Sur les courbes de Hill par Henri Poincaré

1. Le mémoire le plus original qui ai paru depuis 40 ans sur la Mécanique Céleste, est sans contredit celui que M. Hill a consacré à l’étude des terme degré zéro dans le mouvement de la Lune et en particulier à la variation qui est le plus important d’entre eux. Ce mémoire a paru dans le tome 1 de l’American Journal of Mathematics et a été reproduit dans les œuvres complètes de Hill, tome 1, page 284 (Carnegie Institution of Washington, 1905).

Supposant nulles l’excentricité de l’orbite terrestre, l’inclinaison de l’orbite lunaire, et la parallaxe du Soleil, l’auteur rapporte la Lune à des axes ayant leur origine au centre dela terre et tournant avec une vitesse angulaire uniforme de façon que l’axe des x passe constemment par le Soleil; dans cette hypothèse en effet, l’excentricité de l’orbite terrestre étant nulle, la vitesse angulaire du Soleil est uniforme. Il arrive ainsi aux équations suivantes :

$$x^{\prime\prime}-\mathrm{2my}^{\prime}-{\mathrm{3m}}^{2}x+\frac{\mathit{hx}}{{r}^{3}} =0$$

$$y^{\prime\prime}+\mathrm{2mx}^{\prime}+\frac{\mathit{hy}}{{r}^{3}} =0$$

dont voici la signification : x et y sont les coordonnées de la Lune par rapport aux axes tourants, $\tau$ est la différence de longitude des moyennes de la Lune et du Soleil, de telle sorte que :

$$\tau=({n}_{1}-{n}_{2})t$$

${n}_{1}$ étant le moyen mouvement de la Lune et ${n}_{2}$ celui du Soleil, m est le rapport :

$$m=\frac{{n}_{2}}{{n}_{1}+{n}_{2}};$$

x’ est la dérivée de $\frac{\mathit{dx}}{d\tau}$, et les autres dérivées y’, x”, y” se définissent de la même manière, r est la distance $\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$; h est une constante proportionnelle à la somme des masses de la Terre et de la Lune.

Si nous introduisons les imaginaires en posant :

$$u=x+\mathit{iy},s=x-\mathit{iy},{r}^{2}=\mathit{us}$$

Ces équations deviendront :

$$u^{\prime\prime}+\mathrm{2miu}^{\prime}-\frac{3}{2}{m}^{2}(u+s)+\frac{\mathit{hu}}{{r}^{3}}=0$$

$s^{\prime\prime}-\mathrm{2mis}^{\prime}-\frac{3}{2}{m}^{2}(u+s)+\frac{\mathit{hs}}{{r}^{3}}=0$

De ces deux équations on déduit l’intégrale de Jacobi :

$\frac{u^{\prime}s^{\prime}}{2}-\frac{3}{4}{m}^{2}\mathit{us}-\frac{3}{8}{m}^{2}({u}^{2}+{s}^{2})-\frac{h}{r}=C$

Hill, élimine h entre ces trois équations et trouve ainsi :

$$u^{\prime\prime}s+\mathrm{2miu}^{\prime}s+\frac{u^{\prime}s^{\prime}}{2}-\frac{9}{4}{m}^{2}\mathit{us}-\frac{3{m}^{2}}{8}({u}^{2}+{\mathrm{5s}}^{2})=C$$

(4) $s^{\prime\prime}u-\mathrm{2mis}^{\prime}u+\frac{u^{\prime}s^{\prime}}{2}-\frac{9}{4}{m}^{2}\mathit{us}-\frac{{\mathrm{3m}}^{2}}{8}({s}^{2}-{\mathrm{5u}}^{2})=C$

dont les premiers nombres sont des polynômes homogènes du second degré.

Le problème consiste à trouver une solution périodique de ces équations. Cette solution périodique doit être de la forme suivante; si l’on pose :

$$\zeta={e}^{i\tau},$$

On aura :

$$u=\sum{a}_{k}{\zeta}^{\mathrm{2k}+1},\quad s=\sum{a}_{k}{\zeta}^{-\mathrm{2k}+1};$$

Les coefficients ${a}_{k}$sont réels; les exposants 2k+1 [illisible] toutes les valeurs entières impaires positives ou négatives.

Il est à remarquer que les équations (4) sont plus générales que les équations (2); si l’on satisfait d’une certaine manière aux équations (2) et par conséquent aux équations (4), on satisfera encore aux équations (4) sans satisfaire aux équations (2) en changeant u, s, et c en $\lambda u,\lambda s,{\lambda}^{2}c$.

Nous profiterons généralement de cette indétermination pour supposer

$${a}_{0}=1$$

2.La méthode employée par M.Hill pour intégrer les équations (4) est fort ingénieuse; je vais l’expliquer ici, sans y rien changer d’essentiel, mais en modifiant notablement le mode d’exposition, ce qui est nécéssaire pour mon objet ultérieur.

Au lieu des équations(1), considérons les équations plus générales

$$x^{\prime\prime}-\mathrm{2py}^{\prime}-\frac{3}{2}{p}^{2}x-\frac{3}{2}{m}^{2}x+\frac{\mathit{hx}}{{r}^{3}}=0$$

(1bis) $y^{\prime\prime}+\mathrm{2px}^{\prime}+\frac{3}{2}{p}^{2}y+\frac{3}{2}{m}^{2}y+\frac{\mathit{hy}}{{r}^{3}}=0$

qui se réduisent à (1) quand on fait p=m. Voici quelle en est la signification physique; le Soleil est supposé très éloigné, il décrit autour du centre de gravité du système Terre-Lune un cercle de rayon très grand, et il le décrit d’un mouvement uniforme; seulement il est soumis outre l’attractionde la Terre et de la Lune à une autre force centrale de telle façon que l’on ait pas entre sa masse, le rayon de son orbite circulaire, et sa vitesse angulaire la relation définie par la troisième loi de Kepler. Les axes tournent avec une vitesse angulaire uniforme de sorte que l’axe des x passe toujours par le Soleil. Enfin la Lune, outre les forces de gravitation est repoussée par la Terre proportionnellement à la distance.

Si p=m, la force centrale complémentaire qui agit sur le Solei s’annule, de sorte que la masse du Solei, sa distance et vitesse angulaire sont liées par la troisième loi de Kepler; de plus la répulsion complémentaire de la Terre sur la Lune est nulle; on retombe sur le problème ordinaire de la théorie de la Lune et sur les équation (1).

Si m=0, l’action du Soleil sur la Lune devient nulle, la Lune n’est plus soumise qu’à l’attraction newtonienne de la Terre et à la répulsion complémentaire de la Terre; elle obéit donc à deux forces centrales, l’une proportionnelle au carré de la distance, l’autre proportionnelle à la distance. Elle est d’ailleurs rapportée à des axes tournants.

