician
indeed drew up an introduction, constructed a general framework
and updated some of his ancient conceptions. However, his corrections
were not so numerous: with the exception of the second part of
the book – which consisted of three chapters1010
10
In
the second part entitled “L’espace”,
chapters come from a large set of articles dedicated to geometry
and philosophy of geometry. For instance chapter V (L’espace
et la géométrie) contains paragraphs resulting from at least
four articles published during a period of nine years. For more
details concerning this particular point, see the appendix devoted
to the sources of Poincaré’s
philosophical writings p. 171. – most of the chapters
contained only minor emendations (simplification of mathematical
formalism, addition or suppression of several paragraphs, updating
of bibliographical references…). Poincaré
systematically used this
technique of composition for the two other books published in
the Bibliothèque de Philosophie Scientifique
(La valeur de la science and Science et méthode). Finally
the result was quite misleading: La science et l’hypothèse
seemed to be the
fruit of a work of several months, it did not contain any piece
of information concerning the origins of the different chapters.1111
11
At
most Poincaré indicated
in a footnote that chapter XII was a partial reproduction
of the prefaces of Théorie mathématique de la lumière
(1899) and of Électricité et optique (1901).
Several questions thus naturally arise: why did Poincaré
choose to adopt this editorial
strategy? Was it his personal choice? Was he guided by motivations
of convenience and rapidity? Or shall one consider the ambiguity
of the presentation – which seemed skillfully maintained –
as a commercial strategy decided by Gustave Le Bon
and Ernest Flammarion
? It is probable that Poincaré
did not have so much time
to give over to the writing of a completely new book. Moreover,
such an editorial formula was relatively current at that time.
From the point of view of Flammarion
and Le Bon, the situation was quite different:
the publication of a collection of articles unmistakably presented
a lesser commercial potential with regard to a book in the classic
sense of the word. Furthermore, the opening of a new collection
with such a book could possibly tarnish the image of creativity
and inventiveness that Flammarion
and Le Bon
wished to confer on the Bibliothèque
de Philosophie Scientifique.
Consequently, the best commercial strategy was perhaps to be
discreet about the exact composition of the book. One can indeed
notice that Poincaré
did not feel embarrassed
by this practice since he introduced very few modifications in
the next two books of the collection.
La science et l’hypothèse
came out in December
1902 and the sales were so encouraging that Le Bon
and Flammarion
had to prepare a reprint in September
1903.1212
12
Ernest Flammarion
declared in an interview: “Si le roman psychologique
est tombé [a serious crisis affected this editorial field
at that time], nous avons bien d’autres choses à vendre. La
science et l’hypothèse,
d’Henri Poincaré, atteint
5000 exemplaires en six mois”. Faced with this
success they also decided to double the initial number of copies
for the books of the Bibliothèque de Philosophie Scientifique
(3000 copies instead of 1500). Poincaré thus benefited from these new conditions for his later books, even in 1910 when he published Savants et écrivains , a collection of academic and historic eulogies which did not enter within the framework of the Bibliothèque de Philosophie Scientifique
(the book did not have the expected success and was never reprinted).
In 1914, twelve reprintings of La science et l’hypothèse
had been made,
for a total of 20.900 copies (see note 2 page v); the success
of the book was therefore considerable. On that basis, it is
possible to estimate that in 1914 Poincaré’s family had earned more
than 7000 francs with this single book. The Bibliothèque
de Philosophie Scientifique
probably did not make the fortune of Poincaré
but it provided him with
rather comfortable resources.1313
13
This estimation does not
take into account Poincaré’s
royalties, reproduction and translation rights. On the same basis,
one can estimate that Gustave Le Bon
had earned in 1914 around 4500 Francs for this book. Gustave
Le Bon often boasted he was the most
profitable person at Flammarion.
Poincaré
died in July 1912. His sudden
death was not without consequences on the sales of his books
and that most likely explains the publication of his posthumous
book Dernières pensées
in 1913. One year later,
while the Académie des sciences was preparing the
publication of his scientific works, Le Bon
significantly decided to publish
a collection entitled œuvres philosophiques de Henri
Poincaré. The publishing agreement
was established in January and projected a luxury edition of La
science et l’hypothèse
, La valeur
de la science
, Science et méthode
and Dernières pensées
. The retail price
for the books was fixed at 6 francs and the cover of each
volume indicated that it was the definitive edition. It was
of course a commercial trick. Five years later, Louis Rougier
and Gustave Le Bon
suggested publishing volume V of
Poincaré’s philosophical works. As
we now know this project did not reach fulfilment into the world
at that time…
Chapitre XVI To conclude
Poincaré’s philosophical conceptions are very complex. They cover various different fields and contain numerous implicit references to technical, mathematical or physical debates and discussions. For all these reasons, this philosophy has often been studied from a scientific point of view.
Nevertheless, it was mainly disseminated through Gustave Le Bon and Flammarion’s Bibliothèque de Philosophie Scientifique. And this fact is not without consequences for its understanding and interpretation: on the one hand, the presentation of heterogeneous articles within the same books gives an appearance of consistency and coherence, which is quite problematic since Poincaré did not aim at elaborating a philosophical system. On the other hand, the emendations of the original articles can be rather misleading: most of the time the simplicity and the clarity of these books is only apparent. Indeed Rougier was very aware of this fact when he wrote to Léon Daum that among the 24000 customers of La science et l’hypothèse only 1000 persons were probably able to understand the book.
The study of Poincaré’s philosophical books shows that they all oscillate between the philosophy of science, scientific popularization and, sometimes, the history of science. Such a situation must be taken into account: the interpretation of this philosophical thought cannot go without a complete analysis of its process of elaboration and of Poincaré’s relationships with such a complex character as Gustave Le Bon.
This book consequently constitutes an invitation. An invitation to explore a conventionalist conception of science – namely a scientific opportunism – which profoundly influenced contemporary philosophy of science.
An invitation to examine the juxtaposition of different stratums in the mathematician’s writings (science, philosophy, lower and higher popularization).
An invitation to observe Poincaré’s integration within scientific, philosophical, academic and intellectual communities and his various incursions in the social and political debates of his time (Dreyfus Affair, proportional representation, etc.).
In other words, this book is intended as a contribution to Poincaré’s intellectual biography, a biography that is still under construction.11 1 Concerning some of these points, see [Rollet 1996], [1997], [1999c], [2000a], [2000b] and [2000c].
Laurent Rollet
Bibliography
Bell, E. T.
1950 Les grands mathématiciens. (Paris : Payot).
Bertin, C.
1982 La dernière Bonaparte. (Paris : Perrin).
Chaubet, François / Loyer, Émanuelle
2000 “L’École Libre des Hautes Études de New-York : exil et résistance intellectuelle (1942-1946)”, Revue historique CCCII/4 (octobre-décembre), pp. 939-972.
De La Cotardière, Ph. / Fuentes, P.
1994 Camille Flammarion. (Paris : Flammarion ‘Grandes Biographies’).
Fabiani, Jean-Louis
1988 Les philosophes de la République. (Paris : Éditions de Minuit).
Julliard, Jacques
1984 “Le fascisme en France. Sur un fascisme imaginaire : à propos d’un livre de Zeev Sternhell”, Annales ESC, 39° année, n° 4, juillet-août, p. 852.
Le Bon, Gustave
1889 Les premières civilisations. (Paris : Marpon
et Flammarion).
1895 Psychologie des foules. (Paris : Alcan). Seconde
édition en 1896. Treizième édition en 1908.
1898 Psychologie du socialisme. (Paris : Félix Alcan,
Bibliothèque de Philosophie Contemporaine). Sixième édition
en 1910.
1902 Psychologie de l’éducation. (Paris : Flammarion,
Bibliothèque de Philosophie Scientifique).
1905 L’évolution de la matière. (Paris : Flammarion,
Bibliothèque de Philosophie Scientifique).
1908a “L’édification scientifique de la connaissance”, Revue
scientifique (revue rose) IX, n° 5 et 6,
pp. 129-135 et pp. 168-176.
1908b “Brelan d’académiciens : Henri Poincaré”, L’Opinion 8 (7
mars), pp. 13-14.
1914a “Les vérités encore inaccessibles et
les formes ignorées de la connaissance”, Revue
mondiale (15 février), 472.
1914b “Les mystères de la vie”, Revue
mondiale (15 février), pp. 44-52.
Lecoq, B.
1985 « L’édition et la science », in : Histoire de l’éducation française, volume 3.
Marpeau, Benoît
1991 “Les stratégies de Gustave Le Bon”, Mil
neuf cent, revue d’histoire intellectuelle 9,
pp. 115-128.
2000 Gustave Le Bon
, parcours d’un intellectuel 1841-1931.
(Paris : CNRS Éditions).
Martin, H.-J. / Chartier, R. / Vivet, J.-P. (dir)
1986 Histoire de l’édition française. (Paris : Promodis).
Nye, Mary Jo
1974 “Gustave Le Bon’ Black Light : a Study in Physics and Philosophy in France at the Turn of the Century”, Historical Studies in the Physical Sciences 4, pp. 163-195.
Nye, Robert Allan
1975 The Origins of Crowd Psychology – Gustave Le Bon and the Crisis of Mass Democracy in the Third Republic. (Londres : Sage).
Parinet, Élizabeth
1986 “L’édition littéraire, 1890-1914”,
in Henri-Jean Martin, Roger Chartier, Jean Pierre Vivet (Dir.), Histoire
de l’édition française, tome IV. (Paris : Promodis),
pp. 148-187.
1990 La librairie Flammarion, thèse de doctorat d’histoire,
sous la direction de Raoul Girardet, IEP Paris, n° 90IEPP001.
Poincaré, Jules Henri
1902 La science et l’hypothèse. (Paris : Flammarion,
Bibliothèque de Philosophie Scientifique). Réédition en
1968 (Paris : Flammarion, Champs).
1905 La valeur de la science. (Paris : Flammarion,
Bibliothèque de Philosophie Scientifique). Réédition en
1970 (Paris : Flammarion, Champs).
1908 Science et méthode. (Paris : Flammarion, Bibliothèque
de Philosophie Scientifique). Réédition en 1999, comme numéro
spécial de la revue Philosophia Scientiæ (Paris :
Kimé).
1910 Savants et écrivains. (Paris : Flammarion).
1913 Dernières pensées. (Paris : Flammarion, Bibliothèque
de Philosophie Scientifique). Réédition en 1963 (Paris :
Hermann).
Prochasson, Christophe
1991 Les années électriques (1880-1910). (Paris : Éditions La Découverte).
Rollet, Laurent
1996 “Henri Poincaré – vulgarisation
scientifique et philosophie des sciences”, Philosophia
Scientiae – Travaux d’histoire et de philosophie des sciences 1,
pp. 125-153.
1997 “Autour de l’affaire Dreyfus, Henri Poincaré
et l’action politique”, Revue historique CCXCVIII/3
(juillet-septembre), pp. 49-101.
1999a “Sciences et humanités chez Henri Poincaré”,
article écrit en collaboration avec Gerhard Heinzmann, in Samuel-Schneider,
Monique / Alexandre, Philippe (éds.), Pensée pédagogique,
enjeux, continuités, ruptures en Europe du XVIème
siècle au XXème siècle. (Bern : Peter Lang), pp. 343-355.
1999b Science et méthode. Nouvelle édition de l’ouvrage
de Poincaré, accompagnée d’une préface et d’un appareil
critique. Numéro spécial de la revue Philosophia Scientiæ.
(Paris : Kime).
1999c “L’engagement public d’un homme de science :
Henri Poincaré (première partie)”, Revue
des questions scientifiques 170, 4, pp. 335-354.
2000a “L’engagement public d’un homme de science :
Henri Poincaré (seconde partie)”, Revue
des questions scientifiques 172, 3, pp. 213-239.
2000b “Poincaré, un savant engagé ?”,
in Poincaré, philosophe et mathématicien, collection
Les Génies de la Science, Pour la science, pp. 95-96.
2000c Henri Poincaré : Des mathématiques à la
philosophie. Étude du parcours intellectuel social
et politique d’un mathématicien au tournant du siècle. (Lille :
Éditions du Septentrion).
Rougier, Louis
1920a Les paralogismes du rationalisme. (Paris :
Alcan).
1920b La philosophie géométrique de Henri Poincaré.
(Paris : Alcan).
Rouvier, Catherine
1986 Les idées politiques de Gustave Le Bon. (Paris : PUF).
Sternhell, Zeev
1978 La droite révolutionnaire. Les origines françaises
du fascisme 1885-1914. (Paris : Seuil).
1983 Ni droite, ni gauche. L’idéologie fasciste en France.
(Paris : Seuil).
Tesnières, Valérie
1985 “L’édition universitaire”, in
Lecoq, B. (Dir.), Histoire de l’éducation française,
volume 3.
1993 “Le livre de science en France au XIXème
siècle” ; Romantisme 80, pp. 67-77.
Thiec, Yvon-Jean
1981 “Gustave Le Bon, prophète de l’irrationnalisme
de masse”, Revue française de sociologie XXII
(juillet-septembre), pp. 409-428.
1982 Gustave Le Bon, la psychologie des foules, la fondation
de la psychologie collective et sa propagation dans les
sciences sociales et politiques à la fin du XIX siècle,
thèse de l’Institut Universitaire Européen, Florence.
Vlach, Claire
1981 Sociologie et lecture de l’histoire chez Gustave Le Bon, thèse de troisième cycle, sous la direction de Raymond Aron, Maison des Sciences de l’Homme.
Cinquième partie Annexes
Chapitre XVII Translations of Poincaré’s writings
The aim of this appendix is to provide some information about the existing translations of Poincaré’s writings at the time of his death. Most of the information given here comes from Ernest Lebon’s book, Henri Poincaré, biographie, bibliographie analytique des écrits. Second edition, Paris, Gauthier-Villars, 1912.
“Sur les hypothèses fondamentales de la géométrie”, Bulletin
de la Société mathématique de France 15 (1887),
pp. 203-216; Œuvres, tome XI, pp. 79-91.
- Translated into Russian by D. Sintsoff, Bulletin de la Société
physico-mathématique de Kasan 3, n° 4 (1893),
pp. 109-121.
Théorie mathématique de la lumière, tome 1,
Paris, G. Carré & C. Naud, 1890, IV + 408 p.
- German translation by E. Gumlich
et W. Jäger, (Berlin : Julius Springer),
1894.
Électricité et optique, tome 1 – Les théories
de Maxwell
et la théorie électromagnétique
de la lumière, Paris, G. Carré & C. Naud, 1890,
XIX + 314 p. Électricité et
optique, tome 2 – Les théories de Helmholtz
et les expériences de
Hertz, Paris, G. Carré & C. Naud, 1892, XI + 262 p.
- The two volumes were translated into German by W. Jäger
et E. Gumlich, (Berlin : Julius Springer), 1891.
“Les géométries non euclidiennes”, Revue
générale des sciences pures et appliquées 2 (1891),
pp. 769-774.
- English translation in Nature 45 (25 février
1892), pp. 404-407.
La Thermodynamique, Paris, G. Carré & C. Naud,
1892, XIX + 432 p.
- Translated into German by W. Jäger
et E. Gumlich, (Berlin : Julius Springer),
1893.
“Sur la nature du raisonnement mathématique”, Revue
de métaphysique et de morale 2 (1894),
pp. 371-384.
