P.L.M. Aix-les-Bains

Novembre 1899

[Uncaptioned image]
A;m1\displaystyle A;{m}_{1} =m2=m3;x1,x2,x3\displaystyle={m}_{2}={m}_{3};{x}_{\mathrm{1,}}{x}_{\mathrm{2,}}{x}_{3}
B;m4\displaystyle B;{m}_{4} =m5=m6;x4,x5,x6\displaystyle={m}_{5}={m}_{6};{x}_{4},{x}_{5},{x}_{6}
C;m7\displaystyle C;{m}_{7} =m8=m9;x7,x8,x9\displaystyle={m}_{8}={m}_{9};{x}_{7},{x}_{8},{x}_{9}

U=m1m4𝐴𝐵+m1m7𝐴𝐶+m4m7𝐵𝐶;yi=mi𝑑𝑥i𝑑𝑡U=\frac{{m}_{1}{m}_{4}}{\mathit{AB}}+\frac{{m}_{1}{m}_{7}}{\mathit{AC}}+\frac{% {m}_{4}{m}_{7}}{\mathit{BC}};{y}_{i}={m}_{i}\frac{{\mathit{dx}}_{i}}{\mathit{% dt}}

T=12mi(𝑑𝑥i𝑑𝑡)2;mid2xi𝑑𝑡2=𝑑𝑈𝑑𝑥i;F=TUT=\frac{1}{2}\sum{m}_{i}{(\frac{{\mathit{dx}}_{i}}{\mathit{dt}})}^{2};{m}_{i}% \frac{{d}^{2}{x}_{i}}{{\mathit{dt}}^{2}}=\frac{\mathit{dU}}{{\mathit{dx}}_{i}}% ;F=T-U

proj de 𝐴𝐶\mathit{AC}: x1,x2,x3;m1=m2=m3=m1m7m1+m7x^{\prime}_{1},x^{\prime}_{2},x^{\prime}_{3};m^{\prime}_{1}=m^{\prime}_{2}=m^{% \prime}_{3}=\frac{{m}_{1}{m}_{7}}{{m}_{1}+{m}_{7}}

proj de 𝐵𝐷\mathit{BD}: x4,x5,x6;m4=m5=m6=m4(m1+m7)m1+m4+m7x^{\prime}_{4},x^{\prime}_{5},x^{\prime}_{6};m^{\prime}_{4}=m^{\prime}_{5}=m^{% \prime}_{6}=\frac{{m}_{4}({m}_{1}+{m}_{7})}{{m}_{1}+{m}_{4}+{m}_{7}}

T=12mi(𝑑𝑥i𝑑𝑡)2;mid2xi𝑑𝑡2=𝑑𝑈𝑑𝑥i;yi=mi𝑑𝑥i𝑑𝑡T=\frac{1}{2}\sum m^{\prime}_{i}{(\frac{{\mathit{dx}}_{i}^{\prime}}{\mathit{dt% }})}^{2};{m}_{i}^{\prime}\frac{{d}^{2}{x}_{i}^{\prime}}{{\mathit{dt}}^{2}}=% \frac{\mathit{dU}}{{\mathit{dx}}_{i}^{\prime}};{y}_{i}^{\prime}={m}_{i}^{% \prime}\frac{{\mathit{dx}}_{i}^{\prime}}{\mathit{dt}}

U=(m1m7𝐴𝐶)+(m4(m1+m7)𝐵𝐷)+(m1m4𝐴𝐵+m4m7𝐵𝐶m4(m1+m7)𝐵𝐷)=U0+U1+U2U=(\frac{{m}_{1}{m}_{7}}{\mathit{AC}})+(\frac{{m}_{4}({m}_{1}+{m}_{7})}{% \mathit{BD}})+(\frac{{m}_{1}{m}_{4}}{\mathit{AB}}+\frac{{m}_{4}{m}_{7}}{% \mathit{BC}}-\frac{{m}_{4}({m}_{1}+{m}_{7})}{\mathit{BD}})={U}_{0}+{U}_{1}+{U}% _{2}

C=Terre ; B=Soleil ; A=Lune ; soit 𝐴𝐶=r,𝐵𝐷=r,𝐵𝐷𝐴=ω\mathit{AC}=r,\mathit{BD}=r^{\prime},\mathit{BDA}=\omega

𝐴𝐵2=𝐴𝐷22AD.BDcosω+𝐵𝐷2{\mathit{AB}}^{2}={\mathit{AD}}^{2}-\mathrm{2AD.BD}\cos\omega+{\mathit{BD}}^{2}, d’où :

1𝐴𝐵=1𝐵𝐷[12AD𝐵𝐷cosω+𝐴𝐷2𝐵𝐷2]12=1𝐵𝐷[1+𝐴𝐷cosω𝐵𝐷+(𝐴𝐷𝐵𝐷)2(3cos2ω12)+]\frac{1}{\mathit{AB}}=\frac{1}{\mathit{BD}}{[1-\frac{\mathrm{2AD}}{\mathit{BD}% }\cos\omega+\frac{{\mathit{AD}}^{2}}{{\mathit{BD}}^{2}}]}^{-\frac{1}{2}}=\frac% {1}{\mathit{BD}}[1+\frac{\mathit{AD}\cos\omega}{\mathit{BD}}+{(\frac{\mathit{% AD}}{\mathit{BD}})}^{2}(\frac{3{\cos}^{2}\omega-1}{2})+\mathrm{...}]

m4m7(1𝐵𝐶1𝐵𝐷)=cosω𝐵𝐷2m4m7𝐶𝐷+m4m7𝐶𝐷2𝐵𝐷3(3cos2ω12)+{m}_{4}{m}_{7}(\frac{1}{\mathit{BC}}-\frac{1}{\mathit{BD}})=\frac{-\cos\omega}% {{\mathit{BD}}^{2}}{m}_{4}{m}_{7}\mathit{CD}+{m}_{4}{m}_{7}\frac{{\mathit{CD}}% ^{2}}{{\mathit{BD}}^{3}}(\frac{{\mathrm{3cos}}^{2}\omega-1}{2})+\mathrm{...}

m1𝐴𝐷=m7𝐶𝐷;U2=𝐴𝐶2𝐵𝐷33cos2ω12m1m7m4m1+m7{m}_{1}\mathit{AD}={m}_{7}\mathit{CD};{U}_{2}=\frac{{\mathit{AC}}^{2}}{{% \mathit{BD}}^{3}}\frac{{\mathrm{3cos}}^{2}\omega-1}{2}\frac{{m}_{1}{m}_{7}{m}_% {4}}{{m}_{1}+{m}_{7}}

U2U0=3cos2ω12m4m1+m7(𝐴𝐶𝐵𝐷)3;U2U1=3cos2ω2m1m7(m1+m7)2(𝐴𝐶𝐵𝐷)2\frac{{U}_{2}}{{U}_{0}}=\frac{{\mathrm{3cos}}^{2}\omega-1}{2}\frac{{m}_{4}}{{m% }_{1}+{m}_{7}}{(\frac{\mathit{AC}}{\mathit{BD}})}^{3};\frac{{U}_{2}}{{U}_{1}}=% \frac{{\mathrm{3cos}}^{2}\omega}{2}\frac{{m}_{1}{m}_{7}}{{({m}_{1}+{m}_{7})}^{% 2}}{(\frac{\mathit{AC}}{\mathit{BD}})}^{2}

3cos2ω2<m4m1+m7<350000;m1m1+m7<180;m7m1+m7<1;𝐴𝐶𝐵𝐷<1400\frac{{\mathrm{3cos}}^{2}\omega}{2}<\frac{{m}_{4}}{{m}_{1}+{m}_{7}}<350000;% \frac{{m}_{1}}{{m}_{1}+{m}_{7}}<\frac{1}{80};\frac{{m}_{7}}{{m}_{1}+{m}_{7}}<1% ;\frac{\mathit{AC}}{\mathit{BD}}<\frac{1}{400}
U2U0<1150;U2U1<1120000\frac{{U}_{2}}{{U}_{0}}<\frac{1}{150};\frac{U_{2}}{U_{1}}<\frac{1}{120000}

Il vaut mieux au lieu de U0,U1,U2{U}_{0},{U}_{1},{U}_{2} écrire U0{U}_{0}, U0{U}_{0}^{\prime}, U1{U}_{1}

β=m1m7m1+m7;β=m4m4(m7+m1)=m4(m1+m7)m1+m4+m7\beta=\frac{{m}_{1}{m}_{7}}{\sqrt{{m}_{1}+{m}_{7}}};\beta^{\prime}=\sqrt{{m}_{% 4}^{\prime}{m}_{4}({m}_{7}+{m}_{1})}=\frac{{m}_{4}({m}_{1}+{m}_{7})}{\sqrt{{m}% _{1}+{m}_{4}+{m}_{7}}}

Nous poserons F=F0+μF1;F0=TU0U1;μF1=U2F={F}_{0}+\mu{F}_{1};{F}_{0}=T-{U}_{0}-{U}_{1};\mu{F}_{1}=-{U}_{2}

Si on avait μ=0\mu=0, le mouvement relatif de A par rapport à C (ou de B par rapport à D) serait Képlerien, et tout se passerait comme si A était attiré par C par une masse m1m7m1\frac{{m}_{1}{m}_{7}}{{m}_{1}}et B par D par une masse m4(m7+m1)m4=m1+m4+m7\frac{{m}_{4}({m}_{7}+{m}_{1})}{{m}_{4}}={m}_{1}+{m}_{4}+{m}_{7}.

Théorème rappelé : les xx^{\prime}peuvent se développer suivant les puissances de μ\mu; ce sont des foncions de qqconstantes d’intégration

z,z,ρ1,ρ2,ρ3z,z^{\prime},{\rho}_{1},{\rho}_{2},{\rho}_{3}

et de cinq arguments :

w,w,ω1,ω2,ω3w,w^{\prime},{\omega}_{1},{\omega}_{2},{\omega}_{3}

Ces cinq arguments sont de la forme :

w=𝑛𝑡+ϵ;w=nt+ϵ;ωk=νk+ϵkw=\mathit{nt}+\epsilon;w=n^{\prime}t+\epsilon;{\omega}_{k}={\nu}_{k}+{\epsilon% }_{k}

Les [illisible] et les ϵ\epsilonsont cinq nouvelles constantes d’intégration ; les nnet les ν\nusont des constantes qui dépendent des cinq constantes z,ρ,μz,\rho,\mu. (Tout celà suppose qu’on a pris le plan invariable pour le plan des xy).Les xx^{\prime}sont des fonctions périodique des w,ωw,\omega.

