3-15-34. H. Poincaré to George Howard Darwin

[Avant le 12.10.1901]

Mon cher Collègue,

Soient PP et PP^{\prime} deux des fonctions 𝖯is\mathsf{P}_{i}^{s} ou 𝔓is\mathfrak{P}_{i}^{s} soient QQ et QQ^{\prime} les fonctions QQ correspondantes, KK et KK^{\prime} les coëff. de stabilité correspondants (j’emploie ces notations par ce que je ne sais pas faire les lettres gothiques). Soit RR le radical

(ν2-1)(ν2-1+β1-β).\sqrt{(\nu^{2}-1)\left(\nu^{2}-\frac{1+\beta}{1-\beta}\right)}.

Vous trouvez :11endnote: 1 Darwin 1902, 322.

K-K=ν0dν[P2(ν)P2(ν0)-P2(ν0)P2(ν)]P2(ν)P2(ν)RK-K^{\prime}=\int_{\nu_{0}}^{\infty}\frac{d\nu\left[P^{2}(\nu)P^{\prime 2}(\nu% _{0})-P^{2}(\nu_{0})P^{\prime 2}(\nu)\right]}{P^{2}(\nu)P^{\prime 2}(\nu)R}

et vous ajoutez que tous les éléments de l’intégrale doivent être de même signe ou en d’autres termes que le rapport P/PP/P^{\prime} doit toujours être croissant ou toujours décroissant. Pourquoi? Je ne vois aucune raison pour cela.

S’il en était toujours ainsi cela serait encore vrai pour P=𝖯11P=\mathsf{P}_{1}^{1}, mais alors notre intégrale se réduit à -K-K^{\prime}, de sorte que le coefficient de stabilité KK^{\prime} ne pourrait jamais s’annuler.

C’est en effet ce qui arrive pour quelques unes des fonctions PP^{\prime} à savoir pour toutes celles qui contiennent 𝖯11\mathsf{P}_{1}^{1} en facteur, parce que justement le rapport P𝖯11\frac{P^{\prime}}{\mathsf{P}_{1}^{1}} est alors toujours croissant, et justement les coëff. de stabilité correspondants ne peuvent s’annuler.

Votre erreur est donc manifeste. Maintenant il doit y avoir aussi une erreur dans les calculs numériques. Celle-là je ne puis la retrouver, n’ayant pas les détails du calcul. Mais j’ai commencé à vérifier si l’ellipsoïde dont vous donnez les axes est bien le Jacobien critique.

Seulement le calcul et surtout la vérification me prendront un certain temps parce que je [fin du fragment]

AL fragment, 2p. CUL-DAR251.4992, Cambridge University Library.

Time-stamp: " 4.05.2019 00:12"

Notes

Références

  • G. H. Darwin (1902) On the pear-shaped figure of equilibrium of a rotating mass of liquid. Philosophical Transactions of the Royal Society A 198, pp. 301–331. Cited by: endnote 1.