7-1-12. H. Poincaré. Sur un point de la théorie de la commutation

[Ca. Spring 1908]

Sur un point de la théorie de la commutation

par H. Poincaré

On admet généralement que la résistance au contact du balai est en raison inverse de la surface $s$ de contact de la lame avec le balai. L’équation différentielle qui définit l’intensité se présente alors sous la forme telle que celle-ci.

$$\frac{di}{dt}=A\frac{i}{s}+B,$$

$A$ étant un coefficient constant et $B$ un ensemble de termes qui si $s$ est très petit sont négligeables devant le premier. La surface $s$ est proportionnelle à $t$ si nous comptons le temps à partir du moment où cette surface s’annule. Nous pouvons donc écrire :

$$\frac{di}{dt}=\alpha\frac{i}{t}+B,$$

$\alpha$ étant un autre coefficient constant; on a donc sensiblement :

$$\begin{array}[]{ll}i=Ct^{\alpha};&\frac{di}{dt}=C\alpha t^{\alpha-1}.\end{array}$$

Si donc $\alpha$ est $<1$; $di/dt$ et par conséquent la densité du courant devient infinie.

Avant d’adopter définitivement cette conclusion, il convient d’examiner l’hypothèse qui nous a servi de point de départ.

Soit une série de circuits $i_{1}$, $i_{2}$, …, $i_{n}$ un circuit fixe $j$, $H$, $E_{1}$, $E_{2}$, …, $E_{n}$ les forces électromagnétiques; $S$, $R_{1}$, $R_{2}$, …, $R_{n}$ les résistances, $T$ l’énergie électrodynamique des circuits $i$ seuls;

$$T+L\frac{j^{2}}{2}+\sum M_{k}i_{k}j$$

l’énergie électrodynamique totale ; d’où :

$$L\frac{dj}{dt}+\sum M_{k}\frac{di_{k}}{dt}+\sum i_{k}\frac{dM_{k}}{dt} =H-Sj$$

$$\frac{d}{dt}\frac{dT}{di_{k}}+M_{k}\frac{dj}{dt}+j\frac{dM_{k}}{dt} =E_{k}-R_{k}i_{k}$$ (1)

$R_{k}$ et ${M}_{k}$ sont variables (outre bien entendu $j$ et les $i_{k}$) et de telle sorte qu’à la fin d’une période $j$, $i_{k}$, $R_{k}$, $M_{k}$ se soient changés en $j$, $i_{k+1}$, $R_{k+1}$, $M_{k+1}$.

Calcul dans le cas où deux circuits interviennent seuls.

$$T=N\frac{i_{1}^{2}+i_{2}^{2}}{2}+\mu i_{1}i_{2}.$$

d’où :

$$L\frac{dj}{dt}+\sum M_{k}\frac{di_{k}}{dt}+i_{k}\frac{dM_{k}}{dt} =H-Sj$$

$$N\frac{di_{1}}{dt}+\mu\frac{di_{2}}{dt}+M_{1}\frac{dj}{dt}+j\frac{dM_{1}}{dt} =E_{1}-R_{1}i_{1}$$ (2)

$$N\frac{di_{2}}{dt}+\mu\frac{di_{1}}{dt}+M_{2}\frac{dj}{dt}+j\frac{dM_{2}}{dt} =E_{2}-R_{2}i_{2}$$

Chaque période se divise en deux phases ; dans la 1${}^{\text{re}}$ phase $R_{2}$ et $S$ sont nuls, $R_{1}$ est infini ; dans la 2${}^{\text{de}}$ phase $S=0$; $R_{1}$ de $\infty$ devient brusquement nul, après un temps très court, $R_{2}$ qui était $0$ devient brusquement infini.

Dans la 1${}^{\text{re}}$ phase, on a :

$i_{1}=0$

$$Lj+M_{2}i_{2} =Ht+C_{0}$$

$$Ni_{2}+M_{2}j =Et+C_{2}\quad(E=E_{1}=E_{2})$$ (3)

Au début de la 2${}^{\text{de}}$ phase, on a $i_{1}=0$ ; au moment de l’ouverture, les intensités ne subissent que des variations inf. petites ; de même pendant la 2${}^{\text{de}}$ phase ; puis au moment de la 2${}^{\text{de}}$ commut[ation]; les 2${}^{\text{des}}$ membres des deux premières éq. (2) demeurent finis, celui de la 3${}^{\text{e}}$ devenant $\infty$; on a donc :

$$Lj+M_{1}i_{1}+M_{2}i_{2}=\text{const};\quad Ni_{1}+\mu i_{2}+M_{1}j=\text{const.}$$

Formons le tableau suivant :

Valeur de	$j$	$i_{1}$	$i_{2}$	$M_{1}$	$M_{2}$
au début de la 1${}^{\text{re}}$ phase	$j$	$0$	$i$	$?$	$M$
à la fin de la 1${}^{\text{re}}$ phase	$j^{\prime}$	$0$	$i^{\prime}$	$M$	$M^{\prime}$
a la fin de la 2${}^{\text{e}}$ phase	$j$	$i$	$0$	$M$	$M^{\prime}$

Soit $\tau$ la durée de la 1${}^{\text{re}}$ phase, celle de la 2${}^{\text{de}}$ étant nulle. Nous avons les 6 équations :

$$Lj+Mi ={C}_{0}; \qquad Lj^{\prime}+M^{\prime}i^{\prime} =H\tau+{C}_{0}$$

$$Ni+Mj ={C}_{2}; \qquad Ni^{\prime}+M^{\prime}j^{\prime} =E\tau+{C}_{2}$$

$$Lj^{\prime}+M^{\prime}i^{\prime} =Lj+Mi; \qquad\mu i^{\prime}+Mj^{\prime} =Ni+Mj$$

Ces équations se réduisent à :

$H=0$;$Lj^{\prime}+M^{\prime}i^{\prime}=Lj+Mi$ ; $\mu i^{\prime}=Ni+M(j-j^{\prime})$

$Ni^{\prime}+M^{\prime}j^{\prime}=E\tau+Ni+Mj$ (4)

(une inconnue de trop) Cette indétermination est artificielle ; elle tiens à ce que nous avons supposé les résistances nulles et non très petites ; et en particulier $S=0$. On a effectivement $S=H=0$ si l’excitation se fait par un aimant permanent, dans ce cas l’indétermination est réelle et il faut pour la lever, se donner la valeur de l’aimant permanent. Si l’excitation se fait par un courant, on n’aura plus $H=0$ mais $H=$ valeur moyenne de $Sj$ ; comme $H$ et $S$ sont connus, cela donne la valeur moyenne de $j$ ce qui lève l’indétermination.