Ces fonctions sont développables selon les puissances de μ\muet de ρk2{\rho}_{k}^{2}, seulement pour μ=0\mu=0, les ν\nus’annuleront, mais les nnne s’annuleront pas.

xi𝑑𝑦i𝑧𝑑𝑤z𝑑𝑤+ρk2dωk=𝑑𝑖𝑓𝑓e´𝑟𝑒𝑛𝑡𝑖𝑒𝑙𝑙𝑒𝑐𝑥=𝑐𝑡𝑒\sum{x}_{i}^{\prime}{\mathit{dy}}_{i}^{\prime}-\mathit{zdw}-z^{\prime}\mathit{% dw}^{\prime}+\sum{\rho}_{k}^{2}d{\omega}_{k}=\mathit{diff\acute{e}rentielle}% \mathit{cx}=\mathit{cte}.

Signification des termes : ww, ww^{\prime} sont des longitudes moyennes moyennes; nn, nn^{\prime} sont les moyens mouvements moyens, ϵ\epsilon, ϵ\epsilon^{\prime} correspondent aux époques, ρ1\rho_{1}, ρ2\rho_{2}sont de l’ordre des excentricités; de telle façon que ρ3{\rho}_{3} est sensiblement proportionnel à m2i2{m}_{2}\frac{i}{2}; ω3{\omega}_{3}diffère peu de la longitude du noeud, ν1,ν2,ν3{\nu}_{1},{\nu}_{2},{\nu}_{3}étants très petits de l’ordre de μ\mu, les périhélies et les noeuds se déplacent très lentement.

On a sensiblement x=βa;x=βax=\beta\sqrt{a};x^{\prime}=\beta^{\prime}\sqrt{a}^{\prime}.

Forme du développement ; on a pour le terme général :

AE1(𝑞𝑤+qw+j1ω1+j2ω2+j3ω3)ρ1k1ρ2k2ρ3k3A{E}^{\sqrt{-1}(\mathit{qw}+q^{\prime}w^{\prime}+{j}_{1}{\omega}_{1}+{j}_{2}{% \omega}_{2}+{j}_{3}{\omega}_{3})}{\rho}_{1}^{{k}_{1}}{\rho}_{2}^{{k}_{2}}{\rho% }_{3}^{{k}_{3}}

où A est développable suivant les puissances de μ\muet dépend en outre de z,zz,z^{\prime}, les entiers k1{k}_{1}etc sont au moins égaux aux entiers j1{j}_{1}et la différence est paire (les coeff d’un même exposant procèdent donc suivant les puissances de ρ2{\rho}^{2}.).

Le développement peut être mis sous forme réelle; le terme général est alors :

Aρ1k1ρ2k2ρ3k3cos(𝑞𝑤+qw+j1ω1+j2ω2+j3ω3)A{\rho}_{1}^{{k}_{1}}{\rho}_{2}^{{k}_{2}}{\rho}_{3}^{{k}_{3}}\cos(\mathit{qw}+% q^{\prime}w^{\prime}+{j}_{1}{\omega}_{1}+{j}_{2}{\omega}_{2}+{j}_{3}{\omega}_{% 3})

Symétrie; par rapport aux axes des x et des y; les développements de x1,x4{x}_{1}^{\prime},{x}_{4}^{\prime}ne contiennent que des cos\cos; ceux de x1,x2,x4,x5,q3,j3{x}_{1}^{\prime},{x}_{2}^{\prime},{x}_{4}^{\prime},{x}_{5}^{\prime},{q}_{3},{j% }_{3}sont pairs; ces nombres sont impairs dans x3,x6{x}_{3}^{\prime},{x}_{6}^{\prime}.

Tout est de révolution, les distances ponctuelles, les coord. x3,x6{x}_{3}^{\prime},{x}_{6}^{\prime}, les combinaisons x1cosw+x2sinω;x4cosw+x5sinw;x1sinwx2cosw;x4sinwx5cosw{x}_{1}^{\prime}\cos w+{x}_{2}^{\prime}\sin\omega;{x}_{4}^{\prime}\cos w+{x}_{% 5}^{\prime}\sin w;{x}_{1}^{\prime}\sin w-{x}_{2}^{\prime}\cos w;{x}_{4}^{% \prime}\sin w-{x}_{5}^{\prime}\cos w ne dépendent que des 4 différences ww,wωkw-w^{\prime},w-{\omega}_{k}.

Homogenéité; les eq ne changent pas quand on multiplie l’unité de longueur par KKet l’unité de temps par K32{K}^{\frac{3}{2}}. Donc nous evons obtenir une nouvelle solution où tous les xx^{\prime}sont multipliés par KK, les n,νn,\nudivisés par k32{k}^{\frac{3}{2}}. Dans ces conditions, z,zz,z^{\prime}sont multipliés par K\sqrt{K}, les ρ\rhopar K4\sqrt[4]{K}. Donc A est homogène de degré 2k1+k2+k322-\frac{{k}_{1}+{k}_{2}+{k}_{3}}{2}en z,zz,z^{\prime}tandis que les n,νn,\nusont homogènes de degré -3 en z,z,ρ2z,z^{\prime},{\rho}^{2}.

Dans le cas de la Lune, x4,x5,x6{x}_{4}^{\prime},{x}_{5}^{\prime},{x}_{6}^{\prime}varient d’après les lois de Kepler et les éléments du Soleil sont constants. Comme U2U1\frac{{U}_{2}}{{U}_{1}}est du même ordre de grandeur que m4m1+m7(𝐴𝐶𝐵𝐷)3\frac{{m}_{4}}{{m}_{1}+{m}_{7}}{(\frac{\mathit{AC}}{\mathit{BD}})}^{3}; que AC et BD sont du même ordre que a,aa,a^{\prime}nous pourrons poser :

Soit μ=(nnn)2=m2\mu={(\frac{n^{\prime}}{n-n^{\prime}})}^{2}={m}^{2}, soit μ=(nn)2=m2\mu={(\frac{n^{\prime}}{n})}^{2}=m^{\prime 2}

d’où : m=mm+1,m=m1mm^{\prime}=\frac{m}{m+1},m=\frac{m^{\prime}}{1-m^{\prime}}

Nous pourrons poser :

z=βa,ρ12=βae22,ρ32=βai22=βak2z=\beta\sqrt{a},{\rho}_{1}^{2}=\beta\sqrt{a}\frac{{e}^{2}}{2},{\rho}_{3}^{2}=% \beta\sqrt{a}\frac{{i}^{2}}{2}=\beta\sqrt{a}{k}^{2}

Donc x1,x2,x3{x}_{1}^{\prime},{x}_{2}^{\prime},{x}_{3}^{\prime}sont fonction périodiques de w,w,ω1,ω1,ω3w,w^{\prime},{\omega}_{1},{\omega}_{1},{\omega}_{3} , et le terme général est de la forme :

Aek1ek22ek33E1(𝑞𝑤+qw+j1ω1+j2ω2+j3ω3)A{e}^{{k}_{1}}{e}^{{k}_{2}^{2}}{e}^{{k}_{3}^{3}}{E}^{\sqrt{-1}(\mathit{qw}+q^{% \prime}w^{\prime}+{j}_{1}{\omega}_{1}+{j}_{2}{\omega}_{2}+{j}_{3}{\omega}_{3})}

Les différences k1j1{k}_{1}-{j}_{1}, k2j2{k}_{2}-{j}_{2}, k3j3{k}_{3}-j_{3} sont positives ou nulles et paires.

En ce qui concerne x1cosω+x2sinω,x1sinωx2cosω,x3{x}_{1}^{\prime}\cos\omega^{\prime}+{x}_{2}^{\prime}\sin\omega^{\prime},{x}_{1% }^{\prime}\sin\omega^{\prime}-{x}_{2}^{\prime}\cos\omega^{\prime},{x}_{3}^{\prime}; les différences des cinq arguments subsistent seules et q+q+j=0q+q^{\prime}+\sum j=0 .

On prendra pour argument les différences

ww=τ;wω1=l;wω2=l;wω3=λw-w^{\prime}=\tau;w-{\omega}_{1}=l;w^{\prime}-{\omega}_{2}=l^{\prime};w-{% \omega}_{3}=\lambda

et les coeff de ces quatre arguments seront

qj1j3,j1,j2,j3q-{j}_{1}-{j}_{3},-{j}_{1},-{j}_{2},-{j}_{3}.

D’où cette conséquence, nos fonctions sont développables suivant les puissances de μ,𝑒𝐸±𝑖𝑙,eE±𝑖𝑙,𝐾𝐸±iλ,E±iτ\mu,{\mathit{eE}}^{\pm\mathit{il}},e^{\prime}{E}^{\pm\mathit{il}^{\prime}},{% \mathit{KE}}^{\pm i\lambda},{E}^{\pm i\tau}et μ=m\mu=m?

Mais il faut tenir compte des petits diviseurs et en particulier de nn^{\prime}. Les termes qui contiennent en facteur μp{\mu}^{p}peuvent contenir en dénominateur jusqu’à n2p1n^{\prime\mathrm{2p}-1}, si l’on prend μ=m\mu=m^{\prime}; on a ainsi des termes en μp,μpn,,μpn2p1=n2p,n2p1,,n2,n{\mu}^{p},\frac{{\mu}^{p}}{n^{\prime}},\mathrm{...},\frac{{\mu}^{p}}{n^{\prime% \mathrm{2p}-1}}=n^{\prime\mathrm{2p}},n^{\prime\mathrm{2p}-1},\mathrm{...},n^{% \prime\mathrm{2,}}n^{\prime}, de sorte que finalement, nos séries ne vont plus procéder suivant les puissances de n2n^{\prime 2}, mais suivant celles de nn^{\prime}, c’est-à-dire de mm.

Le coeff d’un terme quelconque est donc est donc développé suivant les puissances de m,e2,e2,k2m,{e}^{2},e^{\prime 2},{k}^{2}; il dépend en outre de a,aa,a^{\prime}; mais pas homogène il est égal à aa, multiplié par une fonction de aa=α\frac{a}{a^{\prime}}=\alpha; α\alphaétant très petit, cette fonction sera développable selon les puissances de α\alpha.

Il vient donc finalement :

x=x1cosω+x2sinω=Aaek1ek2kk3αk4cos(μ0τ+μ1l+μ2l+μ3λ)x=x^{\prime}_{1}\cos\omega^{\prime}+{x}_{2}^{\prime}\sin\omega^{\prime}=\sum Aa% {e}^{{k}_{1}}{e}^{{}^{\prime}{k}_{2}}{k}^{{k}_{3}}{\alpha}^{{k}_{4}}\cos({\mu}% _{0}\tau+{\mu}_{1}l+{\mu}_{2}l^{\prime}+{\mu}_{3}\lambda)

y=x1cosωx2sinω=Aaek1ek2kk3αk4sin(μ0τ+μ1l+μ2l+μ3λ)y=x^{\prime}_{1}\cos\omega^{\prime}-{x}_{2}^{\prime}\sin\omega^{\prime}=\sum A% ^{\prime}a{e}^{{k}_{1}}{e}^{{}^{\prime}{k}_{2}}{k}^{{k}_{3}}{\alpha}^{{k}_{4}}% \sin({\mu}_{0}\tau+{\mu}_{1}l+{\mu}_{2}l^{\prime}+{\mu}_{3}\lambda)

z=x3cosωx2sinω=A′′aek1ek2kk3αk4sin(μ0τ+μ1l+μ2l+μ3λ)z=x^{\prime}_{3}\cos\omega^{\prime}-{x}_{2}^{\prime}\sin\omega^{\prime}=\sum A% ^{\prime\prime}a{e}^{{k}_{1}}{e}^{{}^{\prime}{k}_{2}}{k}^{{k}_{3}}{\alpha}^{{k% }_{4}}\sin({\mu}_{0}\tau+{\mu}_{1}l+{\mu}_{2}l^{\prime}+{\mu}_{3}\lambda)

avec les conditions k1>μ1{k}_{1}>\mu_{1} etc.; k1{k}_{1}, μ1{\mu}_{1} pairs etc.

