Paul Painlevé to H. Poincaré

Jeudi 24 mai [24.05.1900]

Monsieur et cher Maître,

Permettez-moi de préciser les explications que je vous ai données hier sous une forme obscure, encore que trop longuement.

Nous considérons l’équation :

y′′=6y2+x;

soit y=f(x) une intégrale, définie pour les conditions initiales régulières x0, y0, y0 ; soit L une demi-droite du plan des x, issue de x0, et soit a le premier point singulier transcendant de f(x) qu’on rencontre sur L. Il faut montrer qu’un tel point ne saurait exister.

Je remarque immédiatement que la transformation

(1)x=a+μX,y=Yμ2

change l’équation (e) en

d2YdX2=6Y2+μ4(a+μX).

Ceci posé, j’établis 2 lemmes.

Lemme 1. Soit D un domaine fermé donné dans le plan des x (d’ailleurs quelconque), et X0, Y0, Y0 les valeurs données : pour les valeurs de μ suffisamment petites (|μ|<ε), l’intégrale Y(X), définie pour X0, Y0, Y0 est méromorphe dans D.*

Le lemme subsiste si on suppose que X0, Y0, Y0, au lieu d’être donnés, sont assujettis à la seule condition d’être moindres en module qu’une quantité donnée A. Il est en défaut dès que le coefficient de μ4 dans (E) n’est pas une fonction linéaire de X.

Lemme 2. Soit M(x) le plus grand module des deux quantités u(x)=(x-a)2f(x), v(x)=(x-a)3f(x). Quand x tend vers a¯ sur L, il est impossible que M(x) tende constamment vers l’infini.

Du second lemme il résulte qu’on peut trouver des valeurs de x, aussi voisine de qu’on veut, et pour lesquelles u(x1) ou (x1-a2)f(x1), et v(x1) ou (x1-a)3f(x1) ont des valeurs inférieures en module à une certaine quantité fixe A. Soit x1 un de ces points : posons μ=x1-a, et faisons le changement de variables :

(1)x=a+μX,y=Yμ2,y2=Yxμ3.

Aux valeurs x1, y1=f(x1), y1=f(x1), correspondent les valeurs X1=2, Y1=u2, Y1=v1, où |u1| et |v1| sont <A. L’intégrale Y(X) de (E), définie par X1, Y1, Y1, doit admettre X=0 comme point transcendant : d’où contradiction avec le premier lemme, puisque ou peut être pris aussi petit qu’on veut. C.Q.F.D.

Excusez-moi de vous avoir fait perdre tant de temps hier matin, et croyez moi, je vous prie, Monsieur et cher Maître, votre respectueusement dévoué et reconnaissant.

Paul Painlevé

* La quantité a est donnée.

ALS 4p. Collection particulière, 75017 Paris.

Time-stamp: " 4.05.2019 00:55"