P.L.M. Aix-les-Bains

Novembre 1899

$$A;{m}_{1} ={m}_{2}={m}_{3};{x}_{\mathrm{1,}}{x}_{\mathrm{2,}}{x}_{3}$$

$$B;{m}_{4} ={m}_{5}={m}_{6};{x}_{4},{x}_{5},{x}_{6}$$

$$C;{m}_{7} ={m}_{8}={m}_{9};{x}_{7},{x}_{8},{x}_{9}$$

$U=\frac{{m}_{1}{m}_{4}}{\mathit{AB}}+\frac{{m}_{1}{m}_{7}}{\mathit{AC}}+\frac{{m}_{4}{m}_{7}}{\mathit{BC}};{y}_{i}={m}_{i}\frac{{\mathit{dx}}_{i}}{\mathit{dt}}$

$T=\frac{1}{2}\sum{m}_{i}{(\frac{{\mathit{dx}}_{i}}{\mathit{dt}})}^{2};{m}_{i}\frac{{d}^{2}{x}_{i}}{{\mathit{dt}}^{2}}=\frac{\mathit{dU}}{{\mathit{dx}}_{i}};F=T-U$

proj de $\mathit{AC}$: $x^{\prime}_{1},x^{\prime}_{2},x^{\prime}_{3};m^{\prime}_{1}=m^{\prime}_{2}=m^{\prime}_{3}=\frac{{m}_{1}{m}_{7}}{{m}_{1}+{m}_{7}}$

proj de $\mathit{BD}$: $x^{\prime}_{4},x^{\prime}_{5},x^{\prime}_{6};m^{\prime}_{4}=m^{\prime}_{5}=m^{\prime}_{6}=\frac{{m}_{4}({m}_{1}+{m}_{7})}{{m}_{1}+{m}_{4}+{m}_{7}}$

$T=\frac{1}{2}\sum m^{\prime}_{i}{(\frac{{\mathit{dx}}_{i}^{\prime}}{\mathit{dt}})}^{2};{m}_{i}^{\prime}\frac{{d}^{2}{x}_{i}^{\prime}}{{\mathit{dt}}^{2}}=\frac{\mathit{dU}}{{\mathit{dx}}_{i}^{\prime}};{y}_{i}^{\prime}={m}_{i}^{\prime}\frac{{\mathit{dx}}_{i}^{\prime}}{\mathit{dt}}$

$U=(\frac{{m}_{1}{m}_{7}}{\mathit{AC}})+(\frac{{m}_{4}({m}_{1}+{m}_{7})}{\mathit{BD}})+(\frac{{m}_{1}{m}_{4}}{\mathit{AB}}+\frac{{m}_{4}{m}_{7}}{\mathit{BC}}-\frac{{m}_{4}({m}_{1}+{m}_{7})}{\mathit{BD}})={U}_{0}+{U}_{1}+{U}_{2}$

C=Terre ; B=Soleil ; A=Lune ; soit $\mathit{AC}=r,\mathit{BD}=r^{\prime},\mathit{BDA}=\omega$

${\mathit{AB}}^{2}={\mathit{AD}}^{2}-\mathrm{2AD.BD}\cos\omega+{\mathit{BD}}^{2}$, d’où :

$\frac{1}{\mathit{AB}}=\frac{1}{\mathit{BD}}{[1-\frac{\mathrm{2AD}}{\mathit{BD}}\cos\omega+\frac{{\mathit{AD}}^{2}}{{\mathit{BD}}^{2}}]}^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\mathit{BD}}[1+\frac{\mathit{AD}\cos\omega}{\mathit{BD}}+{(\frac{\mathit{AD}}{\mathit{BD}})}^{2}(\frac{3{\cos}^{2}\omega-1}{2})+\mathrm{...}]$

${m}_{4}{m}_{7}(\frac{1}{\mathit{BC}}-\frac{1}{\mathit{BD}})=\frac{-\cos\omega}{{\mathit{BD}}^{2}}{m}_{4}{m}_{7}\mathit{CD}+{m}_{4}{m}_{7}\frac{{\mathit{CD}}^{2}}{{\mathit{BD}}^{3}}(\frac{{\mathrm{3cos}}^{2}\omega-1}{2})+\mathrm{...}$

${m}_{1}\mathit{AD}={m}_{7}\mathit{CD};{U}_{2}=\frac{{\mathit{AC}}^{2}}{{\mathit{BD}}^{3}}\frac{{\mathrm{3cos}}^{2}\omega-1}{2}\frac{{m}_{1}{m}_{7}{m}_{4}}{{m}_{1}+{m}_{7}}$

$\frac{{U}_{2}}{{U}_{0}}=\frac{{\mathrm{3cos}}^{2}\omega-1}{2}\frac{{m}_{4}}{{m}_{1}+{m}_{7}}{(\frac{\mathit{AC}}{\mathit{BD}})}^{3};\frac{{U}_{2}}{{U}_{1}}=\frac{{\mathrm{3cos}}^{2}\omega}{2}\frac{{m}_{1}{m}_{7}}{{({m}_{1}+{m}_{7})}^{2}}{(\frac{\mathit{AC}}{\mathit{BD}})}^{2}$

$$\frac{{\mathrm{3cos}}^{2}\omega}{2}<\frac{{m}_{4}}{{m}_{1}+{m}_{7}}<350000;\frac{{m}_{1}}{{m}_{1}+{m}_{7}}<\frac{1}{80};\frac{{m}_{7}}{{m}_{1}+{m}_{7}}<1;\frac{\mathit{AC}}{\mathit{BD}}<\frac{1}{400}$$

$$\frac{{U}_{2}}{{U}_{0}}<\frac{1}{150};\frac{U_{2}}{U_{1}}<\frac{1}{120000}$$

Il vaut mieux au lieu de ${U}_{0},{U}_{1},{U}_{2}$ écrire ${U}_{0}$, ${U}_{0}^{\prime}$, ${U}_{1}$

$\beta=\frac{{m}_{1}{m}_{7}}{\sqrt{{m}_{1}+{m}_{7}}};\beta^{\prime}=\sqrt{{m}_{4}^{\prime}{m}_{4}({m}_{7}+{m}_{1})}=\frac{{m}_{4}({m}_{1}+{m}_{7})}{\sqrt{{m}_{1}+{m}_{4}+{m}_{7}}}$

Nous poserons $F={F}_{0}+\mu{F}_{1};{F}_{0}=T-{U}_{0}-{U}_{1};\mu{F}_{1}=-{U}_{2}$

Si on avait $\mu=0$, le mouvement relatif de A par rapport à C (ou de B par rapport à D) serait Képlerien, et tout se passerait comme si A était attiré par C par une masse $\frac{{m}_{1}{m}_{7}}{{m}_{1}}$et B par D par une masse $\frac{{m}_{4}({m}_{7}+{m}_{1})}{{m}_{4}}={m}_{1}+{m}_{4}+{m}_{7}$.

Théorème rappelé : les $x^{\prime}$peuvent se développer suivant les puissances de $\mu$; ce sont des foncions de $q$constantes d’intégration

$z,z^{\prime},{\rho}_{1},{\rho}_{2},{\rho}_{3}$

et de cinq arguments :

$w,w^{\prime},{\omega}_{1},{\omega}_{2},{\omega}_{3}$

Ces cinq arguments sont de la forme :

$w=\mathit{nt}+\epsilon;w=n^{\prime}t+\epsilon;{\omega}_{k}={\nu}_{k}+{\epsilon}_{k}$

Les [illisible] et les $\epsilon$sont cinq nouvelles constantes d’intégration ; les $n$et les $\nu$sont des constantes qui dépendent des cinq constantes $z,\rho,\mu$. (Tout celà suppose qu’on a pris le plan invariable pour le plan des xy).Les $x^{\prime}$sont des fonctions périodique des $w,\omega$.

Ces fonctions sont développables selon les puissances de $\mu$et de ${\rho}_{k}^{2}$, seulement pour $\mu=0$, les $\nu$s’annuleront, mais les $n$ne s’annuleront pas.

$\sum{x}_{i}^{\prime}{\mathit{dy}}_{i}^{\prime}-\mathit{zdw}-z^{\prime}\mathit{dw}^{\prime}+\sum{\rho}_{k}^{2}d{\omega}_{k}=\mathit{diff\acute{e}rentielle}\mathit{cx}=\mathit{cte}$.

Signification des termes : $w$, $w^{\prime}$ sont des longitudes moyennes moyennes; $n$, $n^{\prime}$ sont les moyens mouvements moyens, $\epsilon$, $\epsilon^{\prime}$ correspondent aux époques, $\rho_{1}$, $\rho_{2}$sont de l’ordre des excentricités; de telle façon que ${\rho}_{3}$ est sensiblement proportionnel à ${m}_{2}\frac{i}{2}$; ${\omega}_{3}$diffère peu de la longitude du noeud, ${\nu}_{1},{\nu}_{2},{\nu}_{3}$étants très petits de l’ordre de $\mu$, les périhélies et les noeuds se déplacent très lentement.