Dans x,yx,y, k3,μ3{k}_{3},{\mu}_{3}pairs ; dans zz, k3,μ3{k}_{3},{\mu}_{3}impairs.

μ0{\mu}_{0}Est-il de même parité que k0{k}_{0}; en effet x1,x2,x3{x}_{1}^{\prime},{x}_{2}^{\prime},{x}_{3}^{\prime}ne doivent pas changer si l’on change aa^{\prime}en a-a^{\prime}; w,ω2w^{\prime},{\omega}_{2}en ω+π\omega^{\prime}+\piet ω2+π{\omega}_{2}+\pi. Dans ces conditions, l,l,λl,l^{\prime},\lambdane changent pas.

Donc dans x,yx,y, k0μ0{k}_{0}-{\mu}_{0}est impair.

Dans x1,x2,z{x}_{1}^{\prime},{x}_{2}^{\prime},z, k0μ0{k}_{0}-{\mu}_{0}est pair.

Termes en α\alpha(l=l=k=0l=l^{\prime}=k=0), x,y=Acos(μ0τ+l)x,y=\sum A\cos({\mu}_{0}\tau+l); z=0z=0

μ0{\mu}_{0}impair positif ou négatif ; considérons en particulier les termes en τl,τ+l,3τl\tau-l,\tau+l,3\tau-l; de ces termes dépendent l’équation du centre et [illisible] (dans le cas du mouvement Keplerien, les termes en τl,τ+l\tau-l,\tau+lsubsistent seuls ; constituent l’équation du centre sulement τl\tau-lest constant.) les termes en 3τl3\tau-lconstituent [illisible].

2° En ee^{\prime}; x,y=Acos(μ0τ+l)x,y=\sum A\cos({\mu}_{0}\tau+l^{\prime}); z=0z=0; μ0{\mu}_{0}impair positif ou négatif. Les termes les plus sensibles en τ±l\tau\pm l^{\prime}constituent l’équation annuelle.

3° En α\alpha; x,y=Acos(μ0τ)x,y=\sum A\cos({\mu}_{0}\tau); μ0{\mu}_{0}pair ; le terme le plus important est indépendant de τ\tau, c’est l’inégalité parallactique ; le suivant encore assez important est en 2τ2\tau.

4° En kk; x,y=0,z=Asin(μ0τ+λ)x,y=0,z=A\sin({\mu}_{0}\tau+\lambda)

μ0{\mu}_{0}pair,; terme principal en latitude μ0=0{\mu}_{0}=0, subsiste le mouvement Keplerien ;

Nous poserons :

nν1=c(nn);nν3=g(nn)n-{\nu}_{1}=c(n-n^{\prime});n-{\nu}_{3}=g(n-n^{\prime}).

Alors le coeff d’un terme quelconque ; (de même que g,cg,c) seront développables suivant les puissances de :

m=112,e2=(120)2;e2=(160)2;k2=(120)2;α2=(1400)2.m=\frac{1}{12},{e}^{2}={(\frac{1}{20})}^{2};e^{\prime 2}={(\frac{1}{60})}^{2};% {k}^{2}={(\frac{1}{20})}^{2};{\alpha}^{2}={(\frac{1}{400})}^{2}.

Les développements suivant mmprocèdent donc moins vite que les développements suivant les excentricités, l’inclinaison et la parallaxe.

Les constantes e,ae^{\prime},a^{\prime}sont entièrement définies, il n’en est pas de même pour les autres constantes a,e,ka,e,ket en effet le développement conserverait la même forme si l’on changeait a,e,ka,e,ken aϕ0,eϕ1,kϕ2a{\phi}_{0},e{\phi}_{1},k{\phi}_{2}.

ϕ0,ϕ1,ϕ2{\phi}_{0},{\phi}_{1},{\phi}_{2}étant des séries procédant suivant les puissances de m,e2,e2,k2,α2m,{e}^{\mathrm{2,}}e^{\prime\mathrm{2,}}{k}^{\mathrm{2,}}{\alpha}^{2}.

Brown définit aa soit comme le coeff de Eτ1{E}^{\tau\sqrt{-1}}dans le développement de x+𝑖𝑦x+\mathit{iy}; soit comme lié à nnpar la même relation que le coeff de Eτ1{E}^{\tau\sqrt{-1}}dans le développement de x+𝑖𝑦x+\mathit{iy}en supposant e=e=α=k=0e=e^{\prime}=\alpha=k=0.

Quant à ee, c’est le coeff de asinla\sin l dans le développement de x1sinwx2cosw{x}_{1}^{\prime}\sin w-{x}_{2}^{\prime}\cos w, c’est à peu près deux fois l’excentricité dans le sens ordinaire du mot; (il faudrait donc prendre e=110e=\frac{1}{10}au lieu de 120\frac{1}{20}). Delaunay définit d’une autre manière; eedoit être choisi de telle sorte que le terme en sinl\sin ldans la longitude ait même forme que dans le mm. Keplerien.

Pour kk, c’est le coeff de 2asinλ\mathrm{2a}\sin\lambdadans le développement de zz; pour Delauney il définissait sa constante γ\gammade telle façon que le terme en sinλ\sin\lambdadans la latitude ait même expression que dans le mouvement elliptique en fonction de γ=sinν2\gamma=\sin\frac{\nu}{2}et ee; la différence des deux définitions est [illisible].

On pourrait aussi choisir les constantes e façon à faciliter la méthode de Jacobi. Nous avons vu en effet que dans le cas général du problème àtrois corps :

xi𝑑𝑦i=𝑧𝑑𝑤z𝑑𝑤+ρk2dωk\sum{x}_{i}^{\prime}{\mathit{dy}}_{i}^{\prime}=\mathit{zdw}-z^{\prime}\mathit{% dw}^{\prime}+\sum{\rho}_{k}^{2}d{\omega}_{k}

est une différ. exacte; ou bien :

xi𝑑𝑦iβa𝑑𝑤βa𝑑𝑤+ρk2dωk=𝑑𝑆\sum{x}_{i}^{\prime}{\mathit{dy}}_{i}^{\prime}-\beta\sqrt{a}\mathit{dw}-\beta^% {\prime}\sqrt{a}^{\prime}\mathit{dw}^{\prime}+\sum{\rho}_{k}^{2}d{\omega}_{k}=% \mathit{dS}

Le mouvement du Soleil étant keplerien :

x4𝑑𝑦4+x5𝑑𝑦4+x6𝑑𝑦6βadω+ρ2dω2=𝑑𝑆0{x}_{4}^{\prime}{\mathit{dy}}_{4}^{\prime}+{x}_{5}^{\prime}{\mathit{dy}}_{4}^{% \prime}+{x}_{6}^{\prime}{\mathit{dy}}_{6}^{\prime}-\beta^{\prime}\sqrt{a}^{% \prime}d\omega^{\prime}+\sum{\rho}_{2}d{\omega}_{2}={\mathit{dS}}_{0}

est une différ. exacte; donc la différence :

x1𝑑𝑦1+x2𝑑𝑦2+x3𝑑𝑦3βadω+ρ1dω1+ρ3dω3=𝑑𝑆1{x}_{1}^{\prime}{\mathit{dy}}_{1}^{\prime}+{x}_{2}^{\prime}{\mathit{dy}}_{2}^{% \prime}+{x}_{3}^{\prime}{\mathit{dy}}_{3}^{\prime}-\beta\sqrt{a}d\omega+{\rho}% _{1}d{\omega}_{1}+{\rho}_{3}d{\omega}_{3}={\mathit{dS}}_{1}

doit être une différ. Exacte pourvu que w,ω2,ρ2,aw^{\prime},{\omega}_{2},{\rho}_{2},a^{\prime}soient regardés comme des constantes; dans ce cas 𝑑𝑤=dτ\mathit{dw}=d\tau;

On définiera donc a,e,ka,e,kde telle façon que :

i=1i=3xi𝑑𝑦iβadτ+βae22(dτ𝑑𝑙)+βak2(dτdλ)\sum_{i=1}^{i=3}{x}_{i}^{\prime}{\mathit{dy}}_{i}^{\prime}-\beta\sqrt{a}d\tau+% \beta\sqrt{a}\frac{{e}^{2}}{2}(d\tau-\mathit{dl})+\beta\sqrt{a}{k}^{2}(d\tau-d\lambda)

Soit différentiel exacte, en regardant a,e,w,na^{\prime},e^{\prime},w^{\prime},n^{\prime}comme des constantes.

Cela suffit pour définir a, e et k; car si on remplace a,e,ka,e,kpar aϕ0,eϕ1,kϕ2a{\phi}_{0},e{\phi}_{1},k{\phi}_{2}, les coeff de dτ,dτ𝑑𝑙,dτdλd\tau,d\tau-\mathit{dl},d\tau-d\lambdasont multipliés par ψ0,ψ1,ψ2{\psi}_{0},{\psi}_{1},{\psi}_{2}(les ψ\psiétant des fonctions de même forme que les ϕ\phi); de sorte que la différence :

βa(1ψ0)dτ+βae22(1ψ1)(dτ𝑑𝑙)+βak2(dτdλ)(1ψ2)-\beta\sqrt{a}(1-{\psi}_{0})d\tau+\beta\sqrt{a}\frac{{e}^{2}}{2}(1-{\psi}_{1})% (d\tau-\mathit{dl})+\beta\sqrt{a}{k}^{2}(d\tau-d\lambda)(1-{\psi}_{2})

Doit être différ. exacte. Les coeff de τ,dτ𝑑𝑙,dτdλ\tau,d\tau-\mathit{dl},d\tau-d\lambdasont indep de w,τ,l,λw^{\prime},\tau,l,\lambdapour que la diff soit exacte, ils doivent être indep de e,a,ke,a,k; ils ne pourraient donc dépendre que de a,e,na^{\prime},e^{\prime},n^{\prime}; et comme ils [illisible] en facteur a,a2,ak2\sqrt{a},\sqrt{{a}^{2}},\sqrt{a}{k}^{2}, cela n’est possible que s’ils sont nuls. [illisible].