- Russian translation by S. Choubine, Bulletin de la Société
physico-mathématique de Kasan 8 (1898), pp. 74-88.
“La lumière et l’électricité d’après Maxwell
et Hertz
”, Annuaire du
Bureau des longitudes 1894, pp. A.1-A.22. Revue scientifique,
4ème série, 1 (1894), pp. 106-111. Œuvres,
tome X, pp. 557-569.
- Published in English in Nature 50 (3 mai 1894),
pp. 8-11;
- Also published in English in the Annual Report of the Board
of Regents of the Smithsonian Institution, 1896, pp. 129-139.
“Sur les rapports de l’analyse pure et de la physique
mathématique”, Acta Mathematica 21 (1897), pp. 331-341; Revue
générale des sciences pures et appliquées 8 (1897)
pp. 857-861; Verhandlungen der ersten internationalen
Mathematiker-Kongresses in Zürich vom 9. bis 11. August
1897, Leipzig, 1898, pp. 81-90.
- Polish translation by S. Dickstein, Wiadomosci Matematyczne 2 (février
1898), pp. 10-20;
- English translation by C. J. Keyser, Bulletin of the American Mathematical
Society 4 (1897-1898), pp. 247-255.
“On the Foundations of Geometry”, The
Monist 9 (1898), pp. 1-43.
- English translation by T. J. Mc Cormack.
- French translation by Louis Rougier, Des fondements de la géométrie,
Paris, Chiron, 1921 (see page xix).
La théorie de Maxwell
et les oscillations hertziennes.
La télégraphie sans fil, Paris, G. Carré & C. Naud,
1899, 80 p.
- Translated into English by F. K. Vreeland, London, New-York, 1904, 1905;
- Translated into German by Max Ikle, Leipzig, Johann Ambrosius Barth, 1909.
“Les relations entre la physique expérimentale
et la physique mathématique”, Rapports
du Congrès international de physique, tome I, Paris,
1900, pp. 1-29; Revue générale des sciences pures
et appliquées 11 (1900), pp. 1163-1175; Revue
scientifique 14, 4ème série, pp. 705-715.
- German translation, Physikalische Zeitschrift 2 (1900-1901),
pp. 166, 182, 196;
- English translation by Georges K. Burgess, The Monist 12 (1901-1902),
pp. 516-543.
“Sur une forme nouvelle des équations de la
mécanique”, Comptes-rendus de l’Académie
des sciences 132 (1901), pp. 369-371. Œuvres,
tome VII, pp. 218-219.
- Translated into Russian by A. V. Vassilief, Bulletin de la Société
physico-mathématique de Kasan 10 (1905), pp. 57-59.
La science et l’hypothèse
, Paris, Flammarion,
1902, 284 p.
- German translation by F. et L. Lindemann
, Leipzig, Teubner, 1904 et 1906.
- English translation and preface by Larmor, London, Walter Scott, 1905 and New-York 1907.
- English translation by G. B. Halsted, New-York, 1905.
- Spanish translation by Gonzáles Quijano, Madrid, José Ruiz, 1907.
- Hungarian translation by Szilárd Béla, Budapest, 1908.
- Japanese translation by Tsuruiche Hayashi, Tokyo, 1909.
- Swedish translation by Anna Sundqvist, Stockholm, Albert Bonnier, 1910.
“Sur la méthode horistique de Gyldén
Gyldén, Húgo :”, Comptes-rendus
de l’Académie des sciences 138 (1904), pp. 583-586.
- German translation by Hugo Buchholtz, Physikalische Zeitschrift 5 (1904),
pp. 385-386.
“Les définitions générales en mathématiques”, in
Conférences du Musée pédagogique, L’enseignement des
sciences mathématiques et des sciences physiques, Paris :
Imprimerie Nationale, 1904, pp. 1-2; L’enseignement
mathématique 6 (1904), pp. 257-283.
- Italian translation by Giulio Lazzeri, Periodico di matematica per
l’insegnamento secondario 20 (1905), pp. 193-202.
- Spanish translation by Angel Bozal Obejero, Gazeta de matemáticas,
Madrid, 3 (1905), pp. 121-132, 164-177.
“L’état actuel et l’avenir de la physique mathématique”, Bulletin
des sciences mathématiques 28 (1904),
2ème série, pp. 302-324; La revue des idées,
1ère année, (15 novembre 1904), pp. 801-814; some
extracts were also published as “Une image de
l’univers” in the Bulletin de la Société
astronomique de France 19 (1905), pp. 30-31.
- English translation by G. B. Halsted, The Monist 15 (1905),
pp. 1-24.
- Japanese translation by Yoshio Mikami, Tokyobateu ri gakkozaschi 165 (1905),
pp. 1-13, 1-14.
- English translation by J. W. Young, Bulletin of the American Mathematical
Society 12 (1905-1906), pp. 240-260.
La valeur de la science
, Paris, Flammarion,
1905, 278 p.
- German translation by E. and H. Weber, Leipzig, Teubner, 1906.
- Spanish translation by Emilio Gonzlez Llana, Madrid, José Ruiz,
1906.
- English translation by G. B. Halsted, New-York, 1907.
“La voie lactée et la théorie des gaz”, Bulletin
de la Société astronomique de France 20 1906),
pp. 153-165.
- Czech translation in Ziva (1907), pp. 65-70.
“Sur la télégraphie sans fil”, La
lumière électrique 4 (1908), 2ème série,
pp. 259-266, 291-297, 323-327, 355-359, 387-393. Conférences
sur la télégraphie sans fil, Paris, 1909, 86 p.
- German translation by W. Jäger, Deutsche-Mechaniker-Zeitung, 1902,
pp. 63-73, 114, 144, 237.
Science et méthode
, Paris, Flammarion,
1908, 314 p.
- German translation by F. and L Lindemann, Leipzig, Teubner, 1909;
- English translation by G. B. Halsted, London / New-York,
1914;
- Spanish translation by Eduardo Cazorla, Madrid, José Ruiz, 1909;
- The chapter entitled “Les logiques nouvelles”
was translated by G. B. Halsted
for The Monist 22 (1912),
pp. 243-256.
“Sur la diffraction des ondes hertziennes I”, Comptes-rendus
de l’Académie des sciences 148 (1909), 812-817. Œuvres,
tome X, pp. 70-75.
- German translation by G. Eichhorn, Jahrbuch der drahtlosen Telegraphie
und Telephonie, Zurich, 3 (1910), pp. 445-487.
“Sur la diffraction des ondes hertziennes II”, Comptes-rendus
de l’Académie des sciences 148 (1909),
pp. 966-968. Œuvres, tome X, pp. 76-77.
- German translation by G. Eichhorn, Jahrbuch der drahtlosen Telegraphie
und Telephonie, Zurich, 3 (1910), pp. 445-487.
“Sur la diffraction des ondes hertziennes III”, Comptes-rendus
de l’Académie des sciences 149 (1909),
pp. 621-622. Œuvres, tome X, pp. 92-93.
- German translation by G. Eichhorn, Jahrbuch der drahtlosen Telegraphie
und Telephonie, Zurich, 3 (1910), pp. 445-487.
“Sur la diffraction des ondes hertziennes IV”, La
lumière électrique 10 (1910), 2ème série,
pp. 355-362, 387-394. 11, pp. 7-12.
- German translation by G. Eichhorn, Jahrbuch der drahtlosen Telegraphie
und Telephonie, Zurich, 3 (1910), pp. 445-487.
“Sur la diffraction des ondes hertziennes V”, Rendiconti
del Circolo matematico di Palermo 29 (1910),
pp. 169-259. Œuvres, tome X, pp. 94-203.
- German translation by G. Eichhorn, Jahrbuch der drahtlosen Telegraphie
und Telephonie, Zurich, 3 (1910), pp. 445-487.
Leçons sur les hypothèses cosmogoniques, Paris, Hermann
et Fils, 1911, XV + 294 p. Second edition,
1913, XV + 294 p.
- Chapter IX was translated into Rumanian by V. Arrestin, Orion, Bucuresti, janvier 1912,
pp. 87-60.
Chapitre XVIII Sources of Poincaré’s Philosophical Books
The purpose of this appendix is to provide information concerning the origins of Poincaré’s philosophical books, i. e. La science et l’hypothèse , La valeur de la science , Science et méthode , Dernières pensées and Savants et écrivains. As is well known, the chapters of these books were constituted from different articles published in scientific or philosophical reviews. I have tried to determine from which material each of these chapters was elaborated and to indicate the proportion of the modifications made by Poincaré.11 1 I have used the information given by Jules Vuillemin in the 1968 and 1970 French editions of La science et l’hypothèse and La valeur de la science. Nevertheless, I have tried to correct Vuillemin’s errors and to give the correct bibliographical references. For more details concerning the nature of the modifications made by Poincaré in each chapter see Laurent Rollet, Henri Poincaré, des mathématiques à la philosophie. Étude du parcours intellectuel, social et politique d’un mathématicien au tournant du siècle, Lille, Presses Universitaires du Septentrion, 2000. There remains of course several gaps. In this case I have formulated the most probable hypotheses.
La science et l’hypothèse (1902)
Première partie
Le nombre et la grandeur22 2 The introduction of the book was written for the occasion.
Chapter I – Sur la nature du raisonnement mathématique
“Sur la nature du raisonnement mathématique”, Revue de métaphysique et de morale 2 (1894), pp. 371-384. Poincaré made several changes and suppressed some few passages.
Chapter II – La grandeur mathématique et l’expérience
“Le continu mathématique”, Revue de métaphysique et de morale 1 (1893), pp. 26-34. This chapter contains some important changes: the section entitled “La grandeur mesurable” was not in the original article and the section “Remarques diverses” was considerably modified. The final section (“Le continu physique à plusieurs dimensions”) seems to be inspired by the article “Correspondance sur les géométries non euclidiennes (lettre à M. Mouret )”, Revue générale des sciences pures et appliquées 3 (1892), pp. 74-75.
Deuxième partie
L’espace
Chapter III – Les géométries non euclidiennes
“Les géométries non euclidiennes”, Revue générale des sciences pures et appliquées 2 (1891), pp. 769-774. Poincaré introduced a lot of modifications. The half of the section “La géométrie et l’astronomie” was inserted in the fifth chapter of the book. Four paragraphs from the end of the article were used to constitute the beginning of chapter IV.
Chapter IV – L’espace et la géométrie
“L’espace et la géométrie”, Revue de métaphysique et de morale 3 (1895), pp. 631-646. Most of the sections were modified. The first four paragraphs come from the 1891 article concerning Euclidean geometries (cf. previous paragraph).
Chapter V – L’expérience et la géométrie
This chapter is one of Poincaré’s most famous philosophical texts. It contains passages from at least four articles: “Les géométries non euclidiennes”, Revue générale des sciences pures et appliquées 2 (1891), pp. 769-774; “On the Foundations of Geometry”, The Monist 9 (1898), pp. 1-43; “Des fondements de la géométrie, à propos d’un livre de M. Russell ”, Revue de métaphysique et de morale 7 (1899), pp. 251-279; “Sur les principes de la géométrie. Réponse à M. Russell ”, Revue de métaphysique et de morale 8 (1900), pp. 73-86.
Troisième partie
La force
Chapter VI – La mécanique classique
“Sur les principes de la mécanique”, Bibliothèque du Congrès international de philosophie, tome III, Paris, 1901, pp. 457-494. Poincaré made some important changes and divided this article into two parts. The rest of the article (i. e. after the section “L’école du fil”) was used to elaborate chapter VII.
Chapter VII – Le mouvement relatif et le mouvement absolu
“Sur les principes de la mécanique”, Bibliothèque du Congrès international de philosophie, tome III, Paris, 1901, pp. 457-494. The section entitled “Le principe de réaction” does not appear in the chapter and Poincaré did not insert the last paragraphs of the article (they appear as the “Conclusion de la troisième partie”).
Chapter VIII – Énergie et thermodynamique
La thermodynamique, Paris, G. Carré & C. Naud, 1891, XIX + 432 p. The reprise is not complete. Moreover, Poincaré suppressed most of mathematical formulas and equations.
Conclusion de la troisième partie
“Sur les principes de la mécanique”, Bibliothèque du Congrès international de philosophie, tome III, Paris, 1901, pp. 457-494. This short chapter is made of the end of this article and of a few passages which were probably written by Poincaré for the occasion.
Quatrième partie
La nature
Chapter IX – Les hypothèses en physique
“Les relations entre la physique expérimentale et la physique mathématique”, Rapports du Congrès international de physique, tome I, Paris, 1900, pp. 1-29; Revue générale des sciences pures et appliquées 11 (1900), pp. 1163-1175; Revue scientifique 14 (1900), 4ème série, pp. 705-715. This chapter is almost a copie conforme of the beginning of the article.
Chapter X – Les théories de la physique moderne
“Les relations entre la physique expérimentale et la physique mathématique”, Rapports du Congrès international de physique, tome I, Paris, 1900, pp. 1-29; Revue générale des sciences pures et appliquées 11 (1900), pp. 1163-1175; Revue scientifique 14 (1900), 4ème série, pp. 705-715. This chapter is almost a copie conforme of the end of the article.
Chapter XI – Le calcul des probabilités
“Réflexions sur le calcul des probabilités”, Revue générale des sciences pures et appliquées 10 (1899), pp. 262-269. Poincaré suppressed most of mathematical formulas and equations.
Chapter XII – L’optique et l’électricité
Théorie mathématique de la lumière, tome 1, Paris, G. Carré & C. Naud, 1889, IV + 408 p.; Électricité et optique, tome 1 – Les théories de Maxwell et la théorie électromagnétique de la lumière, Paris, G. Carré & C. Naud, 1890, XIX + 314 p. This chapter finds its origin in the prefaces of the two books (with some important changes).
Chapter XIII – L’électrodynamique
We could not find the source of this chapter.
Chapter XV – La fin de la matière
“La fin de la matière”, Atheneum 4086 (17 février 1906), pp. 201-202. Of course, this chapter did not appear in the 1902 edition of the book !
La valeur de la science (1905) La valeur de la science :
Première partie
Les sciences mathématiques33 3 The introduction of the book was written for the occasion.
Chapter I – L’intuition et la logique en mathématiques
“Du rôle de l’intuition et de la logique en mathématiques”, Compte-rendu du deuxième Congrès international des mathématiciens tenu à Paris du 6 au 12 août 1900, Paris, 1900, pp. 115-130. Poincaré made a few changes and suppressed the illustration of the article.
Chapter II – La mesure du temps
“La mesure du temps”, Revue de métaphysique et de morale 6 (1898), pp. 1-13. This chapter is almost identical to the original article.
Chapter III – La notion d’espace
“L’espace et ses trois dimensions”, Revue de métaphysique et de morale 11 (1903), pp. 281-301. Some references to previous articles are replaced in the chapter by references to La science et l’hypothèse . Nevertheless, the chapter seems to be identical to the article.
Chapter IV – L’espace et ses trois dimensions
“L’espace et ses trois dimensions”, Revue de métaphysique et de morale 11 (1903), pp. 281-301. This chapter is the reprise of the end of the article.
