3-10-5. Carl Vilhelm Ludwig Charlier to H. Poincaré

[Ca. juillet 1901]

Dans le numéro de juin de votre Journal vous avez donné hospitalité à une lettre de M. Olsson, dans laquelle il a fait quelques remarques concernant deux Mémoires, insérés dans les Meddelanden från Lunds astronomiska observatorium. Permettez-moi, cher Monsieur, de faire quelques observations sur les passages qui me regardent.11endnote: 1 La lettre d’Olsson (1901) critique deux articles de Schultz-Steinheil (1899a, 1899b) dont Callandreau avait rendu compte au Bulletin astronomique (1900, 127): “L’auteur a repris la discussion des mesures spectroscopiques de Dunér sur la rotation du Soleil, et il trouve que les mesures se concilient au moins aussi bien avec une rotation uniforme. Il aurait été désirable de reprendre la discussion, sous le même point de vue, des mesures de Crew, en 1887 ; mais cela n’a pas encore été possible à M. Schultz-Steinheil. Il s’agit là d’une question importante qui demande à être éclaircie.
Sur la division du cercle dans la théorie des perturbations de Hansen
Combien de valeurs particulières faut-il prendre, en répartissant également les valeurs de l’argument sur la circonférence, pour calculer avec la précision convenable les coefficients des développements en séries périodiques ? Telle est la question que l’auteur traite après M. Charlier. Application est faite aux deux planètes (4)(4) Alexandra et (17)(17) Thétis.”
Olsson affirme que les résultats obtenus dans les deux articles de Schultz-Steinheil sont faux, le mode de calcul numérique du premier mémoire étant erroné (1901): “En effet, les équations de condition (p. 20) sont formées par sommation des équations directement obtenues (p. 9–20) sans qu’on ait divisé par le nombre des équations sommées, et néanmoins on a attribué à ces équations finales des poids égaux aux nombres des équations sommées.” Charlier ne répond qu’aux critiques du second article qui concernent l’utilisation d’une méthode qu’il a développée (Charlier 1898).

Dans le Mémoire Ueber die Theilung des Kreises, etc., M. Schultz-Steinheil a donné des Tableaux très utiles, par lesquels on peut rapidement calculer d’avance le nombre des parties en lesquelles on doit diviser le cercle en employant la méthode célèbre de Hansen pour calculer les perturbations des petites planètes.22endnote: 2 Schultz-Steinheil 1899b. M. Schultz-Steinheil s’est appuyé sur une formule, donnée par moi-même en 1887, qui permet de calculer le nombre en question.

Or, dans sa lettre, M. Olsson dit qu’il a découvert que cette formule serait illusoire.

Voici le problème à résoudre :

Considérons la fonction

F=1(Γ0-2Γ1cosφ+Γ2cos2φ)s,F=\frac{1}{(\Gamma_{0}-2\Gamma_{1}\cos\varphi+\Gamma_{2}\cos 2\varphi)^{s}},

qui peut être développée dans une série trigonométrique de la forme

F=Dncosnφ.F=\sum{D_{n}\cos n\varphi}.

Il s’agit de trouver le nombre des termes qu’on doit faire entrer en considération dans ce développement pour obtenir une approximation, déterminée d’avance.

À cet effet, on doit calculer la valeur approchée des coefficients DnD_{n} pour des valeurs élevées de nn.

Dans le cas actuel, ce calcul peut être facilité à cause des valeurs des coefficients Γ\Gamma, en ce que, Γ0\Gamma_{0} étant d’ordre nul par rapport aux excentricités (qu’on suppose ici être petites), le coefficient Γ1\Gamma_{1} est du premier ordre, Γ2\Gamma_{2} du second par rapport aux excentricités.