Des équations (1bis), on peut déduire :

$$u^{\prime\prime}+\mathrm{2piu}^{\prime}-\frac{3}{2}{p}^{2}u-\frac{3}{2}{m}^{2}s+\frac{\mathit{hu}}{{r}^{2}}=0$$

(2bis) $s^{\prime\prime}+\mathrm{2pis}^{\prime}-\frac{3}{2}{p}^{2}s-\frac{3}{2}{m}^{2}u+\frac{\mathit{hs}}{{r}^{2}}=0$

puis l’intégrale de Jacobi

(3bis) $\frac{u^{\prime}s^{\prime}}{2}-\frac{3}{4}{p}^{2}\mathit{us}-\frac{3}{8}{m}^{2}({u}^{2}+{s}^{2})-\frac{h}{r}=C$

puis enfin

$$u^{\prime\prime}s+\mathrm{2piu}^{\prime}s+\frac{u^{\prime}s^{\prime}}{2}-\frac{9}{4}{p}^{2}\mathit{us}-\frac{{\mathrm{3m}}^{2}}{8}({u}^{2}+{\mathrm{5s}}^{2})=C$$

$$s^{\prime\prime}u+\mathrm{2pis}^{\prime}u+\frac{u^{\prime}s^{\prime}}{2}-\frac{9}{4}{p}^{2}\mathit{us}-\frac{{\mathrm{3m}}^{2}}{8}({\mathrm{5u}}^{2}+{s}^{2})=C$$ (4 bis)

Il est facile d’intégrer ces équations pour m=0; partant de cette première approximation, on cherchera à développer suivant les puissances de m. Il arrive que les coefficients ${a}_{k}$sont développables non seulement suivant les puissances de m, mais suivant celles de ${m}^{4}$, de sorte que la convergence est extrêmement rapide et que chaque approximation nouvelle donne cinq décimales exactes de plus. Il ne reste plus à la fin du calcul qu’à faire p=m.

3. Pour mettre cette méthode en pratique, posons :

$$u =\zeta({u}_{0}+{m}^{2}{u}_{1}+{m}^{4}{u}_{2}+\mathrm{......................})$$

$$s ={\zeta}^{-1}({s}_{0}+{m}^{2}{s}_{1}+{m}^{4}{s}_{2}+\mathrm{....................})$$

$$C ={C}_{0}+{m}^{2}{C}_{1}+{m}^{4}{C}_{2}+\mathrm{......................}$$ (5)

On commence par prendre

$${u}_{0}={s}_{0}=1,{C}_{0}=-\frac{9}{4}{p}^{2}-\mathrm{2p}-\frac{1}{2}$$

Supposons ensuite que l’on ai déterminé :

$${u}_{0},{u}_{1},\mathrm{...}{u}_{q-1}$$

$${s}_{0},{s}_{1},\mathrm{...}{s}_{q-1}$$

$${C}_{0},{C}_{1},\mathrm{...}{C}_{q-1}$$

et que l’on se propose de déterminer ${u}_{q},{s}_{q},{C}_{q}$. Pour cela dans les équations (4bis) substituons à la place de u, s, et C leur développement (5). Egalons ensuite les coefficients des termes en ${m}^{\mathrm{2q}}$, nous obtiendront des équations de la forme :

$$\Delta=\phi+{C}_{q}$$

$\Delta^{\prime}=\phi^{\prime}+{C}_{q}$

dont voici la signification :

$\Delta$ et $\Delta^{\prime}$ sont des combinaisons linéaires à coefficients constants des fonctions connues ${u}_{q}$, ${s}_{q}$ et de leur dérivées premières et secondes; $\phi$ est une combinaison des fonctions déja connues $u_{\alpha}$, $s_{\alpha}$ où ($\alpha<q$); nous pouvons écrire :

$$\phi=\sum{b}_{k}{\zeta}^{\mathrm{2k}}$$

Les coefficients ${b}_{k}$étants connus, $\phi^{\prime}$est l’imaginaire conjugué de $\phi$:

$$\phi^{\prime}=\sum{b}_{k}{\zeta}^{\mathrm{2k}}$$

*En d’autres termes les équations (6) sont des équations linéaires à coefficient constant et à second membre. Posons

${a}_{k}=\sum{m}^{\mathrm{2q}};{a}_{k,q}$

de telle sorte que ${a}_{k,q}$soit le coefficient de ${\zeta}^{\mathrm{2k}}$dans ${u}_{q}$; égalons ensuite les coefficients de ${\zeta}^{\mathrm{2k}}$dans les deux nombres des équations (6), il viendra :

$${a}_{k,q}A+{a}_{-k,q}B={b}_{k}$$

(7) ${a}_{k,q}C+{a}_{-k,q}D={b}_{-k}$

A, B, C, D sont des polynômes en p à coefficients numériques, ${b}_{k}$et ${b}_{-k}$étants connus, ces équations nous donneront ${a}_{k,q},{a}_{-k,q}$ce qui déterminera les fonctions inconnues ${u}_{q},{s}_{q}$.

Pour k=0, il faut ajouter aux seconds membres de (7) l’indéterminée ${C}_{q}$.

Comme nous voulons que

$${a}_{0}=\sum{m}^{\mathrm{2q}}{a}_{\mathrm{0,}q}=1$$

Nous devrions avoir

$${a}_{\mathrm{0,0}}=1,{a}_{\mathrm{0,}q}=0$$

De sorte que dans le cas $k=0$, les équations (7) se réduiront à

$${b}_{0}+{C}_{q}=0$$

ce qui détermine ${C}_{q}$.

On voit par là que les ${a}_{k,q}$sont des fonctions rationelles de p, les facteurs du dénominateur de ces fonctions ne peuvent être que le déterminant ont AD-BC des équations (7) ou d’autres équations analogues; ces facteurs n pourront donc être que l’un des polynômes

$${p}^{2}-\mathrm{4p}+6,{p}^{2}-\mathrm{4p}+30,{p}^{2}-\mathrm{4p}+\mathrm{70...}$$

Reprenons le développement

$${a}_{k}=\sum{m}^{\mathrm{2q}}{a}_{k,q}$$

et arrêtons-le à un certain terme; faisons-y ensuite p=m; nous trouverons comme valeur approchée de ${a}_{k}$une fonction rationnelle des m ayant comme facteurs du dénominateur :

$${m}^{2}-\mathrm{4m}+6,{m}^{2}-\mathrm{4m}+30,{m}^{2}-\mathrm{4m}+\mathrm{70...}$$

On aurait tort d’en conclure, comme nous le verront plus loin, que ${a}_{k}$considéré comme fonction de m est une fonction mésomorphe dans une certaine étendue présentant comme singularités de simples pôles.

