2-17-19. H. Poincaré to Victor Crémieu

[Ca. 03–04.1904]

Cher Monsieur,

J’ai commencé l’étude de votre balance quadrifilaire, et voici les réflexions qu’elle m’inspire et qui me paraissent pouvoir servir de base à la théorie que vous désirez.11endnote: 1 Poincaré communique son étude (Poincaré 1904) de la balance à l’Académie des sciences le 11 avril, en même temps qu’une note descriptive de Crémieu (1904a). A ce propos, voir aussi Crémieu (1904b, 1905).

Si vous le voulez bien, nous examinerons d’abord un cas un peu différent de celui que vous avez en vue, mais qui nous y mènera facilement. Je suppose que le fléau, au lieu d’osciller sur un couteau porté par le flotteur, ne fait qu’un avec le flotteur qui s’incline avec lui. Je viendrai plus tard au cas du couteau et à celui où le fléau oscille non sur un couteau, mais sur le sommet d’un cône porté par le flotteur.

Il faut d’abord que j’introduise deux notions fondamentales.

1° La première est celle des droites DD et Δ\Delta. J’appelle ainsi les deux droites qui rencontrent les 4 fils. Les 4 fils sont à peu près verticaux mais ils ne le sont pas tout à fait, puisqu’on leur a donné une torsion préalable. Dans ces conditions, il y a 2 droites et 2 seulement qui rencontrent les prolongements des 4 fils. Tout mouvement infiniment petit du fléau peut se ramener à une rotation autour de DD accompagnée d’une rotation autour de Δ\Delta. Si j’envisage un point quelconque du fléau, ce point peut décrire une infinité de trajectoires, toutes normales à une droite qui rencontre DD et Δ\Delta.

Dans la position d’équilibre initial, le système admet un plan de symétrie et les 4 fils sont symétriques 2 à 2. La droite DD est perpend. au plan de symétrie ; la droite Δ\Delta est dans le plan de symétrie.

2° La 2de notion est celle du centre de gravité effectif. Nous avons les poids suivants

1° le poids du fléau ; 2° la poussée du mercure ; 3° le poids du flotteur lui-même, y compris le lest qu’il faut lui mettre pour qu’il ne culbute pas (en quoi sera ce lest ?); 4° les poids des plateaux avec ce qu’ils portent. Toutes ces forces sont verticales ; elles ont des valeurs parfaitement déterminées, parce que je suppose que le flotteur sort de la surface du mercure par une tige très mince TT comme ceci de sorte qu’il peut s’enfoncer un peu sans que la poussée varie notablement.

Les 3 premières forces ont des points d’application parfaitement déterminés dans le corps solide fléau + flotteur ; il en est de même de la 4e il faut supposer les poids des plateaux appliqués à leur point de suspension sur le fléau.

Toutes ces forces auront donc une résultante unique verticale, appliquée en un point GG parfaitement déterminé dans le solide fléau et que j’appelle le centre de gravité effectif. Dans la position d’équilibre la verticale du centre de gravité GG doit rencontrer les droites DD et Δ\Delta.

3° Introduisons maintenant la notion de la surface SS ; c’est le lieu du point GG ; au point G0G_{0}, (position initiale d’équilibre du point GG) le plan tangent à la surface SS est horizontale. Cette surface SS est symétrique par rapport au plan de symétrie. Considérons deux sections normales de la surface, l’une sera le plan de symétrie, l’autre sera perpend.; la 1re aura pour centre de courbure C2C_{2}, la 2de aura pour centre de courbure C1C_{1}. Je représente en G0G_{0} la normale à la surface SS ; cette normale est verticale ; elle rencontre la droite Δ\Delta en AA ; elle rencontre en DD la droite DD qui se projette en un point unique parce q. je prends le plan de symét. pour plan du tableau, elle passe par les deux centres de courbure C1C_{1} et C2C_{2}.

Quelles sont alors les conditions d’équilibre quand on ajoute un poids additionnel dPdP ; ce poids dPdP est bien entendu supposé appliqué au point de suspension du plateau. Soit 1\mathcal{M}_{1} et 2\mathcal{M}_{2} les moments du poids dPdP par rapport aux droites Δ\Delta et DD.

