3-15-25. H. Poincaré to George Howard Darwin

[Entre le 12 et le 27.08.1901]

Mon cher collègue,

Je commence le commentaire annoncé.11endnote: 1 Voir Poincaré à Darwin (§ 3-15-22).

D’abord le mot double-couche. Je considère deux surfaces, attirantes simples très peu différentes l’une de l’autre, et de telle façon que les masses de deux éléments correspondants des deux surfaces soient égales et de signe contraire.

C’est ce que j’appelle une double couche. Les propriétés de ces doubles couches ont été étudiées par plusieurs auteurs et spécialement par C. Neumann.22endnote: 2 Carl Neumann (1832–1925).

Considérons alors l’action de notre couche supplémentaire très mince; mais non infiniment mince comprise entre les deux surfaces limite ABAB et ABA^{\prime}B^{\prime}.

Comme 1re approx. je suppose toute la masse concentrée sur ABAB, c’est ce que j’appelle la simple couche. Comme 2de approx. je la suppose concentrée sur A′′B′′A^{\prime\prime}B^{\prime\prime} à moitié chemin entre ABAB et ABA^{\prime}B^{\prime}, c’est ce que vous faites également.

Il y a donc un terme correctif qui est la différence de l’attraction des deux surfaces ABAB et A′′B′′A^{\prime\prime}B^{\prime\prime}, c’est ce que j’appelle la double couche.

Maintenant pourquoi dis-je que la densité de cette double couche est prop. à σ\sigma?

σ\sigma c’est la distance des deux surfaces ABAB, ABA^{\prime}B^{\prime}.

La densité d’une double couche est par définition, le produit de la distance des 2 surfaces attirantes par la densité sur l’une d’elles.

Cette définition se justifie, parce que si nous doublons cette distance et que la densité sur chacune des surfaces attirantes devienne 2 fois plus petite, l’effet de la double couche ne change pas. Or la distance des 2 surfaces ABAB et A′′B′′A^{\prime\prime}B^{\prime\prime} est prop. à σ\sigma; la densité sur la surface ABAB est prop. à σ\sigma. Donc C.Q.F.D.

Donc je reprends le commentaire.

Je partage la couche en trois parties de la façon suivante:

J’appellerai poire approchée, une figure obtenue en portant sur les normales à un ellipsoïde des quantités prop. à la 3d zonal harmonic (ou plutôt je compte les longueurs non sur les normales, mais sur les lignes de courbure des hyperboloïdes homofocaux à l’ellips. lesquelles lignes sont normales à l’ellips. et je prends les longueurs de façon que les volumes dvdv soient prop. à la 3d zonal.)

Alors la poire réelle diffèrera de la poire approchée de quantités du 2d ordre.

Soit alors E0E_{0} l’ellipsoïde de Jacobi de bifurcation, EE l’ellipsoïde qui se rapproche le plus de la poire réelle, P0P_{0} la poire approchée qui se rapproche le plus de la poire réelle, PP la poire réelle.

Je divise la couche comprise entre E0E_{0} et PP en trois parties:

  • 1re

    couche entre E0E_{0} et EE

  • 2e

    couche entre EE et P0P_{0}

  • 3e

    couche entre P0P_{0} et PP

l’épaisseur de la 1re et de la 3e couches est du 2d ordre, celle de la 2e couche du 1er ordre. Les quantités η\eta et ζ\zeta qui définissent l’épaisseur de la 1re couche sont donc du 2d ordre de même que les quantités ξ\xi^{\prime} qui définissent l’épaisseur de la 3e couche. Quant à ξ\xi qui définit l’épaisseur de la 2e couche et qui correspond, je crois, à ce que vous appelez ee; elle est du 1er ordre.

Nous avons alors WW qui représente l’énergie totale pour la vitesse angulaire ω0\omega_{0}; elle se compose de l’énergie de gravitation UU (lost energy) et de l’énergie cinétique ω022J\frac{\omega_{0}^{2}}{2}J.

J’ai développé ainsi:

W=W0+bη2+cζ2+aξ2+a1ξ4+hξ2η+kξ2ζ+hξ2ξ.W=W_{0}+b\eta^{2}+c\zeta^{2}+\sum a^{\prime}\xi^{\prime 2}+a_{1}\xi^{4}+h\xi^{% 2}\eta+k\xi^{2}\zeta+\sum h^{\prime}\xi^{2}\xi^{\prime}.

Le développement est poussé jusqu’au 4e{}^{\textrm{e}} ordre.

Voici la signification de chaque terme:

  • W0W_{0} énergie totale de E0E_{0}.