Deuxième partie
Les sciences physiques
Chapter V – L’analyse et la physique
“Sur les rapports de l’analyse pure et de la physique mathématique”, Acta Mathematica 21 (1897), pp. 331-341; Revue générale des sciences pures et appliquées 8 (1897), pp. 857-861; Verhandlungen der ersten internationalen Mathematiker-Kongresses in Zürich vom 9. bis 11. August 1897, Leipzig, 1898, pp. 81-90. Poincaré made a few changes in the section concerning Kowaleski’s works (i. e. suppression of several mathematical formulas).
Chapter VI – L’astronomie
“Grandeur de l’astronomie”, Bulletin de la Société astronomique de France 17 (1903), pp. 253-259. The first four paragraphs and the last one of the chapter did not appear in the article.
Chapter VII L’histoire de la physique mathématique
“L’état actuel et l’avenir de la physique mathématique”, Bulletin des sciences mathématiques 28 (1904), 2ème série, pp. 302-324; La revue des idées, 1ère année, (November 15, 1904), pp. 801-814; some extracts were also published in a text entitled “Une image de l’univers”, Bulletin de la Société astronomique de France 19 (1905), pp. 30-31. This chapter is a reprise of the beginning of the article (until the p. 307 of the Bulletin des sciences mathématiques version).
Chapter VIII La crise actuelle de la physique
“L’état actuel et l’avenir de la physique mathématique”, Bulletin des sciences mathématiques 28 (1904), 2ème série, pp. 302-324; La revue des idées, 1ère année, (November 15, 1904), pp. 801-814. This chapter is a reprise of the middle of the article (pp. 307-318 of the Bulletin des sciences mathématiques version).
Chapter IX – L’avenir de la physique mathématique
“L’état actuel et l’avenir de la physique mathématique”, Bulletin des sciences mathématiques 28 (1904), 2ème série, pp. 302-324; La revue des idées, 1ère année, (November 15, 1904), pp. 801-814. This chapter is a reprise of the end of the article. Some paragraphs were suppressed.
Troisième partie
La valeur objective de la science
Chapter X – La science est-elle artificielle ?
“Sur la valeur objective de la science”, Revue de métaphysique et de morale 10 (1902), pp. 263-293. This chapter reprints the beginning of the article (until p. 281), with several additions.
Chapter XI – La science et la réalité
“Sur la valeur objective de la science”, Revue de métaphysique et de morale 10 (1902), pp. 263-293. This chapter has its source in the end of the article. Section VII entitled “La rotation de la Terre” did not appear in the article.
Science et méthode (1908)
Livre I
Le savant et la science
Chapter I Le choix des faits
“The Choice of Facts”, preface to English translation of The Value of Science, New-York, 1907 (translated into English by G. B. Halsted ). This preface was also published in The Monist in 1909 as “The Choice of Facts”, The Monist 19 (April 1909), pp. 231-239. There seems to be no difference between the two versions of this text.
Chapter II L’avenir des mathématiques
“L’avenir des mathématiques”, Atti IV Congr. Internaz. Matematici, Roma, 11 Aprile 1908, pp. 167-182; Bulletin des sciences mathématiques, 2ème série, 32 (1908), pp. 168-190; Rendiconti del Circolo matematico di Palermo 16 (1908), pp. 162-168; Revue générale des sciences pures et appliquées 19 (1908), pp. 930-939; Scientia (Rivista di Scienza) 2 (1908), pp. 1-23. The chapter slightly differs from the article since Poincaré suppressed several rather technical sections such as “Équations aux dérivées partielles”, “Les fonctions abéliennes” or “Théorie des groupes”.
Chapter III L’invention mathématique
“L’invention mathématique”, L’enseignement mathématique 10 (1908), pp. 357-371; Bulletin de l’Institut général de psychologie 8 (1908), pp. 175-187; Revue du mois 6 (1908), pp. 9-21; Revue générale des sciences pures et appliquées 19 (1908), pp. 521-526. Moreover, this article was published in H. Fehr’s Enquête de L’enseignement mathématique sur la méthode de travail des mathématiciens, Paris / Genève, Gauthier-Villars / Georg & Cie, 1912, pp. 123-137. There does not seem to be any notable difference between the article and the chapter.
Chapter IV Le hasard
“Le hasard”, Revue du mois 3 (1907), pp. 257-276. This chapter does not significantly modify the original article.
Livre II
Le raisonnement mathématique
Chapter V La relativité de l’espace
“La relativité de l’espace”, Année psychologique 13 (1907), pp. 1-17. The chapter is apparently identical to the original article.
Chapter VI Les définitions mathématiques et l’enseignement
“Les définitions générales en mathématiques”, in Conférences du Musée pédagogique, L’enseignement des sciences mathématiques et des sciences physiques, chapitre 1, Paris, Imprimerie Nationale, 1904, pp. 1-28; L’enseignement mathématique 6 (1904), pp. 257-283. This chapter gives a lighter version of the article since Poincaré suppressed the sections devoted to differential and integral calculus.
Chapter VII – Les mathématiques et la logique
“Les mathématiques et la logique”, Revue de métaphysique et de morale 14 (1905), pp. 294-317. This chapter is a reproduction of the beginning of the original article. Poincaré made some important cuts and modifications.44 4 For more details concerning the changes made by Poincaré in this chapter, cf. Gerhard Heinzmann’s Poincaré, Russell, Zermelo, textes de la discussion (1906-1912) sur les fondements des mathématiques : des antinomies à la prédicativité, Paris, Blanchard, 1986, pp. 11-53.
Chapter VIII – Les logiques nouvelles
“Les mathématiques et la logique”, Revue de métaphysique et de morale 14 (1905), pp. 294-317. The beginning of this chapter is a reprise of the end of the article. The end of the chapter (from section VI devoted to Hilbert’s logic) finds its origin in the 1906 article “Les mathématiques et la logique”, Revue de métaphysique et de morale 14 (1906), pp. 17-34.
Chapter IX – Les derniers efforts des logisticiens
This chapter also has its source in the 1906 article: “Les mathématiques et la logique”, Revue de métaphysique et de morale 14 (1906), pp. 294-317
Livre III
La mécanique nouvelle
Chapters X, XI and XII55 5 Respectively “La mécanique et le radium”, “La mécanique et l’optique” and “La mécanique nouvelle et l’astronomie”.
The three chapters are a reprint of Poincaré’s 1908 article “La dynamique de l’électron”, Revue générale des sciences pures et appliquées 19 (1908), pp. 386-402. This article was a simplified version of two homonymous technical articles: on the one hand, “Sur la dynamique de l’électron”, Comptes-rendus de l’Académie des sciences 140 (1905), pp. 1504-1508; on the other hand, “Sur la dynamique de l’électron”, Rendiconti del Circolo matematico di Palermo 21 (1906), pp. 129-176. The differences compared to the original article are very slight.
Livre IV
La science astronomique
Chapter XIII – La voie lactée et la théorie
des gaz
“La voie lactée et la théorie des gaz”, Bulletin
de la Société astronomique de France 20 (1906),
pp. 153-165. Poincaré
made some minor modifications.
Nevertheless, he suppressed the illustrations of the original
article.
Chapter XIV – La géodésie française
“La géodésie française”, Mémoires de l’Institut 20 (1900), pp. 13-25; also published as “La mesure de la Terre et la géodésie française”, Bulletin de la Société astronomique de France 14 (1900), pp. 513-521. This chapter is a reprint of the Bulletin article without any notable change, apart from the suppression of two illustrations.
Savants et écrivains (1910)
Chapter I – Sully Prudhomme Sully Prudhomme, René François Armand Prudhomme (dit) :
“Sur la vie et l’œuvre poétique et philosophique de Sully Prudhomme ”, Mémoires de l’Institut (1909), pp. 3-37. Some passages of this article were reproduced in a short article entitled “Poésie scientifique et philosophique”, Le mois littéraire et pittoresque 165 (1909), pp. 280-281.
Chapter II – Gréard , écrivain
“Discours à l’inauguration du monument élevé à la mémoire d’Octave Gréard (11/07/1909)”, Mémoires de l’Institut (1909), pp. 3-8; Le Temps, July 12, 1909, p. 3. There does not seem to be any difference between the chapter and the original conference.
Chapter III – Curie et Brouardel
This chapter is a reprint, without modification of two différent obituaries published in the Comptes-rendus de l’Académie des Sciences: “Sur M. Curie, membre de l’Académie”, Comptes-rendus de l’Académie des sciences 142 (1906), pp. 939-941; “Sur M. Bischoffsheim ”, Comptes-rendus de l’Académie des sciences 142 (1906), p. 1119.
Chapter IV Laguerre
Notice sur Laguerre, Paris, Gauthier-Villars, 1887. It was originally published in the Comptes-rendus de l’Académie des sciences 104 (1887), pp. 1643-1650; also published as a preface to Œuvres de Laguerre , tome 1, Paris, 1898, pp. V-XV. In the chapter, Poincaré suppressed most of the references concerning Laguerre’s mathematical and scientific works.
Chapter V Hermite
“Au jubilé de M. Charles Hermite ”, in: Jubilé de M. Charles Hermite, Paris, Gauthier-Villars, 1893, pp. 6-8; Revue des questions scientifiques, 2 série, 3 (1893), pp. 244-246.
Chapter VI – Cornu
“Discours prononcé aux funérailles de M. A. Cornu (16/04/1902)”, Mémoires de l’Institut (1902), pp. 15-18; Bulletin de la Société française de physique (1902), pp. 186-188; Annuaire du Bureau des longitudes (1903), pp. D. 7-D. 11.
Chapter VII – Halphen
“Notice sur Halphen ”, Journal de l’École Polytechnique cahier 60 (1890), pp. 137-161. The chapter reprints only the first three sections of the article; the final sections (sections IV to IX) are devoted to Halphen’s mathematical works and were not used in this version.
Chapter VIII – Tisserand
This chapter seems to have its origin in two articles:
“Sur la vie et les travaux de F. Tisserand
”, Revue générale
des sciences pures et appliquées 7 (1896),
pp. 1230-1233; “Discours prononcé aux
funérailles de M. Tisserand
”, Bulletin
astronomique 13 (1896), pp. 430-432; Annuaire
du Bureau des longitudes (1897), pp. H. 15-H.
18.
Chapter IX – Bertrand
“Au cinquantenaire de l’entrée de M. Joseph Bertrand dans l’enseignement”, Revue scientifique 1 (1894), 4ème série, pp. 685-686; Annuaire de l’École Polytechnique, (1895), pp. 107-108.
Chapter X – Berthelot
“Sur l’œuvre de Marcelin Berthelot ”, Le Matin, March 25, 1907, p. 1.
Chapter XI – Faye
“Sur la vie et les travaux de M. Faye ”, Bulletin de la Société astronomique de France 16 (1902), pp. 496-501.
Chapter XII Potier
“A. Potier
”, Éclairage électrique 43 (1905),
pp. 281-282; also reprinted in Potier, A., Mémoires sur l’électricité et
l’optique, Paris, Gauthier-Villars, 1912, pp. V-X.
Chapter XIII – Weierstraß
“L’œuvre mathématique de Weierstraß
”, Acta
Mathematica 22 (1898), pp. 1-18.
The chapter is a reprise of the non technical parts of
the original article.
Chapter XIV – Lord Kelvin
“Lord Kelvin ”, La lumière électrique 1 (1908), 2ème série, pp. 139-147.
Chapter XV – Lœwy
“Sur M. Maurice Lœwy ”, Annuaire du Bureau des longitudes (1908), pp. D. 1-D. 18.
Chapter XVI – Les polytechniciens
Sur la part des polytechniciens dans l’œuvre scientifique du XIXème siècle, Compte-rendu, Paris, Gauthier-Villars, 1903, pp. 11-17.
Dernières pensées Dernières pensées : (1913)
Chapter I– L’évolution des lois
“L’évolution des lois”, Scientia (Rivista di Scienza) 9 (1911), pp. 275-292.
Chapter II – L’espace et le temps
“L’espace et le temps”, Scientia (Rivista di Scienza) 12 (1912), pp. 159-171.
Chapter III – Pourquoi l’espace a trois dimensions
“Pourquoi l’espace a trois dimensions”, Revue de métaphysique et de morale 20 (1912), pp. 483-504.
Chapter IV – La logique de l’infini
“La logique de l’infini”, Revue de métaphysique et de morale 17 (1909), pp. 461-482.
Chapter V – Les mathématiques et la logique
“La logique de l’infini”, Scientia (Rivista di Scienza) 12 (1912), pp. 1-11.
Chapter VI – L’hypothèse des quanta
“L’hypothèse des quanta”, Revue scientifique 17 (1912), 4ème série, pp. 225-232. Œuvres, tome IX, pp. 654-668.
Chapter VII – Les rapports de la matière et de l’éther
“Les rapports de la matière et de l’éther”, Journal de physique théorique et appliquée 2 (1912), 5ème série, pp. 347-360. Œuvres, tome IX, pp. 669-682.
Chapter VIII – La morale et la science
“La morale et la science”, Foi et vie (Paris) 13 (1910), pp. 323-329; Questions du temps présent, Paris, 1910, pp. 49-69; La revue 86 (1910), pp. 289-302.
Chapter IX – L’union morale
“L’union pour l’éducation morale”, Le Parthénon, Revue bimensuelle politique, littéraire et indépendante 12 (July 5, 1912), pp. 545-549.
Since 1926, the following chapters were added to the editions of Dernières pensées.
Chapter X – Les fondements de la géométrie
“Les fondements de la géométrie – Grundlagen der Geometrie par M. Hilbert, professeur à l’Université de Göttingen. – Festschrift zur Feier der Enthüllung des Gauß -Weber-Denkmals”, Journal des savants (1902), Paris, Imprimerie Nationale, Hachette, pp. 252-271.
Chapter XI – Cournot et les principes du calcul infinitésimal
“Cournot et les principes du calcul infinitésimal”, Revue de métaphysique et de morale 13 (1905), pp. 293-306.
Chapter XII – Le libre examen en matière scientifique
Le libre examen en matière scientifique – conférence faite aux Fêtes jubilaires de l’Université de Bruxelles le 21 novembre 1909, extrait de la Revue de l’Université de Bruxelles (décembre 1909), Liège, Imprimerie La Meuse, 1909, pp. 5-15.
Chapter XIII – Le démon d’Arrhénius
“Le démon d’Arrhénius”, published in Hommage à Louis Olivier, Paris, Imprimerie L. Maretheux, 1911, pp. 281-287.
Chapitre XIX Bibliography of Poincaré’s writings
1874
“Démonstration nouvelle des propriétés de l’indicatrice d’une surface”, Nouvelles annales mathématiques 13, 2ème série, pp. 449-456.
1875
“Note sur les propriétés des fonctions définies par les équations différentielles”, Journal de l’École Polytechnique 45ème cahier, pp. 13-26 ; Œuvres, tome I, pp. XXXVI-XLVIII.
1879
a) “Sur quelques propriétés des formes
quadratiques”, Comptes-rendus de l’Académie
des sciences 89, pp. 344-346. Œuvres,
tome V, pp. 189-191.
b) “Sur les formes quadratiques”, Comptes-rendus
de l’Académie des sciences 89, pp. 87-89. Œuvres,
tome V, pp. 192-194.
c) “Sur les propriétés des fonctions définies
par les équations aux différences partielles”, Thèses
présentées à la Faculté des sciences de Paris, 1er août 1879, Paris, Gauthier-Villars, 93 p. Œuvres,
tome I, pp. XLIX-CXXXI.
