3-15-19. H. Poincaré to George Howard Darwin

[Entre fin Juillet et début Août 1901]11endnote: 1 Le MS porte un fragment de calcul d’une main inconnue: AUξ+ω22Jξ=0A\frac{\partial U}{\partial\xi}+\frac{\omega^{2}}{2}\frac{\partial J}{\partial% \xi}=0 / +(?)ωξ=(ω022=)=0+(?)\frac{\partial\omega}{\partial\xi}=\left(\frac{\omega_{0}^{2}}{2}=\ldots% \right)\ldots=0

Mon cher collègue,

J’entre en matière sans plus de préambule.

Je définirai une surface quelconque SS par rapport à un ellipsoïde de référence EE de la façon suivante.

Soit dωd\omega un élément de la surface de l’ellipsoïde EE; je mène les trois droites orthogonales des ellipsoïdes homofocaux jusqu’à la rencontre de la surface SS; je détache ainsi un petit volume dvdv; soit:

dv=l.N.dωdv=l.N.d\omega

je développe ensuite NN en série harmonique. De cette façon si dans le développement de NN il n’y a pas de terme d’ordre 0, le volume de SS est égal à celui de EE.

Soit E0E_{0} l’ellipsoïde initial, ellipsoïde de Jacobi qui fait la bifurcation avec la série des poires. Je pourrai toujours choisir un ellipsoïde de référence EE de même volume que E0E_{0} et de telle façon qu’en rapportant SS à EE, le développement de NN ne contienne pas d’harmoniques d’ordre 0, 1 ou 2.

Soient ξ\xi, ξ\xi^{\prime}, ξ′′\xi^{\prime\prime}, etc. les coëff. du développement de NN, ξ\xi étant en particulier le coëff. de la 3d zonal. Soient η\eta et ζ\zeta deux variables définissant la forme de EE et s’annulant quand EE se réduit à E0E_{0}. La forme de la surface SS sera alors définie par les variables η\eta, ζ\zeta, ξ\xi, ξ\xi^{\prime}, ξ′′\xi^{\prime\prime}, ….

Soit UU l’énergie de gravitation, JJ le moment d’inertie, ω\omega la vitesse angulaire, ω0\omega_{0} la valeur de ω\omega qui correspond à E0E_{0}; posons:

U+ω022J=W  ω2=ω02+2ε.U+\frac{\omega_{0}^{2}}{2}J=W\qquad\omega^{2}=\omega_{0}^{2}+2\varepsilon.

Les équations d’équilibre s’écriront:

dWdξ+εdJdξ=dWdη+εdJdη==0.\frac{dW}{d\xi}+\varepsilon\frac{dJ}{d\xi}=\frac{dW}{d\eta}+\varepsilon\frac{% dJ}{d\eta}=\ldots=0.

Il faut donc développer WW et JJ suivant les puissances de η\eta, ζ\zeta, ξ\xi, ξ\xi^{\prime}, …. J’appellerai W0W_{0} et J0J_{0} les termes constants du développement, que je pourrais d’ailleurs laisser de côté.

Dans WW pas de terme du 1er degré. Les termes du 2d degré se réduisent à des carrés:

aξ2,bη2,cζ2,aξ2,a\xi^{2},b\eta^{2},c\zeta^{2},a^{\prime}\xi^{\prime 2},\ldots

aa est nul (coëff. de stabilité nul).

Par symétrie il n’y a pas de terme en ξ3\xi^{3}; mais il y a un terme en ξ4\xi^{4} que j’écrirai a1ξ4a_{1}\xi^{4}, il y a aussi des termes en ξ2η\xi^{2}\eta, ξ2ζ\xi^{2}\zeta; je puis donc écrire:

W=W0+bη2+cζ2+aξ2+a1ξ4+hξ2η+kξ2ζ+R,W=W_{0}+b\eta^{2}+c\zeta^{2}+\sum a^{\prime}\xi^{\prime 2}+a_{1}\xi^{4}+h\xi^{% 2}\eta+k\xi^{2}\zeta+R,

RR étant un ensemble de termes qui comme nous le verrons ne joueront aucun rôle.

Passons à JJ. Les seuls termes du 1er degré sont βη\beta\eta et γζ\gamma\zeta; le terme en ξ2\xi^{2} est important aussi, il n’y a pas de terme en ξη\xi\eta, ξζ\xi\zeta; je puis donc écrire:

J=J0+βη+γζ+αξ2+P,J=J_{0}+\beta\eta+\gamma\zeta+\alpha\xi^{2}+P,

PP étant un ensemble de termes qui ne joueront aucun rôle.

