7-1-12. Sur un point de la théorie de la commutation
Sur un point de la théorie de la commutation
par H. Poincaré11endnote:
1
Cet article rejoint celui publié dans
La Lumière électrique le 6 juin 1908
(Poincaré 1908). La transcription n’a pas été
validée par rapport au manuscrit.
On admet généralement que la résistance au contact du balai est en raison inverse
de la surface de contact de la lame avec le balai. L’équation
différentielle qui définit l’intensité se présente
alors sous la forme telle que celle-ci.
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étant un coefficient constant et un ensemble de termes qui si
est très petit sont négligeables devant le premier. La surface
est proportionnelle à si nous comptons le temps à partir du
moment où cette surface s’annule. Nous pouvons donc écrire :
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étant un autre coefficient constant; on a donc sensiblement :
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Si donc est ; et par conséquent la
densité du courant devient infinie.
Avant d’adopter définitivement cette conclusion, il convient
d’examiner l’hypothèse qui nous a servi de point de
départ.22endnote:
2
La suite de la première feuille comporte une liste d’articles
de Poincaré, sans rapport avec la théorie
de la commutation. Poincaré a dressé cette liste vraisemblablement à
l’intention de Gaston Darboux, Secrétaire perpétuel de l’Académie
des sciences, qui a soutenu le candidature de Poincaré au prix Nobel
de physique. Il fera une autre liste, plus détaillée, à l’intention
de Darboux; voir le manuscrit
§ 2-62-19.
Soit une série de circuits
, , …,
un circuit fixe
, , , , …,
les forces électromagnétiques;
, , , …,
les résistances, l’énergie
électrodynamique des circuits seuls;33endnote:
3
Variante :
“les résistances, la force l’énergie …”.
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l’énergie électrodynamique totale ; d’où :
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(1) |
et sont variables (outre bien entendu et les
) et de telle sorte qu’à la fin d’une période
, , , se soient changés en
, , , .
Calcul dans le cas où deux circuits interviennent seuls.
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d’où :
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(2) |
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Chaque période se divise en deux phases ; dans la 1re phase
et sont nuls, est infini ; dans la 2de phase ;
de devient brusquement nul, après un temps très court, qui était
devient brusquement infini.
Dans la 1re phase, on a :
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(3) |
Au début de la 2de phase, on a ; au moment de
l’ouverture, les intensités ne subissent que des variations
inf. petites ; de même pendant la 2de phase ; puis au moment de la
2de commut[ation]; les 2des membres des deux premières éq. (2)
demeurent finis, celui de la
3e devenant ; on a donc :
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Formons le tableau suivant :
Valeur de |
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au début de la 1re phase |
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à la fin de la 1re phase |
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a la fin de la 2e phase |
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Soit la durée de la 1re phase, celle de la 2de étant nulle.
Nous avons les 6 équations :
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Ces équations se réduisent à :
; ;
(4)
(une inconnue de trop) Cette indétermination est artificielle ; elle
tiens à ce que nous avons supposé les résistances nulles et non très
petites ; et en particulier .
On a effectivement si l’excitation se fait par un aimant permanent, dans ce cas
l’indétermination est réelle
et il faut pour la lever, se
donner la valeur de l’aimant permanent. Si l’excitation se
fait par un courant, on n’aura plus mais
valeur moyenne de ; comme et sont connus, cela
donne la valeur moyenne de ce qui lève l’indétermination.
Quelle est la perte d’énergie par étincelle ; on a au début de la seconde phase :
ce que je puis écrire ; encore en posant :
,
;
La perte est donc ; elle est nulle si le discriminant :
Nous [illisible], des éq. ci-dessus, (4)
et si le discriminant est nul :
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(1) |
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(2) |
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(5) |
Schéma d’une connexion plus complexe.
;
;
Soit les circuits ; ; ; ; que j’appellerai ; ;
; ;
; ; ;
;
Par symétrie on aura en [illisible]
; ; ; ; de sorte qu’il suffit d’envisager deux circuits et ; avec :
; ; ;
On est ainsi amené au cas précédent.
