3-33-5. Anders Lindstedt an H. Poincaré

Dorpat den 5 September 1883

Sehr geehrter Herr Professor!

Für ihren letzten Brief und die darin enthaltenen Belehrungen bin ich Ihnen von ganzem Herzen dankbar. Wenn Sie glauben, dass ich in dergleichen Fragen “au courant” bin, so irren Sie sich. Ich bitte Sie mich nur als das, was ich wirklich bin, nähmlich einen Anfänger zu betrachten, der dankbar sein wird für jede Belehrung.

In der That habe ich mich erst seit August des vorigen Jahres überhaupt mit dem Störungsproblem beschäftigt. Bis zu der Zeit war ich nur ein rein praktischer Astronom. Seitdem ich aber durch die Mittheilungen des Herrn Gyldén angeregt worden war auch meine Kräfte zu versuchen, und auf die in meiner Abhandlung ausgeführten Idee[n] gekommen war, habe ich mich unablässig bemüht dieselbe[n] für eine allgemeine Lösung des Dreikörperproblems fruchtbar zu machen. In Folge dessen habe ich auf eine strenge Herleitung der Convergenzbedingungen vorläufig verzichtet, weil ich der Ueberzeugung gewesen bin, dass man zuerst eine Methode auffinden musste, durch welche man im Stande sein würde, unter Voraussetzung von Convergenz, die allgemeine Form sowie die wirklichen Ausdrücke für die Integrale aufzufinden. Erst nachdem diese Form gefunden, scheint mir, kann man hoffen die Convergenzfrage mit Hoffnung auf Erfolg in Angriff nehmen zu können. Aus diesem Grunde habe ich alle strengeren Untersuchungen bis auf Weiteres verschoben. Ausserdem muss ich bemerken, dass ich noch wenig Literaturkenntniss besitze.

Auf ihre Frage wegen der Convergenz des Integrals einer Gleichung von der Form

$$\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=\psi(t)x+\psi_{1}(t)x^{2}$$

kann ich desshalb nur die Antwort geben, dass ich damit mich nur höchst oberflächlich beschäftigt habe.

Wie schon gesagt, habe ich alle meine Bemühungen darauf gerichtet die Form der Ausdrücke für die Integrale des Drei-körperproblems aufzufinden. Wenn es Sie interessiert will ich Ihnen den ungefährlichen Inhalt einer Note mittheilen, die ich in wenigen Tagen nach Paris schicken werde, um in den Comptes Rendus gedruckt zu werden, n.b. wenn sie dieser Ehre würdig erachtet wird. Ich glaube nähmlich, dass durch meine Arbeit doch die Frage so weit getrieben sein soll, dass nur die Convergenzbedingungen zu untersuchen übrig bleiben, was allerdings theoretisch das wichtigste ist.

Die Glⁿ für die Bewegungen der Massen $m$ und $m^{\prime}$ um $M$ sind

$$\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+x\left\{\frac{M+m}{r^{3}}+\frac{m^{\prime}}{\Delta^{3}}\right\} =m^{\prime}x^{\prime}\left\{\frac{1}{\Delta^{3}}-\frac{1}{r^{\prime 3}}\right\}$$ (1)

$$\frac{d^{2}x^{\prime}}{dt^{2}}+x^{\prime}\left\{\frac{M+m^{\prime}}{r^{\prime 3}}+\frac{m}{\Delta^{3}}\right\} =mx\left\{\frac{1}{\Delta^{3}}-\frac{1}{r^{3}}\right\}$$

und ähnliche für $y,y^{\prime}$ und $z,z^{\prime}$, die man durch Vertauschung der Variablen erhält. Wenn nun die Entwicklungen der Parenthese d.h. die Expressionen von $r$, $r^{\prime}$ und $\Delta$ (= die gegenseitigen Entfernungen) bekannt wären, so wäre das Problem reducirt auf das simultane System

$$\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+x\psi(t) =x^{\prime}\psi^{\prime}(t)$$

$$\frac{d^{2}x^{\prime}}{dt^{2}}+x^{\prime}\psi_{1}(t) =x\psi^{\prime}_{1}(t)$$

was durch die Methode in meiner Abhandlung zu integrieren wäre.

Das wichtigste ist also $r,r^{\prime}$ und $\Delta$ zu bestimmen.

