4-11-2. H. Poincaré à Luitzen Egbertus Jan Brouwer

[10.12.1911]

Mon cher Collègue,

Je vous remercie beaucoup de votre lettre; je ne vois pas bien pourquoi vous doutez que la correspondance entre les deux variétés soit analytique; les modules des surfaces de Riemann peuvent s’exprimer analytiquement en fonction des constantes des groupes Fuchsiens; il est vrai que l’on ne doit donner à certaines variables que des valeurs réelles, mais les fonctions de ces variables réelles n’en conservent pas moins le caractère analytique ou bien la difficulté provient-elle à vos yeux de ce que l’une de ces variétés dépend non des constantes du groupe, mais bien des invariants. Si je me rappelle bien, j’envisageais une variété dépendant des constantes des substitutions fondamentales du groupe; à un groupe correspondra alors une infinité discrète de points de cette variété; je subdivisais ensuite cette variété en variétés partielles, de telle façon qu’à un groupe corresponde un seul point de chaque variété partielle (de la même façon que l’on décompose le plan en parallélogrammes des périodes, ou bien le cercle fondamental en polygones fuchsiens.) Le caractère analytique de la correspondance ne m’en semble pas altéré.

En ce qui concerne la variété des surfaces de Riemann on peut être embarrassé si l’on considère ces surfaces à la façon de Riemann; on pourrait se demander par exemple si l’ensemble de ces surfaces ne forme pas deux variétés séparées. La difficulté disparaît dès que l’on envisage ces surfaces au point de vue de M. Klein; la continuité, l’absence de singularités, la possibilité de passer d’une surface à l’autre d’une manière continue deviennent alors des vérités presque intuitives.

Je vous demande pardon de la façon décousue et du désordre de ces explications; je n’espère pas qu’elles vous satisfassent parce que je vous les ai très mal présentées; mais je pense qu’elles vous amèneront à préciser les points qui vous embarrassent de façon que je puisse ensuite vous donner entière satisfaction. Je suis heureux d’avoir cette occasion d’entrer en rapport avec un homme de votre valeur.

Votre bien dévoué Collègue,

Poincaré

ALS 3p. Brouwer archive, Philosophy Department, University of Utrecht. Transcribed, translated to English, and commented by Alexandrov (1972), then reedited with commentary by Hans Freudenthal in Dugac (1986, 87). An English translation and annotation was also published by Dalen (2011, 114–115).

Time-stamp: "23.10.2025 17:56"

Notes

• 1 Dated from the postmark.
• 2 Poincaré responds to a missing letter from Brouwer, a draft of which has been preserved and transcribed (§ 4-11-1).
• 3 Variante: “Si je me rappelle bien, je prenais j’envisageais une variété …”.
• 4 See Klein (1883), rééd. dans Fricke et al. (1923, 630–710). It is possible that Brouwer underlined the words rendered here in italics, and not Poincaré.
• 5 Brouwer’s former thesis advisor at the University of Amsterdam, D. J. Korteweg wrote to Poincaré to sollicit a letter of recommendation of Brouwer’s candidacy to join the Amsterdam Academy of Science, and apparently, Poincaré responded favorably. See Dalen (1999, 218) and Korteweg to Poincaré (draft), ca. February, 1911 (§ 4-43-1).