Paul Painlevé à H. Poincaré

Jeudi 24 mai [24.05.1900]

Monsieur et cher Maître,

Permettez-moi de préciser les explications que je vous ai données hier sous une forme obscure, encore que trop longuement.

Nous considérons l’équation :

$$y^{\prime\prime}=6y^{2}+x;$$

soit $y=f(x)$ une intégrale, définie pour les conditions initiales régulières $x_{0}$, $y_{0}$, $y_{0}^{\prime}$ ; soit $L$ une demi-droite du plan des $x$, issue de $x_{0}$, et soit $a$ le premier point singulier transcendant de $f(x)$ qu’on rencontre sur $L$. Il faut montrer qu’un tel point ne saurait exister.

Je remarque immédiatement que la transformation

$$(1)x=a+\mu X,\qquad y=\frac{Y}{\mu^{2}}$$

change l’équation (e) en

$$\frac{d^{2}Y}{dX^{2}}=6Y^{2}+\mu^{4}(a+\mu X).$$

Ceci posé, j’établis 2 lemmes.

Lemme 1. Soit $D$ un domaine fermé donné dans le plan des $x$ (d’ailleurs quelconque), et $X_{0}$, $Y_{0}$, $Y_{0}^{\prime}$ les valeurs données : pour les valeurs de $\mu$ suffisamment petites $(|\mu|<\varepsilon)$, l’intégrale $Y(X)$, définie pour $X_{0}$, $Y_{0}$, $Y_{0}^{\prime}$ est méromorphe dans $D$.${}^{*}$

Le lemme subsiste si on suppose que $X_{0}$, $Y_{0}$, $Y_{0}^{\prime}$, au lieu d’être donnés, sont assujettis à la seule condition d’être moindres en module qu’une quantité donnée $A$. Il est en défaut dès que le coefficient de $\mu^{4}$ dans (E) n’est pas une fonction linéaire de $X$.

Lemme 2. Soit $M(x)$ le plus grand module des deux quantités $u(x)=(x-a)^{2}f(x)$, $v(x)=(x-a)^{3}f^{\prime}(x)$. Quand $x$ tend vers $\bar{a}$ sur $L$, il est impossible que $M(x)$ tende constamment vers l’infini.

Du second lemme il résulte qu’on peut trouver des valeurs de $x$, aussi voisine de qu’on veut, et pour lesquelles $u(x_{1})$ ou $(x_{1}-a^{2})f(x_{1})$, et $v(x_{1})$ ou $(x_{1}-a)^{3}f^{\prime}(x_{1})$ ont des valeurs inférieures en module à une certaine quantité fixe $A$. Soit $x_{1}$ un de ces points : posons $\mu=x_{1}-a$, et faisons le changement de variables :

$$(1)x=a+\mu X,\qquad y=\frac{Y}{\mu^{2}},\qquad y_{2}^{\prime}=\frac{Y_{x}^{\prime}}{\mu^{3}}.$$

Aux valeurs $x_{1}$, $y_{1}=f(x_{1})$, $y_{1}^{\prime}=f^{\prime}(x_{1})$, correspondent les valeurs $X_{1}=2$, $Y_{1}=u_{2}$, $Y_{1}^{\prime}=v_{1}$, où $|u_{1}|$ et $|v_{1}|$ sont $<A$. L’intégrale $Y(X)$ de (E), définie par $X_{1}$, $Y_{1}$, $Y_{1}^{\prime}$, doit admettre $X=0$ comme point transcendant : d’où contradiction avec le premier lemme, puisque ou peut être pris aussi petit qu’on veut. C.Q.F.D.

Excusez-moi de vous avoir fait perdre tant de temps hier matin, et croyez moi, je vous prie, Monsieur et cher Maître, votre respectueusement dévoué et reconnaissant.

Paul Painlevé

${}^{*}$ La quantité $a$ est donnée.

ALS 4p. Collection particulière, 75017 Paris.

Time-stamp: " 4.05.2019 00:55"