Indem ich nun nicht nach $m$ und $m^{\prime}$ sondern nach 4 Functionen der 12 Integr. Constanten des Problems, die ich mit $\eta$, $\eta^{\prime}$, $\kappa$, $\kappa^{\prime}$ bezeichnet habe, entwickele, so finde ich:

Die Grössen $r^{2}$, $r^{\prime 2}$ und $\Delta^{2}$ lassen sich in trigonometrischen Reihen entwickeln, welche 4 Argumente enthalten, nähmlich

$$nt+\pi,\quad n^{\prime}t+\pi^{\prime},\quad\nu t+\omega,\quad\nu^{\prime}t+\omega^{\prime}$$

wo $\pi$, $\pi^{\prime}$, $\omega$, $\omega^{\prime}$ 4 andere Integr. Constanten bedeuten. Keine sekularen Glieder finden sich vor, weder in den $r$, $r^{\prime}$ und $\Delta$, noch in den rechtwinkligen Koordinaten, wenn nicht zwischen den $n$, $n^{\prime}$, $\nu$, $\nu^{\prime}$ besondere Relationen stattfinden würden, was ausgeschlossen bleibt. $n$ und $n^{\prime}$ sind von den gewöhnlich genannten mittleren Bewegungen, wenn $m$ und $m^{\prime}$ klein, um Grössen dieser Ordnung verschieden.

Weiter kann man setzen

$$\nu =n+n^{\prime}+\sigma$$

$$\nu^{\prime} =n-n^{\prime}+\sigma^{\prime}$$

wo $\sigma$ und $\sigma^{\prime}$ für eine der Combinationen

$$M=0;\;\; m=0$$

$$\mbox{oder}\quad m=0;\;\; m^{\prime}=0$$

$$\mbox{oder}\quad m^{\prime}=0;\;\; M=0$$

verschwinden.

Ein Glied in den Entwickelungen, das das Argument

$$i(nt+\pi)+i^{\prime}(n^{\prime}t+\pi^{\prime})+j(\nu t+\omega)+j^{\prime}(\nu^{\prime}t+\omega^{\prime})$$

hat als Faktor die Grösse

$$\eta^{i}\cdot\eta^{\prime i^{\prime}}\cdot\kappa^{j}\cdot\kappa^{\prime j^{\prime}}$$

Glieder, wie Gyldén elementare nennt, finden sich thatsächlich, aber besitzen nicht die von ihm angegebene Eigenschaft, dass sie die Masse (“störende”) als Faktor verlieren. Die Coefficienten dieser Glieder sind immer wenigstens von der dritten Ordnung in Bezug auf die Quantitäten $\eta$, $\eta^{\prime}$, $\kappa$, $\kappa^{\prime}$. In dem wirklichen Falle unseres Sonnensystems, ist

• $\eta$, $\eta^{\prime}$ von der Ordnung der Excentricitäten

• $\kappa$ von $\shortparallel$ Neigung, und $\kappa^{\prime}$ von der Ordnung der $\displaystyle\frac{aa^{\prime}}{a^{2}+a^{\prime 2}}$.

Da Sie Ihre Auseinandersetzungen in ihrem Brief für bekannt hielten, möchte ich [die] Bitte an Sie richten, mir zu sagen, wo ich damit vertraut gemacht werden kann. Ich würde Ihnen sehr dankbar sein, wenn Sie mir durch ein Paar Zeilen darüber Auskunft geben wollten.

Zum Schluss will ich Sie aufmerksam machen auf einen eben erschienenen Aufsatz von Prof. H. Bruns in [den] Astronomischen Nachrichten (letztes Heft), wo er mir eben zum Vorwurf macht, dass ich die Convergenzfrage ausser Acht gelassen habe bei der Behandlung der Gleichung

$$\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+n^{2}x=\beta x\cos t$$

und selbst eine ausführliche Herleitung giebt.

Mit der tiefsten Hochachtung und Verehrung

Ihr And. Lindstedt

ALSX 6p. Collection particulière, Paris 75017.