Revenons aux équations (2) et [illisible] supposons plus que passe brusquement de à , mais soit, en appelant [illisible] du changement
Alors, les conditions dépendent de :
d’où : , , avec :
Si , étincelles, si , chercher des [illisible] en dans . Si le
discriminant était nul, on aurait ou ?
Si , on aura les valeurs de , etc, , et au moment de [illisible] ; à l’aide de :
(7)
Pour [illisible] parf. il faudrait .
Reprenons les éq. (2) et soit [illisible] de , de , et sensiblement constants .
On aura : en première approx. (en négligeant , , , )
(8)
où est calculé de telle façon que (dans ces conditions est constant)
(est regardé comme constant)
Les valeurs de tirées de (8) sont regardées comme des constantes ; soient ; , etc les valeurs exactes, etc. On aura et en seconde approx.
Si nous regardons
comme constant, nous pouvons négliger .
Alors
et varient prop. au temps et il reste :
et
sont des constantes égales et de signe contraire, et comme d’autre
part
; en posant
il vient :
Nous remarquons que est une fonc. [illisible] au temps et variant de -1 à +1 pendant une période ; nous l’appellerons , il reste :
Pour achever de définir et , il faut se donner les conditions, aux limites, qui sont que et [illisible] la [illisible] valeur à la fin de la période. A la fin de la période on doit avoir , et au commencement , , $$.
Soit alors , , la période durant de à , , les éq. 10 prennent la forme :
(11)
On y satisfait en faisant : ou : un polynôme de premier degré en t, plus deux exponentielles à coefficient arbitraire.
On écrit que les valeurs sont les mêmes pour .
Pour [illisible] la commutation, il faut calculer pour . Or est égal à puisque varie proportionnellement au temps depuis (sl) jusqu’à zéro. Il faudrait calculer . Mais auparavant, comme est de l’ordre de il faut [illisible] ce qui précède ; est de l’ordre de et de l’ordre de . Nous avons toujours ; de telle sorte que et varient de 0 à 1et de 1 à 0 ; que ; on aura donc qui sera fini, et on aura
Or, car
Pour la première éq. (8) avec pour la seconde.
Transformons [illisible] les éq. (9) : elles [illisible] a déjà figuré dans (8) :
(9bis)
et rien à changer sauf
au lieu de
,
c’est pourquoi je mets
au lieu de dans la 1re éq. (11)
parce que peuvent être finis.
Nouvelles modifications ; n’est plus nul, mais de l’ordre de ; [illisible] la résistance R de la partie commune du circuit, étant celle du [illisible]. ; on a toujours , est de l’ordre de et R fini ; on remplace par .
On trouve alors en première approx.
(12)
Ordre de
fini
ordre de , en gén.,
ordre de
;
$$
;
;
;
En admettant ces hypothèses on aura :
de l’ordre de
Cela ne va pas encore, soit :
; de même en remplaçant par ou .
Pour les dérivées par rapport à et à , négligeons
Prenons l’excitation en série pour plus de simplicité, de sorte que .
On a alors ; ;
est [1 mot illisible] pour , pour ; pour ; pour ; pour ; est du premier ordre, est du second :
Première approx :
Deuxième approx :
Soit d’ordre ; alors sont d’ordre zéro.
d’ordre , ce qui donne en conservant les termes d’ordre 0 et 1 [illisible] dans la première et la seconde éq :
Conditions aux limites : on doit avoir même valeur à la fin et en [illisible] de la période :
$$
; pour ; l’intégrale générale donnant et et on a de soi-même pour ; parce que pour .
On peut supposer aussi , étant une contrainte finie et, étant d’ordre 1, ce qui donne :
et déterminer par la seconde condition ; l’élimin. de [illisible] donne en effet :
Cette équation admet une seule racine non infinie pour , cette racine dépends naturellement de , et il faut choisir de telle sorte que $$ ; la racine non infinie est telle que pour , .