4.Nous venons de trouver une solution particulière des équations (4) ou (4bis) que nous écrirons

$$u=\psi(\zeta)=\sum{a}_{k}{\zeta}^{\mathrm{2k}}+\mathrm{1,}s=\psi({\zeta}^{-1})=\sum{a}_{k}{\zeta}^{-\mathrm{2k}-1}$$

et qui est caractérisée par ce fait que ${a}_{0}=1$.Cette solution ne convient pas en général aux équations (2) et (2bis). Les équations (4) et (4bis) seront satisfaites également par

$$u=\lambda\psi(\zeta),s=\lambda\psi({\zeta}^{-1})$$

à la condition de changer $C$en ${\lambda}^{2}C$. Il s’agit de déterminer $\lambda$de façon à satisfaire (2) ou (2bis). Pour cela, faisons $\tau=0$; d’où $\zeta=1$.

$$u=s=r=\lambda\psi(1),u^{\prime}=\lambda\psi^{\prime}(1),u^{\prime\prime}=\lambda\psi^{\prime\prime}(1)$$

Et substituons dans (2) il viendra :

${\lambda}^{3}{\psi}^{2}(1)[\psi^{\prime\prime}(1)+\mathrm{2mi}\psi^{\prime}(1)-{\mathrm{3m}}^{2}\psi(1)]+h=0$

ce qui détermine $\lambda$, puisque h est une donnée de la question, que

$$\psi(1)=\sum{a}_{k},\psi^{\prime}(1)=i\sum(\mathrm{2k}+1){a}_{k},\psi^{\prime\prime}(1)=-\sum{(\mathrm{2k}+1)}^{2}{a}_{k}$$

sont des fonctions connues de m. On remarquera que le calcul de $\lambda$exige l’etraction d’une racine cubique.

5.L’étude des singularités que peuvent présenter les ${a}_{k}$ou $\lambda$considérés comme fonction de m, peut présenter évidemment un grand intérêt, puisque les coefficients des termes d’ordre plus élevé, s’obtenant en combinant de diverses manières ceux des termes d’ordre zéro, les mêmes singularités, observées dans les termes d’ordre zéro devront se retrouver dans ceux d’ordre plus élevé.

Nous allons amorcer cette étude et nous commencerons par signaler certaines solutions particulières des équations (4) et (4bis).

Considérons les équations (2) et faisons-y $h=0$, elles s’écriront

$$u^{\prime\prime}+\mathrm{2miu}^{\prime}-\frac{3}{2}{m}^{2}(u+s)=0$$

$$s^{\prime\prime}-\mathrm{2mis}^{\prime}-\frac{3}{2}{m}^{2}(u+s)=0$$

Ce sont des équations linéaires à coefficient constant. Cherchons à les intégrer en faisant

$$u=\alpha{\zeta}^{k},s=\beta{\zeta}^{k}$$

Il viendra :

$$\alpha(-{k}^{2}-\mathrm{2mk}-\frac{3}{2}{m}^{2})-\frac{3}{2}\beta{m}^{2}=0$$

$$\beta(-{k}^{2}-\mathrm{2mk}-\frac{3}{2}{m}^{2})-\frac{3}{2}\alpha{m}^{2}=0$$

d’où :

$${k}^{4}-{\mathrm{7m}}^{2}{k}^{2}=0,m=\frac{k}{\sqrt{7}},\frac{\beta}{\alpha}=\frac{-17+4\sqrt{7}}{3}$$

Cette solution ne convient pas, mais on peut en déduire la suivante

$$u=\alpha{\zeta}^{k}+\beta{\zeta}^{-k},s=\beta{\zeta}^{k}+\alpha{\zeta}^{-k}$$

qui convient pourvu que k soit entier impair. On voit que cette solution particulière se présentera pour les valeurs de m suivantes :

$$m=\frac{1}{\sqrt{7}},\frac{3}{\sqrt{7}},\frac{5}{\sqrt{7}}\mathrm{...}$$

Supposons que l’on fasse varier $\tau$depuis 0 jusqu’à $2\pi$, comme u et s, et par conséquent x et y sont des fonctions périodiques de $\tau$, le point x, y décrira une courbe fermée; ce sont ces courbes fermées que M.Hill a construites pour les petites valeurs de m; dans le cas qui nous accupe, cette courbe fermée est une ellipse.

Si on avait opéré de la même manière sur les équations (2bis), les valeurs de m qui nous auraient donné ainsi des trajectoires elliptiques auraient été données par l’équation :

${k}^{4}-{\mathrm{7p}}^{2}{k}^{2}+\frac{9}{4}{p}^{2}-\frac{9}{4}{m}^{2}=0$

6.La solution précedente satisfait aux équations (2) et (2bis) quand h=0; elle satisfait donc dans tous les cas aux équations (4) et (4bis); mais comment se comportent-t-elles vis à vis des équations (2) et (2bis) lorce que h a une valeur donnée différente de zéro. Pour nous en rendre compte, il faut revenir à l’équation (8) qui détermine $\lambda$.

Supposons d’abord k=1; alors notre solution particulière n’est autre chose que la solution $\psi(2)$, à la condition que l’on suppose $\alpha=1$, puisque dans $\psi(\zeta)$le coefficient de $\zeta$doit être égal à 1.

Supposons d’abord h=0, on doit pouvoir satisfaire à l’équation (8) en faisant $\lambda=1$, ce qui exige que l’on ai :

(10) $\psi^{\prime\prime}(1)+\mathrm{2mi}\psi^{\prime}(1)-{\mathrm{3m}}^{2}\psi(1)=0$ (pour $m=\frac{1}{\sqrt{7}}$)

équations qu’il est d’ailleurs aisé de vérifier directement. Si maintenant nous supposons que h ait une valeur donnée différente e zéro, l’équation (8) va se présenter sous la forme :

$${\lambda}^{3}f(m)=h$$

Pour $m=\frac{1}{\sqrt{7}}$, le coefficient $f(m)$ s’annule en vertu de l’équation (10), nous pourrons donc l’écrire :

$$f(m)=(m-\frac{1}{\sqrt{7}})H(m)$$

$H(m)$ ne s’annulant pas pour $m=\frac{1}{\sqrt{7}}$, le coefficient $f(m)$ s’annule en vertu de l’équation (10), nous pourrons donc l’écrire :

$$f(m)={(m-\frac{1}{\sqrt{7}})}^{\frac{-1}{3}}{H}^{\frac{-1}{3}}(m)$$

${H}^{(\frac{-1}{3})}(m)$ se comporte régulièrement pour $m=\frac{1}{\sqrt{7}}$, ce qui montre que $\lambda$ devient infini d’ordre $\frac{1}{3}$ pour $m=\frac{1}{\sqrt{7}}$.