Le système va tourner d’un angle dω1d\omega_{1} autour de Δ\Delta et d’un angle dω2d\omega_{2} autour de DD. Nous aurons pour l’équilibre :

1=pG0A¯2G0C1sin2φdω1\mathcal{M}_{1}=p\frac{\overline{G_{0}A}^{2}}{G_{0}C_{1}}\sin^{2}\varphi d% \omega_{1} pp représente la résultante des 4 forces verticales dont il a été question plus haut, c’est-à-dire la portion du poids supportée par le quadrifilaire.
2=pG0D¯2G0C2dω2.\mathcal{M}_{2}=p\frac{\overline{G_{0}D}^{2}}{G_{0}C_{2}}d\omega_{2}.

Comment ces résultats sont-ils modifiés :

1° Si le fléau au lieu d’être solidaire du flotteur pivote sur une pointe conique portée par le flotteur. Dans ce cas le fléau supporte une force verticale, égale à la poussée du mercure moins le poids du flotteur ; cette force est appliquée à la pointe conique. On calculera donc la position du centre de gravité effectif GG comme si la 2de et la 3e des 4 forces dont il a été question plus haut, étaient appliquées, non pas l’une au centre de poussée, l’autre au centre de gravité du flotteur, mais toutes deux à la pointe conique. Par là le point GG se trouve relevé ainsi que les centres C1C_{1} et C2C_{2}.

2° Si le fléau repose sur l’arête d’un couteau cela est plus compliqué. Soit BB le milieu de l’arête ; soit Π\Pi la poussée moins le poids du flotteur, HH le point d’application de la résultante Π\Pi de la poussée et du poids du flotteur. Soit PP le poids du fléau et des plateaux, de telle façon que P-ΠP-\Pi soit le poids supporté par les 4 fils. Soit KK le point d’application de PP.

Dans le 1er cas (fléau solidaire du flotteur) le point GG s’obtient en composant la force PP appliquée en KK et la force -Π-\Pi appliquée en HH ; dans le 2d cas (fléau pivotant sur une pointe) en composant PP appliqué en KK et -Π-\Pi appliqué en BB.

Qu’arrive-t-il dans le 3e cas ?

Le fléau s’incline ; la droite KBKB cesse d’être verticale ; et la droite BHBH dans le 1er cas (fléau solidaire) elle reste dans le prolongement de KBKB ; dans le 2d cas elle reste verticale, et dans le 3e cas, elle se déplace de telle façon qu’elle reste perpendiculaire à l’arête du couteau et que le plan de la droite BHBH et de l’arête du couteau soit vertical. Si le déplacement est tel que l’arête du couteau reste horizontale, la droite BHBH restera verticale (comme dans le 2d cas). Si le déplacement est tel que l’arête du couteau et KBKB restent dans un même plan vertical la droite BHBH restera dans le prolongement de KBKB (comme dans le 1er cas).

Considérons une rotation autour de la droite DD ; le plan de symétrie restera un plan de symétrie. L’arête du couteau et la droite KBKB resteront dans ce plan de symétrie, qui restera vertical. Donc la droite BHBH restera dans le prol. de KBKB ; il faut donc dans l’application de la formule :

M2=pG0D¯2G0C2dω2M_{2}=p\frac{\overline{G_{0}D}^{2}}{G_{0}C_{2}}d\omega_{2}

calculer les positions de G0G_{0} et de C2C_{2} comme dans le 1er cas, c’est-à-dire en appliquant la poussée -Pi-Pi en HH.

Considérons au contraire une rotation autour de la droite Δ\Delta ; l’arête restera horizontale sensiblement. Donc la droite BHBH restera verticale ; il faut donc dans l’application de la formule :

M1=pG0A¯2G0C1sin2φdω1M_{1}=p\frac{\overline{G_{0}A}^{2}}{G_{0}C_{1}}\sin^{2}\varphi d\omega_{1}

calculer les positions de G0G_{0} et de C1C_{1} comme dans le 2d cas, c’est-à-dire en appliquant la poussée -Π-\Pi en BB.

Ainsi nos formules restent applicables au 3e cas, mais à la condition de définir autrement le centre de gravité selon qu’on applique la formule de dω1d\omega_{1} ou celle de dω2d\omega_{2}.

La formule qui donne dω2d\omega_{2} (rotation autour de DD) ne vous intéresse pas au point de vue de la sensibilité ; mais vous devez vous en préoccuper au point de vue de la stabilité. Il faut que le point G0G_{0} (défini comme dans le 1er cas, -Π-\Pi appliqué en HH) soit au dessous de C2C_{2}. Vous êtes vous suffisamment préoccupé de cette stabilité ; à ce point de vue la disposition du 2d cas (pivot conique) serait préférable.