On a sensiblement $x=\beta\sqrt{a};x^{\prime}=\beta^{\prime}\sqrt{a}^{\prime}$.

Forme du développement ; on a pour le terme général :

$A{E}^{\sqrt{-1}(\mathit{qw}+q^{\prime}w^{\prime}+{j}_{1}{\omega}_{1}+{j}_{2}{\omega}_{2}+{j}_{3}{\omega}_{3})}{\rho}_{1}^{{k}_{1}}{\rho}_{2}^{{k}_{2}}{\rho}_{3}^{{k}_{3}}$

où A est développable suivant les puissances de $\mu$et dépend en outre de $z,z^{\prime}$, les entiers ${k}_{1}$etc sont au moins égaux aux entiers ${j}_{1}$et la différence est paire (les coeff d’un même exposant procèdent donc suivant les puissances de ${\rho}^{2}$.).

Le développement peut être mis sous forme réelle; le terme général est alors :

$A{\rho}_{1}^{{k}_{1}}{\rho}_{2}^{{k}_{2}}{\rho}_{3}^{{k}_{3}}\cos(\mathit{qw}+q^{\prime}w^{\prime}+{j}_{1}{\omega}_{1}+{j}_{2}{\omega}_{2}+{j}_{3}{\omega}_{3})$

Symétrie; par rapport aux axes des x et des y; les développements de ${x}_{1}^{\prime},{x}_{4}^{\prime}$ne contiennent que des $\cos$; ceux de ${x}_{1}^{\prime},{x}_{2}^{\prime},{x}_{4}^{\prime},{x}_{5}^{\prime},{q}_{3},{j}_{3}$sont pairs; ces nombres sont impairs dans ${x}_{3}^{\prime},{x}_{6}^{\prime}$.

Tout est de révolution, les distances ponctuelles, les coord. ${x}_{3}^{\prime},{x}_{6}^{\prime}$, les combinaisons ${x}_{1}^{\prime}\cos w+{x}_{2}^{\prime}\sin\omega;{x}_{4}^{\prime}\cos w+{x}_{5}^{\prime}\sin w;{x}_{1}^{\prime}\sin w-{x}_{2}^{\prime}\cos w;{x}_{4}^{\prime}\sin w-{x}_{5}^{\prime}\cos w$ ne dépendent que des 4 différences $w-w^{\prime},w-{\omega}_{k}$.

Homogenéité; les eq ne changent pas quand on multiplie l’unité de longueur par $K$et l’unité de temps par ${K}^{\frac{3}{2}}$. Donc nous evons obtenir une nouvelle solution où tous les $x^{\prime}$sont multipliés par $K$, les $n,\nu$divisés par ${k}^{\frac{3}{2}}$. Dans ces conditions, $z,z^{\prime}$sont multipliés par $\sqrt{K}$, les $\rho$par $\sqrt[4]{K}$. Donc A est homogène de degré $2-\frac{{k}_{1}+{k}_{2}+{k}_{3}}{2}$en $z,z^{\prime}$tandis que les $n,\nu$sont homogènes de degré -3 en $z,z^{\prime},{\rho}^{2}$.

Dans le cas de la Lune, ${x}_{4}^{\prime},{x}_{5}^{\prime},{x}_{6}^{\prime}$varient d’après les lois de Kepler et les éléments du Soleil sont constants. Comme $\frac{{U}_{2}}{{U}_{1}}$est du même ordre de grandeur que $\frac{{m}_{4}}{{m}_{1}+{m}_{7}}{(\frac{\mathit{AC}}{\mathit{BD}})}^{3}$; que AC et BD sont du même ordre que $a,a^{\prime}$nous pourrons poser :

Soit $\mu={(\frac{n^{\prime}}{n-n^{\prime}})}^{2}={m}^{2}$, soit $\mu={(\frac{n^{\prime}}{n})}^{2}=m^{\prime 2}$

d’où : $m^{\prime}=\frac{m}{m+1},m=\frac{m^{\prime}}{1-m^{\prime}}$

Nous pourrons poser :

$z=\beta\sqrt{a},{\rho}_{1}^{2}=\beta\sqrt{a}\frac{{e}^{2}}{2},{\rho}_{3}^{2}=\beta\sqrt{a}\frac{{i}^{2}}{2}=\beta\sqrt{a}{k}^{2}$

Donc ${x}_{1}^{\prime},{x}_{2}^{\prime},{x}_{3}^{\prime}$sont fonction périodiques de $w,w^{\prime},{\omega}_{1},{\omega}_{1},{\omega}_{3}$ , et le terme général est de la forme :

$A{e}^{{k}_{1}}{e}^{{k}_{2}^{2}}{e}^{{k}_{3}^{3}}{E}^{\sqrt{-1}(\mathit{qw}+q^{\prime}w^{\prime}+{j}_{1}{\omega}_{1}+{j}_{2}{\omega}_{2}+{j}_{3}{\omega}_{3})}$

Les différences ${k}_{1}-{j}_{1}$, ${k}_{2}-{j}_{2}$, ${k}_{3}-j_{3}$ sont positives ou nulles et paires.

En ce qui concerne ${x}_{1}^{\prime}\cos\omega^{\prime}+{x}_{2}^{\prime}\sin\omega^{\prime},{x}_{1}^{\prime}\sin\omega^{\prime}-{x}_{2}^{\prime}\cos\omega^{\prime},{x}_{3}^{\prime}$; les différences des cinq arguments subsistent seules et $q+q^{\prime}+\sum j=0$ .

On prendra pour argument les différences

$w-w^{\prime}=\tau;w-{\omega}_{1}=l;w^{\prime}-{\omega}_{2}=l^{\prime};w-{\omega}_{3}=\lambda$

et les coeff de ces quatre arguments seront

$q-{j}_{1}-{j}_{3},-{j}_{1},-{j}_{2},-{j}_{3}$.

D’où cette conséquence, nos fonctions sont développables suivant les puissances de $\mu,{\mathit{eE}}^{\pm\mathit{il}},e^{\prime}{E}^{\pm\mathit{il}^{\prime}},{\mathit{KE}}^{\pm i\lambda},{E}^{\pm i\tau}$et $\mu=m$?

Mais il faut tenir compte des petits diviseurs et en particulier de $n^{\prime}$. Les termes qui contiennent en facteur ${\mu}^{p}$peuvent contenir en dénominateur jusqu’à $n^{\prime\mathrm{2p}-1}$, si l’on prend $\mu=m^{\prime}$; on a ainsi des termes en ${\mu}^{p},\frac{{\mu}^{p}}{n^{\prime}},\mathrm{...},\frac{{\mu}^{p}}{n^{\prime\mathrm{2p}-1}}=n^{\prime\mathrm{2p}},n^{\prime\mathrm{2p}-1},\mathrm{...},n^{\prime\mathrm{2,}}n^{\prime}$, de sorte que finalement, nos séries ne vont plus procéder suivant les puissances de $n^{\prime 2}$, mais suivant celles de $n^{\prime}$, c’est-à-dire de $m$.

Le coeff d’un terme quelconque est donc est donc développé suivant les puissances de $m,{e}^{2},e^{\prime 2},{k}^{2}$; il dépend en outre de $a,a^{\prime}$; mais pas homogène il est égal à $a$, multiplié par une fonction de $\frac{a}{a^{\prime}}=\alpha$; $\alpha$étant très petit, cette fonction sera développable selon les puissances de $\alpha$.

Il vient donc finalement :

$x=x^{\prime}_{1}\cos\omega^{\prime}+{x}_{2}^{\prime}\sin\omega^{\prime}=\sum Aa{e}^{{k}_{1}}{e}^{{}^{\prime}{k}_{2}}{k}^{{k}_{3}}{\alpha}^{{k}_{4}}\cos({\mu}_{0}\tau+{\mu}_{1}l+{\mu}_{2}l^{\prime}+{\mu}_{3}\lambda)$

$y=x^{\prime}_{1}\cos\omega^{\prime}-{x}_{2}^{\prime}\sin\omega^{\prime}=\sum A^{\prime}a{e}^{{k}_{1}}{e}^{{}^{\prime}{k}_{2}}{k}^{{k}_{3}}{\alpha}^{{k}_{4}}\sin({\mu}_{0}\tau+{\mu}_{1}l+{\mu}_{2}l^{\prime}+{\mu}_{3}\lambda)$

$z=x^{\prime}_{3}\cos\omega^{\prime}-{x}_{2}^{\prime}\sin\omega^{\prime}=\sum A^{\prime\prime}a{e}^{{k}_{1}}{e}^{{}^{\prime}{k}_{2}}{k}^{{k}_{3}}{\alpha}^{{k}_{4}}\sin({\mu}_{0}\tau+{\mu}_{1}l+{\mu}_{2}l^{\prime}+{\mu}_{3}\lambda)$

avec les conditions ${k}_{1}>\mu_{1}$ etc.; ${k}_{1}$, ${\mu}_{1}$ pairs etc.