Pour obtenir la valeur approchée du coefficient DnD_{n}, on doit calculer dans DnD_{n} le terme de l’ordre le plus bas par rapport aux excentricités. Sur la valeur de ce terme, les termes provenant du coefficient Γ2\Gamma_{2} n’ont aucune influence essentielle. C’est là ce que j’ai affirmé dans mon Mémoire sur le perturbations de la planète Thétis.33endnote: 3 La critique d’Olsson repose sur cette affirmation (1901): “Le dernier Mémoire de M. Schultz-Steinheil […] est fondé sur une formule, donnée par M. Charlier : nlogx-12logn<logσk1Γ0πn\log x-\frac{1}{2}\log n<\log\frac{\sigma}{k_{1}}\sqrt{\Gamma_{0}\pi} laquelle, à cause d’une approximation inadmissible, n’a aucune application au développement de la fonction perturbatrice.
Pour le démontrer, il me faut vous renvoyer au Mémoire de M. Charlier: ‘Untersuchung über die allgemeinen Jupiterstörungen des Planeten Thetis” […]. On y lit : “Da es nur von dem genäherten Werthe dieser Koeff, die Rede, so bemerken wir zuerst, dass Γ2\Gamma_{2}, welche Grösse von der Ordnung des Quadrates der Excentricität ist, in (86) vernachlässigt werden kann, u.s.w.’
En conséquence, M. Charlier suppose que les termes du développement de l’expression dans laquelle Γ2\Gamma_{2} est négligé sont approximativement égaux aux termes du développement de l’expression radicale complète. Mais cette supposition est fausse, car l’égalité approximative est restreinte au terme constant et aux termes qui sont multipliés par cosϵ\cos\epsilon^{\prime} et sinϵ\sin\epsilon^{\prime}.”
Olsson continue en affirmant que pour les termes de degré supérieur, l’approximation proposée par Charlier n’est plus valable.

Posons

G=1(Γ0-2Γ1cosφ)s=Encosnφ;G=\frac{1}{(\Gamma_{0}-2\Gamma_{1}\cos\varphi)^{s}}=\sum{E_{n}\cos n\varphi};

il s’agit de comparer les valeurs des coefficients EnE_{n} et DnD_{n}.

D’après le théorème de Fourier, on a

En\displaystyle E_{n} =2π0πcosnφdφ(Γ0-2Γ1cosφ)s,\displaystyle=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}\frac{\cos n\varphi d\varphi}{(\Gamma% _{0}-2\Gamma_{1}\cos\varphi)^{s}},
Dn\displaystyle D_{n} =2π0πcosnφdφ(Γ0-2Γ1cosφ+Γ2cos2φ)s.\displaystyle=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}\frac{\cos n\varphi d\varphi}{(\Gamma% _{0}-2\Gamma_{1}\cos\varphi+\Gamma_{2}\cos 2\varphi)^{s}}.

Développons DnD_{n} d’après les puissances croissantes de Γ2\Gamma_{2}, ce qui est toujours permis selon les suppositions faites sur les coefficients.

On aura alors

Dn=\displaystyle D_{n}= 2π0πcosnφdφ(Γ0-2Γ1cosφ)s\displaystyle\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}\frac{\cos n\varphi d\varphi}{(\Gamma_% {0}-2\Gamma_{1}\cos\varphi)^{s}} (1)
×[1-s1!Γ2cos2φΔ+s(s+1)2!(Γ2cos2φ)2Δ-],\displaystyle\times\left[1-\frac{s}{1!}\frac{\Gamma_{2}\cos 2\varphi}{\Delta}+% \frac{s(s+1)}{2!}\frac{(\Gamma_{2}\cos 2\varphi)^{2}}{\Delta}-\cdots\right],

Δ=Γ0-2Γ1cosφ.\Delta=\Gamma_{0}-2\Gamma_{1}\cos\varphi.

Les intégrales EnE_{n} et DnD_{n} étant toutes les deux de l’ordre nn, par rapport aux excentricités, on peut interrompre la série (1) au terme où Γ2\Gamma_{2} est élevé à une puissance plus grande que n2\frac{n}{2}.44endnote: 4 Par rapport à l’excentricité, Γ1\Gamma_{1} est d’ordre 1 et Γ2\Gamma_{2} d’ordre 2. Le nombre des termes dans (1) est donc tout au plus égal à n2\frac{n}{2}.