Quelle est la perte d’énergie par étincelle ; on a au début de la seconde phase :

$\mathrm{2T}=j(Lj+M_{1}i_{1}+M_{2}i_{2})+i_{1}(Ni_{1}+{\mu}_{2}+M_{1}j)+i_{2}(Ni_{2}+\mu i_{1}+M_{2}j)$ce que je puis écrire ; encore en posant :

$Lj+M_{1}i_{1}+M_{2}i_{2}=u$

$Ni_{1}+\mu i_{2}+M_{1}j=v$

${N}_{1}=N-\frac{M_{1}^{2}}{L}$, ${N}_{2}=N-\frac{M_{2}^{2}}{L}$

$\mu^{\prime}=\mu-\frac{M_{1}M_{2}}{L}$

$T=\frac{{u}^{2}}{\mathrm{2L}}+{N}_{1}\frac{i_{1}^{2}}{2}+{N}_{2}\frac{i_{2}^{2}}{2}+\mu^{\prime}i_{1}i_{2}$

$v=\frac{u}{L}M_{1}+{N}_{1}i_{1}+\mu^{\prime}i_{2}$; $T=\frac{{u}^{2}}{\mathrm{2L}}+\frac{1}{{\mathrm{2N}}_{1}}{(v-\frac{{uM}_{1}}{L})}^{2}+K\frac{i^{2}}{2}$

où :

$K=N-\frac{M_{2}}{L}-\frac{\mu{{}^{\prime}}^{2}}{{N}_{1}}=\frac{L{N}^{2}-{NM}_{1}^{2}-{\mu}^{2}L-M_{2}^{2}N+2\mu M_{1}M_{2}}{LN-M_{1}^{2}}$

La perte est donc $\frac{Ki{{}^{\prime}}^{2}}{2}$ ; elle est nulle si le discriminant :

Nous [illisible], des éq. ci-dessus, (4)

$E\tau=(N-\mu)i^{\prime}+(M^{\prime}-M)j^{\prime}$

et si le discriminant est nul :

$$L(j^{\prime}-j)-Mi+M^{\prime}i^{\prime} =0$$ (1)

$$M(j^{\prime}-j)-Ni+\mu i^{\prime} =0$$ (2)

$$M^{\prime}(j^{\prime}-j)+Ni^{\prime}-\mu i =0$$ (5)

d’où:

$(M^{\prime}-M)(j^{\prime}-j)=(N-\mu)(i+i^{\prime})$

$(M^{\prime}+M)(j^{\prime}-j)=(N+\mu)(i^{\prime}-i)$

d’où :

$\frac{i^{\prime}-i}{i^{\prime}+i}=\frac{M^{\prime}+M}{M^{\prime}-M}\frac{N-\mu}{N+\mu}$

Schéma d’une connexion plus complexe.

[figure]

$i=\alpha+\beta=\alpha^{\prime}+\beta^{\prime}=a+c$

$\alpha=a-b$; $\beta=c+b$

$\alpha^{\prime}=a+b^{\prime}$ ; $\beta^{\prime}=c-b^{\prime}$

Soit les circuits $i\alpha^{\prime}ab\beta i$ ; $i\alpha^{\prime}b^{\prime}c\beta i$ ; $i\beta^{\prime}-b^{\prime}a\alpha i$ ; $i\beta^{\prime}c-b\alpha i$ ; $abc-b^{\prime}$que j’appellerai $i_{1},i_{2},i_{3},i_{4},i_{5}$ ; $-\alpha b\beta=i_{6}$ ; $\alpha^{\prime}b-\beta^{\prime}=i_{7}$

on aura :

$i=i_{1}+i_{2}+i_{3}+i_{4}$; $\alpha^{\prime}=i_{1}+i_{2}+i_{7}$ ; $\beta=i_{1}+i_{2}+i_{6}$

$a=i_{1}+i_{3}+i_{5}$; $c=i_{1}+i_{2}-i_{5}$ ; $\alpha=i_{3}+i_{4}-i_{6}$ ; $\beta^{\prime}=i_{3}+i_{4}-i_{7}$

$b=i_{1}-i_{4}+i_{5}+i_{6}$; $b^{\prime}=i_{2}-i_{3}-i_{5}+i_{7}$

Par symétrie on aura en [illisible]

$a=c$; $\alpha=\beta^{\prime}$ ; $\alpha^{\prime}=\beta$ ; $b=b^{\prime}$ ; de sorte qu’il suffit d’envisager deux circuits $i_{1}$et $i_{2}$ ; avec :

$i={\mathrm{2i}}_{1}+{\mathrm{2i}}_{2}$; $a=c=i_{1}+i_{2}$ ; $\alpha=\beta^{\prime}={\mathrm{2i}}_{1}$ ; $\alpha^{\prime}=\beta={\mathrm{2i}}_{2}$

$b=b^{\prime}=i_{1}-i_{2}$

On est ainsi amené au cas précédent.

