2-10-3. H. Poincaré à Joseph Boussinesq

[Après 05.1893]

Mon cher confrère,

Brillouin a parfaitement raison.

Soit 1 la vitesse de propagation, 1 le rayon de la sphère.

Soit $\varphi$ la fonction des vitesses. On doit avoir :

$\displaystyle\Delta\varphi=\frac{d^{2}\varphi}{dt^{2}}$

pour $\displaystyle r>1$

et

$\displaystyle\frac{d\varphi}{dr}=\mathfrak{H}$

(pour $\displaystyle r=1$)

$\mathfrak{H}$ fonction donnée du temps.

Il vient donc :

$$\varphi=\frac{\mathfrak{F}(t-r)+\mathfrak{F}_{1}(t+r)}{r}$$

Pour $r>t+1$, $t>0$, $\varphi$ doit être nul, ce qui exige que $\mathfrak{F}_{1}=0$.

Il reste donc :

$$\varphi=\frac{\mathfrak{F}}{r},$$

d’où

$$\frac{d\varphi}{dr}=-\frac{\mathfrak{F}^{\prime}}{r}-\frac{\mathfrak{F}}{r^{2}}$$

et par conséquent pour $r=1$ :

$$\mathfrak{F}^{\prime}+\mathfrak{F}=-\mathfrak{H},$$

j’écris les arguments

$$\mathfrak{F}^{\prime}(t-1)+\mathfrak{F}(t-1)=-\mathfrak{H}(t).$$

Pour $t<0$, $\mathfrak{H}$ et $\mathfrak{F}$ sont nuls. La période d’agitation du corps dure depuis $t=0$ jusqu’à $t=T$. A partir de l’époque $T$, $\mathfrak{H}$ est nul et le corps reste au repos.

L’équation nous donne :

$$\mathfrak{F}(t-1)=-e^{-t}\int_{0}^{t}\mathfrak{H}(t)e^{t}dt$$

Pour $t>T$, cela devient

$$\mathfrak{F}(t-1)=-e^{-t}\int_{0}^{T}\mathfrak{H}(t)e^{t}dt.$$

La constante

$$\int_{0}^{T}\mathfrak{H}(t)e^{t}dt$$

que j’appellerai $Ce$ ne sera pas nulle en général et il restera pour $t>T$

$$\mathfrak{F}(t-1)=-Ce^{-(t-1)}$$

Pour $r>1$, $t>T+r-1$, on aura

$$\mathfrak{F}(t-r)=-Ce^{-(t-r)}$$

et

$$\varphi=-\frac{C}{r}e^{-(t-r)}.$$

Il y a donc un résidu; mais il va sans dire que si les dimensions du corps sont petites, la décroissance sera extraordinairement rapide.

A vous de tout cœur,

Poincaré

ALS 4p. MS 4229, 258, Bibliothèque de l’Institut de France.

Time-stamp: " 2.09.2020 13:27"

Notes

• 1 Marcel Brillouin (1893a, 1893b) a étudié le mouvement des solides au milieu des fluides. Il cherchait une explication de la structure des raies spectrales à travers la vibration des molécules dans l’éther. La théorie élastique de la lumière de Boussinesq (1893c, 1893b, 1893a) assimile l’éther, d’une part, à un fluide subtil, dans lequel les molécules des corps se déplacent, et d’autre part, à un solide élastique isotrope. Les notes de Boussinesq et de Brillouin sont présentées à l’Académie des sciences de Paris le 10.07.1893, mais le lien entre ces deux notes reste implicite.
• 2 Le manuscrit porte à cet endroit des traces de calcul et un dessin en crayon de main inconnue.
• 3 Variante : “ou pour $r>1$, $$\mathfrak{F}(t-r)=-e^{-(t-r)}\int_{0}^{t}\mathfrak{H}e^{t-r}dt$$ et $$\varphi=-\frac{e^{-(t-r)}}{r}\int_{0}^{t}\mathfrak{H}e^{(t-r)}dt.$$ Pour $t>T$, il reste : $$\varphi=-\frac{e^{-(t-r)}}{r}\int_{0}^{T}\mathfrak{H}e^{(t-r)}dt.$$ $\mathfrak{F}(t-r)=$ Pour $t>T$, cela devient …”.