H. Poincaré: Rapport sur la thèse de Nicolau

24 Juin 1912

Ministère de l’Instruction Publique

Faculté des sciences de l’Université de Paris

Doctorat ès sciences Mathématiques – Mr Nicolau

Membres du Jury MM. H. Poincaré Andoyer Puiseux

Rapport sur la Thèse de M. Nicolau Constantin

«  Sur la variation dans le mouvement de la Lune  »

Cette thèse a pour objet l’étude de la théorie de la Variation de la Lune d’après Hill.11endnote: 1 Constantin I. Nicolau (1873–1942) a soutenu une thèse à la Faculté des sciences de Paris le 24.06.1912 intitulée “Sur la variation dans le mouvement de la lune” (Nicolau 1912). Si l’on néglige l’excentricité solaire, l’inclinaison des orbites, la parallaxe solaire, on obtient des équations de forme très simple qui admettent une solution périodique. Hill a mis cette solution périodique sous la forme de série trigonométriques et formé les relations de récurrence qui lient les coefficients de ces séries. De ces relations on peut déduire les coefficients par des méthodes d’approximation successives très rapides.

En ce qui concerne la Lune, ces méthodes d’approximation ne laissent absolument rien à désirer, mais pour des satellites de période plus longue, leur convergence pourrait devenir beaucoup moindre. C’est ce qui peut rendre désirable, soit la recherche de procédés plus rapides encore, soit une étude analytique complète des solutions périodiques envisagées. C’est cette étude analytique que M. Nicolau avait en vue quand il a entrepris son travail, mais il est resté très loin du but.

Au lieu d’envisager les relations de récurrence de Hill dans toute leur généralité, il les simplifie d’abord de la façon suivante. Soit aj le je coefficient à déterminer et considérons la je relation, c’est-à-dire celle où cette inconnu aj joue le rôle prépondérant et est affectée d’un gros coëfficient ; cette relation dépendra aussi des autres inconnues ai ; M. Nicolau y supprime les inconnues ai qui ne satisfont pas à la condition

|i||j|;|i-j||j|.

C’est ce qu’il appelle la première approximation. Elle est plus approchée que la première approximation de Hill, mais moins que les approximations suivantes de Hill, mais ce n’est encore qu’une approximation.

Les deux relations où j=±1 sont particulièrement simples et si on y regarde les inconnues comme des coordonnées rectangulaires, elles représentent deux hyperboles ayant une direction asymptotique commune. Elles se prêtent donc facilement à la discussion, et on peut en particulier en se servant du théorème de Cauchy, voir quel sera le rayon de convergence des séries procédant suivant les puissances de m.

Il faut pour cela déterminer le point singulier le plus rapproché de l’origine et c’est ce que fait l’auteur ; mais cela appelle une double observation. 1° Il faudrait s’assurer que ce point singulier n’est pas apparent c’est-à-dire qu’il appartient bien à la branche considérée de la fonction. Cette discussion n’est pas faite ou tout au moins pas terminée de sorte que nous avons seulement une limité inférieure du rayon de convergence. 2° Les relations d’où l’on est parti ne sont qu’approximatives. Le résultat en ce qui les concerne n’aurait de prix que s’il pouvait conduire facilement à un résultat analogue applicable aux relations exactes. Il est sans doute permis de l’espérer, mais la voie qu’il faudrait suivre n’est pas suffisamment indiquée.

M. Nicolau cherche ensuite des valeurs asymptotiques de ses coëfficients pour j grand ; pour cela il forme les deux séries de Taylor qui ont respectivement pour coefficients cj et c-j, il forme les équations différentielles auxquelles satisfont ces deux séries et il applique aux intégrales de ces équations différentielles la méthode de M. Darboux pour la calcul des fonctions de très grands nombres.

Malheureusement il ne croit pas pouvoir appliquer tout d’abord cette méthode dans toute sa rigueur et il simplifie les relations de récurrence qui définissent les coefficients en les remplaçant par des relations majorantes. Ces relations ne sont d’ailleurs majorantes que pour j grand, ce qui est encore une condition restrictive ; nous n’obtenons donc pas une valeur asymptotique de cj, mais une valeur asymptotique d’une limite supérieure de cj ; cette valeur asymptotique dépend d’ailleurs d’un paramètre qu’on ne sait pas déterminer.