U1=m1m4(1𝐴𝐵1𝐷𝐵)+m7m4(1𝐶𝐵1𝐷𝐵){U}_{1}={m}_{1}{m}_{4}(\frac{1}{\mathit{AB}}-\frac{1}{\mathit{DB}})+{m}_{7}{m}% _{4}(\frac{1}{\mathit{CB}}-\frac{1}{\mathit{DB}})

Soit 𝐷𝐵=r,𝐴𝐶=r,𝐵𝐷𝐴=ω\mathit{DB}=r^{\prime},\mathit{AC}=r,\mathit{BDA}=\omega.

1r2+r22rrcosω=1r+S1rr2++Snrnrn+1+\frac{1}{\sqrt{r^{\prime 2}+{r}^{2}-\mathrm{2rr}^{\prime}\cos\omega}}=\frac{1}% {r^{\prime}}+\frac{{S}_{1}r}{{r}_{2}^{\prime}}+\mathrm{...}+\frac{{S}_{n}{r}^{% n}}{{r}^{{}^{\prime}n+1}}+\mathrm{...}

Sn{S}_{n}est un polynôme de Legendre d’ordre nnen cosω\cos\omega.

Posons :

6=m1m1+m7;𝐴𝐷=(16)r;𝐶𝐷=6r6=\frac{{m}_{1}}{{m}_{1}+{m}_{7}};\mathit{AD}=(1-6)r;\mathit{CD}=-\mathrm{6r}

1𝐴𝐵1𝐷𝐵=Snrnr(n+1)(16)n;1𝐶𝐵1𝐷𝐵=Snrnr(n+1)(6n)\frac{1}{\mathit{AB}}-\frac{1}{\mathit{DB}}=\sum\frac{{S}_{n}{r}^{n}}{{r}^{{}^% {\prime}(n+1)}}{(1-6)}^{n};\frac{1}{\mathit{CB}}-\frac{1}{\mathit{DB}}=\sum% \frac{{S}_{n}{r}^{n}}{{r}^{{}^{\prime}(n+1)}}(-{6}^{n})

d’où :

U1=m4m1Snrnrn+1[(16)n1+6n1]{U}_{1}={m}_{4}{m}_{1}^{\prime}\sum\frac{{S}_{n}^{\prime}{r}^{n}}{{r}^{{}^{% \prime}n+1}}[{(1-6)}^{n-1}+{6}^{n-1}]

Posons Sn[(16)n1(6)n1]m4m4+m1+m7=Sn{S}_{n}[{(1-6)}^{n-1}-{(-6)}^{n-1}]\frac{{m}_{4}}{{m}_{4}+{m}_{1}+{m}_{7}}={S}% _{n}^{\prime}, il vient :

Or Snrnrn+1\frac{{S}_{n}^{\prime}{r}^{n}}{{r}^{{}^{\prime}n+1}}est un polynôme entier en r2r2\frac{{r}^{2}}{{r}^{{}^{\prime}2}}et rcosωr\frac{r\cos\omega}{r^{\prime}}(il est homogène de degré nnen rr\frac{r}{r^{\prime}}).

Or r2=x2+y2+z2;rrcosω=𝑥𝑥+𝑦𝑦;r2=x2+y2{r}^{2}={x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2};rr^{\prime}\cos\omega=\mathit{xx}^{\prime}+% \mathit{yy}^{\prime};r^{\prime 2}=x^{\prime 2}+y^{\prime 2}.

De plus, $$ , xar2,yar2\frac{x^{\prime}a^{\prime}}{{r}^{{}^{\prime}2}},\frac{y^{\prime}a^{\prime}}{{r% }^{{}^{\prime}2}}sont développables suivant les puissances de ecosw,esinwe^{\prime}\cos w^{\prime},e^{\prime}\sin w^{\prime}et se réduisent à 1,1,0\mathrm{1,1}\mathrm{,0}pour e=0e^{\prime}=0.

De plus, r2r2=r2a2a2r2α2;𝑟𝑟cosωr2=(xaxar2+yayar2)α\frac{{r}^{2}}{{r}^{{}^{\prime}2}}=\frac{{r}^{2}}{{a}^{2}}\frac{{a}^{{}^{% \prime}2}}{{r}^{{}^{\prime}2}}{\alpha}^{2};\frac{\mathit{rr}^{\prime}\cos% \omega}{{r}^{{}^{\prime}2}}=(\frac{x}{a}\frac{x^{\prime}a^{\prime}}{{r}^{{}^{% \prime}2}}+\frac{y}{a}\frac{y^{\prime}a^{\prime}}{{r}^{{}^{\prime}2}})\alpha

U1:n2a3m1{U}_{1}\mathrm{\colon}{n}^{{}^{\prime}2}{a}^{{}^{\prime}3}{m}_{1}^{\prime}se trouve donc développé suivant les puissances de la parallaxe α\alpha, des rapports xa,ya,za\frac{x}{a},\frac{y}{a},\frac{z}{a}et de ecosw,esinwe^{\prime}\cos w^{\prime},e^{\prime}\sin w^{\prime}.

D’autre part, Snrnrn\frac{{S}_{n}^{\prime}{r}^{n}}{{r}^{{}^{\prime}n}}contient α\alphaà la puissance nn;

Soit arSnrnrn=αnTn\frac{a^{\prime}}{r^{\prime}}\frac{{S}_{n}^{\prime}{r}^{n}}{{r}^{{}^{\prime}n}% }={\alpha}^{n}{T}_{n}; Tn{T}_{n}est développable suivant les puissances de xa,ya,za,ecosw,esinw\frac{x}{a},\frac{y}{a},\frac{z}{a},e^{\prime}\cos w^{\prime},e^{\prime}\sin w% ^{\prime}, il est polynôme homogène de degré nnen xa,ya,za\frac{x}{a},\frac{y}{a},\frac{z}{a}.

U1=n12m1Tna2αn2{U}_{1}={n}_{1}^{{}^{\prime}2}{m}_{1}^{\prime}\sum{T}_{n}{a}^{2}{\alpha}^{n-2}

On obtiendra les termes indépendants de la parallaxe en faisant n=2n=2.

On a S2=S2=3cos(ω)12{S}_{2}={S}_{2}^{\prime}=\frac{3\cos(\omega)-1}{2}; (on a sensiblement m4m4+m1+m7=1\frac{{m}_{4}}{{m}_{4}+{m}_{1}+{m}_{7}}=1)

d’où :

a2T2=(32(xxar2+yyar2)212r2a2r2)ar{a}^{2}{T}_{2}=(\frac{3}{2}{(x\frac{x^{\prime}a^{\prime}}{{r}^{{}^{\prime}2}}+% y\frac{y^{\prime}a^{\prime}}{{r}^{{}^{\prime}2}})}^{2}-\frac{1}{2}\frac{{r}^{2% }a^{\prime 2}}{{r}^{{}^{\prime}2}})\frac{a^{\prime}}{r^{\prime}}

Pour e=0e^{\prime}=0; on a xar2=1,yar2=0\frac{x^{\prime}a^{\prime}}{{r}^{{}^{\prime}2}}=1,\frac{y^{\prime}a^{\prime}}{% {r}^{{}^{\prime}2}}=0, on a :

a2T2=3x22r22{a}^{2}{T}_{2}=\frac{{\mathrm{3x}}^{2}}{2}-\frac{{r}^{2}}{2}

U1=n2m1(3x22r22){U}_{1}=n^{\prime 2}{m}_{1}^{\prime}(\frac{{\mathrm{3x}}^{2}}{2}-\frac{{r}^{2}% }{2})

U0=m1m7r=m1(m1+m7)r{U}_{0}=\frac{{m}_{1}{m}_{7}}{r}=\frac{{m}_{1}^{\prime}({m}^{1}+{m}^{7})}{r}

Soit x=m1+m7(nn)2;m1R=U0+U1x=\frac{{m}_{1}+{m}_{7}}{{(n-n^{\prime})}^{2}};{m}_{1}^{\prime}R={U}_{0}+{U}_{1}

On a les éq d2xi𝑑𝑡2=𝑑𝑅𝑑𝑥i\frac{{d}^{2}{x}_{i}^{\prime}}{{\mathit{dt}}^{2}}=\frac{\mathit{dR}}{{\mathit{% dx}}_{i}^{\prime}}; or par rapport aux axes tournants :

d2x𝑑𝑡22n𝑑𝑦𝑑𝑡n2x=𝑑𝑅𝑑𝑥;d2z𝑑𝑡2=𝑑𝑅𝑑𝑧\frac{{d}^{2}x}{{\mathit{dt}}^{2}}-\mathrm{2n}^{\prime}\frac{\mathit{dy}}{% \mathit{dt}}-n^{\prime 2}x=\frac{\mathit{dR}}{\mathit{dx}};\frac{{d}^{2}z}{{% \mathit{dt}}^{2}}=\frac{\mathit{dR}}{\mathit{dz}}

d2y𝑑𝑡22n𝑑𝑥𝑑𝑡n2y=𝑑𝑅𝑑𝑦\frac{{d}^{2}y}{{\mathit{dt}}^{2}}-\mathrm{2n}^{\prime}\frac{\mathit{dx}}{% \mathit{dt}}-n^{\prime 2}y=\frac{\mathit{dR}}{\mathit{dy}},

Si nous prenons l’unité de temps de telle sorte que nn=1;n2=m2;τ=t;m1+m7=xn-n^{\prime}=1;n^{\prime 2}={m}^{2};\tau=t;{m}_{1}+{m}_{7}=x; si de plus nous supposons α=e=0\alpha=e^{\prime}=0de telle sorte que U1=n2m1(3x22r22){U}_{1}=n^{\prime 2}{m}_{1}^{\prime}(\frac{{\mathrm{3x}}^{2}}{2}-\frac{{r}^{2}% }{2})il vient :

d2ydτ22m𝑑𝑧dτ+𝑥𝑦r3=0\frac{{d}^{2}y}{d{\tau}^{2}}-\mathrm{2m}\frac{\mathit{dz}}{d\tau}+\frac{% \mathit{xy}}{{r}^{3}}=0;

Si e=0e^{\prime}=0, on a𝑑𝑅𝑑𝑡=𝑑𝑥𝑑𝑡𝑑𝑅𝑑𝑥+𝑑𝑦𝑑𝑡𝑑𝑅𝑑𝑦+𝑑𝑧𝑑𝑡𝑑𝑅𝑑𝑧\frac{\mathit{dR}}{\mathit{dt}}=\frac{\mathit{dx}}{\mathit{dt}}\frac{\mathit{% dR}}{\mathit{dx}}+\frac{\mathit{dy}}{\mathit{dt}}\frac{\mathit{dR}}{\mathit{dy% }}+\frac{\mathit{dz}}{\mathit{dt}}\frac{\mathit{dR}}{\mathit{dz}}; d’où :

12[(𝑑𝑥𝑑𝑡)2+(𝑑𝑦𝑑𝑡)2+(𝑑𝑧𝑑𝑡)2]n22(x2+y2)=R+C\frac{1}{2}[{(\frac{\mathit{dx}}{\mathit{dt}})}^{2}+{(\frac{\mathit{dy}}{% \mathit{dt}})}^{2}+{(\frac{\mathit{dz}}{\mathit{dt}})}^{2}]-\frac{{n}^{{}^{% \prime}2}}{2}({x}^{2}+{y}^{2})=R+C(intégrale de Jacobi)

