4-28-1. Georges Fouret à H. Poincaré

Paris, 4 Janvier 1882

16 rue Washington

Monsieur,

Je vous prie de vouloir bien m’excuser, si, à cause des occupations du nouvel an, j’ai un peu tardé à vous répondre.

Je dois vous avouer qu’il me paraît assez difficile de faire concorder mes résultats avec les vôtres, attendu que les points que vous appelez foyers ne se différencient en rien de ceux que je nomme points asymptotiques.

Quand à mon raisonnement pour établir qu’un point principal est en général un point asymptotique, il est peut-être un peu écourté; mais il me semble démontrer tout au moins qu’un pareil point n’est généralement pas un noeud dans le sens que vous donnez à ce mot.

Supposons en effet qu’il y ait une infinité de branches de courbes passant en $O$. Soit $Om$ une de ces branches. On a évidemment pour cette branche

$$\lim\frac{y}{x}=\lim\frac{dy}{dx}.$$

Mais en reprenant les notations de mon mémoire, on a

$$\frac{dy}{dx}-\frac{y}{x}=\frac{a+(b-a^{\prime})\frac{y}{x}-b^{\prime}\left(\frac{\phi}{x}\right)^{2}+x\phi\left(\frac{y}{x},x\right)}{a^{\prime}+b^{\prime}\frac{y}{x}+x\psi\left(\frac{y}{x},x\right)}$$

$\phi$ et $\psi$ désignant 2 polynômes en $x$ et $\frac{y}{x}$.

Or cette expression ne tend pas vers zéro, avec $x$, à moins que $\frac{y}{x}$ ne soit une des racines de l’éq^on

$$a+(b-a^{\prime})\frac{y}{x}-b^{\prime}\left(\frac{y}{x}\right)^{2}=0.$$

D’où résultent deux branches de courbes, réelles ou imaginaires, passant en $O$, à moins que la dernière éq^on ne soit vérifiée identiquement, ce qui exige

$$a=0,\qquad b=a^{\prime},\qquad b^{\prime}=0.$$

C’est moyennant ces conditions seulement qu’il y aura une infinité de branches se croisant en $O$.

Cette conclusion est d’ailleurs celle à laquelle est arrivée M^r Darboux, dans un mémoire sur les équations différentielles, page 125 du tome II (2^e Série) du Bulletin des Sciences Mathématiques (année 1878).

Un point principal, d’après cela, ne serait donc qu’exceptionnellement un point par lequel passerait effectivement une infinité de branches de courbes.

D’autre part, j’ai démontré il y a quelques années que les courbes définies par l’éq^on de Jacobi :

$$L\left(x\frac{dy}{dx}-y\right)-M\frac{dy}{dx}+N=0$$ (1)

($L$, $M$ et $N$ fonctions linéaires d’$x$ et d’$y$) sont des transformées homographiques d’un système de spirales logarithmiques. Les pôles principaux des courbes (1) sont par suite des points asymptotiques.

Or, dans le voisinage d’un pôle principal, une éq^on différentielle quelconque peut toujours être assimilée à l’é^on (1). Un pareil point principal est donc un point asymptotique.

Tout cela me paraît rigoureux : aussi j’attends impatiemment votre mémoire, dont vous voulez bien m’annoncer le prochain envoi, pour voir si réellement et de quelle manière mes résultats sont en opposition avec les vôtres.

Veuillez agréer, Monsieur, l’assurance de ma considération la plus distinguée.

G. Fouret

ALS 4p. Collection particulière, Paris 75017.

Time-stamp: " 2.11.2021 11:16"

Notes

• 1 Poincaré (1881).
• 2 Fouret (1879).
• 3 Darboux (1878). In his response, Poincaré apparently contested Darboux’s conclusion with a counterexample; see Fouret to Poincaré, 7 January 1882 (§ 4-29-2).
• 4 Fouret (1873).
• 5 The first part of Poincaré’s memoir was published in December, 1881, and the second in August, 1882 (Poincaré, 1881, 1882).