Supposons maintenant d’autres valeurs de $k$, par exemple $k=3$, d’où $m=\frac{3}{\sqrt{7}}$. Nous avons alors :

$$u=\theta(\zeta)={\zeta}^{3}+\frac{\beta}{\alpha}{\zeta}^{-3},s=\theta({\zeta}^{-1})=\frac{\beta}{\alpha}{\zeta}^{3}+{\zeta}^{-3}$$

On voit que le coefficient de $\zeta$n’est pas égal à 1, mais à zéro, mais que c’est le coefficient de ${\zeta}^{3}$,(qui correspond à ce que nous appelions plus haut ${a}_{1}$) qui est égal à 1. Ainsi $\theta(\zeta)$n’est pas la limite vers laquelle tend $\psi(\zeta)$pour $m=\frac{3}{\sqrt{7}}$, mais on a :

$$\theta(\zeta)=\lim\frac{1}{{a}_{1}}\psi(\zeta)$$

quand m tend vers $\frac{3}{\sqrt{7}}$; $\psi(\zeta)$et ${a}_{1}$croissent indéfiniment et leur rapport tend vers une limite finie $\theta(\zeta)$.

On aura encore l’équation

$$\theta^{\prime\prime}(1)+\mathrm{2mi}\theta^{\prime}(1)-{\mathrm{3m}}^{2}\theta(1)=0\quad(\text{pour }m=\frac{3}{\sqrt{7}})$$

L’équation (8) prend alors la forme :

$${\lambda}^{3}{a}_{1}^{3}f(m)=h$$

où:

$$f(m)={\theta}^{2}(1)[\theta^{\prime\prime}+\mathrm{2mi}\theta^{\prime}-{\mathrm{3m}}^{2}\theta]=(m-\frac{3}{\sqrt{7}})H(m)$$

d’autre part

$${a}_{1}=\frac{\psi(m)}{m-\frac{3}{\sqrt{7}}}$$

$\psi(m)$étant régulier et ne s’annulant pas pour $m=\frac{3}{\sqrt{7}}$; d’où enfin

$$\lambda={(m-\frac{3}{\sqrt{7}})}^{\frac{2}{3}}{\psi}_{1}(m)$$

${\psi}_{1}(m)$étant régulier et ne s’annulant pas pour $m=\frac{3}{\sqrt{7}}$.

7.Lorce qu’on fait varier $\tau$depuis 0 jusqu’à $2\pi$ , x et y sont des fonctions périodiques de $\tau$, le point x, y décrit une courbe fermée.

M.Hill a contruit ces courbes pour les valeurs comprises entre 0 et 1,78; pour les petites valeurs de m, il s’est servi de ses développements en série; pour les valeurs plus grandes il a employé des quadratures mécaniques.

Il s’arrête pour $m=\frac{1}{\mathrm{1,78}}$, au moment où les trajectoires présentent deux points de rebroussements, ce qu’il appelle the moon of the maximum lunation. Il détermine par quadrature mécanique les courbes correspondants à $m=\frac{1}{2}$et à $m=\frac{1}{3}$; c’est entre ces deux que se trouverait la courbe singulière correspondant à $m=\frac{1}{\sqrt{7}}$.

D’après ce que nous venons de voir, cette courbe est une ellipse, et si on veut déterminer ses dimensions absolues par le moyen de l’équation (8), on voit que ces dimensions sont infinies. Donc quand m sera très voisin de $\frac{1}{\sqrt{7}}$, la forme de la courbe différera très peu de celle d’une ellipse et cette courbe sera très grande. M.Hill ne pouvait s’aperçevoir de cette circontance, parce que ses intervalles n’étaient pas assez serrés, ils s’expliquent en ces termes :

We notice that the radium vector in syzygies of this class of satellite arrives at a maximum before we reach the moon of maximum lunation. This maximum value is a little less than double the radius vector of the earth’s moon. It occurs in the case of the moon has about 2,8 lunations in the period of it’s primary.

Ce dernier résultat est assez exact, puisque 2,8 n’est pas éloigné de $\sqrt{7}$, mais le maximum en question comme nous n’avons vu, est infini.

Qu’aurait trouvé M.Hill s’il avait poursuivi plus loin ses calculs. La connaissance de la forme de la courbe pour $m=\frac{3}{\sqrt{7}}$nous permet de le conjecturer. Ne nous occupons que de la forme de cette courbe en laissant de côté ses dimensions absolues.

M.Hill s’arrête à une courbe présentant deux points de rebroussement sur l’axe des y (fig. 1); après il aurait trouvé une courbe avec deux points doubles (fig. 2); puis la courbe aurait acquis deux points de rebroussement sur l’axe des $x$ (fig. 3); nous aurions eu ensuite une courbe avec quatre points doubles (fig. 4); puis les branches AB et CD de la figure 4 auraient passé l’une par dessus l’autre, de même que les branches BC et AD ce qui nous aurait donné la courbe de la fig.5. Pour $m=\frac{3}{\sqrt{7}}$, la courbe se serait réduite à une ellipse parcourue trois fois dans le même sens; pour $Fm>\frac{3}{\sqrt{7}}$, nous aurions retrouvé la courbe de la fig. 5, etc.

Dans le cas où $m=0$, les équations (2bis) et (4bis) sont susceptibles d’être intégrées complètement. Si l’on se reporte en effet à ce que nous avons dit au N° de la signification physique de ces équations, on voit qu’elles représentent le mouvement d’un astre soumis à deux forces centrales variants l’une suivant la loi de Newton, l’autre dire cte de la distance.

Dans ce cas l’intégrale de Jacobi s’écrit :

(3ter) $\frac{u^{\prime}s^{\prime}}{2}-\frac{3}{4}{p}^{2}\mathit{us}-\frac{h}{r}=C$

d’autre part des équations (2bis) on tire :

$$u^{\prime\prime}s-\mathit{us}^{\prime\prime}+\mathrm{2pi}(\mathit{su}^{\prime}-\mathit{us}^{\prime})=0$$

d’où en intégrant :

$$u^{\prime}s-\mathit{us}^{\prime}+\mathrm{2pius}=\lambda\mathrm{2Ai}$$

Ce qui correspond à l’intégrale des aires. Si nous passons aux coordonnées polaires en posant :

$$u=r{e}^{i\omega},s=r{e}^{-i\omega}$$

ces deux intégrales deviendront :

$$\frac{r{{}^{\prime}}^{2}+{r}^{2}\omega{{}^{\prime}}^{2}}{2}-\frac{3}{4}{p}^{2}{r}^{2}-\frac{h}{r}=C$$

$${r}^{2}\omega^{\prime}+{\mathit{pr}}^{2}=A$$

d’où :

$$\omega{{}^{\prime}}^{2}\frac{{(\frac{\mathit{dr}}{d\omega})}^{2}+{r}^{2}}{2}-\frac{3}{4}{p}^{2}{r}^{2}-\frac{h}{r}=C;\omega^{\prime}=\frac{A-{\mathit{pr}}^{2}}{{r}^{2}}$$

