1-1-8. H. Poincaré à Gösta Mittag-Leffler

Caen, le 1er Août 188111endnote: 1 Caen-1er août — Helsingfors-6 août.

Faculté des sciences de Caen – Instruction Publique

Mon cher ami,

Permettez-moi de vous envoyer encore un exemple relatif à notre équation

uiFidzdui=z\sum{u_{i}F_{i}\frac{dz}{du_{i}}}=z (1)

exemple qui mettra bien en lumière la nature et les propriétés de l’intégrale.

Je suppose, vous vous le rappelez, que, quand on annule tous les uu,

F1,F2,FnF_{1},\;F_{2},\quad\ldots\quad F_{n}\;

se réduisent à 1,

xα2,xαn.x-\alpha_{2},\quad\ldots\quad x-\alpha_{n}.

Je pose :22endnote: 2 Quand F1F_{1} est identiquement égale à 1, la seule intégrale holomorphe est Cu1Cu_{1}. Lorsque F1F_{1} “se réduit à 1 quand on annule les uu”, les solutions sont obtenues en faisant varier la constante; voir Poincaré à Mittag-Leffler, 26.07.1881 (§ 1-1-7).

z=tu1z=tu_{1}

d’où :

dzdui=u1dtduidzdu1=t+u1dtdu1\frac{{dz}}{{du_{i}}}=u_{1}\frac{{dt}}{{du_{i}}}\quad\quad\frac{{dz}}{{du_{1}}% }=t+u_{1}\frac{{dt}}{{du_{1}}}

L’équation (1) va devenir, en supposant n = 3 pour fixer les idées :

u1F1dtdu1+u2F2dtdu2+u3F3dtdu3=t(1F1)u_{1}F_{1}\frac{{dt}}{{du_{1}}}+u_{2}F_{2}\frac{{dt}}{{du_{2}}}+u_{3}F_{3}% \frac{{dt}}{{du_{3}}}=t\left({1-F_{1}}\right)

Je pose maintenant : t=evt=e^{v} d’où

dtdui=evdvdui\frac{{dt}}{{du_{i}}}=e^{v}\frac{{dv}}{{du_{i}}}

l’équation (1) devient alors :

u1F1dvdu1+u2F2dvdu2+u3F3dvdu3=(1F1)u_{1}F_{1}\frac{{dv}}{{du_{1}}}+u_{2}F_{2}\frac{{dv}}{{du_{2}}}+u_{3}F_{3}% \frac{{dv}}{{du_{3}}}=\left({1-F_{1}}\right)

ou en posant :

F2F1=φ2F3F1=φ31F1F1=φ\frac{{F_{2}}}{{F_{1}}}=\varphi_{2}\quad\frac{{F_{3}}}{{F_{1}}}=\varphi_{3}% \quad\frac{{1-F_{1}}}{{F_{1}}}=\varphi
u1dvdu1+u2φ2dvdu2+u3φ3dvdu3=φu_{1}\frac{{dv}}{{du_{1}}}+u_{2}\varphi_{2}\frac{{dv}}{{du_{2}}}+u_{3}\varphi_% {3}\frac{{dv}}{{du_{3}}}=\varphi

Quand on annule tous les u, les fonctions

φ2,φ3etφ\varphi_{2},\;\varphi_{3}\;\text{et}\;\varphi

se réduisent respectivement à :

xα2,xα3, 0x-\alpha_{2},\;x-\alpha_{3},\;0

Eh bien, je vais supposer que

φ2etφ3\varphi_{2}\;\text{et}\;\varphi_{3}

se réduisent identiquement à

xα2,xα3;x-\alpha_{2},\;x-\alpha_{3};

j’aurai ainsi un exemple simple où l’intégrale s’écrira presqu’immédiatement.

