7-2-28. Felix Klein to H. Poincaré, French translation

le 9 juillet 1881

Leipzig

Cher Monsieur,

En tant que réponse rapide à votre lettre, j’ai à dire, à peu près, les choses suivantes :

1. Il me convient que vous ayez cité ce passage de ma lettre. Jusqu’à présent, je ne suis en possession que de votre note du 27 juin.11endnote: 1 Poincaré 1881. En ce qui me concerne le nom que vous avez donné à cette classe de fonctions, j’ai été passablement étonné ; car je n’ai, en réalité, fait rien d’autre que de reconnaître l’existence de ces groupes. Pour ma part, je n’utiliserai ni “fuchsiennes” ni “kleinéennes”, mais m’en tiendrai à mes “fonctions à transformations linéaires”.

2. Ce que j’ai dit des principes de Riemann n’était pas assez précis. Il ne fait aucun doute que le principe de Dirichlet doit être abandonné, parce que nullement concluant. Mais on peut le remplacer complètement par des méthodes de démonstration plus rigoureuses. Vous trouverez cela exposé plus en détail dans un travail de Schwarz, que j’ai examiné justement ces jours-ci (en vue de mon cours), et dans lequel vous trouverez des informations sur la détermination des constantes, qui étaient seulement indiquées dans le Journal de Borchardt (toutefois, il vous faudra examiner les travaux dans les tomes 70, 74, et 75 du Journal de Borchardt) ; ce travail de Schwarz se trouve dans les Berliner Monatsberichten 1870, p. 767–795.

3. La démonstration générale d’existence, que j’ai mentionnée la dernière fois, reste, naturellement, valable pour les groupes formés de substitutions analytiques quelconques (non nécessairement linéaires). Il est remarquable que, dans ce sens, tout groupe d’opérations définisse des fonctions qui restent inchangées par lui. Les “groupes discontinus” ont seulement l’avantage qu’ils engendrent des fonctions uniformes, ce qui est d’ailleurs tout à fait fondamental. Pourra-t-on maîtriser les cas plus difficiles par des fonctions uniformes de plusieurs variables, comme on a coutume de le faire, en particulier, dans le cas traité par Riemann dans le § 12 grâce au problème d’inversion de Jacobi ?

C’est tout pour aujourd’hui. Entre-temps, j’ai parcouru avec Monsieur Brunel mes travaux, notamment aussi les cahiers des cours de 1877–1878 et 1878–1879 (que, à l’époque, j’avais fait remanier), et M. Brunel vous en écrira prochainement.

Bien à vous,

votre dévoué,

Prof. Dr. F. Klein

PTrL. Translated by S.A. Walter from the German (§ 4-49-9).

Time-stamp: “ 4.05.2019 00:49”

Notes

Références

  • H. Poincaré (1881) Sur les fonctions fuchsiennes. Comptes rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des sciences de Paris 92, pp. 1484–1487. Link Cited by: endnote 1.