et enfin :

$$\left[\left(\frac{dr}{d\omega}\right)^{2}+r^{2}\right](A-pr^{2})^{2}=Cr^{4}+\frac{3}{4}p^{2}r^{6}+hr^{3}$$ (11)

d’où l’on tirerait

$$\omega=\int\frac{(A-{\mathit{pr}}^{2})\mathit{dr}}{\sqrt{P(r)}}$$

$P$ étant un polynôme du 6ème degré en $r$. Soient $r_{0}$ et $r_{1}$ deux racines de $P(r)$ et envisageons l’intégrale :

$$\Omega=\int_{r_{0}}^{r_{1}}\frac{A=pr^{2}dr}{\sqrt{2}}$$

Les distances $r_{0}$ et $r_{1}$ correspondront aux distances périhélie ou aphélie; de sorte que l’intégrale $\Omega$ représente l’angle des deux directions périhélie et aphélie. Quelle est la condition pour que, comme nous le supposons, la trajectoire soit une courbe fermée admettant les deux axes comme axes de symétrie.

Celà arrivera :

1° Si ${r}_{0}={r}_{1}$, c’est à dire si le polynôme P admet deux racines égales, de telle sorte que la trajectoire soit circulaire; ce sont ces trajectoires circulaires qui nous ont servi de point de départ au N°; c’est à ces trajectoires circulaires que se réduisent pour m=0, les trajectoires déterminées au N°.

2° Si $\Omega=\frac{\pi}{2}$; 3° Si $\Omega=\frac{\pi}{\mathrm{2n}}$, n étant entier ; 4° Si $\Omega$est commensurable avec $2\pi$.

Je sépare avec attention ces trois derniers cas; car le premier est b plus simple et doit attirer d’abord norte attention, et dans le dernier cas, la courbe est fermée mais à la condition de faire plusieurs fois le tour de l’origine.

Equations de Hill généralisées

$$y^{\prime\prime}-\mathrm{2mx}^{\prime}+\mathit{ay}+\mathit{by}+\frac{\mathit{hy}}{{r}^{3}}=0$$

Multipliant par x’ et y’ il vient :

$$(x^{\prime}x^{\prime\prime}+y^{\prime}y^{\prime\prime})+a(\mathit{xx}^{\prime}+\mathit{yy}^{\prime})+b(\mathit{xx}^{\prime}+\mathit{yy}^{\prime})+h\frac{(\mathit{xx}^{\prime}+\mathit{yy}^{\prime})}{{r}^{3}}=0$$

d’où en intégrant l’intégrale de Jacobi :

$$\frac{x{{}^{\prime}}^{2}+y{{}^{\prime}}^{2}}{2}+\frac{a}{2}({x}^{2}+{y}^{2})+\frac{b}{2}({x}^{2}-{y}^{2})-\frac{h}{r}=C$$

Multipliant les 3 éq par x, y et 1 il vient :

$$(\mathit{xx}^{\prime\prime}+\mathit{yy}^{\prime\prime})+\mathrm{2m}(x^{\prime}y-\mathit{xy}^{\prime})+\frac{\mathrm{3a}}{2}({x}^{2}+{y}^{2})+\frac{\mathrm{3b}}{2}({x}^{2}-{y}^{2})+\frac{x{{}^{\prime}}^{2}+y{{}^{\prime}}^{2}}{2}=C$$

Multipliant par y, -x et 0 :

$$(\mathit{yx}^{\prime\prime}-\mathit{xy}^{\prime\prime})-\mathrm{2m}(\mathit{xx}^{\prime}+\mathit{yy}^{\prime})+\mathrm{2bxy}=0$$

Posant

$$u=x+\mathit{iy},s=x-\mathit{iy}$$

Les deux équations primitives deviennent :

$$s^{\prime\prime}+\mathrm{2mis}^{\prime}+\mathit{as}+\mathit{bu}+\frac{\mathit{hs}}{{r}^{3}}=0$$

Multipliant par $s^{\prime}$ et $u^{\prime}$

$$(s^{\prime}u^{\prime\prime}+u^{\prime}s^{\prime\prime})+a(\mathit{us}^{\prime}+\mathit{su}^{\prime})+b(\mathit{ss}^{\prime}+\mathit{uu}^{\prime})+\frac{h(\mathit{us}^{\prime}+\mathit{su}^{\prime})}{{r}^{3}}=0$$

En intégrant :

$$u^{\prime}s^{\prime}+\mathit{aus}+\frac{b}{2}({u}^{2}+{s}^{2})-\frac{\mathrm{2h}}{r}=\mathrm{2C}$$

Mais

$$\frac{u}{{r}^{3}}=\frac{1}{r}\frac{1}{s}$$

Il faut donc multiplier la première éq par 2s et ajouter d’où :

$$\mathrm{2u}^{\prime\prime}s+\mathrm{4miu}^{\prime}s+u^{\prime}s^{\prime}+\mathrm{3aus}+\frac{b}{2}({u}^{2}+{\mathrm{5s}}^{2})=\mathrm{2C}$$

Pour identifier, il faut faire

$$a+b={\mathrm{3m}}^{2};a-b=0;a=b=\frac{-3}{2}{m}^{2}$$

d’où en divisant par 2,

$$u^{\prime\prime}s+\mathrm{2miu}^{\prime}s+\frac{u^{\prime}s^{\prime}}{2}-\frac{9}{4}{m}^{2}\mathit{us}-\frac{3{m}^{2}}{8}({u}^{2}+{\mathrm{5s}}^{2})=C$$

Pour une masse attirante tournant avec la même vitesse , mais $<$ ou $>$ on aurait :

$$a+b =-{m}^{2}-2\epsilon{m}^{2};a-b=-{m}^{2}+\epsilon{m}^{2}\quad(\epsilon\text{ proport. \`{a} la masse})$$

$$a =-{m}^{2}-\frac{1}{2}\epsilon{m}^{2};b=\frac{-3}{2}\epsilon{m}^{2}$$

Supposons que h étant donné, nous ayons pour u et s des valeurs très grandes, soit :

$$s^{\prime\prime}+\mathrm{2mis}^{\prime}-\frac{3}{2}{m}^{2}(u+s)+\frac{\mathit{hs}}{{r}^{3}}=0$$

On devra avoir à peu près, $\alpha,\beta$étants très grands :

$$u=\alpha{\zeta}^{k}+\beta{\zeta}^{-k},s=\beta{\zeta}^{k}+\alpha{\zeta}^{-k}$$

Avec à peu près :

