3-15-25. H. Poincaré à George Howard Darwin

[Entre le 12 et le 27.08.1901]

Mon cher collègue,

Je commence le commentaire annoncé.

D’abord le mot double-couche. Je considère deux surfaces, attirantes simples très peu différentes l’une de l’autre, et de telle façon que les masses de deux éléments correspondants des deux surfaces soient égales et de signe contraire.

C’est ce que j’appelle une double couche. Les propriétés de ces doubles couches ont été étudiées par plusieurs auteurs et spécialement par C. Neumann.

Considérons alors l’action de notre couche supplémentaire très mince; mais non infiniment mince comprise entre les deux surfaces limite $AB$ et $A^{\prime}B^{\prime}$.

Comme 1^re approx. je suppose toute la masse concentrée sur $AB$, c’est ce que j’appelle la simple couche. Comme 2^de approx. je la suppose concentrée sur $A^{\prime\prime}B^{\prime\prime}$ à moitié chemin entre $AB$ et $A^{\prime}B^{\prime}$, c’est ce que vous faites également.

Il y a donc un terme correctif qui est la différence de l’attraction des deux surfaces $AB$ et $A^{\prime\prime}B^{\prime\prime}$, c’est ce que j’appelle la double couche.

Maintenant pourquoi dis-je que la densité de cette double couche est prop. à $\sigma$?

$\sigma$ c’est la distance des deux surfaces $AB$, $A^{\prime}B^{\prime}$.

La densité d’une double couche est par définition, le produit de la distance des 2 surfaces attirantes par la densité sur l’une d’elles.

Cette définition se justifie, parce que si nous doublons cette distance et que la densité sur chacune des surfaces attirantes devienne 2 fois plus petite, l’effet de la double couche ne change pas. Or la distance des 2 surfaces $AB$ et $A^{\prime\prime}B^{\prime\prime}$ est prop. à $\sigma$; la densité sur la surface $AB$ est prop. à $\sigma$. Donc C.Q.F.D.

Donc je reprends le commentaire.

Je partage la couche en trois parties de la façon suivante:

J’appellerai poire approchée, une figure obtenue en portant sur les normales à un ellipsoïde des quantités prop. à la 3^d zonal harmonic (ou plutôt je compte les longueurs non sur les normales, mais sur les lignes de courbure des hyperboloïdes homofocaux à l’ellips. lesquelles lignes sont normales à l’ellips. et je prends les longueurs de façon que les volumes $dv$ soient prop. à la 3^d zonal.)

Alors la poire réelle diffèrera de la poire approchée de quantités du 2^d ordre.

Soit alors $E_{0}$ l’ellipsoïde de Jacobi de bifurcation, $E$ l’ellipsoïde qui se rapproche le plus de la poire réelle, $P_{0}$ la poire approchée qui se rapproche le plus de la poire réelle, $P$ la poire réelle.

Je divise la couche comprise entre $E_{0}$ et $P$ en trois parties:

• couche entre $E_{0}$ et $E$

• couche entre $E$ et $P_{0}$

• couche entre $P_{0}$ et $P$

l’épaisseur de la 1^re et de la 3^e couches est du 2^d ordre, celle de la 2^e couche du 1^er ordre. Les quantités $\eta$ et $\zeta$ qui définissent l’épaisseur de la 1^re couche sont donc du 2^d ordre de même que les quantités $\xi^{\prime}$ qui définissent l’épaisseur de la 3^e couche. Quant à $\xi$ qui définit l’épaisseur de la 2^e couche et qui correspond, je crois, à ce que vous appelez $e$; elle est du 1^er ordre.

Nous avons alors $W$ qui représente l’énergie totale pour la vitesse angulaire $\omega_{0}$; elle se compose de l’énergie de gravitation $U$ (lost energy) et de l’énergie cinétique $\frac{\omega_{0}^{2}}{2}J$.

J’ai développé ainsi:

$$W=W_{0}+b\eta^{2}+c\zeta^{2}+\sum a^{\prime}\xi^{\prime 2}+a_{1}\xi^{4}+h\xi^{2}\eta+k\xi^{2}\zeta+\sum h^{\prime}\xi^{2}\xi^{\prime}.$$

Le développement est poussé jusqu’au 4${}^{\textrm{e}}$ ordre.