Dans $x,y$, ${k}_{3},{\mu}_{3}$pairs ; dans $z$, ${k}_{3},{\mu}_{3}$impairs.

${\mu}_{0}$Est-il de même parité que ${k}_{0}$; en effet ${x}_{1}^{\prime},{x}_{2}^{\prime},{x}_{3}^{\prime}$ne doivent pas changer si l’on change $a^{\prime}$en $-a^{\prime}$; $w^{\prime},{\omega}_{2}$en $\omega^{\prime}+\pi$et ${\omega}_{2}+\pi$. Dans ces conditions, $l,l^{\prime},\lambda$ne changent pas.

Donc dans $x,y$, ${k}_{0}-{\mu}_{0}$est impair.

Dans ${x}_{1}^{\prime},{x}_{2}^{\prime},z$, ${k}_{0}-{\mu}_{0}$est pair.

Termes en $\alpha$($l=l^{\prime}=k=0$), $x,y=\sum A\cos({\mu}_{0}\tau+l)$; $z=0$

${\mu}_{0}$impair positif ou négatif ; considérons en particulier les termes en $\tau-l,\tau+l,3\tau-l$; de ces termes dépendent l’équation du centre et [illisible] (dans le cas du mouvement Keplerien, les termes en $\tau-l,\tau+l$subsistent seuls ; constituent l’équation du centre sulement $\tau-l$est constant.) les termes en $3\tau-l$constituent [illisible].

2° En $e^{\prime}$; $x,y=\sum A\cos({\mu}_{0}\tau+l^{\prime})$; $z=0$; ${\mu}_{0}$impair positif ou négatif. Les termes les plus sensibles en $\tau\pm l^{\prime}$constituent l’équation annuelle.

3° En $\alpha$; $x,y=\sum A\cos({\mu}_{0}\tau)$; ${\mu}_{0}$pair ; le terme le plus important est indépendant de $\tau$, c’est l’inégalité parallactique ; le suivant encore assez important est en $2\tau$.

4° En $k$; $x,y=0,z=A\sin({\mu}_{0}\tau+\lambda)$

${\mu}_{0}$pair,; terme principal en latitude ${\mu}_{0}=0$, subsiste le mouvement Keplerien ;

Nous poserons :

$n-{\nu}_{1}=c(n-n^{\prime});n-{\nu}_{3}=g(n-n^{\prime})$.

Alors le coeff d’un terme quelconque ; (de même que $g,c$) seront développables suivant les puissances de :

$$m=\frac{1}{12},{e}^{2}={(\frac{1}{20})}^{2};e^{\prime 2}={(\frac{1}{60})}^{2};{k}^{2}={(\frac{1}{20})}^{2};{\alpha}^{2}={(\frac{1}{400})}^{2}.$$

Les développements suivant $m$procèdent donc moins vite que les développements suivant les excentricités, l’inclinaison et la parallaxe.

Les constantes $e^{\prime},a^{\prime}$sont entièrement définies, il n’en est pas de même pour les autres constantes $a,e,k$et en effet le développement conserverait la même forme si l’on changeait $a,e,k$en $a{\phi}_{0},e{\phi}_{1},k{\phi}_{2}$.

${\phi}_{0},{\phi}_{1},{\phi}_{2}$étant des séries procédant suivant les puissances de $m,{e}^{\mathrm{2,}}e^{\prime\mathrm{2,}}{k}^{\mathrm{2,}}{\alpha}^{2}$.

Brown définit $a$ soit comme le coeff de ${E}^{\tau\sqrt{-1}}$dans le développement de $x+\mathit{iy}$; soit comme lié à $n$par la même relation que le coeff de ${E}^{\tau\sqrt{-1}}$dans le développement de $x+\mathit{iy}$en supposant $e=e^{\prime}=\alpha=k=0$.

Quant à $e$, c’est le coeff de $a\sin l$ dans le développement de ${x}_{1}^{\prime}\sin w-{x}_{2}^{\prime}\cos w$, c’est à peu près deux fois l’excentricité dans le sens ordinaire du mot; (il faudrait donc prendre $e=\frac{1}{10}$au lieu de $\frac{1}{20}$). Delaunay définit d’une autre manière; $e$doit être choisi de telle sorte que le terme en $\sin l$dans la longitude ait même forme que dans le $m$. Keplerien.

Pour $k$, c’est le coeff de $\mathrm{2a}\sin\lambda$dans le développement de $z$; pour Delauney il définissait sa constante $\gamma$de telle façon que le terme en $\sin\lambda$dans la latitude ait même expression que dans le mouvement elliptique en fonction de $\gamma=\sin\frac{\nu}{2}$et $e$; la différence des deux définitions est [illisible].

On pourrait aussi choisir les constantes e façon à faciliter la méthode de Jacobi. Nous avons vu en effet que dans le cas général du problème àtrois corps :

$\sum{x}_{i}^{\prime}{\mathit{dy}}_{i}^{\prime}=\mathit{zdw}-z^{\prime}\mathit{dw}^{\prime}+\sum{\rho}_{k}^{2}d{\omega}_{k}$

est une différ. exacte; ou bien :

$\sum{x}_{i}^{\prime}{\mathit{dy}}_{i}^{\prime}-\beta\sqrt{a}\mathit{dw}-\beta^{\prime}\sqrt{a}^{\prime}\mathit{dw}^{\prime}+\sum{\rho}_{k}^{2}d{\omega}_{k}=\mathit{dS}$

Le mouvement du Soleil étant keplerien :

${x}_{4}^{\prime}{\mathit{dy}}_{4}^{\prime}+{x}_{5}^{\prime}{\mathit{dy}}_{4}^{\prime}+{x}_{6}^{\prime}{\mathit{dy}}_{6}^{\prime}-\beta^{\prime}\sqrt{a}^{\prime}d\omega^{\prime}+\sum{\rho}_{2}d{\omega}_{2}={\mathit{dS}}_{0}$

est une différ. exacte; donc la différence :

${x}_{1}^{\prime}{\mathit{dy}}_{1}^{\prime}+{x}_{2}^{\prime}{\mathit{dy}}_{2}^{\prime}+{x}_{3}^{\prime}{\mathit{dy}}_{3}^{\prime}-\beta\sqrt{a}d\omega+{\rho}_{1}d{\omega}_{1}+{\rho}_{3}d{\omega}_{3}={\mathit{dS}}_{1}$

doit être une différ. Exacte pourvu que $w^{\prime},{\omega}_{2},{\rho}_{2},a^{\prime}$soient regardés comme des constantes; dans ce cas $\mathit{dw}=d\tau$;

On définiera donc $a,e,k$de telle façon que :

$\sum_{i=1}^{i=3}{x}_{i}^{\prime}{\mathit{dy}}_{i}^{\prime}-\beta\sqrt{a}d\tau+\beta\sqrt{a}\frac{{e}^{2}}{2}(d\tau-\mathit{dl})+\beta\sqrt{a}{k}^{2}(d\tau-d\lambda)$

Soit différentiel exacte, en regardant $a^{\prime},e^{\prime},w^{\prime},n^{\prime}$comme des constantes.

Cela suffit pour définir a, e et k; car si on remplace $a,e,k$par $a{\phi}_{0},e{\phi}_{1},k{\phi}_{2}$, les coeff de $d\tau,d\tau-\mathit{dl},d\tau-d\lambda$sont multipliés par ${\psi}_{0},{\psi}_{1},{\psi}_{2}$(les $\psi$étant des fonctions de même forme que les $\phi$); de sorte que la différence :

$-\beta\sqrt{a}(1-{\psi}_{0})d\tau+\beta\sqrt{a}\frac{{e}^{2}}{2}(1-{\psi}_{1})(d\tau-\mathit{dl})+\beta\sqrt{a}{k}^{2}(d\tau-d\lambda)(1-{\psi}_{2})$

Doit être différ. exacte. Les coeff de $\tau,d\tau-\mathit{dl},d\tau-d\lambda$sont indep de $w^{\prime},\tau,l,\lambda$pour que la diff soit exacte, ils doivent être indep de $e,a,k$; ils ne pourraient donc dépendre que de $a^{\prime},e^{\prime},n^{\prime}$; et comme ils [illisible] en facteur $\sqrt{a},\sqrt{{a}^{2}},\sqrt{a}{k}^{2}$, cela n’est possible que s’ils sont nuls. [illisible].

