3-10-5. Carl Vilhelm Ludwig Charlier à H. Poincaré

[Ca. juillet 1901]

Dans le numéro de juin de votre Journal vous avez donné hospitalité à une lettre de M. Olsson, dans laquelle il a fait quelques remarques concernant deux Mémoires, insérés dans les Meddelanden från Lunds astronomiska observatorium. Permettez-moi, cher Monsieur, de faire quelques observations sur les passages qui me regardent.

Dans le Mémoire Ueber die Theilung des Kreises, etc., M. Schultz-Steinheil a donné des Tableaux très utiles, par lesquels on peut rapidement calculer d’avance le nombre des parties en lesquelles on doit diviser le cercle en employant la méthode célèbre de Hansen pour calculer les perturbations des petites planètes. M. Schultz-Steinheil s’est appuyé sur une formule, donnée par moi-même en 1887, qui permet de calculer le nombre en question.

Or, dans sa lettre, M. Olsson dit qu’il a découvert que cette formule serait illusoire.

Voici le problème à résoudre :

Considérons la fonction

$$F=\frac{1}{(\Gamma_{0}-2\Gamma_{1}\cos\varphi+\Gamma_{2}\cos 2\varphi)^{s}},$$

qui peut être développée dans une série trigonométrique de la forme

$$F=\sum{D_{n}\cos n\varphi}.$$

Il s’agit de trouver le nombre des termes qu’on doit faire entrer en considération dans ce développement pour obtenir une approximation, déterminée d’avance.

À cet effet, on doit calculer la valeur approchée des coefficients $D_{n}$ pour des valeurs élevées de $n$.

Dans le cas actuel, ce calcul peut être facilité à cause des valeurs des coefficients $\Gamma$, en ce que, $\Gamma_{0}$ étant d’ordre nul par rapport aux excentricités (qu’on suppose ici être petites), le coefficient $\Gamma_{1}$ est du premier ordre, $\Gamma_{2}$ du second par rapport aux excentricités.

Pour obtenir la valeur approchée du coefficient $D_{n}$, on doit calculer dans $D_{n}$ le terme de l’ordre le plus bas par rapport aux excentricités. Sur la valeur de ce terme, les termes provenant du coefficient $\Gamma_{2}$ n’ont aucune influence essentielle. C’est là ce que j’ai affirmé dans mon Mémoire sur le perturbations de la planète Thétis.

Posons

$$G=\frac{1}{(\Gamma_{0}-2\Gamma_{1}\cos\varphi)^{s}}=\sum{E_{n}\cos n\varphi};$$

il s’agit de comparer les valeurs des coefficients $E_{n}$ et $D_{n}$.

D’après le théorème de Fourier, on a

$$E_{n} =\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}\frac{\cos n\varphi d\varphi}{(\Gamma_{0}-2\Gamma_{1}\cos\varphi)^{s}},$$

$$D_{n} =\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}\frac{\cos n\varphi d\varphi}{(\Gamma_{0}-2\Gamma_{1}\cos\varphi+\Gamma_{2}\cos 2\varphi)^{s}}.$$

Développons $D_{n}$ d’après les puissances croissantes de $\Gamma_{2}$, ce qui est toujours permis selon les suppositions faites sur les coefficients.

On aura alors

$$D_{n}= \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}\frac{\cos n\varphi d\varphi}{(\Gamma_{0}-2\Gamma_{1}\cos\varphi)^{s}}$$ (1)

$$\times\left[1-\frac{s}{1!}\frac{\Gamma_{2}\cos 2\varphi}{\Delta}+\frac{s(s+1)}{2!}\frac{(\Gamma_{2}\cos 2\varphi)^{2}}{\Delta}-\cdots\right],$$

où

$$\Delta=\Gamma_{0}-2\Gamma_{1}\cos\varphi.$$

Les intégrales $E_{n}$ et $D_{n}$ étant toutes les deux de l’ordre $n$, par rapport aux excentricités, on peut interrompre la série (1) au terme où $\Gamma_{2}$ est élevé à une puissance plus grande que $\frac{n}{2}$. Le nombre des termes dans (1) est donc tout au plus égal à $\frac{n}{2}$.

En substituant pour les puissances de $\cos 2\varphi$ l’expression

$$\cos^{r}2\varphi=\frac{1}{2^{r-1}}\left[\cos 2r\varphi+\frac{r}{1!}\cos 2(r-2)\varphi+\frac{r(r-1)}{2!}\cos 2(r-4)\varphi+\cdots\right],$$

et en gardant dans $D_{n}$ seulement les termes de l’ordre le plus bas (c’est-à-dire les termes de l’ordre $n$), on obtiendra

$$D_{n}=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}d\varphi\left[\frac{\cos n\varphi}{\Delta^{s}}-\frac{s}{1!}\frac{\gamma e^{2}}{2}\frac{\cos(n-2)\varphi}{\Delta^{s+1}}+\frac{s(s+1)}{2!}\frac{\gamma^{2}e^{4}}{2^{2}}\frac{\cos(n-4)\varphi}{\Delta^{s+2}}-\cdots\right],$$

où nous avons posé

$$\Gamma_{2}=\gamma e^{2}.$$

Tous les termes de cette expression sont de l’ordre $n$ par rapport aux excentricités.

