1-1-8. H. Poincaré to Gösta Mittag-Leffler

Caen, le 1er Août 188111Caen-1er août — Helsingfors-6 août.

Faculté des sciences de Caen – Instruction Publique

Mon cher ami,

Permettez-moi de vous envoyer encore un exemple relatif à notre équation

uiFidzdui=z (1)

exemple qui mettra bien en lumière la nature et les propriétés de l’intégrale.

Je suppose, vous vous le rappelez, que, quand on annule tous les u,

F1,F2,Fn

se réduisent à 1,

x-α2,x-αn.

Je pose :22Quand F1 est identiquement égale à 1, la seule intégrale holomorphe est Cu1. Lorsque F1 “se réduit à 1 quand on annule les u”, les solutions sont obtenues en faisant varier la constante; voir Poincaré à Mittag-Leffler, 26.07.1881 (§ 1-1-7).

z=tu1

d’où :

dzdui=u1dtdui  dzdu1=t+u1dtdu1

L’équation (1) va devenir, en supposant n = 3 pour fixer les idées :

u1F1dtdu1+u2F2dtdu2+u3F3dtdu3=t(1-F1)

Je pose maintenant : t=ev d’où

dtdui=evdvdui

l’équation (1) devient alors :

u1F1dvdu1+u2F2dvdu2+u3F3dvdu3=(1-F1)

ou en posant :

F2F1=φ2F3F1=φ31-F1F1=φ
u1dvdu1+u2φ2dvdu2+u3φ3dvdu3=φ

Quand on annule tous les u, les fonctions

φ2,φ3etφ

se réduisent respectivement à :

x-α2,x-α3, 0

Eh bien, je vais supposer que

φ2etφ3

se réduisent identiquement à

x-α2,x-α3;

j’aurai ainsi un exemple simple où l’intégrale s’écrira presqu’immédiatement.

Soit en effet :

φ=Am1,m2,m3u1m1u2m2u3m3

et écrivons que la fonction inconnue v s’écrit :

v=Cm1,m2,m3u1m1u2m2u3m3

On a, en identifiant :

Cm1,m2,m3(m1+m2(x-α2)+m3(x-α3))=Am1,m2,m3 (2)

ce qui donne les valeurs des C. Il n’y aurait en effet de difficulté que si l’on avait :

m1+m2(x-α2)+m3(x-α3)=0

Or dans le cas où l’origine est extérieure au triangle formé par les points 1, x-α2,x-α3 ; cela ne peut arriver que si33La condition m1+m2(x-α2)+m3(x-α3)=0 exprime que 0 est le barycentre des points 1, x-α2,x-α3, affectés des poids m1,m2,m3. Comme les coefficients sont positifs, cette condition revient à affirmer que 0 appartient au triangle de sommets 1, x-α2,x-α3.

m1=m2=m3=0.

Mais alors, comme A0, 0, 0 est nul, l’équation (2) se réduit à une identité.

Quant à la convergence de la série, elle se démontre aisément dans le cas où l’origine est extérieure au triangle 1,x-α2,x-α3.44Il est clair que si la série φ=Am1,m2,m3u1m1u2m2u3m3 converge, a fortiori la série de terme général Am1,m2,m3u1m1u2m2u3m3m1+m2(x-α2)+m3(x-α3) est aussi convergente tant que m1+m2(x-α2)+m3(x-α3)0.

On a donc une fonction v holomorphe définie par la série convergente :

v=Am1,m2,m3u1m1u2m2u3m3m1+m2(x-α2)+m3(x-α3)

ce qui définit en même temps une intégrale z holomorphe de l’équation (1).

Ces fonctions v et z présenteront un espace lacunaire déterminé par la condition que l’origine soit intérieure au triangle 1,x-α2,x-α3. Cet espace lacunaire est limité par trois droites, dont l’une est la droite α2α3 et les autres sont les parallèles à l’axe des quantités réelles menées par

α2etα3

dans la direction des quantités réelles négatives.55Comme 0 appartient au triangle 1, x-α2,x-α3, il existe λ1,λ2,λ3 positifs vérifiant λ1+λ2(x-α2)+λ3(x-α3)=0. L’affirmation de Poincaré est donc justifiée puisqu’on peut donc écrire x=μ+aα1+bα2 μ0eta+b=1.

Si au lieu de supposer que F2 et F3 se réduisent à x-α2,x-α3 quand on annule tous les u, j’avais supposé que ces fonctions se réduisent à

x-α2x-α1,x-α3x-α1

j’aurais eu pour espace lacunaire le triangle α1α2α3.66En reprenant les mêmes notations que dans l’exemple précédent et en supposant que F2 et F3 se réduisent à x-α2x-α1,x-α3x-α1, on obtient Cm1,m2,m3(m1+m2(x-α2x-α1)+m3(x-α3x-α1))=Am1,m2,m3. De la même manière, il n’y a des difficultés que si m1+m2(x-α2x-α1)+m3(x-α3x-α1), autrement si 0 appartient au triangle de sommets x-α1,x-α2,x-α3, ou si x appartient au triangle de sommets α1,α2,α3. Vous voyez comment dans le cas simple où l’on a identiquement :

F2=F1×(x-α2)  F3=F1×(x-α3)

ou bien

F2=F1×x-α2x-α1  F3=F1×x-α3x-α1

la question peut se traiter. Si vous le désirez d’ailleurs, je pourrai vous envoyer un exemple plus compliqué.

Veuillez agréer, mon cher ami, l’assurance de mes sentiments les plus dévoués.

Poincaré

ALS. IML 5, Mittag-Leffler Archives, Djursholm. Un extrait paraît dans les Acta mathematica 38, 153–155.

Time-stamp: "19.03.2015 01:53"