  • Les termes du 1er degré sont nuls parce que E0E_{0} est une figure d’équilibre.

  • bη2+cζ2b\eta^{2}+c\zeta^{2} (4e ordre) différence entre l’énergie de EE et celle de E0E_{0}.

  • aξ2\sum a^{\prime}\xi^{\prime 2} (4e ordre) différence entre l’énergie de PP et celle de P0P_{0}.

  • a1ξ4a_{1}\xi^{4} (4e ordre) différence entre l’énergie de P0P_{0} et celle de E0E_{0} en supposant que l’épaisseur de la 1re et [de] la 3e couche[s] devenant nulle, celle de la 2e couche reste la même.

  • hξ2η+kξ2ζ+a1ξ4h\xi^{2}\eta+k\xi^{2}\zeta+a_{1}\xi^{4} (4e ordre) différence entre l’énergie de P0P_{0} et celle de EE en supposant l’épaisseur de la 3e couche nulle.

    Les termes hξ2η+kξ2ζh\xi^{2}\eta+k\xi^{2}\zeta comprennent:

    • l’énergie relative de gravitation de la 2e2^{\textrm{e}} couche par rapport à la 1re.

    • l’accroissement de l’énergie cinétique de la 2e couche dû à l’accroissement de son moment d’inertie dû lui-même à la présence de la 1re couche; la 1re couche étant en effet supposée sous la 2de, cette 2e se trouve pour ainsi dire poussée plus loin de l’axe de rotation par l’interposition de la 1re couche.

  • hξ2ξ+a1ξ4\sum h^{\prime}\xi^{2}\xi^{\prime}+a_{1}\xi^{4} (4e ordre) différence entre l’énergie de P0P_{0} et celle de EE (ou de PP) en supposant la 1re couche nulle de sorte que hξ2ξ\sum h^{\prime}\xi^{2}\xi^{\prime} est l’énergie relative de gravitation de la 2e couche par rapport à la 3e.

Je n’ai pas ici à m’occuper de la modification du moment d’inertie de la 2de couche, qui peut être due à la présence de la 3e couche, parce que je suppose cette 3e couche sur la 2de. Maintenant pourquoi est-ce que je mets la 3e couche dessus et la 1re dessous c’est ce qu’on comprendra mieux plus loin.

En résumé la différence entre l’énergie de P0P_{0} et celle de EE est:

a1ξ4+hξ2η+kξ2ζ+hξ2ξ.a_{1}\xi^{4}+h\xi^{2}\eta+k\xi^{2}\zeta+\sum h^{\prime}\xi^{2}\xi^{\prime}.

On remarquera:

  • L’absence des termes en ξ2\xi^{2} due à ce que pour l’ellipsoïde E0E_{0} le coeff. de stabilité correspondant doit s’annuler.

  • L’absence des termes en ξ3\xi^{3} due à la symétrie; l’énergie ne doit pas changer quand on change ξ\xi en -ξ-\xi.

  • L’absence des termes en ξη\xi\eta, ξζ\xi\zeta, ξξ\xi\xi^{\prime} etc.; elle tient à ce que dans les termes du 2d degré, l’intégrale

    lMNM1N1𝑑ω\int lMNM_{1}N_{1}d\omega

    étant nulle, les coeff. des termes rectangles disparaissent.

Dans l’expression de JJ, comme JJ entre avec le facteur ε\varepsilon je puis m’arrêter au 2d ordre et écrire:

J=J0+βη+γζ+αξ2.J=J_{0}+\beta\eta+\gamma\zeta+\alpha\xi^{2}.
  • J0J_{0}

    est le moment d’inertie de E0E_{0}.

  • βη+γζ\beta\eta+\gamma\zeta

    est la différence des moments de EE et de E0E_{0}, ou le moment d’inertie de la 1re couche,

  • αξ2\alpha\xi^{2}

    est le moment d’inertie de la 2de couche.

Le moment d’inertie de la 3e couche est nul; il faudrait tenir compte des termes en ξ\xi^{\prime}; mais comme y2+z2y^{2}+z^{2} ne contient que des harmoniques d’ordre 0 et 2, le moment correspondant s’annulerait.

Un peu plus loin j’arrive au calcul de a1a_{1}, et je pose

a1=a1+a1′′+a1′′′+a1iv;a_{1}=a_{1}^{\prime}+a_{1}^{\prime\prime}+a_{1}^{\prime\prime\prime}+a_{1}^{% \text{iv}};
  • a1a_{1}^{\prime}

    est dû à l’action mutuelle de l’ellips[oïde] EE et de la couche supplémentaire.