Les équations deviennent alors:

4a1ξ3+2hξη+2kξζ+dRdξ+ε(2αξ+dPdξ)=04a_{1}\xi^{3}+2h\xi\eta+2k\xi\zeta+\frac{dR}{d\xi}+\varepsilon\left(2\alpha\xi% +\frac{dP}{d\xi}\right)=0

Comme dPdξ\frac{dP}{d\xi} est au moins du 2d ordre, dRdξ\frac{dR}{d\xi} du 3e ordre, cette éq. nous apprend que ε\varepsilon est du 2d ordre. Il en résulte que η\eta est du même ordre que εdJdη\varepsilon\frac{dJ}{d\eta}, c’est-à-dire du 2d ordre, ξ\xi^{\prime} du 2d ordre etc.

PP contenant en facteur soit ξ3\xi^{3}, soit ξ2η\xi^{2}\eta, soit ξη2\xi\eta^{2}, soit ξ2\xi^{\prime 2}, soit ξη\xi^{\prime}\eta, soit ξξ\xi\xi^{\prime}, est du 3e ordre et dPdξ\frac{dP}{d\xi} du 2d ordre.

RR contient ξ2ξ\xi^{2}\xi^{\prime}, ξξ2\xi\xi^{\prime 2}, ξ3\xi^{\prime 3}, ηξ2\eta\xi^{\prime 2}, η2ξ\eta^{2}\xi^{\prime}, etc. dRdξ\frac{dR}{d\xi} est donc du 4e ordre, et l’éq. qui donne ε\varepsilon peut se réduire à:

αε+2a1ξ2+hη+kζ=0\alpha\varepsilon+2a_{1}\xi^{2}+h\eta+k\zeta=0 (1)

L’éq.

dWdη+εdJdη=0\frac{dW}{d\eta}+\varepsilon\frac{dJ}{d\eta}=0

donne de même:

2bη+hξ2+dRdη+ε(β+dPdη)=02b\eta+h\xi^{2}+\frac{dR}{d\eta}+\varepsilon\left(\beta+\frac{dP}{d\eta}\right% )=0

qui se réduit à:

2bη+hξ2+βε=02b\eta+h\xi^{2}+\beta\varepsilon=0 (2)

De même

2cζ+kξ2+γε=02c\zeta+k\xi^{2}+\gamma\varepsilon=0 (3)

Non je me trompe; je puis négliger dans dRdξ\frac{dR}{d\xi} les termes du 4e ordre (en comptant ξ\xi du 1er ordre, ξ\xi^{\prime}, η\eta, ζ\zeta du 2d ordre) et par conséquent dans RR les termes du 5e ordre. Mais nous avons encore dans RR des termes en ξ2ξ\xi^{2}\xi^{\prime} qui sont du 4e ordre et dont il faut tenir compte.

J’écrirai donc:

R=hξ2ξ+RR=\sum h^{\prime}\xi^{2}\xi^{\prime}+R^{\prime}

RR^{\prime} étant du 5e ordre.

Dans dPdξ\frac{dP}{d\xi} je puis négliger les termes du 2d ordre, par conséquent dans PP ceux du 3e. Or PP est du 3e ordre.

L’éq. (1) ainsi corrigée devient:

αε+2a1ξ2+hη+kζ+hξ=0\alpha\varepsilon+2a_{1}\xi^{2}+h\eta+k\zeta+\sum h^{\prime}\xi^{\prime}=0 (1bis)

Aux éq. (2) et (3) rien à changer car dRdη\frac{dR^{\prime}}{d\eta} est du 3e ordre, dRdη=dRdη\frac{dR}{d\eta}=\frac{dR^{\prime}}{d\eta}.

Mais il faut ajouter l’éq.

dWdξ+εdJdξ=0\frac{dW}{d\xi^{\prime}}+\varepsilon\frac{dJ}{d\xi^{\prime}}=0

qui donne

2aξ+hξ2=02a^{\prime}\xi^{\prime}+h^{\prime}\xi^{2}=0 (4)

L’éq. (1bis) devient alors:

αε+2a1ξ2+hη+kζ-ξ2h22a=0\alpha\varepsilon+2a_{1}\xi^{2}+h\eta+k\zeta-\xi^{2}\sum\frac{{h^{\prime}}^{2}% }{2a^{\prime}}=0 (1ter)

Nous tirerons ε\varepsilon, η\eta et ζ\zeta en fonction de ξ2\xi^{2} du système (1ter), (2), (3).