Dans le cas de α=0,nn=1\alpha=0,n-n^{\prime}=1; cela se réduit à :

12[(𝑑𝑥dτ)2+(𝑑𝑦dτ)2+(𝑑𝑧dτ)2]m22(x2+y2)=xr+m22(3x2r2)+C\frac{1}{2}[{(\frac{\mathit{dx}}{d\tau})}^{2}+{(\frac{\mathit{dy}}{d\tau})}^{2% }+{(\frac{\mathit{dz}}{d\tau})}^{2}]-\frac{{m}^{2}}{2}({x}^{2}+{y}^{2})=\frac{% x}{r}+\frac{{m}^{2}}{2}({\mathrm{3x}}^{2}-{r}^{2})+C

Multiplions par x,yx,y, il vient :

xd2xdτ2+yd2ydτ2+2m(y𝑑𝑥dτx𝑑𝑦dτ)=3m2𝑥𝑦x\frac{{d}^{2}x}{{d\tau}^{2}}+y\frac{{d}^{2}y}{{d\tau}^{2}}+\mathrm{2m}(y\frac% {\mathit{dx}}{d\tau}-x\frac{\mathit{dy}}{d\tau})={\mathrm{3m}}^{2}\mathit{xy}

Equations homogènes imaginaires

Soit u=x+𝑖𝑦,s=x𝑖𝑦;u,u′′,u=x+\mathit{iy},s=x-\mathit{iy};u,u^{\prime\prime},\mathrm{...}dérivées de μ\mupar rapport à τ\tau.

Nous supposeront z=0z=0, il viendra :

(𝑢𝑠′′+u′′s)2mi(𝑢𝑠su)+us=32m2(u+s)2+2C(\mathit{us}^{\prime\prime}+u^{\prime\prime}s)-\mathrm{2mi}(\mathit{us}^{% \prime}-s^{\prime}u)+u^{\prime}s^{\prime}=\frac{3}{2}{m}^{2}{(u+s)}^{2}+% \mathrm{2C}

(𝑢𝑠′′+u′′s)2mi(𝑢𝑠+su)+us=32m2(u2s2)(\mathit{us}^{\prime\prime}+u^{\prime\prime}s)-\mathrm{2mi}(\mathit{us}^{% \prime}+s^{\prime}u)+u^{\prime}s^{\prime}=\frac{3}{2}{m}^{2}({u}^{2}-{s}^{2})

Qu’on peut remplacer par :

𝑢𝑠′′2mius+us2=m28(15u2+18us+3s2)+C\mathit{us}^{\prime\prime}-\mathrm{2mius}^{\prime}+\frac{u^{\prime}s^{\prime}}% {2}=\frac{{m}^{2}}{8}({\mathrm{15u}}^{2}+\mathrm{18us}+{\mathrm{3s}}^{2})+C

est son imaginaire conjuguée.

Equations harmoniques

Soit V1=R+m22(x2+y2){V}_{1}=R+\frac{{m}^{2}}{2}({x}^{2}+{y}^{2}); on a e=0e^{\prime}=0de telle façon que l’intégrale de Jacobi s’écrit :

x2+y2+z22V1=𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡\frac{x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{\prime 2}}{2}-{V}_{1}=\mathit{const}; (x=𝑑𝑥𝑑𝑡=𝑑𝑥dτ,𝑒𝑡𝑐..x^{\prime}=\frac{\mathit{dx}}{\mathit{dt}}=\frac{\mathit{dx}}{d\tau},\mathit{% etc..})

Soit F=x2+y2+z22V1;p=x𝑚𝑦;q=y+𝑚𝑥F=\frac{x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{\prime 2}}{2}-{V}_{1};p=x^{\prime}-% \mathit{my};q=y^{\prime}+\mathit{mx}

F=(p+𝑚𝑦2)+(q𝑚𝑥2)+z22V1F=\frac{(p+{\mathit{my}}^{2})+(q-{\mathit{mx}}^{2})+z^{\prime 2}}{2}-{V}_{1}

𝑑𝑝𝑑𝑡=x′′𝑚𝑦=𝑚𝑦+𝑑𝑉1𝑑𝑥=m(q𝑚𝑥)+𝑑𝑉1𝑑𝑥=𝑑𝐹𝑑𝑥\frac{\mathit{dp}}{\mathit{dt}}=x^{\prime\prime}-\mathit{my}^{\prime}=\mathit{% my}^{\prime}+\frac{{\mathit{dV}}_{1}}{\mathit{dx}}=m(q-\mathit{mx})+\frac{{% \mathit{dV}}_{1}}{\mathit{dx}}=\frac{-\mathit{dF}}{\mathit{dx}}

𝑑𝑞𝑑𝑡=y′′𝑚𝑥=𝑚𝑥+𝑑𝑉1𝑑𝑦=m(p+𝑚𝑦)+𝑑𝑉1𝑑𝑦=𝑑𝐹𝑑𝑦\frac{\mathit{dq}}{\mathit{dt}}=y^{\prime\prime}-\mathit{mx}^{\prime}=\mathit{% mx}^{\prime}+\frac{{\mathit{dV}}_{1}}{\mathit{dy}}=-m(p+\mathit{my})+\frac{{% \mathit{dV}}_{1}}{\mathit{dy}}=\frac{-\mathit{dF}}{\mathit{dy}}

𝑑𝑧𝑑𝑡=z=𝑑𝐹𝑑𝑧;𝑑𝑧𝑑𝑡=z′′=𝑑𝑉1𝑑𝑧=𝑑𝐹𝑑𝑧\frac{\mathit{dz}}{\mathit{dt}}=z^{\prime}=\frac{\mathit{dF}}{\mathit{dz}};% \frac{\mathit{dz}^{\prime}}{\mathit{dt}}=z^{\prime\prime}=\frac{{\mathit{dV}}_% {1}}{\mathit{dz}}=\frac{-\mathit{dF}}{\mathit{dz}}

𝑑𝑥𝑑𝑡=x=p+𝑚𝑦=𝑑𝐹𝑑𝑝;𝑑𝑦𝑑𝑡=y=q𝑚𝑥=𝑑𝐹𝑑𝑞\frac{\mathit{dx}}{\mathit{dt}}=x^{\prime}=p+\mathit{my}=\frac{\mathit{dF}}{% \mathit{dp}};\frac{\mathit{dy}}{\mathit{dt}}=y^{\prime}=q-\mathit{mx}=\frac{% \mathit{dF}}{\mathit{dq}}

[Changement de notation : Je représenterai les coord. du Soleil par X,Y,ZX,Y,Z et non x,y,zx^{\prime},y^{\prime},z^{\prime}; sa distance au point D par R et non plus rr^{\prime}; la fonction perturbatrice par V et non plus par R.]

Termes de degré 0.

Si nous faisons α=e=k=0\alpha=e^{\prime}=k=0, nos éq se réduisent à :

x′′2my+𝑥𝑥r3=3m2x;y′′+2mx+xr3=0x^{\prime\prime}-\mathrm{2my}^{\prime}+\frac{\mathit{xx}}{{r}^{3}}={\mathrm{3m% }}^{2}x;y^{\prime\prime}+\mathrm{2mx}^{\prime}+\frac{x}{{r}^{3}}=0

x2+y22=xr+3x2m22+C\frac{x^{\prime 2}+y^{\prime 2}}{2}=\frac{x}{r}+\frac{{\mathrm{3x}}^{2}{m}^{2}% }{2}+C

𝑥𝑥′′+𝑦𝑦′′+2m(𝑦𝑥𝑥𝑦)+x2+y229m2x22=C\mathit{xx}^{\prime\prime}+\mathit{yy}^{\prime\prime}+\mathrm{2m}(\mathit{yx}^% {\prime}-\mathit{xy}^{\prime})+\frac{x^{\prime 2}+y^{\prime 2}}{2}-\frac{{% \mathrm{9m}}^{2}{x}^{2}}{2}=C

(𝑢𝑠′′+u′′s)2mi(𝑢𝑠𝑠𝑢)=32m2(u2s2)(\mathit{us}^{\prime\prime}+u^{\prime\prime}s)-\mathrm{2mi}(\mathit{us}^{% \prime}-\mathit{su}^{\prime})=\frac{3}{2}{m}^{2}({u}^{2}-{s}^{2})

(𝑢𝑠′′u′′s)2mi(𝑢𝑠+𝑠𝑢)=32m2(u2s2)(\mathit{us}^{\prime\prime}-u^{\prime\prime}s)-\mathrm{2mi}(\mathit{us}^{% \prime}+\mathit{su}^{\prime})=\frac{3}{2}{m}^{2}({u}^{2}-{s}^{2})

𝑢𝑠′′2mius+us2=m28(15u2+18us+3s2)+C\mathit{us}^{\prime\prime}-\mathrm{2mius}^{\prime}+\frac{u^{\prime}s^{\prime}}% {2}=\frac{{m}^{2}}{8}({\mathrm{15u}}^{2}+\mathrm{18us}+{\mathrm{3s}}^{2})+C

Je dis que ces éq admettent une solution périodique de la forme :

x=Aacosμ0t;y=Bsinμ0tx=\sum Aa\cos{\mu}_{0}t;y=\sum B\sin{\mu}_{0}t(μ0{\mu}_{0}impair).

En effet les éq ne changent pas si on change τ\tauen τ-\tau; yyen y-y.

Si donc pour τ=0\tau=0, on a y=0,x=0y=0,x^{\prime}=0, il y a conjonction symétrique de sorte que xxest une fonction paire de τ\tau, et yyune fonction impaire.

Les éq ne changent pas si on change τ\tauen πτ\pi-\tau.

S’il y a conj. sym. pour τ=0\tau=0et quadr. sym pour τ=π2\tau=\frac{\pi}{2}, la solution est [illisible]. Faisons m=0,x=acosτ,y=asinτ;a3=x;m=0,x=a\cos\tau,y=a\sin\tau;{a}^{3}=x;pour τ=0\tau=0, on aura x=a,y=a,x=0,y=0x=a,y^{\prime}=a,x^{\prime}=0,y=0, il y a alors conj. sym. et quadr. [illisible].

Soit mmquelconque ; soit pour τ=0,y=x=0,x=a+δx,y=a+δy\tau=0,y=x^{\prime}=0,x=a+\delta x,y^{\prime}=a+\delta y^{\prime}.

Considérons les valeurs de x,yx,y^{\prime}pour τ=π2\tau=\frac{\pi}{2}; elles sont développables suivant les puissances de δx,δy,m\delta x,\delta y^{\prime},m, elles s’annulent avec ces 3 [illisible].

Les éq x=y=0x=y^{\prime}=0qui expriment la quadr. Sym. Nous donneront alors δx,δy\delta x,\delta y^{\prime}en fonction de mm.