Revenons aux équations (2) et [illisible] supposons plus que ${R}_{2}$passe brusquement de $0$à $\infty$, mais soit, en appelant $0$[illisible] du changement

${R}_{2}=\frac{A}{t}+fini$

Alors, les conditions dépendent de :

$L\frac{dj}{dt}+M_{1}\frac{{di}_{1}}{dt}+M_{2}\frac{{di}_{2}}{dt}=0$

$M_{1}\frac{dj}{dt}+N\frac{{di}_{1}}{dt}+\mu\frac{{di}_{2}}{dt}=0$

$M_{2}\frac{dj}{dt}+\mu\frac{{di}_{1}}{dt}+N\frac{{di}_{2}}{dt}=\frac{-Ai_{2}}{t}$

d’où : $j=\alpha{t}^{\lambda}$, $i_{1}=\beta{t}^{\lambda}$, $i_{2}=\gamma{t}^{\lambda}$avec :

$L\alpha+M_{1}\beta+M_{2}\gamma=M_{1}\alpha+N\beta+\mu\gamma=0$

$M_{2}\alpha+\mu\beta+N\gamma=\frac{-A\gamma}{\lambda}$

Si $\lambda<1$, étincelles, si $\lambda>1$, chercher des [illisible] en $t$ dans $i_{2}$. Si le discriminant était nul, on aurait $\lambda=\infty$ ou $\gamma=0$ ?

Si $\lambda>1$, on aura les valeurs de $\frac{{di}_{2}}{dt}$, etc, $i_{2}=0$, $i$et $i_{1}$au moment de [illisible] ; à l’aide de :

$L\frac{dj}{dt}+M_{1}\frac{{di}_{1}}{dt}+M_{2}\frac{{di}_{2}}{dt}+i_{1}\frac{{dM}_{1}}{dt}=H-Sj$

(7) $N\frac{{di}_{1}}{dt}+\mu\frac{{di}_{2}}{dt}+M_{1}\frac{dj}{dt}+j\frac{{dM}_{1}}{dt}={E}_{1}-{R}_{1}i_{1}$

$N\frac{{di}_{2}}{dt}+\mu\frac{{di}_{1}}{dt}+M_{2}\frac{dj}{dt}+j\frac{{dM}_{2}}{dt}={E}_{2}-A\frac{{di}_{2}}{dt}$

Pour [illisible] parf. il faudrait $\frac{{di}_{2}}{dt}=0$.

Reprenons les éq. (2) et soit $M_{1}$[illisible] de $M_{2}$, $N$de $\mu$, $j$et $i_{1}+i_{2}=i$sensiblement constants ${E}_{1}={E}_{2}$.

On aura : en première approx. (en négligeant $M_{1}-M_{2}$, $N-\mu$, $\frac{dj}{dt}$, $\frac{di}{dt}$)

$i\frac{{dM}_{1}}{dt}=H+Sj$

(8) $j\frac{{dM}_{1}}{dt}=E-{R}_{1}i_{1}=E-{R}_{2}i_{2}=E\rho$

où $\rho$est calculé de telle façon que (dans ces conditions $\rho$est constant)

$\rho(i_{1}+i_{2})={R}_{1}i_{1}={R}_{2}i_{2}$($\frac{{dM}_{1}}{dt}$est regardé comme constant)

Les valeurs de $i,j$tirées de (8) sont regardées comme des constantes ; soient $i+\delta i$ ; $j+\delta j$, etc les valeurs exactes, $i_{1}+\delta i_{\mathrm{1,}}i_{2}+\delta i_{2}$etc. On aura $\delta i=\delta i_{1}+\delta i_{2}$et en seconde approx.

$L\frac{d\delta j}{dt}+M_{1}\frac{d\delta i}{dt}+(M_{2}-M_{1})\frac{{di}_{2}}{dt}+\frac{{dM}_{1}}{dt}\delta i+i_{2}\frac{d}{dt}(M_{2}-M_{1})=-S\delta j$

$N\frac{d\delta i}{dt}+(\mu-N)\frac{{di}_{2}}{dt}+M_{1}\frac{d\delta j}{dt}+\delta j\frac{{dM}_{1}}{dt}=-{R}_{1}\delta i_{1}$
$N\frac{d\delta i}{dt}+(\mu-N)\frac{{di}_{1}}{dt}+M_{1}\frac{d\delta j}{dt}+\delta j\frac{{dM}_{1}}{dt}+j\frac{d}{dt}(M_{2}-M_{1})=-{R}_{2}\delta i_{2}$

Si nous regardons $\frac{{dM}_{1}}{dt}$comme constant, nous pouvons négliger $\frac{d}{dt}(M_{2}-M_{1})$.

Alors $\frac{1}{{R}_{1}}=\frac{i_{1}}{\rho i}$et $\frac{1}{{R}_{2}}=\frac{i_{2}}{\rho i}$varient prop. au temps et il reste :

$(\mu-N)\frac{{di}_{2}}{dt}+{R}_{1}\delta i_{1}=(\mu-N)\frac{{di}_{1}}{dt}+{R}_{1}\delta i_{2}$

$(\mu-N)\frac{{di}_{1}}{dt}$et $(\mu-N)\frac{{di}_{2}}{dt}$

sont des constantes égales et de signe contraire, et comme d’autre part $\delta i_{1}+\delta i_{2}=\delta i$ ; en posant $(\mu-N)\frac{{di}_{2}}{dt}=K$ il vient :

${R}_{1}\delta i_{2}-{R}_{2}\delta i_{2}=-\mathrm{2K}$

$\delta i_{1}+\delta i_{2}=\delta i$

$({R}_{1}+{R}_{2})\delta i_{1}={R}_{2}\delta i-\mathrm{2K}$

${R}_{1}\delta i_{1}+K=\frac{{R}_{1}{R}_{2}}{{R}_{1}+{R}_{2}}\delta i-\frac{{\mathrm{2KR}}_{1}}{{R}_{1}+{R}_{2}}+K=\rho\delta i+K\frac{{R}_{2}-{R}_{1}}{{R}_{2}+{R}_{1}}$

Nous remarquons que $\frac{{R}_{2}-{R}_{1}}{{R}_{2}+{R}_{1}}$est une fonc. [illisible] au temps et variant de -1 à +1 pendant une période ; nous l’appellerons $\phi$, il reste :

$L\frac{d\delta j}{dt}+M_{1}\frac{d\delta i}{dt}+S\delta j+\frac{{dM}_{1}}{dt}\delta i=(M_{1}-M_{2})\frac{{di}_{2}}{dt}$

$$N\frac{d\delta i}{dt}+M_{1}\frac{d\delta j}{dt}+\rho\delta i+\frac{{dM}_{1}}{dt}\delta j=-K\phi$$

Pour achever de définir $\delta i$et $\delta j$, il faut se donner les conditions, aux limites, qui sont que $\delta i$et $\delta j$[illisible] la [illisible] valeur à la fin de la période. A la fin de la période on doit avoir ${R}_{2}=\infty$, $\delta i_{2}=0$et au commencement ${R}_{1}=\infty$, $\delta i_{1}=0$, $$.