(1) $\beta(-{k}^{2}-\mathrm{2mk}-\frac{3}{2}{m}^{2})-\frac{3}{2}\alpha{m}^{2}=0$

ou bien :

$${({k}^{2}-\frac{3}{2}{m}^{2})}^{2}-{\mathrm{4m}}^{2}{k}^{2}-\frac{9}{4}{m}^{4}=0$$

d’où le rapport $\frac{m}{k}$, remarquons que k est impair. Soit ${m}_{0}$la valeur de $m$correspondante, alors $m-{m}_{0}$est très petit; on a; en développant :

$${k}^{4}-{\mathrm{7m}}_{0}^{2}{k}^{2}=0;{m}_{0}=\frac{k}{\sqrt{7}}$$

Si $m$ est très voisin de ${m}_{0}$on a sensiblement :

$$\alpha(\frac{17}{14}+\frac{2}{\sqrt{7}})=\frac{-3\beta}{14};\frac{\alpha}{\beta}=\frac{1}{\lambda}$$

On a sensiblement :

$$\frac{\mathit{hu}}{{r}^{3}}=h{(\alpha{\zeta}^{k}+\beta{\zeta}^{-k})}^{\frac{-1}{2}}{(\beta{\zeta}^{k}+\alpha{\zeta}^{-k})}^{\frac{-3}{2}}$$

et il nous faut chercher le coefficient de ${\zeta}^{k}$ et ${\zeta}^{-k}$, ils seront de la forme :

$\mathit{ah}{\alpha}^{-\mathrm{2,}}\mathit{bh}{\alpha}^{-2}$; a et bétants des coefficients connus puis qu’on connaît $\frac{\beta^{\prime}}{\alpha}$. dans $\frac{\mathit{hs}}{{r}^{3}}$ces coeff sont inversés, ce qui permet d’écrire :

$$\beta(-{k}^{2}-\mathrm{2mk}-\frac{3}{2}{m}^{2})-\frac{3}{2}\alpha{m}^{2}+\mathit{bh}{\alpha}^{-2}=0$$

Il faut profiter de ce que $\frac{\beta}{\alpha}$n’a pas sa valeur exacte, et que $m$ n’est pas exactement ${m}_{0}$. Ecrivons les premiers membres des deux éq (1).

$$\alpha{\phi}_{1}(m,\frac{\beta}{\alpha}),\alpha{\phi}_{2}(m,\frac{\beta}{\alpha})$$

On a

$${\phi}_{1}({m}_{0},\lambda)={\phi}_{2}({m}_{\mathrm{0,}}\lambda)=0\quad\text{Soit }\frac{\beta}{\alpha}=\lambda+\epsilon$$

d’où, les deux éq :

$${\alpha}^{3}[\frac{d{\phi}_{1}}{{\mathit{dm}}_{0}}(m-{m}_{0})+\epsilon\frac{d{\psi}_{1}}{d\lambda}]+a=0$$

$${\alpha}^{3}[\frac{d{\phi}_{2}}{{\mathit{dm}}_{0}}(m-{m}_{0})+\epsilon\frac{d{\psi}_{2}}{d\lambda}]+b=0$$

on tire de là :

$${\alpha}^{3}(m-{m}_{0});{\alpha}^{3}\epsilon$$

$\alpha$est donc de l’ordre de ${(\frac{1}{m-{m}_{0}})}^{\frac{1}{3}}$et $\epsilon$de l’ordre $m-{m}_{0}$.

Cela posé, faisons $m={m}_{0},u=\alpha{\zeta}^{k}+\beta{\zeta}^{-k}$et cherchons l’exposant caractéristique.

Nous aurons $h=0$ en première approx et en seconde :

$$\delta s^{\prime\prime}+\mathrm{2mi}\delta s^{\prime}-\frac{3}{2}{m}^{2}(\delta u+\delta s)+\frac{s}{{r}^{3}}\delta h=0$$

Venons à l’eq en p et m

$$s^{\prime\prime}+\mathrm{2pis}^{\prime}-\frac{3}{2}{p}^{2}s-\frac{3}{2}{m}^{2}u+\frac{\mathit{hs}}{{r}^{3}}=0$$

d’où les équations

$$\beta(-{k}^{2}-\mathrm{2pk}-\frac{3}{2}{p}^{2})-\frac{3}{2}\alpha{m}^{2}=0$$ (1 bis)

ou

$${({k}^{2}-\frac{3}{2}{p}^{2})}^{2}-{\mathrm{4p}}^{2}{k}^{2}-\frac{9}{4}{m}^{4}=0$$

Si $m=0$, il reste $\beta=0$${k}^{2}+\mathrm{2pk}+\frac{3}{2}{p}^{2}=0$, ou $\alpha=0,{k}^{2}-\mathrm{2pk}+\frac{3}{2}{p}^{2}=0$

$\frac{p}{k}$=imag.

Pour $m=0$, l’intégration est possible, car celà revient aux forces centrales avec des axes tournants.

Intégrale de Jacobi :

$$\frac{x{{}^{\prime}}^{2}+y{{}^{\prime}}^{2}}{2}-\frac{{\mathrm{3p}}^{2}}{4}({x}^{2}+{y}^{2})-\frac{h}{r}=C=\frac{r{{}^{\prime}}^{2}+{r}^{2}\omega{{}^{\prime}}^{2}}{2}-\frac{{\mathrm{3p}}^{2}{r}^{2}}{4}-\frac{h}{r}$$

$$\mathit{yx}^{\prime\prime}-\mathit{xy}^{\prime\prime}-\mathrm{2p}(\mathit{xx}^{\prime}+\mathit{yy}^{\prime})=0;\mathit{yx}^{\prime}-\mathit{xy}^{\prime}-p({x}^{2}+{y}^{2})=-k$$

$${r}^{2}(\omega^{\prime}+p)=k;\omega^{\prime}=-p+\frac{k}{2}$$

$$C=\frac{r{{}^{\prime}}^{2}}{2}+\frac{{p}^{2}{r}^{2}}{2}-\mathit{kp}+\frac{{k}^{2}}{{\mathrm{2r}}^{2}}-\frac{{\mathrm{3p}}^{2}{r}^{2}}{4}-\frac{h}{r}$$

Reprenons l’équation

$$u^{\prime\prime}s+\mathrm{2piu}^{\prime}s+\frac{u^{\prime}s^{\prime}}{2}-\frac{9}{4}{p}^{2}\mathit{us}=C+\frac{{\mathrm{3m}}^{2}}{8}({u}^{2}+{s}^{2})$$

Soit :

$${p}^{2}-\mathrm{4p}+{\mathrm{2h}}^{2}-2=0(h\text{ entier pair})$$

puis changeons $p$et $p+\mu$et développons suivant les puissances de $\epsilon$et de ${m}^{2}$.