Soit en effet :

φ=Am1,m2,m3u1m1u2m2u3m3\varphi=\sum{A_{m_{1},\;m_{2},\;m_{3}}}u_{1}^{m_{1}}u_{2}^{m_{2}}u_{3}^{m_{3}}

et écrivons que la fonction inconnue v s’écrit :

v=Cm1,m2,m3u1m1u2m2u3m3v=\sum{C_{m_{1},\;m_{2},\;m_{3}}}u_{1}^{m_{1}}u_{2}^{m_{2}}u_{3}^{m_{3}}

On a, en identifiant :

Cm1,m2,m3(m1+m2(xα2)+m3(xα3))=Am1,m2,m3C_{m_{1},\;m_{2},\;m_{3}}\left({m_{1}+m_{2}\left({x-\alpha_{2}}\right)+m_{3}% \left({x-\alpha_{3}}\right)}\right)=A_{m_{1},\;m_{2},\;m_{3}} (2)

ce qui donne les valeurs des C. Il n’y aurait en effet de difficulté que si l’on avait :

m1+m2(xα2)+m3(xα3)=0m_{1}+m_{2}\left({x-\alpha_{2}}\right)+m_{3}\left({x-\alpha_{3}}\right)=0

Or dans le cas où l’origine est extérieure au triangle formé par les points 1, xα2,xα3x-\alpha_{2},\;x-\alpha_{3} ; cela ne peut arriver que si33endnote: 3 La condition m1+m2(xα2)+m3(xα3)=0m_{1}+m_{2}\left({x-\alpha_{2}}\right)+m_{3}\left({x-\alpha_{3}}\right)=0 exprime que 0 est le barycentre des points 1, xα2,xα3,x-\alpha_{2},\;x-\alpha_{3}, affectés des poids m1,m2,m3m_{1},\,m_{2},\,m_{3}. Comme les coefficients sont positifs, cette condition revient à affirmer que 0 appartient au triangle de sommets 1, xα2,xα3.x-\alpha_{2},\;x-\alpha_{3}.

m1=m2=m3=0.m_{1}=m_{2}=m_{3}=0.

Mais alors, comme A0, 0, 0A_{0,\;0,\;0} est nul, l’équation (2) se réduit à une identité.

Quant à la convergence de la série, elle se démontre aisément dans le cas où l’origine est extérieure au triangle 1,xα2,xα31,x-\alpha_{2},\;x-\alpha_{3}.44endnote: 4 Il est clair que si la série φ=Am1,m2,m3u1m1u2m2u3m3\varphi=\sum{A_{m_{1},\;m_{2},\;m_{3}}u_{1}^{m_{1}}u_{2}^{m_{2}}u_{3}^{m_{3}}} converge, a fortiori la série de terme général Am1,m2,m3u1m1u2m2u3m3m1+m2(xα2)+m3(xα3)\frac{{A_{m_{1},\;m_{2},\;m_{3}}u_{1}^{m_{1}}u_{2}^{m_{2}}u_{3}^{m_{3}}}}{{m_{% 1}+m_{2}\left({x-\alpha_{2}}\right)+m_{3}\left({x-\alpha_{3}}\right)}} est aussi convergente tant que m1+m2(xα2)+m3(xα3)0.m_{1}+m_{2}\left({x-\alpha_{2}}\right)+m_{3}\left({x-\alpha_{3}}\right)\neq 0.

On a donc une fonction v holomorphe définie par la série convergente :

v=Am1,m2,m3u1m1u2m2u3m3m1+m2(xα2)+m3(xα3)v=\sum{\frac{{A_{m_{1},\;m_{2},\;m_{3}}u_{1}^{m_{1}}u_{2}^{m_{2}}u_{3}^{m_{3}}% }}{{m_{1}+m_{2}\left({x-\alpha_{2}}\right)+m_{3}\left({x-\alpha_{3}}\right)}}}

ce qui définit en même temps une intégrale z holomorphe de l’équation (1).