La formule qui donne dω1d\omega_{1} (rotation autour de Δ\Delta) est celle qui donne la sensibilité.22endnote: 2 Variante : “donne la stabilité”. Évaluons d’abord M1M_{1}. Soit \ell la longueur du fléau ; ce sera notre bras de levier (si Δ\Delta passe très près de l’origine, ce qui arrivera d’ordinaire) ce sera en tout cas un minimum de notre bras de levier. Seulement la composante efficace ne sera pas dpdp, mais seulement dpsinφdp\sin\varphi ;

donc M1=dpsinφ\displaystyle M_{1}=\ell dp\sin\varphi
d’où : dp=pG0A¯2G0C1sinφdω1.\displaystyle\ell dp=p\frac{\overline{G_{0}A}^{2}}{G_{0}C_{1}}\sin\varphi d% \omega_{1}.

C’est surtout sur la petitesse de sinφ\sin\varphi que vous comptez pour avoir une extrême sensibilité.

Le problème est ainsi ramené à la construction de la droite Δ\Delta et du centre de courbure C1C_{1}. Le 1er fil prolongé vient couper le plan de symétrie en un point MM; le fil symétrique passe également en MM.

Le 2d fil prolongé vient couper le plan de symétrie en un point NN ; le fil symétrique passe également en NN.

C’est la droite MNMN qui est la droite Δ\Delta.

Vous voyez que vous pouvez disposer le quadrifilaire pour avoir une droite Δ\Delta à peu près quelconque ; il suffit de disposer convenablement des longueurs des côtés des deux quadrilatères formés par les 4 points d’attache supérieurs et par les 4 points d’attache inférieurs des 4 fils.

Au sujet du point G0G_{0} ; je remarque qu’on l’obtient en composant deux forces appliquées en KK et en BB. Les deux points KK et BB sont très voisins l’un de l’autre ; mais comme les deux forces sont presque égales et de signe contraire, il ne s’ensuit pas que G0G_{0} soit très voisin de BB. Mais dans la pratique on aura intérêt à l’en rapprocher ; seulement cela exige un réglage.

Construction du point C1C_{1}

Je considérerai maintenant une seule espèce de mouvement du fléau, c’est celui où la rotation se fait constamment autour de la droite Δ\Delta.

La droite Δ\Delta décrira dans l’espace une certaine surface réglée RR ; pour un observateur invariablement lié au fléau, elle paraîtrait décrire une surface réglée RR^{\prime} ; vous savez que le mouvement du fléau est le même que si la surface RR^{\prime} invariablement liée au fléau, roulait sur la surface RR. Dans la position initiale, la droite Δ\Delta est dans le plan de symétrie, et par symétrie le plan tg commun à RR et à RR^{\prime} doit être perpend. au plan de symétrie ; il est donc le même tout le long le la génératrice. D’où cette conséquence que les éléments des surfaces RR et RR^{\prime} que nous avons à considérer sont des éléments de surface développable.


inutile à lire en 1re lecture33endnote: 3 Le manuscrit comporte un cadre d’encre rouge autour du texte de ce point jusqu’au mot souligné : “inutile”.

 

Pour aller plus loin, commençons par définir la vitesse du point MM.

Dans sa position initiale la droite Δ\Delta rencontre en MM les deux 1ers fils symétriques. Soit Δ\Delta^{\prime} une position infiniment voisine de la droite Δ\Delta, cette droite Δ\Delta^{\prime} rencontrera en MM^{\prime} le prolong. de la nouvelle position du 1er fil, et en M′′M^{\prime\prime} celle du 2d fil.

Je représente en α\alpha et β\beta les points d’attache inférieurs des deux fils ; en α\alpha^{\prime} et β\beta^{\prime} les points d’attache supérieurs qui sont fixes.

Si je connaissais la vitesse du point α\alpha en grandeur et direction, je connaîtrais MMMM^{\prime} ; car MMMM^{\prime} doit être vu du point fixe α\alpha^{\prime} sous le même angle que le chemin parcouru par le point α\alpha dans le temps dtdt.