Voici la signification de chaque terme:

• $W_{0}$ énergie totale de $E_{0}$.

• Les termes du 1^er degré sont nuls parce que $E_{0}$ est une figure d’équilibre.

• $b\eta^{2}+c\zeta^{2}$ (4^e ordre) différence entre l’énergie de $E$ et celle de $E_{0}$.

• $\sum a^{\prime}\xi^{\prime 2}$ (4^e ordre) différence entre l’énergie de $P$ et celle de $P_{0}$.

• $a_{1}\xi^{4}$ (4^e ordre) différence entre l’énergie de $P_{0}$ et celle de $E_{0}$ en supposant que l’épaisseur de la 1^re et [de] la 3^e couche[s] devenant nulle, celle de la 2^e couche reste la même.

• $h\xi^{2}\eta+k\xi^{2}\zeta+a_{1}\xi^{4}$ (4^e ordre) différence entre l’énergie de $P_{0}$ et celle de $E$ en supposant l’épaisseur de la 3^e couche nulle.

  Les termes $h\xi^{2}\eta+k\xi^{2}\zeta$ comprennent:

  • l’énergie relative de gravitation de la $2^{\textrm{e}}$ couche par rapport à la 1^re.

  • l’accroissement de l’énergie cinétique de la 2^e couche dû à l’accroissement de son moment d’inertie dû lui-même à la présence de la 1^re couche; la 1^re couche étant en effet supposée sous la 2^de, cette 2^e se trouve pour ainsi dire poussée plus loin de l’axe de rotation par l’interposition de la 1^re couche.

• $\sum h^{\prime}\xi^{2}\xi^{\prime}+a_{1}\xi^{4}$ (4^e ordre) différence entre l’énergie de $P_{0}$ et celle de $E$ (ou de $P$) en supposant la 1^re couche nulle de sorte que $\sum h^{\prime}\xi^{2}\xi^{\prime}$ est l’énergie relative de gravitation de la 2^e couche par rapport à la 3^e.

Je n’ai pas ici à m’occuper de la modification du moment d’inertie de la 2^de couche, qui peut être due à la présence de la 3^e couche, parce que je suppose cette 3^e couche sur la 2^de. Maintenant pourquoi est-ce que je mets la 3^e couche dessus et la 1^re dessous c’est ce qu’on comprendra mieux plus loin.

En résumé la différence entre l’énergie de $P_{0}$ et celle de $E$ est:

$$a_{1}\xi^{4}+h\xi^{2}\eta+k\xi^{2}\zeta+\sum h^{\prime}\xi^{2}\xi^{\prime}.$$

On remarquera:

• L’absence des termes en $\xi^{2}$ due à ce que pour l’ellipsoïde $E_{0}$ le coeff. de stabilité correspondant doit s’annuler.

• L’absence des termes en $\xi^{3}$ due à la symétrie; l’énergie ne doit pas changer quand on change $\xi$ en $-\xi$.

• L’absence des termes en $\xi\eta$, $\xi\zeta$, $\xi\xi^{\prime}$ etc.; elle tient à ce que dans les termes du 2^d degré, l’intégrale

  $$\int lMNM_{1}N_{1}d\omega$$

  étant nulle, les coeff. des termes rectangles disparaissent.

Dans l’expression de $J$, comme $J$ entre avec le facteur $\varepsilon$ je puis m’arrêter au 2^d ordre et écrire:

$$J=J_{0}+\beta\eta+\gamma\zeta+\alpha\xi^{2}.$$

• est le moment d’inertie de $E_{0}$.

• est la différence des moments de $E$ et de $E_{0}$, ou le moment d’inertie de la 1^re couche,

• est le moment d’inertie de la 2^de couche.

Le moment d’inertie de la 3^e couche est nul; il faudrait tenir compte des termes en $\xi^{\prime}$; mais comme $y^{2}+z^{2}$ ne contient que des harmoniques d’ordre 0 et 2, le moment correspondant s’annulerait.

Un peu plus loin j’arrive au calcul de $a_{1}$, et je pose

$$a_{1}=a_{1}^{\prime}+a_{1}^{\prime\prime}+a_{1}^{\prime\prime\prime}+a_{1}^{\text{iv}};$$

• est dû à l’action mutuelle de l’ellips[oïde] $E$ et de la couche supplémentaire.

