1-1-30. H. Poincaré à Gösta Mittag-Leffler

Paris, 22 Mai 1883

Mon cher ami,

Je vous envoie aujourd’hui mon mémoire sur les groupes kleinéens, qui, comme je vous l’avais annoncé, est un peu plus court que les deux premiers ; je vais me mettre immédiatement à l’œuvre pour le quatrième mémoire qui aura pour objet les groupes des équations linéaires. J’en ai déjà résumé les principaux résultats dans diverses notes insérées aux Comptes Rendus et principalement dans celle de Lundi dernier où j’énonce un théorème qui vous intéressera peut-être. Je considère une fonction $y=f(x)$ quelconque analytique non uniforme, et je fais voir qu’on peut toujours trouver une variable z telle que y et x s’expriment par des fonctions uniformes de z. Il va sans dire qu’on en peut trouver une infinité, car si z est une fonction uniforme de t, x et y seront aussi uniforme en t. Ici il ne se passe rien qui soit digne d’être relaté

Veuillez agréer, mon cher ami, l’expression de mes sentiments les plus dévoués et vous charger de présenter à Madame Mittag-Leffler les compliments de ma femme et l’assurance de mon respect.

Poincaré

ALS 2p. IML 13, Mittag-Leffler Archives, Djursholm.

Notes

• 1 Paris-23 mai — Stockholm-26 mai.
• 2 Poincaré 1883a, 1916, 258–299.
• 3 Poincaré 1884, 1916, 300–401.
• 4 Poincaré 1883c, 1916, 53–54, 1883d, 1916, 56–58.
• 5 Poincaré 1883b, 1916.
• 6 Poincaré obtient ce résultat en utilisant le principe de Dirichlet démontré par Schwarz (1870, 1890, 144–171) : Les mêmes principes et le beau théorème de M. Schwarz (Monatsberichte, octobre 1870) permettent de démontrer la proposition suivante, qui peut présenter quelque intérêt à cause de sa généralité : Soit y = f(x) une fonction non uniforme de x, d’ailleurs quelconque. On peut toujours trouver une variable z, telle que l’on ait $$y=\varphi\left(z\right),\quad x=\psi\left(z\right)$$ $\varphi$ et $\psi$ étant deux fonctions uniformes de z, n’existant qu’à l’intérieur d’un cercle. (1883b, 61)