${U}_{1}={m}_{1}{m}_{4}(\frac{1}{\mathit{AB}}-\frac{1}{\mathit{DB}})+{m}_{7}{m}_{4}(\frac{1}{\mathit{CB}}-\frac{1}{\mathit{DB}})$

Soit $\mathit{DB}=r^{\prime},\mathit{AC}=r,\mathit{BDA}=\omega$.

$\frac{1}{\sqrt{r^{\prime 2}+{r}^{2}-\mathrm{2rr}^{\prime}\cos\omega}}=\frac{1}{r^{\prime}}+\frac{{S}_{1}r}{{r}_{2}^{\prime}}+\mathrm{...}+\frac{{S}_{n}{r}^{n}}{{r}^{{}^{\prime}n+1}}+\mathrm{...}$

où ${S}_{n}$est un polynôme de Legendre d’ordre $n$en $\cos\omega$.

Posons :

$6=\frac{{m}_{1}}{{m}_{1}+{m}_{7}};\mathit{AD}=(1-6)r;\mathit{CD}=-\mathrm{6r}$

$\frac{1}{\mathit{AB}}-\frac{1}{\mathit{DB}}=\sum\frac{{S}_{n}{r}^{n}}{{r}^{{}^{\prime}(n+1)}}{(1-6)}^{n};\frac{1}{\mathit{CB}}-\frac{1}{\mathit{DB}}=\sum\frac{{S}_{n}{r}^{n}}{{r}^{{}^{\prime}(n+1)}}(-{6}^{n})$

d’où :

${U}_{1}={m}_{4}{m}_{1}^{\prime}\sum\frac{{S}_{n}^{\prime}{r}^{n}}{{r}^{{}^{\prime}n+1}}[{(1-6)}^{n-1}+{6}^{n-1}]$

Posons ${S}_{n}[{(1-6)}^{n-1}-{(-6)}^{n-1}]\frac{{m}_{4}}{{m}_{4}+{m}_{1}+{m}_{7}}={S}_{n}^{\prime}$, il vient :

Or $\frac{{S}_{n}^{\prime}{r}^{n}}{{r}^{{}^{\prime}n+1}}$est un polynôme entier en $\frac{{r}^{2}}{{r}^{{}^{\prime}2}}$et $\frac{r\cos\omega}{r^{\prime}}$(il est homogène de degré $n$en $\frac{r}{r^{\prime}}$).

Or ${r}^{2}={x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2};rr^{\prime}\cos\omega=\mathit{xx}^{\prime}+\mathit{yy}^{\prime};r^{\prime 2}=x^{\prime 2}+y^{\prime 2}$.

De plus, $$ , $\frac{x^{\prime}a^{\prime}}{{r}^{{}^{\prime}2}},\frac{y^{\prime}a^{\prime}}{{r}^{{}^{\prime}2}}$sont développables suivant les puissances de $e^{\prime}\cos w^{\prime},e^{\prime}\sin w^{\prime}$et se réduisent à $\mathrm{1,1}\mathrm{,0}$pour $e^{\prime}=0$.

De plus, $\frac{{r}^{2}}{{r}^{{}^{\prime}2}}=\frac{{r}^{2}}{{a}^{2}}\frac{{a}^{{}^{\prime}2}}{{r}^{{}^{\prime}2}}{\alpha}^{2};\frac{\mathit{rr}^{\prime}\cos\omega}{{r}^{{}^{\prime}2}}=(\frac{x}{a}\frac{x^{\prime}a^{\prime}}{{r}^{{}^{\prime}2}}+\frac{y}{a}\frac{y^{\prime}a^{\prime}}{{r}^{{}^{\prime}2}})\alpha$

${U}_{1}\mathrm{\colon}{n}^{{}^{\prime}2}{a}^{{}^{\prime}3}{m}_{1}^{\prime}$se trouve donc développé suivant les puissances de la parallaxe $\alpha$, des rapports $\frac{x}{a},\frac{y}{a},\frac{z}{a}$et de $e^{\prime}\cos w^{\prime},e^{\prime}\sin w^{\prime}$.

D’autre part, $\frac{{S}_{n}^{\prime}{r}^{n}}{{r}^{{}^{\prime}n}}$contient $\alpha$à la puissance $n$;

Soit $\frac{a^{\prime}}{r^{\prime}}\frac{{S}_{n}^{\prime}{r}^{n}}{{r}^{{}^{\prime}n}}={\alpha}^{n}{T}_{n}$; ${T}_{n}$est développable suivant les puissances de $\frac{x}{a},\frac{y}{a},\frac{z}{a},e^{\prime}\cos w^{\prime},e^{\prime}\sin w^{\prime}$, il est polynôme homogène de degré $n$en $\frac{x}{a},\frac{y}{a},\frac{z}{a}$.

${U}_{1}={n}_{1}^{{}^{\prime}2}{m}_{1}^{\prime}\sum{T}_{n}{a}^{2}{\alpha}^{n-2}$

On obtiendra les termes indépendants de la parallaxe en faisant $n=2$.

On a ${S}_{2}={S}_{2}^{\prime}=\frac{3\cos(\omega)-1}{2}$; (on a sensiblement $\frac{{m}_{4}}{{m}_{4}+{m}_{1}+{m}_{7}}=1$)

d’où :

${a}^{2}{T}_{2}=(\frac{3}{2}{(x\frac{x^{\prime}a^{\prime}}{{r}^{{}^{\prime}2}}+y\frac{y^{\prime}a^{\prime}}{{r}^{{}^{\prime}2}})}^{2}-\frac{1}{2}\frac{{r}^{2}a^{\prime 2}}{{r}^{{}^{\prime}2}})\frac{a^{\prime}}{r^{\prime}}$

Pour $e^{\prime}=0$; on a $\frac{x^{\prime}a^{\prime}}{{r}^{{}^{\prime}2}}=1,\frac{y^{\prime}a^{\prime}}{{r}^{{}^{\prime}2}}=0$, on a :

${a}^{2}{T}_{2}=\frac{{\mathrm{3x}}^{2}}{2}-\frac{{r}^{2}}{2}$

${U}_{1}=n^{\prime 2}{m}_{1}^{\prime}(\frac{{\mathrm{3x}}^{2}}{2}-\frac{{r}^{2}}{2})$

${U}_{0}=\frac{{m}_{1}{m}_{7}}{r}=\frac{{m}_{1}^{\prime}({m}^{1}+{m}^{7})}{r}$

Soit $x=\frac{{m}_{1}+{m}_{7}}{{(n-n^{\prime})}^{2}};{m}_{1}^{\prime}R={U}_{0}+{U}_{1}$

On a les éq $\frac{{d}^{2}{x}_{i}^{\prime}}{{\mathit{dt}}^{2}}=\frac{\mathit{dR}}{{\mathit{dx}}_{i}^{\prime}}$; or par rapport aux axes tournants :

$\frac{{d}^{2}x}{{\mathit{dt}}^{2}}-\mathrm{2n}^{\prime}\frac{\mathit{dy}}{\mathit{dt}}-n^{\prime 2}x=\frac{\mathit{dR}}{\mathit{dx}};\frac{{d}^{2}z}{{\mathit{dt}}^{2}}=\frac{\mathit{dR}}{\mathit{dz}}$

$\frac{{d}^{2}y}{{\mathit{dt}}^{2}}-\mathrm{2n}^{\prime}\frac{\mathit{dx}}{\mathit{dt}}-n^{\prime 2}y=\frac{\mathit{dR}}{\mathit{dy}}$,

Si nous prenons l’unité de temps de telle sorte que $n-n^{\prime}=1;n^{\prime 2}={m}^{2};\tau=t;{m}_{1}+{m}_{7}=x$; si de plus nous supposons $\alpha=e^{\prime}=0$de telle sorte que ${U}_{1}=n^{\prime 2}{m}_{1}^{\prime}(\frac{{\mathrm{3x}}^{2}}{2}-\frac{{r}^{2}}{2})$il vient :

$\frac{{d}^{2}y}{d{\tau}^{2}}-\mathrm{2m}\frac{\mathit{dz}}{d\tau}+\frac{\mathit{xy}}{{r}^{3}}=0$;

Si $e^{\prime}=0$, on a$\frac{\mathit{dR}}{\mathit{dt}}=\frac{\mathit{dx}}{\mathit{dt}}\frac{\mathit{dR}}{\mathit{dx}}+\frac{\mathit{dy}}{\mathit{dt}}\frac{\mathit{dR}}{\mathit{dy}}+\frac{\mathit{dz}}{\mathit{dt}}\frac{\mathit{dR}}{\mathit{dz}}$; d’où :