Les courbes définies par les éq. Homogènes sont plus générales que les courbes définies par les équations primitives (Si on regarde CCcomme arbitraire) ; elles sont semblables à ces courbes avec un rapport de similitude quelconque.

Pour m très petit la courbe femée diffère peu d’un cercle ; [figures]

pour m=11,78m=\frac{1}{\mathrm{1,78}}, il y a deux points de rebroussement [figure], deux points doubles [figure], la courbe rencontre la Terre [figure], une courbe fermée parcourue en sens inverse [figure],

pour m=1,x=0m=1,x=0une ellipse x=cosτ,y=2cosτx=\cos\tau,y=-\mathrm{2cos}\tau

Calcul des coeff.

Soit ζ=cosτ+isinτ;u=aajζ2j+1;s=aajζ2j1\zeta=\cos\tau+i\sin\tau;u=a\sum{a}_{j}{\zeta}^{\mathrm{2j}+1};s=a\sum{a}_{j}{% \zeta}^{-\mathrm{2j}-1}

x=aajcos(2j+1)τ;y=aajsin(2j+1)τx=a\sum{a}_{j}\cos(\mathrm{2j}+1)\tau;y=a\sum{a}_{j}\sin(\mathrm{2j}+1)\taujjvariant de 0 à l’infini.

x=a(aj+aj1)cos(2j+1)τ;y=a(ajaj1)sin(2j+1)τx=a\sum({a}_{j}+{a}_{-j-1})\cos(\mathrm{2j}+1)\tau;y=a\sum({a}_{j}-{a}_{-j-1})% \sin(\mathrm{2j}+1)\tau

Ecrivons l’éq plus générale :

𝑢𝑠′′2pius+us29p24𝑢𝑠=m28(15u2+3s2)+C\mathit{us}^{\prime\prime}-\mathrm{2pius}^{\prime}+\frac{u^{\prime}s^{\prime}}% {2}-\frac{9{p}^{2}}{4}\mathit{us}=\frac{{m}^{2}}{8}({\mathrm{15u}}^{2}+{% \mathrm{3s}}^{2})+C

où nous ferons ensuite p=mp=m; et développons suivant les puissances de m2{m}^{2}. Soit :

c=c0+mc1+m4c2++m2qcq+c={c}_{0}+m^{\prime}{c}_{1}+{m}^{4}{c}_{2}+\mathrm{...}+{m}^{\mathrm{2q}}{c}_{% q}+\mathrm{...}

u=u0+mu1+m4u2++m2quq+u={u}_{0}+m^{\prime}{u}_{1}+{m}^{4}{u}_{2}+\mathrm{...}+{m}^{\mathrm{2q}}{u}_{% q}+\mathrm{...}

s=s0+ms1+m4s2++m2qsq+s={s}_{0}+m^{\prime}{s}_{1}+{m}^{4}{s}_{2}+\mathrm{...}+{m}^{\mathrm{2q}}{s}_{% q}+\mathrm{...}

Supp que l’on ait déterminé u0,u1,,uq1{u}_{0},{u}_{\mathrm{1,}}\mathrm{...},{u}_{q-1}, et qu’on veuille uq,sq{u}_{q},{s}_{q}, nous aurons ; en [illisible] les coeff de m2q{m}^{\mathrm{2q}}:

u0sq′′+uqs0′′2pi(u0sq+uqs0)+u0sq+uqs029p24(u0sq+uqs0)=ϕ+𝐶𝑞{u}_{0}{s}_{q}^{\prime\prime}+{u}_{q}{s}_{0}^{\prime\prime}-\mathrm{2pi}({u}_{% 0}{s}_{q}^{\prime}+{u}_{q}{s}_{0}^{\prime})+\frac{{u}_{0}^{\prime}{s}_{q}^{% \prime}+{u}_{q}^{\prime}{s}_{0}^{\prime}}{2}-\frac{9{p}^{2}}{4}({u}_{0}{s}_{q}% +{u}_{q}{s}_{0})=\phi+\mathit{Cq}, ϕ\phiétant connu.

Soit Ak{A}_{k}le coeff de ζk{\zeta}^{k}dans le second membre ; le coeff de ζk{\zeta}^{k}dans le premier membre vient du terme λζk1\lambda{\zeta}^{-k-1}de s1{s}_{1}, et du terme μζk+1\mu{\zeta}^{k+1}de uk{u}_{k}, ce qui donne :

λ[(k1)22p(k+1)+k+129p24]+μ[12p+k+129p24]=Ak\lambda[-{(k-1)}^{2}-\mathrm{2p}(k+1)+\frac{k+1}{2}-\frac{{\mathrm{9p}}^{2}}{4% }]+\mu[-1-\mathrm{2p}+\frac{k+1}{2}-\frac{{\mathrm{9p}}^{2}}{4}]={A}_{k}

En changeant kken k-k, le coeff de ζk1{\zeta}^{-k-1}dans sq{s}_{q}est μ\muet le coeff de ζk+1{\zeta}^{-k+1}dans μq{\mu}_{q}est λ\lambda, d’où :

μ[(k+1)22p(k+1)+k+129p24]+λ[12p+1k29p24]=Ak\mu[-{(k+1)}^{2}-\mathrm{2p}(k+1)+\frac{k+1}{2}-\frac{{\mathrm{9p}}^{2}}{4}]+% \lambda[-1-\mathrm{2p}+\frac{1-k}{2}-\frac{{\mathrm{9p}}^{2}}{4}]={A}_{-k}

De ces deux eq, on tirera λ,μ\lambda,\mu. Pour k=0k=0: on doit avoir λ=μ\lambda=\mu, les deux éq se réduisent en une seule; AkAk{A}_{k}-{A}_{-k}doit être remplacé par A0+Cq{A}_{0}+{C}_{q}, et l’éq devient

λ(14p9p22)=A0+Cq\lambda(-1-\mathrm{4p}-\frac{{\mathrm{9p}}^{2}}{2})={A}_{0}+{C}_{q}

λ\lambdaest indéterm. puisqu’on dispose de l’indéterminée Cq{C}_{q}; Hill prend λ=0\lambda=0.

Le déterminant de nos éq linéaires est :

k22(2k224p+p2)\frac{-{k}^{2}}{2}({\mathrm{2k}}^{2}-2-\mathrm{4p}+{p}^{2})

Donc les coeff sont des fonctions dével. suivant les puissances de m2{m}^{2}et les coeff du développement sont des fonctions rationnelles de pp.

Au dénominateur de ces fonctions rationnelles peuvent entrer les facteurs :

2k224p+p2{\mathrm{2k}}^{2}-2-\mathrm{4p}+{p}^{2}; c’est-à-dire p24p+6,p24p+30,p24p+70{p}^{2}-\mathrm{4p}+6,{p}^{2}-\mathrm{4p}+30,{p}^{2}-\mathrm{4p}+\mathrm{70...}.

On trouve que uζ1,sζu{\zeta}^{-1},s\zetapeuvent se développer suivant les puissances de m2ζ2,m2ζ2{m}^{2}{\zeta}^{2},{m}^{2}{\zeta}^{-2}; de sorte que :

aj{a}_{j} contient en facteur m2j{m}^{2j}; 2° aj{a}_{j} ne contient que des puissances de m2{m}^{2} telles que qjmod2q\equiv j\mod 2; le développement de chaque coeff procède donc suivant les puissances de m4{m}^{4}; et converge comme une progr. géom. de raison 110000\frac{1}{10000}.

Soient les eq :

y′′2px+𝑥𝑦r3=32(p2+m2)yy^{\prime\prime}-\mathrm{2px}^{\prime}+\frac{\mathit{xy}}{{r}^{3}}=\frac{3}{2}% ({p}^{2}+{m}^{2})y

L’intégrale de Jacobi sera :

x2+y22x2=34[x2(p2+m2)+y2(p2m2)]+C\frac{x^{\prime 2}+y^{\prime 2}}{2}-\frac{x}{2}=\frac{3}{4}[{x}^{2}({p}^{2}+{m% }^{2})+{y}^{2}({p}^{2}-{m}^{2})]+C

Les eq homogènes seront :

𝑦𝑥′′𝑥𝑦′′2p(𝑥𝑥+𝑦𝑦)=3m2𝑥𝑦\mathit{yx}^{\prime\prime}-\mathit{xy}^{\prime\prime}-\mathrm{2p}(\mathit{xx}^% {\prime}+\mathit{yy}^{\prime})={\mathrm{3m}}^{2}\mathit{xy}

𝑥𝑥′′+𝑦𝑦′′+2p(𝑦𝑥𝑥𝑦)+xr=32[x2(p2+m2)+y2(p2m2)]+C\mathit{xx}^{\prime\prime}+\mathit{yy}^{\prime\prime}+\mathrm{2p}(\mathit{yx}^% {\prime}-\mathit{xy}^{\prime})+\frac{x}{r}=\frac{3}{2}[{x}^{2}({p}^{2}+{m}^{2}% )+{y}^{2}({p}^{2}-{m}^{2})]+C

𝑥𝑥′′+𝑦𝑦′′+2p(𝑦𝑥𝑥𝑦)+x2+y22=94[x2(p2+m2)+y2(p2m2)]+C\mathit{xx}^{\prime\prime}+\mathit{yy}^{\prime\prime}+\mathrm{2p}(\mathit{yx}^% {\prime}-\mathit{xy}^{\prime})+\frac{x^{\prime 2}+y^{\prime 2}}{2}=\frac{9}{4}% [{x}^{2}({p}^{2}+{m}^{2})+{y}^{2}({p}^{2}-{m}^{2})]+C

𝑢𝑠′′2pius+us2=94p2𝑢𝑠+m28(15u2+3s2)+C\mathit{us}^{\prime\prime}-\mathrm{2pius}^{\prime}+\frac{u^{\prime}s^{\prime}}% {2}=\frac{9}{4}{p}^{2}\mathit{us}+\frac{{m}^{2}}{8}({\mathrm{15u}}^{2}+{% \mathrm{3s}}^{2})+C

Nous retrouvons ainsi notre éq généralisée ; on voit ainsi que cette éq correspond au cas d’une masse comme la Lune attirée par une masse constante comme la Terre, par une masse éloignée tournante comme le Soleil (la relation entre la masse, la distance et la vitesse de révolution pouvant ne pas avoir lieu.) et soumise en outre à une force centrale proport. à la distance.

Reprenons l’éq.

u0sq′′+=ϕ+Cq.u_{0}s_{q}^{\prime\prime}+\ldots=\phi+C_{q}.

ϕ\phi contient des termes en upsqpu_{p}s_{q-p}(p=1,2,q1p=1,2\ldots,q-1) (ou des termes où up,sqp{u}_{p},{s}_{q-p}sont remplacés par une de leurs dérivées) des termes en upuq1p{u}_{p}{u}_{q-1-p}et en spsq1p{s}_{p}{s}_{q-1-p}.

