4-13-3. Georges Brunel à H. Poincaré

Leipzig 14. Juillet 1881

Liebigstrasse 4^II

Monsieur,

Je reçois à l’instant votre lettre et m’empresse de d’y répondre. Monsieur Klein a été malade ces derniers jours, nous n’avons point eu de séminaire lundi en sort que je n’ai pu prendre jour avec lui pour nous entretenir de vous. Cependant je crois ne devoir pas attendre pour répondre à votre question sur les formes quadratiques linéaires et ternaires et l’équation de Pell.

Considérons une substitution

$$\begin{matrix}\omega^{\prime}=\frac{\alpha\omega+\beta}{\gamma\omega+\delta}&\alpha\delta-\beta\gamma=1\end{matrix}$$ (1)

Deux points restent fixes par cette substitution; ce sont les points

$$\omega=\frac{\alpha-\delta\pm\sqrt{(\alpha+\delta)^{2}-4}}{2\gamma}$$ (2)

Il en résulte une division des substitutions en trois classes

$$\left.\begin{aligned} \text{Substitutions }&\text{elliptiques}&\alpha+\delta&=0\text{ ou }1\\ &\text{paraboliques}&\alpha+\delta&=2\\ &\text{hyperboliques }&\alpha+\delta&>2\end{aligned}\right\}$$ (3)

Substitutions elliptiques: les deux points fixes sont imaginaires

$\alpha+\delta=0$	$S$ représente une rotation de période 2 (Une seule espèce.)
$\alpha+\delta=1$	$S$ représente une rotation de période 3 (Deux espèces dextrogyre ou lévogyre (120° $\curvearrowright$  $\curvearrowleft$ 120°)

On peut dresser un dénominateur authentique simple en écrivant (1) sous la forme :

$$\frac{\omega^{\prime}-\frac{\alpha-\delta+\sqrt{(\alpha+\delta)^{2}-4}}{2\gamma}}{\omega^{\prime}-\frac{\alpha-\delta-\sqrt{(\alpha+\delta)^{2}-4}}{2\gamma}}=\frac{\alpha+\delta-\sqrt{(\alpha+\delta)^{2}-4}}{\alpha-\delta+\sqrt{(\alpha+\delta)^{2}-4}}\cdot\frac{\omega-\frac{\alpha-\delta+\sqrt{(\alpha+\delta)^{2}-4}}{2\gamma}}{\omega-\frac{\alpha-\delta-\sqrt{(\alpha+\delta)^{2}-4}}{2\gamma}}$$ (4)

Substitutions paraboliques : on a un seul point fixe

$$\omega=\frac{\alpha-\delta}{2\gamma}=\frac{a}{c}.$$

Période $\infty$. Quand le point fixe est à l’infini la substitution parabolique s’écrit $\omega^{\prime}=\omega\pm k$, $k$ étant un entier fixe qu’on appelle l’amplitude de la substitution parabolique. Alors la substitution parabolique qui laisse le point $\frac{a}{c}$ fixe et a l’amplitude $k$ est

$$\omega^{\prime}=\frac{(-1+ack)\omega-a^{2}k}{c^{2}k\omega-1-ack}.$$

Substitutions hyperboliques: elles existent en nombre infini. Elles laissent fixe le demi cercle qui est décrit sur les deux éléments fixes comme diamètre en le transformant en lui même. Soit

$$S\qquad\omega^{\prime}=\frac{\alpha\omega+\beta}{\gamma\omega+\delta}$$

une telle substitution, elle amène le point $A$ aux points $B$, $C$, …qui se rapprochent de plus en plus du point $P_{1}$. Soit $S^{\prime}$ une autre substitution amenant $A$ en $B^{\prime}$, $C^{\prime}$, …; $S^{\alpha}{S^{\prime}}^{\alpha}$ sera encore une telle substitution. Parmi ces substitutions, il y en a une, la plus petite, $T$ qui amène le point $A$ en la position la plus voisine de $A$ et alors tous les $S$ sont des puissances de $T$, $S=T^{k}$. $k$ s’appelle l’amplitude. Pour que deux substitutions hyperboliques soient égales*, il faut et il suffit que les amplitudes soient les mêmes et que les parties irrationnelles c’est-à-dire les facteurs non carrés de $(\alpha+\delta)^{2}-4$ coïncident. Pour l’équivalence on demande quand il est possible d’amener à coïncider.

$$\gamma\omega^{2}+(\delta-\alpha)\omega-\beta\qquad\text{ et }\qquad a\omega^{2}+2b\omega+c$$ (5)