En substituant pour les puissances de cos2φ\cos 2\varphi l’expression

cosr2φ=12r-1[cos2rφ+r1!cos2(r-2)φ+r(r-1)2!cos2(r-4)φ+],\cos^{r}2\varphi=\frac{1}{2^{r-1}}\left[\cos 2r\varphi+\frac{r}{1!}\cos 2(r-2)% \varphi+\frac{r(r-1)}{2!}\cos 2(r-4)\varphi+\cdots\right],

et en gardant dans DnD_{n} seulement les termes de l’ordre le plus bas (c’est-à-dire les termes de l’ordre nn), on obtiendra55endnote: 5 Nous corrigeons la coquille Δ5\Delta^{5} par Δs\Delta^{s}.

Dn=2π0π𝑑φ[cosnφΔs-s1!γe22cos(n-2)φΔs+1+s(s+1)2!γ2e422cos(n-4)φΔs+2-],D_{n}=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}d\varphi\left[\frac{\cos n\varphi}{\Delta^{s}% }-\frac{s}{1!}\frac{\gamma e^{2}}{2}\frac{\cos(n-2)\varphi}{\Delta^{s+1}}+% \frac{s(s+1)}{2!}\frac{\gamma^{2}e^{4}}{2^{2}}\frac{\cos(n-4)\varphi}{\Delta^{% s+2}}-\cdots\right],

où nous avons posé

Γ2=γe2.\Gamma_{2}=\gamma e^{2}.

Tous les termes de cette expression sont de l’ordre nn par rapport aux excentricités.

D’après une formule bien connue, on a66endnote: 6 Nous ajoutons dφd\varphi.

2π0πcosiφdφ(1-2ecosφ)=r(r+1)(r+i-1)i!ei(1+αe2+βe4+),\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}\frac{\cos i\varphi d\varphi}{(1-2e\cos\varphi)}=% \frac{r(r+1)\cdots(r+i-1)}{i!}e^{i}(1+\alpha e^{2}+\beta e^{4}+\cdots),

α\alpha, β\beta étant des nombres indépendants de ee.

En ne gardant que les termes les plus bas, on obtiendra

Dn=En[1\displaystyle D_{n}=E_{n}\biggl{[}1 -11!γ2n(n-1)(n+s-1)(n+s-2)\displaystyle-\frac{1}{1!}\frac{\gamma}{2}\frac{n(n-1)}{(n+s-1)(n+s-2)}
+12!γ222n(n-1)(n-2)(n-3)(n+s-1)(n+s-2)(n+s-3)(n+s-4)-],\displaystyle+\frac{1}{2!}\frac{\gamma^{2}}{2^{2}}\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{(n+s% -1)(n+s-2)(n+s-3)(n+s-4)}-\cdots\biggr{]},

expression contenant tout au plus n2\frac{n}{2} termes.

Quant au nombre ss, il est égal à 12\frac{1}{2} ou à 32\frac{3}{2}.

Si γ<1\gamma<1, cette série converge donc très rapidement. Dans le cas de la nature, γ\gamma est d’ordinaire plus petit que 12\frac{1}{2}. Il serait donc bien fondé de remplacer le coefficient DnD_{n} par EnE_{n} dans le problème dont il est question, et ce serait couler le moucheron et avaler le chameau que de choisir ici une expression plus compliquée pour le coefficient DnD_{n}.77endnote: 7 La convergence de la série assure que EnE_{n} et DnD_{n} sont du même ordre; pour qu’ils soient équivalents, EnDn\frac{E_{n}}{D_{n}} doit converger vers 11.

Veuillez agréer, Monsieur, l’assurance de ma plus haute considération.

PrTL. Charlier 1901.

Time-stamp: " 8.06.2019 19:00"