Soit alors $(M_{1}-M_{2})\frac{{di}_{2}}{dt}=A$, $\phi=\frac{+t}{\tau}$, la période durant de $-\tau$à $\tau$, $\frac{{dM}_{1}}{dt}=M{{}^{\prime}}_{1}$, les éq. 10 prennent la forme :

$L\frac{d\delta j}{dt}+M_{1}\frac{d\delta i}{dt}+S\delta j+M{{}^{\prime}}_{1}\delta i=\delta A$

(11) $N\frac{d\delta i}{dt}+M_{1}\frac{d\delta j}{dt}+\rho\delta i+M{{}^{\prime}}_{1}\delta j=\frac{-Kt}{\tau}$

On y satisfait en faisant : $i$ou $j$ : un polynôme de premier degré en t, plus deux exponentielles à coefficient arbitraire.

On écrit que les valeurs sont les mêmes pour $t=\pm\tau$.

Pour [illisible] la commutation, il faut calculer $\frac{d}{dt}(i_{2}+\delta i_{2})$pour $t=\tau$. Or $\frac{{di}_{2}}{dt}$est égal à $\frac{-i}{2\tau}$puisque $i_{2}$varie proportionnellement au temps depuis $i$(sl) jusqu’à zéro. Il faudrait calculer $\frac{d\delta i_{2}}{dt}$. Mais auparavant, comme $\frac{{di}_{2}}{dt}$est de l’ordre de $\frac{1}{\tau}$il faut [illisible] ce qui précède ; $M_{2}-M_{1}$est de l’ordre de $\tau$et $\mu-N$de l’ordre de ${\tau}_{2}$. Nous avons toujours ${R}_{1}i_{1}={R}_{2}i_{2}=\rho i$ ; de telle sorte que $\frac{i_{1}}{i}$et $\frac{i_{2}}{i}$varient de 0 à 1et de 1 à 0 ; que $\frac{{di}_{2}}{dt}=\frac{-{di}_{1}}{dt}=\frac{-i}{2\tau}$ ; on aura donc $A$qui sera fini, et on aura

$-A+iM{{}^{\prime}}_{1}=H-Sj$

Or, $A=(M_{1}-M_{2})\frac{{di}_{2}}{dt}=(-\mathrm{2M}{{}^{\prime}}_{1}\tau)(\frac{-i}{2\tau})=iM{{}^{\prime}}_{1}$car $M_{2}-M_{1}=2M{{}^{\prime}}_{1}\tau$

Il reste donc $H=Sj$

Pour la première éq. (8) avec $jM{{}^{\prime}}_{1}=E-\rho i$pour la seconde.

Transformons [illisible] les éq. (9) : elles [illisible] $(M_{2}-M_{1})\frac{{di}_{2}}{dt}$ a déjà figuré dans (8) :

$L\frac{d\delta j}{dt}+M_{1}\frac{d\delta i}{dt}+(M_{2}-M_{1})\frac{d\delta i_{2}}{dt}+M{{}^{\prime}}_{1}\delta i=-S\delta j$

(9bis) $N\frac{d\delta i}{dt}+(\mu-N)\frac{{di}_{2}}{dt}+M_{1}\frac{d\delta j}{dt}+M{{}^{\prime}}_{1}\delta j=-{R}_{1}\delta i_{1}$

et rien à changer sauf $(M_{2}-M_{1})\frac{d\delta i_{2}}{dt}$ au lieu de $(M_{2}-M_{1})\frac{{di}_{2}}{dt}$, c’est pourquoi je mets $\delta A$ au lieu de $A$ dans la 1${}^{\text{ere}}$ éq. (11) parce que $\frac{d\delta i_{2}}{dt},\frac{d\delta i_{1}}{dt}$ peuvent être finis.

Nouvelles modifications; $\frac{d}{dt}(M_{2}-M_{1})$ n’est plus nul, mais de l’ordre de $\tau$; introduisons la résistance $R$ de la partie commune du circuit, ${R}_{1}et{R}_{2}$ étant celle des balais; on a toujours $\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}}=\frac{1}{\rho}$; $\rho$ est de l’ordre de $\tau$ et $R$ fini; on remplace $E_{1}$ et $E_{2}$ par $E-Ri$.

On trouve alors en première approx.

$H=Sj$

(12) $jM{{}^{\prime}}_{1}=E-Ri$

et en l’approx :

$L\frac{d\delta j}{dt}+M_{1}\frac{d\delta i}{dt}+(M_{2}-M_{1})\frac{{di}_{2}}{dt}+(i+\delta i)M{{}^{\prime}}_{1}+i_{2}(M{{}^{\prime}}_{2}-M{{}^{\prime}}_{1})=-S\delta j$

$N\frac{d\delta i}{dt}+(\mu-N)\frac{{di}_{2}}{dt}+M_{1}\frac{d\delta j}{dt}+\delta jM{{}^{\prime}}_{1}=-R\delta i-{R}_{1}i_{1}$

$\mu\frac{d\delta i}{dt}+(N-\mu)\frac{{di}_{2}}{dt}+M_{2}\frac{d\delta j}{dt}+\delta jM{{}^{\prime}}_{2}=-R\delta i-{R}_{2}i_{2}$