Nous supposons alors que $a,2b,c,$ n’est aucun diviseur commun que 1 et 2. Nous le désignerons par $\sigma$ (d’après Gauss) et dès lors $\gamma$, $\delta-\alpha$, $\beta$ ont le même commun diviseur $u$, il faut que l’on ait:

$$\begin{array}[]{cccc}\frac{\gamma}{u}=\frac{a}{\sigma}&\frac{\delta-\alpha}{u}=\frac{b}{\sigma}&-\frac{\beta}{u}=\frac{c}{\sigma}&\alpha+\delta=\frac{2t}{\sigma}\end{array}$$

d’où on déduit

$$\begin{array}[]{cccc}\gamma=\frac{au}{\sigma}&\beta=\frac{cu}{\sigma}&\alpha=\frac{t-ab}{\sigma}&\delta=\frac{t+ab}{\sigma}\end{array}$$

et la condition $\alpha\delta-\beta\gamma$ devenant

$$t^{2}-Du^{2}=\sigma^{2}\qquad\text{ où }D=b^{2}=ac\qquad\text{ (Equation de Pell)}$$

Pour cette équation, toutes les solutions se présentent comme une puissance de la plus petite solution $T$, $V$. On a pour le multiplicateur qui entre dans (4)

$$\frac{\alpha+\delta-\frac{2u\sqrt{D}}{\sigma}}{\alpha+\delta+\frac{2u\sqrt{D}}{\sigma}}=\frac{t-u\sqrt{D}}{t+u\sqrt{D}}=\left(\frac{t-u\sqrt{D}}{\sigma}\right)^{2}$$

il concordance entre les deux séries de considérations géométriques et arithmétiques. L’amplitude $k$ est ici définie par

$$k=\frac{\log(t+u\sqrt{D})}{\log(t-u\sqrt{D})}.$$

Klein s’occupe alors d’„ une question importante qui doit être traitée avant les substitutions hyperboliques “.

Equivalence de deux formes quadratiques.

Si deux formes

$$\begin{array}[]{ccc}a\omega^{2}+2b\omega+c&\text{et}&a^{\prime}\omega^{2}+2b^{\prime}\omega+c^{\prime}\end{array}$$

ont la propriété par la substitution

$$\begin{array}[]{cc}\omega^{\prime}=\frac{\alpha\omega+\beta}{\gamma\omega+\delta}&\alpha\delta-\beta\gamma=1\end{array}$$

de passer l’une dans l’autre, on les appelle équivalentes. Il faut $\sigma=\sigma^{\prime}$, $D=b^{2}-ac=D^{\prime}=b^{\prime 2}-a^{\prime}c^{\prime}$, mais cela ne suffit pas.

I Déterminants négatifs. Points fixes.

$$\omega^{\prime}=\frac{-b\pm i\sqrt{\Delta}}{a}\qquad\omega^{\prime\prime}=\frac{-b\pm i\sqrt{\Delta}}{a^{\prime}}$$

Klein dit alors que la forme correspondant aux points $\omega^{\prime}$ est réduite si on a amené les points $\omega^{\prime}$ a être dans le double triangle fondamental. Deux formes réduites sont équivalentes quand les points fixes coïncident (ceci a été généralisé par Selling et Smith).

II Déterminants positifs.

Une forme à déterminant positif est dite réduite si on a fait des substitutions telles que le cercle décrit un les deux points fixes coupe le double triangle fondamental. Si le cercle rencontre l’arc de base ($\rho$, $-\rho$) la réduite est dite principale (1), autrement (2) elle est dite approchée.

Le nombre des réduites d’une forme est finie.

Klein montre comment on peut les obtenir par une suite de transformations :

$$\begin{array}[]{ccccc}\omega^{\prime}=\omega-\mu_{1}&\omega^{\prime\prime}=-\frac{1}{\omega^{\prime}}&\omega^{\prime\prime\prime}=\omega^{\prime\prime}-\mu_{2}&\omega^{\text{IV}}=-\frac{1}{\omega^{\prime\prime\prime}}&\text{etc.}\end{array}$$

Ce procédé lui permet de résoudre l’équation de Pell. (Je ne vous donne pas les conditions d’inégalité pour que l’on ait une réduite, vous devez les connaître depuis longtemps deja) (Pour l’équation de Pell voici l’exemple qu’il donne)

$$\qquad F=\quad 3\omega^{2}+10\omega+1 \qquad D=22$$

$$\omega =\omega^{\prime}-3 3\omega^{\prime 2}-8\omega^{\prime}-2$$

$$\omega =-\frac{1}{\omega_{1}} -2\omega_{1}^{2}+8\omega_{1}+3$$

$$\omega_{1} =\omega_{1}^{\prime}+4 -8\omega_{1}^{\prime 2}-8\omega_{1}^{\prime}+3$$

$$\omega_{1}^{\prime} =-\frac{1}{\omega_{2}}$$ etc.

$$\omega_{2} =\omega_{2}^{\prime}-3 \cdots$$

$$\omega_{2}^{\prime} =-\frac{1}{\omega_{3}} \cdots$$

$$\omega_{3} =\omega_{3}^{\prime}-10 \cdots$$

$$\omega_{3}^{\prime} =-\frac{1}{\omega_{4}} 3\omega_{4}^{2}+10\omega_{4}+1$$

On a donc pour la substitution qui transforme la forme $F$ en elle-même

$$\begin{array}[]{ccc}\omega=-3-\cfrac{1}{4-\cfrac{1}{3-\cfrac{1}{10-\cfrac{1}{\omega_{4}}}}}&&\omega=\frac{-407\omega_{4}-42}{126\omega_{4}+13}\end{array}$$

dûment.

