3-49-1. Gaëtan Blum à H. Poincaré

Paris, le 3 janvier 1910

Société astronomique de France
Fondée en 1887, reconnue d’utilité publique en 1897

Monsieur et Cher Collègue,

J’ai l’honneur de vous informer que l’Ordre du Jour de la Séance du Conseil du 5 Janvier, 8^h$\nicefrac{{1}}{{4}}$, sera le suivant :

«   Examen de modifications à apporter au projet de statuts votés par le Conseil dans sa dernière réunion   ».

Veuillez agréer, Monsieur et Cher Collègue, mes bien sincères salutations.

L’un des Secrétaires Adjoints,

Blum

Eq. de Helmholtz

$$u=r_{1}\sqrt{b}{a}y-q_{1}\sqrt{c}{a}z+ry-qz$$

$$\frac{du}{dy}-\frac{dv}{dz}=r_{1}\left(\sqrt{\frac{b}{a}}+\sqrt{\frac{a}{b}}\right)+2r\qquad abc=1$$

integr. de Helm. grand cercle $=\frac{r}{\sqrt{ab}}\left(\frac{du}{dy}-\frac{dv}{dz}\right)=r_{1}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)+\frac{2r}{\sqrt{ab}}$

fact. const. près $\frac{4d}{15\sqrt{abc}}$; $A_{1}r_{1}+A_{1}^{\prime}r=\frac{dT}{dp_{1}}$

Vecteur de Helmholtz $\frac{dT}{dp_{1}}$ $\frac{dT}{dq_{1}}$ $\frac{dT}{dr_{1}}$

invar. lié à la sph. fictive

$$\frac{dT}{dp_{1}} =r_{1}\frac{dT}{dq_{1}}-q_{1}\frac{dT}{dr_{1}}$$

vitesse vitesse

absolue d’entraînement

axes fixes; axes mobiles; sphère fictive $\sum ax^{2}=1$

$\lambda$, $\mu$, $\nu$, $\rho$ ori. axes mobiles axes fixes;

$\lambda_{1}$, $\mu_{1}$, $\nu_{1}$, $\rho_{1}$ ori. sphères fictive axes mobiles; (sphère fictive mob. [illegible])

***

$p$, $q$, $r$; $p_{1}$, $q_{1}$, $r_{1}$ diff. entre les deux cas proj. sur axes mobiles.

***

$$\frac{d}{dt}\frac{dT}{d\lambda^{\prime}}-\frac{dT}{d\lambda}+\frac{dU}{d\lambda}=k\lambda;\frac{d}{dt}\frac{dT}{d\lambda^{\prime}}-\frac{dT}{d\lambda_{1}}=k_{1}\lambda_{1};\sum\lambda^{2}=\sum\lambda_{1}^{2}=1$$

$$\left.\begin{aligned} \frac{1}{2}p&=-\mu\lambda^{\prime}+\lambda\mu^{\prime}-\rho\nu^{\prime}+\nu\rho^{\prime}\\ \frac{1}{2}p_{1}&=-\mu_{1}\lambda_{1}^{\prime}+\lambda_{1}\mu_{1}^{\prime}-\rho_{1}\nu_{1}^{\prime}+\nu_{1}\rho_{1}^{\prime}\end{aligned}\right)\qquad\text{pourquoi à l'envers}$$

***

$$T=T_{2}+T_{1}+T_{0};T_{2}=\frac{1}{2}\sum Ap^{2};T_{0}=\frac{1}{2}\sum A_{1}p_{1}^{2}$$

$$T_{1}=\sum Pp=\sum A_{1}^{\prime}pp_{1};A_{1}=A_{1}^{\prime}$$

***

$$\frac{d}{dt}\frac{dT}{dp}+r\frac{dT}{dq}-q\frac{dT}{dr}=-L;\frac{d}{dt}\frac{dT}{dp_{1}}-r_{1}\frac{dT}{dq_{1}}+q_{1}\frac{dT}{dr_{1}}=0$$

***

$$X_{i}(f) =\sum X_{i}^{\mu}\frac{df}{dx_{\mu}};\quad X_{i}X_{k}-X_{k}X_{i}=\sum c_{iks}X_{s}$$

$$X(f) =z\frac{df}{dy}-y\frac{df}{dz};\quad XY-YX=Z$$

$$Y(f) =x\frac{df}{dz}-z\frac{df}{dx};\quad YZ-ZY=X$$

$$Z(f) =y\frac{df}{dx}-x\frac{df}{dy};\quad ZX-XZ=Y$$

***

$$\frac{dx_{\mu}}{dv}=\sum\eta_{\rho}X_{\rho}^{\mu};\delta x_{\mu}=\sum\omega_{\rho}X_{\rho}^{\mu}$$

$$\sum\left(\frac{dT}{dx}-\frac{dU}{dx}\right)\delta x=\sum\Omega_{i}\omega_{i}$$

$$\frac{d}{dt}\frac{dT}{d\eta_{j}}=\sum c_{jki}\frac{dT}{d\eta_{i}}\eta_{k}+\Omega_{j}$$

***

rot. $p$, $q$, $r$, rot. $p_{1}$, $q_{1}$, $r_{1}$; une [???] à l’autre.

signif. des $\underline{c}$; inversion; signif. des $\Omega$.

***

Eq. des Aires.

