4-73-1. H. Poincaré à Vladimir A. Steklov

[06.05.1895]

Monsieur,

Je ne comprends pas bien pourquoi il faut que le nombre des pôles de la fonction $\mathcal{S}$ soit illimité. S’il était limité, la série se réduirait à un nombre fini de termes et il n’y aurait aucune diffculté. Les inégalités

$$\mathcal{L}_{1}<\mathcal{K}_{1}<\mathcal{L}_{2}<\mathcal{K}_{2}<\ldots<\mathcal{K}_{p-1}<\mathcal{L}_{p}<\mathcal{K}_{p},\ldots$$

n’ont pas lieu. On a seulement

$$\mathcal{K}_{p}>\mathcal{L}_{p}.$$

Quant à l’existence de la fonction de Green voici comment on l’établit. Considérons la fonction

$$\frac{e^{-\alpha\tau}}{4\pi\tau}$$

où $\alpha=\sqrt{\xi}$; soit

$$\mathcal{G}=\mathcal{G}_{1}+\frac{e^{-\alpha\tau}}{4\pi\tau}\quad\left(\text{au lieu de }\mathcal{G}=\mathcal{G}_{1}+\frac{1}{4\pi\tau}\right).$$

La fonction $\mathcal{G}_{1}$ est continue et satisfait aux conditions :

$$\Delta\mathcal{G}_{1}+\xi\mathcal{G}_{1}=0$$

et à la frontière :

$$\mathcal{G}_{1}=-\frac{e^{-\alpha\tau}}{4\pi\tau}.$$

Si ces explications ne vous suffisent pas, je reste à votre disposition.

Votre bien dévoué,

Poincaré

P.S. On peut trouver $V$ qui satisfait à

$$\Delta V+\xi V+f=0$$

quand même $f$ dépend de $\xi$. En effet, donnons à $\xi$ dans $f$ une valeur donnée $\xi_{0}$, nous obtiendrons par le procédé ordinaire :

$$V=V_{0}+\xi V_{1}+\xi^{2}V_{2}+\ldots$$

et nous ferons ensuite $\xi=\xi_{0}$.

2.P.S. Si la série $\sum A_{i}V_{i}$ converge absolument, on a

$$V=-\sum\frac{A_{i}V_{i}}{\xi-K_{i}}.$$

En effet, la série en question dont j’appelle la somme $V^{\prime}$ converge et satisfait à l’équation

$$\Delta V^{\prime}+\xi V^{\prime}+\sum A_{i}V_{i}=0.$$

On a donc

$$\Delta(V-V^{\prime})+\xi(V-V^{\prime})+(f-\sum A_{i}V_{i})=0.$$

$V$ a mêmes pôles et mêmes résidus que $V^{\prime}$. Donc $V-V^{\prime}$ serait une fonction holomorphe de $\xi$ ce qui est impossible à moins que $V=V^{\prime}$ d’où

$$f=\sum A_{i}V_{i}.$$

ALS 2p. Archives of the Russian Academy of Sciences, Saint Petersburg. Transcribed after Nabonnand et al. (2022).

Time-stamp: " 1.11.2021 14:20"

Notes

• 1 The letter is dated from the envelope postmark.