4-13-2. Georges Brunel à H. Poincaré

Leipzig 7 juillet 1881

Liebig Strasse 4^II

Monsieur,

J’ai eu aujourd’hui même un entretien avec Monsieur Klein. Les fonctions kleinéennes ne le contentent pas. Loin de là. Il est peut être mécontent d’arriver en seconde ligne. Quoiqu’il en soit il est probable que vous recevrez de lui, si vous ne l’avez déjà reçu, une lettre dans laquelle il vous exprime des plaintes. Que voulez-vous ? Il est, je ne sais pour quelle raison, furieux contre Monsieur Fuchs et il ne pourra plus dormir tant que les fonctions fuchsiennes existeront. Il s’est plaint de ce que vous l’ayez pour ainsi dire pris comme complice, et voici, a peu près ce qu’il m’a dit à ce sujet. «  En lisant ce que Mr Poincaré vient de publier dans les Comptes Rendus on s’imaginera que je lui ai écrit : j’ai pris connaissance de vos belles recherches et je vous félicite d’avoir trouvé ce chemin tout nouveau; mais il me semble qu’il faut encore considérer un autre espace du polygone etc etc … mais ce n’est pas là du tout ce que je lui ai écrit. Je lui ai écrit que tout ce qu’il a fait est connu et publié depuis longtemps. D’ailleurs, je reproche à Monsieur Poincaré de publier trop vite. Je lui avait parlé dans une première lettre du polygone et à la fin de sa note il considère des régions limitées par plusieurs circonférences. Dans une lettre que je lui envoyais, malheureusement après sa publication je lui parlais également de ce dernier cas. Et en marchant aussi vite il s’expose à de nouvelles réclamations. M^r Schottky a publié dans le 83^e volume du Journal de Borchardt un théorème où il s’occupe précisément du cas . Peut être que Monsieur Poincaré va encore appeler un autre cercle de fonctions fonctions schottkyennes. Il n’y a pas de raisons pour s’arrêter.  » Je vous répète ce qu’il m’a dit, laissant de coté quelques exclamations comme «  Es ist zu verrückt!  », etc. … et je trouve qu’il ne serait pas difficile de répondre à tout ce qu’il a dit. Je ne puis pas encore aujourd’hui être aussi précis dans mes explications que je le désirerais, mais je compte mardi prochain avoir encore à votre sujet un entretien avec Klein ; j’aurais alors une vue d’ensemble sur les travaux qu’il a faits et qui se rapportent aux vôtres. Je vous écrirai immédiatement. Pour aujourd’hui je puis toujours vous affirmer que je n’ai encre vu aucune trace dans les mémoires de Klein ni dans ses cours au Polytechnikum de fonctions analogues aux fonctions zétafuchsiennes et thetafuchsiennes. C’est d’ailleurs là une question qu’il n’a pas du tout abordé dans les entretiens que j’avais eu avec lui à votre sujet. C’est dans le semestre 1877–1878 que ses recherches sur l’équation du 5^e degré l’on amené à considérer les «  Fundamental polygone  » il a continué en 1878–1879 et dans le semestre d’été 1879 a traité de fonctions modulaires (du 23 avril au 2 juillet). J’extrais des cours deux ou trois lignes qui montrent clairement l’idée fondamentale et qui repondent à notre question sur Riemann «  Riemann sprach den Satz aus, dass zu jeder Riemann’schen Fläche Functionen existieren, welcher aber als nicht bewiesen gilt  ». Ceci écrit par l’élève qui a fait la rédaction puis de la main de Klein : «  Trotzdem mache ich hier von diesem Satze unbedenklich Gebrauch; ich erachte als möglich einen Beweis der allgemeinen Behauptung in aller Strenge zu bringen.  » Klein s’est occupé donc successivement des équat. du 3^e 7^e et 11^e degré, mais depuis cette époque il ne s’est pas que je sache occupé d’équations différentielles d’une façon spéciale. Il est bon cependant que vous soyez informé que dans le prochain semestre il lira sur les équations différentielles et indument travaillera dans cette direction. Je me ferai d’ailleurs tenir au courant de ce qu il traite dans ses cours. Montrera-t-il l’emploi des fonctions zeta ou thetafuchsiennes j’en doute. En tout cas, il semble bien peu disposé à accepter ce nom qui lui fait horreur.

Je crois bien de vous envoyer la table des matières du cours sur les fonctions modulaires. Je la copie telle quelle.

Je vous écrirai mardi prochain, mercredi au plus tard.

Je vous serre la main

Brunel G

Die Modulfunctionen	1
Die Function $\Gamma(\omega)$	7
Die Substitution $\begin{vmatrix}\alpha&\beta\\ \gamma&\delta\end{vmatrix}$	10
Quadratische Formen	18
Ihre Äquivalenz	20
Quadratische Ternære Formen	25
Quadratische linearen Formen von positiven Determinante	27
Auflösung der Pell’schen Gleichung	31
Die Untergruppen der $\omega$. Substitutionen	34
Die durch sie definierte Functionen	36
Doppelverhältnis. Tetraeder Octaeder Icosaeder	45
Das problem 168. Grades	47
Resolvente 8. Grades	48
Resolvente 7. Grades	50
Die Gleichung 168. Grades	54
Die normal Curve 4ter Ordnung	58
Die Gruppen von 168 linearen Substitutionen	66
Die Gleichung 7 und 8 Grades mit 168 Substit.	69
Allgemeine Substitut. Gruppen von $\frac{n-1}{2}$ Variabeln	73
Die bei ihnen auftretende Functionen, welche permutiert werden wie die Wurzeln der Modulargleichung der Primzahlgrades $n$	75
Substitutionengruppen von $\frac{n+1}{2}$ Variabeln Jacobi	79
Die Resolvente 8 Grades ist eine Jacobischen Gleichung	82
Transformationen 11. Ordnung	85
Resolvente 11 Grades	87
Problem der $y$ mit der Gruppen von 660 Substitutionen	93
Resolvente 11 Grades	95
Die Doppelcurve 20 Ordnung der Hesse’schen Fläche der Raume von 4 Dimensionen	99
Resolvente 11 Grades. Resultaten	105
Einiges über die Resolvente 12 Grades	106

ALS 6p. Collection particulière, Paris 75017.

Time-stamp: " 8.08.2022 17:49"

Notes

• 1 Poincaré proposa d’appeler “fonctions kleinéens” les fonctions invariantes par rapport aux groupes analogues aux groupes fuchsiens, dans une note communiquée à l’Académie des sciences de Paris le 27 juin 1881 (Poincaré, 1881a). Lors de la séance suivante, du 4 juillet, il employa ce terme dans le titre même de sa note (Poincaré, 1881b).
• 2 Klein à Poincaré, 09.07.1881 (§ 4-44-9).