1880
a) “Sur les courbes définies par une équation
différentielle”, Comptes-rendus de l’Académie
des sciences 90, pp. 673-675. Œuvres,
tome I, pp. 1-2.
b) “Sur les formes cubiques ternaires”, Comptes-rendus
de l’Académie des sciences 90, pp. 1336-1339. Œuvres,
tome V, pp. 291-292.
c) “Sur la réduction simultanée d’une forme
quadratique et d’une forme linéaire”, Comptes-rendus
de l’Académie des sciences 91, pp. 844-846. Œuvres,
tome V, pp. 337-339.
d) “Sur un mode nouveau de représentation géométrique
des formes quadratiques définies ou indéfinies”, Journal
de l’École Polytechnique cahier 47, pp. 177-245. Œuvres,
tome V, pp. 117-180.
e) “Note sur les principes de la mécanique dans
Descartes et dans Leibnitz, par Henri Poincaré, ingénieur
des mines, chargé de cours à la Faculté des sciences de
Caen”, in Boutroux, É. (éd.), La monadologie –
Édition annotée et précédée d’une exposition du système
de Leibnitz, Paris, Delagrave, pp. 225-231.
1881
a) “Sur les fonctions fuchsiennes”, Comptes-rendus
de l’Académie des sciences 92, pp. 333-335. Œuvres,
tome II, pp. 1-4.
b) “Sur les fonctions fuchsiennes”, Comptes-rendus
de l’Académie des sciences 92, pp. 395-398. Œuvres,
tome II, pp. 5-7.
c) “Sur les équations différentielles linéaires
à intégrales algébriques”, Comptes-rendus
de l’Académie des sciences 92, pp. 698-701. Œuvres,
tome III, pp. 95-97.
d) “Sur les représentations des nombres par les
formes”, Comptes-rendus de l’Académie des
sciences 92, pp. 777-779. Œuvres, tome V,
pp. 397-399.
e) “Sur une nouvelle application et quelques applications
importantes des fonctions fuchsiennes”, Comptes-rendus
de l’Académie des sciences 92, pp. 859-861. Œuvres,
tome II, pp. 8-10.
f) “Sur l’intégration des équations linéaires
par les moyens des fonctions abéliennes”, Comptes-rendus
de l’Académie des sciences 92, pp. 913-915. Œuvres,
tome III, pp. 98-100.
g) “Sur les fonctions fuchsiennes”, Comptes-rendus
de l’Académie des sciences 92, p. 957. Œuvres,
tome II, p. 11.
h) “Sur les fonctions abéliennes”, Comptes-rendus
de l’Académie des sciences 92, pp. 958-959. Œuvres,
tome IV, pp. 299-301.
i) “Sur les fonctions fuchsiennes”, Comptes-rendus
de l’Académie des sciences 92, pp. 1198-1200. Œuvres,
tome II, pp. 12-15.
j) “Sur les fonctions fuchsiennes”, Comptes-rendus
de l’Académie des sciences 92, pp. 1274-1276. Œuvres,
tome II, pp. 16-18.
k) “Sur une propriété des fonctions uniformes”, Comptes-rendus
de l’Académie des sciences 92, pp. 1335-1336. Œuvres,
tome IV, pp. 9-10.
l) “Sur les fonctions fuchsiennes”, Comptes-rendus
de l’Académie des sciences 92, pp. 1484-1487. Œuvres,
tome II, pp. 19-22.
m) “Sur les groupes kleinéens”, Comptes-rendus
de l’Académie des sciences 93, pp. 44-46. Œuvres,
tome II, pp. 23-25.
n) “Sur une fonction analogue aux fonctions modulaires”, Comptes-rendus
de l’Académie des sciences 93, pp. 138-140. Œuvres,
tome II, pp. 26-28.
o) “Sur les fonctions fuchsiennes”, Comptes-rendus
de l’Académie des sciences 93, pp. 301-303. Œuvres,
tome II, pp. 29-31.
p) “Sur les fonctions fuchsiennes”, Comptes-rendus
de l’Académie des sciences 93, pp. 581-582. Œuvres,
tome II, pp. 32-34.
q) “Sur les courbes définies par les équations
différentielles”, Comptes-rendus de l’Académie
des sciences 93, pp. 951-952. Œuvres,
tome I, pp. 85-86.
r) “Sur les applications de la géométrie non-euclidienne
à la théorie des formes quadratiques”, Comptes-rendus
des Sessions de l’Association Française pour l’Avancement des
Sciences, 10ème Session (Alger 1881), Paris, Gauthier-Villars,
1882, pp. 132-138. Œuvres, tome V,
pp. 267-274.
s) “Sur les formes cubiques ternaires et quaternaires
(1ère partie)”, Journal de l’École Polytechnique
cahier 50, pp. 199-253. Œuvres, tome V,
pp. 28-72.
t) “Mémoire sur les courbes définies par une
équation différentielle (2nde partie)”,
Journal de mathématiques pures et appliquées 7, 3ème
série, pp. 375-422. Œuvres, tome I,
pp. 3-44.
1882
a) “Sur les invariants arithmétiques ”,
Comptes-rendus de des Sessions de l’Association Française pour
l’Avancement des Sciences, 10ème session (Alger 1881), Paris,
Gauthier-Villars, 1882, pp. 109-117. Œuvres,
tome V, pp. 195-202.
b) “Sur les formes cubiques ternaires et quaternaires (2nde
partie)”, Journal de l’École Polytechnique
cahier 51, pp. 45-91. Œuvres, tome V,
pp. 293-334.
c) “Sur une extension de la notion arithmétique
de genre”, Comptes-rendus de l’Académie
des sciences 94, pp. 67-71. Œuvres, tome V,
pp. 435-437.
d) “Sur une extension de la notion arithmétique
de genre”, Comptes-rendus de l’Académie
des sciences 94, pp. 124-127. Œuvres,
tome V, pp. 438-440.
e) “Sur les fonctions fuchsiennes”, Comptes-rendus
de l’Académie des sciences 94, pp. 163-166. Œuvres,
tome II, pp. 35-37.
f) “Sur les points singuliers des équations différentielles”, Comptes-rendus
de l’Académie des sciences 94, pp. 416-418 Œuvres,
tome XI, pp. 3-5.
g) “Sur l’intégration des équations différentielles
par les séries”, Comptes-rendus de l’Académie
des sciences 94, pp. 577-578. Œuvres,
tome I, pp. 162-163.
h) “Sur les groupes discontinus”, Comptes-rendus
de l’Académie des sciences 94, pp. 840-843. Œuvres,
tome II, pp. 38-40.
i) “Sur les fonctions fuchsiennes”, Comptes-rendus
de l’Académie des sciences 94, pp. 1038-1040. Œuvres,
tome II, pp. 41-43.
j) “Sur les fonctions fuchsiennes”, Comptes-rendus
de l’Académie des sciences 94, pp. 1166-1167. Œuvres,
tome II, pp. 44-46.
k) “Sur une classe d’invariants relatifs aux équations
linéaires”, Comptes-rendus de l’Académie
des sciences 94, pp. 1402-1405. Œuvres,
tome II, pp. 47-49.
l) “Sur les transcendantes entières”, Comptes-rendus
de l’Académie des sciences 95, pp. 23-26. Œuvres,
tome IV, pp. 14-16.
m) “Sur les fonctions fuchsiennes”, Comptes-rendus
de l’Académie des sciences 95, pp. 626-628. Œuvres,
tome II, pp. 50-52.
n) “Sur les séries trigonométriques”, Comptes-rendus
de l’Académie des sciences 95, pp. 766-768. Œuvres,
tome IV, pp. 585-587.
o) “Théorie des groupes fuchsiens”, Acta
Mathematica 1, pp. 1-62. Œuvres, tome II,
pp. 108-168.
p) “Sur les fonctions fuchsiennes”, Acta
Mathematica 1, pp. 193-294. Œuvres, tome II,
pp. 169-257.
q) “Mémoire sur les courbes définies par une
équation différentielle (2nde partie)”,
Journal de mathématiques pures et appliquées 8, 3ème
série, pp. 251-296. Œuvres, tome I,
pp. 44-84.
r) “Sur les fonctions uniformes qui se reproduisent
par des substitutions linéaires”, Mathematische Annalen 19,
pp. 553-564. Œuvres, tome II, pp. 92-104.
s) “Sur les fonctions uniformes qui se reproduisent
par des substitutions linéaires (extrait d’une lettre adressée
à F. Klein)”, Mathematische Annalen 20,
pp. 52-53. Œuvres, tome II, pp. 106-107.
t) “Sur la théorie des fonctions fuchsiennes”, Mémoires
de l’Académie Nationale des Sciences, Arts et belles Lettres
de Caen, pp. 3-29. Œuvres, tome II, pp. 75-91.
1883
a) “Sur les fonctions de deux variables”, Comptes-rendus
de l’Académie des sciences 96, pp. 238-240. Œuvres,
tome IV, pp. 144-146.
b) “Sur les séries de polynômes”, Comptes-rendus
de l’Académie des sciences 96, pp. 637-639. Œuvres,
tome I, pp. 223-225.
c) “Sur les groupes des équations linéaires”, Comptes-rendus
de l’Académie des sciences 96, pp. 691-694. Œuvres,
tome II, pp. 53-55.
d) “Sur les fonctions à espaces lacunaires”, Comptes-rendus
de l’Académie des sciences 96, pp. 1134-1136. Œuvres,
tome IV, pp. 25-27.
e) “Sur les groupes des équations abéliennes”, Comptes-rendus
de l’Académie des sciences 96, pp. 1302-1304. Œuvres,
tome II, pp. 56-58.
f) “Sur les fonctions fuchsiennes”, Comptes-rendus
de l’Académie des sciences 96, pp. 1485-1487. Œuvres,
tome II, pp. 59-61.
g) “Sur certaines solutions particulières du
problème des trois corps”, Comptes-rendus
de l’Académie des sciences 97, pp. 251-252. Œuvres,
tome VII, pp. 251-252.
h) “Sur la reproduction des formes”, Comptes-rendus
de l’Académie des sciences 97, pp. 949-951. Œuvres,
tome V, pp. 73-75.
i) “Sur l’intégration algébrique des équations
linéaires”, Comptes-rendus de l’Académie
des sciences 97, pp. 984-985. Œuvres,
tome III, pp. 101-102.
j) “Sur l’intégration algébrique des équations
linéaires”, Comptes-rendus de l’Académie
des sciences 97, pp. 1189-1191. Œuvres,
tome III, pp. 103-105.
k) “Sur un théorème de Riemann relatif aux
fonctions de n variables indépendantes admettant 2n
systèmes de périodes (en collaboration avec É. Picard)”, Comptes-rendus
de l’Académie des sciences 97, pp. 1284-1287. Œuvres,
tome IV, pp. 307-310.
l) “Sur les équations algébriques”, Comptes-rendus
de l’Académie des sciences 97, pp. 1418-1419. Œuvres,
tome V, pp. 81-82.
m) “Sur les séries trigonométriques”, Comptes-rendus
de l’Académie des sciences 97, pp. 1471-1473. Œuvres,
tome IV, pp. 588-590.
n) “Sur les fonctions de deux variables”, Acta
Mathematica 2, pp. 97-113. Œuvres, tome IV,
pp. 147-161.
o) “Mémoire sur les groupes kleinéens”, Acta
Mathematica 3, pp. 49-92. Œuvres, tome II,
pp. 258-299.
p) “Sur les fonctions à espaces lacunaires”, Acta
Societatis Scientiarum Fennicae 12, pp. 343-350. Œuvres,
tome IV, pp. 28-35.
q) “Sur un théorème de la théorie générale
des fonctions”, Bulletin de la Société
mathématique de France 11, pp. 112-125. Œuvres,
tome IV, pp. 57-69.
r) “Sur les fonctions ”, Bulletin de la Société mathématique
de France 11, pp. 129-134. Œuvres, tome IV,
pp. 302-306.
s) “Sur les fonctions entières”, Bulletin
de la Société mathématique de France 11, pp. 136-144. Œuvres,
tome IV, pp. 17-24.
1884
a) “Sur les courbes définies par les équations
différentielles”, Comptes-rendus de l’Académie
des sciences 98, pp. 287-289. Œuvres,
tome I, pp. 87-89.
b) “Sur les substitutions linéaires”, Comptes-rendus
de l’Académie des sciences 98, pp. 349-352.
Œuvres, tome IV, pp. 531-533.
c) “Sur les groupes hyperfuchsiens”, Comptes-rendus
de l’Académie des sciences 98, pp. 503-504. Œuvres,
tome II, pp. 62-63.
d) “Sur une équation différentielle”, Comptes-rendus
de l’Académie des sciences 98, pp. 793-795. Œuvres,
tome VII, pp. 543-545.
e) “Sur un théorème de M. Fuchs”, Comptes-rendus
de l’Académie des sciences 99, pp. 75-77. Œuvres,
tome III, pp. 1-3.
f) “Sur les nombres complexes”, Comptes-rendus
de l’Académie des sciences 99, pp. 740-742. Œuvres,
tome V, pp. 77-79.
g) “Sur la réduction des intégrales abéliennes”, Comptes-rendus
de l’Académie des sciences 99, pp. 853-855. Œuvres,
tome III, pp. 352-354.
h) “Sur une généralisation des fractions continues”, Comptes-rendus
de l’Académie des sciences 99, pp. 1014-1016. Œuvres,
tome V, pp. 185-187.
i) “Sur les intégrales de différentielles totales”, Comptes-rendus
de l’Académie des sciences 99, pp. 1145-1147. Œuvres,
tome III, pp. 355-356.
j) “Sur la réduction des intégrales abéliennes”, Bulletin
de la Société mathématique de France 12, pp. 124-143. Œuvres,
tome III, pp. 333-351.
k) “Remarques sur l’emploi d’une méthode proposée
par M. P. Appell intitulée Méthode élémentaire
pour obtenir le développement en série trigonométrique
des fonctions elliptiques”, Bulletin
de la Société mathématique de France 13, pp. 19-27. Œuvres,
tome V, pp. 85-94.
l) “Sur les groupes des équations linéaires”, Acta
Mathematica 4, pp. 201-311. Œuvres,
tome II, pp. 300-401.
m) “Mémoire sur les fonctions zétafuchsiennes”, Acta
Mathematica 5, pp. 209-278. Œuvres,
tome II, pp. 402-462.
n) “Sur certaines solutions particulières du
problème des trois corps”, Bulletin astronomique 1,
pp. 65-74. Œuvres, tome VII, pp. 253-261.
o) “Sur la convergence des séries trigonométriques”, Bulletin
astronomique 1, pp. 319-327. Œuvres, tome IV,
pp. 591-598.
p) Notice sur les travaux scientifiques de M. Poincaré
(rédigée par lui-même), Paris, Gauthier-Villars, 51 p.