Ordre de $\frac{1}{\tau}$

fini $M_{\mathrm{1,}}M_{\mathrm{2,}}M{{}^{\prime}}_{\mathrm{1,}}M{{}^{\prime}}_{\mathrm{2,}}L,N,\mu,R$

ordre de $\tau$$(M_{2}-M_{1}),(M{{}^{\prime}}_{2}-M{{}^{\prime}}_{1})$, ${R}_{\mathrm{1,}}{R}_{2}$en gén., $\rho$

ordre de ${\tau}^{2}$ $N-\mu$

$\frac{1}{\tau}$; $\frac{{di}_{1}}{dt},\frac{{di}_{2}}{dt}$

$$ ; $i,j,i_{\mathrm{1,}}i_{2}$

$\tau$; $\frac{d\delta i}{dt},\frac{d\delta j}{dt}$

${\tau}^{2}$; $\delta i,\delta j$

En admettant ces hypothèses on aura :

$(M_{2}-M_{1})\frac{{di}_{2}}{dt}+iM{{}^{\prime}}_{1}=A$de l’ordre de$\tau$

$L\frac{d\delta j}{dt}+M_{1}\frac{d\delta i}{dt}+A+i_{2}(M{{}^{\prime}}_{2}-M{{}^{\prime}}_{1})=0$

$N\frac{d\delta i}{dt}+(\mu-N)\frac{{di}_{2}}{dt}+M_{1}\frac{d\delta j}{dt}=-{R}_{1}i_{1}$

Cela ne va pas encore, soit :

$T=L\frac{{j}^{2}}{2}+M_{1}ij+(M_{2}-M_{1})i_{2}j+\frac{Ni^{2}}{2}+(\mu-N)[ii_{2}-i_{2}^{2}]$

$U=S\frac{{j}^{2}}{2}+R\frac{i^{2}}{2}+{R}_{1}\frac{i_{1}^{2}}{2}+{R}_{2}i_{2}^{2}=S\frac{{j}^{2}}{2}+R\frac{i^{2}}{2}+{R}_{1}\frac{{(i-i_{2})}^{2}}{2}+{R}_{2}\frac{i_{2}^{2}}{2}$

$V=Hj+Ei$, d’où :

$\frac{d}{dt}\frac{dT}{dj}=\frac{dV}{dj}-\frac{dU}{dj}$; de même en remplaçant $j$par $i$ou $i_{2}$.

Pour les dérivées par rapport à $i$et à $j$, négligeons

Prenons l’excitation en série pour plus de simplicité, de sorte que $i=j=i_{1}+i_{2}$.

On a alors $T=L\frac{i^{2}}{2}+Mij+N\frac{{j}^{2}}{2}$ ; $V=Ei$ ; $\mathrm{2V}=Ri^{2}+{R}_{1}{(i-j)}^{2}+{R}_{2}{j}^{2}$

$i$ est [1 mot illisible] pour $i=j=i_{1}+i_{2}$, $j$pour $i_{2}$ ; $L$pour $L+{\mathrm{2M}}_{1}+N$ ; $M$pour $M_{2}-M_{1}+\mu-N$ ; $N$ pour $N-\mu$ ; $M$est du premier ordre, $N$est du second :

Les éq. deviennent

$\frac{d}{dt}(Li+Mj)=E-Ri-{R}_{1}(i-j)$

$\frac{d}{dt}(Mi+Nj)=+{R}_{1}(i-j)-{R}_{2}j$

Première approx : $L^{\prime}i=E-Ri$

Deuxième approx : $(Li^{\prime}+Mj^{\prime})+L^{\prime}\delta i+M^{\prime}j=-R\delta i-{R}_{1}(i+\delta i-j)$

$Mi^{\prime}+M^{\prime}(i+\delta i)+Nj^{\prime}={R}_{1}(i+\delta i-j)-{R}_{2}j$

Soit $i^{\prime},\delta i,j^{\prime},j$d’ordre $\mathrm{0,}\mathrm{1,}-\mathrm{1,}0$ ; alors $Li^{\prime}+Mj^{\prime}$sont d’ordre zéro.

$L^{\prime}\delta i+M^{\prime}j,R\delta i,{R}_{1}i_{1}$d’ordre $1;Mi^{\prime};1;M^{\prime}i;1;Nj^{\prime}1;{R}_{1}i_{1}1;{R}_{1}\delta i;2;{R}_{2}j1$, ce qui donne en conservant les termes d’ordre 0 et 1 [illisible] dans la première et la seconde éq :

$Li^{\prime}+Mj^{\prime}=0$

$$Mi^{\prime}+M^{\prime}i+Nj^{\prime}={R}(i-j)-{R}_{2}j$$

Conditions aux limites : on doit avoir $i$même valeur à la fin et en [illisible] de la période :

$$ ; $i=j$pour $t=0$ ; l’intégrale générale donnant $j=\infty$et et on a de soi-même $j=0$pour $t=\tau$ ; parce que ${R}_{2}=\infty$pour $t=\tau$.

On peut supposer aussi $\delta i=2+\delta^{\prime}i$, $\epsilon$étant une contrainte finie et, $\delta^{\prime}i$étant d’ordre 1, ce qui donne :

$Li^{\prime}+Mj^{\prime}=(-R-L^{\prime})\epsilon$

et déterminer $\epsilon$par la seconde condition ; l’élimin. de [illisible] donne en effet :

$(N-\frac{M^{2}}{L})j^{\prime}+M^{\prime}(i+\epsilon)-(R+L^{\prime})\epsilon\frac{M}{L}={R}_{1}(i+\epsilon)-({R}_{1}+{R}_{2})j$

Cette équation admet une seule racine non infinie pour $t=0$, cette racine dépends naturellement de $\epsilon$, et il faut choisir $\epsilon$ de telle sorte que $$ ; la racine non infinie est telle que $j=i+\epsilon$pour $t=0$, ${R}_{1}=\infty$.

Si il y a excitation par [illisible], ou plus généralement, on aura les courants principaux i etc. et le courant de [illisible] que nous appelions d’abord $i_{2}$et ensuite $j$ ; et on aura :

$T={T}_{0}+{jT}_{1}+\frac{{Nj}^{2}}{2}$; ${T}_{1}$ du premier ordre, $N$ du 2${}^{\text{d}}$, $U={U}_{0}+{R}_{1}\frac{{(i-j)}^{2}}{2}+{R}_{2}\frac{j^{2}}{2}$

$T_{0},U_{0}$ et $V$ dépendent seulement des courants principaux $i,i_{\alpha},i_{\beta}$ etc.