Revenant à l’équation de Pell, les formules

$$\begin{array}[]{cc}\mu=42&\qquad t=\frac{\alpha+\delta}{2}=197\end{array}$$

$$197^{2}-22\cdot 42^{2}=1$$

d’où 42 et 97. Solution la plus simple. On a d’autres solutions en considérant par exemple les fractions entières

$$\omega=(-3,-4,-3,-10,-3,-4,-3,-10,\dots,\omega_{4})$$

La valeur de la fraction illimitée est racine de l’équation $F=0$

(A propos de ces formes Klein dit quelques mots de l’équation

$$a\omega_{1}^{2}+2b\omega_{1}+c=\mathcal{N}$$

de l’emploi des parallélogrammes de côtés $\sqrt{a}$, $\sqrt{c}$ et d’angle $\cos\varphi=\frac{b}{\sqrt{ac}}$ et dit un mot de la généralisation aux formes ternaires, renvoyant à Dirichlet et à Selling.)

Il donne enfin les caractères d’équivalence de deux substitutions hyperboliques.

Peut être que ce qui précède ne vous contentera pas ; la rédaction que j’ai eu entre les mains est très mal faite. D’autre part, il n’est pas toujours facile sans entrer dans de longs détails de donner un aperçu de la méthode géométrico algebrique de Klein. Si vous n’êtes pas satisfait ne vous gênez pas pour me le dire ; je vous renverrais alors la chose d’une façon plus explicite. Je suis en outre à votre disposition complète et prêt à vous rendre les services qu’il est en mon pouvoir de vous rendre.

Klein ne sait pas encore que je vous ai écrit. Je lui avais dit que j’avais l’intention de vous envoyer une lettre et c’est alors qu’il m’avait prié d’attendre un entretien complémentaire. Je remarque en terminant que si Klein s’étonne de ce que vous ayez donné son nom aux nouvelles fonctions «  bien qu’il n’ait fait rien autre chose que de remarquer l’existence de ces groupes  » c’est encore pour protester contre le nom de fonctions fuchsiennes, Fuchs n’ayant même pas trouvé les groupes correspondants.

Dès que j’aurai vu Monsieur Klein je vous écrirai de nouveau, à moins que je ne reçoive de vous auparavant une lettre.

Tout à vous,

Brunel G

Monsieur Weierstrass n’a rien publié, que je sache depuis quelque temps. Sa dernière note dans les Monatsberichte est du mois de février et relative à une lettre que M^r Tannery lui avait envoyée. Il est beaucoup occupé par la publication des Œuvres de Steiner et de Jacobi.

Schwarz publie en ce moment à Göttingen „ Formeln und Lehrsätz zum Gebrauche der elliptischen Functionen (nach Vorlesungen und Aufzeichnungen des H. P^r Weierstraß “. La publication n’est pas encore terminée.

Pourquoi ne cherchez-vous pas des fonctions de plusieurs variables également à groupes discontinus. A ce sujet la Theorie der Transformationsgruppen de S. Lie (Math Annalen XVI 441) pourrait vous être utile. On n’a pas aussi facilement de représentation géométrique quand il s’agit de fonctions de deux variables, mais qu’est ce que cela fait.

BG

*„ gleichberechtigt “ un mot que je n’ai pas encore pu traduire en français, et qui revient cependant si souvent qu’il est ennuyeux d’avoir recours à une périphrase.

ALS 4p. Private collection, Paris 75017. Edited in part by Dugac 1986, 95–96.

Time-stamp: " 7.10.2023 11:27"

Notes

• 1 Brunel’s letter to Poincaré appears to have been accompanied by two manuscript documents in an unknown hand. One of these recopies the beginning of Poincaré (1881). The other manuscript is entitled: “Extraits du Cahier de Brunel (Cours de Klein) – Fonctions modulaires (extrait)”; see the transcription (§ 7-2-27).
• 2 Selling (1874); Smith (1877).
• 3 Read instead: “42 et 197.”
• 4 The citation is from Klein to Poincaré, 9 July, 1881 (§ 4-44-9).
• 5 Schwarz (1885).
• 6 Lie (1880).