Posons comme plus haut; (en supposant $m=\lambda\epsilon$)

$$u=\zeta\sum{\epsilon}^{\alpha}{u}_{\alpha},s={\zeta}^{-1}\sum{\epsilon}^{\alpha}{s}_{\alpha}$$

1° On a ${u}_{0}={s}_{0}=1$(on passe de u à s en changeant $\zeta$en ${\zeta}^{-1}$.

2° Il vient ensuite

$${u}_{1}=\xi{\zeta}^{h}+\eta{\zeta}^{-h},{s}_{1}=\eta{\zeta}^{h}+\xi{\zeta}^{-h}$$

$\eta[-{h}^{2}-(\mathrm{2p}+\frac{3}{2})h-P]+\xi(\frac{h}{2}-P)=0$ $P=\frac{{\mathrm{9p}}^{2}}{4}+\mathrm{2p}+\frac{1}{2}$

$\xi[-{h}^{2}+(\mathrm{2p}+\frac{3}{2})h-P]+\eta(\frac{-h}{2}-P)=0$

3° Pour les termes en ${\epsilon}^{2}$, nous poseront $\mu={\mu}_{2}{\epsilon}^{2}+{\mu}_{3}{\epsilon}^{3}\mathrm{...}$et nous allons déterminer d’abord ${\mu}_{2}$.

L’équation devient : $\Delta({u}_{\mathrm{2,}}{s}_{2})$fonction linéaire de ${u}_{2},{s}_{2}$et dérivées :

On aurait pris ${C}_{1}-\frac{9}{2}{\mathit{pu}}_{1}=0$.

Revenons à l’équation en ${u}_{2},{s}_{2}$; on aurait déja, si ${\xi}_{1},{\eta}_{1}$sont des coeff de ${\zeta}^{k}$; ${\xi}_{2},{\eta}_{2}$ceux de ${\zeta}^{-k}$, si ${a}_{1},{b}_{1};{c}_{1},{d}_{1}$les mêmes coeff dans $\phi$et son conjugué dans

$\mathrm{2iu}{{}^{\prime}}_{1}{s}_{0}-\frac{9}{2}{\mathit{pu}}_{1}{s}_{0}-\frac{9}{2}p{u}_{1}{s}_{1}$. Soit A, B, C, D les coeff de (1) on a :

$$A{\eta}_{1}+B{\xi}_{1}={a}_{1}+{\mu}_{1}{c}_{1},C{\eta}_{2}+D{\xi}_{2}={a}_{2}+{\mu}_{1}{c}_{2}$$

$$C{\xi}_{1}+D{\eta}_{1}={b}_{1}+{\mu}_{1}{d}_{1},A{\xi}_{2}+B{\eta}_{2}={b}_{2}+{\mu}_{1}{d}_{2}$$

or ${a}_{2}={b}_{1},{a}_{1}={b}_{2},{c}_{2}={d}_{1},{c}_{1}={d}_{2},{\xi}_{1}={\eta}_{2},{\eta}_{1}={\xi}_{2}$; de sorte que les deux premières suffisent. Comme le déterminant $\mathit{BD}-\mathit{AC}=0$, On a $D=\lambda A,C=\lambda D$, il reste :

$${b}_{1}-\lambda{a}_{1}+{\mu}_{1}({d}_{1}-\lambda{c}_{1})=0$$

Ce qui détermine ${\mu}_{1}$(si ${d}_{1}-\lambda{c}_{1}$n’est pas seul). Calcul de ${c}_{1},{d}_{1}$:

$${c}_{1}=-\mathrm{2h}\xi-\frac{9}{2}p(\xi+\eta),{d}_{1}=-\mathrm{2h}\eta-\frac{9}{2}p(\xi+\eta)$$

Equations (2bis) pour $m=0$, orbites circulaires $u=r{e}^{in\tau}$, $s=r{e}^{-in\tau}$

$$-{n}^{2}-\mathrm{2pn}-\frac{3}{2}{p}^{2}+\frac{h}{{r}^{3}}=0$$

Equations aux vari.

$$\delta u^{\prime\prime}+\mathrm{2pi}\delta u^{\prime}-\frac{3}{2}{p}^{2}\delta u-\frac{h}{2}\frac{\delta u}{{r}^{3}}-\frac{\mathrm{3h}}{2}\frac{\delta s}{{r}^{3}}{e}^{\mathrm{2in}\tau}=0$$

$\delta s^{\prime\prime}+\mathrm{2pi}\delta s^{\prime}-\frac{3}{2}{p}^{2}\delta s-\frac{h}{2}\frac{\delta s}{{r}^{3}}-\frac{\mathrm{3h}}{2}\frac{\delta u}{{r}^{3}}{e}^{\mathrm{2in}\tau}=0$ ($\lambda$)

Nous y satisferont en faisant $\delta u=\alpha{e}^{i(\delta+n)\tau},\delta s=\beta{e}^{i(\delta-n)\tau}$, d’où :

$$-\alpha{(\lambda+n)}^{2}-\mathrm{2p}\alpha(\lambda+n)-\frac{3}{2}{p}^{2}\beta-\frac{h}{{\mathrm{2r}}^{3}}\alpha-\frac{\mathrm{3h}}{{\mathrm{2r}}^{3}}\beta=0$$

$-\beta{(\lambda-n)}^{2}+\mathrm{2p}\beta(\lambda-n)-\frac{3}{2}{p}^{2}\beta-\frac{h}{{\mathrm{2r}}^{3}}\beta-\frac{\mathrm{3h}}{{\mathrm{2r}}^{3}}\alpha=0$ ($\mu$)

Ou bien en faisant $n=1$:

$$\alpha[-{(\lambda-1)}^{2}-\mathrm{2p}(\lambda+1)-\frac{3}{2}{p}^{2}-\frac{3}{4}{p}^{2}-p-\frac{1}{2}]-\frac{3}{2}\beta(\frac{3}{2}{p}^{2}+\mathrm{2p}+1)=0$$

$$\beta[-{(\lambda-1)}^{2}+\mathrm{2p}(\lambda-1)-\frac{3}{2}{p}^{2}-\frac{3}{4}{p}^{2}-p-\frac{1}{2}]-\frac{3}{2}\alpha(\frac{3}{2}{p}^{2}+\mathrm{2p}+1)=0$$

Eq

$$\beta[-{\lambda}^{2}-(\mathrm{2p}+\frac{3}{2})\lambda-(\frac{9}{4}{p}^{2}+\mathrm{2p}+\frac{1}{2})]+\alpha[\frac{\lambda}{2}-(\frac{9}{4}{p}^{2}+\mathrm{2p}+\frac{1}{2})]=0$$

$$\alpha[-{\lambda}^{2}+(\mathrm{2p}+\frac{3}{2})\lambda-(\frac{9}{4}{p}^{2}+\mathrm{2p}+\frac{1}{2})]+\beta[\frac{-\lambda}{2}-(\frac{9}{4}{p}^{2}+\mathrm{2p}+\frac{1}{2})]=0$$

Donc on a :

$$2{\lambda}^{2}+{p}^{2}-\mathrm{4p}-2=0$$

où pour $\lambda=\pm 2,{p}^{2}-\mathrm{4p}+6=0$, pour $\lambda=\pm 4,{p}^{2}-\mathrm{4p}+30=0$etc. etc.