$V=Ei+{E}_{\alpha}i_{alpha}+\mathrm{...}$et en première approx :

$\frac{d}{dt}(\frac{{dT}_{0}}{{di}_{\alpha}})+\frac{{dT}_{1}}{{di}_{\alpha}}j^{\prime}={E}_{\alpha}-\frac{{dU}_{0}}{{di}_{\alpha}}$($i$est l’un des $i_{\alpha}$)

$Nj^{\prime}+\frac{{dT}_{1}}{dt}={R}_{1}i-({R}_{1}+{R}_{2})j$

On regarde $j$, les $i$, les $i^{\prime}$comme finis, $j^{\prime}$d’ordre -1, les $i$comme constants.

Si on suppose un instant que les $i$ sont des constantes données, on a une seule racine qui reste finie pour $t=0$ ; on choisit ensuite les constantes $i$ telles que $$.

Roue de Barlow. Continu ; $i=f(x,t)$, $j$courant excit. ; $-x=\alpha t+const$

$T=J\frac{{j}^{2}}{2}+j\int iMdx+\iint Nii^{\prime}dxdx^{\prime}$; $U=S\frac{{j}^{2}}{2}+\int\frac{{Ri}^{2}}{2}dx$

$V=Hj+E\int idx$; $R,M=foncdex$, $N=foncde{(x-x^{\prime})}^{2}$

d’où pour les éq :

$L\frac{dj}{dt}+\int M\frac{di}{dt}dx=H-Sj$

$M\frac{dj}{dt}+jQ\frac{dM}{dx}=E-Ri$

et pour le régime permanent :

$H=Sj$, $j\alpha\frac{dM}{dx}=E-Ri$

Si $\int idx=I$, $\int\frac{dM}{dx}dx=\delta M$ ; $\int\frac{dM}{dx}\frac{dx}{R}=\frac{A}{\rho}$ ; $\int\frac{dx}{R}=\frac{1}{\rho}$

$H=Sj$; $j\alpha\frac{A}{\rho}=\frac{E}{\rho}-I$

ou pour l’exc série ; où $I=j$et $H+E$donne :

$(S+\rho)j=H+E-j\alpha A$

Cas général: Considérons ECDF l’anneau, en BC et BD deux connexions, en B un [illisible]. Nous choisissons comme variables les courants suivants :

[figure]

1° Ceux qui subsisteraient si on coupait toutes les communications BC, BD etc ; soient ${j}_{\mathrm{1,}}{j}_{\mathrm{2,}}\mathrm{...}{j}_{k}$ces courants, ce [illisible] par exemple le courant d’excitation, dans le cas de l’exc. [illisible] ou séparée ; il y aurait ainsi un courant qui suivrait l’induit d’un font à l’autre, mais qui est nul en général.

2° Si on rétablit [illisible] des communications BC, BD, on aura un courant $i_{1}^{(k)}$ par BC et $i_{2}^{(k)}$par BD, la somme $i_{1}^{(k)}+i_{2}^{(k)}$constituera un courant que j’appellerai $i_{k}$.

3° Nous aurons ensuite un courant de court circuit BDCB, que j’appellerai ${y}_{k}$et que je choisirai de telle sorte que $i_{2}^{(k)}={y}_{k}$, $i_{1}^{(k)}=i_{k}-{y}_{k}$.

Cela posé, nous aurons :

$T={T}_{0}+\sum{J}_{k}{y}_{k}+\frac{1}{2}\sum{N}_{k}\frac{{y}_{k}^{2}}{2}$, où ${T}_{0}$et ${J}_{k}$dépendent seulement des j et $i$, où ${T}_{0}$est fini, ${J}_{k}$est du premier ordre, ${N}_{k}$du second ordre.

$U=\sum{S}_{k}\frac{{j}_{k}^{2}}{2}+\sum{R}_{k}\frac{i_{k}^{2}}{2}+\frac{1}{2}\sum{R}_{1}^{(k)}{(i_{k}-{y}_{k})}^{2}+\frac{1}{2}\sum{R}_{2}^{(k)}{y}_{k}^{2}$ où ${S}_{k}$ et ${R}_{k}$ sont finis, ${R}_{1}^{(k)}$ et $R_{2}^{(k)}$ du premier ordre.

$V=\sum{H}_{k}{j}_{k}+\sum{E}_{k}i_{\mathit{k.}}$

Soient ${T}_{0}^{0}$et ${T}_{0}^{\tau}$les valeurs de ${T}_{0}$au [illisible] et à la fin d’une période. Au commencement on a ${y}_{k}=i_{k}$et à la fin ${y}_{k}=0$ ; néanmoins la valeur de $T$ne doit pas avoir changé, su moins si les $i$et les $j$n’ont mas changé, on a donc (au second ordre près) :

${T}_{0}^{\tau}={T}_{0}^{0}+\sum{J}_{k}i_{k}$

Cela posé, nous avons les équations suivantes :

$\frac{d}{dt}\frac{dT}{d\alpha}=\frac{dV}{d\alpha}-\frac{dU}{d\alpha}$; $\alpha={j}_{k},i_{k},{y}_{k}$

et tout d’abord, au premier ordre près :

$\frac{d}{dt}\frac{dT}{{dj}_{k}}={H}_{k}-{S}_{k}{j}_{k}$; $\frac{d}{dt}\frac{dT}{{di}_{k}}={E}_{k}-{R}_{k}i_{k}$

Dans le cas des courants continus, ${H}_{k},{E}_{k}$sont des constantes, $i_{k},{j}_{k}$aussi au premier ordre près, $i{{}^{\prime}}_{k},j{{}^{\prime}}_{k}$étant cependant finis ; $i_{k}et{j}_{k}$doivent prendre la même valeur au commencement et à la fin ; d’où ; au second ordre près :