Si il y a excitation par [illisible], ou plus généralement, on aura les courants principaux i etc. et le courant de [illisible] que nous appelions d’abord et ensuite ; et on aura :
; du premier ordre, du second,
et dépendent seulement des courants principaux etc….
et en première approx :
(est l’un des )
On regarde , les , les comme finis, d’ordre -1, les comme constants.
Si on suppose un instant que les sont des constantes données, on a une seule racine qui reste finie pour ; on choisit ensuite les constantes telles que $$.
Roue de Barlow. Continu ; , courant excit. ;
;
; ,
et pour le régime permanent :
,
Si , ; ;
;
ou pour l’exc série ; où et donne :
Cas général: Considérons ECDF l’anneau, en BC et BD deux connexions, en B un [illisible]. Nous choisissons comme variables les courants suivants :
1° Ceux qui subsisteraient si on coupait toutes les communications BC, BD etc ; soient ces courants, ce [illisible] par exemple le courant d’excitation, dans le cas de l’exc. [illisible] ou séparée ; il y aurait ainsi un courant qui suivrait l’induit d’un font à l’autre, mais qui est nul en général.
2° Si on rétablit [illisible] des communications BC, BD, on aura un courant par BC et par BD, la somme constituera un courant que j’appellerai .
3° Nous aurons ensuite un courant de court circuit BDCB, que j’appellerai et que je choisirai de telle sorte que , .
, où et dépendent seulement des j et , où est fini, est du premier ordre, du second ordre.
où et sont finis, et du premier ordre.
Soient et les valeurs de au [illisible] et à la fin d’une période. Au commencement on a et à la fin ; néanmoins la valeur de ne doit pas avoir changé, su moins si les et les n’ont mas changé, on a donc (au second ordre près) :
Cela posé, nous avons les équations suivantes :
;
et tout d’abord, au premier ordre près :
;
Dans le cas des courants continus, sont des constantes, aussi au premier ordre près, étant cependant finis ; doivent prendre la même valeur au commencement et à la fin ; d’où ; au second ordre près :
Or
;
Pour le cas des courants alt. Sont prop. à , imaginaire et il en est de même pour au premier ordre près, il résulte de là que n’a pas la même valeur que et pour , mais est multiplié par , d’où :
, où [illisible] au lieu de .
Le tout au 2d ordre près d’où les éq :
;
Nous avons d’autre part au 2d ordre près :
Pour la comm. parf. on doit avoir pour ,
[] et il reste :
D’autre part on a aussi pour ; au premier ordre près :
Courant continu ; comm. parf. possi.
Courant alternatif : comm. parf. impossible en général.
On a en général, d’où .
Induit sur lui-même ;
[illisible] sur lui-même inducteur sur induit.
[illisible]
à : ; à :
à : ; à :
d’où :
d’où :
D’autre part ;
Au bout d’une période : 1° a
[illisible] de , 2° s’est changé en ;
3° a passé de à (vitesse angulaire =1) :
à augmenté de
; *
a augmenté de
Si , cela fait
Nous avons d’autre part à la fin de la [illisible] :
(négliger le premier ordre) ([illisible] le second ordre)
fait pour avoir la comm. parf. Les deux premières donnent pour :
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Au second membre résistance et ; constante dépendante de la résistance aux [illisible].
D’où :
AD 12p. Collection particulière, 75017 Paris.
Time-stamp: "22.02.2023 16:47"
Notes
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1 Cet article rejoint celui publié dans
La Lumière électrique le 6 juin 1908
(Poincaré 1908). La transcription n’a pas été
validée par rapport au manuscrit.
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2 La suite de la première feuille comporte une liste d’articles
de Poincaré, sans rapport avec la théorie
de la commutation. Poincaré a dressé cette liste vraisemblablement à
l’intention de Gaston Darboux, Secrétaire perpétuel de l’Académie
des sciences, qui a soutenu le candidature de Poincaré au prix Nobel
de physique. Il fera une autre liste, plus détaillée, à l’intention
de Darboux; voir le manuscrit
§ 2-62-19.
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3 Variante :
“les résistances, la force l’énergie …”.