Ces fonctions vv et zz présenteront un espace lacunaire déterminé par la condition que l’origine soit intérieure au triangle 1,xα2,xα31,\;x-\alpha_{2},\;x-\alpha_{3}. Cet espace lacunaire est limité par trois droites, dont l’une est la droite α2α3\alpha_{2}\alpha_{3} et les autres sont les parallèles à l’axe des quantités réelles menées par

α2etα3\alpha_{2}\;\text{et}\;\alpha_{3}

dans la direction des quantités réelles négatives.55endnote: 5 Comme 0 appartient au triangle 1, xα2,xα3,x-\alpha_{2},\;x-\alpha_{3}, il existe λ1,λ2,λ3\lambda_{1},\,\lambda_{2},\,\lambda_{3} positifs vérifiant λ1+λ2(xα2)+λ3(xα3)=0.\lambda_{1}+\lambda_{2}\left({x-\alpha_{2}}\right)+\lambda_{3}\left({x-\alpha_% {3}}\right)=0. L’affirmation de Poincaré est donc justifiée puisqu’on peut donc écrire x=μ+aα1+bα2x=\mu+a\alpha_{1}+b\alpha_{2} μ0eta+b=1.\mu\geq 0\;\text{et}\;a+b=1.

[Uncaptioned image]

Si au lieu de supposer que F2F_{2} et F3F_{3} se réduisent à xα2,xα3x-\alpha_{2},\;x-\alpha_{3} quand on annule tous les uu, j’avais supposé que ces fonctions se réduisent à

xα2xα1,xα3xα1\frac{{x-\alpha_{2}}}{{x-\alpha_{1}}},\quad\frac{{x-\alpha_{3}}}{{x-\alpha_{1}}}

j’aurais eu pour espace lacunaire le triangle α1α2α3\alpha_{1}\alpha_{2}\alpha_{3}.66endnote: 6 En reprenant les mêmes notations que dans l’exemple précédent et en supposant que F2F_{2} et F3F_{3} se réduisent à xα2xα1,xα3xα1,\frac{{x-\alpha_{2}}}{{x-\alpha_{1}}},\,\frac{{x-\alpha_{3}}}{{x-\alpha_{1}}}, on obtient Cm1,m2,m3(m1+m2(xα2xα1)+m3(xα3xα1))=Am1,m2,m3.C_{m_{1},\;m_{2},\;m_{3}}\left({m_{1}+m_{2}\left({\frac{{x-\alpha_{2}}}{{x-% \alpha_{1}}}}\right)+m_{3}\left({\frac{{x-\alpha_{3}}}{{x-\alpha_{1}}}}\right)% }\right)=A_{m_{1},\;m_{2},\;m_{3}}. De la même manière, il n’y a des difficultés que si m1+m2(xα2xα1)+m3(xα3xα1),m_{1}+m_{2}\left({\frac{{x-\alpha_{2}}}{{x-\alpha_{1}}}}\right)+m_{3}\left({% \frac{{x-\alpha_{3}}}{{x-\alpha_{1}}}}\right), autrement si 0 appartient au triangle de sommets xα1,xα2,xα3,x-\alpha_{1},\;x-\alpha_{2},\;x-\alpha_{3}, ou si xx appartient au triangle de sommets α1,α2,α3.\alpha_{1},\,\alpha_{2},\,\alpha_{3}. Vous voyez comment dans le cas simple où l’on a identiquement :

F2=F1×(xα2)F3=F1×(xα3)F_{2}=F_{1}\times\left({x-\alpha_{2}}\right)\quad\quad F_{3}=F_{1}\times\left(% {x-\alpha_{3}}\right)

ou bien

F2=F1×xα2xα1F3=F1×xα3xα1F_{2}=F_{1}\times\frac{x-\alpha_{2}}{x-\alpha_{1}}\quad\quad F_{3}=F_{1}\times% \frac{x-\alpha_{3}}{x-\alpha_{1}}

la question peut se traiter. Si vous le désirez d’ailleurs, je pourrai vous envoyer un exemple plus compliqué.

Veuillez agréer, mon cher ami, l’assurance de mes sentiments les plus dévoués.

Poincaré

ALS. IML 5, Mittag-Leffler Archives, Djursholm. Un extrait paraît dans les Acta mathematica 38, 153–155.