La vitesse de α\alpha est perp. au plan de α\alpha et de la droite Δ=MN\Delta=MN. Le plan de α\alpha^{\prime} et de cette vitesse passe donc par la droite ααM\alpha^{\prime}\alpha M et est perp. au plan de cette droite et de Δ\Delta. Or MMMM^{\prime} est dans ce plan, et en outre dans un plan passant par Δ\Delta et perp. au plan de symétrie (plan tg à RR). Cela détermine sa direction.

Considérons donc le trièdre formé par les deux fils et la droite Δ\Delta ; ce trièdre a un plan de symétrie qui est son plan bissecteur intérieur. Le plan tg à RR est le plan bissecteur extérieur du dièdre Δ\Delta. C’est l’intersection de ce plan bissecteur etc.

Je représente le trièdre par un triangle sphérique :

je mène par MM les droites Δ\Delta, MαM\alpha, MβM\beta, MMMM^{\prime} et MM′′MM^{\prime\prime} qui viennent percer la sphère de centre MM aux points Δ\Delta, α\alpha, β\beta, MM^{\prime} et M′′M^{\prime\prime}. Le triangle sphér. Δαβ\Delta\alpha\beta est isocèle, le grand cercle MΔM′′M^{\prime}\Delta M^{\prime\prime} est la bissectrice extérieure de l’angle Δ\Delta. Les angles MαΔM^{\prime}\alpha\Delta, M′′βΔM^{\prime\prime}\beta\Delta sont droits.

Quant à la grandeur de la vitesse du point MM pour aller de MM en MM^{\prime} elle

inutile

 

Pour construire le point C1C_{1}, cela revient à construire la composante verticale de l’accélér. du point G0G_{0}, laquelle est en raison inverse du rayon de courbure G0C1G_{0}C_{1}.

Les accélérations peuvent se calculer comme si le système était mobile autour d’un point fixe, parce que l’élément de la surface RR est un élément de surface développable et par conséquent un élément de cône. Le point fixe se trouve sur la droite Δ\Delta, mais je ne sais pas où.

L’accélération sera donc la résultante de deux autres : 1° de l’accél. centripète, due à la rotation autour de Δ\Delta, qui se calcule d’après la formule ordinaire de la force centrifuge. 2° de l’accél. due à l’accélér. angulaire et qui se calcule comme il suit. Soit une droite Θ\Theta qui représente en grandeur et direction l’accél. angulaire (et qui coupe Δ\Delta au point fixe). L’accél. (due à Θ\Theta) d’un point QQ quelconque sera représentée par le même vecteur que la vitesse qu’aurait ce même point QQ dans une rotation représentée par cette même droite Θ\Theta.

Cette droite Θ\Theta est dans le plan tg à RR, plan perp. au plan de sym. Je puis supposer qu’elle est elle-même perp. au plan de sym. Cela revient à supposer que la vitesse angulaire autour des droites Δ\Delta successives est constante.

J’appellerai JJ la 1re partie de l’acc. (centripète), JJ^{\prime} la 2de (due à Θ\Theta).

J’ai besoin d’envisager la composante de l’accél. du point d’attache inférieur de chaque fil, dans la direction du fil, et la composante verticale de l’accél. de G0G_{0}.

Soit α\alpha et α\alpha^{\prime} les deux points d’attache du fil, MNMN la droite Δ\Delta, αP\alpha P la perp. abaissée de α\alpha sur MNMN, vv la vitesse de α\alpha. On aura pour les comp. de l’acc. de α\alpha suivant le fil αα\alpha\alpha^{\prime} :

J+J=v2αα;\displaystyle J+J^{\prime}=\frac{v^{2}}{\alpha\alpha^{\prime}};
J=v2αpcosψ=v2αM\displaystyle J=\frac{v^{2}}{\alpha p}\cos\psi=\frac{v^{2}}{\alpha M}

Or le fil étant sensiblement vertical, αM\alpha M est très grand par rapport à αα\alpha\alpha^{\prime}, JJ très petit par rapport à J+JJ+J^{\prime} de sorte qu’on a sensiblement

J=v2αα.J^{\prime}=\frac{v^{2}}{\alpha\alpha^{\prime}}.

Pour le point G0G_{0} cherchons44endnote: 4 Variante : “Pour le point G0G_{0} on a J = 0;”. JJ (composante verticale) ; car le point G0G_{0} étant dans le plan de symétrie ; le plan G0ΔG_{0}\Delta est vertical et on a si ω\omega est la vitesse angulaire autour de Δ\Delta ; vitesse de G0=ωG0PG_{0}=\omega G_{0}P.