On trouve ensuite:

ωJ-ω0J0=ω0(βη+γζ+αξ2)+εω0J0\omega J-\omega_{0}J_{0}=\omega_{0}(\beta\eta+\gamma\zeta+\alpha\xi^{2})+\frac% {\varepsilon}{\omega_{0}}J_{0}

Le calcul de β\beta, γ\gamma, bb, cc, hh, kk ne présente aucune difficulté; celui de α\alpha n’en présente pas de très grande.

C’est surtout sur le calcul de a1a_{1} et de h2a\sum\frac{{h^{\prime}}^{2}}{a^{\prime}} que nous devons insister.

Calcul de a1a_{1}

Je décompose la masse attirante en trois parties. 1° ellipsoïde, 2° la simple couche, c’est-à-dire le bourrelet supposé ramené à la surface de l’ellipsoïde (en suivant les lignes trajectoires orthog. des surfaces homofocales μ=\mu=const, ν=\nu=const), 3° la couche supplém. dont l’attraction est égale à celle du bourrelet moins celle de la simple couche.

Alors a1a_{1} se décomposera de 4 termes:

  • terme dû à l’action mutuelle de l’ellips. et de la couche suppl.

  • [terme dû] à la force centrifuge.

  • [terme dû] à l’action mutuelle de la simple couche et de la couche suppl.

  • [terme dû] à l’action de la couche suppl. sur elle même,

Pour le 1er terme, soit VV le potentiel de l’ellipsoïde, V0V_{0} sa valeur (μ\mu et ν\nu étant le même) à la surface de l’ellipsoïde, dτd\tau l’élément de volume. Le 1er terme provient de

(V-V0)𝑑τ\int(V-V_{0})d\tau

Or dτd\tau c’est à un facteur constant près

dρdμdν(ρ2-μ2)(ρ2-ν2)(μ2-ν2)=Hdρdμdνd\rho d\mu d\nu(\rho^{2}-\mu^{2})(\rho^{2}-\nu^{2})(\mu^{2}-\nu^{2})=Hd\rho d% \mu d\nu

J’appelle ρ0\rho_{0} la valeur de ρ\rho qui correspond à notre ellips.

Je pose ρ=ρ0+σ\rho=\rho_{0}+\sigma et je développe suivant les puissances de σ\sigma:

(V-V0)H=K0+K1σ+K2σ2+(V-V_{0})H=K_{0}+K_{1}\sigma+K_{2}\sigma^{2}+\cdots

Le calcul des coëff. du dévelop. ne serait pas très difficile. La valeur de σ\sigma correspondant à l’épaisseur de la couche sera σ0\sigma_{0}. On serait ramené finalement à une quadrature simple 𝑑μ𝑑νAσ4\iint d\mu d\nu A\sigma^{4}; où σ\sigma serait proportionnelle à l’épaisseur de la poire (3d zônal harmonique) et où AA serait une fonction assez simple de μ\mu et de ν\nu dépendant des 3 1ers coëff. K0K_{0}, K1K_{1}, K2K_{2}, K3K_{3}. Le 2d terme se ramènerait sans difficulté à une quadrature analogue.

Le calcul du 3e serait tout à fait analogue à celui du 1er seulement VV représenterait le potentiel de la simple couche au lieu de celui de l’ellips.

Le 4e terme pourrait se calculer par le procédé que vous indiquez.

Nous pouvons réduire notre couche supplém. à une double-couche dont la densité est prop. à σ2\sigma^{2}. Si uu est le potentiel de cette double couche, ce que nous avons à calculer dépend de

dudnσ2𝑑ω\int\frac{du}{dn}\sigma^{2}d\omega

dωd\omega étant l’élément de surface et dudn\frac{du}{dn} l’attraction normale due à cette double couche.

Supposons que σ2\sigma^{2} ait été développé en série harmonique

σ2=AMN\sigma^{2}=\sum AMN

On aura à un facteur constant près 4r(ρ2-b2)(ρ2-c2)4r\sqrt{(\rho^{2}-b^{2})(\rho^{2}-c^{2})} ou quelque chose comme cela:

dudn=ARS2n+1lMN\frac{du}{dn}=\sum\frac{AR^{\prime}S^{\prime}}{2{n+1}}lMN

d’où

σ2dudn𝑑ω=A2RS2n+1\int\sigma^{2}\frac{du}{dn}d\omega=\sum A^{2}\frac{R^{\prime}S^{\prime}}{2{n+1}}

mais le procédé de la quadrature mécanique doit être plus rapide que celui de la série harmonique.