Time-stamp: " 2.05.2019 23:11"

Notes

  • 1 Caen-1er août — Helsingfors-6 août.
  • 2 Quand F1F_{1} est identiquement égale à 1, la seule intégrale holomorphe est Cu1Cu_{1}. Lorsque F1F_{1} “se réduit à 1 quand on annule les uu”, les solutions sont obtenues en faisant varier la constante; voir Poincaré à Mittag-Leffler, 26.07.1881 (§ 1-1-7).
  • 3 La condition m1+m2(xα2)+m3(xα3)=0m_{1}+m_{2}\left({x-\alpha_{2}}\right)+m_{3}\left({x-\alpha_{3}}\right)=0 exprime que 0 est le barycentre des points 1, xα2,xα3,x-\alpha_{2},\;x-\alpha_{3}, affectés des poids m1,m2,m3m_{1},\,m_{2},\,m_{3}. Comme les coefficients sont positifs, cette condition revient à affirmer que 0 appartient au triangle de sommets 1, xα2,xα3.x-\alpha_{2},\;x-\alpha_{3}.
  • 4 Il est clair que si la série φ=Am1,m2,m3u1m1u2m2u3m3\varphi=\sum{A_{m_{1},\;m_{2},\;m_{3}}u_{1}^{m_{1}}u_{2}^{m_{2}}u_{3}^{m_{3}}} converge, a fortiori la série de terme général Am1,m2,m3u1m1u2m2u3m3m1+m2(xα2)+m3(xα3)\frac{{A_{m_{1},\;m_{2},\;m_{3}}u_{1}^{m_{1}}u_{2}^{m_{2}}u_{3}^{m_{3}}}}{{m_{% 1}+m_{2}\left({x-\alpha_{2}}\right)+m_{3}\left({x-\alpha_{3}}\right)}} est aussi convergente tant que m1+m2(xα2)+m3(xα3)0.m_{1}+m_{2}\left({x-\alpha_{2}}\right)+m_{3}\left({x-\alpha_{3}}\right)\neq 0.
  • 5 Comme 0 appartient au triangle 1, xα2,xα3,x-\alpha_{2},\;x-\alpha_{3}, il existe λ1,λ2,λ3\lambda_{1},\,\lambda_{2},\,\lambda_{3} positifs vérifiant λ1+λ2(xα2)+λ3(xα3)=0.\lambda_{1}+\lambda_{2}\left({x-\alpha_{2}}\right)+\lambda_{3}\left({x-\alpha_% {3}}\right)=0. L’affirmation de Poincaré est donc justifiée puisqu’on peut donc écrire x=μ+aα1+bα2x=\mu+a\alpha_{1}+b\alpha_{2} μ0eta+b=1.\mu\geq 0\;\text{et}\;a+b=1.
  • 6 En reprenant les mêmes notations que dans l’exemple précédent et en supposant que F2F_{2} et F3F_{3} se réduisent à xα2xα1,xα3xα1,\frac{{x-\alpha_{2}}}{{x-\alpha_{1}}},\,\frac{{x-\alpha_{3}}}{{x-\alpha_{1}}}, on obtient Cm1,m2,m3(m1+m2(xα2xα1)+m3(xα3xα1))=Am1,m2,m3.C_{m_{1},\;m_{2},\;m_{3}}\left({m_{1}+m_{2}\left({\frac{{x-\alpha_{2}}}{{x-% \alpha_{1}}}}\right)+m_{3}\left({\frac{{x-\alpha_{3}}}{{x-\alpha_{1}}}}\right)% }\right)=A_{m_{1},\;m_{2},\;m_{3}}. De la même manière, il n’y a des difficultés que si m1+m2(xα2xα1)+m3(xα3xα1),m_{1}+m_{2}\left({\frac{{x-\alpha_{2}}}{{x-\alpha_{1}}}}\right)+m_{3}\left({% \frac{{x-\alpha_{3}}}{{x-\alpha_{1}}}}\right), autrement si 0 appartient au triangle de sommets xα1,xα2,xα3,x-\alpha_{1},\;x-\alpha_{2},\;x-\alpha_{3}, ou si xx appartient au triangle de sommets α1,α2,α3.\alpha_{1},\,\alpha_{2},\,\alpha_{3}.