Notes

  • 1 La lettre d’Olsson (1901) critique deux articles de Schultz-Steinheil (1899a, 1899b) dont Callandreau avait rendu compte au Bulletin astronomique (1900, 127): “L’auteur a repris la discussion des mesures spectroscopiques de Dunér sur la rotation du Soleil, et il trouve que les mesures se concilient au moins aussi bien avec une rotation uniforme. Il aurait été désirable de reprendre la discussion, sous le même point de vue, des mesures de Crew, en 1887 ; mais cela n’a pas encore été possible à M. Schultz-Steinheil. Il s’agit là d’une question importante qui demande à être éclaircie. Sur la division du cercle dans la théorie des perturbations de Hansen Combien de valeurs particulières faut-il prendre, en répartissant également les valeurs de l’argument sur la circonférence, pour calculer avec la précision convenable les coefficients des développements en séries périodiques ? Telle est la question que l’auteur traite après M. Charlier. Application est faite aux deux planètes (4)(4) Alexandra et (17)(17) Thétis.” Olsson affirme que les résultats obtenus dans les deux articles de Schultz-Steinheil sont faux, le mode de calcul numérique du premier mémoire étant erroné (1901): “En effet, les équations de condition (p. 20) sont formées par sommation des équations directement obtenues (p. 9–20) sans qu’on ait divisé par le nombre des équations sommées, et néanmoins on a attribué à ces équations finales des poids égaux aux nombres des équations sommées.” Charlier ne répond qu’aux critiques du second article qui concernent l’utilisation d’une méthode qu’il a développée (Charlier 1898).
  • 2 Schultz-Steinheil 1899b.
  • 3 La critique d’Olsson repose sur cette affirmation (1901): “Le dernier Mémoire de M. Schultz-Steinheil […] est fondé sur une formule, donnée par M. Charlier : nlogx-12logn<logσk1Γ0πn\log x-\frac{1}{2}\log n<\log\frac{\sigma}{k_{1}}\sqrt{\Gamma_{0}\pi} laquelle, à cause d’une approximation inadmissible, n’a aucune application au développement de la fonction perturbatrice. Pour le démontrer, il me faut vous renvoyer au Mémoire de M. Charlier: ‘Untersuchung über die allgemeinen Jupiterstörungen des Planeten Thetis” […]. On y lit : “Da es nur von dem genäherten Werthe dieser Koeff, die Rede, so bemerken wir zuerst, dass Γ2\Gamma_{2}, welche Grösse von der Ordnung des Quadrates der Excentricität ist, in (86) vernachlässigt werden kann, u.s.w.’ En conséquence, M. Charlier suppose que les termes du développement de l’expression dans laquelle Γ2\Gamma_{2} est négligé sont approximativement égaux aux termes du développement de l’expression radicale complète. Mais cette supposition est fausse, car l’égalité approximative est restreinte au terme constant et aux termes qui sont multipliés par cosϵ\cos\epsilon^{\prime} et sinϵ\sin\epsilon^{\prime}.” Olsson continue en affirmant que pour les termes de degré supérieur, l’approximation proposée par Charlier n’est plus valable.
  • 4 Par rapport à l’excentricité, Γ1\Gamma_{1} est d’ordre 1 et Γ2\Gamma_{2} d’ordre 2.
  • 5 Nous corrigeons la coquille Δ5\Delta^{5} par Δs\Delta^{s}.
  • 6 Nous ajoutons dφd\varphi.
  • 7 La convergence de la série assure que EnE_{n} et DnD_{n} sont du même ordre; pour qu’ils soient équivalents, EnDn\frac{E_{n}}{D_{n}} doit converger vers 11.

Références

  • O. Callandreau (1900) Revue des publications astronomiques. Bulletin astronomique 17, pp. 127–128. Link Cited by: endnote 1.
  • C. V. L. Charlier (1898) Untersuchung über die allgemeinen Jupiterstörungen des Planeten Thetis. Öfversigt af Kongliga Vetenskaps-akademiens förhandlingar 22, pp. 42. Link Cited by: endnote 1.
  • C. V. L. Charlier (1901) Lettre de M. Charlier à M. Poincaré. Bulletin astronomique 18 (10), pp. 369–371. Link Cited by: 3-10-5. Carl Vilhelm Ludwig Charlier to H. Poincaré.
  • K.-G. Olsson (1901) Correspondance. Bulletin astronomique 18 (6), pp. 247–248. Link Cited by: endnote 1, endnote 3.
  • C. A. Schultz-Steinheil (1899a) On the elements of the Sun’s rotation. Öfversigt af Kongliga Vetenskaps-akademiens förhandlingar, pp. 73–94. Link Cited by: endnote 1.
  • C. A. Schultz-Steinheil (1899b) Ueber die Teilung des Kreises in der Hansen’schen Störungsteorie. Öfversigt af Kongliga Vetenskaps-akademiens förhandlingar, pp. 273–298. Link Cited by: endnote 1, endnote 2.