4-12-3. H. Poincaré à Luitzen Egbertus Jan Brouwer

[Entre le mi-décembre 1911 et le 4 janvier 1912]

Mon cher Collègue,

Je vous remercie beaucoup de vos lettres successives; j’étudierai la question en détail aussitôt que j’en aurai le temps. Je crois toujours que ce qu’il y aurait de plus simple pour démontrer l’absence de point singulier, c’est de ne pas se servir des surfaces de Riemann sous la forme que leur donne Riemann, c’est à dire celle de feuillets plans superposés avec des coupures, mais sous la forme que leur donne Klein; une surface quelconque, de connexion convenable, et une loi quelconque (avec représentation conforme ou non conforme) pour la correspondance des points de cette surface avec les points imaginaires de la courbe $f(x,y)=0$.

J’ai exposé mes idées sur ce point dans une séance de la Société Mathématique de France il y a déjà de longues années; mais je ne les ai pas publiées, parce que M. Bürckhardt qui assistait à cette séance m’a dit alors que M. Klein avait déjà publié cela dans ses leçons autographiées; vous pourriez peut-être vous procurer cette autographie.

Il s’agit en somme de ceci; soit $f(x,y)=0$ une courbe de genre $p$; je fais correspondre à cette courbe une surface de Riemann-Klein $S$ et une loi $L$ de correspondance entre les points réels de cette surface et les points complexes de la courbe $f(x,y)=0$. J’envisage ensuite les surfaces $S^{\prime}$ et les lois $L^{\prime}$ infin^t peu différentes de $S$ et $L$. Il s’agit d’abord de montrer que ces surfaces $S^{\prime}$ (en ne considérant pas comme distinctes celles qui peuvent se déduire les unes des autres par des transform. birationnelles) sont en nombre $\infty^{6p-6}$; et ensuite que l’on peut toujours passer d’une quelconque des $S^{\prime}$, $L^{\prime}$ à une autre quelconque des $S$, $L$, sans s’écarter beaucoup de $S$, $L$ et sans passer par $S$, $L$.

Votre bien dévoué Collègue,

Poincaré

ALS 3p. Brouwer archive, Philosophy Department, University of Utrecht. Traduction anglaise dans Dalen (2011, 120–121).

Time-stamp: " 9.06.2022 21:25"

Notes

• 1 Lors de la séance de la Société mathématique de France du 18.04.1894, Poincaré fit une communication intitulée “Sur la théorie des marées” (Bulletin de la Société mathématique de France 22, 71); elle n’a pas été publiée. Heinrich Buckhardt (1861–1914) fut Privatdozent à Göttingen depuis 1889, et suivit en 1893–1894 les cours de Picard, Tisserand, et Poincaré (Liebmann, 1915, 188). Le 4 avril, 1894, Burkhardt fit lui-même une communication à Paris au sujet des fonctions de Green (Burkhardt, 1894). Les leçons autographiées de Klein dont il fut question pour Burkhardt et Poincaré en avril 1894 sont sans doute celles prononcées à Göttingen en 1891–1892 à propos des surfaces de Riemann; voir Klein (1906).