Time-stamp: "8.06.2019 19:00"

Notes

• ¹ Lindstedt commence à publier des travaux sur la théorie de la perturbation à partir de 1882 (Lindstedt 1882). Auparavant ses travaux concernent des mesures de méridiens ou des observations de Mars (Lindstedt 1881, 1878a, 1878b, 1877). Une autre raison de l’ignorance de Lindstedt des techniques utilisées par Poincaré dans la lettre précédente est leur nouveauté (Fuchs 1866; Tannery 1875; Floquet 1879).
• ² Poincaré traite, dans sa note sur les séries trigonométriques (1883) la convergence des séries de Lindstedt; il analyse les hypothèses de Lindstedt en soulignant que ce dernier ne fait pas tout à fait les mêmes hypothèses dans sa note publiée dans les Astronomische Nachrichten (Lindstedt 1882) et celle publiée dans les Comptes rendus (Lindstedt 1883a). En effet, dans la première, Lindstedt suppose que ses séries sont convergentes pendant un intervalle de temps alors que dans la note aux Comptes rendus, il signale qu’il n’entre pas dans la discussion de la convergence de ses séries et qu’il fait l’hypothèse que les “constantes aient des valeurs telles que les développements obtenus […] soient toujours convergents” (Lindstedt 1883a, 1278). Poincaré annonce comme résultat (Poincaré 1883, 1472) : “1. Que si ces séries convergent pendant un intervalle de temps, si petit qu’il soit, elles convergeront toujours; 2. Qu’il n’est pas sûr qu’on puisse choisir les constantes de telle façon que les séries convergent; 3. Que les séries, même lorsqu’elles ne convergent pas, peuvent donner une solution du problème avec une approximation indéfinie.” Poincaré montre aussi dans ce travail que les séries de Lindstedt sont au moins toujours bien définies (Poincaré 1883, 1472) : “M. Lindstedt dit aussi qu’il a trouvé le véritable nombre des arguments qu’il faut introduire dans les expressions des coordonnées des masses. Cela n’a de sens que si les coordonnées ne peuvent se développer que d’une seule manière en séries trigonométriques convergentes, et c’est certainement là la supposition du géomètre de Dorpat. Je me propose de montrer que cette supposition est fondée, ce qui n’est pas évident a priori.”
• ³ Dans son article publié en 1884 dans les Annales scientifiques de l’ENS, Lindstedt (1884) justifie son travail en précisant ses limites (Lindstedt 1884, 86) : “Je dois donc croire que l’essai suivant, où l’on donnera une méthode pour trouver la forme des intégrales et établir leurs expressions analytiques dans un cas très important, ne sera pas tout à fait superflu.”
• ⁴ À partir de 1883, Lindstedt se propose de résoudre la question de la forme des équations générales de la théorie des perturbations. Il présente alors son programme de travail en insistant sur l’extension de ses méthodes (Lindstedt 1883b, 97) : “In dem folgenden Aufsatze wage ich den Versuch, über die allgemeine Form der Integrale des Störungsproblem einen Schluss zu ziehen. In einem späteren Aufsatz werde ich, von dem hier gewonnenen Resultate ausgehend, eine Methode angeben, durch welche man im Stande sein wird, dieselben in bequemer Weise wirklich aufzustellen.”
• ⁵ Lindstedt reprend ici des notations assez courantes : $r$ désigne la distance $mM$, $r^{\prime}$ la distance $m^{\prime}M$ et $\Delta$ la distance $mm^{\prime}$. $M$ est à l’origine, $x$, $y$, $z$ sont les coordonnées de $m$ et $x^{\prime}$, $y^{\prime}$, $z^{\prime}$ celles de $m^{\prime}$.
• ⁶ Lindstedt (1884) introduit une variable auxiliaire $q$ définie par l’équation différentielle $$\frac{1}{2}=x\frac{dx^{\prime}}{dt}+y\frac{dy^{\prime}}{dt}+z\frac{dz^{\prime}}{dt}-x^{\prime}\frac{dx}{dt}-y^{\prime}\frac{dy}{dt}-z^{\prime}\frac{dz}{dt}.