3-10-2. Carl Vilhelm Ludwig Charlier to H. Poincaré

Lund Mai 10 1899

À M. H. Poincaré — Membre de l’Institut — Paris

Cher Monsieur !

Les solutions particulières du problème des trois corps dans le plan, pour lesquelles les excentricités des orbites intermédiaires sont nulles, sont susceptibles d’être réduites à une simple quadrature.11endnote: 1 Le problème étudié par Charlier est une simplification de celui étudié par Poincaré dans lequel deux masses planétaires se meuvent autour du corps central dans un même plan, les excentricités restant très petites. L’étude de ce problème donne lieu aux solutions périodiques de première sorte (Poincaré 1884, 68).

Soient en effet22endnote: 2 Comme d’habitude, aa désigne le demi-grand axe de la trajectoire elliptique, ee son excentricité.

L\displaystyle L =βa,\displaystyle=\beta\sqrt{a}, 𝒢\displaystyle\mathcal{G} =βa(1-e2)\displaystyle=\beta\sqrt{a(1-e^{2})}
\displaystyle\ell =anom[alie] moy[enne],\displaystyle=\text{anom[alie] moy[enne]}, g\displaystyle g =long[itude] du pér[ihélie]\displaystyle=\text{long[itude] du pér[ihélie]}

donc on a pour le mouvement dans un plan les équations :

dLdt\displaystyle\frac{dL}{dt} =F;\displaystyle=\frac{\partial F}{\partial\ell}; ddt\displaystyle\frac{d\ell}{dt} =-FL\displaystyle=-\frac{\partial F}{\partial L}
d𝒢dt\displaystyle\frac{d\mathcal{G}}{dt} =Fg;\displaystyle=\frac{\partial F}{\partial g}; dgdt\displaystyle\frac{dg}{dt} =-F𝒢\displaystyle=-\frac{\partial F}{\partial\mathcal{G}}
dLdt\displaystyle\frac{dL^{\prime}}{dt} =F;\displaystyle=\frac{\partial F}{\partial\ell^{\prime}}; ddt\displaystyle\frac{d\ell^{\prime}}{dt} =-FL\displaystyle=-\frac{\partial F}{\partial L^{\prime}}
d𝒢dt\displaystyle\frac{d\mathcal{G}^{\prime}}{dt} =Fg;\displaystyle=\frac{\partial F}{\partial g^{\prime}}; dgdt\displaystyle\frac{dg^{\prime}}{dt} =-F𝒢\displaystyle=-\frac{\partial F}{\partial\mathcal{G}^{\prime}}

où la valeur de la constante β\beta dépend du choix des coordonnées.

La fonction FF peut être développée dans une série d’après les puissances des excentricités des orbites intermédiaires, soit

F=F0+L2-𝒢2F10+L2-𝒢2F01+F=F_{0}+\sqrt{L^{2}-\mathcal{G}^{2}}F_{10}+\sqrt{L^{\prime 2}-\mathcal{G}^{% \prime 2}}F_{01}+\cdots

Le problème est à trouver des solutions particulières des équations (A), pour lesquelles33endnote: 3 Charlier étudie le problème des trois corps dans le cas où les orbites intermédiaires sont des cercles.

L2-𝒢2=L2-𝒢20.\sqrt{L^{2}-\mathcal{G}^{2}}=\sqrt{L^{\prime 2}-\mathcal{G}^{\prime 2}}\equiv 0.

Quelque soit le choix des coordonnées, F0F_{0} est une fonction seulement de LL, LL^{\prime} et de la différence des longitudes des deux masses, c’est-à-dire de +g-(+g)\ell+g-(\ell^{\prime}+g^{\prime}).

