1-1-7. H. Poincaré à Gösta Mittag-Leffler

Paris, le 26 Juillet 1881

Mon cher ami,

Je vous remercie beaucoup de votre lettre et des preuves d’amitié que vous voulez bien me donner.

Je ne comprends pas bien ce que vous me dites au sujet de l’équation :

$$u_{1}F_{1}\frac{dz}{du_{1}}+u_{2}F_{2}\frac{dz}{du_{2}}+\ldots+u_{n}F_{n}\frac{dz}{du_{n}}=z.$$

Vous dites que l’intégrale est

$$z=Cu_{1}$$

Cela ne serait exact que si $F_{1}$ était identiquement égal à 1. Or, ce n’est pas cela que j’ai supposé ; j’ai supposé seulement que $F_{1}$ se réduit à 1 quand on annule tous les $u$. Il est vrai que dans le premier exemple que je vous avais envoyé, par suite d’une erreur que je vous prie de me pardonner j’avais pris $F_{1}=$ identiquement 1. Il n’en était pas de même du second.

Si vous voulez bien, je vais prendre un autre exemple très simple, et calculer seulement les premiers termes de l’intégrale.

Je prends deux variables seulement $u_{1}$ et $u_{2}$ ; Soit :

$$u_{1}(1+u_{2})\frac{dz}{du_{1}}+u_{2}\lambda_{2}\frac{dz}{du_{2}}=z.$$

Je pose :

$$\begin{split}z&=\alpha_{1}u_{1}+\alpha_{2}u_{2}+\beta_{1}u_{1}^{2}+\beta_{2}u_{1}u_{2}+\beta_{3}u_{2}^{2}\\ &+\gamma_{1}u_{1}^{3}+\gamma_{2}u_{1}^{2}u_{2}+\gamma_{3}u_{1}u_{2}^{2}+\gamma_{4}u_{2}^{3}\\ &+\delta_{1}u_{1}^{4}+\delta_{2}u_{1}^{3}u_{2}+\delta_{3}u_{1}^{2}u_{2}^{2}+\delta_{4}u_{1}u_{2}^{3}+\delta_{5}u_{2}^{4}+\;\ldots,\end{split}$$

et j’obtiens par la méthode des coefficients indéterminés

$$\alpha_{1} =\alpha_{1}, \lambda_{2}\alpha_{2} =\alpha_{2}, 2\beta_{1} =\beta_{1},$$

$$\beta_{2}(1+\lambda_{2})+\alpha_{1} =\beta_{2}, 2\beta_{3}\lambda_{2} =\beta_{3}, 3\gamma_{1} =\gamma_{1},$$

$$2\gamma_{2}+2\beta_{1}+\lambda_{2}\gamma_{2} =\gamma_{2} \gamma_{3}+\beta_{2}+2\lambda_{2}\gamma_{3} =\gamma_{3}, 3\lambda_{2}\gamma_{4} =\gamma_{4},$$

$$4\delta_{1} =\delta_{1}, 3\delta_{2}+3\gamma_{1}+\lambda_{2}\delta_{2} =\delta_{2}, 2\delta_{3}+2\gamma_{2}+2\lambda_{2}\delta_{3} =\delta_{3},$$

$$\delta_{4}+\gamma_{3}+3\lambda_{2}\delta_{4} =\delta_{4}, 4\lambda_{2}\delta_{5} =\delta_{5}.$$

d’où l’on tire, en supposant arbitrairement $\alpha_{1}=1$ ;

$$\alpha_{2} =0 \beta_{1} =0 \beta_{2} =-\frac{1}{\lambda_{2}} \beta_{3} =0 \gamma_{1} =0 \gamma_{2} =0$$

$$\gamma_{3} =\frac{1}{2\lambda_{2}^{2}} \gamma_{4} =0 \delta_{1} =0 \delta_{2} =0 \delta_{3} =0 \delta_{4} =-\frac{1}{6\lambda_{2}^{3}} \delta_{5} =0$$

d’où:

$$z=u_{1}-\frac{u_{1}u_{2}}{\lambda_{2}}+\frac{u_{1}u_{2}^{2}}{2\lambda_{2}^{2}}-\frac{u_{1}u_{2}^{3}}{6\lambda_{2}^{3}}+\ldots.$$