$\frac{1}{2}[{(\frac{\mathit{dx}}{\mathit{dt}})}^{2}+{(\frac{\mathit{dy}}{\mathit{dt}})}^{2}+{(\frac{\mathit{dz}}{\mathit{dt}})}^{2}]-\frac{{n}^{{}^{\prime}2}}{2}({x}^{2}+{y}^{2})=R+C$(intégrale de Jacobi)

Dans le cas de $\alpha=0,n-n^{\prime}=1$; cela se réduit à :

$\frac{1}{2}[{(\frac{\mathit{dx}}{d\tau})}^{2}+{(\frac{\mathit{dy}}{d\tau})}^{2}+{(\frac{\mathit{dz}}{d\tau})}^{2}]-\frac{{m}^{2}}{2}({x}^{2}+{y}^{2})=\frac{x}{r}+\frac{{m}^{2}}{2}({\mathrm{3x}}^{2}-{r}^{2})+C$

Multiplions par $x,y$, il vient :

$x\frac{{d}^{2}x}{{d\tau}^{2}}+y\frac{{d}^{2}y}{{d\tau}^{2}}+\mathrm{2m}(y\frac{\mathit{dx}}{d\tau}-x\frac{\mathit{dy}}{d\tau})={\mathrm{3m}}^{2}\mathit{xy}$

Equations homogènes imaginaires

Soit $u=x+\mathit{iy},s=x-\mathit{iy};u,u^{\prime\prime},\mathrm{...}$dérivées de $\mu$par rapport à $\tau$.

Nous supposeront $z=0$, il viendra :

$(\mathit{us}^{\prime\prime}+u^{\prime\prime}s)-\mathrm{2mi}(\mathit{us}^{\prime}-s^{\prime}u)+u^{\prime}s^{\prime}=\frac{3}{2}{m}^{2}{(u+s)}^{2}+\mathrm{2C}$

$(\mathit{us}^{\prime\prime}+u^{\prime\prime}s)-\mathrm{2mi}(\mathit{us}^{\prime}+s^{\prime}u)+u^{\prime}s^{\prime}=\frac{3}{2}{m}^{2}({u}^{2}-{s}^{2})$

Qu’on peut remplacer par :

$\mathit{us}^{\prime\prime}-\mathrm{2mius}^{\prime}+\frac{u^{\prime}s^{\prime}}{2}=\frac{{m}^{2}}{8}({\mathrm{15u}}^{2}+\mathrm{18us}+{\mathrm{3s}}^{2})+C$

est son imaginaire conjuguée.

Equations harmoniques

Soit ${V}_{1}=R+\frac{{m}^{2}}{2}({x}^{2}+{y}^{2})$; on a $e^{\prime}=0$de telle façon que l’intégrale de Jacobi s’écrit :

$\frac{x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{\prime 2}}{2}-{V}_{1}=\mathit{const}$; ($x^{\prime}=\frac{\mathit{dx}}{\mathit{dt}}=\frac{\mathit{dx}}{d\tau},\mathit{etc..}$)

Soit $F=\frac{x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{\prime 2}}{2}-{V}_{1};p=x^{\prime}-\mathit{my};q=y^{\prime}+\mathit{mx}$

$F=\frac{(p+{\mathit{my}}^{2})+(q-{\mathit{mx}}^{2})+z^{\prime 2}}{2}-{V}_{1}$

$\frac{\mathit{dp}}{\mathit{dt}}=x^{\prime\prime}-\mathit{my}^{\prime}=\mathit{my}^{\prime}+\frac{{\mathit{dV}}_{1}}{\mathit{dx}}=m(q-\mathit{mx})+\frac{{\mathit{dV}}_{1}}{\mathit{dx}}=\frac{-\mathit{dF}}{\mathit{dx}}$

$\frac{\mathit{dq}}{\mathit{dt}}=y^{\prime\prime}-\mathit{mx}^{\prime}=\mathit{mx}^{\prime}+\frac{{\mathit{dV}}_{1}}{\mathit{dy}}=-m(p+\mathit{my})+\frac{{\mathit{dV}}_{1}}{\mathit{dy}}=\frac{-\mathit{dF}}{\mathit{dy}}$

$\frac{\mathit{dz}}{\mathit{dt}}=z^{\prime}=\frac{\mathit{dF}}{\mathit{dz}};\frac{\mathit{dz}^{\prime}}{\mathit{dt}}=z^{\prime\prime}=\frac{{\mathit{dV}}_{1}}{\mathit{dz}}=\frac{-\mathit{dF}}{\mathit{dz}}$

$\frac{\mathit{dx}}{\mathit{dt}}=x^{\prime}=p+\mathit{my}=\frac{\mathit{dF}}{\mathit{dp}};\frac{\mathit{dy}}{\mathit{dt}}=y^{\prime}=q-\mathit{mx}=\frac{\mathit{dF}}{\mathit{dq}}$

[Changement de notation : Je représenterai les coord. du Soleil par $X,Y,Z$ et non $x^{\prime},y^{\prime},z^{\prime}$; sa distance au point D par R et non plus $r^{\prime}$; la fonction perturbatrice par V et non plus par R.]

Termes de degré 0.

Si nous faisons $\alpha=e^{\prime}=k=0$, nos éq se réduisent à :

$x^{\prime\prime}-\mathrm{2my}^{\prime}+\frac{\mathit{xx}}{{r}^{3}}={\mathrm{3m}}^{2}x;y^{\prime\prime}+\mathrm{2mx}^{\prime}+\frac{x}{{r}^{3}}=0$

$\frac{x^{\prime 2}+y^{\prime 2}}{2}=\frac{x}{r}+\frac{{\mathrm{3x}}^{2}{m}^{2}}{2}+C$

$\mathit{xx}^{\prime\prime}+\mathit{yy}^{\prime\prime}+\mathrm{2m}(\mathit{yx}^{\prime}-\mathit{xy}^{\prime})+\frac{x^{\prime 2}+y^{\prime 2}}{2}-\frac{{\mathrm{9m}}^{2}{x}^{2}}{2}=C$

$(\mathit{us}^{\prime\prime}+u^{\prime\prime}s)-\mathrm{2mi}(\mathit{us}^{\prime}-\mathit{su}^{\prime})=\frac{3}{2}{m}^{2}({u}^{2}-{s}^{2})$

$(\mathit{us}^{\prime\prime}-u^{\prime\prime}s)-\mathrm{2mi}(\mathit{us}^{\prime}+\mathit{su}^{\prime})=\frac{3}{2}{m}^{2}({u}^{2}-{s}^{2})$

$\mathit{us}^{\prime\prime}-\mathrm{2mius}^{\prime}+\frac{u^{\prime}s^{\prime}}{2}=\frac{{m}^{2}}{8}({\mathrm{15u}}^{2}+\mathrm{18us}+{\mathrm{3s}}^{2})+C$

Je dis que ces éq admettent une solution périodique de la forme :

$x=\sum Aa\cos{\mu}_{0}t;y=\sum B\sin{\mu}_{0}t$(${\mu}_{0}$impair).

En effet les éq ne changent pas si on change $\tau$en $-\tau$; $y$en $-y$.

Si donc pour $\tau=0$, on a $y=0,x^{\prime}=0$, il y a conjonction symétrique de sorte que $x$est une fonction paire de $\tau$, et $y$une fonction impaire.

Les éq ne changent pas si on change $\tau$en $\pi-\tau$.

S’il y a conj. sym. pour $\tau=0$et quadr. sym pour $\tau=\frac{\pi}{2}$, la solution est [illisible]. Faisons $m=0,x=a\cos\tau,y=a\sin\tau;{a}^{3}=x;$pour $\tau=0$, on aura $x=a,y^{\prime}=a,x^{\prime}=0,y=0$, il y a alors conj. sym. et quadr. [illisible].

Soit $m$quelconque ; soit pour $\tau=0,y=x^{\prime}=0,x=a+\delta x,y^{\prime}=a+\delta y^{\prime}$.

Considérons les valeurs de $x,y^{\prime}$pour $\tau=\frac{\pi}{2}$; elles sont développables suivant les puissances de $\delta x,\delta y^{\prime},m$, elles s’annulent avec ces 3 [illisible].

Les éq $x=y^{\prime}=0$qui expriment la quadr. Sym. Nous donneront alors $\delta x,\delta y^{\prime}$en fonction de $m$.

Les courbes définies par les éq. Homogènes sont plus générales que les courbes définies par les équations primitives (Si on regarde $C$comme arbitraire) ; elles sont semblables à ces courbes avec un rapport de similitude quelconque.

Pour m très petit la courbe femée diffère peu d’un cercle ; [figures]

pour $m=\frac{1}{\mathrm{1,78}}$, il y a deux points de rebroussement [figure], deux points doubles [figure], la courbe rencontre la Terre [figure], une courbe fermée parcourue en sens inverse [figure],

pour $m=1,x=0$une ellipse $x=\cos\tau,y=-\mathrm{2cos}\tau$

Calcul des coeff.