Pour des valeurs évanouissantes des excentricités on a

dLdt\displaystyle\frac{dL}{dt} =F0\displaystyle=\frac{\partial F_{0}}{\partial\ell}
dLdt\displaystyle\frac{dL^{\prime}}{dt} =F0,\displaystyle=\frac{\partial F_{0}}{\partial\ell^{\prime}},

et comme

F0+F0=0,\frac{\partial F_{0}}{\partial\ell}+\frac{\partial F_{0}}{\partial\ell^{\prime% }}=0,

on a l’intégrale

L+L=C.L+L^{\prime}=C. (1)

En posant

L\displaystyle L =Λ\displaystyle=\Lambda
L\displaystyle\because L^{\prime} =C-Λ\displaystyle=C-\Lambda
L-L+g-g\displaystyle L-L^{\prime}+g-g^{\prime} =λ,\displaystyle=\lambda,

on peut donc exprimer F0F_{0} en fonction seulement de Λ\Lambda et λ\lambda.

Les équations différentielles de Λ\Lambda och de λ\lambda44endnote: 4 En français : “de Λ\Lambda et de λ\lambda”. sont d’une forme canonique.55endnote: 5 Variante: À cet endroit, un passage rayé reprend presque terme pour terme le début du raisonnement précédent : “On a dLdt\displaystyle\frac{dL}{dt} =F0\displaystyle=\frac{\partial F_{0}}{\partial\ell} dLdt\displaystyle\frac{dL^{\prime}}{dt} =F0,\displaystyle=\frac{\partial F_{0}}{\partial\ell^{\prime}}, et d’après la forme de F0F_{0} on a F0+F0=0.\frac{\partial F_{0}}{\partial\ell}+\frac{\partial F_{0}}{\partial\ell^{\prime% }}=0. On a donc L+L=C,L+L^{\prime}=C, CC est une constante d’intégration.”

On obtient

dΛdt=-FL-F𝒢+FL+F𝒢.\frac{d\Lambda}{dt}=-\frac{\partial F}{\partial L}-\frac{\partial F}{\partial% \mathcal{G}}+\frac{\partial F}{\partial L^{\prime}}+\frac{\partial F}{\partial% \mathcal{G}^{\prime}}.

Mais

FL\displaystyle\frac{\partial F}{\partial L} =F0L+LL2-𝒢2F10+\displaystyle=\frac{\partial F_{0}}{\partial L}+\frac{L}{\sqrt{L^{2}-\mathcal{% G}^{2}}}F_{10}+\cdots
F𝒢\displaystyle\frac{\partial F}{\partial\mathcal{G}} =-𝒢L2-𝒢2F10+\displaystyle=\phantom{\frac{\partial F_{0}}{\partial L}}-\frac{\mathcal{G}}{% \sqrt{L^{2}-\mathcal{G}^{2}}}F_{10}+\cdots

On a donc pour L=𝒢L=\mathcal{G}

FL+F𝒢=F0L\frac{\partial F}{\partial L}+\frac{\partial F}{\partial\mathcal{G}}=\frac{% \partial F_{0}}{\partial L}

et

FL+F𝒢=F0L.\frac{\partial F}{\partial L^{\prime}}+\frac{\partial F}{\partial\mathcal{G}^{% \prime}}=\frac{\partial F_{0}}{\partial L^{\prime}}.

D’autre part

F0L-F0L=F0Λ\frac{\partial F_{0}}{\partial L}-\frac{\partial F_{0}}{\partial L^{\prime}}=% \frac{\partial F_{0}}{\partial\Lambda}

et les équations différentielles de Λ\Lambda et λ\lambda sont

dΛdt=F0λ;dλdt=-F0Λ.\begin{array}[]{cc}\displaystyle\frac{d\Lambda}{dt}=\frac{F_{0}}{\partial% \lambda};&\displaystyle\frac{d\lambda}{dt}=-\frac{F_{0}}{\partial\Lambda}.\end% {array} (2)

De ces équations on connaît l’intégrale de la force vive

F0=const.F_{0}=\text{const.}

et les éléments Λ\Lambda et λ\lambda sont donc déterminés par une simple quadrature.