Vecteur des moments $\frac{dT}{dp}$, $\frac{dT}{dq}$, $\frac{dT}{dr}$; vitesse relative de $a$

$\frac{d}{dt}\frac{dT}{dp}$	$+$	$r\frac{dT}{dq}-q\frac{dT}{dr}$	=	$-L$
vitesse		vitesse		vitesse
relative		" d’entraînement		absolue.

ellipticity $\frac{1}{26000.365}$ $\frac{1}{300}$ préc[ession] 3 [illegible]

***

Mouvements simples

$$\sum ax^{2}=1,\sum aux=0 \qquad\sum\frac{du}{dx}=0;x^{\prime}=x\sqrt{a},y^{\prime}=y\sqrt{b},z^{\prime}=z\sqrt{c}$$

$$u=r\sqrt{\frac{b}{a}}y-q\sqrt{\frac{c}{a}}z; \qquad\frac{du}{dy}-\frac{dv}{dx}=r\left(\sqrt{\frac{b}{a}}+\sqrt{\frac{a}{b}}\right)$$

$$v=p\sqrt{\frac{c}{b}}z-r\sqrt{\frac{a}{b}}x; \qquad\frac{dv}{dz}-\frac{dw}{dy}=p\left(\sqrt{\frac{c}{b}}+\sqrt{\frac{b}{c}}\right)$$ (1)

$$w=q\sqrt{\frac{a}{c}}x-p\sqrt{\frac{b}{c}}y; \qquad\frac{dw}{dx}-\frac{du}{dz}=q\left(\sqrt{\frac{a}{c}}+\sqrt{\frac{c}{a}}\right)$$

***

mouvements simples se combinent comme rotations, invariant $\sum a(x_{1}-x_{2})^{2}$

***

Conservation des mouvements simples.

Th. de Helmholtz. $\int(udx+vdy+wdz)=$ fonction linéaire de $\int xdx$, $\int ydx$, $\int xdy$; etc $\int ydx=-\int xdy$

Récipr. $\frac{du}{dy}-\frac{dv}{dx}=$ const. — sol. (1); sol. unique, car si deux sol. $u-u^{\prime}=\frac{d\varphi}{dx}$, $v-v^{\prime}=\frac{d\varphi}{dy}$, $w-w^{\prime}=\frac{d\varphi}{dz}$; $\triangle\varphi=0$, $\frac{d\varphi}{du}=0$

***

$x^{\prime}=x+udt$; $\int x^{\prime}dx^{\prime}$, $\int y^{\prime}dx^{\prime}$, $\cdots$ fonctions linéaires de $\int xdx$ etc.

***

Extension à l’ellipsoïde mobile volume constant.

$$\frac{du}{dy}-\frac{dv}{dx}=\text{const.},u=r\sqrt{\frac{b}{a}}y-q\sqrt{\frac{c}{a}}z+\frac{d\varphi}{dx}$$

$$\sum ax^{2}=1,\sum ax^{2}=1+2\psi dt;\sum a(x+udt)^{2}=1+2\psi dt$$

$$\sum aux=\psi;\sum ax\frac{d\varphi}{dx}=\psi;\triangle\varphi=0,\text{vol.}=\text{const.}$$

***

Force vive. ellipsoïde immobile.

$T$ polynôme 2^d degré $\underline{p,q,r}$; symétrie pas de terme en $pq$; si $\underline{r}=0$, changer $q$ en $-q$ et $y$ en $-y$, c’est changer $u$ et $w$ en $-u$ et $-w$.

$$q=r=0;d=1,p=1;u=0;2T=\int(v^{2}+w^{2})dxdydz$$

$$=\frac{1}{\sqrt{abc}}\int\left(\frac{v^{\prime 2}}{b}+\frac{w^{\prime 2}}{c}\right)dx^{\prime}dy^{\prime}dz^{\prime}=\frac{1}{\sqrt{abc}}\int\left(\frac{y^{\prime 2}}{c}+\frac{x^{\prime 2}}{b}\right)dx^{\prime}dy^{\prime}dz^{\prime}$$

$$\int y^{\prime 2}dx^{\prime}dy^{\prime}dz^{\prime}=\frac{4\pi}{15};2T=\frac{4\pi}{15}\frac{1}{\sqrt{abc}}\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)$$

$$T=\frac{1}{2}\sum Ap^{2};A=\frac{4\pi}{15}\frac{d}{\sqrt{abc}}\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right);\text{ord}\;abc=1.$$

$$\int(vz-wy)dxdydz=\frac{1}{\sqrt{abc}}\int\frac{v^{\prime}z^{\prime}-w^{\prime}y^{\prime}}{\sqrt{bc}}dx^{\prime}dy^{\prime}dz^{\prime}=\frac{8\pi}{15}\frac{pd}{\sqrt{abc}}\frac{1}{\sqrt{bc}}$$

$$A^{\prime}p,B^{\prime}q,C^{\prime}r;A^{\prime}=\frac{8\pi}{15}\frac{d}{\sqrt{abc}}\frac{1}{\sqrt{bc};}\quad A^{\prime}\text{ sensi[blement]}=A.$$

ALS 1p + calculs 3p. Collection particulière, Paris 75017.

Time-stamp: "25.07.2025 20:55"

Notes

• 1 Gaëtan Blum was the assistant secretary of the Astronomical Society of France, and in this capacity, he invited Poincaré to a meeting of the council of the society. This mundane correspondance is of particular interest, in that Poincaré made use of its blank pages to investigate the dynamics of a rotating ellipsoidal fluid mass, perhaps in relation to a paper on this topic he published in September, 1910 (Poincaré, 1910).
• 2 Variant: “axes fixes; sphère fictive”.