Soit $\zeta=\cos\tau+i\sin\tau;u=a\sum{a}_{j}{\zeta}^{\mathrm{2j}+1};s=a\sum{a}_{j}{\zeta}^{-\mathrm{2j}-1}$

$x=a\sum{a}_{j}\cos(\mathrm{2j}+1)\tau;y=a\sum{a}_{j}\sin(\mathrm{2j}+1)\tau$où $j$variant de 0 à l’infini.

$x=a\sum({a}_{j}+{a}_{-j-1})\cos(\mathrm{2j}+1)\tau;y=a\sum({a}_{j}-{a}_{-j-1})\sin(\mathrm{2j}+1)\tau$

Ecrivons l’éq plus générale :

$\mathit{us}^{\prime\prime}-\mathrm{2pius}^{\prime}+\frac{u^{\prime}s^{\prime}}{2}-\frac{9{p}^{2}}{4}\mathit{us}=\frac{{m}^{2}}{8}({\mathrm{15u}}^{2}+{\mathrm{3s}}^{2})+C$

où nous ferons ensuite $p=m$; et développons suivant les puissances de ${m}^{2}$. Soit :

$c={c}_{0}+m^{\prime}{c}_{1}+{m}^{4}{c}_{2}+\mathrm{...}+{m}^{\mathrm{2q}}{c}_{q}+\mathrm{...}$

$u={u}_{0}+m^{\prime}{u}_{1}+{m}^{4}{u}_{2}+\mathrm{...}+{m}^{\mathrm{2q}}{u}_{q}+\mathrm{...}$

$s={s}_{0}+m^{\prime}{s}_{1}+{m}^{4}{s}_{2}+\mathrm{...}+{m}^{\mathrm{2q}}{s}_{q}+\mathrm{...}$

Supp que l’on ait déterminé ${u}_{0},{u}_{\mathrm{1,}}\mathrm{...},{u}_{q-1}$, et qu’on veuille ${u}_{q},{s}_{q}$, nous aurons ; en [illisible] les coeff de ${m}^{\mathrm{2q}}$:

${u}_{0}{s}_{q}^{\prime\prime}+{u}_{q}{s}_{0}^{\prime\prime}-\mathrm{2pi}({u}_{0}{s}_{q}^{\prime}+{u}_{q}{s}_{0}^{\prime})+\frac{{u}_{0}^{\prime}{s}_{q}^{\prime}+{u}_{q}^{\prime}{s}_{0}^{\prime}}{2}-\frac{9{p}^{2}}{4}({u}_{0}{s}_{q}+{u}_{q}{s}_{0})=\phi+\mathit{Cq}$, $\phi$étant connu.

Soit ${A}_{k}$le coeff de ${\zeta}^{k}$dans le second membre ; le coeff de ${\zeta}^{k}$dans le premier membre vient du terme $\lambda{\zeta}^{-k-1}$de ${s}_{1}$, et du terme $\mu{\zeta}^{k+1}$de ${u}_{k}$, ce qui donne :

$\lambda[-{(k-1)}^{2}-\mathrm{2p}(k+1)+\frac{k+1}{2}-\frac{{\mathrm{9p}}^{2}}{4}]+\mu[-1-\mathrm{2p}+\frac{k+1}{2}-\frac{{\mathrm{9p}}^{2}}{4}]={A}_{k}$

En changeant $k$en $-k$, le coeff de ${\zeta}^{-k-1}$dans ${s}_{q}$est $\mu$et le coeff de ${\zeta}^{-k+1}$dans ${\mu}_{q}$est $\lambda$, d’où :

$\mu[-{(k+1)}^{2}-\mathrm{2p}(k+1)+\frac{k+1}{2}-\frac{{\mathrm{9p}}^{2}}{4}]+\lambda[-1-\mathrm{2p}+\frac{1-k}{2}-\frac{{\mathrm{9p}}^{2}}{4}]={A}_{-k}$

De ces deux eq, on tirera $\lambda,\mu$. Pour $k=0$: on doit avoir $\lambda=\mu$, les deux éq se réduisent en une seule; ${A}_{k}-{A}_{-k}$doit être remplacé par ${A}_{0}+{C}_{q}$, et l’éq devient

$\lambda(-1-\mathrm{4p}-\frac{{\mathrm{9p}}^{2}}{2})={A}_{0}+{C}_{q}$

$\lambda$est indéterm. puisqu’on dispose de l’indéterminée ${C}_{q}$; Hill prend $\lambda=0$.

Le déterminant de nos éq linéaires est :

$\frac{-{k}^{2}}{2}({\mathrm{2k}}^{2}-2-\mathrm{4p}+{p}^{2})$

Donc les coeff sont des fonctions dével. suivant les puissances de ${m}^{2}$et les coeff du développement sont des fonctions rationnelles de $p$.

Au dénominateur de ces fonctions rationnelles peuvent entrer les facteurs :

${\mathrm{2k}}^{2}-2-\mathrm{4p}+{p}^{2}$; c’est-à-dire ${p}^{2}-\mathrm{4p}+6,{p}^{2}-\mathrm{4p}+30,{p}^{2}-\mathrm{4p}+\mathrm{70...}$.

On trouve que $u{\zeta}^{-1},s\zeta$peuvent se développer suivant les puissances de ${m}^{2}{\zeta}^{2},{m}^{2}{\zeta}^{-2}$; de sorte que :

1° ${a}_{j}$ contient en facteur ${m}^{2j}$; 2° ${a}_{j}$ ne contient que des puissances de ${m}^{2}$ telles que $q\equiv j\mod 2$; le développement de chaque coeff procède donc suivant les puissances de ${m}^{4}$; et converge comme une progr. géom. de raison $\frac{1}{10000}$.

Soient les eq :

$y^{\prime\prime}-\mathrm{2px}^{\prime}+\frac{\mathit{xy}}{{r}^{3}}=\frac{3}{2}({p}^{2}+{m}^{2})y$

L’intégrale de Jacobi sera :

$\frac{x^{\prime 2}+y^{\prime 2}}{2}-\frac{x}{2}=\frac{3}{4}[{x}^{2}({p}^{2}+{m}^{2})+{y}^{2}({p}^{2}-{m}^{2})]+C$

Les eq homogènes seront :

$\mathit{yx}^{\prime\prime}-\mathit{xy}^{\prime\prime}-\mathrm{2p}(\mathit{xx}^{\prime}+\mathit{yy}^{\prime})={\mathrm{3m}}^{2}\mathit{xy}$

$\mathit{xx}^{\prime\prime}+\mathit{yy}^{\prime\prime}+\mathrm{2p}(\mathit{yx}^{\prime}-\mathit{xy}^{\prime})+\frac{x}{r}=\frac{3}{2}[{x}^{2}({p}^{2}+{m}^{2})+{y}^{2}({p}^{2}-{m}^{2})]+C$

$\mathit{xx}^{\prime\prime}+\mathit{yy}^{\prime\prime}+\mathrm{2p}(\mathit{yx}^{\prime}-\mathit{xy}^{\prime})+\frac{x^{\prime 2}+y^{\prime 2}}{2}=\frac{9}{4}[{x}^{2}({p}^{2}+{m}^{2})+{y}^{2}({p}^{2}-{m}^{2})]+C$

$\mathit{us}^{\prime\prime}-\mathrm{2pius}^{\prime}+\frac{u^{\prime}s^{\prime}}{2}=\frac{9}{4}{p}^{2}\mathit{us}+\frac{{m}^{2}}{8}({\mathrm{15u}}^{2}+{\mathrm{3s}}^{2})+C$

Nous retrouvons ainsi notre éq généralisée ; on voit ainsi que cette éq correspond au cas d’une masse comme la Lune attirée par une masse constante comme la Terre, par une masse éloignée tournante comme le Soleil (la relation entre la masse, la distance et la vitesse de révolution pouvant ne pas avoir lieu.) et soumise en outre à une force centrale proport. à la distance.

Reprenons l’éq.

$$u_{0}s_{q}^{\prime\prime}+\ldots=\phi+C_{q}.$$

$\phi$ contient des termes en $u_{p}s_{q-p}$($p=1,2\ldots,q-1$) (ou des termes où ${u}_{p},{s}_{q-p}$sont remplacés par une de leurs dérivées) des termes en ${u}_{p}{u}_{q-1-p}$et en ${s}_{p}{s}_{q-1-p}$.

Je dis que ${u}_{q}$ ne contient que des termes en ${\zeta}^{k+1}$ et ${s}_{q}$ des termes en ${\zeta}^{k-1}$ où $k\equiv 2q(\mod 4)$, $k\leq 2q$.