Je dis que uq{u}_{q} ne contient que des termes en ζk+1{\zeta}^{k+1} et sq{s}_{q} des termes en ζk1{\zeta}^{k-1}k2q(mod4)k\equiv 2q(\mod 4), k2qk\leq 2q.

Cela est vrai en effet pour q=0q=0. Supposons que cela soit vrai pour u1,u2,,uq1,s1,s2,,sq1u_{1},u_{2},\ldots,u_{q-1},s_{1},s_{2},\ldots,s_{q-1}. Je dis que cela sera vrai pour uqu_{q} et sqs_{q}.

En effet soit un terme en upsqpu_{p}s_{q-p} dans ϕ\phi; soit

ϕupsqpupζk+1k2pk2psqpζk′′1k′′2q2p|k′′|<2q2pk=k+k′′2q;|k|<2qupuq1pupζk+1k2p|k|2puq1pζk′′+1k′′2q22pk′′<2q22pk=k+k′′+2spsq1pspζk1k2p|k|2psq1pζk′′1k′′2q22p|k′′|<2q22pk=k+k′′2\begin{array}[]{cccccccccc}&&&&&&&&&\phi\\ {u}_{p}{s}_{q-p}&{u}_{p}&{\zeta}^{k^{\prime}+1}&k^{\prime}\equiv 2p&k^{\prime}% \leq 2p&{s}_{q-p}&{\zeta}^{k^{\prime\prime}-1}&k^{\prime\prime}\equiv 2q-2p&|k% ^{\prime\prime}|<2q-2p&k=k^{\prime}+k^{\prime\prime}\equiv 2q;|k|<2q\\ {u}_{p}{u}_{q-1-p}&{u}_{p}&{\zeta}^{k^{\prime}+1}&k^{\prime}\equiv 2p&|k^{% \prime}|\leq 2p&u_{q-1-p}&{\zeta}^{k^{\prime\prime}+1}&k^{\prime\prime}\equiv 2% q-2-2p&k^{\prime\prime}<2q-2-2p&k=k^{\prime}+k^{\prime\prime}+2\\ s_{p}s_{q-1-p}&s_{p}&\zeta^{k^{\prime}-1}&k^{\prime}\equiv 2p&|k^{\prime}|\leq 2% p&s_{q-1-p}&\zeta^{k^{\prime\prime}-1}&k^{\prime\prime}\equiv 2q-2-2p&|k^{% \prime\prime}|<\mathrm{2q}-2-2p&k=k^{\prime}+k^{\prime\prime}-2\end{array}

Comme les termes en ζk{\zeta}^{k} dans ϕ\phi nous donnent des termes en ζk+1{\zeta}^{k+1} dans uq{u}_{q} et en ζk1{\zeta}^{k-1} dans sq{s}_{q} le théorème est démontré.

Un coefficient quelconque aj{a}_{j} est donc de la forme suivante :

m2j[R0+R1m4+R2m8+]{m}^{\mathrm{2j}}[{R}_{0}+{R}_{1}{m}^{4}+{R}_{2}{m}^{8}+\ldots]

R0,R1,R2{R}_{0},{R}_{1},{R}_{2}etc étant des fonctions rationnelles de m contenant au dénominateur un ou plusieurs des trinômes :

m24m+6,m24m+30,m24m+70{m}^{2}-\mathrm{4m}+6,{m}^{2}-\mathrm{4m}+30,{m}^{2}-\mathrm{4m}+\mathrm{70...}

la série procédant suivant m4{m}^{4}, chaque approx nous donne 4 décimalesn environ. Hill calcule avec 15 décimales depuis a0=1;a1=0,001;a1=0,008{a}_{0}=1;{a}_{1}=\mathrm{0,001};{a}_{-1}=\mathrm{0,008}jusqu’à a6=7×1015;a6<1015{a}_{6}=7\times{10}^{-15};{a}_{-6}<{10}^{-15}.

Calcul de a

Les valeurs u=aajζ2j+1,s=aajζ2j1u=a\sum{a}_{j}{\zeta}^{\mathrm{2j}+1},s=a\sum{a}_{j}{\zeta}^{-\mathrm{2j}-1}satisfont aux éq homog quelle que soit la constante a ; pour satisfaire aux éq. Données (qui contiennent x) il faut attribuer à une valeur [illisible].

Le calcul précédent donne xa,ya,ca2\frac{x}{a},\frac{y}{a},\frac{c}{{a}^{2}}; l’intégrale de Jacobi donnera x2a2\frac{x}{{\mathrm{2a}}^{2}}; d’autre part nous connaîtrons r2a2=x2a2+y2a2=𝑢𝑠a2\frac{{r}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{% \mathit{us}}{{a}^{2}}; donc par multiplication nous aurons (x2a2)2r2a2=x2a6{(\frac{x}{{\mathrm{2a}}^{2}})}^{2}\frac{{r}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{{x}^{2}}{{a}^% {6}}; d’où nous tireront a puisque nous connaissons xx.

On calculera de même xr3\frac{x}{{r}^{3}}.

rapport à l’inclinaison

Ces termes sont donnés par :

z′′+(xr3+m2)z=0z^{\prime\prime}+(\frac{x}{{r}^{3}}+{m}^{2})z=0

xr3\frac{x}{{r}^{3}}est la valeur que nous venons de calculer. Nous pouvons donc poser :

xr3+m2=Θ=Θ0+2Θ1cos2τ+2Θ2cos4τ+\frac{x}{{r}^{3}}+{m}^{2}=\Theta={\Theta}_{0}+2{\Theta}_{1}\cos 2\tau+2{\Theta% }_{2}\cos 4\tau+\mathrm{...}

Théorèmes généraux sur les éq diff lin.

Si les coeff sont péri de péri π\pi, que l’éq lim soit d’ordre [illisible].

Il y a p intégrales :

ϕ1(t),ϕ2(t),,ϕp(t){\phi}_{1}(t),{\phi}_{2}(t),\mathrm{...},{\phi}_{p}(t)et p constantes S1,S2,,Sp{S}_{1},{S}_{\mathrm{2,}}\mathrm{...},{S}_{p}telles que :

ϕk(t+π)=Skϕk(t){\phi}_{k}(t+\pi)={S}_{k}{\phi}_{k}(t)

Soit alors Sk=E𝑖ℎkπ{S}_{k}={E}^{{\mathit{ih}}_{k}\pi}, nous aurons ϕk=Ak.jEi(𝑗𝑡+hkt){\phi}_{k}=\sum{A}_{\mathit{k.j}}{E}^{i(\mathit{jt}+{h}_{k}t)}; jjétant un entier pair, les hk{h}_{k}sont des expo. carac.

Dans ce cas partic. on a :z1z2z2z2=𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡{z}_{1}^{\prime}{z}_{2}-{z}_{2}^{\prime}{z}_{2}=\mathit{const}; soit :

z1=ϕ1(t),z2=ϕ2(t){z}_{1}={\phi}_{1}(t),{z}_{2}={\phi}_{2}(t); la const ne peut être nulle ; car z1z2\frac{{z}_{1}}{{z}_{2}}n’est pas const. Or si l’on change tten t+ϕt+\phile premier membre est multiplié par Eiπ(k1+k2){E}^{i\pi}({k}_{1}+{k}_{2}); donc k1+k2=0{k}_{1}+{k}_{2}=0. Nous poserons h1=g,h2=g{h}_{1}=g,{h}_{2}=-g.

Soit z=F(τ)z=F(\tau)une sol. Partic. Telle que F(0)=1,F(0)=0F(0)=1,F^{\prime}(0)=0. F(τ)F(\tau)est une fonction paire de τ\tau; donc F(τ)=Ajcos(2j+g)τF(\tau)=\sum{A}_{j}\cos(\mathrm{2j}+g)\tau.

Nous avons ϕ1(t)=AjEi(2j+g)τ{\phi}_{1}(t)=\sum{A}_{j}{E}^{i(\mathrm{2j}+g)\tau}et en changeant τ\tauen τ-\tau, ϕ2(t)=AjEi(2j+g)τ{\phi}_{2}(t)=\sum{A}_{j}{E}^{-i(\mathrm{2j}+g)\tau}; d’où : F(τ)=Ajcos(2j+g)τ;Ai=1F(\tau)=\sum{A}_{j}\cos(\mathrm{2j}+g)\tau;\sum{A}_{i}=1. Soit z=f(τ)z=f(\tau)une autre sol. part. telle que f(0)=0;f(0)=1f(0)=0;f^{\prime}(0)=1; cette solution particulière sera impaire et l’on aura f(t)=BAjsin(2j+g)τf(t)=B\sum{A}_{j}\sin(\mathrm{2j}+g)\tau

BAj(2j+g)=1B\sum{A}_{j}(\mathrm{2j}+g)=1

On aura pour l’eq en S :

$$

d’où F(π)f(π)f(π)F(π)=1;f(π)+F(π)=2cosgπF(\pi)f^{\prime}(\pi)-f(\pi)F^{\prime}(\pi)=1;f^{\prime}(\pi)+F(\pi)=2\cos g\pi

F(π)=Ajcosgπ=+cosgπ;f(π)=+BAj(2j+1+g)=+cosgπF(\pi)=\sum{A}_{j}\cos g\pi=+\cos g\pi;f^{\prime}(\pi)=+B\sum{A}_{j}(\mathrm{2% j}+1+g)=+\cos g\pi

F(τ)F(\tau)considéré comme une fonction de τ\tau; si la série Θ\Thetan’avait qu’un nombre fini de termes ; F(τ)F(\tau)serait une fonction entière de τ\tau, donc si τ\tauest réel, on peut trouver une fonction entière de τ\tauqui diffère aussi peu que l’on veut de τ\tau.

F(τ)F(\tau)considéré comme une fonction de Θ0,Θ1{\Theta}_{0},{\Theta}_{1}etc c’est une fonction entière si τ\tauest donné ainsi que le chemin pour aller de 0 à τ\tau; car elle est uniforme ; et elle ne peut devenir infinie, puisque le point τ\tauni aucun des points du chemin 0τ0\taun’est singulier.