La discussion de la formule (2)(2) devient très simple si l’on se sert de la transformation (α)(\alpha), que vous avez envisagée dans le “Bulletin astronomique’’ pour l’an 1897.66endnote: 6 Poincaré (1897) étudie différents changements de variables dans les équations du problème des trois corps. Il note par AA, BB, CC les trois corps et par x1x_{1}, x2x_{2}, x3x_{3} les coordonnées de AA, par x4x_{4}, x5x_{5}, x6x_{6} celles de BB et par x7x_{7}, x8x_{8}, x9x_{9} celles de CC. Comme à l’accoutumée, Poincaré désigne indifféremment par m1m_{1}, m2m_{2}, m3m_{3} la masse de AA, par m4m_{4}, m5m_{5}, m6m_{6} celle de BB et par m7m_{7}, m8m_{8}, m9m_{9} celle du troisième corps CC. En notant FF le lagrangien du système et en posant yi=midxidt,y_{i}=m_{i}\frac{dx_{i}}{dt}, les équations du problème s’écrivent sous forme canonique : dxidt=dFdyi,dyidt=-dFdxi(i=1,2,,9).\begin{array}[]{ccc}\frac{dx_{i}}{dt}=\frac{dF}{dy_{i}},&\frac{dy_{i}}{dt}=-% \frac{dF}{dx_{i}}&(i=1,2,\cdots,9).\end{array} Une condition nécessaire et suffisante pour qu’un changement de variables conserve la forme de ces équations est xidyi=xidyi.\sum x^{\prime}_{i}dy^{\prime}_{i}=x_{i}dy_{i}. Poincaré montre que l’on peut aussi caractériser parmi ces changements de variables ceux qui ne modifient pas la forme de l’équation des aires. Il donne des exemples de tels changements de variable et introduit le changement de variables qu’il dénote “changement (α)(\alpha)”: y1=y1,y4=y4,x7=x7,x1-x7=x1,x4-x7=x4,y7=y1+y4+y7.\begin{array}[]{cccccc}y_{1}=y^{\prime}_{1},&y_{4}=y^{\prime}_{4},&x_{7}=x^{% \prime}_{7},&x_{1}-x_{7}=x^{\prime}_{1},&x_{4}-x_{7}=x^{\prime}_{4},&y^{\prime% }_{7}=y_{1}+y_{4}+y_{7}.\end{array} “Ce changement de variables”, explique Poincaré, “a une signification géométrique très simple” (Poincaré, 1897, 56) : “Les variables nouvelles x1x^{\prime}_{1}, x2x^{\prime}_{2}, \cdots, x6x^{\prime}_{6} sont les coordonnées relatives des points AA et BB par rapport à des axes mobiles passant par le point CC. Les variables y1m1\frac{y^{\prime}_{1}}{m_{1}}, y2m2\frac{y^{\prime}_{2}}{m_{2}}, \cdots, y6m6\frac{y^{\prime}_{6}}{m_{6}} sont les composantes des vitesses absolues de ces deux points AA et BB.” Poincaré rappelle ensuite le changement de variables introduit par Radau (1868) qu’il propose d’appeler “le changement (β)(\beta)”. Il montre que ce changement conserve la forme de l’équation des forces vives ; ce changement de variables consiste à désigner par x7x^{\prime}_{7}, x8x^{\prime}_{8}, x9x^{\prime}_{9} les coordonnées du centre de gravité GG du système et par ξ\xi, η\eta, ζ\zeta celles du centre de gravité des corps AA et CC, puis à poser x1=x1-x7,x4=x4-η,\begin{array}[]{cc}x^{\prime}_{1}=x_{1}-x_{7},&x^{\prime}_{4}=x_{4}-\eta,\end{array} “de telle sorte que x1x^{\prime}_{1}, x2x^{\prime}_{2}, x3x^{\prime}_{3} soient les coordonnées du point AA par rapport à des axes mobiles passant par le point CC ; et x4,x5,x6x^{\prime}_{4},x^{\prime}_{5},x^{\prime}_{6} celles du point BB par rapport à des axes mobiles passant par le point DD” (Poincaré 1897, 57–58). Un intérêt supplémentaire des changements (α)(\alpha) et (β)(\beta) est qu’ils permettent tous les deux d’abaisser le nombre de degré de liberté de 99 à 66. Poincaré évoque alors le changement de variables le plus utilisé par les astronomes qu’il appelle le changement (γ)(\gamma) et dont il signale que ses “propriétés sont loin d’être aussi élégantes” que celles des changements (α)(\alpha) et (β)(\beta) puisque le changement (γ)(\gamma) ne conserve “ni la forme canonique des équations, ni la forme des intégrales des aires” (Poincaré 1897, 59). De plus, si l’on utilise les changements de variables (α)(\alpha) et (β)(\beta), l’intersection des plans des orbites des corps AA et BB reste dans le plan invariable (élimination des nœuds) (Poincaré, 1897, 61) : “Il semble que tous ces avantages auraient dû faire substituer le changement (β)(\beta) au changement (γ)(\gamma). Si on ne l’a pas fait, c’est sans doute parce que le développement de la fonction perturbatrice est un peu plus compliqué dans l’hypothèse (β)(\beta). C’est pour cette raison que je crois devoir attirer l’attention sur le changement (α)(\alpha) qui n’a pas encore été proposé, qui n’altère ni la forme canonique des équations, ni la forme des intégrales des aires et qui conduit à un développement de la fonction perturbatrice tout aussi simple que le changement (γ)(\gamma).”