D’après une formule bien connue, on a

$$\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}\frac{\cos i\varphi d\varphi}{(1-2e\cos\varphi)}=\frac{r(r+1)\cdots(r+i-1)}{i!}e^{i}(1+\alpha e^{2}+\beta e^{4}+\cdots),$$

$\alpha$, $\beta$ étant des nombres indépendants de $e$.

En ne gardant que les termes les plus bas, on obtiendra

$$D_{n}=E_{n}\biggl{[}1 -\frac{1}{1!}\frac{\gamma}{2}\frac{n(n-1)}{(n+s-1)(n+s-2)}$$

$$+\frac{1}{2!}\frac{\gamma^{2}}{2^{2}}\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{(n+s-1)(n+s-2)(n+s-3)(n+s-4)}-\cdots\biggr{]},$$

expression contenant tout au plus $\frac{n}{2}$ termes.

Quant au nombre $s$, il est égal à $\frac{1}{2}$ ou à $\frac{3}{2}$.

Si $\gamma<1$, cette série converge donc très rapidement. Dans le cas de la nature, $\gamma$ est d’ordinaire plus petit que $\frac{1}{2}$. Il serait donc bien fondé de remplacer le coefficient $D_{n}$ par $E_{n}$ dans le problème dont il est question, et ce serait couler le moucheron et avaler le chameau que de choisir ici une expression plus compliquée pour le coefficient $D_{n}$.

Veuillez agréer, Monsieur, l’assurance de ma plus haute considération.

PrTL. Charlier 1901.

Time-stamp: " 8.06.2019 19:00"

Notes

• 1 La lettre d’Olsson (1901) critique deux articles de Schultz-Steinheil (1899a, 1899b) dont Callandreau avait rendu compte au Bulletin astronomique (1900, 127): “L’auteur a repris la discussion des mesures spectroscopiques de Dunér sur la rotation du Soleil, et il trouve que les mesures se concilient au moins aussi bien avec une rotation uniforme. Il aurait été désirable de reprendre la discussion, sous le même point de vue, des mesures de Crew, en 1887 ; mais cela n’a pas encore été possible à M. Schultz-Steinheil. Il s’agit là d’une question importante qui demande à être éclaircie. Sur la division du cercle dans la théorie des perturbations de Hansen Combien de valeurs particulières faut-il prendre, en répartissant également les valeurs de l’argument sur la circonférence, pour calculer avec la précision convenable les coefficients des développements en séries périodiques ? Telle est la question que l’auteur traite après M. Charlier. Application est faite aux deux planètes $(4)$ Alexandra et $(17)$ Thétis.” Olsson affirme que les résultats obtenus dans les deux articles de Schultz-Steinheil sont faux, le mode de calcul numérique du premier mémoire étant erroné (1901): “En effet, les équations de condition (p. 20) sont formées par sommation des équations directement obtenues (p. 9–20) sans qu’on ait divisé par le nombre des équations sommées, et néanmoins on a attribué à ces équations finales des poids égaux aux nombres des équations sommées.” Charlier ne répond qu’aux critiques du second article qui concernent l’utilisation d’une méthode qu’il a développée (Charlier 1898).
• 2 Schultz-Steinheil 1899b.
• 3 La critique d’Olsson repose sur cette affirmation (1901): “Le dernier Mémoire de M. Schultz-Steinheil […] est fondé sur une formule, donnée par M. Charlier : $n\log x-\frac{1}{2}\log n<\log\frac{\sigma}{k_{1}}\sqrt{\Gamma_{0}\pi}$ laquelle, à cause d’une approximation inadmissible, n’a aucune application au développement de la fonction perturbatrice. Pour le démontrer, il me faut vous renvoyer au Mémoire de M. Charlier: ‘Untersuchung über die allgemeinen Jupiterstörungen des Planeten Thetis” […]. On y lit : “Da es nur von dem genäherten Werthe dieser Koeff, die Rede, so bemerken wir zuerst, dass $\Gamma_{2}$, welche Grösse von der Ordnung des Quadrates der Excentricität ist, in (86) vernachlässigt werden kann, u.s.w.’ En conséquence, M. Charlier suppose que les termes du développement de l’expression dans laquelle $\Gamma_{2}$ est négligé sont approximativement égaux aux termes du développement de l’expression radicale complète. Mais cette supposition est fausse, car l’égalité approximative est restreinte au terme constant et aux termes qui sont multipliés par $\cos\epsilon^{\prime}$ et $\sin\epsilon^{\prime}$.” Olsson continue en affirmant que pour les termes de degré supérieur, l’approximation proposée par Charlier n’est plus valable.
• 4 Par rapport à l’excentricité, $\Gamma_{1}$ est d’ordre 1 et $\Gamma_{2}$ d’ordre 2.
• 5 Nous corrigeons la coquille $\Delta^{5}$ par $\Delta^{s}$.
• 6 Nous ajoutons $d\varphi$.
• 7 La convergence de la série assure que $E_{n}$ et $D_{n}$ sont du même ordre; pour qu’ils soient équivalents, $\frac{E_{n}}{D_{n}}$ doit converger vers $1$.