    Voici ce que j’appelle la couche supplémentaire, ce n’est pas tout à fait la même chose que la double couche.

    C’est la différence entre l’attraction de la couche réelle d’épaisseur petite mais finie, comprise entre les deux surfaces ABAB et ABA^{\prime}B^{\prime} et l’attraction de cette même couche supposée concentrée sur la surface ABAB.

    Ce n’est pas tout à fait la même chose que la double couche, la différence est du 3e ordre.

  • a1′′a_{1}^{\prime\prime}

    est dû à la force centrifuge.

  • a1′′′a_{1}^{\prime\prime\prime}

    à l’action mutuelle de la simple couche et de la couche supplémentaire.

  • a1iva_{1}^{\text{iv}}

    à l’action de la couche supplémentaire (qui ici peut être réduite à la double couche) sur elle même.

Comparons avec votre expression de EE.33endnote: 3 Voir Darwin à Poincaré, 12.08.1901 (§ 3-15-23). Votre EE (qui dans ma notation serait W+εJW+\varepsilon J), vous le décomposez en 4 parties:

  • Energy of ellipsoïde with rotation ω\omega with itself. C’est: W0+bη2+cζ2W_{0}+b\eta^{2}+c\zeta^{2}.

  • Energy of ellipsoïd with rotation ω\omega with layer. C’est a1ξ4+a1′′ξ4+hξ2η+kξ2ζa_{1}^{\prime}\xi^{4}+a_{1}^{\prime\prime}\xi^{4}+h\xi^{2}\eta+k\xi^{2}\zeta.

  • Energy of layer with itself. C’est: a1′′′ξ4+a1ivξ4+hξ2ξa_{1}^{\prime\prime\prime}\xi^{4}+a_{1}^{\text{iv}}\xi^{4}+\sum h^{\prime}\xi^% {2}\xi^{\prime}

  • Additional Kinetic Energy C’est εJ\varepsilon J.

À ce compte, nous retrouverions tous les mêmes termes; il est vrai que vous ne prenez pas le même ellipsoïde EE que moi; mais cela ne fait rien.

Mais il me semble qu’il y a certains termes dont vous entendez ne pas tenir compte, par exemple hξ2ξ\sum h^{\prime}\xi^{2}\xi^{\prime}. Vous dites: Only terms of first order are retained, but those terms are developed as far as e3e^{3}.44endnote: 4 Voir Darwin à Poincaré, 12.08.1901 (§ 3-15-23).

Je comprends que ce que vous appelez terms of first order, ce sont ceux qui donnent des termes du 2d ordre dans WW (que vous appelez EE).

Dois-je alors entendre que vous laisserez de côté le terme hξ2ξ\sum h^{\prime}\xi^{2}\xi^{\prime} parce qu’il est du 4e ordre, mais que vous conserverez le terme a1ξ4a_{1}\xi^{4} qui est aussi du 4e ordre parce que vous le considérerez comme provenant de termes du 1er ordre, dont le coefficient aurait été développé jusqu’à e3e^{3}.

J’avoue que je ne comprends pas très bien pourquoi vous négligez un terme et pas l’autre, et si vous ne négligez pas le terme hξ2ξ\sum h^{\prime}\xi^{2}\xi^{\prime} comment vous calculez ξ\xi^{\prime}.

C’est de là que provient notre désaccord.

Je voudrais que vous me disiez si ce désaccord est réel ou si j’ai mal compris votre pensée.

J’avais écrit tout le commencement de [cette] lettre depuis longtemps et je voulais le compléter par quelques considérations sur le calcul des coefficients.

Mais je vois que ce serait très long, d’autant que je me demande maintenant si je n’aurais pas avantage à mettre ma 1re couche sur la 2de et à la confondre avec la 3e.

Je me décide donc à vous envoyer cette lettre telle quelle et je commence la rédaction d’un petit mémoire que je vous enverrai comme papier d’affaires.

Veuillez en attendant me dire si j’ai été plus clair cette fois ou s’il y a encore des points qui vous semblent obscurs. Je chercherai alors à les éclaircir.

Votre bien dévoué collègue,

Poincaré

ALS 12p. CUL-DAR251.4914, Cambridge University Library.

Time-stamp: " 4.05.2019 00:12"

Notes

  • 1 Voir Poincaré à Darwin (§ 3-15-22).
  • 2 Carl Neumann (1832–1925).
  • 3 Voir Darwin à Poincaré, 12.08.1901 (§ 3-15-23).
  • 4 Voir Darwin à Poincaré, 12.08.1901 (§ 3-15-23).