7-2-34. Felix Klein à H. Poincaré, traduction française

Leipzig le 19 juin 1881

Monsieur,

Au reçu, hier, de votre lettre, je vous ai envoyé immédiatement les tirés à part, dans la mesure où j’en possédais encore, des travaux se rapportant à notre sujet. Permettez-moi d’y ajouter, aujourd’hui, quelques lignes d’explication. A dire vrai, la question ne sera pas épuisée en une seule lettre, mais il nous faudra en échanger plusieurs, jusqu’à ce que nous ayons, mutuellement, un bon contact. Je voudrais faire ressortir, aujourd’hui, les points suivants :

1. Parmi les travaux envoyés il manque les trois les plus importants : celui du tome 14 des Annalen, de même mes recherches sur l’icosaèdre dans les tomes 9 et 12, ainsi que mon deuxième mémoire sur les équations différentielles linéaires (qui semble également inconnu à M. Picard) aussi dans le tome 12. Je vous prie de vous les procurer quelque part. J’ai envoyé divers tirés à part à Paris – chez Hermite, par exemple.

2. Les travaux de mes élèves Dyck et Geirster complètent les miens. Je leur demande à l’un et à l’autre de vous envoyer leurs tirés à part. Une thèse de doctorat de M. Hurwitz, en relation avec ces mêmes théories, est sous presse et vous parviendra d’ici quelques semaines.

3. Un de vos compatriotes, dont le nom vous est sans doute connu, puisqu’il a étudié avec Picard et Appell : M. Brunel (adresse : Liebigstraße 4/II) est ici depuis l’automne dernier. Peut-être seriez-vous aussi intéressé d’entrer en correspondance avec lui ; il pourra, mieux que moi, vous parler de la direction du séminaire que nous avons ici, et du rôle que les fonctions uniformes avec transformations linéaires en soi y ont joué.

4. J’ai fait rédigé par M. Geirster un cahier de mon cours du semestre d’été 1879. Pour le moment je l’ai prêté, mais je dois le ravoir dans les prochains jours, et l’examiner ensemble avec M. Brunel, après quoi nous vous en ferons un compte-rendu.

5. Je regrette la désignation fonctions fuchsiennes, bien que je comprenne que vous ayez été conduit à ces idées par les travaux de Fuchs. Au fond, toutes ces recherches se fondent sur les travaux de Riemann. Ma propre évolution a été fortement influencée par les considérations de Schwarz, intimement liées à celle de Riemann, dans le tome 75 du Journal de Borchardt (que je vous recommande vivement si vous ne les connaissiez pas encore). Le mémoire de M. Dedekind sur les fonctions modulaires elliptiques a été seulement publié dans le tome 83 du Journal de Borchardt, alors que la représentation géométrique des fonctions modulaires était déjà évidente pour moi (automne 1877). Les mémoires de Fuchs sont en opposition délibérée avec ce mémoire de Dedekind, à cause de leur forme non-géométrique. Je ne nie pas les grands services que M. Fuchs a rendus à d’autres parties de la théorie des équations différentielles, mais ses travaux nous mettent ici d’autant plus dans l’embarras que, pour la seule fois où il s’est expliqué sur les fonctions modulaires elliptiques dans une lettre à Hermite, il a laissé passer une faute fondamentale que Dedekind n’a critiquée que légèrement dans la revue citée.

6. On peut définir notamment une fonction linéaire à transformations linéaires en soi par le fait qu’elle applique le demi-plan sur un polygone à arcs circulaires quelconque. C’est alors à vrai dire seulement un cas particulier du cas général (je ne sais pas, pour le moment, si vous ne vous limitez pas seulement à ce cas particulier). Le groupe des transformations linéaires est alors caractérisé par le fait qu’il est contenu dans un groupe d’opérations deux fois plus grands, qui, à côté des transformations linéaires, contient aussi des réflexions (transformations par rayons réciproques). Dans ce cas, l’existence de la fonction a été établie rigoureusement par les travaux de longue date de Schwarz et de Weierstrass, si l’on ne veut pas faire appel aux principes généraux de Riemann. Voir Schwarz, tome 70 de Borchardt : Abbildung der Halbebene auf Kreisbogenpolygone.

7. Même dans ce cas particulier, je n’ai pas encore établi complétement tous les groupes discontinus ; j’ai seulement constaté qu’il y en avait beaucoup pour lesquels il n’existe aucun cercle fondamental déterminé et auxquels par conséquent ne s’applique pas l’analogie avec la géométrie non-euclidienne (qui m’est, d’ailleurs, très familière). Prenons, par exemple, un polygone quelconque, limité entièrement par des cercles tangents:

alors de même par symétrie l’engendrement conduira à un groupe discontinu.

8. Vous trouverez, sans doute, une réponse aux autres questions posées dans votre lettre dans les mémoires envoyés, en particulier à celles concernant le pluriel des “fonctions modulaires” et, principalement, les “polygones fondamentaux”.

Dans l’espoir d’avoir bientôt de vos nouvelles, je vous prie de croire à mes sentiments dévoués,

F. Klein

PTrL. Translated by S.A. Walter from the transcription in German by Nörlund (1923) (§ 4-47-3). Previously translated by F. Poincaré in Dugac (1989, 92–94). See also the English translation (§ 7-2-48).

Time-stamp: "27.04.2021 19:47"

Notes

• 1 Klein (1879b, a, c, 1876, 1877c, 1877a, 1877b).
• 2 Schwarz (1873).
• 3 Dedekind (1877).
• 4 Fuchs (1877), reed. Fuchs and Schlesinger (1906, 85–111).
• 5 Voir Schwarz (1869); reed. Schwarz (1890, 65–83).