4-76-1. H. Poincaré to Vladimir A. Steklov

[06.05.1895]11endnote: 1 The letter is dated from the envelope postmark.

Monsieur,

Je ne comprends pas bien pourquoi il faut que le nombre des pôles de la fonction 𝒮\mathcal{S} soit illimité. S’il était limité, la série se réduirait à un nombre fini de termes et il n’y aurait aucune diffculté. Les inégalités

1<𝒦1<2<𝒦2<<𝒦p-1<p<𝒦p,\mathcal{L}_{1}<\mathcal{K}_{1}<\mathcal{L}_{2}<\mathcal{K}_{2}<\ldots<% \mathcal{K}_{p-1}<\mathcal{L}_{p}<\mathcal{K}_{p},\ldots

n’ont pas lieu. On a seulement

𝒦p>p.\mathcal{K}_{p}>\mathcal{L}_{p}.

Quant à l’existence de la fonction de Green voici comment on l’établit. Considérons la fonction

e-ατ4πτ\frac{e^{-\alpha\tau}}{4\pi\tau}

α=ξ\alpha=\sqrt{\xi}; soit

𝒢=𝒢1+e-ατ4πτ(au lieu de 𝒢=𝒢1+14πτ).\mathcal{G}=\mathcal{G}_{1}+\frac{e^{-\alpha\tau}}{4\pi\tau}\quad\left(\text{% au lieu de }\mathcal{G}=\mathcal{G}_{1}+\frac{1}{4\pi\tau}\right).

La fonction 𝒢1\mathcal{G}_{1} est continue et satisfait aux conditions :

Δ𝒢1+ξ𝒢1=0\Delta\mathcal{G}_{1}+\xi\mathcal{G}_{1}=0

et à la frontière :

𝒢1=-e-ατ4πτ.\mathcal{G}_{1}=-\frac{e^{-\alpha\tau}}{4\pi\tau}.

Si ces explications ne vous suffisent pas, je reste à votre disposition.

Votre bien dévoué,

Poincaré

P.S. On peut trouver VV qui satisfait à

ΔV+ξV+f=0\Delta V+\xi V+f=0

quand même ff dépend de ξ\xi. En effet, donnons à ξ\xi dans ff une valeur donnée ξ0\xi_{0}, nous obtiendrons par le procédé ordinaire :

V=V0+ξV1+ξ2V2+V=V_{0}+\xi V_{1}+\xi^{2}V_{2}+\ldots

et nous ferons ensuite ξ=ξ0\xi=\xi_{0}.

2.P.S. Si la série AiVi\sum A_{i}V_{i} converge absolument, on a

V=-AiViξ-Ki.V=-\sum\frac{A_{i}V_{i}}{\xi-K_{i}}.

En effet, la série en question dont j’appelle la somme VV^{\prime} converge et satisfait à l’équation

ΔV+ξV+AiVi=0.\Delta V^{\prime}+\xi V^{\prime}+\sum A_{i}V_{i}=0.

On a donc

Δ(V-V)+ξ(V-V)+(f-AiVi)=0.\Delta(V-V^{\prime})+\xi(V-V^{\prime})+(f-\sum A_{i}V_{i})=0.

VV a mêmes pôles et mêmes résidus que VV^{\prime}. Donc V-VV-V^{\prime} serait une fonction holomorphe de ξ\xi ce qui est impossible à moins que V=VV=V^{\prime} d’où

f=AiVi.f=\sum A_{i}V_{i}.

ALS 2p. Archives of the Russian Academy of Sciences, Saint Petersburg. Transcribed after Nabonnand et al. (2022).

Time-stamp: " 1.11.2021 14:20"

Notes

  • 1 The letter is dated from the envelope postmark.

Références

  • P. Nabonnand, O. Bruneau, J. J. Gray, G. Heinzmann, P. Henry, J. Mawhin, D. Rowe, K. Volkert, and S. A. Walter (Eds.) (2022) La correspondance entre Henri Poincaré et le mathématiciens. Birkhäuser, Basel. Cited by: 4-76-1. H. Poincaré to Vladimir A. Steklov.