M. Nicolau reprend ensuite la question, en ne supposant plus que j soit grand, (mais en négligeant les puissances supérieures de m, ce qui est légitime) il applique de nouveau la même méthode, cette fois aux équations exactes (toujours en négligeant les puissances supérieures de m) et il forme les équations différentielles correspondantes qui constituent un système du 8e ordre. Il cherche alors à former des équations majorantes ; l’équation majorante dont il se sert est

adydx-by=8Ax+axy+(a+a′′x)y21-y

qui peut même être remplacée avec avantage par une équation majorante algébrique ; mais il obtient ainsi une limite supérieure des coëfficients ci, limite qui est malheureusement beaucoup trop élevé, puisqu’elle conduirait à un rayon de convergence environ dix fois plus petit que le rayon véritable ; mais on conçoit qu’en substituant ces valeurs majorées dans certains petits termes des relations qui définissent les véritables valeurs des ci, on puisse être conduit à des valeurs plus approchées de ces coëfficients, et à évaluer facilement une limite de l’erreur commise. L’auteur toutefois n’aborde pas ces applications et préfère chercher un autre procédé.

Il a imaginé de comparer les relations de récurrence entre les ci aux relations beaucoup plus simples:

cj=1j-1cicj-i (1)

dont l’intégration est facile ; il a cherché à quelle condition les véritables valeurs des cj sont certainement plus petites que celles que l’on déduirait de ces relations simples (1). Il pourrait pour cela se servir de l’indéterminée c1 d’où tous les autres c se déduisent par récurrence ; en prenant le c1 majoré égal au c1 véritable multiplié par 73, les conditions seraient remplies.

M. Nicolau préfère prendre le c1 majoré égal au c1 véritable, quitte à modifier les relations (1), il conserve les relations (1) pour j>2, mais pour j=2, il remplace la relation (1) qui s’écrirait

c2=c12

par la relation

c2=73c12 (1 bis)

Les relations (1) ainsi modifiées restent facilement intégrables ; l’auteur donne les détails de cette intégration qui est aisée et montre quelques-unes des conséquences qu’on en pourrait tirer.

Pour compléter le travail, il conviendrait de chercher à exprimer c1 en fonction de m et de chercher les limites de convergence ; mais pour cela il serait nécessaire de pousser l’approximation dans les calculs qui précèdent jusqu’aux termes d’ordre supérieur en m. Dans l’équation qui lie c1 aux ci se borner à substituer aux ci et à c1 leurs valeurs approchées, ce serait illusoire, puisque l’ordre de l’erreur commise n’est pas la même dans tous les ci. L’auteur a donc dû renoncer à pousser jusqu’au bout le travail tel qu’il l’avait d’abord conçu.

En résumé, malgré les nombreuses lacunes que nous avons signalées, malgré les défauts de la rédaction, nous sommes d’avis qu’il y a lieu d’accepter cette thèse, en raison de la difficulté du sujet et du travail que M. Nicolau a dû s’imposer. Les résultats obtenus ne sont que fragmentaires et incomplets, mais ils pourront utilement servir de point de départ à des recherches ultérieures qui exigeront à leur tour de ceux qui les entreprendront beaucoup de temps et de labeur.

Poincaré

Andoyer

Puiseux

M. Nicolau a soutenu ses deux thèses d’une façon satisfaisante bien que son exposition ait été un peu confuse et ait parfois manqué de clarté et que ses juges aient été souvent obligés d’insister pour obtenir plus de précision.

Poincaré

ADS. AJ16 5541, Archives nationales françaises.

Time-stamp: " 1.07.2019 21:01"

Notes

  • 1 Constantin I. Nicolau (1873–1942) a soutenu une thèse à la Faculté des sciences de Paris le 24.06.1912 intitulée “Sur la variation dans le mouvement de la lune” (Nicolau 1912).

Références

  • C. Nicolau (1912) Sur la variation dans le mouvement de la lune. Ph.D. Thesis, Faculté des sciences de Paris, Paris. Cited by: endnote 1.