1885
a) “Sur une généralisation du théorème
d’Abel”, Comptes-rendus de l’Académie des
sciences 100, pp. 40-42. Œuvres, tome III,
pp. 357-359.
b) “Sur l’équilibre d’une masse fluide animée
d’un mouvement de rotation”, Comptes-rendus
de l’Académie des sciences 100, pp. 346-348. Œuvres,
tome VII, pp. 14-16.
c) “Sur les fonctions abéliennes”, Comptes-rendus
de l’Académie des sciences 100, pp. 785-787. Œuvres,
tome IV, pp. 311-313.
d) “Sur l’équilibre d’une masse fluide animée
d’un mouvement de rotation”, Comptes-rendus
de l’Académie des sciences 100, pp. 1068-1070. Œuvres,
tome VII, pp. 34-36.
e) “Sur l’équilibre d’une masse fluide animée
d’un mouvement de rotation”, Comptes-rendus
de l’Académie des sciences 101, pp. 307-309. Œuvres,
tome VII, pp. 37-39.
f) “Sur les intégrales irrégulières des équations
linéaires”, Comptes-rendus de l’Académie
des sciences 101, pp. 939-941. Œuvres,
tome IV, pp. 611-613.
g) “Sur les intégrales irrégulières des équations
différentielles”, Comptes-rendus de l’Académie
des sciences 101, pp. 990-991. Œuvres,
tome IV, pp. 614-615.
h) “Sur les séries trigonométriques”, Comptes-rendus
de l’Académie des sciences 101, pp. 1131-1134. Œuvres,
tome I, pp. 164-166.
i) “Sur un théorème de M. Fuchs”, Acta
Mathematica 7, pp. 1-32. Œuvres, tome III,
pp. 4-31.
j) “Sur l’équilibre d’une masse fluide animée
d’un mouvement de rotation”, Acta Mathematica 7,
pp. 259-380. Œuvres, tome VII, pp. 40-140.
k) “Sur les courbes définies par les équations
différentielles (3ème partie)”, Journal
de mathématiques pures et appliquées 4ème série, pp. 167-244. Œuvres, tome I,
pp. 90-161.
l) “Sur l’équilibre d’une masse fluide animée
d’un mouvement de rotation”, Bulletin astronomique 2,
pp. 109-118. Œuvres, tome VII, pp. 17-25.
m) “Sur l’équilibre d’une masse fluide animée
d’un mouvement de rotation”, Bulletin astronomique 2,
pp. 405-413. Œuvres, tome VII, pp. 26-33.
n) “Note sur la stabilité de l’anneau de Saturne”, Bulletin
astronomique 2, pp. 507-508. Œuvres, tome VIII,
pp. 457-458.
o) “Sur les équations linéaires aux différentielles
ordinaires et aux différences finies”, American
Journal of Mathematics 7, n° 3, pp. 1-56. Œuvres,
tome I, pp. 226-289.
p) “Sur la représentation des nombres par les
formes”, Bulletin de la Société mathématique
de France 13, pp. 162-194. Œuvres, tome V,
pp. 400-432.
1886
a) “Sur la transformation des fonctions fuchsiennes
et la réduction des intégrales abéliennes”, Comptes-rendus
de l’Académie des sciences 102, pp. 41-44. Œuvres,
tome IV, pp. 314-317.
b) “Sur les résidus des intégrales doubles”, Comptes-rendus
de l’Académie des sciences 102, pp. 202-204. Œuvres,
tome III, pp. 437-439.
c) “Sur les fonctions fuchsiennes et les formes
quadratiques ternaires indéfinies”, Comptes-rendus
de l’Académie des sciences 102, pp. 735-737. Œuvres,
tome II, pp. 64-66. Œuvres, tome V,
pp. 275-277.
d) “Sur la réduction des intégrales abéliennes”, Comptes-rendus
de l’Académie des sciences 102, pp. 915-916. Œuvres,
tome III, pp. 360-361.
e) “Sur l’équilibre d’une masse fluide en rotation”, Comptes-rendus
de l’Académie des sciences 102, pp. 970-972. Œuvres,
tome VII, pp. 141-142.
f) “Sur les transformations des surfaces en elles-mêmes”, Comptes-rendus
de l’Académie des sciences 103, pp. 732-734. Œuvres,
tome VI, pp. 1-5.
g) “Sur une classe étendue de transcendantes
uniformes”, Comptes-rendus de l’Académie
des sciences 103, pp. 862-864. Œuvres,
tome IV, pp. 534-536.
h) “Sur les déterminants d’ordre infini”, Bulletin
de la Société mathématique de France 14, pp. 77-90. Œuvres,
tome V, pp. 95-107.
i) “Réduction d’une forme quadratique et d’une
forme linéaire”, Journal de l’École Polytechnique cahier
56, pp. 79-142. Œuvres, tome V, pp. 340-393.
j) “Sur les intégrales irrégulières des équations
linéaires”, Acta Mathematica 8,
pp. 295-344. Œuvres, tome I, pp. 290-332.
k) “Sur les courbes définies par les équations
différentielles (4ème partie)”, Journal
de mathématiques pures et appliquées 4 ème série, pp. 151-217. Œuvres, tome I,
pp. 167-222.
l) “Sur les fonctions abéliennes”, American
Journal of Mathematics 8, pp. 289-342. Œuvres,
tome IV, pp. 318-378.
m) “Sur une méthode de M. Lindstedt”, Bulletin
astronomique 3, pp. 57-61. Œuvres,
tome VII, pp. 546-550.
n) “Sur un moyen d’augmenter la convergence des
séries trigonométriques”, Bulletin astronomique 3,
pp. 521-528. Œuvres, tome IV, pp. 599-606.
o) Cinématique pure – Mécanismes. II. Potentiel
et mécanique des fluides, Paris, autographié, I –140 p.,
II – 140 p.
p) Notice sur les travaux scientifiques de M. Poincaré,
2nd edition, Paris, Gauthier-Villars, 75 p.
1887
a) “Sur le problème de la distribution électrique”, Comptes-rendus
de l’Académie des sciences 104, pp. 44-46. Œuvres,
tome IX, pp. 15-17.
b) “Sur un théorème de M. Liapounoff
relatif à l’équilibre d’une masse fluide en rotation”, Comptes-rendus
de l’Académie des sciences 104, pp. 622-625. Œuvres,
tome VII, pp. 143-146.
c) Notice sur Laguerre, Paris, Gauthier-Villars, 14 p. Initially
published in Comptes-rendus de l’Académie des sciences 104,
pp. 1643-1650 ; préface des Œuvres de
Laguerre, tome 1, Paris, 1898, pp. V-XV. Savants
et écrivains, chapter IV.
d) “Sur la théorie analytique de la chaleur”, Comptes-rendus
de l’Académie des sciences 104, pp. 1753-1759. Œuvres,
tome IX, pp. 18-23.
e) “Sur les résidus des intégrales doubles”, Acta
Mathematica 9, pp. 321-380. Œuvres, tome III,
pp. 440-489.
f) “Remarques sur les intégrales irrégulières
des équations linéaires (réponse à M. Thomé)”, Acta
Mathematica 10, pp. 310-312. Œuvres, tome I,
pp. 333-335.
g) “Les fonctions fuchsiennes et l’arithmétique”, Journal
de mathématiques pures et appliquées 4ème série, pp. 405-464. Œuvres, tome II,
pp. 463-511.
h) “Sur les hypothèses fondamentales de la géométrie”, Bulletin
de la Société mathématique de France 15, pp. 203-216 ; Œuvres,
tome XI, pp. 79-91. Russian translation by D. Sintsoff, Bulletin
de la Société physico-mathématique de Kasan 3,
n° 4 (1893), pp. 109-121.
1888
a) “Sur l’équilibre d’une masse hétérogène
en rotation”, Comptes-rendus de l’Académie
des sciences 106, pp. 1571-1574. Œuvres,
tome VII, pp. 147-150.
b) “Sur la figure de la Terre”, Comptes-rendus
de l’Académie des sciences 107, pp. 67-71. Œuvres,
tome VIII, pp. 120-124.
c) “Sur les satellites de Mars”, Comptes-rendus
de l’Académie des sciences 107, pp. 890-892. Œuvres,
tome VIII, pp. 459-460.
d) “Sur la théorie analytique de la chaleur”, Comptes-rendus
de l’Académie des sciences 107, pp. 967-971. Œuvres,
tome IX, pp. 24-27.
e) “Sur une propriété des fonctions analytiques”, Rendiconti
del Circolo matematico di Palermo 2, pp. 197-200. Œuvres,
tome IV, pp. 11-13.
1889
a) “Sur les séries de M. Lindstedt”, Comptes-rendus
de l’Académie des sciences 108, pp. 21-24. Œuvres,
tome VII, pp. 551-554.
b) “Sur les tentatives d’explication mécanique
des principes de la thermodynamique”, Comptes-rendus
de l’Académie des sciences 108, pp. 550-553. Œuvres,
tome X, pp. 231-233.
c) “Sur la figure de la Terre (1ère partie)”, Bulletin
astronomique 6, pp. 5-11. Œuvres, tome VIII,
pp. 125-131.
d) “Sur la figure de la Terre (2nde partie)”, Bulletin
astronomique 6, pp. 49-60. Œuvres, tome VIII,
pp. 132-142.
e) Théorie mathématique de la lumière, tome 1,
Paris, G. Carré & C. Naud, IV + 408 p. German
translation by E. Gumlich et W. Jäger, (Berlin :
Julius Springer), 1894. La science et l’hypothèse, chapter XII.
1890
a) “Sur la loi électrodynamique de Weber”, Comptes-rendus
de l’Académie des sciences 110, pp. 825-829. Œuvres,
tome X, pp. 292-296”.
b) “Rapport sur un mémoire de M. Cellerier
intitulé : Sur les variations des excentricités
et des inclinaisons”, Comptes-rendus
de l’Académie des sciences 110, pp. 942-944.
c) “Contribution à la théorie des expériences
de M. Hertz”, Comptes-rendus de l’Académie
des sciences 111, pp. 322-326. Œuvres,
tome X, pp. 1-5.
d) “Sur une classe nouvelle de transcendantes uniformes”, Journal
de mathématiques pures et appliquées 6, 4ème série,
pp. 313-365. Œuvres, tome IV, pp. 537-582.
e) “Sur les équations aux dérivées partielles
de la physique mathématique”, American Journal
of Mathematics 12, pp. 211-294. Œuvres,
tome IX, pp. 28-113.
f) “Contribution à la théorie des expériences
de Hertz ”, Archives des sciences physiques
et naturelles 24, Genève, 3ème période, pp. 285-290.
g) “Notice sur Halphen”, Journal
de l’École Polytechnique cahier 60, pp. 137-161. Savants
et écrivains, chapter VII.
h) “Sur le problème des trois corps et les équations
de la Dynamique”, Acta Mathematica 13,
pp. 1-270. Œuvres, tome VII, pp. 262-479.
i) Électricité et optique, tome 1 – Les théories
de Maxwell et la théorie électromagnétique de la
lumière, Paris, G. Carré & C. Naud, XIX + 314 p. German
translation by W. Jäger et E. Gumlich, (Berlin :
Julius Springer), 1891. La science et l’hypothèse, chapter XII.
j) “Préface”, in Tisserand,
F., Leçons sur la détermination des orbites, Paris, Gauthier-Villars,
pp. V-XIV. Bulletin des sciences mathématiques 23,
2ème série, pp. 107-117.
1891
a) “Sur le développement approché de la
fonction perturbatrice”, Comptes-rendus de
l’Académie des sciences 112, pp. 269-273. Œuvres,
tome VIII, pp. 5-9.
b) “Sur l’expérience de M. Wiener”, Comptes-rendus
de l’Académie des sciences 112, pp. 325-329. Œuvres,
tome X, pp. 271-277.
c) “Sur la réflexion métallique”, Comptes-rendus
de l’Académie des sciences 112, pp. 456-459. Œuvres,
tome X, pp. 278-286.
d) “Sur l’équilibre des diélectriques fluides
dans un champ électrique”, Comptes-rendus
de l’Académie des sciences 112, pp. 555-557. Œuvres,
tome X, pp. 297-298.
e) “Sur l’intégration algébrique des équations
différentielles”, Comptes-rendus de l’Académie
des sciences 112, pp. 761-764. Œuvres,
tome III, pp. 32-34.
f) “Sur la théorie de l’élasticité”, Comptes-rendus
de l’Académie des sciences 112, pp. 914-915. Œuvres,
tome X, pp. 221-227.
g) “Sur la théorie des oscillations hertziennes”, Comptes-rendus
de l’Académie des sciences 113, pp. 515-519. Œuvres,
tome X, pp. 33-37.
h) “Sur la distribution des nombres premiers”, Comptes-rendus
de l’Académie des sciences 113, p. 819. Œuvres,
tome V, p. 441.
i) “Extension aux nombres premiers complexes des
théorèmes de M. Tchebicheff”, Journal
de mathématiques pures et appliquées 8, 4ème
série, pp. 25-68. Œuvres, tome V, pp. 442-479.
j) “Sur le calcul de la période des excitateurs
horizions ”, Archives des sciences physiques
et naturelles, Genève, 3ème période, 25, pp. 5-25. Œuvres,
tome X, pp. 6-19.
k) “Sur la résonance multiple des oscillations
hertziennes”, Archives des sciences physiques
et naturelles, Genève, 3ème période, 25, pp. 609-627. Œuvres,
tome X, pp. 20-32.
l) “Sur l’intégration algébrique des équations
différentielles du premier ordre et du premier degré”, Rendiconti
del Circolo matematico di Palermo 5, pp. 161-191. Œuvres,
tome III, pp. 35-58.
m) “Sur le problème des trois corps”, Bulletin
astronomique 8, pp. 12-24. Œuvres, tome VII,
pp. 480-490.
n) “Le problème des trois corps”, Revue
générale des sciences pures et appliquées 2,
pp. 1-5. Œuvres, tome VIII, pp. 529-537.
o) “Les géométries non euclidiennes”, Revue
générale des sciences pures et appliquées 2,
pp. 769-774. La science et l’hypothèse, chapter III.
English translation in Nature 45 (25 février
1892), pp. 404-407.
p) Électricité et optique, tome 2 – Les théories
de Helmholtz et les expériences de Hertz, Paris, G. Carré
& C. Naud, XI + 262 p. German
translation by W. Jäger et E. Gumlich, (Berlin :
Julius Springer), 1891. La science et l’hypothèse, chapter XII.