Avec une haute considération — votre

C. V. L. Charlier

P.S. Les équations différentielles pour les perturbations séculaires dans le mouvement plan peuvent être traitées de la même manière. Ce que vous avez démontré vous même dans le N° 192 de vos “Méthodes nouvelles.’’77endnote: 7 Poincaré (1893, §192) propose une modification de la méthode d’approximations successives pour l’équation (de l’évection) d2xdt+x(q2-q1cos2t)=αϕ(x,t)\frac{d^{2}x}{dt}+x(q^{2}-q_{1}\cos 2t)=\alpha\phi(x,t) α\alpha est un coefficient très petit, ϕ(x,t)\phi(x,t) est une fonction connue de xx et de tt dont les termes sont tous de la forme Axpcosλt+μ.Ax^{p}\cos\lambda t+\mu. L’objectif est d’obtenir des développements trigonométriques des solutions sans introduire de terme séculaire. Poincaré obtient deux conditions pour lesquelles on a l’alternative (Poincaré 1893, §192) : “Ou bien le problème proposé est impossible ; Ou bien nos conditions doivent être remplies d’elles-mêmes.” Afin de montrer que le problème est possible lorsque le lagrangien est périodique par rapport aux variables yiy_{i}, Poincaré (1893, §193) utilise des techniques analogues à celles employées par Charlier dans sa lettre. Peut-être que vous avez démontré aussi la même chose pour les solutions périodiques d’ordre nul par rapport aux excentricités, quoique je ne l’ai pu trouver.

ALS 5p. Collection particulière, Paris 75017.

Time-stamp: "10.05.2019 22:15"

