7-2-27. Extrait d’un cours de Felix Klein sur les fonctions modulaires

[Ca. 1881]¹¹endnote: ¹ This document is an annex to Brunel’s letter to Poincaré of 14 July, 1881 (§ 4-15-3).

Extraits du cahier de Brunel (Cours de Klein)

Fonctions modulaires (extrait)

Correspondant à ces exemples on a des fonctions univoques de $\eta$ avec une infinité de substitutions linéaires en elles même qui [ ] toujours une division du plan (ou de la surface de la sphère) en une infinité de parties (de dimensions finies) qui recouvriraient une fois le plan complètement, et inversement, on peut toujours au moyen de groupes infinis de cette sorte former des fonctions univoques de $\eta$ qui par ce groupe de substitutions se transforment en elles mêmes. Appelons une telle fonction de $\eta$ $p$ c x x nous pourrons représenter $x$ , $\eta$ dans le plan complexe. Nous nous occuperons d’abord des fonctions $x$ qui décrivent l’aire d’un triangle à côtés circulaires d’angles $\lambda$ , $\mu$ , $\nu$ tandis que $\eta$ décrit un demi plan (il y a ici changement de lettres). Ici nous pouvons supposer que les sommets O 1 $\infty$ sont les sommets $\eta$ de ce triangle. Mais dès lors d’après la loi de la réflexion nous transformerons par rayons vecteurs réciproques ces triangles ; pour que le plan ne soit recouvert qu’une fois il faut que $\lambda$ , $\mu$ , $\nu$ soient des diviseurs entiers de $2\pi$ . Mais ceci ne suffit pas, on pourrait encore en continuant toujours les réflexions arriver à un recouvrement multiple. On peut mieux se représenter la chose sur la sphère. [ ] expliquer sur un exemple

Envisageons les sommets des triangles déterminés par un corps régulier (ou le corps demi régulier correspondant). On a des divisions de la sphère qui ne la recouvrent qu’une fois. Les triangles ont pour cotés des arcs de grand cercle. Il n’y a pas d’autres divisions de cette espèce. Il en est autrement si on considère des triangles à cotés circulaires formés par trois plans qui ne se recouvrent pas au centre.

Supposons que le point de rencontre soit à l’ $\infty$ et projetons orthogonalement la sphère sur l’équateur correspondant. On a la figure suivante.

Une réflexion sur un coté s’obtient en déterminant un pôle. Le foyer $N$ d’un point $M$ est alors le 4^e harmonique de $M$ relativement à $PP^{\prime}$ . On reconnaît ici facilement que jamais le point $N$ ne peut atteindre l’équateur. Donc si $\lambda$ , $\mu$ , $\nu$ jouissent de la propriété énoncée ci dessous, les triangles se placent à coté l’un de l’autre sans laisser de trous ; devenant de plus en plus petits ils se rapprochent du centre de l’équateur, mais sans jamais l’atteindre. Il y a donc ici alors une fonction univoque $x$ de $\eta$ qui forment la représentation du triangle. Si en particulier les 3 sommets sont dans l’équateur, nous appellerons la fonction $x$ une fonction modulaire de la variable $\eta$ : les angles de ce triangle sont nuls.

Genre $P$ pour plus d’une variable.

1° Betti (annales des mathématica) établit l’existence d’une série de nombres $P$ ( $\nu$ s’il y a $\nu$ variable) d’ $r$

2° Clebsch (C.R. 1868. Crelle 68)

3° Nöter (Mathematische Annalen)²²endnote: ² Read instead: “Nöther”.

AD 2p. Collection particulière, Paris 75017.

Time-stamp: "30.09.2023 22:53"

Notes

1 This document is an annex to Brunel’s letter to Poincaré of 14 July, 1881 (§ 4-15-3).
2 Read instead: “Nöther”.