  Voici ce que j’appelle la couche supplémentaire, ce n’est pas tout à fait la même chose que la double couche.

  C’est la différence entre l’attraction de la couche réelle d’épaisseur petite mais finie, comprise entre les deux surfaces $AB$ et $A^{\prime}B^{\prime}$ et l’attraction de cette même couche supposée concentrée sur la surface $AB$.

  Ce n’est pas tout à fait la même chose que la double couche, la différence est du 3^e ordre.

• est dû à la force centrifuge.

• à l’action mutuelle de la simple couche et de la couche supplémentaire.

• à l’action de la couche supplémentaire (qui ici peut être réduite à la double couche) sur elle même.

Comparons avec votre expression de $E$. Votre $E$ (qui dans ma notation serait $W+\varepsilon J$), vous le décomposez en 4 parties:

• Energy of ellipsoïde with rotation $\omega$ with itself. C’est: $W_{0}+b\eta^{2}+c\zeta^{2}$.

• Energy of ellipsoïd with rotation $\omega$ with layer. C’est $a_{1}^{\prime}\xi^{4}+a_{1}^{\prime\prime}\xi^{4}+h\xi^{2}\eta+k\xi^{2}\zeta$.

• Energy of layer with itself. C’est: $a_{1}^{\prime\prime\prime}\xi^{4}+a_{1}^{\text{iv}}\xi^{4}+\sum h^{\prime}\xi^{2}\xi^{\prime}$

• Additional Kinetic Energy C’est $\varepsilon J$.

À ce compte, nous retrouverions tous les mêmes termes; il est vrai que vous ne prenez pas le même ellipsoïde $E$ que moi; mais cela ne fait rien.

Mais il me semble qu’il y a certains termes dont vous entendez ne pas tenir compte, par exemple $\sum h^{\prime}\xi^{2}\xi^{\prime}$. Vous dites: Only terms of first order are retained, but those terms are developed as far as $e^{3}$.

Je comprends que ce que vous appelez terms of first order, ce sont ceux qui donnent des termes du 2^d ordre dans $W$ (que vous appelez $E$).

Dois-je alors entendre que vous laisserez de côté le terme $\sum h^{\prime}\xi^{2}\xi^{\prime}$ parce qu’il est du 4^e ordre, mais que vous conserverez le terme $a_{1}\xi^{4}$ qui est aussi du 4^e ordre parce que vous le considérerez comme provenant de termes du 1^er ordre, dont le coefficient aurait été développé jusqu’à $e^{3}$.

J’avoue que je ne comprends pas très bien pourquoi vous négligez un terme et pas l’autre, et si vous ne négligez pas le terme $\sum h^{\prime}\xi^{2}\xi^{\prime}$ comment vous calculez $\xi^{\prime}$.

C’est de là que provient notre désaccord.

Je voudrais que vous me disiez si ce désaccord est réel ou si j’ai mal compris votre pensée.

J’avais écrit tout le commencement de [cette] lettre depuis longtemps et je voulais le compléter par quelques considérations sur le calcul des coefficients.

Mais je vois que ce serait très long, d’autant que je me demande maintenant si je n’aurais pas avantage à mettre ma 1^re couche sur la 2^de et à la confondre avec la 3^e.

Je me décide donc à vous envoyer cette lettre telle quelle et je commence la rédaction d’un petit mémoire que je vous enverrai comme papier d’affaires.

Veuillez en attendant me dire si j’ai été plus clair cette fois ou s’il y a encore des points qui vous semblent obscurs. Je chercherai alors à les éclaircir.

Votre bien dévoué collègue,

Poincaré

ALS 12p. CUL-DAR251.4914, Cambridge University Library.

Time-stamp: " 4.05.2019 00:12"

Notes

• 1 Voir Poincaré à Darwin (§ 3-15-22).
• 2 Carl Neumann (1832–1925).
• 3 Voir Darwin à Poincaré, 12.08.1901 (§ 3-15-23).
• 4 Voir Darwin à Poincaré, 12.08.1901 (§ 3-15-23).