Pour $\lambda=0,{p}^{2}-\mathrm{4p}-2=0,p=2\pm\sqrt{6},P=\frac{3}{2}{p}^{2}+\mathrm{2p}+1$:

$$(\frac{3}{2}{p}^{2}+\mathrm{2p}+1)(\alpha+\beta)=0$$

Equation aux variations en tenant compte de ${m}^{2}$($n=1$) :

$$\delta u^{\prime\prime}+\mathrm{2pi}\delta u^{\prime}-\frac{3}{2}{p}^{2}\delta u-\frac{h}{{\mathrm{2r}}^{2}}\delta u-\frac{\mathrm{3h}}{{\mathrm{2r}}^{2}}\delta s{e}^{\mathrm{2i}\tau}=\frac{3}{2}{m}^{2}s$$

d’où puisque $s=r{e}^{-i\tau},u=r{e}^{i\tau}$; substituons à la place des premiers nombres$\delta u=\alpha{e}^{i(\delta+1)\tau},\delta s=\beta{e}^{i(\delta-1)\tau}$; il viendra :

$$[\alpha[-{\delta}^{2}-2\delta(p+1)-\frac{3}{2}P]-\frac{3}{2}\beta P]{e}^{i(\delta+1)\tau}$$

$$[\beta[-{\delta}^{2}+2\delta(p+1)-\frac{3}{2}P]-\frac{3}{2}\alpha P]{e}^{i(\delta-1)\tau}$$

Appelons $A(\lambda),B(\lambda)$les coeff cela fera :

$A(\lambda){e}^{i(\lambda+1)\tau},B(\lambda){e}^{i(\lambda-1)\tau}$; soit $\lambda=-2$, il viendra :

$A(2)=0$, $B(2)=\frac{3}{2}{m}^{2}r$

Quid si ${p}^{2}-\mathrm{4p}+6=0$? Il convient de faire :

$$\delta u=\alpha\tau{e}^{i\tau}+\alpha^{\prime}{e}^{i\tau},\delta s=\beta\tau{e}^{i\tau}+\beta^{\prime}{e}^{i\tau}$$

$$A(-\mathrm{2,}\alpha,\beta)=B(-\mathrm{2,}\alpha,\beta)=0$$

$$\frac{\mathit{dA}(\alpha,\beta)}{d\lambda}+A(-\mathrm{2,}\alpha^{\prime},\beta^{\prime})=0,\frac{\mathit{dB}(\alpha,\beta)}{d\lambda}+B(-\mathrm{2,}\alpha^{\prime},\beta^{\prime})=0$$

Les deux premières eq se réduisent à une, d’où trois eq pour $\alpha,\beta,\alpha^{\prime},\beta^{\prime}$, une indéterm [illisible] .

Soit à satisf aux éq ($\lambda$) en faisant $n=1,\delta u=\tau{e}^{i\tau}+\alpha{e}^{i\tau},\delta s=-\tau{e}^{-i\tau}+\beta{e}^{-i\tau}$, il vient :

$$\mathrm{2i}+\mathrm{2pi}+A(\mathrm{0,}\alpha,\beta)=0$$

$$\mathrm{2i}+\mathrm{2pi}+B(\mathrm{0,}\alpha,\beta)=0$$

Or :

$$2(p+1)i+\frac{3}{2}P(\alpha+\beta)=0$$

$\delta u=i\tau{e}^{i\tau}+{\mathit{ke}}^{i\tau}$ k facile à [illisible] en fonc de p et réel.

$\delta s=-i\tau{e}^{-i\tau}+{\mathit{ke}}^{-i\tau}$

Pour $\tau=0$, on a $\delta u=\delta s\neq\phi$, $\delta u^{\prime}+\delta s^{\prime}=0$, d’où l’expression suivante pour $\delta u$ et $\delta s$:

$$\delta u =\alpha(\zeta^{\lambda+1}+a\zeta^{1-\lambda})+\beta(it\zeta+k\zeta)+m^{2}(b\zeta+c\zeta^{-1})$$

$$\delta s =\alpha(\zeta^{-\lambda-1}+a\zeta^{-1+\lambda})+\beta(-i\tau\zeta^{-1}+k\zeta^{-1})+m^{2}(c\zeta+b\zeta^{-1})$$

$\alpha$, $\beta$ constantes d’intégration, $a$, $b$, $c$, $k$ fonctions connues de $p$. Valeur pour $\tau=\frac{\pi}{2}$, $\zeta=i$

$$\delta u =\alpha(i^{\lambda+1}+ai^{i-\lambda})+\beta(-\frac{\pi}{2}+ki)+m^{2}(bi-ci)$$

$$\delta s =\alpha(i^{-\lambda-1}+ai^{-1+\lambda})+\beta(-\frac{\pi}{2}-ki)+m^{2}(ci-bi)$$

$$\delta u^{\prime} =\alpha[(\lambda+1)i^{\lambda+1}+a(1-\lambda)i^{1-\lambda}]+\beta(-i\frac{\pi}{2}-1-k)+m^{2}(-b-c)$$

$$\delta s^{\prime} =\qquad\cdots\qquad\cdots\qquad\cdots\qquad m^{2}(-b-c)$$

Considérons les valeurs de $\delta u+\delta s$, et de $\delta u^{\prime}-\delta s^{\prime}$, pour $\tau=0$, et pour $\tau=\frac{\pi}{2}$; soient ${A}_{\mathrm{0,}}{A}_{0}^{\prime},{A}_{\mathrm{1,}}{A}_{1}^{\prime}$ ces valeurs.

Développons-les suivant les puissances de $\alpha$, $\beta$, $\delta p$, et $m^{2}$.

Ecrivons ensuite les équations $A_{1}=A_{1}^{\prime}=0$.

Corriger $\sqrt{7}$ par 1 et conséquences multiples. Corriger aussi le chapitre XXV.

Rechercher quel est le cas où l’exposant caractéristique = par ex $\frac{1}{3}$, voir si en multipliant $m$ par 3 on ne va pas avoir une solution de période $\frac{2\pi}{3}$, appartenant à une série de solutions de période $2\pi$, et si cette dernière série est la continuation analytique de celle de Hill.

AD 17p. Collection particulière, 75017 Paris.

Notes

• 1 La précision de cette transcription n’a pas été validée.
• 2 Hill (1878a, b, c); Hill (1905).