Cela est vrai en effet pour $q=0$. Supposons que cela soit vrai pour $u_{1},u_{2},\ldots,u_{q-1},s_{1},s_{2},\ldots,s_{q-1}$. Je dis que cela sera vrai pour $u_{q}$ et $s_{q}$.

En effet soit un terme en $u_{p}s_{q-p}$ dans $\phi$; soit

$$\begin{array}[]{cccccccccc}&&&&&&&&&\phi\\ {u}_{p}{s}_{q-p}&{u}_{p}&{\zeta}^{k^{\prime}+1}&k^{\prime}\equiv 2p&k^{\prime}\leq 2p&{s}_{q-p}&{\zeta}^{k^{\prime\prime}-1}&k^{\prime\prime}\equiv 2q-2p&|k^{\prime\prime}|<2q-2p&k=k^{\prime}+k^{\prime\prime}\equiv 2q;|k|<2q\\ {u}_{p}{u}_{q-1-p}&{u}_{p}&{\zeta}^{k^{\prime}+1}&k^{\prime}\equiv 2p&|k^{\prime}|\leq 2p&u_{q-1-p}&{\zeta}^{k^{\prime\prime}+1}&k^{\prime\prime}\equiv 2q-2-2p&k^{\prime\prime}<2q-2-2p&k=k^{\prime}+k^{\prime\prime}+2\\ s_{p}s_{q-1-p}&s_{p}&\zeta^{k^{\prime}-1}&k^{\prime}\equiv 2p&|k^{\prime}|\leq 2p&s_{q-1-p}&\zeta^{k^{\prime\prime}-1}&k^{\prime\prime}\equiv 2q-2-2p&|k^{\prime\prime}|<\mathrm{2q}-2-2p&k=k^{\prime}+k^{\prime\prime}-2\end{array}$$

Comme les termes en ${\zeta}^{k}$ dans $\phi$ nous donnent des termes en ${\zeta}^{k+1}$ dans ${u}_{q}$ et en ${\zeta}^{k-1}$ dans ${s}_{q}$ le théorème est démontré.

Un coefficient quelconque ${a}_{j}$ est donc de la forme suivante :

$${m}^{\mathrm{2j}}[{R}_{0}+{R}_{1}{m}^{4}+{R}_{2}{m}^{8}+\ldots]$$

${R}_{0},{R}_{1},{R}_{2}$etc étant des fonctions rationnelles de m contenant au dénominateur un ou plusieurs des trinômes :

${m}^{2}-\mathrm{4m}+6,{m}^{2}-\mathrm{4m}+30,{m}^{2}-\mathrm{4m}+\mathrm{70...}$

la série procédant suivant ${m}^{4}$, chaque approx nous donne 4 décimalesn environ. Hill calcule avec 15 décimales depuis ${a}_{0}=1;{a}_{1}=\mathrm{0,001};{a}_{-1}=\mathrm{0,008}$jusqu’à ${a}_{6}=7\times{10}^{-15};{a}_{-6}<{10}^{-15}$.

Calcul de a

Les valeurs $u=a\sum{a}_{j}{\zeta}^{\mathrm{2j}+1},s=a\sum{a}_{j}{\zeta}^{-\mathrm{2j}-1}$satisfont aux éq homog quelle que soit la constante a ; pour satisfaire aux éq. Données (qui contiennent x) il faut attribuer à une valeur [illisible].

Le calcul précédent donne $\frac{x}{a},\frac{y}{a},\frac{c}{{a}^{2}}$; l’intégrale de Jacobi donnera $\frac{x}{{\mathrm{2a}}^{2}}$; d’autre part nous connaîtrons $\frac{{r}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{\mathit{us}}{{a}^{2}}$; donc par multiplication nous aurons ${(\frac{x}{{\mathrm{2a}}^{2}})}^{2}\frac{{r}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{{x}^{2}}{{a}^{6}}$; d’où nous tireront a puisque nous connaissons $x$.

On calculera de même $\frac{x}{{r}^{3}}$.

rapport à l’inclinaison

Ces termes sont donnés par :

$z^{\prime\prime}+(\frac{x}{{r}^{3}}+{m}^{2})z=0$

où $\frac{x}{{r}^{3}}$est la valeur que nous venons de calculer. Nous pouvons donc poser :

$\frac{x}{{r}^{3}}+{m}^{2}=\Theta={\Theta}_{0}+2{\Theta}_{1}\cos 2\tau+2{\Theta}_{2}\cos 4\tau+\mathrm{...}$

Théorèmes généraux sur les éq diff lin.

Si les coeff sont péri de péri $\pi$, que l’éq lim soit d’ordre [illisible].

Il y a p intégrales :

${\phi}_{1}(t),{\phi}_{2}(t),\mathrm{...},{\phi}_{p}(t)$et p constantes ${S}_{1},{S}_{\mathrm{2,}}\mathrm{...},{S}_{p}$telles que :

${\phi}_{k}(t+\pi)={S}_{k}{\phi}_{k}(t)$

Soit alors ${S}_{k}={E}^{{\mathit{ih}}_{k}\pi}$, nous aurons ${\phi}_{k}=\sum{A}_{\mathit{k.j}}{E}^{i(\mathit{jt}+{h}_{k}t)}$; $j$étant un entier pair, les ${h}_{k}$sont des expo. carac.

Dans ce cas partic. on a :${z}_{1}^{\prime}{z}_{2}-{z}_{2}^{\prime}{z}_{2}=\mathit{const}$; soit :

${z}_{1}={\phi}_{1}(t),{z}_{2}={\phi}_{2}(t)$; la const ne peut être nulle ; car $\frac{{z}_{1}}{{z}_{2}}$n’est pas const. Or si l’on change $t$en $t+\phi$le premier membre est multiplié par ${E}^{i\pi}({k}_{1}+{k}_{2})$; donc ${k}_{1}+{k}_{2}=0$. Nous poserons ${h}_{1}=g,{h}_{2}=-g$.

Soit $z=F(\tau)$une sol. Partic. Telle que $F(0)=1,F^{\prime}(0)=0$. $F(\tau)$est une fonction paire de $\tau$; donc $F(\tau)=\sum{A}_{j}\cos(\mathrm{2j}+g)\tau$.

Nous avons ${\phi}_{1}(t)=\sum{A}_{j}{E}^{i(\mathrm{2j}+g)\tau}$et en changeant $\tau$en $-\tau$, ${\phi}_{2}(t)=\sum{A}_{j}{E}^{-i(\mathrm{2j}+g)\tau}$; d’où : $F(\tau)=\sum{A}_{j}\cos(\mathrm{2j}+g)\tau;\sum{A}_{i}=1$. Soit $z=f(\tau)$une autre sol. part. telle que $f(0)=0;f^{\prime}(0)=1$; cette solution particulière sera impaire et l’on aura $f(t)=B\sum{A}_{j}\sin(\mathrm{2j}+g)\tau$

$B\sum{A}_{j}(\mathrm{2j}+g)=1$

On aura pour l’eq en S :

$$

d’où $F(\pi)f^{\prime}(\pi)-f(\pi)F^{\prime}(\pi)=1;f^{\prime}(\pi)+F(\pi)=2\cos g\pi$

$F(\pi)=\sum{A}_{j}\cos g\pi=+\cos g\pi;f^{\prime}(\pi)=+B\sum{A}_{j}(\mathrm{2j}+1+g)=+\cos g\pi$

$F(\tau)$considéré comme une fonction de $\tau$; si la série $\Theta$n’avait qu’un nombre fini de termes ; $F(\tau)$serait une fonction entière de $\tau$, donc si $\tau$est réel, on peut trouver une fonction entière de $\tau$qui diffère aussi peu que l’on veut de $\tau$.

$F(\tau)$considéré comme une fonction de ${\Theta}_{0},{\Theta}_{1}$etc c’est une fonction entière si $\tau$est donné ainsi que le chemin pour aller de 0 à $\tau$; car elle est uniforme ; et elle ne peut devenir infinie, puisque le point $\tau$ni aucun des points du chemin $0\tau$n’est singulier.