Notes

  • 1 Le problème étudié par Charlier est une simplification de celui étudié par Poincaré dans lequel deux masses planétaires se meuvent autour du corps central dans un même plan, les excentricités restant très petites. L’étude de ce problème donne lieu aux solutions périodiques de première sorte (Poincaré 1884, 68).
  • 2 Comme d’habitude, aa désigne le demi-grand axe de la trajectoire elliptique, ee son excentricité.
  • 3 Charlier étudie le problème des trois corps dans le cas où les orbites intermédiaires sont des cercles.
  • 4 En français : “de Λ\Lambda et de λ\lambda”.
  • 5 Variante: À cet endroit, un passage rayé reprend presque terme pour terme le début du raisonnement précédent : “On a dLdt\displaystyle\frac{dL}{dt} =F0\displaystyle=\frac{\partial F_{0}}{\partial\ell} dLdt\displaystyle\frac{dL^{\prime}}{dt} =F0,\displaystyle=\frac{\partial F_{0}}{\partial\ell^{\prime}}, et d’après la forme de F0F_{0} on a F0+F0=0.\frac{\partial F_{0}}{\partial\ell}+\frac{\partial F_{0}}{\partial\ell^{\prime% }}=0. On a donc L+L=C,L+L^{\prime}=C, CC est une constante d’intégration.”
  • 6 Poincaré (1897) étudie différents changements de variables dans les équations du problème des trois corps. Il note par AA, BB, CC les trois corps et par x1x_{1}, x2x_{2}, x3x_{3} les coordonnées de AA, par x4x_{4}, x5x_{5}, x6x_{6} celles de BB et par x7x_{7}, x8x_{8}, x9x_{9} celles de CC. Comme à l’accoutumée, Poincaré désigne indifféremment par m1m_{1}, m2m_{2}, m3m_{3} la masse de AA, par m4m_{4}, m5m_{5}, m6m_{6} celle de BB et par m7m_{7}, m8m_{8}, m9m_{9} celle du troisième corps CC. En notant FF le lagrangien du système et en posant yi=midxidt,y_{i}=m_{i}\frac{dx_{i}}{dt}, les équations du problème s’écrivent sous forme canonique : dxidt=dFdyi,dyidt=-dFdxi(i=1,2,,9).\begin{array}[]{ccc}\frac{dx_{i}}{dt}=\frac{dF}{dy_{i}},&\frac{dy_{i}}{dt}=-% \frac{dF}{dx_{i}}&(i=1,2,\cdots,9).\end{array} Une condition nécessaire et suffisante pour qu’un changement de variables conserve la forme de ces équations est xidyi=xidyi.\sum x^{\prime}_{i}dy^{\prime}_{i}=x_{i}dy_{i}. Poincaré montre que l’on peut aussi caractériser parmi ces changements de variables ceux qui ne modifient pas la forme de l’équation des aires. Il donne des exemples de tels changements de variable et introduit le changement de variables qu’il dénote “changement (α)(\alpha)”: y1=y1,y4=y4,x7=x7,x1-x7=x1,x4-x7=x4,y7=y1+y4+y7.\begin{array}[]{cccccc}y_{1}=y^{\prime}_{1},&y_{4}=y^{\prime}_{4},&x_{7}=x^{% \prime}_{7},&x_{1}-x_{7}=x^{\prime}_{1},&x_{4}-x_{7}=x^{\prime}_{4},&y^{\prime% }_{7}=y_{1}+y_{4}+y_{7}.\end{array} “Ce changement de variables”, explique Poincaré, “a une signification géométrique très simple” (Poincaré, 1897, 56) : “Les variables nouvelles x1x^{\prime}_{1}, x2x^{\prime}_{2}, \cdots, x6x^{\prime}_{6} sont les coordonnées relatives des points AA et BB par rapport à des axes mobiles passant par le point CC. Les variables y1m1\frac{y^{\prime}_{1}}{m_{1}}, y2m2\frac{y^{\prime}_{2}}{m_{2}}, \cdots, y6m6\frac{y^{\prime}_{6}}{m_{6}} sont les composantes des vitesses absolues de ces deux points AA et BB.” Poincaré rappelle ensuite le changement de variables introduit par Radau (1868) qu’il propose d’appeler “le changement (β)(\beta)”. Il montre que ce changement conserve la forme de l’équation des forces vives ; ce changement de variables consiste à désigner par x7x^{\prime}_{7}, x8x^{\prime}_{8}, x9x^{\prime}_{9} les coordonnées du