$\frac{{dT}_{1}^{\tau}}{{dj}_{k}}-\frac{{dT}_{1}^{0}}{{dj}_{k}}=\tau({H}_{k}-{S}_{k}{j}_{k});\frac{{dT}_{1}^{\tau}}{{di}_{k}}-\frac{{dT}_{1}^{0}}{{di}_{k}}=\tau({E}_{k}-{R}_{k}i_{k})$

Or $\frac{dT}{{dj}_{k}}=\frac{{dT}_{0}}{{dj}_{k}}+\sum{y}_{k}\frac{{dJ}_{k}}{{dj}_{k}};\frac{dT}{{di}_{k}}=\frac{{dT}_{0}}{{di}_{k}}+\sum{y}_{k}\frac{{dJ}_{k}}{{di}_{k}}$

Pour $t=0$ ; on a :

$\frac{{dT}^{0}}{{dj}_{k}}=\frac{{dT}_{0}^{0}}{{dj}_{k}}+\sum i_{k}\frac{{dJ}_{k}}{{dj}_{k}};\frac{{dT}^{0}}{{di}_{k}}+\sum i_{k}\frac{{dJ}_{k}}{{di}_{k}}$

Pour $t=\tau$ :

$\frac{{dT}^{\tau}}{{dj}_{k}}=\frac{{dT}_{0}^{\tau}}{{dj}_{k}}=\frac{{dT}^{0}}{{dj}_{k}}+\sum i_{k}\frac{{dJ}_{k}}{{dj}_{k}};\frac{{dT}^{\tau}}{{di}_{k}}=\frac{{dT}_{0}^{\tau}}{{di}_{k}}=\frac{{dT}_{0}^{0}}{{di}_{k}}+\sum i_{k}\frac{{dJ}_{k}}{{di}_{k}}+{J}_{k}$

d’où finalement :

${H}_{k}={S}_{k}{j}_{k}$; ${E}_{k}={R}_{k}i_{k}+\frac{{J}_{k}}{\tau}$

Pour le cas des courants alt. ${H}_{k},{E}_{k}$Sont prop. à ${\mathrm{e}}^{\omega\tau}$, $\omega$imaginaire et il en est de même pour $i,j$au premier ordre près, il résulte de là que $\frac{{dT}_{0}^{0}}{d\alpha}$n’a pas la même valeur que $t=0$et pour $t=\tau$, mais est multiplié par ${e}^{\omega t}$, d’où :

$\frac{{dT}_{1}^{\tau}}{{di}_{k}}-\frac{{dT}^{0}}{{di}_{k}}=\frac{{J}_{k}}{\tau}+\omega\frac{{T}_{0}^{0}}{{di}_{k}}$, où [illisible] $\omega\tau$au lieu de ${e}^{\omega t}-1$.

Le tout au 2${}^{\text{d}}$ ordre près d’où les éq :

${H}_{k}={S}_{k}{j}_{k}+\omega\frac{{dT}_{0}^{0}}{{di}_{k}}$; ${E}_{k}={R}_{k}i_{k}+\omega\frac{{dT}_{0}^{0}}{{di}_{k}}+\frac{{J}_{k}}{\tau}$

Nous avons d’autre part au 2${}^{\text{d}}$ ordre près :

${N}_{k}\frac{{dy}_{k}}{d\tau}+\frac{{dJ}_{k}}{d\tau}+{R}_{1}^{k}(i_{k}-{y}_{k})-{R}_{2}^{k}{y}_{k}$

Pour la comm. parf. on doit avoir pour $t=\tau$, ${y}_{k}=\mathrm{0,}{R}_{2}^{k}{y}_{k}=\mathrm{0,}\frac{{dy}_{k}}{dt}=0$

[${R}_{2}^{k}=\infty,{R}_{1}^{k}={\rho}_{k}i_{k}$] et il reste :

$\frac{{dJ}_{k}}{dt}={\rho}_{k}i_{k}$

D’autre part on a aussi pour $t=\tau$ ; au premier ordre près :

$\frac{d}{dt}\frac{dT}{{dj}_{k}}=\frac{d}{dt}\frac{{dT}_{0}^{\tau}}{{dj}_{k}}=\frac{d}{dt}\frac{{dT}_{0}^{0}}{{dj}_{k}}$

d’où :

$\frac{d}{dt}\frac{{dT}_{0}^{0}}{{dj}_{k}}={H}_{k}-{S}_{k}{j}_{k};\frac{d}{dt}\frac{{dT}_{0}^{0}}{{di}_{k}}={E}_{k}-{R}_{k}i_{k}$

Courant continu ; comm. parf. possi.

Courant alternatif : comm. parf. impossible en général.

Latour

[figure]

$i_{1}-i_{2}=i_{4}-i_{3}={x}_{1};i_{2}-i_{3}=i_{1}-i_{4}={x}_{2};i_{1}+i_{2}+i_{3}+i_{4}={x}_{3}$

On a ${x}_{3}=0$en général, d’où $i_{1}=-i_{3};i_{2}=-i_{4}$.

Induit sur lui-même ${x}_{1}^{\mathrm{2,}}{x}_{2}^{\mathrm{2,}}{x}_{3}^{2}$ ; [illisible] sur lui-même${x}_{i}^{2}$ inducteur sur induit.

[illisible] $\phi$à $\phi+\frac{\pi}{2}-\epsilon$ : $i_{1}$ ; $\phi+\frac{\pi}{2}+\epsilon$à $\phi+\frac{\pi}{2}$ : $i_{1}-{y}_{1}$

$\phi+\frac{\pi}{2}$à $\phi+\pi-\epsilon$ : $i_{2}$ ; $\phi+\pi-\epsilon$à $\phi+\pi$ : $i_{2}-{y}_{2}$

d’où : $i_{1}[\sin(\phi+\frac{\pi}{2})-\sin\phi]-{y}_{1}\epsilon\cos(\phi+\frac{\pi}{2})+i_{2}[\sin(\phi+\pi)-\sin(\phi+\frac{\pi}{2})]-{y}_{2}2\epsilon\cos(\phi+\pi)$