Quand on change τ\tauen τ+π2\tau+\frac{\pi}{2}, Θ1,Θ3,Θ5{\Theta}_{1},{\Theta}_{3},{\Theta}_{5} changent de signe, la valeur de cosgπ\cos g\pine doit pas changer. Donc le développement de F(π)F(\pi)contientΘ1,Θ3,Θ5{\Theta}_{1},{\Theta}_{3},{\Theta}_{5}qu’à un degré ; si l’on supposait Θ1=Θ3=Θ5==0{\Theta}_{1}={\Theta}_{3}={\Theta}_{5}=\mathrm{...}=0; on pourrait changer τ\tauen τ+π4\tau+\frac{\pi}{4}; et on verrait que Θ2,Θ6,Θ10{\Theta}_{2},{\Theta}_{6},{\Theta}_{10}ne peuvent entrer qu’à un degré pair à moins d’être multipliés par Θ12,Θ32,Θ1.Θ3{\Theta}_{1}^{2},{\Theta}_{3}^{2},{\Theta}_{1}\mathrm{.}{\Theta}_{3}\mathrm{...}; si l’on supp de plus Θ2=Θ6=Θ10==0{\Theta}_{2}={\Theta}_{6}={\Theta}_{10}=\mathrm{...}=0; on verrait que Θ4,Θ12,Θ20{\Theta}_{4},{\Theta}_{12},{\Theta}_{20}ne peuvent entrer qu’à des degrés pair à moins d’être multipliés par Θ12,Θ22,Θ32,Θ62,.{\Theta}_{1}^{2},{\Theta}_{2}^{2},{\Theta}_{3}^{2},{\Theta}_{6}^{2},\mathrm{..% ..}ou par l’un des produits 2 à 2 Θ1Θ3,Θ2Θ6{\Theta}_{1}{\Theta}_{3},{\Theta}_{2}{\Theta}_{6}\mathrm{...}

Nous avons donc comme intégrales particulières :

AjEi(2j+g)τ,AjEi(2j+g)τ\sum{A}_{j}{E}^{i(\mathrm{2j}+g)\tau},\sum{A}_{j}{E}^{-i(\mathrm{2j}+g)\tau}

En multipliant la première par k2iEiω\frac{k}{\mathrm{2i}}{E}^{i\omega}, la seconde par k2iEiω\frac{k}{\mathrm{2i}}{E}^{-i\omega}et [illisible].

On trouve l’intégrale générale (à cause des deux constantes k,ωk,\omega):

z=kAjsin(2jτ+gτ+ω)z=k\sum{A}_{j}\sin(\mathrm{2j}\tau+g\tau+\omega)

ou en posant gτ+ω=λ;z=kAjsin(2jτ+λ)g\tau+\omega=\lambda;z=k\sum{A}_{j}\sin(\mathrm{2j}\tau+\lambda).

Le terme le plus important correspond au cas de j=0j=0; c’est celui qu’on obtient en supposant Θ1=Θ2==0{\Theta}_{1}={\Theta}_{2}=\mathrm{...}=0; les époques du passage au noeud sont données par l’éq. z=0; ou en négligeant les termes sauf le principal sinλ=0\sin\lambda=0, λ=𝑚𝑢𝑙𝑡π\lambda=\mathit{mult}\pi. Les époques successives du passage au noeud sont telles que gτ+ωg\tau+\omegasoit à peu près égal aux multiples successifs de π\pi.

Nous avons à envisager l’intégrale particulier :

F(τ)=Ajcos(2j+g)τF(\tau)=\sum{A}_{j}\cos(\mathrm{2j}+g)\tau

Nous avons vu que F(π)=cosgπF(\pi)=\cos g\piest développable suivant les puissances de Θ1,Θ2{\Theta}_{1},{\Theta}_{2}\mathrm{...}; si Θ1=Θ2==0{\Theta}_{1}={\Theta}_{2}=\mathrm{...}=0; jjse réduit à Θ0\sqrt{{\Theta}_{0}}que je poserai =q. On tirera donc g de cette eq en série dével s.l. puiss de Θ1,Θ2,{\Theta}_{1},{\Theta}_{2},\mathrm{...}de même pour AA;

F(τ)=Ajcos(2j+g)τ;F(t+π)=F(τ)cosgπ𝑠𝑖𝑛𝑔πAjsin(2j+g)τF(\tau)=\sum{A}_{j}\cos(\mathrm{2j}+g)\tau;F(t+\pi)=F(\tau)\cos g\pi-\mathit{% sing}\pi\sum{A}_{j}\sin(\mathrm{2j}+g)\tau

AjEi(2j+g)τ=F(τ)(1+icotgπ)F(τ+π)isingπ\sum{A}_{j}{E}^{i(\mathrm{2j}+g)\tau}=F(\tau)(1+i\cot g\pi)-F(\tau+\pi)\frac{i% }{\sin g\pi}

𝑟𝐴j=0𝑟Ei(2j+g)τdτ[F(τ)(1+𝑖𝑐𝑜𝑡gπ)iF(τ+π)singπ]{\mathit{rA}}_{j}=\underset{0}{\overset{r}{\int}}{E}^{-i(\mathrm{2j}+g)\tau}d% \tau[F(\tau)(1+\mathit{icot}g\pi)-\frac{iF(\tau+\pi)}{\sin g\pi}]

Pour obtenir le développement de F(τ)F(\tau), j’écris l’éq sous la forme :

z′′+q2z=(Θ0Θ)zz^{\prime\prime}+{q}^{2}z=({\Theta}_{0}-\Theta)z.

Je fais d’abord z=0z=0dans le second membre ; ce qui me donne une première approx.

z0{z}_{0}, puis z=z0z={z}_{0}dans le second membre cqmd une seconde approx z1{z}_{1}et ainsi de suite. zp{z}_{p}Est exact jusque deux termes d’ordre ppinclus d’ordre pppar rapport à Θ1,Θ2{\Theta}_{1},{\Theta}_{2}\mathrm{...}.

on trouve : z=E𝑖ℎτq2h2E𝑖𝑞τ2q(qh)E𝑖𝑞τ2q(q+h)=ϕ(h)z=\frac{{E}^{\mathit{ih}\tau}}{{q}^{2}-{h}^{2}}-\frac{{E}^{\mathit{iq}\tau}}{% \mathrm{2q}(q-h)}-\frac{{E}^{-\mathit{iq}\tau}}{\mathrm{2q}(q+h)}=\phi(h).

Soit à intégrer :

zz+q2z=τk+E𝑖ℎ𝑡z^{\prime}z+{q}^{2}z={\tau}^{k}+{E}^{\mathit{iht}}z= dérivée k2{k}^{2}de ϕ(h)×(1)k\phi(h)\times{(\sqrt{-1})}^{-k}.

Donc zzcontient des termes en τkE𝑖ℎτ,τk1E𝑖ℎτ,,E𝑖ℎτ,E𝑖𝑞τ,E𝑖𝑞τ{\tau}^{k}{E}^{\mathit{ih}\tau},{\tau}^{k-1}{E}^{\mathit{ih}\tau},\mathrm{...}% ,{E}^{\mathit{ih}\tau},{E}^{\mathit{iq}\tau},{E}^{-\mathit{iq}\tau}.

Les coeff sont des fonc. Rat. De q, contenant au dém q,q+hq,q+hou qhq-hà diverses puissances.

Pour h=qh=q, ϕ(h)\phi(h)se réduit à :

τe𝑖𝑞τ2qE𝑖𝑞τ4q2+E𝑖𝑞τ4q2\frac{\tau{e}^{\mathit{iq}\tau}}{\mathrm{2q}}-\frac{{E}^{-\mathit{iq}\tau}}{{% \mathrm{4q}}^{2}}+\frac{{E}^{\mathit{iq}\tau}}{{\mathrm{4q}}^{2}}(coefficients mal déterminés)

ϕk(h){\phi}^{k}(h)contient un terme en τk+1E𝑖𝑞τ{\tau}^{k+1}{E}^{\mathit{iq}\tau}, (exception analogue pour q=hq=-h).

Donc F(τ)F(\tau)est une fonction de la forme suivante :

1° Elle contiendra des termes en :

cos(2j+q)τ,τsin(2j+q)τ,τ2cos(2j+q)τ\cos(\mathrm{2j}+q)\tau,\tau\sin(\mathrm{2j}+q)\tau,{\tau}^{2}\cos(\mathrm{2j}% +q)\tauetc.

Les coeff seront développés suivant les puissances de Θ1,Θ2{\Theta}_{1},{\Theta}_{2}\mathrm{...}et les coeff du développement seront des fonctions rationnelles de qqoù le dénominateur ne contiendra que des facteurs de la forme q+2jq+\mathrm{2j}.

2° De là résulte la forme de F(π)F(\pi);

F(π)=Hcos(qπ)+Hsin(qπ)F(\pi)=H\cos(q\pi)+H^{\prime}\sin(q\pi)

H,HH,H^{\prime}sont développables suivant les puissances de Θ1,Θ2{\Theta}_{1},{\Theta}_{2}\mathrm{...}, les coefficients du développement étants des fonctions rationnelles de q ; (facteurs du dénominateur q+2jq+\mathrm{2j})

Les premiers termes sont :

cosgπ=cosqπ[1r2Θ1425q2(1q2)2]+sinqπ[rΘ124q(1q2)+(15q435q2+8)πΘ1464.q3(1q2)3(4q2)]\cos g\pi=\cos q\pi[1-\frac{{r}^{2}{\Theta}_{1}^{4}}{{2}^{5}{q}^{2}{(1-{q}^{2}% )}^{2}}]+\sin q\pi[\frac{-r{\Theta}_{1}^{2}}{\mathrm{4q}(1-{q}^{2})}+\frac{({% \mathrm{15q}}^{4}-{\mathrm{35q}}^{2}+8)\pi{\Theta}_{1}^{4}}{{\mathrm{64.q}}^{3% }{(1-{q}^{2})}^{3}(4-{q}^{2})}]

Nous avons ainsi cosgπ\cos g\piet par conséquent gg.

Soit F(τ)=Bjcos(2j+q)τ+τBjsin(2j+q)τ+τ2Bj′′cos(2j+q)τF(\tau)=\sum{B}_{j}\cos(\mathrm{2j}+q)\tau+\tau\sum{B}_{j}^{\prime}\sin(% \mathrm{2j}+q)\tau+{\tau}^{2}\sum{B}_{j}^{\prime\prime}\cos(\mathrm{2j}+q)\tau.

D’autre part,

F(τ)=Ajcos(2j+g)τ=Ajcos(2j+q)τ(gq)τAjsin(2j+q)τF(\tau)=\sum{A}_{j}\cos(\mathrm{2j}+g)\tau=\sum{A}_{j}\cos(\mathrm{2j}+q)\tau-% (g-q)\tau\sum{A}_{j}\sin(\mathrm{2j}+q)\tau

(gq)2τ22Ajcos(2j+q)τ+(gq)3τ36Ajsin(2j+q)τ\frac{{(g-q)}^{2}{\tau}^{2}}{2}\sum{A}_{j}\cos(\mathrm{2j}+q)\tau+\frac{{(g-q)% }^{3}{\tau}^{3}}{6}\sum{A}_{j}\sin(\mathrm{2j}+q)\tau

On en identifie les deux développements :

Aj=Bj;Bj(gq)Aj;Bj′′=(gq)22Aj;{A}_{j}={B}_{j};{B}_{j}^{\prime}-(g-q){A}_{j};{B}_{j}^{\prime\prime}=\frac{-{(% g-q)}^{2}}{2}{A}_{j}; etc. …

Le développement ne peut se faire que d’une seule manière.

Nous avons donc g,Ajg,{A}_{j}.

Méthode de Hill (déterminant)

Les Aj{A}_{j} doivent satisfaire aux éq linéaires : le nombre infini.

[transcription à compléter]

AD 32p. Collection particulière, Paris 75017.