centre de gravité GG du système et par ξ\xi, η\eta, ζ\zeta celles du centre de gravité des corps AA et CC, puis à poser x1=x1-x7,x4=x4-η,\begin{array}[]{cc}x^{\prime}_{1}=x_{1}-x_{7},&x^{\prime}_{4}=x_{4}-\eta,\end{array} “de telle sorte que x1x^{\prime}_{1}, x2x^{\prime}_{2}, x3x^{\prime}_{3} soient les coordonnées du point AA par rapport à des axes mobiles passant par le point CC ; et x4,x5,x6x^{\prime}_{4},x^{\prime}_{5},x^{\prime}_{6} celles du point BB par rapport à des axes mobiles passant par le point DD” (Poincaré 1897, 57–58). Un intérêt supplémentaire des changements (α)(\alpha) et (β)(\beta) est qu’ils permettent tous les deux d’abaisser le nombre de degré de liberté de 99 à 66. Poincaré évoque alors le changement de variables le plus utilisé par les astronomes qu’il appelle le changement (γ)(\gamma) et dont il signale que ses “propriétés sont loin d’être aussi élégantes” que celles des changements (α)(\alpha) et (β)(\beta) puisque le changement (γ)(\gamma) ne conserve “ni la forme canonique des équations, ni la forme des intégrales des aires” (Poincaré 1897, 59). De plus, si l’on utilise les changements de variables (α)(\alpha) et (β)(\beta), l’intersection des plans des orbites des corps AA et BB reste dans le plan invariable (élimination des nœuds) (Poincaré, 1897, 61) : “Il semble que tous ces avantages auraient dû faire substituer le changement (β)(\beta) au changement (γ)(\gamma). Si on ne l’a pas fait, c’est sans doute parce que le développement de la fonction perturbatrice est un peu plus compliqué dans l’hypothèse (β)(\beta). C’est pour cette raison que je crois devoir attirer l’attention sur le changement (α)(\alpha) qui n’a pas encore été proposé, qui n’altère ni la forme canonique des équations, ni la forme des intégrales des aires et qui conduit à un développement de la fonction perturbatrice tout aussi simple que le changement (γ)(\gamma).”
  • 7 Poincaré (1893, §192) propose une modification de la méthode d’approximations successives pour l’équation (de l’évection) d2xdt+x(q2-q1cos2t)=αϕ(x,t)\frac{d^{2}x}{dt}+x(q^{2}-q_{1}\cos 2t)=\alpha\phi(x,t) α\alpha est un coefficient très petit, ϕ(x,t)\phi(x,t) est une fonction connue de xx et de tt dont les termes sont tous de la forme Axpcosλt+μ.Ax^{p}\cos\lambda t+\mu. L’objectif est d’obtenir des développements trigonométriques des solutions sans introduire de terme séculaire. Poincaré obtient deux conditions pour lesquelles on a l’alternative (Poincaré 1893, §192) : “Ou bien le problème proposé est impossible ; Ou bien nos conditions doivent être remplies d’elles-mêmes.” Afin de montrer que le problème est possible lorsque le lagrangien est périodique par rapport aux variables yiy_{i}, Poincaré (1893, §193) utilise des techniques analogues à celles employées par Charlier dans sa lettre.

Références

  • H. Poincaré (1884) Sur certaines solutions particulières du problème des trois corps. Bulletin astronomique 1, pp. 65–74. Link Cited by: endnote 1.
  • H. Poincaré (1893) Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste, Volume 2. Gauthier-Villars, Paris. Link Cited by: endnote 7.
  • H. Poincaré (1897) Sur une forme nouvelle des équations du problème des trois corps. Bulletin astronomique 14, pp. 53–67. Link Cited by: endnote 6.
  • R. Radau (1868) Sur une transformation des équations différentielles de la dynamique. Annales scientifiques de l’École normale supérieure 5, pp. 311–375. Link Cited by: endnote 6.