G0P\displaystyle G_{0}P =G0Asinφ;\displaystyle=G_{0}A\sin\varphi;
J\displaystyle J =ω2G0Psinφt;\displaystyle=\omega^{2}G_{0}P\frac{\sin\varphi}{t};
J+J\displaystyle J+J^{\prime} =ω2G0P2G0C1;\displaystyle=\frac{\omega^{2}G_{0}P^{2}}{G_{0}C_{1}};

si donc on avait J=0J^{\prime}=0 on aurait55endnote: 5 Variante: “J+J=ω2G0A2sin2φG0C1J+J^{\prime}=\frac{\omega^{2}G_{0}A^{2}\sin^{2}\varphi}{G_{0}C_{1}}.”

G0C1=G0Psinφ=G0A.G_{0}C_{1}=\frac{G_{0}P}{\sin\varphi}=G_{0}A.

Il faut maintenant calculer JJ^{\prime}. Je représente en αβγδ\alpha\beta\gamma\delta le trapèze formé par les quatre points d’attache des fils. Je suppose le point G0G_{0} dans le plan de ce trapèze et je place en EE le point d’intersection de ce plan avec Δ\Delta ; on a G0E=G0AtgφG_{0}E=G_{0}A\text{tg}\varphi.

Soit λ\lambda la longueur des fils αα\alpha\alpha^{\prime}. Les composantes verticales de JJ^{\prime} sont sensiblement pour les points α\alpha, β\beta et pour tous les points de la droite αβ\alpha\beta, en particulier pour le point aa

ω2αE2λ  λ=αα longueur du fil\frac{\omega^{2}\alpha E^{2}}{\lambda}\qquad\lambda=\alpha\alpha^{\prime}\text% { longueur du fil}

pour les points γ\gamma, δ\delta et pour tous les points de la droite γδ\gamma\delta, en particulier pour le point bb

ω2γE2λ\frac{\omega^{2}\gamma E^{2}}{\lambda}

Pour les autres points du plan on n’a qu’à interpoler linéairement, puisque la droite Θ\Theta est horizontale.

Supposons en particulier que le trapèze αβγδ\alpha\beta\gamma\delta diffère peu d’un rectangle et que le point EE soit très voisin du centre de ce rectangle, G0G_{0} très voisin de EE. Alors

αE=γE  J=ω2αE2λ\alpha E=\gamma E\qquad J^{\prime}=\frac{\omega^{2}\alpha E^{2}}{\lambda}

pour les points G0G_{0}, α\alpha, β\beta, γ\gamma, δ\delta.

J+J=ω2G0A2sin2φG0C1=ω2G0Psinφ+ω2αE2λJ+J^{\prime}=\frac{\omega^{2}G_{0}A^{2}\sin^{2}\varphi}{G_{0}C_{1}}=\omega^{2}% G_{0}P\sin\varphi+\omega^{2}\frac{\alpha E^{2}}{\lambda}
d’où : G0A2sin2φG0C1=G0Psinφ+αE2λ\displaystyle\frac{G_{0}A^{2}\sin^{2}\varphi}{G_{0}C_{1}}=G_{0}P\sin\varphi+% \frac{\alpha E^{2}}{\lambda}

et pour l’équation de stabilité : 1=pG0A2G0C1sin2φdω1\displaystyle\mathcal{M}_{1}=p\frac{G_{0}A^{2}}{G_{0}C_{1}}\sin^{2}\varphi d% \omega_{1}

elle devient :    dpsinφ=(G0Psinφ+αE2λ)pdω1\displaystyle\ell dp\sin\varphi=\left(G_{0}P\sin\varphi+\frac{\alpha E^{2}}{% \lambda}\right)pd\omega_{1}

Selon qu’on place G0G_{0} d’un côté ou de l’autre de la droite Δ\Delta, les deux termes

G0Psinφ  αE2λG_{0}P\sin\varphi\qquad\frac{\alpha E^{2}}{\lambda}

sont de même signe ou de signe contraire ; on peut régler de façon à rendre le coëff. de sensibilité

G0Psinφ+αE2λG_{0}P\sin\varphi+\frac{\alpha E^{2}}{\lambda}

très petit.

Quelques remarques sur le calcul de JJ^{\prime} :

1° Nous avons supposé G0G_{0} dans le plan αβγδ\alpha\beta\gamma\delta cela n’est pas nécessaire ; l’axe Θ\Theta étant horizontal la composante verticale de JJ^{\prime} sera la même pour tous les points d’une même verticale.