1892
a) “Sur un mode anormal de propagation des
ondes”, Comptes-rendus de l’Académie des
sciences 114, pp. 16-18. Œuvres,
tome X, pp. 38-40.
b) “Sur la théorie de l’élasticité”, Comptes-rendus
de l’Académie des sciences 114, pp. 385-389. Œuvres,
tome X, pp. 228-230.
c) “Rapport sur un mémoire présenté par M. Blondlot
et relatif à la propagation des ondes hertziennes”, Comptes-rendus
de l’Académie des sciences 114, pp. 645-648.
d) “Sur la propagation des ondes hertziennes”, Comptes-rendus
de l’Académie des sciences 114, pp. 1046-1048. Œuvres,
tome X, pp. 41-43.
e) “Sur la propagation des oscillations électriques”, Comptes-rendus
de l’Académie des sciences 114, pp. 1229-1233. Œuvres,
tome X, pp. 44-47.
f) “Sur l’application de la méthode de M. Lindstedt
au problème des trois corps”, Comptes-rendus
de l’Académie des sciences 114, pp. 1305-1309. Œuvres,
tome VII, pp. 491-495.
g) “Sur l’Analysis Situs”, Comptes-rendus
de l’Académie des sciences 115, pp. 633-636. Œuvres,
tome VI, pp. 189-192.
h) “Note accompagnant la présentation d’un ouvrage
relatif aux Méthodes nouvelles de la Mécanique
céleste”, Comptes-rendus de l’Académie
des sciences 115, pp. 905-907.
i) “Rapport sur le concours du prix Bordin”, Comptes-rendus
de l’Académie des sciences 115, pp. 1126-1127.
j) “Sur les fonctions à espaces lacunaires”, American
Journal of Mathematics 14, pp. 201-221. Œuvres,
tome IV, pp. 36-35.
k) “Correspondance sur les géométries non euclidiennes
(lettre à M. Mouret)”, Revue générale
des sciences pures et appliquées 3, pp. 74-75. La
science et l’hypothèse, chapter II.
l) “Les formes d’équilibre d’une masse fluide
en rotation”, Revue générale des sciences
pures et appliquées 3, pp. 809-815. Œuvres,
tome VII, pp. 203-217.
m) “Réponse à P. G. Tait”, Nature 45,
p. 485. Œuvres, tome X, pp. 236-237.
n) “Réponse à l’article de P. G. Tait :
‘Poincaré’s Thermodynamics”’, Nature 45,
pp. 414-415. Œuvres, tome X, pp. 234-235.
o) “Réponse à P. G. Tait”, Nature 46,
p. 76. Œuvres, tome X, pp. 238-239.
p) Les méthodes nouvelles de la Mécanique céleste, tome 1,
Paris, Gauthier-Villars, 385 p.
q) Leçons sur la théorie de l’élasticité, Paris, G. Carré
& C. Naud, 210 p.
r) Théorie mathématique de la lumière, tome 2 –
Nouvelles études sur le diffraction. Théorie de la
dispersion de Helmholtz, Paris, G. Carré & C. Naud,
VI + 310 p.
s) Thermodynamique, Paris, G. Carré & C. Naud,
XIX + 432 p. La science et l’hypothèse,
chapter VIII. German translation by W. Jäger et
E. Gumlich, (Berlin : Julius Springer), 1893.
1892 / 1893
“Sur la polarisation par diffraction – 1ère partie”, Acta Mathematica 16, pp. 297-339. Œuvres, tome IX, pp. 293-330.
1893
a) “Sur une objection à la théorie cinétique
des gaz”, Comptes-rendus de l’Académie des
sciences 116, pp. 1017-1021. Œuvres,
tome X, pp. 240-243.
b) “Sur la théorie cinétique des gaz”, Comptes-rendus
de l’Académie des sciences 116, pp. 1165-1166.
c) “Sur les transformations birationnelles des
courbes algébriques”, Comptes-rendus de
l’Académie des sciences 117, pp. 18-23. Œuvres,
tome VI, pp. 6-11.
d) “Observations sur la Communication précédente
de MM. Birkeland et Sarasin”, Comptes-rendus
de l’Académie des sciences 117, pp. 622-624. Œuvres,
tome X, pp. 48-52.
e) “Sur la généralisation d’un théorème
d’Euler relatif aux polyèdres”, Comptes-rendus
de l’Académie des sciences 117, pp. 144-145. Œuvres,
tome XI, pp. 6-7.
f) “Sur la propagation de l’électricité”, Comptes-rendus
de l’Académie des sciences 117, pp. 1027-1032. Œuvres,
tome IX, pp. 278-283.
g) “Le continu mathématique”, Revue
de métaphysique et de morale 1, pp. 26-34. La
science et l’hypothèse, chapter II.
h) “Mécanisme et expérience”, Revue
de métaphysique et de morale 1, pp. 534-537.
i) “Au jubilé de M. Charles Hermite”,
in : Jubilé de M. Charles Hermite, Paris,
Gauthier-Villars, pp. 6-8 ; Revue des questions
scientifiques, 2 série, 3, pp. 244-246. Savants
et écrivains, chapter V.
j) Les méthodes nouvelles de la Mécanique céleste, tome 2,
Paris, Gauthier-Villars, VIII + 479 p.
k) Théorie des tourbillons, Paris, G. Carré & C. Naud,
212 p.
1894
a) “Sur certains développements en séries
que l’on rencontre dans la théorie de la propagation de la
chaleur”, Comptes-rendus de l’Académie des
sciences 118, pp. 383-387. Œuvres, tome IX,
pp. 114-118.
b) “Sur la série de Laplace”, Comptes-rendus
de l’Académie des sciences 118, pp. 497-501. Œuvres,
tome IV, pp. 607-610.
c) “Sur l’équation des vibrations d’une membrane”, Comptes-rendus
de l’Académie des sciences 118, pp. 447-451. Œuvres,
tome IX, pp. 119-122.
d) “Rapport verbal (concernant une démonstration
du théorème de Fermat adressée par M. G. Korneck)”, Comptes-rendus
de l’Académie des sciences 118, p. 841.
e) “Sur l’équilibre des mers”, Comptes-rendus
de l’Académie des sciences 118, pp. 948-952. Œuvres,
tome VIII, pp. 193-197.
f) “Rapport sur un mémoire de M. Stieltjes
intitulé : ‘Recherches sur les fractions continues”’, Comptes-rendus
de l’Académie des sciences 119, pp. 630-632.
g) “Rapport sur le concours du prix Bordin (en
commun avec MM. Picard et Appell)”, Comptes-rendus
de l’Académie des sciences 119, pp. 1051-1056
h) “Sur le faisceau de cubiques passant par huit
points d’un plan (Question proposée)”, Intermédiaire
des mathématiciens 1, p. 2.
i) “Sur le réseau de quadriques passant par sept
points donnés dans l’espace (Question proposée)”, Intermédiaire
des mathématiciens 1, p. 3.
j) “Sur le problème de la rotation d’un corps
solide autour d’un point fixe (Réponse à une question proposée
par M. Appell)”, Intermédiaire des
mathématiciens 1, pp. 41-42.
k) “Sur les courbes gauches particulières (Question
proposée en commun avec M. Léon Autonne)”, Intermédiaire
des mathématiciens 1, p. 90.
l) “Sur le théorème de Golbach relatif aux
nombres premiers (Question proposée en commun avec E. Catalan)”, Intermédiaire
des mathématiciens 1, p. 91.
m) “Sur une propriété d’une fonction algébrique
d’un arc (réponse à une question posée par M. H. Dellac)”, Intermédiaire
des mathématiciens 1, pp. 141-144.
n) “Sur certaines familles de courbes algébriques
(Question proposée)”, Intermédiaire des
mathématiciens 1, p. 145.
o) “Mécanisme et expérience (réponse à
M. Lechalas)”, Revue de métaphysique
et de morale 2, pp. 197-198.
p) “Sur la nature du raisonnement mathématique”, Revue
de métaphysique et de morale 2, pp. 371-384.
Russian translation by S. Choubine, Bulletin de la
Société physico-mathématique de Kasan 8 (1898),
pp. 74-88. La science et l’hypothèse, chapter I.
q) “La lumière et l’électricité d’après
Maxwell et Hertz”, Annuaire du Bureau des
longitudes, pp. A.1-A.22. Revue scientifique,
4ème série, 1, pp. 106-111. Œuvres, tome X,
pp. 557-569. English translation, Nature 50 (3
mai 1894), pp. 8-11. English translation in the Annual
Report of the Board of Regents of the Smithsonian Institution,
1896, pp. 129-139.
r) “Sur la théorie cinétique des gaz”, Revue
générale des sciences pures et appliquées 5,
pp. 513-521. Œuvres, tome X, pp. 246-263.
s) “Sur les équations de la physique mathématique”, Rendiconti
del Circolo matematico di Palermo 8, pp. 57-155. Œuvres,
tome IX, pp. 123-196.
t) Les oscillations électriques, Paris, G. Carré
& C. Naud, 343 p.
u) “Au cinquantenaire de l’entrée de M. Joseph
Bertrand dans l’enseignement”, Revue scientifique 1,
4ème série, pp. 685-686 ; Annuaire de l’École
Polytechnique, 1895, pp. 107-108. Savants et écrivains,
chapter IX.
1895
a) “Sur un procédé de vérification applicable
au calcul des séries de la Mécanique céleste”, Comptes-rendus
de l’Académie des sciences 120, pp. 57-59. Œuvres,
tome VII, pp. 555-557.
b) “Sur les fonctions abéliennes”, Comptes-rendus
de l’Académie des sciences 120, pp. 239-243. Œuvres,
tome IV, pp. 379-383.
c) “Observations au sujet de la communication de
M. Delandres (intitulée ‘Recherches spectrales sur la
rotation et les mouvements des planètes’)”, Comptes-rendus
de l’Académie des sciences 120, pp. 420-421.
d) “Sur le spectre cannelé”, Comptes-rendus
de l’Académie des sciences 120, pp. 757-762. Œuvres,
tome X, pp. 287-291.
e) “Sur la méthode de Neumann et le problème
de Dirichlet”, Comptes-rendus de l’Académie
des sciences 120, pp. 347-352. Œuvres,
tome IX, pp. 197-201.
f) “Remarque sur un mémoire de M. Jaumann
intitulé Longitudinales Licht”, Comptes-rendus
de l’Académie des sciences 121, pp. 792-793. Œuvres,
tome X, pp. 299-306.
g) “À propos de la théorie de M. Larmor”, Éclairage
électrique 3, pp. 5-13. Œuvres, tome IX,
pp. 369-382.
h) “À propos de la théorie de M. Larmor”, Éclairage
électrique 5, pp. 5-14. Œuvres, tome IX,
pp. 395-413.
i) “À propos de la théorie de M. Larmor”, Éclairage
électrique 3, pp. 289-295. Œuvres,
tome IX, pp. 383-394.
j) “À propos de la théorie de M. Larmor”, Éclairage
électrique 5, pp. 385-392. Œuvres,
tome IX, pp. 414-426.
k) “Remarques diverses sur les fonctions abéliennes”, Journal
de mathématiques pures et appliquées, 5ème série, 1,
pp. 219-314. Œuvres, tome IV, pp. 384-468.
l) “Analysis Situs”, Journal
de l’École Polytechnique cahier 1, 2nde série, pp. 1-121. Œuvres,
tome VI, pp. 193-288.
m) “Rapport sur la proposition d’unification des
jours astronomique et civil”, Annuaire du
Bureau des longitudes, pp. E.1-E.10. Œuvres, tome VIII,
pp. 642-647.
n) “La méthode de Neumann et le problème de
Dirichlet”, Acta Mathematica 20,
pp. 59-142. Œuvres, tome IX, pp. 202-272.
o) “L’espace et la géométrie”, Revue
de métaphysique et de morale 3, pp. 631-646. La
science et l’hypothèse, chapter IV.
p) Théorie analytique de la propagation de la chaleur, Paris,
G. Carré & C. Naud, 316 p.
q) Capillarité, Paris, G. Carré & C. Naud, 1895, 189 p.
1896
a) “Observation au sujet de la communication
précédente (de M. G. Jaumann)”, Comptes-rendus
de l’Académie des sciences 122, p. 76.
b) “Sur l’équilibre d’un corps élastique”, Comptes-rendus
de l’Académie des sciences 122, pp. 154-159. Œuvres,
tome IX, pp. 273-277.
c) “Observations au sujet de la Communication de
M. J. Perrin ‘Quelques propriétés des rayons
de Röntgen”’, Comptes-rendus de l’Académie
des sciences 122, p. 188. Œuvres,
tome X, p. 307.
d) “Observation au sujet de la communication précédente
(de M. G. Jaumann)”, Comptes-rendus
de l’Académie des sciences 122, p. 520.
e) “Sur la divergence des séries de la Mécanique
céleste”, Comptes-rendus de l’Académie
des sciences 122, pp. 497-499. Œuvres,
tome VII, pp. 558-560.
f) “Sur la divergence des séries trigonométriques”, Comptes-rendus
de l’Académie des sciences 122, pp. 557-559. Œuvres,
tome VII, pp. 561-563.
g) “Observations au sujet de la communication de
M. G. Metz, Photographie à l’intérieur d’un
tube de Crookes”, Comptes-rendus de l’Académie
des sciences 122, p. 881. Œuvres,
tome X, p. 308.
h) “Observation au sujet de la communication de
M. G. Jaumann”, Comptes-rendus
de l’Académie des sciences 122, p. 990.
i) “Remarque sur une expérience de M. Birkeland”, Comptes-rendus
de l’Académie des sciences 123, pp. 530-533. Œuvres,
tome X, pp. 310-313.
j) “Observations au sujet de la communication de
M. G. Metz, Photographie à l’intérieur d’un
tube de Crookes ”, Comptes-rendus de l’Académie
des sciences 123, p. 881. Œuvres,
tome X, p. 309.
k) “Sur les solutions périodiques et le principe
de moindre action”, Comptes-rendus de l’Académie
des sciences 123, pp. 915-918. Œuvres,
tome VII, pp. 224-226.
l) “Sur une forme nouvelle des équations du problème
des trois corps”, Comptes-rendus de l’Académie
des sciences 123, pp. 1031-1035. Œuvres,
tome VII, pp. 496-499.
m) “Prix Bordin (rapport sur le mémoire de M. Hadamard)”, Comptes-rendus
de l’Académie des sciences 123, pp. 1109-1111.
n) “Sur la méthode de Bruns”, Comptes-rendus
de l’Académie des sciences 123, pp. 1224-1228. Œuvres,
tome VII, pp. 512-516.
o) “Sur l’équilibre et les mouvements des mers”, Journal
de mathématiques pures et appliquées 2, 5ème
série, pp. 57-102. Œuvres, tome VIII,
pp. 198-236.
p) “Sur l’équilibre et les mouvements des mers”, Journal
de mathématiques pures et appliquées 2, pp. 217-262. Œuvres,
tome VIII, pp. 237-274.
q) “Les rayons cathodiques et la théorie de Jaumann”, Éclairage
électrique 9, pp. 241-251. Œuvres, tome X,
pp. 314-332.
r) “Les rayons cathodiques et la théorie de Jaumann”, Éclairage
électrique 9, pp. 289-293. Œuvres, tome X,
pp. 333-340.
s) “Les rayons cathodiques et les rayons de Röntgen”, Revue
générale des sciences pures et appliquées 7,
pp. 52-59. Œuvres, tome X, pp. 570-583.
t) “Sur la vie et les travaux de F. Tisserand”, Revue
générale des sciences pures et appliquées 7,
pp. 1230-1233.
u) Calcul des probabilités, Paris, G. Carré & C. Naud,
275 p.
v) “Sur la polarisation par diffraction – 2nde
partie”, Acta Mathematica 20, pp. 313-355. Œuvres,
tome IX, pp. 331-368.
w) “Discours prononcé aux funérailles de M. Tisserand”, Bulletin
astronomique 13, pp. 430-432 ; Annuaire
du Bureau des longitudes, 1897, pp. H. 15-H. 18. Savants
et écrivains, chapter VIII.
