2-17-3. H. Poincaré to Victor Crémieu

[Ca. 08–09.1901]

Question de secteur chargé tournant en face d’une nappe fixe dont les 2 extrémités sont reliés à un galvanomètre.11endnote: 1 L’absence de forme d’adresse, et les ratures du manuscrit témoignent d’une certaine rapidité de rédaction.

\ell, longueur totale du circuit
xx, longueur AMBAMB.
i=φ(x,t)i=\varphi(x,t), intensité au point BB.
i0=φ(0,t)i_{0}=\varphi(0,t), intensité au point AA.
QQ, charge de la section AMBAMB.
ϱdx\varrho dx, résistance du segment dxdx.
VV, potentiel; RR résistance totale du circuit.

On a :

iϱdx=dV (loi de Ohm)i\varrho dx=dV\text{ (loi de Ohm)}

ou en étendant l’intégrale au circuit tout entier

iϱ𝑑x\displaystyle\int i\varrho dx =0.\displaystyle=0. (1)
On a
i-i0\displaystyle i-i_{0} =dQdt,\displaystyle=\frac{dQ}{dt}, (2)
d’où
0=iρ𝑑x\displaystyle 0=\int i\rho dx =dQdtϱ𝑑x+i0ρ𝑑x\displaystyle=\int\frac{dQ}{dt}\varrho dx+i_{0}\int\rho dx (3)
d’où :
i0\displaystyle i_{0} =-1RdQdtρ𝑑x.\displaystyle=-\frac{1}{R}\int\frac{dQ}{dt}\rho dx.

Or QQ est une fonc. périodq. du temps. Donc la valeur moyenne de dQ/dtdQ/dt est nulle. Donc il en est de même de celle de dQdtϱ𝑑x\int{\frac{dQ}{dt}\varrho dx} donc de celle de i0i_{0}, donc de celle de ii C.Q.F.D.

J’arrive au cas symétrique que vous supposiez la dernière fois. Le galvanomètre est en GG, la nappe en ABAB.

AA^{\prime} et BB^{\prime} sont diamétralement opposés à AA et à BB.

Au moment où le secteur fixe vient en AA nous avons charge, au moment où il vient en BB nous avons décharge. Les courants de charge compensent-ils ceux de décharge.

Le sens des courants de charge est indiqué par les flèches intérieures, le sens des courants de décharge par les flèches extérieures. Vous voyez qu’en GG les deux courants sont de même sens.

Ces deux courants sont bien égaux mais pas de sens contraire.

Coëff. d’induc.

Je crois que pour le calcul de MM, vous pouvez vous contenter des formules approchées suivantes :

Je représente ici en AA et en BB la section de l’un des circuits par le plan de symétrie en CC et en DD celle de l’autre circuit. J’appelle ϱ\varrho la distance CACA. Le coëff. MM sera :

Klogϱ+C=MK\log\varrho+C=M

CC et KK étant des constantes qui dépendent des arcs des deux cercles ABAB et CDCD qui entrent en jeu et des rayons du cercle ABAB.

1°Si les deux cercles sont complets, on a : pour le coëff. d’induction de deux cercles très rapprochés, rayon des deux cercles aa, distance des deux circuits =ϱ=\varrho; on a dis-je :

M=4ralog8aρ-8ra.M=4ra\log\frac{8a}{\rho}-8ra.

2°Si l’un des cercles est complet et l’autre a un angle φ\varphi, on a :

M=2φalog8aρ-4φa.M=2\varphi a\log\frac{8a}{\rho}-4\varphi a.

3°Pour deux cercles incomplets, les formules deviennent assez compliquées et je crois que vous pouvez vous contenter de la précédente. La différence ne serait pas grande. Si nous supposons alors une nappe ; et que nous nous contentions de cette expression simplifiée nous trouvons encore quelque chose d’assez compliqué. Soit x0x_{0} le rayon extérieur de la nappe, yy celui de la spire induite, x1x_{1} le rayon intérieur :

x0>y>x1.x_{0}>y>x_{1}.

On trouve : non, je ne transcris pas cette formule qui est trop compliquée;22endnote: 2 Variante : “On trouve : M3(x03-x13)=\frac{M}{3}(x_{0}^{3}-x_{1}^{3})=; non, je ne transcris pas cette formule qui est trop compliquée ; il suffira de se rappeler que la seule fraction. il m’en vient … ”. La formule est barrée. il m’en vient une autre à l’esprit qui est plus simple, et dont je vous parlerai longuement une autre fois après y avoir un peu réfléchi. Mais elle me fait voir facilement une limite supérieure de MM et je suis frappé de voir combien cette limite est petite; elle est de l’ordre de 10-810^{-8} Henry multiplié par le nombre des spires.

N’y aurait-il pas lieu de demander quelques détails à Pender ?33endnote: 3 Poincaré écrira lui-même à Pender en 1902 (§ 2-45-1).

Tout à vous,

Poincaré

ALS 4p. Archives de l’Académie des sciences de Paris.

Time-stamp: " 3.05.2019 01:30"

Notes

  • 1 L’absence de forme d’adresse, et les ratures du manuscrit témoignent d’une certaine rapidité de rédaction.
  • 2 Variante : “On trouve : M3(x03-x13)=\frac{M}{3}(x_{0}^{3}-x_{1}^{3})=; non, je ne transcris pas cette formule qui est trop compliquée ; il suffira de se rappeler que la seule fraction. il m’en vient … ”. La formule est barrée.
  • 3 Poincaré écrira lui-même à Pender en 1902 (§ 2-45-1).