On pourrait évidemment trouver l’intégrale de la façon suivante; posant $z=tu_{1}$ il vient :

$$t(1+u_{2})+u_{1}(1+u_{2})\frac{dt}{du_{1}}+u_{2}\lambda_{2}\frac{dt}{du_{2}}=t,$$

dont une intégrale s’obtient simplement en posant :

$$t+\lambda_{2}\frac{dt}{du_{2}}=0,$$

d’où :

$$t=e^{-\frac{u_{2}}{\lambda_{2}}},$$

de sorte que l’intégrale holomorphe s’écrit :

$$z=u_{1}e^{-\frac{u_{2}}{\lambda_{2}}},$$

multiplié par une constante.

Dans cet exemple, en posant ensuite

$$\lambda_{2}=x-\alpha_{2}$$

comme je le fais dans ma note, on n’aurait pas d’espace lacunaire. Cela n’arriverait que dans des cas plus compliqués. Mais ce qui précède suffira, je pense, pour vous faire comprendre comment il faudrait conduire le calcul dans tous les cas possibles.

Veuillez agréer, mon cher ami, l’expression de mon amitié sincère et de mon estime pour votre talent.

Poincaré

ALS 3p. IML 4, Mittag-Leffler Archives, Djursholm. Un extrait a été publié dans Acta mathematica 38, 152.

Time-stamp: "17.06.2020 01:16"

Notes

• 1 Paris, 26 juillet – Helsingfors, 31 juillet.
• 2 Poincaré se proposait d’analyser dans un premier mouvement, un exemple à 3 variables puisque son exemple à deux variables est obtenu en rayant le dernier terme du premier membre de l’équation : $$u_{1}(1+u_{2})\frac{dz}{du_{1}}+u_{2}\lambda_{2}\frac{dz}{du_{2}}+u_{3}\lambda_{3}\frac{dz}{du_{3}}=z.$$ Poincaré poursuivait en écrivant le développement général d’une fonction à 3 variables.
• 3 Variante. L’équation suivante est barrée : $$\begin{split}z&=\alpha_{1}u_{1}+\alpha_{2}u_{2}+\alpha_{3}u_{3}+\beta_{1}u_{1}^{2}+\beta_{2}u_{2}^{2}+\beta_{3}u_{3}^{2}\\ &+\gamma_{1}u_{2}u_{3}+\gamma_{2}u_{1}u_{3}+\gamma_{3}u_{1}u_{2}\\ &+\delta_{1}u_{1}^{3}+\delta_{2}u_{2}^{3}+\delta_{3}u_{3}^{3}+\varepsilon_{1}u_{1}^{2}u_{3}+\varepsilon.\end{split}$$
• 4 Et donc : $\displaystyle z$ $\displaystyle=u_{1}\;\sum\limits_{k}\frac{1}{k!}\left(\frac{-u_{2}}{\lambda_{2}}\right)^{k}$ $\displaystyle=u_{1}e^{-\frac{u_{2}}{\lambda_{2}}}.$
• 5 Poincaré propose d’utiliser une méthode de variation de la constante, méthode qu’il utilisera dans le cas général (voir § 1-1-8).
• 6 Comme Poincaré vient de le montrer, les équations de récurrence vérifiées par les solutions de l’équation différentielle admettent des solutions indépendamment de la valeur de $\lambda_{2}$. Dans ce cas, la solution est une fonction du paramètre $x$ qui “existe partout sauf en des points isolés. Il n’y a pas d’espace lacunaire.” (Poincaré 1883; rééd. Valiron 1950, 29)