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proj de :
proj de :
C=Terre ; B=Soleil ; A=Lune ; soit
, d’où :
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Il vaut mieux au lieu de
écrire , ,
Nous poserons
Si on avait , le mouvement relatif de A par rapport à C (ou
de B par rapport à D) serait Képlerien, et tout se passerait comme si
A était attiré par C par une masse et
B par D par une masse
.
Théorème rappelé : les peuvent se développer suivant les
puissances de ; ce sont des foncions de constantes
d’intégration
Ces cinq arguments sont de la forme :
Les [illisible] et les sont cinq nouvelles constantes d’intégration ; les et les sont des constantes qui dépendent des cinq constantes . (Tout celà suppose qu’on a pris le plan invariable pour le plan des xy).Les sont des fonctions périodique des .
Ces fonctions sont développables selon les puissances de et de
, seulement pour , les s’annuleront,
mais les ne s’annuleront pas.
.
Signification des termes : , sont des longitudes moyennes
moyennes; , sont les moyens mouvements moyens,
, correspondent aux époques,
, sont de l’ordre des excentricités; de telle
façon que
est sensiblement proportionnel à
; diffère peu de la longitude du
noeud, étants très petits de
l’ordre de , les périhélies et les noeuds se déplacent très
lentement.
On a sensiblement .
Forme du développement ; on a pour le terme général :
où A est développable suivant les puissances de et dépend en outre de , les entiers etc sont au moins égaux aux entiers et la différence est paire (les coeff d’un même exposant procèdent donc suivant les puissances de .).
Le développement peut être mis sous forme réelle; le terme général est alors :
Symétrie; par rapport aux axes des x et des y; les développements de ne contiennent que des ; ceux de sont pairs; ces nombres sont impairs dans .
Tout est de révolution, les distances ponctuelles, les coord. , les combinaisons ne dépendent que des 4 différences .
Homogenéité; les eq ne changent pas quand on multiplie l’unité de longueur par et l’unité de temps par . Donc nous evons obtenir une nouvelle solution où tous les sont multipliés par , les divisés par . Dans ces conditions, sont multipliés par , les par . Donc A est homogène de degré en tandis que les sont homogènes de degré -3 en .
Dans le cas de la Lune, varient d’après les lois de Kepler et les éléments du Soleil sont constants. Comme est du même ordre de grandeur que ; que AC et BD sont du même ordre que nous pourrons poser :
Soit , soit
d’où :
Donc sont fonction périodiques de , et le terme général est de la forme :
Les différences , ,
sont positives ou nulles et paires.
En ce qui concerne ; les différences des cinq arguments subsistent seules et .
On prendra pour argument les différences
et les coeff de ces quatre arguments seront
.
D’où cette conséquence, nos fonctions sont développables suivant les puissances de et ?
Mais il faut tenir compte des petits diviseurs et en particulier de . Les termes qui contiennent en facteur peuvent contenir en dénominateur jusqu’à , si l’on prend ; on a ainsi des termes en , de sorte que finalement, nos séries ne vont plus procéder suivant les puissances de , mais suivant celles de , c’est-à-dire de .
Le coeff d’un terme quelconque est donc est donc développé suivant les puissances de ; il dépend en outre de ; mais pas homogène il est égal à , multiplié par une fonction de ; étant très petit, cette fonction sera développable selon les puissances de .
Il vient donc finalement :
avec les conditions etc.; , pairs etc.
Dans , pairs ; dans , impairs.
Est-il de même parité que ; en effet ne doivent pas changer si l’on change en ; en et . Dans ces conditions, ne changent pas.
Donc dans , est impair.
Dans , est pair.
Termes en (), ;
impair positif ou négatif ; considérons en particulier les termes en ; de ces termes dépendent l’équation du centre et [illisible] (dans le cas du mouvement Keplerien, les termes en subsistent seuls ; constituent l’équation du centre sulement est constant.) les termes en constituent [illisible].
2° En ; ; ; impair positif ou négatif. Les termes les plus sensibles en constituent l’équation annuelle.
3° En ; ; pair ; le terme le plus important est indépendant de , c’est l’inégalité parallactique ; le suivant encore assez important est en .
4° En ;
pair,; terme principal en latitude , subsiste le mouvement Keplerien ;
.
Alors le coeff d’un terme quelconque ; (de même que ) seront développables suivant les puissances de :
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Les développements suivant procèdent donc moins vite que les développements suivant les excentricités, l’inclinaison et la parallaxe.
Les constantes sont entièrement définies, il n’en est pas de même pour les autres constantes et en effet le développement conserverait la même forme si l’on changeait en .
étant des séries procédant suivant les puissances de .
Brown définit soit comme le coeff de dans le développement de ; soit comme lié à par la même relation que le coeff de dans le développement de en supposant .
Quant à , c’est le coeff de dans le développement de
, c’est à peu près deux fois
l’excentricité dans le sens ordinaire du mot; (il faudrait donc
prendre au lieu de ). Delaunay définit
d’une autre manière; doit être choisi de telle sorte que le terme
en dans la longitude ait même forme que dans le . Keplerien.