2° Nous avons fait le calcul comme si les fils étaient verticaux, cela n’est qu’à peu près vrai.

Je projette sur le plan de symétrie. Un des fils (et le fil symét.) se projette en DaDa l’autre en DbDb.

La composante de JJ^{\prime} suivant le fil est

ω2αE2αα;\frac{\omega^{2}\alpha E^{2}}{\alpha\alpha^{\prime}};

la composante suivant DaDa sera

ω2αE¯2ααcosθ,\frac{\omega^{2}\overline{\alpha E}^{2}}{\alpha\alpha^{\prime}\cos\theta},

θ\theta étant l’angle du fil αα\alpha\alpha^{\prime} avec sa projection DaDa, angle négligeable d’ailleurs. En tous les points de la droite DaDa, la composante de JJ^{\prime} suivant DaDa sera la même soit

ω2(αE)2ααcosθ\frac{\omega^{2}(\alpha E)^{2}}{\alpha\alpha^{\prime}\cos\theta}

Je projette sur le plan de sym. Un des fils (et le fil symét.) se projette en DaDa l’autre en DbDb.

La composante de JJ^{\prime} suivant le fil est

ω2αE2αα;\frac{\omega^{2}\alpha E^{2}}{\alpha\alpha^{\prime}};

la composante suivant DaDa sera

ω2αE¯2ααcosθ,\frac{\omega^{2}\overline{\alpha E}^{2}}{\alpha\alpha^{\prime}\cos\theta},

θ\theta étant l’angle du fil αα\alpha\alpha^{\prime} avec sa projection DaDa, angle négligeable d’ailleurs. En tous les points de la droite DaDa, la composante de JJ^{\prime} suivant DaDa sera la même soit

ω2(αE)2ααcosθ\frac{\omega^{2}(\alpha E)^{2}}{\alpha\alpha^{\prime}\cos\theta}

De même en tous les points de DbDb elle sera la même soit θ\theta^{\prime} angle du fil γγ\gamma\gamma^{\prime} avec sa projection DbDb.

ω2(γE)2γγcosθ.\frac{\omega^{2}(\gamma E)^{2}}{\gamma\gamma^{\prime}\cos\theta^{\prime}}.

Le point DD est l’intersection des deux projections DaDa et DbDb, c’est la trace de la droite DD que nous avons définie plus haut et qui est perpend. au plan de sym. Les points DD et G0G_{0} sont sur une même verticale et la projection verticale de JJ^{\prime} sur tous les points de cette verticale est la même, elle est donc la même pour G0G_{0} et pour DD.

Nous avons donc l’accélération JJ^{\prime} du point DD dont nous connaissons les projections sur DaDa et sur DbDb et dont nous devons chercher la projection verticale.

Cela est facile d’autant plus que les droites DbDb, DG0DG_{0} se coupent sous un angle très aigu. De plus on peut prendre66endnote: 6 Nous complétons la formule, qui est illisible après γγ\gamma\gamma^{\prime}.

ααcosθ=γγcosθ.\alpha\alpha^{\prime}\cos\theta=\gamma\gamma^{\prime}\cos\theta^{\prime}.

Si αE=γE\alpha E=\gamma E, les 3 projections peuvent être regardées comme égales ; et l’on a comme nous l’avons montré plus haut

J=ω2αE¯2λ.J^{\prime}=\frac{\omega^{2}\overline{\alpha E}^{2}}{\lambda}.

Nous retombons sur notre formule de tout à l’heure.

Ou bien ; Soit DK1=ω2αE2λ\displaystyle DK_{1}=\frac{\omega^{2}\alpha E^{2}}{\lambda}, DK3=ω2γE2λ\displaystyle DK_{3}=\frac{\omega^{2}\gamma E^{2}}{\lambda}, DK2=\displaystyle DK_{2}= compos. verticale cherchée de JJ^{\prime} ; les 4 points DK1K2K3DK_{1}K_{2}K_{3} sont sur un même cercle. Si αE=γE\alpha E=\gamma E, les longueurs DK1DK_{1}, DK2DK_{2}, DK3DK_{3} sont sensiblement égales.

Si αE\alpha E n’est pas égal à γE\gamma E c’est-à-dire si le point EE n’est pas près du centre du trapèze αβγδ\alpha\beta\gamma\delta, il n’en est plus ainsi.