$$ Il obtient ainsi un système d’équations qui sont “essentiellement les mêmes qu’a établies Lagrange dans son célèbre Mémoire Essai sur le problème des trois corps” (Lindstedt 1884). Lindstedt situe l’originalité de sa méthode dans le fait qu’il préserve, au contraire de Lagrange, la symétrie entre les trois corps jusqu’à l’obtention des développements en série (Lindstedt 1884, 90) : “En nous proposant le problème indiqué plus haut, nous chercherons surtout à conserver la symétrie qui doit exister entre les trois corps. Il suit de là que nous n’avons pas en vue de donner la méthode qui serait la plus convenable dans des applications numériques. Notre but principal sera, en effet, de montrer comment on est capable, théoriquement, par les moyens actuels de l’Analyse, de trouver dans un cas remarquable la vraie forme analytique des expressions des distances mutuelles des trois masses.” Il suppose que les excentricités sont assez petites, que le rapport $\frac{r}{r^{\prime}}$ est constamment $<1$ ou $>1$ et que l’inclinaison des deux orbites est bornée. Ces hypothèses sont vérifiées lorsque l’on peut écrire : $\displaystyle r^{2}$ $\displaystyle=a^{2}(1+\rho)$ $\displaystyle r^{\prime 2}$ $\displaystyle=a^{\prime 2}(1+\rho^{\prime})$ $\displaystyle\Delta^{2}$ $\displaystyle=d^{2}(1+\delta)$ où $a$, $a^{\prime}$ et $d$ sont des constantes et $\rho$, $\rho^{\prime}$ et $\delta$ sont toujours $<1$. En posant $$\frac{dr^{2}}{dt}=u,\quad\frac{dr^{\prime 2}}{dt}=u^{\prime},\quad\frac{d\Delta^{2}}{dt}=v,$$ Lindstedt obtient un système d’équations différentielles dont les inconnues sont $q$, $u$, $u^{\prime}$, $v$ (Lindstedt 1884, 93–94) : “Nous obtiendrons les intégrales de ces équations par une suite d’opérations successives, mais nous ne demanderons pas des développements suivant les puissances de deux des masses, par exemple $m$ et $m^{\prime}$. Les trois masses entrant dans les équations différentielles d’une manière symétrique, et en ayant égard au problème des deux corps, où l’on développe suivant les puissances de l’excentricité, c’est-à-dire d’une arbitraire d’intégration, nous développerons donc suivant les puissances de quatre quantités $\eta$, $\eta^{\prime}$, $k$ et $k^{\prime}$, qui s’introduiront comme constante d’intégration, en supposant pour elles-mêmes de telles valeurs numériques que les séries obtenues seront convergentes pour toute valeur de $t$.” Lindstedt montre alors que les quantités $u$, $u^{\prime}$, $v$, $q$, $\rho$, $\rho^{\prime}$, $\delta$, $r^{2}$, $r^{\prime 2}$, $\Delta^{2}$ sont developpables en des séries trigonométriques de quatre arguments $$nt+\pi=w_{1},\quad n^{\prime}t+\pi^{\prime}=w_{2},\quad\nu t+\omega=w_{3},\quad\nu^{\prime}t+\omega^{\prime}=w_{4},$$ où $\pi$, $\pi^{\prime}$, $\omega$, $\omega^{\prime}$ sont des constantes d’intégration (Lindstedt 1884, 94) : “Chaque terme dont l’argument est $$iw_{1}\pm i^{\prime}w_{2}\pm jw_{3}\pm j^{\prime}w_{4},$$ $i,i^{\prime},j,j^{\prime}$ étant des nombres entiers positifs, aura comme facteur la quantité $$\eta^{i}\eta^{\prime i^{\prime}}k^{j}k^{\prime j^{\prime}}.$$ […] La première approximation nous fournira les termes du premier ordre; de même la seconde nous donnera ceux du deuxième ordre, et ainsi de suite. Quant aux quantités $n$, $n^{\prime}$, $\nu$, $\nu^{\prime}$, elles sont des sommes de termes constants, qui sont tous d’un ordre pair. Ainsi, la deuxième approximation ne corrigera pas les valeurs obtenues pour ces quantités par la première ; de même, la quatrième conservera les valeurs de la troisième, et ainsi de suite, de sorte que l’on pourra effectuer deux approximations consécutives avec les mêmes valeurs des arguments, ce qui sera d’une grande importance dans la pratique.”
• ⁷ Heinrich Bruns se propose de compléter les preuves de Lindstedt en montrant l’existence des développements utilisés par ce dernier (Bruns 1883, 193) : “Die betreffenden Entwickelungen enthalten nun insofern eine Lücke, als ein strenger Beweis dafür, dass man wirklich berechtigt sei, die Lösung in jener Form anzusetzen, nicht gegeben wird ; ebenso fehlt dieser Nachweis in der ausführlicheren Abhandlung “Beitrag zur Integration der Differentialgleichungen der Störungstheorie” […]. Da dieser Punkt bisher nur für den Fall, wo $m$ gleich Null gesetzt werden darf, seine Erledigung gefunden hat, so ist es vielleicht nicht überflüssig, hier einen strengen Existenzbeweis zu geben.”