Quand on change $\tau$en $\tau+\frac{\pi}{2}$, ${\Theta}_{1},{\Theta}_{3},{\Theta}_{5}$ changent de signe, la valeur de $\cos g\pi$ne doit pas changer. Donc le développement de $F(\pi)$contient${\Theta}_{1},{\Theta}_{3},{\Theta}_{5}$qu’à un degré ; si l’on supposait ${\Theta}_{1}={\Theta}_{3}={\Theta}_{5}=\mathrm{...}=0$; on pourrait changer $\tau$en $\tau+\frac{\pi}{4}$; et on verrait que ${\Theta}_{2},{\Theta}_{6},{\Theta}_{10}$ne peuvent entrer qu’à un degré pair à moins d’être multipliés par ${\Theta}_{1}^{2},{\Theta}_{3}^{2},{\Theta}_{1}\mathrm{.}{\Theta}_{3}\mathrm{...}$; si l’on supp de plus ${\Theta}_{2}={\Theta}_{6}={\Theta}_{10}=\mathrm{...}=0$; on verrait que ${\Theta}_{4},{\Theta}_{12},{\Theta}_{20}$ne peuvent entrer qu’à des degrés pair à moins d’être multipliés par ${\Theta}_{1}^{2},{\Theta}_{2}^{2},{\Theta}_{3}^{2},{\Theta}_{6}^{2},\mathrm{....}$ou par l’un des produits 2 à 2 ${\Theta}_{1}{\Theta}_{3},{\Theta}_{2}{\Theta}_{6}\mathrm{...}$

Nous avons donc comme intégrales particulières :

$\sum{A}_{j}{E}^{i(\mathrm{2j}+g)\tau},\sum{A}_{j}{E}^{-i(\mathrm{2j}+g)\tau}$

En multipliant la première par $\frac{k}{\mathrm{2i}}{E}^{i\omega}$, la seconde par $\frac{k}{\mathrm{2i}}{E}^{-i\omega}$et [illisible].

On trouve l’intégrale générale (à cause des deux constantes $k,\omega$):

$z=k\sum{A}_{j}\sin(\mathrm{2j}\tau+g\tau+\omega)$

ou en posant $g\tau+\omega=\lambda;z=k\sum{A}_{j}\sin(\mathrm{2j}\tau+\lambda)$.

Le terme le plus important correspond au cas de $j=0$; c’est celui qu’on obtient en supposant ${\Theta}_{1}={\Theta}_{2}=\mathrm{...}=0$; les époques du passage au noeud sont données par l’éq. z=0; ou en négligeant les termes sauf le principal $\sin\lambda=0$, $\lambda=\mathit{mult}\pi$. Les époques successives du passage au noeud sont telles que $g\tau+\omega$soit à peu près égal aux multiples successifs de $\pi$.

Nous avons à envisager l’intégrale particulier :

$F(\tau)=\sum{A}_{j}\cos(\mathrm{2j}+g)\tau$

Nous avons vu que $F(\pi)=\cos g\pi$est développable suivant les puissances de ${\Theta}_{1},{\Theta}_{2}\mathrm{...}$; si ${\Theta}_{1}={\Theta}_{2}=\mathrm{...}=0$; $j$se réduit à $\sqrt{{\Theta}_{0}}$que je poserai =q. On tirera donc g de cette eq en série dével s.l. puiss de ${\Theta}_{1},{\Theta}_{2},\mathrm{...}$de même pour $A$;

$F(\tau)=\sum{A}_{j}\cos(\mathrm{2j}+g)\tau;F(t+\pi)=F(\tau)\cos g\pi-\mathit{sing}\pi\sum{A}_{j}\sin(\mathrm{2j}+g)\tau$

$\sum{A}_{j}{E}^{i(\mathrm{2j}+g)\tau}=F(\tau)(1+i\cot g\pi)-F(\tau+\pi)\frac{i}{\sin g\pi}$

${\mathit{rA}}_{j}=\underset{0}{\overset{r}{\int}}{E}^{-i(\mathrm{2j}+g)\tau}d\tau[F(\tau)(1+\mathit{icot}g\pi)-\frac{iF(\tau+\pi)}{\sin g\pi}]$

Pour obtenir le développement de $F(\tau)$, j’écris l’éq sous la forme :

$z^{\prime\prime}+{q}^{2}z=({\Theta}_{0}-\Theta)z$.

Je fais d’abord $z=0$dans le second membre ; ce qui me donne une première approx.

${z}_{0}$, puis $z={z}_{0}$dans le second membre cqmd une seconde approx ${z}_{1}$et ainsi de suite. ${z}_{p}$Est exact jusque deux termes d’ordre $p$inclus d’ordre $p$par rapport à ${\Theta}_{1},{\Theta}_{2}\mathrm{...}$.

on trouve : $z=\frac{{E}^{\mathit{ih}\tau}}{{q}^{2}-{h}^{2}}-\frac{{E}^{\mathit{iq}\tau}}{\mathrm{2q}(q-h)}-\frac{{E}^{-\mathit{iq}\tau}}{\mathrm{2q}(q+h)}=\phi(h)$.

Soit à intégrer :

$z^{\prime}z+{q}^{2}z={\tau}^{k}+{E}^{\mathit{iht}}$z= dérivée ${k}^{2}$de $\phi(h)\times{(\sqrt{-1})}^{-k}$.

Donc $z$contient des termes en ${\tau}^{k}{E}^{\mathit{ih}\tau},{\tau}^{k-1}{E}^{\mathit{ih}\tau},\mathrm{...},{E}^{\mathit{ih}\tau},{E}^{\mathit{iq}\tau},{E}^{-\mathit{iq}\tau}$.

Les coeff sont des fonc. Rat. De q, contenant au dém $q,q+h$ou $q-h$à diverses puissances.

Pour $h=q$, $\phi(h)$se réduit à :

$\frac{\tau{e}^{\mathit{iq}\tau}}{\mathrm{2q}}-\frac{{E}^{-\mathit{iq}\tau}}{{\mathrm{4q}}^{2}}+\frac{{E}^{\mathit{iq}\tau}}{{\mathrm{4q}}^{2}}$(coefficients mal déterminés)

${\phi}^{k}(h)$contient un terme en ${\tau}^{k+1}{E}^{\mathit{iq}\tau}$, (exception analogue pour $q=-h$).

Donc $F(\tau)$est une fonction de la forme suivante :

1° Elle contiendra des termes en :

$\cos(\mathrm{2j}+q)\tau,\tau\sin(\mathrm{2j}+q)\tau,{\tau}^{2}\cos(\mathrm{2j}+q)\tau$etc.

Les coeff seront développés suivant les puissances de ${\Theta}_{1},{\Theta}_{2}\mathrm{...}$et les coeff du développement seront des fonctions rationnelles de $q$où le dénominateur ne contiendra que des facteurs de la forme $q+\mathrm{2j}$.

2° De là résulte la forme de $F(\pi)$;

$F(\pi)=H\cos(q\pi)+H^{\prime}\sin(q\pi)$

où $H,H^{\prime}$sont développables suivant les puissances de ${\Theta}_{1},{\Theta}_{2}\mathrm{...}$, les coefficients du développement étants des fonctions rationnelles de q ; (facteurs du dénominateur $q+\mathrm{2j}$)

Les premiers termes sont :

$\cos g\pi=\cos q\pi[1-\frac{{r}^{2}{\Theta}_{1}^{4}}{{2}^{5}{q}^{2}{(1-{q}^{2})}^{2}}]+\sin q\pi[\frac{-r{\Theta}_{1}^{2}}{\mathrm{4q}(1-{q}^{2})}+\frac{({\mathrm{15q}}^{4}-{\mathrm{35q}}^{2}+8)\pi{\Theta}_{1}^{4}}{{\mathrm{64.q}}^{3}{(1-{q}^{2})}^{3}(4-{q}^{2})}]$

Nous avons ainsi $\cos g\pi$et par conséquent $g$.

Soit $F(\tau)=\sum{B}_{j}\cos(\mathrm{2j}+q)\tau+\tau\sum{B}_{j}^{\prime}\sin(\mathrm{2j}+q)\tau+{\tau}^{2}\sum{B}_{j}^{\prime\prime}\cos(\mathrm{2j}+q)\tau$.

D’autre part,

$F(\tau)=\sum{A}_{j}\cos(\mathrm{2j}+g)\tau=\sum{A}_{j}\cos(\mathrm{2j}+q)\tau-(g-q)\tau\sum{A}_{j}\sin(\mathrm{2j}+q)\tau$

$\frac{{(g-q)}^{2}{\tau}^{2}}{2}\sum{A}_{j}\cos(\mathrm{2j}+q)\tau+\frac{{(g-q)}^{3}{\tau}^{3}}{6}\sum{A}_{j}\sin(\mathrm{2j}+q)\tau$

On en identifie les deux développements :

${A}_{j}={B}_{j};{B}_{j}^{\prime}-(g-q){A}_{j};{B}_{j}^{\prime\prime}=\frac{-{(g-q)}^{2}}{2}{A}_{j};$ etc. …

Le développement ne peut se faire que d’une seule manière.

Nous avons donc $g,{A}_{j}$.

Méthode de Hill (déterminant)

Les ${A}_{j}$ doivent satisfaire aux éq linéaires : le nombre infini.

[transcription à compléter]

AD 32p. Collection particulière, Paris 75017.