Les arcs de cercle DK1DK_{1} sont très petits (par rapport au rayon du cercle). Ils peuvent être assimilés à leurs cordes. C’est-à-dire que les 3 composantes DK1DK_{1}, DK2DK_{2}, DK3DK_{3} sont e[ntre] elles comme les 3 angles K1DTK_{1}DT, K2DTK_{2}DT, K3DTK_{3}DT. Soit alors ε1\varepsilon_{1} et ε2\varepsilon_{2} de[s angles des droites]77endnote: 7 Les crochets enferment des rajouts de main inconnue. DaDa et de DbDb avec la verticale ; on aura :

DK1-DK2ε1=DK2-DK3ε2\frac{DK_{1}-DK_{2}}{\varepsilon_{1}}=\frac{DK_{2}-DK_{3}}{\varepsilon_{2}}

ou composante verticale de

J=ω2λ(αE¯2ε1+γE¯2ε2ε1+ε2)J^{\prime}=\frac{\omega^{2}}{\lambda}\left(\frac{\overline{\alpha E}^{2}% \varepsilon_{1}+\overline{\gamma E}^{2}\varepsilon_{2}}{\varepsilon_{1}+% \varepsilon_{2}}\right)

et pour la formule finale de sensibilité :

dpsinφ=(G0Psinφ+αE¯2ε1+γE¯2ε2λε1+λε2)pdω1.\ell dp\sin\varphi=\left(G_{0}P\sin\varphi+\frac{\overline{\alpha E}^{2}% \varepsilon_{1}+\overline{\gamma E}^{2}\varepsilon_{2}}{\lambda\varepsilon_{1}% +\lambda\varepsilon_{2}}\right)pd\omega_{1}.

Vous remarquerez combien la modification des points d’attache des 4 fils en faisant varier la position de droites DD et Δ\Delta influent sur la sensibilité.

\ell bas de levier du fléau.
dpdp poids à mesurer.
pp poids supporté par le quadrifilaire.
dω1d\omega_{1} angle de rotation de la balance de torsion.
G0PG_{0}P distance du centre de gravité effectif à la droite Δ\Delta.
ϕ\phi angle de la droite Δ\Delta avec la verticale.
αE\alpha E distance à la droite Δ\Delta du point d’attache inférieur de l’un des 2 fils de 1re paire. Par paire de fils, j’entends 2 fils sym. par rapport au plan de sym.
γE\gamma E même distance pour la 2de paire.
ε1\varepsilon_{1} angle du plan des 2 fils de 1re paire avec la verticale.
ε2\varepsilon_{2} même angle pour la 2de paire.
λ\lambda longueur des fils.

Tout à vous,

Poincaré

ALS 20p. Archives de l’Académie des sciences de Paris.

Time-stamp: "10.12.2020 12:53"

Notes

  • 1 Poincaré communique son étude (Poincaré 1904) de la balance à l’Académie des sciences le 11 avril, en même temps qu’une note descriptive de Crémieu (1904a). A ce propos, voir aussi Crémieu (1904b, 1905).
  • 2 Variante : “donne la stabilité”.
  • 3 Le manuscrit comporte un cadre d’encre rouge autour du texte de ce point jusqu’au mot souligné : “inutile”.
  • 4 Variante : “Pour le point G0G_{0} on a J = 0;”.
  • 5 Variante: “J+J=ω2G0A2sin2φG0C1J+J^{\prime}=\frac{\omega^{2}G_{0}A^{2}\sin^{2}\varphi}{G_{0}C_{1}}.”
  • 6 Nous complétons la formule, qui est illisible après γγ\gamma\gamma^{\prime}.
  • 7 Les crochets enferment des rajouts de main inconnue.

Références

  • V. Crémieu (1904a) Balance azimutale quadrifilaire. Comptes rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des sciences de Paris 138, pp. 893–895. Link Cited by: endnote 1.
  • V. Crémieu (1904b) Sensibilité de la balance azimutale. Comptes rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des sciences de Paris 138, pp. 1090–1093. Link Cited by: endnote 1.
  • V. Crémieu (1905) Recherches expérimentales sur la gravitation. Bulletin des séances de la Société française de physique, pp. 485–499. Cited by: endnote 1.
  • H. Poincaré (1904) Théorie de la balance azimutale quadrifilaire. Comptes rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des sciences de Paris 138, pp. 869–874. Link Cited by: endnote 1.