4-44-3. Felix Klein an H. Poincaré

Leipzig 19. Juni 1881

Geehrter Herr !

Als ich gestern Ihren willkommenen Brief erhielt, sandte ich Ihnen umgehend Separatabzüge von denjenigen auf unser Thema bezüglichen Arbeiten zu, von denen ich solche überhaupt noch besitze. Lassen Sie mich heute diese Sendung durch einige Zeilen erläutern. Mit dem einen Briefe wird es freilich nicht abgetan sein, sondern wir werden viel korrespondieren müssen, bis wir wechselseitig volle Fühlung gewonnen haben. Ich möchte heute folgende Punkte hervorheben.

1. Unter den übersandten Arbeiten fehlen die drei wichtigsten aus dem 14-ten Bande der Math. Annalen, desgleichen meine Untersuchungen über das Ikosaeder in Bd. 9 und 12, sowie meine zweite Arbeit über lineare Differentialgleichungen (die auch Herrn Picard unbekannt scheint) ebenfalls in Bd. 12. Ich bitte Sie, sich dieselbe, irgendwo zu verschaffen. Separatabzüge sandte ich verschiedene nach Paris, z.B. an Hermite.

2. An meine eigenen Arbeiten schließen sich die meiner Schüler Dyck und Gierster. Ich benachrichtigte beide, Ihnen Separatabzüge zuzustellen. Eine auf dieselben Theorien bezügliche Doktordissertation von Herrn Hurwitz wird eben gedruckt und Ihnen in einigen Wochen zukommen.

3. Seit vorigem Herbst ist einer Ihrer Landsleute hier, dessen Namen Sie vermutlich kennen, da er zusammen mit Picard und Appell studierte: Mr. Brunel (adr. Liebigstraße 38/II). Vielleicht interessiert es Sie, auch mit ihm in Korrespondenz zu treten ; er wird Ihnen von den hiesigen Seminareinrichtungen und von der Rolle, welche eben dort die eindeutigen Funktionen mit linearen Transformationen in sich gespielt haben, besser erzählen können, als ich selbst.

4. Ich habe Sommersemester 1879 von Herrn Gierster ein Heft meiner Vorlesung ausarbeiten lassen. Im Augenblicke ist dasselbe verliehen, doch werde ich dasselbe nächster Tage zurückbekommen und mit Herrn Brunel zusammen durchgehen, worauf wir Ihnen Bericht erstatten.

5. Die Benennung «fonctions fuchsiennes» weise ich zurück, so gut ich verstehe, daß Sie durch Fuchssche Arbeiten zu diesen Ideen mit veranlaßt wurden. Im Grunde basieren alle solche Untersuchungen auf Riemann. Für meine eigene Entwickelung war die eng verwandte Betrachtung von Schwarz in Bd. 75 des Borchardtschen Journals (die ich Ihnen dringend empfehle, wenn Sie dieselbe noch nicht kennen sollten) von maßgebender Bedeutung. Die Arbeit von Herrn Dedekind über elliptische Modulfunctionen in Borchardts Journal Bd. 83 erschien erst, als ich mir über die geometrische Repräsentation der Modulfunktionen bereits klar (Herbst 1877). Zu diesen Arbeiten stehen die von Fuchs vermöge ihrer ungeometrischen Form in bewußtem Gegensätze. Ich bestreite nicht die großen Verdienste, welche Herr Fuchs um andere Teile der Lehre von den Differentialgleichungen hat, aber gerade hier lassen seine Arbeiten um so mehr im Stich als das einzige Mal, wo er in einem Briefe an Hermite die elliptischen Modulfunktionen erläuterte (Borchardts Journal Bd. 83), ein fundamentaler Fehler unterlief, den dann Dedekind l.c. nur sanft monierte.

6. Man kann eine Funktion mit linearen Transformationen in sich insbesondere so definieren, daß man die Halbebene auf ein Kreisbogenpolygon, welches beliebig vorgegeben ist, abbildet. Dies ist dann freilich ein nur spezieller Fall der allgemeinen (ich weiß im Augenblicke nicht, ob Sie sich nur auf diesen speziellen Fall beschränken). Die Gruppe der linearen Transformationen ist dann dadurch partikularisiert, daß sie in einer doppelt so großen Gruppe von Operationen enthalten ist, welche neben linearen Transformationen auch Spiegelungen (Transformationen durch reziproke Radien) umfaßt. In diesem Falle ist die Existenz der Funktion durch ältere Arbeiten von Schwarz, resp. Weierstrass, sichergestellt sofern man nicht auf die allgemeinen Riemannschen Prinzipien rekurrieren will. Siehe Schwarz in Borchardts Journal, Bd. 70, Abbildung der Halbebene auf Kreisbogenpolygone.

7. Auch in diesem speziellen Falle habe ich bislang durchaus nicht alle „groupes discontinus“aufgestellt ; ich habe nur gesehen, daß es sehr viel gibt, bei denen kein fester Grundkreis existiert, bei denen also die Analogie mit der nicht-euklidischen Geometrie (die mir übrigens in der Tat sehr geläufig ist) nicht zutrifft. Nehmen Sie z.B. ein beliebiges Polygon, begrenzt von irgend welchen sich berührenden Kreisen :

so wird die Vervielfältigung durch Symmetrie ebenfalls zu einer groupe discontinu führen.

8. Die übrigen Fragen Ihres Briefes finden, wohl schon durch die übersandten Arbeiten ihre Beantwortung die nach dem Pluralis der „Modulfunktionen“ und in der Hauptsache auch die nach den „Fundamentalpolygonen“. In der Hoffnung, recht bald wieder von Ihnen zu hören,

Ihr ganz ergebener,

F. Klein

PTrL. Nörlund (1923, 101–103); Fricke et al. (1923, 590–593); Julia and Petiau (1956, 32–34). See also the translations in English (§ 7-2-48) and French (§ 7-2-34).

Time-stamp: "27.04.2021 19:47"

Notes

• ¹ Klein (1879b, a, c, 1876, 1877c, 1877a, 1877b).
• ² Walther von Dyck and Joseph Gierster were both doctoral students of Klein, the former at the University of Munich, the latter at the University of Leipzig.
• ³ Schwarz (1873).
• ⁴ Dedekind (1877).
• ⁵ Fuchs (1877), reed. Fuchs and Schlesinger (1906, 85–111).
• ⁶ See Schwarz (1869); reed. Schwarz (1890, 65–83).