Caen, le 1er Août 188111endnote:
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Caen-1er août — Helsingfors-6 août.
Faculté des sciences de Caen – Instruction Publique
Permettez-moi de vous envoyer encore un exemple relatif à notre
équation
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(1) |
exemple qui mettra bien en lumière la nature et les propriétés
de l’intégrale.
Je suppose, vous vous le rappelez, que, quand on annule tous
les ,
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se réduisent à 1,
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Je pose :22endnote:
2
Quand est identiquement égale à 1,
la seule intégrale holomorphe est . Lorsque
“se réduit à 1 quand on annule les ”, les solutions sont
obtenues en faisant varier la constante; voir Poincaré à
Mittag-Leffler, 26.07.1881
(§ 1-1-7).
d’où :
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L’équation (1) va devenir, en supposant n = 3 pour fixer
les idées :
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Je pose maintenant :
d’où
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l’équation (1) devient alors :
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ou en posant :
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Quand on annule tous les u, les fonctions
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se réduisent respectivement à :
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Eh bien, je vais supposer que
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se réduisent identiquement à
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j’aurai ainsi un exemple simple où l’intégrale
s’écrira presqu’immédiatement.
Soit en effet :
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et écrivons que la fonction inconnue v s’écrit :
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On a, en identifiant :
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(2) |
ce qui donne les valeurs des C. Il n’y aurait en effet de
difficulté que si l’on avait :
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Or dans le cas où l’origine est extérieure au triangle
formé par les points 1, ; cela ne peut
arriver que si33endnote:
3
La condition
exprime que 0 est le barycentre des points 1,
affectés des poids . Comme les coefficients sont positifs, cette condition revient
à affirmer que 0 appartient au triangle de sommets 1,
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Mais alors, comme
est nul, l’équation (2) se réduit à une identité.
Quant à la convergence de la série, elle se démontre aisément
dans le cas où l’origine est extérieure au triangle
.44endnote:
4
Il est clair que si la série
converge, a fortiori la série de terme général
est aussi convergente tant que
On a donc une fonction v holomorphe définie par la série
convergente :
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ce qui définit en même temps une intégrale z holomorphe
de l’équation (1).
Ces fonctions et présenteront un espace lacunaire
déterminé par la condition que l’origine soit intérieure
au triangle .
Cet espace lacunaire est limité par trois droites, dont l’une
est la droite
et les autres sont les parallèles à l’axe des quantités
réelles menées par
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dans la direction des quantités réelles négatives.55endnote:
5
Comme
0 appartient au triangle 1,
il existe
positifs vérifiant
L’affirmation de Poincaré est donc justifiée puisqu’on peut
donc écrire
où
Si au lieu de supposer que et
se réduisent à
quand on annule tous les , j’avais supposé que ces fonctions
se réduisent à
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j’aurais eu pour espace lacunaire le triangle
.66endnote:
6
En reprenant les mêmes notations que dans l’exemple
précédent et en supposant que et
se réduisent à
on obtient
De la même manière, il n’y a des difficultés que si
autrement si 0 appartient au triangle de sommets
ou si appartient au triangle de sommets
Vous voyez comment dans le cas simple où l’on a identiquement :
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ou bien
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la question peut se traiter. Si vous le désirez d’ailleurs,
je pourrai vous envoyer un exemple plus compliqué.
Veuillez agréer, mon cher ami, l’assurance de mes sentiments
les plus dévoués.
ALS. IML 5, Mittag-Leffler Archives, Djursholm. Un extrait paraît
dans les Acta mathematica 38, 153–155.
Time-stamp: " 2.05.2019 23:11"
Notes
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1 Caen-1er août — Helsingfors-6 août.
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2 Quand est identiquement égale à 1,
la seule intégrale holomorphe est . Lorsque
“se réduit à 1 quand on annule les ”, les solutions sont
obtenues en faisant varier la constante; voir Poincaré à
Mittag-Leffler, 26.07.1881
(§ 1-1-7).
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3 La condition
exprime que 0 est le barycentre des points 1,
affectés des poids . Comme les coefficients sont positifs, cette condition revient
à affirmer que 0 appartient au triangle de sommets 1,
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4 Il est clair que si la série
converge, a fortiori la série de terme général
est aussi convergente tant que
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5 Comme
0 appartient au triangle 1,
il existe
positifs vérifiant
L’affirmation de Poincaré est donc justifiée puisqu’on peut
donc écrire
où
-
6 En reprenant les mêmes notations que dans l’exemple
précédent et en supposant que et
se réduisent à
on obtient
De la même manière, il n’y a des difficultés que si
autrement si 0 appartient au triangle de sommets
ou si appartient au triangle de sommets