3-12-1. Nicolae Coculescu à H. Poincaré

Bucarest, 29 Mai 1899

Professeur à la Faculté des Sciences de Bucarest — 8, str. Piatza Amzü

Mon cher Maître,

L’hypothèse de Newton, qui rend intégrable l’équation différentielle de la réfraction astronomique

$$d\vartheta=-\frac{\alpha}{1-\alpha}\frac{\sin z\,d\cdot\frac{\delta}{\delta_{0}}}{\sqrt{\cos^{2}z-2\alpha\left(1-\frac{\delta}{\delta_{0}}\right)+2s\,\sin^{2}z}},$$

[$\alpha=$	0,000294211,
$z=$	distance zénithale apparente,
$\delta=$	densité en un point quelconque de l’atmosphère,
$\delta_{0}=$	" à la surface de la Terre,

$s$ une très petite quantité variant entre 0 et 0,01167, liée à la hauteur $r$, du point considéré dans l’atmosphère par la relation : $\frac{a}{r}=1-s$ ($a$ rayon terrestre)], l’hypothèse de Newton, disons-nous, suppose la température constante tout le long de l’atmosphère.

On obtient alors pour la loi de diminution de la densité $\delta$ avec la hauteur, l’expression :

$$\begin{array}[]{cc}\frac{\delta}{\delta_{0}}=e^{-\beta s}&(\beta=800\,\text{environ})\end{array}$$ (1)

qui montre que la densité décroît en progression géométrique.

L’hypothèse de Bouguer :

$$1-s=\left(\frac{1+q\delta}{1+q\delta_{0}}\right)^{m}$$

[$m=\frac{1}{273}$, $q$ un coefficient de proportionnalité, $q\delta_{0}=0,000588768$, $\delta_{0}$ pris pour unité de densité] conduit à l’expression suivante, de cette même loi de diminution :

$$\frac{\delta}{\delta_{0}}=1-\frac{\beta}{2}s,$$ (2)

donc la densité décroît en progression arithmétique. On sait que, la réfraction horizontale calculée dans l’hypothèse de Newton est plus grande, elle est au contraire plus petite dans celle de Bouguer, que la réfraction horizontale observée. La seconde hypothèse est toujours plus satisfaisante.

J’arrive à l’hypothèse de Laplace.

L’illustre géomètre s’exprime ainsi :

«  Une hypothèse qui participerait de l’une et de l’autre de ces lois semble devoir représenter à la fois les réfractions et la diminution observées dans la température des couches atmosphériques.   »

Il suppose alors la double hypothèse suivante

$$\begin{array}[]{cc}\displaystyle s-\alpha\left(1-\frac{\delta}{\delta_{0}}\right)=u&\qquad\displaystyle\frac{\delta}{\delta_{0}}=\left(1+\frac{f}{\ell^{\prime}}u\right)c^{-\frac{u}{\ell^{\prime}}}\end{array}$$ (3)

($f$, $\ell^{\prime}$ déterminées numériquement par la condition que cette loi exprime à la fois la réfraction horizontale et la hauteur du baromètre). Il s’exprime ainsi à propos de la densité $\delta$ : «   Cette valeur de $\delta$ participe à la fois des deux progressions arithmétique et géométrique   » (Méc. Céleste t. IV édition de 1805). Presque tous les traités d’astronomie (voir Brunow, Dubois, etc.) on[t] reproduit ce passage de Laplace sans montrer :

1° Comment peut-on arriver à la substitution (3) posée par Laplace ?

2° Pourquoi $\delta$ participe en effet (comme s’exprime Laplace) des deux hypothèses arithmétique et géométrique ?

et 3° Est-il légitime, comme Laplace procède, de substituer à $\delta$, dans le dénominateur de l’équation différentielle de la réfraction, sa valeur déduite de la 1^re de (3), tandis que la différentielle $d\cdot\frac{\delta}{\delta_{0}}$ la calcule avec la seconde relation (3) ?

C’est ainsi qu’il obtient :

$$d\vartheta=\frac{\alpha}{1-\alpha}\frac{\left(1-f+\frac{fu}{\ell^{\prime}}\right)c^{-\frac{u}{\ell^{\prime}}}}{\sqrt{\cos^{2}z+2u}}\sin z\frac{du}{\ell^{\prime}}.$$

Je vous serais bien reconnaissant, Mon cher Maître, si vous vouliez bien me dire un mot là-dessus.

Votre élève bien dévoué,

N. Coculesco

ALS 1p. Collection particulière, Paris 75017.

Time-stamp: "30.07.2023 13:47"

Notes

• 1 Laplace (1805); Secrétaires perpétuels (1880, 263).
• 2 Brünnow (1869), Dubois (1877).
• 3 Secrétaires perpétuels de l’Académie des sciences (1880, 264). Coculescu writes $z$ instead of Laplace’s $\Theta$.