7-2-27. Extrait d’un cours de Felix Klein sur les fonctions modulaires

[Ca. 1881]11endnote: 1 Cette feuille, rédigée d’une main inconnue, se trouve en annexe de la lettre de G. Brunel à Poincaré, 14.07.1881 (§ 4-15-3).

Extrait des cahiers de Brunel (Cours de Klein)

Fonctions modulaires (extraits)


Correspondant à ces exemples on a des fonctions univoques de η\eta avec une infinité de substitutions linéaires en elles même qui [  ] toujours une division du plan (ou de la surface de la sphère) en une infinité de parties (de dimensions finies) qui recouvriraient une fois le plan complètement, et inversement, on peut toujours au moyen de groupes infinis de cette sorte former des fonctions univoques de η\eta qui par ce groupe de substitutions se transforment en elles mêmes. Appelons une telle fonction de η\eta pp c x x nous pourrons représenter xx, η\eta dans le plan complexe. Nous nous occuperons d’abord des fonctions xx qui décrivent l’aire d’un triangle à côtés circulaires d’angles λ\lambda, μ\mu, ν\nu tandis que η\eta décrit un demi plan (il y a ici changement de lettres). Ici nous pouvons supposer que les sommets O 1 \infty sont les sommets η\eta de ce triangle. Mais dès lors d’après la loi de la réflexion nous transformerons par rayons vecteurs réciproques ces triangles ; pour que le plan ne soit recouvert qu’une fois il faut que λ\lambda, μ\mu, ν\nu soient des diviseurs entiers de 2π2\pi. Mais ceci ne suffit pas, on pourrait encore en continuant toujours les réflexions arriver à un recouvrement multiple. On peut mieux se représenter la chose sur la sphère expliquer sur un exemple.

Envisageons les sommets des triangles déterminés par un corps régulier (ou le corps demi régulier correspondant). On a des divisions de la sphère qui ne la recouvrent qu’une fois. Les triangles ont pour cotés des arcs de grand cercle. Il n’y a pas d’autres divisions de cette espèce. Il en est autrement si on considère des triangles à cotés circulaires formés par trois plans qui ne se recouvrent pas au centre.

Supposons que le point de rencontre soit à l’\infty et projetons orthogonalement la sphère sur l’équateur correspondant. On a la figure suivante.

Une réflexion sur un coté s’obtient en déterminant un pôle. Le foyer NN d’un point MM est alors le 4e harmonique de MM relativement à PPPP^{\prime}. On reconnaît ici facilement que jamais le point NN ne peut atteindre l’équateur. Donc si λ\lambda, μ\mu, ν\nu jouissent de la propriété énoncée ci dessous, les triangles se placent à coté l’un de l’autre sans laisser de trous ; devenant de plus en plus petits ils se rapprochent du centre de l’équateur, mais sans jamais l’atteindre. Il y a donc ici alors une fonction univoque xx de η\eta qui forment la représentation du triangle. Si en particulier les 3 sommets sont dans l’équateur, nous appellerons la fonction xx une fonction modulaire de la variable η\eta : les angles de ce triangle sont nuls.

Genre PP pour plus d’une variable

1° Betti (annales des mathématica) établit l’existence d’une série de nombres PP ( ν\nu s’il y a ν\nu variable) d’r

2° Clebsch (C.R. 1868. Crelle 68)

3° Nöter (Mathematische Annalen)22endnote: 2 Lire Nöther.

AD 2p. Collection particulière, Paris 75017.

Time-stamp: “ 4.05.2019 00:49”

Notes

  • 1 Cette feuille, rédigée d’une main inconnue, se trouve en annexe de la lettre de G. Brunel à Poincaré, 14.07.1881 (§ 4-15-3).
  • 2 Lire Nöther.