Calcul de h2a\sum\frac{{h^{\prime}}^{2}}{a^{\prime}}

Pour calculer les coëff. hh^{\prime}, voici ce qu’il faudrait faire; supposons deux bourrelets, le 1er d’épaisseur σ\sigma prop. à la 3d zonal, le 2d d’épaisseur

σ=ξlMN\sigma^{\prime}=\sum\xi^{\prime}lMN

Il faut en négligeant ξ2\xi^{2} calculer l’accroissement du potentiel quand on ajoute ce 2d bourrelet. C’est encore

V𝑑τ\int Vd\tau^{\prime}

dτd\tau^{\prime} élément de volume du 2d bourrelet, VV potentiel avant l’addition du 2d bourrelet. Mais VV se décompose en 3 parties: 1° ellipsoïde 2° simple couche 3° couche supplémentaire.

Soit:

V=V+V′′+V′′′V=V^{\prime}+V^{\prime\prime}+V^{\prime\prime\prime}

Les expressions de VV^{\prime} et de V′′V^{\prime\prime} sont bien connues; quant à V′′′V^{\prime\prime\prime} c’est le potentiel uu de notre double couche dont nous avons parlé plus haut.

Je développerai VV^{\prime} et V′′V^{\prime\prime} suivant les puissances de ρ-ρ0\rho-\rho_{0}; j’aurai alors

V𝑑τ=σ𝑑ω[d2Vdρ2σ2+dV′′dρσ2+u]\int Vd\tau^{\prime}=\int\sigma^{\prime}d\omega\left[\frac{d^{2}V^{\prime}}{d% \rho^{2}}\sigma^{2}+\frac{dV^{\prime\prime}}{d\rho}\sigma^{2}+u\right]

Il importe de préciser ici que je prends uu du côté extérieur à la double couche.

Posons:

d2Vdρ2σ2+dV′′dρσ2+u=ξ2φ\frac{d^{2}V^{\prime}}{d\rho^{2}}\sigma^{2}+\frac{dV^{\prime\prime}}{d\rho}% \sigma^{2}+u=\xi^{2}\varphi

et développons φ\varphi en série harmonique:

φ=BMN.\varphi=\sum BMN.

Soit lMi2Ni2𝑑ω=Ωi\int lM_{i}^{2}N_{i}^{2}d\omega=\Omega_{i}.

Alors:

V𝑑τ=ξ2ξΩB.\int Vd\tau^{\prime}=\xi^{2}\sum\xi^{\prime}\Omega B.

Donc: h=ΩBh^{\prime}=\Omega B.

Ce dont j’ai besoin c’est de h2a\sum\frac{{h^{\prime}}^{2}}{a^{\prime}}.

Or aa^{\prime} à un facteur constant près c’est: Ωi(R1S13-RiSi2n+1)\Omega_{i}\left(\frac{R_{1}S_{1}}{3}-\frac{R_{i}S_{i}}{2n+1}\right).

h2a=B2ΩR1S13-RiSi2n+1\sum\frac{{h^{\prime}}^{2}}{a^{\prime}}=\sum\frac{B^{2}\Omega}{\frac{R_{1}S_{1% }}{3}-\frac{R_{i}S_{i}}{2n+1}}

Posons:

ψ=lBMNR1S13-RiSi2n+1=lCMN\psi=l\sum\frac{BMN}{\frac{R_{1}S_{1}}{3}-\frac{R_{i}S_{i}}{2n+1}}=l\sum CMN

C=BiR1S13-RiSi2n+1C=\frac{B^{i}}{\frac{R_{1}S_{1}}{3}-\frac{R_{i}S_{i}}{2n+1}}

Le potentiel d’une simple couche de densité ψ\psi est à un facteur constant près:

ϖ=CMNRiSi2n+1\varpi=\sum CMN\frac{R_{i}S_{i}}{2n+1}

d’où l’éq. puisque

(R1S13)\displaystyle\left(\frac{R_{1}S_{1}}{3}\right) =gl\displaystyle=gl
gψ-ϖ\displaystyle g\psi-\varpi =φ\displaystyle=\varphi

ou quelque chose comme cela.

Je crois que cette éq. peut aider à déterminer ψ\psi par approxim. successives. Si nous avons ψ\psi alors

h2a=ψφ𝑑ω.\sum\frac{{h^{\prime}}^{2}}{a^{\prime}}=\int\psi\varphi d\omega.

Tout cela est bien vague et les calculs restent fort longs, mais je réfléchirai de temps en temps à la question et je vous ferai part du résultat de mes réflexions. J’ai peut être fait des fautes de calcul surtout dans les coëff. Vous les vérifierez aisément.

Pardon de vous avoir écrit une si longue lettre et croyez à mon sincère dévouement.

Poincaré

ALS 11p. CUL-DAR251.4915, Cambridge University Library.

Time-stamp: " 7.07.2019 14:38"