Pour , c’est le coeff de dans le
développement de ; pour Delauney il définissait sa constante
de telle façon que le terme en dans la
latitude ait même expression que dans le mouvement elliptique en
fonction de et ; la différence des
deux définitions est [illisible].
On pourrait aussi choisir les constantes e façon à faciliter la méthode de Jacobi. Nous avons vu en effet que dans le cas général du problème àtrois corps :
est une différ. exacte; ou bien :
Le mouvement du Soleil étant keplerien :
est une différ. exacte; donc la différence :
doit être une différ. Exacte pourvu que soient regardés comme des constantes; dans ce cas ;
On définiera donc de telle façon que :
Soit différentiel exacte, en regardant comme des constantes.
Cela suffit pour définir a, e et k; car si on remplace par , les coeff de sont multipliés par (les étant des fonctions de même forme que les ); de sorte que la différence :
Doit être différ. exacte. Les coeff de sont indep de pour que la diff soit exacte, ils doivent être indep de ; ils ne pourraient donc dépendre que de ; et comme ils [illisible] en facteur , cela n’est possible que s’ils sont nuls. [illisible].
Soit .
où est un polynôme de Legendre d’ordre en .
Posons , il vient :
Or est un polynôme entier en et (il est homogène de degré en ).
Or .
De plus, $$ , sont développables suivant les puissances de et se réduisent à pour .
De plus,
se trouve donc développé suivant les puissances de la parallaxe , des rapports et de .
D’autre part, contient à la puissance ;
Soit ; est développable suivant les puissances de , il est polynôme homogène de degré en .
On obtiendra les termes indépendants de la parallaxe en faisant .
On a ; (on a sensiblement )
Pour ; on a , on a :
Soit
On a les éq ; or par rapport aux axes tournants :
,
Si nous prenons l’unité de temps de telle sorte que ; si de plus nous supposons de telle sorte que il vient :
;
Si , on a; d’où :
(intégrale de Jacobi)
Dans le cas de ; cela se réduit à :
Multiplions par , il vient :
Equations homogènes imaginaires
Soit dérivées de par rapport à .
Nous supposeront , il viendra :
Qu’on peut remplacer par :
est son imaginaire conjuguée.
Soit ; on a de telle façon que l’intégrale de Jacobi s’écrit :
; ()
Soit
[Changement de notation : Je représenterai les coord. du Soleil par et non ; sa distance au point D par R et non plus ; la fonction perturbatrice par V et non plus par R.]
Si nous faisons , nos éq se réduisent à :
Je dis que ces éq admettent une solution périodique de la forme :
(impair).
En effet les éq ne changent pas si on change en ; en .
Si donc pour , on a , il y a conjonction symétrique de sorte que est une fonction paire de , et une fonction impaire.
Les éq ne changent pas si on change en .
S’il y a conj. sym. pour et quadr. sym pour , la solution est [illisible]. Faisons pour , on aura , il y a alors conj. sym. et quadr. [illisible].
Soit quelconque ; soit pour .
Considérons les valeurs de pour ; elles sont développables suivant les puissances de , elles s’annulent avec ces 3 [illisible].
Les éq qui expriment la quadr. Sym. Nous donneront alors en fonction de .
Les courbes définies par les éq. Homogènes sont plus générales que les courbes définies par les équations primitives (Si on regarde comme arbitraire) ; elles sont semblables à ces courbes avec un rapport de similitude quelconque.
Pour m très petit la courbe femée diffère peu d’un cercle ; [figures]
pour , il y a deux points de rebroussement [figure], deux points doubles [figure], la courbe rencontre la Terre [figure], une courbe fermée parcourue en sens inverse [figure],
pour une ellipse
Soit
où variant de 0 à l’infini.
Ecrivons l’éq plus générale :
où nous ferons ensuite ; et développons suivant les puissances de . Soit :
Supp que l’on ait déterminé , et qu’on veuille , nous aurons ; en [illisible] les coeff de :
, étant connu.
Soit le coeff de dans le second membre ; le coeff de dans le premier membre vient du terme de , et du terme de , ce qui donne :
En changeant en , le coeff de dans est et le coeff de dans est , d’où :
De ces deux eq, on tirera . Pour : on doit avoir , les deux éq se réduisent en une seule; doit être remplacé par , et l’éq devient
est indéterm. puisqu’on dispose de l’indéterminée ; Hill prend .
Le déterminant de nos éq linéaires est :
Donc les coeff sont des fonctions dével. suivant les puissances de et les coeff du développement sont des fonctions rationnelles de .
Au dénominateur de ces fonctions rationnelles peuvent entrer les facteurs :
; c’est-à-dire .
On trouve que peuvent se développer suivant les puissances de ; de sorte que :
1° contient en facteur ;
2° ne contient que des puissances de
telles que ; le développement de chaque coeff procède donc suivant les puissances de ; et converge comme une progr. géom. de raison .