1897
a) “Sur les périodes des intégrales doubles
et les développements de la fonction perturbatrice”, Comptes-rendus
de l’Académie des sciences 124, pp. 199-200. Œuvres,
tome VIII, pp. 48-49.
b) “Sur les solutions périodiques et le principe
de moindre action”, Comptes-rendus de l’Académie
des sciences 124, pp. 713-716. Œuvres,
tome VII, pp. 227-230.
c) “Sur les fonctions abéliennes”, Comptes-rendus
de l’Académie des sciences 124, pp. 1407-1411. Œuvres,
tome IV, pp. 469-472.
d) “Rapport sur un mémoire de M. Hadamard
(Lignes géodésiques sur les surfaces à courbures opposées)”, Comptes-rendus
de l’Académie des sciences 125, pp. 589-591.
e) “Rapport sur un mémoire de M. Le Roy
(Sur l’intégration des équations de la chaleur)”, Comptes-rendus
de l’Académie des sciences 125, pp. 847-849.
f) “Sur les périodes des intégrales doubles”, Comptes-rendus
de l’Académie des sciences 125, pp. 995-997. Œuvres,
tome III, pp. 490-492.
g) “Sur une forme nouvelle des équations du problème
des trois corps”, Bulletin astronomique 14,
pp. 53-67. Œuvres, tome VII, pp. 500-511.
h) “Sur l’intégration des équations du problème
des trois corps”, Bulletin astronomique 14,
pp. 241-270. Œuvres, tome VII, pp. 517-542.
i) “Sur les périodes des intégrales doubles
et le développement de la fonction perturbatrice”, Bulletin
astronomique 14, pp. 353-354. Œuvres,
tome VIII, pp. 110-111.
j) “Sur le développement de la fonction perturbatrice”, Bulletin
astronomique 14, pp. 449-466. Œuvres,
tome VIII, pp. 10-26.
k) “La théorie de Lorentz et les expériences
de Zeeman”, Éclairage électrique 11,
pp. 481-489. Œuvres, tome IX, pp. 427-441.
l) “La décimalisation de l’heure et de la circonférence”, Éclairage
électrique 11, pp. 529-531. Œuvres,
tome VIII, pp. 676-679.
m) “À propos de la décimalisation de l’heure”, Éclairage
électrique 12, p. 40.
n) “Observations au sujet de la note de M. J. J. Thomson
(intitulée ‘On the Cathode Rays’)”, Éclairage
électrique 12, p. 186.
o) “Sur les rapports de l’analyse pure et de la
physique mathématique”, Acta Mathematica 21,
pp. 331-341 ; Revue générale des sciences
pures et appliquées 8, pp. 857-861 ; Verhandlungen
der ersten internationalen Mathematiker-Kongresses in Zürich
vom 9. bis 11. August 1897, Leipzig, 1898, pp. 81-90. Polish
translation by S. Dickstein, Wiadomosci Matematyczne 2 (février
1898), pp. 10-20. English translation by C. J. Keyser, Bulletin
of the American Mathematical Society 4 (1897-1898),
pp. 247-255. La valeur de la science, chapter V.
p) “Les idées de Hertz sur la Mécanique”, Revue
générale des sciences pures et appliquées 8,
pp. 734-743. Œuvres, tome VII, pp. 1231-250.
q) “Sur l’intégration algébrique des équations
différentielles du premier ordre et du premier degré”, Rendiconti
del Circolo matematico di Palermo 11, pp. 193-239. Œuvres,
tome III, pp. 59-94.
r) “Sur les périodes des intégrales doubles
et le développement de la fonction perturbatrice”, Journal
de mathématiques pures et appliquées 3, 5ème série,
pp. 203-276. Œuvres, tome VIII,
pp. 50-109.
s) “Rapport sur les résolutions de la Commission
chargée de l’étude des projets de décimalisation du temps
et de la circonférence”, Archives du Bureau
des longitudes, 12 p. Œuvres, tome VIII,
pp. 648-664.
t) “Les rayons cathodiques et les rayons Röntgen”, Annuaire
du Bureau des longitudes, pp. D.1-D.35. Revue scientifique 7,
4ème série, pp. 72-81. Œuvres, tome X,
pp. 584-603.
u) “Réponse à quelques critiques”, Revue
de métaphysique et de morale 5, pp. 59-70.
1898
a) “Sur le développement approché de la
fonction perturbatrice”, Comptes-rendus de
l’Académie des sciences 126, pp. 370-373. Œuvres,
tome VIII, pp. 27-30.
b) “Les fonctions fuchsiennes et l’équation
”, Comptes-rendus de l’Académie des sciences 126,
pp. 627-630. Œuvres, tome II, pp. 67-70.
c) “Les fonctions fuchsiennes et l’équation
”, Journal de mathématiques pures et appliquées 4,
5ème série, pp. 137-230 ; Œuvres, tome II,
pp. 512-591.
d) “L’œuvre mathématique de Weierstraß”, Acta
Mathematica 22, pp. 1-18. Savants et écrivains,
chapter XIII.
e) “Sur les propriétés du potentiel et sur
les fonctions abéliennes”, Acta Mathematica 22,
pp. 89-178. Œuvres, tome IV, pp. 162-243.
f) “Développement de la fonction perturbatrice”, Bulletin
astronomique 15, pp. 70-71. Œuvres, tome VIII,
pp. 31-32.
g) “Sur la façon de grouper les termes des séries
trigonométriques qu’on rencontre en Mécanique céleste”, Bulletin
astronomique 15, pp. 289-310. Œuvres,
tome VII, pp. 564-582.
h) “Développement de la fonction perturbatrice”, Bulletin
astronomique 15, pp. 449-464. Œuvres,
tome VIII, pp. 33-47.
i) “Sur la stabilité du système solaire”, Annuaire
du Bureau des Longitudes (1898) ; Revue scientifique 9,
4ème série, pp. 609-613. Œuvres, tome VIII,
pp. 538-547.
j) “La mesure du temps”, Revue
de métaphysique et de morale 6, pp. 1-13. La
valeur de la science, chapter II.
k) “On the Foundations of Geometry”, The
Monist 9, pp. 1-43. English translation from
Poincaré’s manuscript by T. J. Mc Cormack.
French translation from the English version by Louis Rougier
(the French original was lost), Des fondements de la géométrie,
Paris, Chiron.
l) “Grand Prix des Sciences mathématiques (en
commun avec M. Picard)”, Comptes-rendus
de l’Académie des sciences 127, pp. 1061-1065.
1899
a) “Le phénomène de Hall et la théorie
de Lorentz”, Comptes-rendus de l’Académie
des sciences 128, pp. 339-341. Œuvres,
tome IX, pp. 461-463.
b) “Sur les nombres de Betti”, Comptes-rendus
de l’Académie des sciences 128, pp. 629-630. Œuvres,
tome VI, p. 289.
c) “Sur les groupes continus”, Comptes-rendus
de l’Académie des sciences 128, pp. 1065-1069. Œuvres,
tome III, pp. 169-172.
d) “Analyse d’un ouvrage de Ch. André (intitulé Traité
d’astronomie stellaire)”, Bulletin astronomique 16,
pp. 124-127.
e) “Sur l’équilibre d’un fluide en rotation”, Bulletin
astronomique 16, pp. 161-169. Œuvres,
tome VII, pp. 151-158.
f) “Sur les quadratures mécaniques”, Bulletin
astronomique 16, pp. 382-387. Œuvres,
tome VIII, pp. 461-466.
g) “La théorie de Lorentz et le phénomène
de Zeeman”, Éclairage électrique 19,
pp. 5-15. Œuvres, tome IX, pp. 442-460.
h) “Sur l’induction unipolaire”, Éclairage
électrique 19, pp. 41-53. Œuvres, tome X,
pp. 3355-371.
i) “L’énergie magnétique d’après Maxwell et
Hertz”, Éclairage électrique 19,
pp. 361-367. Œuvres, tome X, pp. 341-351.
j) “Sur les groupes continus”, Cambridge
Philosophical Transactions 18, pp. 220-225. Œuvres,
tome III, pp. 173-212.
k) “Complément à l’Analysis Situs”, Rendiconti
del Circolo matematico di Palermo 13, pp. 285-343. Œuvres,
tome VI, pp. 290-337.
l) “Fourier’s Series (Lettre à A. A. Michelson)”, Nature 60,
p. 52.
m) “Des fondements de la géométrie, à propos
d’un livre de M. Russell”, Revue de
métaphysique et de morale 7, pp. 251-279.
n) “Réflexions sur le calcul des probabilités”, Revue
générale des sciences pures et appliquées 10,
pp. 262-269. La science et l’hypothèse, chapter XI.
o) “La logique et l’intuition dans la science mathématique
et dans l’enseignement”, L’enseignement mathématique 1,
pp. 157-162 ; Œuvres, tome XI, pp. 129-133.
p) “La notation différentielle et l’enseignement”, L’enseignement
mathématique 1, pp. 106-110 ; Œuvres,
tome XI, pp. 125-128.
q) Cinématique et mécanismes. Potentiel et dynamique des
fluides, 2nd edition, Paris, G. Carré et C. Naud,
385 p.
r) La théorie de Maxwell et les oscillations hertziennes.
La télégraphie sans fil, Paris, G. Carré & C. Naud,
80 p. English translation by F. K. Vreeland,
London, New-York, 1904, 1905. German translation by Max Iklé,
(Leipzig : Johann Ambrosius Barth), 1909.
s) Théorie du potentiel newtonien, Paris, G. Carré
et C. Naud, 366 p.
t) Les méthodes nouvelles de la Mécanique céleste, tome 3,
Paris, Gauthier-Villars, 414 p.
1900
a) “Rapport sur le projet de révision de
l’arc méridien de Quito”, Comptes-rendus
de l’Académie des sciences 131, pp. 215-236. Œuvres,
tome VIII, pp. 571-592.
b) “Sur le mouvement de périgée de la Lune”, Bulletin
astronomique 17, pp. 87-104. Œuvres, tome VIII,
pp. 367-382.
c) “Sur le déterminant de Hill”, Bulletin
astronomique 17, pp. 134-143. Œuvres,
tome V, pp. 108-116. Œuvres, tome VIII,
pp. 383-391.
d) “Sur les équations du mouvement de la Lune”, Bulletin
astronomique 17, pp. 167-204. Œuvres,
tome VIII, pp. 297-331.
e) “La géodésie française (discours prononcé
à la séance des cinq Académies le 25 octobre 1900)”, Mémoires
de l’Institut, 20, pp. 13-25 ; published as “La
mesure de la Terre et la géodésie française”
in the Bulletin de la Société astronomique de France 14,
pp. 513-521. Science et méthode, book IV, chapter II.
f) “Sur les principes de la géométrie. Réponse
à M. Russell”, Revue de métaphysique
et de morale 8, pp. 73-86. La science et
l’hypothèse, chapter V.
g) “Comptes-rendus des Séances du Congrès de
philosophie, discussion”, Revue de métaphysique
et de morale 8, pp. 556-561.
h) “Sur certaines familles de courbes algébriques”, Intermédiaire
des mathématiciens 7, pp. 114-115.
i) “Second complément à l’Analysis Situs”, Proceedings
of the London Mathematical Society 32, pp. 277-308. Œuvres,
tome VI, pp. 3387-370.
j) “La théorie de Lorentz et le principe de réaction”, Archives
néerlandaises des sciences exactes et naturelles, 2ème
série, 5, pp. 252-278. Œuvres, tome IX,
pp. 464-488.
k) “Du rôle de l’intuition et de la logique en
mathématiques”, Compte-rendu du deuxième
Congrès international des mathématiciens tenu à Paris du
6 au 12 août 1900, Paris, pp. 115-130. La valeur
de la science, chapter I.
l) “Les relations entre la physique expérimentale
et la physique mathématique”, Rapports
du Congrès international de physique, tome I, Paris,
1900, pp. 1-29 ; Revue générale des sciences
pures et appliquées 11, pp. 1163-1175 ; Revue
scientifique 14, 4ème série, pp. 705-715. German
translation, Physikalische Zeitschrift 2 (1900-1901),
pp. 166, 182, 196. English translation by Georges K. Burgess, The
Monist 12 (1901-1902), pp. 516-543. La
science et l’hypothèse, chapters IX and X ; also published
in English in The Monist 12 (1902), pp. 516-543.
m) “Appréciation d’un ouvrage de M. V. Bjerknes
(intitulé Vorlesungen über hydrodynamische Fernkräfte)”, Comptes-rendus
de l’Académie des sciences 130, p. 25.
n) “Note sur les géométries non euclidiennes”,
in : Rouché, E. / de Comberousse, Ch., Traité de
géométrie, Paris, Gauthier-Villars, 1900, pp. 581-593.
o) “Inauguration de la statue de F. Tisserand”, Annuaire
du Bureau des longitudes, pp. E. 4-E. 12.
p) “Sur l’application du calcul des probabilités
(lettre à M. P. Painlevé)”,
in : Le procès Dreyfus devant le Conseil de guerre
de Rennes, 7 août-9 septembre 1899, tome 3, Paris, P. V.
Stock, pp. 329-331.
1901
a) “Sur la théorie de la précession”, Comptes-rendus
de l’Académie des sciences 132, pp. 50-55. Œuvres,
tome VIII, pp. 113-117.
b) “Sur une forme nouvelle des équations de la
mécanique”, Comptes-rendus de l’Académie
des sciences 132, pp. 369-371. Œuvres,
tome VII, pp. 218-219. Russian translation by
A. V. Vassilief, Bulletin de la Société
physico-mathématique de Kasan 10 (1905),
pp. 57-59.
c) “Sur l’Analysis Situs”, Comptes-rendus
de l’Académie des sciences 133, pp. 707-709. Œuvres,
tome VI, pp. 371-372.
d) “Rapport sur les papiers laissés par Halphen”, Comptes-rendus
de l’Académie des sciences 133, pp. 722-724.
e) “Sur la connexion des surfaces algébriques”, Comptes-rendus
de l’Académie des sciences 133, pp. 969-973. Œuvres,
tome VI, pp. 393-396.
f) “Les mesures de la gravité et la Géodésie”, Bulletin
astronomique 18, pp. 5-39. Œuvres,
tome VIII, pp. 143-174.
g) “Sur les déviations de la verticale en Géodésie”, Bulletin
astronomique 18, pp. 257-276. Œuvres,
tome VIII, pp. 175-192.
h) “Observations au sujet de l’article de F. H.
Seares (intitulé ‘Sur les quadratures mécaniques’)”, Bulletin
astronomique 18, pp. 406-420. Œuvres,
tome VIII, pp. 467-479.
i) “Sur les propriétés arithmétiques des
courbes algébriques”, Journal de mathématiques
pures et appliquées 7, 5ème série, pp. 161-233. Œuvres,
tome V, pp. 483-548.
j) “Quelques remarques sur les groupes continus”, Rendiconti
del Circolo matematico di Palermo 15, pp. 321-368. Œuvres,
tome III, pp. 213-260.
k) “Sur les surfaces de translation et les fonctions
abéliennes”, Bulletin de la Société
mathématique de France 29, pp. 61-86. Œuvres,
tome VI, pp. 13-36.
l) “Sur la stabilité de l’équilibre des figures
piriformes affectées par une masse fluide en rotation (Résumé)”, Proceedings
of the Royal Society of London 69, pp. 148-149. Œuvres,
tome VII, pp. 159-160.
m) “Sur les excitateurs et résonateurs hertziens
(à propos d’un article de M. Johnson)”, Éclairage
électrique 29, pp. 305-307. Œuvres,
tome X, pp. 352-354.
n) “À propos des expériences de M. Crémieu”, Revue
générale des sciences pures et appliquées 12,
pp. 994-1007. Œuvres, tome X, pp. 391-420.
o) “Sur les principes de la mécanique”, Bibliothèque
du Congrès international de philosophie, tome III,
Paris, pp. 457-494. La science et l’hypothèse, chapters
VI and VII.
q) Électricité et optique – Leçons professées
en 1888, 1890 et 1899, 2nd edition, Paris, Gauthier-Villars,
632 p. La science et l’hypothèse, chapter XII.