${x}_{1}\cos\phi-{x}_{2}\sin\phi+{y}_{1}\epsilon\sin\phi+{y}_{2}\epsilon\cos\phi$

d’où : $T={L}_{1}\frac{{x}_{1}^{2}}{2}+{L}_{2}\frac{{x}_{2}^{2}}{2}+{L}_{3}\frac{{x}_{3}^{3}}{2}+{Mx}_{1}[{x}_{1}\cos\phi-{x}_{2}\sin\phi+{y}_{1}\epsilon\sin\phi+{y}_{2}\mathrm{2cos}\phi]+\sum\frac{{N}_{i}}{2}{y}_{i}^{2}$

D’autre part $U={R}_{1}\frac{{x}_{1}^{2}}{2}+{R}_{2}\frac{{x}_{2}^{2}}{2}+{R}_{3}\frac{{x}_{3}^{2}}{2}+$ termes de commu; $V={Ex}_{1}$

d’où :

$\frac{d}{dt}[{L}_{1}{x}_{1}+{\mathrm{2Mx}}_{1}xos\phi-{Mx}_{2}\sin\phi+{My}_{1}\epsilon\sin\phi+M{y}_{2}\epsilon\cos\phi]=E-{R}_{1}{x}_{1}$

$\frac{d}{dt}[{L}_{2}{x}_{2}-M{x}_{1}\sin\phi]=-{R}_{2}{x}_{2}+termecommu$

Au bout d’une période : 1° $\phi$a [illisible] de $\epsilon$, 2° $x$s’est changé en $x(1+\epsilon\omega)$ ; 3° $y$ a passé de $x$ à $0$ (vitesse angulaire =1) :

${L}_{1}{x}_{1}+{\mathrm{2Mx}}_{1}\cos\phi+\mathrm{...}$à augmenté de $\omega\epsilon[{L}_{1}{x}_{1}+\mathrm{2M}{x}_{1}\cos\phi-M{x}_{2}\sin\phi]$

$-M\epsilon(-{\mathrm{2x}}_{1}\sin\phi-{x}_{2}\cos\phi)$ ; *$M\epsilon({x}_{1}\sin\phi+{x}_{2}\cos\phi)$

${L}_{2}{x}_{2}-{Mx}_{1}\sin\phi$a augmenté de $({L}_{2}{x}_{2}-{Mx}_{1}\sin\phi)\epsilon\omega-{Mx}_{1}\epsilon\cos\phi$

d’où :

$\omega({L}_{1}{x}_{1}+{\mathrm{2Mx}}_{1}\cos\phi-{Mx}_{2}\sin\phi)+{Mx}_{1}\sin\phi=E-{R}_{1}{x}_{1}$

$\omega({L}_{2}{x}_{2}-M{x}_{1}\sin\phi)-{Mx}_{1}\cos\phi=-{R}_{2}{x}_{2}$

Si $\phi=\frac{\pi}{2}$, cela fait

$\omega({L}_{1}{x}_{1}-{Mx}_{2})+M{x}_{1}={ER}_{1}{x}_{1}$

$\omega({L}_{2}{x}_{2}-{Mx}_{1})=-{R}_{2}{x}_{2}$ Nous avons d’autre part à la fin de la commutation :

$\frac{d}{dt}\frac{dT}{{dx}_{i}}=\frac{dV-U}{{dx}_{i}}$;	$\frac{d}{dt}\frac{dT}{{dy}_{i}}=\frac{dV-U}{{dy}_{i}}$
(négliger le 1${}^{\text{er}}$ ordre)	(négliger le 2${}^{\text{d}}$ ordre)

Y faire $y_{i}=y^{\prime}_{i}=0$ pour avoir la commutation parfaite. Les deux premières donnent pour $\phi=\frac{\pi}{2}$ :

$$L_{1}x^{\prime}_{1}-Mx^{\prime}_{2}+2Mx_{1} =E-R_{1}x_{1}$$

$$L_{2}x^{\prime}_{2}-Mx^{\prime}_{1} =-R_{2}x_{2}$$

d’où :

$${L}_{1}x{{}^{\prime}}_{1}-Mx{{}^{\prime}}_{2}+{Mx}_{1} =\omega({L}_{1}{x}_{1}-{Mx}_{2})$$

$$L_{2}x{{}^{\prime}}_{2}-Mx{{}^{\prime}}_{1} =\omega({L}_{2}{x}_{2}-M{x}_{1})$$

Ensuite :

$\frac{dT}{{dy}_{1}}=M{x}_{1}\epsilon\sin\phi;\frac{dT}{{dy}_{2}}={Mx}_{1}\epsilon\cos\phi$

$$\frac{d}{dt}\frac{dT}{{dy}_{1}}=\epsilon M(x{{}^{\prime}}_{1});\frac{d}{dt}\frac{dT}{{dy}_{2}}=Mx_{1}\epsilon$$

Au 2${}^{\text{d}}$ membre résistance $\epsilon\rho x_{1}$ et $\epsilon\rho x_{2}$; $\rho$ constante dépendante de la résistance aux balais.

D’où :

$$Mx^{\prime}_{1}=\rho x_{1};\qquad Mx_{1}=\rho x_{2}.$$

AD 12p. Collection particulière, 75017 Paris.

Time-stamp: "19.08.2026 14:36"

Notes

• 1 Ce manuscrit inédit rejoint par son sujet l’article publié dans La Lumière électrique le 6 juin 1908 (Poincaré 1908). La transcription n’a pas été validée par rapport au manuscrit, et les figures ont été négligées.
• 2 La suite de la première feuille comporte une liste de publications en physique mathématique de Poincaré, y compris sur la théorie de la commutation (§ 7-1-14). Poincaré a dressé cette liste vraisemblablement à l’intention de Gaston Darboux, Secrétaire perpétuel de l’Académie des sciences de Paris, qui a été sollicité par le Comité Nobel de physique afin de proposer un candidat. Darboux a soutenu le candidature de Poincaré au prix Nobel de physique, en reprenant une sélection de titres que Poincaré lui a communiquée; voir sa lettre à Darboux (§ 2-62-19).
• 3 Variante : “les résistances, $T$ la force l’énergie …”.
• 4 Latour is mentioned once in passing, along with Bethenod, in Poincaré (1908).