L’intégrale de Jacobi sera :
Les eq homogènes seront :
Nous retrouvons ainsi notre éq généralisée ; on voit ainsi que cette
éq correspond au cas d’une masse comme la Lune attirée par une masse
constante comme la Terre, par une masse éloignée tournante comme le
Soleil (la relation entre la masse, la distance et la vitesse de
révolution pouvant ne pas avoir lieu.) et soumise en outre à une force
centrale proport. à la distance.
Reprenons l’éq.
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contient des termes en
() (ou des termes où
sont remplacés par une de leurs dérivées) des
termes en et en .
Je dis que ne contient que des termes en
et des termes en où , .
Cela est vrai en effet pour . Supposons que cela soit vrai pour
. Je dis que
cela sera vrai pour et .
En effet soit un terme en dans ; soit
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Comme les termes en dans nous donnent des
termes en dans et en
dans le théorème est démontré.
Un coefficient quelconque est donc de la forme suivante :
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etc étant des fonctions rationnelles de m contenant au dénominateur un ou plusieurs des trinômes :
la série procédant suivant , chaque approx nous donne 4 décimalesn environ. Hill calcule avec 15 décimales depuis jusqu’à .
Les valeurs satisfont aux éq homog quelle que soit la constante a ; pour satisfaire aux éq. Données (qui contiennent x) il faut attribuer à une valeur [illisible].
Le calcul précédent donne ; l’intégrale de Jacobi donnera ; d’autre part nous connaîtrons ; donc par multiplication nous aurons ; d’où nous tireront a puisque nous connaissons .
On calculera de même .
Ces termes sont donnés par :
où est la valeur que nous venons de calculer. Nous pouvons donc poser :
Théorèmes généraux sur les éq diff lin.
Si les coeff sont péri de péri , que l’éq lim soit d’ordre [illisible].
et p constantes telles que :
Soit alors , nous aurons ; étant un entier pair, les sont des expo. carac.
Dans ce cas partic. on a :; soit :
; la const ne peut être nulle ; car n’est pas const. Or si l’on change en le premier membre est multiplié par ; donc . Nous poserons .
Soit une sol. Partic. Telle que . est une fonction paire de ; donc .
Nous avons et en changeant en , ; d’où : . Soit une autre sol. part. telle que ; cette solution particulière sera impaire et l’on aura
d’où
considéré comme une fonction de ; si la série n’avait qu’un nombre fini de termes ; serait une fonction entière de , donc si est réel, on peut trouver une fonction entière de qui diffère aussi peu que l’on veut de .
considéré comme une fonction de etc c’est une fonction entière si est donné ainsi que le chemin pour aller de 0 à ; car elle est uniforme ; et elle ne peut devenir infinie, puisque le point ni aucun des points du chemin n’est singulier.
Quand on change en , changent de signe, la valeur de ne doit pas changer. Donc le développement de contientqu’à un degré ; si l’on supposait ; on pourrait changer en ; et on verrait que ne peuvent entrer qu’à un degré pair à moins d’être multipliés par ; si l’on supp de plus ; on verrait que ne peuvent entrer qu’à des degrés pair à moins d’être multipliés par ou par l’un des produits 2 à 2
Nous avons donc comme intégrales particulières :
En multipliant la première par , la seconde par et [illisible].
On trouve l’intégrale générale (à cause des deux constantes ):
ou en posant .
Le terme le plus important correspond au cas de ; c’est celui qu’on obtient en supposant ; les époques du passage au noeud sont données par l’éq. z=0; ou en négligeant les termes sauf le principal , . Les époques successives du passage au noeud sont telles que soit à peu près égal aux multiples successifs de .
Nous avons à envisager l’intégrale particulier :
Nous avons vu que est développable suivant les puissances de ; si ; se réduit à que je poserai =q. On tirera donc g de cette eq en série dével s.l. puiss de de même pour ;
Pour obtenir le développement de , j’écris l’éq sous la forme :
.
Je fais d’abord dans le second membre ; ce qui me donne une première approx.
, puis dans le second membre cqmd une seconde approx et ainsi de suite. Est exact jusque deux termes d’ordre inclus d’ordre par rapport à .
on trouve : .
z= dérivée de .
Donc contient des termes en .
Les coeff sont des fonc. Rat. De q, contenant au dém ou à diverses puissances.
Pour , se réduit à :
(coefficients mal déterminés)
contient un terme en , (exception analogue pour ).
Donc est une fonction de la forme suivante :
1° Elle contiendra des termes en :
etc.
Les coeff seront développés suivant les puissances de et les coeff du développement seront des fonctions rationnelles de où le dénominateur ne contiendra que des facteurs de la forme .
2° De là résulte la forme de ;
où sont développables suivant les puissances de , les coefficients du développement étants des fonctions rationnelles de q ; (facteurs du dénominateur )
Les premiers termes sont :
Nous avons ainsi et par conséquent .
Soit .
On en identifie les deux développements :
etc. …
Le développement ne peut se faire que d’une seule manière.
Nous avons donc .
Méthode de Hill (déterminant)
Les doivent satisfaire aux éq linéaires : le nombre infini.
[transcription à compléter]
AD 32p. Collection particulière, Paris 75017.