1902
a) “Rapport présenté au nom de la Commission
chargée du contrôle scientifique des opérations géodésiques
de l’Équateur”, Comptes-rendus de l’Académie
des sciences 134, pp. 965-972. Œuvres,
tome VIII, pp. 593-601.
b) “Les solutions périodiques et les planètes
du type d’Hécube”, Bulletin astronomique 19,
pp. 177-198. Œuvres, tome VIII, pp. 417-436.
c) “Sur les planètes du type d’Hécube”, Bulletin
astronomique 19, pp. 289-310. Œuvres,
tome VIII, pp. 437-456.
d) “Les progrès de l’astronomie en 1901”, Bulletin
de la Société astronomique de France 16, pp. 214-223.
e) “Sur la vie et les travaux de M. Faye”, Bulletin
de la Société astronomique de France 16, pp. 496-501. Savants
et écrivains, chapter XI.
f) “Les fondements de la géométrie – Grundlagen
der Geometrie par M. Hilbert, professeur à l’Université
de Göttingen”, Bulletin des sciences mathématiques 26,
2nde série, pp. 249-272 ; Journal des savants,
pp. 252-271 ; Œuvres, tome XI, pp. 92-113. Dernières
pensées (since 1926).
g) “Analyse d’un mémoire de M. Zaremba”, Bulletin
des sciences mathématiques 26, pp. 337-350.
h) “Sur les fonctions abéliennes”, Acta
Mathematica 26, pp. 43-98. Œuvres, tome IV,
pp. 473.
i) “Sur les propriétés des anneaux à collecteurs”, Éclairage
électrique 30, pp. 77-81. Œuvres, tome X,
pp. 372-377.
j) “Sur les propriétés des anneaux à collecteurs”, Éclairage
électrique 30, pp. 301-310. Œuvres,
tome X, pp. 378-390.
k) “A. Cornu”, Éclairage électrique 31,
pp. 81-82.
l) “Sur les expériences de M. Crémieu
et une objection de M. Wilson”, Éclairage
électrique 31, pp. 83-93. Œuvres, tome X,
pp. 421-437.
m) “Sur certaines surfaces algébriques ;
troisième complément à l’Analysis Situs”, Bulletin
de la Société mathématique de France 30, pp. 49-70. Œuvres,
tome VI, pp. 373-392.
n) “Sur les cycles des surfaces algébriques ;
quatrième complément à l’Analysis Situs”, Journal
de mathématiques pures et appliquées 8, 5ème série,
pp. 169-214. Œuvres, tome VI, pp. 397-434.
o) Figures d’équilibre d’une masse fluide – leçon
professée en 1900, rédigée par L. Dreyfus, ancien élève
de l’École Normale Supérieure, Paris, G. Carré &
C. Naud, 211 p. p) “Sur la stabilité de l’équilibre des figures
piriformes affectées par une masse fluide en rotation”, Philosophical
Transactions, série A, 198, pp. 333-373. Œuvres,
tome VII, pp. 161-202.
q) La science et l’hypothèse, Paris, Flammarion, 284 p. German
translation by F. et L. Lindemann, (Leipzig :
Teubner), 1904 et 1906. English translation, (Londres :
Walter Scott), 1905 and (New-York : 1907). Spanish translation
by Gonzáles Quijano, (Madrid : José Ruiz), 1907. Hungarish
translation by Szilárd Béla, (Budapest), 1908. Japanese translation
by Tsuruiche Hayashi, (Tokyo), 1909. Swedish translation by Anna
Sundqvist, (Stockholm : Albert Bonnier), 1910.
r) “Notice sur la télégraphie sans fil”, Annuaire
du Bureau des longitudes, pp. A.1-A.34. Revue scientifique 17,
4ème série, pp. 65-73. Œuvres, tome X,
pp. 604-622.
s) “Sur la valeur objective de la science”, Revue
de métaphysique et de morale 10, pp. 263-293. La
valeur de la science, chapters X and XI.
t) “Sur M. A. Cornu (lettre à M. C. M. Gariel,
avril 1902)”, Bulletin de la Société française
de physique, pp. 32-33.
u) “Discours prononcé aux funérailles de M. A. Cornu
(16/04/1902)”, Mémoires de l’Institut, pp. 15-18 ; Bulletin
de la Société française de physique, pp. 186-188 ; Annuaire
du Bureau des longitudes (1903), pp. D. 7-D. 11. Savants
et écrivains, chapter VI.
1903
a) “Rapport présenté au nom de la Commission
chargée du contrôle scientifique des opérations géodésiques
de l’Équateur”, Comptes-rendus de l’Académie
des sciences 136, pp. 861-871.
b) “L’espace et ses trois dimensions”, Revue
de métaphysique et de morale 11, pp. 281-301. La
valeur de la science, chapters III and IV.
c) “L’espace et ses trois dimensions”, Revue
de métaphysique et de morale 11, pp. 407-429. La
valeur de la science, chapter IV.
d) “Sur l’intégration algébrique des équations
linéaires et les périodes des intégrales abéliennes”, Journal
de mathématiques pures et appliquées 9, 5ème série,
pp. 139-212. Œuvres, tome III, pp. 106-166.
e) “Sur un théorème général relatif aux
marées”, Bulletin astronomique 20,
pp. 215-229. Œuvres, tome VIII, pp. 275-288.
f) “Entropy”, Electrician, 50,
pp. 688-689. Œuvres, tome X, pp. 264-270.
g) “Sur la diffraction des ondes électriques,
à propos d’un article de M. Mc Donald”, Proceedings of the
Royal Society of London 72, pp. 42-52. Œuvres,
tome X, pp. 53-64.
h) “Grandeur de l’astronomie”, Bulletin
de la Société astronomique de France 17, pp. 253-259.
i) “Sur les travaux de la Société française
de physique”, Bulletin de la Société française
de physique, pp. 5-8.
j) “Les fondements de la géométrie”, Bulletin
des sciences mathématiques 27, 2nde série, p. 115.
k) Sur la part des polytechniciens dans l’œuvre scientifique
du XIXème siècle, Compte-rendu, Paris, Gauthier-Villars,
pp. 11-17. Savants et écrivains, chapter XVI.
l) “Sur la vérité scientifique et sur la vérité
morale”, L’université de Paris 18 (1903),
pp. 59-64.
m) “Rapport relatif à la Fondation Jean Debrousse
(1er avril 1903)”, Mémoires de l’Institut ; Fondation
Jean Debrousse, (1900-1905) rapports, pp. 45-67.
1904
a) “Théorie de la balance azimutale quadrifilaire”, Comptes-rendus
de l’Académie des sciences 138, pp. 869-874. Œuvres,
tome X, pp. 438-444.
b) “Sur la méthode horistique de Gyldén”, Comptes-rendus
de l’Académie des sciences 138, pp. 933-936. Œuvres,
tome VII, pp. 583-586. German translation by
Hugo Buchholtz, Physikalische Zeitschrift 5 (1904),
pp. 385-386.
c) “Rapport présenté au nom de la Commission
chargée du contrôle scientifique des opérations géodésiques
de l’Équateur”, Comptes-rendus de l’Académie
des sciences 138, pp. 1013-1019.
d) “Rapport sur le Concours du Prix Leconte”, Comptes-rendus
de l’Académie des sciences 139, pp. 1120-1122.
e) “Cinquième complément à l’Analysis Situs”, Rendiconti
del Circolo matematico di Palermo 18, pp. 45-110. Œuvres,
tome VI, pp. 435-498.
f) “Sur la méthode horistique. Observations sur
l’article de M. Backlund”, Bulletin
astronomique 21, pp. 292-295. Œuvres,
tome VII, pp. 619-621.
g) “La Terre tourne-t-elle ?”, Bulletin
de la Société astronomique de France 18, pp. 216-217.
h) “Étude de la propagation du courant en période
variable sur une ligne munie d’un récepteur”, Éclairage
électrique 40, pp. 121-128, 161-167, 201-212,
241-250. Œuvres, tome X, pp. 445-486.
i) “Rapport sur les travaux de M. Hilbert”, Bulletin
de la Société physico-mathématique de Kasan 14,
pp. 10-48.
j) “Les définitions générales en mathématiques”, in
Conférences du Musée pédagogique, L’enseignement des
sciences mathématiques et des sciences physiques. (Paris :
Imprimerie Nationale) pp. 1-28 ; L’enseignement
mathématique 6, pp. 257-283. Italian translation
by Giulio Lazzeri, Periodico di matematica per l’insegnamento
secondario 20 (1905), pp. 193-202. Spanish translation
by Angel Bozal Obejero, Gazeta de matemáticas, Madrid, 3 (1905),
pp. 121-132, 164-177. Science et méthode (with a
new title, “Les définitions mathématiques
et l’enseignement”), book II, chapter II.
k) “Rapport relatif à la Fondation Jean Debrousse (23
mars 1904)”, Mémoires de l’Institut ; Fondation
Jean Debrousse, (1900-1905), rapports, pp. 69-86.
l) “Sur la participation des savants à la politique”, Revue
politique et littéraire (Revue bleue) 1, 5ème série,
p. 708.
m) “L’état actuel et l’avenir de la physique mathématique”, Bulletin
des sciences mathématiques 28, 2ème série,
pp. 302-324 ; La revue des idées, 1ère
année, (15 novembre 1904), pp. 801-814 ; some
extracts were also published as “Une image de
l’univers” in the Bulletin de la Société
astronomique de France 19 (1905), pp. 30-31.
English translation by G. B. Halsted, The Monist 15 (1905),
pp. 1-24. Japanese translation by Yoshio Mikami, Tokyobateu
ri gakkozaschi 165 (1905), pp. 1-13, 1-14. English
translation by par J. W. Young, Bulletin of
the American Mathematical Society 12 (1905-1906), pp. 240-260. La
valeur de la science, chapters VII, VIII and IX.
n) “Notice sur la vie et les Œuvres d’Alfred
Cornu”, in : Alfred Cornu, Rennes,
Francis Simon, 1904, pp. 9-21 ; Journal de l’École
Polytechnique cahier 10, 2ème série (1905), pp. 143-176.
o) La théorie des Maxwell et les oscillations hertziennes,
2nd edition, Paris, G. Carré & C. Naud, 80 p. 3rd
edition, Gauthier-Villars, 1907, 97 p.
1905
a) “Sur la généralisation d’un théorème
élémentaire de géométrie”, Comptes-rendus
de l’Académie des sciences 140, pp. 113-117. Œuvres,
tome XI, pp. 8-12.
b) “Rapport présenté au nom de la Commission
chargée du contrôle scientifique des opérations géodésiques
de l’Équateur”, Comptes-rendus de l’Académie
des sciences 140, pp. 998-1006.
c) “Sur la dynamique de l’électron”, Comptes-rendus
de l’Académie des sciences 140, pp. 1504-1508. Œuvres,
tome IX, pp. 489-493.
d) “Rapport sur un mémoire de M. Bachelier
(intitulé Les probabilités continues)”, Comptes-rendus
de l’Académie des sciences 141, pp. 647-648.
e) “Prix Damoiseau”, Comptes-rendus
de l’Académie des sciences 141, pp. 1076-1077.
f) “Sur les invariants arithmétiques”, J.
reine und angew. Mathematik 129, pp. 89-150. Œuvres,
tome V, pp. 203-265.
g) “Sur les lignes géodésiques des surfaces
convexes”, Transactions of the American
Mathematical Society 6, pp. 237-274. Œuvres,
tome VI, pp. 38-84.
h) “Sur la méthode horistique de Gyldén”, Acta
Mathematica 29, pp. 235-271. Œuvres, tome VII,
pp. 587-618.
i) Leçons de Mécanique céleste, tome 1, Paris,
Gauthier-Villars, VI + 367 p.
j) “Rapport sur les opérations géodésiques
de l’Équateur”, Comptes rendus des Séances
de la 14ème Conférence générale de
l’Association géodésique internationale (4-13 août 1903),
pp. 113-127. Œuvres, tome VIII, pp. 602-620.
k) “Une image de l’univers”, Bulletin
de la Société astronomique de France 19, pp. 30-31.
Cet article est en fait un extrait de la conférence intitulée
“L’état actuel et l’avenir de la physique mathématique”.
l) La valeur de la science, Paris, Flammarion, 278 p. German
translation by E. Weber, (Leipzig : Teubner), 1906.
Spanish translation by Emilio González Llana, (Madrid :
José Ruiz), 1906. English translation by G. B. Halsted,
(New-York), 1907.
m) “Cournot et les principes du calcul infinitésimal”, Revue
de métaphysique et de morale 13, pp. 293-306. Dernières
pensées (since 1926).
n) “Les mathématiques et la logique”, Revue
de métaphysique et de morale 13, pp. 815-835. Science
et méthode, book II, chapters III and IV.
o) “Préface”, in : Hill,
G. W., Collected Mathematical Works, volume 1, Washington,
pp. V-XVIII.
p) “Rapport relatif à la Fondation Jean Debrousse
(15 mars 1905)”, Mémoires de l’Institut ; Fondation
Jean Debrousse, (1900-1905), rapports, pp. 87-101.
q) “A. Potier”, Éclairage
électrique 43, pp. 281-282 ; in :
Potier, A., Mémoires sur l’électricité et l’optique,
Paris, Gauthier-Villars, 1912, pp. V-X. Savants et
écrivains, chapter XII.
1906
a) “Sur M. Langley, correspondant de
l’Académie”, Comptes-rendus de l’Académie
des sciences 142, p. 925.
b) “Sur M. Curie, membre de l’Académie”, Comptes-rendus
de l’Académie des sciences 142, pp. 939-941. Savants
et écrivains, chapter III.
c) “Sur M. Bischoffsheim”, Comptes-rendus
de l’Académie des sciences 142, p. 1119. Savants
et écrivains.
d) “Sur des membres de l’Académie des sciences et
sur des membres de la Mission géodésique à l’Équateur”, Comptes-rendus
de l’Académie des sciences 143, pp. 989-998 ; Mémoires
de l’Institut 23, pp. 5-16.
e) “Sur les périodes des intégrales doubles”, Journal
de mathématiques pures et appliquées 2, 6ème
série, pp. 135-189. Œuvres, tome III,
pp. 493-539.
f) “Sur la détermination des orbites par la méthode
de Laplace”, Bulletin astronomique 23,
pp. 161-187. Œuvres, tome VIII, pp. 393-416.
g) “Réflexions sur la théorie cinétique des
gaz”, Journal de physique théorique et appliquée
5, 4ème série, pp. 369-403. Bulletin de la
Société française de physique, pp. 150-184. Œuvres,
tome IX, pp. 587-619.
h) “Sur la dynamique de l’électron”, Rendiconti
del Circolo matematico di Palermo 21, pp. 129-176. Œuvres,
tome IX, pp. 494-550.
i) “La fin de la matière”, Atheneum 4086 (17
février 1906), pp. 201-202. La science et l’hypothèse,
chapter XIV (since the 1907 edition).
j) “La voie lactée et la théorie des gaz”,